概率论与数理统计6-数理统计1 [兼容模式]
概率论与数理统计 第6章 数理统计基础
【质量控制问题】
某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量500g， 通常在包装机正常的情况下，袋装食盐的重量X服 从正态分布，均值为500g，标准差为25g．为进行 生产质量控制，他们每天从当天的产品中随机抽 出 30 袋进行严格称重，以检验包装机工作是否正 常．某日，该厂随机抽取30袋盐的重量分别为：
475 500 485 454 504 439 492 501 463 461
464 494 512 451 434 511 513 490 521 514
从这些数据看，包装机的工作正常吗？
449 467 499 484 508 478 479 499 529 480
第6章 数理统计基础
6.1 总体和样本
【数理统计简史】
社会统计学派始于 19 世纪末，首创人物是德国 的克尼斯（K. G. A. Knies），他认为统计学是一 个社会科学，是研究社会现象变动原因和规律性 的实质性科学．各国专家学者在社会经济统计指 标的设定与计算、指数的编制、统计调查的组织 和实施、经济社会发展评价和预测等方面取得了 一系列的重要成果．德国统计学家恩格尔 （C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格尔”系 数，美国经济学家库兹涅茨和英国经济学家斯通 等人研究的国民收入和国内生产总值的核算方法 等，都是伟大的贡献．
则X1，X2，X3，X4的联合概率密度为：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
2 xi 16e i 1 , xi 0, i 1,2,3,4 其它 0,
4
6.1.2 样本与抽样
6.1.2 样本与抽样
【例 6.1】设总体 X服从均值为 1/2 的指数分布， X1， X2，X3，X4为来自X的样本，求X1，X2，X3，X4的 联合概率密度和联合分布函数．
概率论与数理统计第6章(公共数学版)
Xi
1 n (X1
X2
Xn)
S 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
显然
S 2
1 n
n
[
X
2 i
i 1
2Xi
X
(X )2]
1n [
n i1
X
2 i
2X
n i 1
Xi
n( X )2 ]
1 n
n i 1
X
2 i
2X
X
(X )2
S 2
1 n
n i 1
X
2 i
(X )2
16
样本均方差
样本标准差
4
Yi 2
i 1
4
Yi
2
i1 4
4
Yi
2
4
i1 2
32
T 4( X 2) 4 Yi 2 i 1
X 2
4
Yi
2
i1 4
X 2
~ t(4),
4
Yi
2
4
i1 2
即 T 服从自由度为 4 的 t 分布: T ~ t(4). 由 P{| T | t0 } 0.01.
t0 t0.995 (4) 4.6041.
设( X1, X2,, Xn )为来自总体X的一个样本
则( X1, X2,, Xn )为一个随机向量 X为一个随机变量 X1, X2,, Xn相互独立,且具有和总体X同样的分布
样本的同分布性和相互独立性
11
三、统计量 对所研究的对象收集了有关样本的数据
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
S
S2
概率论与数理统计-6
一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结概率论与数理统计是数理学科中的重要分支，其应用广泛，涉及到许多领域，如工程、物理、自然科学、医学、经济学等等。
第六章主要讲述了离散型随机变量的概率分布、期望值、方差及其应用。
首先我们了解到离散型随机变量是指取值有限或者可以无限但是可以和自然数一一对应的随机变量，即不连续的随机变量。
其中概率分布的概念是很重要的，它告诉我们每种随机变量取值的可能性大小，从而可以计算一些重要的数值。
比如期望值，期望值是随机变量取值的平均值，它可以用概率分布函数计算得到。
期望值可以给我们一个随机变量所处于某个状态的平均位置，或者它对某个事件发生的平均贡献。
方差也是一个非常重要的概念，它是随机变量值与其期望值之差的平方的期望值。
方差表示了随机变量的分布范围，也就是它们取值的变化程度。
方差越大，代表随机变量距离其期望值越远，该随机变量取值的范围也相应较大。
求期望值和方差的过程中有一些公式会显著提高计算效率，比如线性变换的公式、缩放变换的公式、Chebyshev不等式等等。
这些公式的应用有助于简化计算，并且能帮助我们更容易地理解问题。
我们还讨论了一些常见离散型随机变量的概率分布，比如伯努利分布、二项分布、泊松分布等等。
这些分布的出现在实际问题中都有着很重要的意义，比如伯努利分布描述了实验只有两种可能结果的概率分布，比如是/否、头/尾等等。
而二项分布则描述了实验中成功的概率和试验次数的关系，给我们解决实际问题提供了基础。
除了离散型随机变量，我们还可以研究连续型随机变量的概率分布以及相应的数学理论。
这些知识在实际应用中也具有重要意义。
比如在统计财务账目时，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测下一期客户付款时间的分布情况。
又比如在流量预测中，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测某个时间段内的网络流量。
总之，离散型随机变量理论是概率论的核心内容，对于理解整个概率论课程和进行实际应用都有着重要的意义。
