2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图像与性质教师用书文北师大版

第三节 三角函数的图像与性质[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图像关于( ) 【导学号：66482146】A ．原点对称B ．y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D ．直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin2x 是奇函数，则图像关于原点对称，故选A.] 3．函数y ＝tan2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( ) 【导学号：66482147】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z } [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z )，x ＝6k π(k ∈Z )，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．](1)(2016·全国卷Ⅱ)函数 f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2，∴函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.][规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±c os x 换成t ，转化为二次函数求解．[变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22，7分∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 12分(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上递减，则ω的取值范围是( )【导学号：66482148】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．][规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的递增区间是________.【导学号：66482149】(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上递减，则ω＝________.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.](1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心的坐标是( )【导学号：66482150】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.]☞角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B ．π4C ．π3D ．π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )【导学号：66482151】A ．－ 3B ．－33C ． 2D ．22(1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.(2)由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，即sin0＋a cos0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] [规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)借助函数的图像．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．[易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．4．正、余弦函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图像只是中心对称图形．。