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结一、概述在概率论与数理统计的第六章中，主要介绍了随机变量的概率分布以及常见的概率分布模型。
本章内容是概率论与数理统计的重点和难点之一，对于理解和应用概率统计的基本理论和方法具有重要意义。
二、随机变量的概率分布1. 随机变量及其概率分布的概念•随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它的取值不仅依赖于随机试验的结果，还受到机会因素的影响。
•概率分布描述了随机变量可能取值的概率大小。
常用的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 离散型随机变量及其概率分布•离散型随机变量的取值是有限或可列的，它的概率分布可以用概率质量函数来描述。
•常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量及其概率分布•连续型随机变量的取值是无限的，它的概率分布可以用概率密度函数来描述。
•常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
三、常见概率分布模型1. 二项分布•二项分布是指在 n 重伯努利试验中，成功的次数服从的概率分布。
其概率质量函数为二项式系数与成功概率的乘积。
•二项分布在实际应用中常用于描述成功次数的分布情况，如抽样调查中的样本中某一特征出现的次数。
2. 泊松分布•泊松分布是定义在非负整数集上的概率分布，它描述了在一段时间或空间内事件发生的次数。
其概率质量函数为事件发生率与时间（或空间）长度的乘积。
•泊松分布常用于描述罕见事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、一段时间内事故发生次数等。
3. 正态分布•正态分布是最重要的连续型概率分布模型之一，也称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。
•正态分布在实际应用中广泛存在，如身高体重、测量误差、考试成绩等符合正态分布的情况较多。
4. 指数分布•指数分布是定义在非负实数集上的连续型概率分布，它描述了连续时间间隔或空间间隔内事件发生的情况。
其概率密度函数呈指数下降曲线。
•指数分布在实际应用中常用于描述无记忆性随机事件的发生情况，如设备失效时间、极端天气事件的间隔等。
概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第6章【范本模板】
概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第六章6－1 解：9922211992221111ˆˆ158,()109911ˆˆ49.8,()9.9599X iXXii i Y iYYii i X X SX X YY S Y Y6－2 解:（2） 矩估计法22222()()2()()3b ab a x a b E X xf x dx dxba x a ab b E X x f x dxdxb a由矩估计法1222211i i nA X Xn A X XS n解得：22ˆˆ3,3n n aXS bXS(2）极大似然估计法,似然函数为1(,)(,,),ni a x bL a b f x a b b axa or xb当a x b 时，对似然函数取对数 (,)ln()L a b n b a似然方程：ln (,)ln (,)0,0L a b n L a b n ababba),(b a L 关于a 单调递增，关于b 单调递减.对样本n X X ,,1 有ia Xb ,即a 取最小值，而b 取最大值时,),(b a L 取最大值，故有11ˆˆmin ,,,max ,,n n a X X bX X∵μ已知, ∴ 222222()()1()exp(2)exp222n i iX X L2222()ln ()ln(2)ln 222i X nn L2222224ln ()11ˆ()0()22iid L n X x d n6－4 解：似然函数(1)112(1)21()(1)(1)(1)n n nk nn nk L p p p p p p p(1)ln ()ln ln(1)2n n L p n ppln ()(1)11ˆ012(1)2111()2kd L p n n n pn dp p p Xn XX knn∵ 1()E X p，∴ 1ˆ()ˆEX Xp6－5 解：（1） 似然函数 10(,)(,)ix nni i i ex L x f x x 当0x 时，1ln (,)ln i L x n X ， 2ln (,)11ˆ0i id L x n X X X dn(2)∵ 111ˆ()()()()i i E E X E X E X nn n∴ ˆX 是θ的无偏估计。
概率论与数理统计PPT课件(共8章)第六章 数理统计的基本概念
代表性
每个样本Xi(i=1,2,…,n)与 总体X具有相同的分布
独立性
各个样本X1,X2,…,Xn的取 值互不影响，即X1,X2,…,Xn是 相互独立的随机变量．
6.1.3 样本的联合分布
若 X1 ，X2 ， ，Xn 为总体 X 的一个样本， X 的分布函数为 F(x) ，则 X1 ，X2 ， ，Xn
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 ，
概
率
论
与
数 理
6.2
统
计
统计量与抽样分布
6.2.1 统计量
定义 6.2 不含任何未知参数的样本 X1 ，X2 ， ，Xn 的连续函数 g(X1 ，X2 ， ，Xn )
称为统计量．
下面列出一些常用的统计量．
（1）样本均值
X
1 n
n i1
Xi
（2）样本方差
概
率
论
与
数
理 统 计
数理统计的基本概念
第六章
概
率
论
与
数
理 统
壹 总体与样本
计
贰 统计量与抽样分布
目录
概
率
论
与
数 理
6.1
统
计
总体与样本
总体与个体
6.1.1 总体
在数理统计中，通常把研究对象的全体称为总体，把构 成总体的每个研究对象称为个体．
总体分布
为了便于数学上的处理，我们将总体定义为随机变量， 记作．随机变量的分布称为总体分布.
N
(1
，12
)
与
N
(2
，
2 2
)
的样本，且这两个样本相互独立．设
概率论与数理统计第六章 数理统计的基本概念精品教案
第六章数理统计的基本概念一、内容提要数理统计学是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带有随机性的数据，建立数学方法，去揭示所研究问题的统计规律性。
它的主要内容是由样本来推断总体。
（一）基本概率1. 总体、个体与样本：研究对象的全体称为总体，用X、Y等表示。
组成总体的每个元素称为个体或单元。
从总体中按一定的规律抽出一些个体就称为抽样，所抽及的个体称为样本，用X1,X2,…,X n表示。
一般样本容量小于50的样本称为小样本，样本容量大于等于50的样本称为大样本，但在样本不易实现时，样本容量大于30的样本可看作大样本。
包含有限个个体的总体称为有限总体，包含无限个个体的总体称为无限总体。
2. 简单随机抽样与简单随机样本：如果总体中各个个体被抽到的机会是均等的，并且在抽取一个个体后总体的成分不变，那么，抽得的一些个体就能很好地反映总体的情况，基于这种想法抽取个体的方法称为简单随机抽样。
抽得的这些个体构成一个样本，用（X1,X2,…,X n）表示，n为样本容量，X1,X2,…,X n应是n个相互独立的且与总体X同分布的随机变量，并将这种样本称为简单随机样本，简称样本。
本书所讨论的样本，如无特别声明，均指简单随机样本。
样本（X1,X2,…,X n）是n个相互独立的且与总体同分布的随机变量，而一次抽取之后，12（X 1,X 2,…,X n ）又是n 个具体的数据x 1,x 2…,x n ，即样本的一组观测值，在不致引起混淆的情况下，样本和样本值都用（X 1,X 2,…,X n ）表示，这就是样本的二重性。
3. 样本分布函数（或经验分布函数）：设样本（X 1,X 2,…,X n ）的观测值按由小到大次序排列后为：**2*1n x x x ≤≤≤Λ定义()()*1**1*0,,,,1,2,,11,.n k k n x x kF x x x x k n n x x +⎧⎪⎪=≤<=-⎨⎪⎪≥⎩p L ，为样本分布函数对于样本的不同观测值（x 1,x 2…,x n ），我们将得到不同的F n (x )，所以F n (x )是一个随机变量。
概率论与数理统计 6
定义3 设X是具有分布函数F的随机变量，若X1, X2, …, Xn是具有同 一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1, X2, …, Xn为从总体X中 得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。它们的观察值x1, x2, …, xn 为样本值，又称为X的n个独立观察值。
基于上述简单随机抽样，我们可以知道，从总体中抽取一个个 体就是对总体X进行一次观察（试验）并记录其结果．若在相同的 条件下对总体X进行n次重复的独立观察，其观察的结果记为X1, X2, …, Xn，则可认为X1, X2, …, Xn相互独立，并与总体X具有同的分 布．一般称其为来自总体X的一个简单随机样本。对于有限总体和 无限总体，都可以通过不放回抽样的方式得到简单随机样本。
X
0
1
P
1-p
p
不同的p反映了总体间的差异．譬如，两个生产同类产品的工厂的产品总体分 布分别如表所示。
X
0
1
P
0.983
0.017
X
0
1
P
0.915
0.085
显然，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂。实际中，分布中的不合格 品率是未知的，如何对它进行估计正是数理统计要研究的问题。
二、抽样和样本
定义2 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干 个体进行试验观察，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为抽样， 所抽取的部分个体称为样本，样本中所包含的个体数目称为样本容量。
如此看来，若不考虑问题的实际背景，总体就是一堆数，这堆 数中有大有小，有的出现的机会多，有的出现的机会少．因此用 一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的。
从这个意义上看，总体就是一个概率分布，而其数量指标就是 服从这个分布的随机变量。所以今后说“从总体中抽样”和“从 某分布中抽样”是同一个意思。
概率论与数理统计第六章数理统计的基本概念
第六章数理统计的基本概念前面五章我们讲述了概率论的基本内容，随后的五章将讲述数理统计.数理统计是以概率论为理论基础的一个数学分支.它是从实际观测的数据出发研究随机现象的规律性.在科学研究中，数理统计占据一个十分重要的位置，是多种试验数据处理的理论基础.数理统计的内容很丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容.本章中首先讨论总体、随机样本及统计量等基本概念，然后着重介绍几个常用的统计量及抽样分布.第一节随机样本假如我们要研究某厂所生产的一批电视机显像管的平均寿命.由于测试显像管寿命具有破坏性，所以我们只能从这批产品中抽取一部分进行寿命测试，并且根据这部分产品的寿命数据对整批产品的平均寿命作一统计推断.在数理统计中，我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体（Population），总体中的每个元素称为个体(Individual).例如上述的一批显像管寿命值的全体就组成一个总体，其中每一只显像管的寿命就是一个个体.要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的.例如，要研究显像管的寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得实验的所有结果，实用文档这批显像管也全烧毁了，我们只能从整批显像管中抽取一部份显像管做寿命试验，并记录其结果，然后根据这部份数据来推断整批显像管的寿命情况.由于显像管的寿命在随机抽样中是随机变量，为了便于数学上处理，我们将总体定义为随机变量.随机变量的分布称为总体分布.一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得的数据来推断总体的性质.被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本.所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察（即进行一次试验），并记录其结果.我们在相同的条件下对总体X进行n次重复的、独立的观察，将n次观察结果按试验的次序记为X1，X2，…，X n.由于X1，X2，…，X n是对随机变量X观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，于是我们引出以下的样本定义.定义6.1设总体X是具有分布函数F的随机变量，若X1，X2，…，X n是与X具有同一分布F（x），且相互独立的随机变量，则称X1，X2，…，X n为从总体X得到的容量为n的简单随机样本（Random sample），简称为样本.当n次观察一经完成，我们就得到一组实数x1，x2，…，x n.它们依次是随机变量X1，X2，…，X n的观察值，称为样本值.对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单样本，当总体中个体的总数N比要得N≥10时），在实际中可将不放回抽样近似地当作到的样本的容量n大得多时（一般当n放回抽样来处理.实用文档实用文档若X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，X 的分布函数为F （x ），则X 1，X 2，…，X n 的联合分布函数为F *（x 1，x 2，…，x n ）=∏=ni i x F 1)(.又若X 具有概率密度f ，则X 1，X 2，…，X n 的联合概率密度为f *（x 1，x 2，…，x n ）=∏=ni i x f 1)(.我们在搜集资料时，如果未经组织和整理，通常是没有什么价值的，为了把这些有差异的资料组织成有用的形式，我们应该编制频数表（即频数分布表）.例6.1 某工厂的劳资部门为了研究该厂工人的收入情况，首先收集了工人的工资资料，表6-1记录了该厂30名工人未经整理的工资数值：表6-1以下，我们以例6.1为例介绍频数分布表的制作方法.表6-1是30个工人月工资的原始资料，这些数据可以记为x1，x2，…，x30，对于这些观测数据，第一步确定最大值x max和最小值x min，根据表6-1，有x max=640，x min=420.第二步分组，即确定每一收入组的界限和组数，在实际工作中，第一组下限一般取一个小于x min的数，例如，我们取400，最后一组上限取一个大于x max的数，例如取650，然后从400元到650元分成相等的若干段，比如分成5段，每一段就对应于一个收入组.表6-1资料的频数分布表如表6-2所示.表6-2实用文档600~650230图6-1为了研究频数分布，我们可用图示法表示.直方图直方图是垂直条形图，条与条之间无间隔，用横轴上的点表示组限，纵轴上的单位数表示频数.与一个组对应的频数，用以组距为底的矩形（长条）的高度表示，表6-2资料的直方图如图6-1所示.上述方法我们对抽取数据加以整理，编制频数分布表，作直方图，画出频率分布曲线，这就可以直观地看到数据分布的情况，在什么范围，较大较小的各有多少，在哪些地方分布得比较集中，以及分布图形是否对称等等，所以，样本的频率分布是总体概率分布的近似.样本是总体的反映，但是样本所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题，而需要把样本所含的信息进行数学上的加工使其浓缩起来，从而解决我们的问题.针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断.定义6.2设X1，X2，…，X n是来自总体X的一个样本，g（X1，X2，…，X n）是X1,X2…，X n的函数，若g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…，X n）是一个统计量（Statistic）.实用文档实用文档设x 1，x 2，…，x n 是相应于样本X 1，X 2，…，X n 的样本值，则称g （x 1，x 2，…，x n ）是g （X 1，X 2，…，X n ）的观察值.下面我们定义一些常用的统计量.设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个样本，x 1，x 2，…，x n 是这一样本的观察值.定义样本平均值∑==ni i X n X 11；样本方差S 2=2221111()11n ni i i i X X X nX n n ==⎡⎤-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑； 样本标准差S =∑=--=n i iX X n S 122)(11； 样本k 阶（原点）矩A k =∑=n i ki X n 11，k =1，2，…；样本k 阶中心矩B k =∑=-ni k i X X n 1)(1，k =1，2，….它们的观察值分别为∑==ni i x n x 11；实用文档s 2=2221111()11n n i i i i x x x nx n n ==⎡⎤-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑ s =∑=--ni i x x n 12)(11； a k =∑=n i ki x n 11， k =1，2，…；b k =11()nk i i x x n =-∑， k =1，2，….这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k 阶矩、样本k 阶中心矩.第二节 抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的.本节介绍来自正态总体的几个常用的统计量的分布.1.χ2分布设X 1，X 2，…，X n 是来自总体N （0，1）的样本，则统计量2χ=X 12+X 22+…+X n 2所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布（2χdistribution ），记为2χ~)(2n χ.实用文档)(2n χ分布的概率密度函数为f （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>--.,0,0,)2(212122其他y y n y n n e Γf （y ）的图形如图62所示.图622χ分布具有以下性质：（1） 如果21χ~)(12n χ，22χ~)(22n χ，且它们相互独立，则有)(~2122221n n ++χχχ.这一性质称为2χ分布的可加性. （2） 如果2χ~)(2n χ，则有E （2χ）=n ，D （2χ）=2n .证 只证(2)因为X i ~N （0，1）故E （X i 2）=D （X i ）=1，D （X i 2）=E （X i 4）E （X i 2）]2=31=2，i =1，2，…，n .于是,)()()(12122n X E X E E ni i ni i ===∑∑==χ图63.2)()()(12122n X D X D D ni i n i i ===∑∑==χ对于给定的正数α，0＜α＜1，称满足条件实用文档{}⎰∞==>)(222)()(n y y f n P αχααχχd的点)(2n αχ为)(2n χ分布的上α分位点（Percentile of α），如图63所示，对于不同的α，n ，上α分位点的值已制成表格，可以查用（见附表），例如对于α=0.05,n =16,查附表得)16(205.0χ=26.296.但该表只详列到n =45为止.当n >45时,近似地有)(2n αχ≈2)12(21-+n z α，其中z α是标准正态分布的上α分位点.例如)50(205.0χ≈12(1.645+99)2=67.221.2.t 分布设X ~N （0，1），Y ~2()n χ，并且X ，Y 独立，则称随机变量t =nYX服从自由度为n 的t 分布（t distribution ），记为t ~t （n ）.t （n ）分布的概率密度函数为h （t ）=[]2/)1(21)2/(2/)1(+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n n t n n n ΓΓπ， ∞＜t ＜∞.（证略）. 图64中画出了当n =1，10时h （t ）的图形.h （t ）的图形关于t =0对称，当n充分大时其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.但对于较小的n ，t 分布与N （0，1）分布相差很大（见附表）.实用文档图6 4 图65对于给定的α，0＜α＜1，称满足条件P （t ＞t α（n ））=⎰∞)()(n t t t h αd =α的点t α（n ）为t （n ）分布的上α分位点（见图65）.由t 分布的上α分位点的定义及h （t ）图形的对称性知t 1α（n ）=t α（n ）.t 分布的上α分位点可从附表查得.在n ＞45时，就用正态分布近似：t α（n ）≈z α.3.F 分布设U ~)(12n χ，V ~)(22n χ，且U ，V 独立，则称随机变量F =21//n V n U 服从自由度为（n 1，n 2）的F 分布（F distribution ），记F ~F （n 1，n 2）.F （n 1，n 2）分布的概率密度为[][]⎪⎩⎪⎨⎧>++=+-.,0,0,)/(1)2/()2/()/(2/)()(2/)(21211)2/(2/21212111其他y n y n n n y n n n n y n n n n ΓΓΓψ (证略).实用文档)(y ψ的图形如图66所示.图6 6 图67F 分布经常被用来对两个样本方差进行比较.它是方差分析的一个基本分布，也被用于回归分析中的显著性检验.对于给定的α，0＜α＜1，称满足条件P {F ＞F α（n 1，n 2）}=⎰∞),(21)(n n F y y αψd =α的点F α（n 1，n 2）为F （n 1，n 2）分布的上α分位点（图67）.F 分布的上α分位点有表格可查（见附表）.F 分布的上α分位点有如下的性质：F 1α（n 1，n 2）=),(112n n F α.这个性质常用来求F 分布表中没有包括的数值.例如由附表查得F 0.05(9,12)=2.80，则可利用上述性质求得F 0.95(12,9)=1/F 0.05(9,12)=12.80=0.357. 4.正态总体的样本均值与样本方差的分布设正态总体的均值为μ，方差为σ2，X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体X 的一个简单实用文档样本，则总有E （X ）=μ， D （X ）=σ2/n ，X ~N （μ，σ2/n ）.对于正态总体N (μ,σ2）的样本方差S 2， 我们有以下的性质.定理6.1 设X 1，X 2，…，X n 是总体N （μ，σ2）的样本，X ，S 2分别是样本均值和样本方差，则有（1）)1(~)1(222--n S n χσ；（2）X 与S 2独立. （证略）.定理6.2 设X 1，X 2，…，X n 是总体N （μ，σ2）的样本，X ，S 2分别是样本均值和样本方差，则有)1(~/--n t nS X μ.证 因为)1,0(~/N nX σμ-，)1(~)1(222--n S n χσ且两者独立，由t 分布的定义知实用文档)1(~)1()1(//22----n t n S n nX σσμ. 化简上式左边，即得)1(~/--n t nS X μ.定理6.3 设X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n X 分别是来自具有相同方差的两正态总体N （μ1，σ2），N （μ2，σ2）的样本，且这两个样本相互独立.设∑==1111n i i X n X ，∑==2121n i i Y n Y 分别是这两个样本的均值.S 12=∑=--1121)(11n i i X X n ，S 22=∑=--2122)(11n i i Y Y n 分别是这两个样本的样本方差，则有：)2(~/1/1)()(212121-++---n n t n n S Y X W μμ，其中 S W 2=)2()1()1(21222211-+-+-n n S n S n .（证略）.本节所介绍的三个分布以及三个定理,在下面各章中都起着重要的作用.应注意，它们都是在总体为正态总体这一基本假定下得到的.例6.2 设总体X 服从正态分布N （62，100），为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解 设需要样本容量为n ，则)1,0(~/N n X nX ⋅-=-σμσμ，实用文档P （X ＞60）=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅->⋅-n n X P 1062601062.查标准正态分布表，得Φ（1.64）≈0.95.所以0.2n ≥1.64,n ≥67.24.故样本容量至少应取68.小 结在数理统计中往往研究有关对象的某一项数量指标，对这一数量指标进行试验和观察，将试验的全部可能的观察值称为总体，每个观察值称为个体.总体中的每一个个体是某一随机变量X 的值，因此一个总体对应于一个随机变量X ，我们笼统称为总体X .随机变量X 服从什么分布就称总体服从什么分布.若X 1，X 2，…，X n 是相同条件下，对总体X 进行n 次重复独立的观察所得到的n 个结果，称随机变量X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，它具有两条性质.1.X 1，X 2，…，X n 都与总体具有相同的分布；2.X 1，X 2，…，X n 相互独立.我们就是利用来自样本的信息推断总体，得到有关总体分布的种种结论.完全由样本X 1，X 2，…，X n 所确定的函数g =g (X 1,X 2,…,X n )称为统计量，统计量是一个随机变量.它是统计推断的一个重要工具.在数理统计中的地位相当重要，相当于随机变量在概率论中的地位.实用文档样本均值 ∑==ni i X n X 11和样本方差 S 2=∑=--n k k X X n 12)(11是两个最重要的统计量，统计量的分布称为抽样分布，读者需要掌握统计学中三大抽样分布：2χ分布，t 分布，F 分布.读者学习后续内容还需要掌握以下重要结果：1.设总体X 的一个样本为X 1，X 2，…，X n .且X 的均值和方差存在. 记μ=EX ,σ2=DX .则E （X ）=μ, D (X )=σ2/n , ES 2=σ2.2.设总体X~N （μ,σ2）,X1,X2,…,Xn 是X 的一个样本，则 （1） X ~N （μ,σ2/n ）； (2))1(~)1(222--n S n χσ；(3) X 和S 2相互独立； （4）)1(~/--n t nS X μ.3.定理6.3的结果. 重要术语及主题总体 样本 统计量实用文档2χ分布、t 分布、F 分布的定义及它们的密度函数图形上的α分位点.习 题 六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2)内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）.4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5实用文档服从何种分布？7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . （2001研考）9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . (2004研考) 10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY . （2001研考）11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求ES 2. (2006研考)。
大学课件概率论第6章数理统计的基本概念
=
(n
n! k )!(k
1)
[ !
FX
( x)]k 1[1
FX
( x)]nk
fX
( x)x,
故有
f X(k )
(x)
n! (n k)!(k
1)![FX
( x)]k 1[1
FX
( x)]nk
fX
(x).
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布
2
n 2
1
n 2
x
n 1 x
2 e2
,
0,
x0 x0
其中Gamma函数 Γ(x) 通过下面积分定义
(x) ett x1dt, x 0 0
(x 1) x(x),
(n 1) n!,
(1) 1,
1 2
π
一般的，若X的分布密度函数为
fX
(x)
(
)
x 1ex
0
x0 其他
则称X服从参数为 α>0和λ>0的Γ分布，记为X~ Γ(α, λ)。 Γ分布的数学期望和方差为
1)
[ !
FX
(x)]k1[1 FX
( x)]nk
fX
(x)
其中k 1, 2,..., n. 特别地，有 fX(1) (x) n[1 FX (x)]n1 fX (x), fX(n) (x) n[FX (x)]n1 fX (x).
证明： x(k)落在[x, x x]这个区间的概率近似为
f X(k) (x)x Cn1Cnk11[FX (x)]k1[1 FX (x x)]nk f X (x)x
概率论与数理统计 1-6
第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。
概率论与数理统计第六章
类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若 关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分 别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机 变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示。
3. 样本
总体分布一般是未知, 或只知道是包含未知参数的 分布, 为推断总体分布及各种特征, 按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验, 以获得有关总 体的信息 , 这一抽取过程称为 “抽样”, 所抽取的 部分个体称为样本。 样本中所包含的个体数目称为 样本容量。
总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料—样本值，去推断总体 的情况---总体分布F(x)的性质。 样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本 取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断分布函数
统计三大抽样分布
正态总体的样本均值
•
计算机科学学院
•
裘国永
第六章
样本及抽样分布
引言 随机样本 抽样分布
引言
本章转入课程的第二部分 数理统计
概率论是数理统计的理论基础,数理统计是概率论 的重要应用。 数理统计是以概率论的理论为基础、通过试验所得 数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛， 内容丰富。
从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、 户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早 就开始了统计的工作。但是当时的统计，只是 对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定 理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的 推断。
它反映了总体k 阶矩的信息
3.样本k阶原点矩
1 n k Ak X i , n i 1
k 1, 2,
4.样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k , n i 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随着现代文明的发展，统计学应运而生，统计学 作为一门系统的科学，距今只有300多年的历史。 作为 门系 的科学 今 有 多年的历史
LOGO
第一时期
FOREWORD
第二时期（1915-1928） 推断统计
• 代表人物： • 英国酿酒师，医生，化学家 英国酿酒师 医生 化学家 戈塞特(William Gosset) • 英国中学教师，生物学家 英国中学教师 生物学家 费雪（Ronald Aylmer Fisher）
LOGO
LOGO
第三时期（1929-1939）经典统计学V.S.贝叶斯统计学
• 代表人物 代表人物：内曼（Jerzy 内曼（J Neyman），伊根．皮尔逊（ N ） 伊根 皮尔逊（ Egon Pearson） • 主要工作：介绍和强调诸如检验问题中的第二类错误 ，检验的势（power）和置信区间等的概念.
LOGO
机率理论告诉我们，如果统计分析是遵循该有的程序 ，则长期下来，犯错次数的比例，差不多就是所设定的 犯错机率，乃可容忍。 分析过程中，若有偏差，则即使工程再浩大，得到的 结论，不但无法取信真正的专家，被当成谎言不说，有 时还给自己制造出极不利的后果。
LOGO
统计学究竟在做什么？
统计学能做什么？
数学基础课
前言 FOREWORD
许述文 副教授
最早的统计• 数数
妈妈，今天我一共吃了 五棵青菜，两个萝卜！
概率论与数理统计
雷达信号处理国家重点实验室 许述文作品
LOGO
过渡页
TRANSITION PAGE
萌芽篇
•
FOREWORD
原始社会：结绳记事，掷石数羊，等简单的计数.
第一部分 《易·系辞下》: “上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”
LOGO
LOGO
统计学究竟在做什么？
统计学究竟在做什么？
• 统计学所得到之结论并非绝对准确，可以有少 数例外，例如：「多运动，身体才会健康」的 结论就不一定百分之百正确，因为对大多数人 而言，以上之结论虽然正确，但是有少数人虽 然很少运动，身体也很健康；甚至于还有少数 人虽然时常运动，身体也不健康。 • 纯粹的数学公式或定律以及其所推导的结论则 一定正确。例如几何学的勾股定理：「如果a 、b、c分别是直角三角形的两边与斜边长度， 则a2+b2=c2」的性质，无论在何种情况，一定 完全正确。
LOGO
LOGO
统计学究竟在做什么？
统计学究竟在做什么？ 一个故事
• 统计的结论要有价值，其中每一程序，从 设计，取样到分析，都要尽量客观。 • 统计学家会犯错，因所有保证都是机率式 的，并附带一定的犯错机率。决策若不愿 犯错，后果不见得就好。
LOGO
LOGO
统计学究竟在做什么？ 一个故事
据中国日报网消息 意大利拉奎拉地震已经过去了3年 多，但当地7名专家的命运却仍然受到国际科学界的高度 关 关注。意大利检方认为，这7名科学家未能准确预测这次 意大 检 为 名科学家未能准确 测 地震的发生，导致大量人员伤亡和财产损失，因此犯有过 失杀人罪 应被判处4年监禁 失杀人罪，应被判处4年监禁。 意大利当局的审判引起了巨大争议。2011年，全球 5000多名科学家联名发表了一封致意大利总统乔治·纳波 多 科学家联 表了 封 意 利 乔治 纳 利塔诺的公开信，对这场审判予以批驳。同时，美国科学 促进会也对此表示关注，称对这7名科学家的指控“没有 必要”。 要”
LOGO
• • • • • •
善用信息 了解变异 相信机率 合理估计 无罪推定 纸上谈兵
LOGO
过渡页
TRANSITION PAGE
数理统计的知识点概括
• Example x p in Practice
第而部分
数理统计的知识点
抽样技术 参数估计 假设检验 方差分析 回归分析
• 香港大学民意研究计划成立于1991年6月, 现时隶属 香港大学社会科学学院 由钟庭耀博士负责 旨在为 香港大学社会科学学院，由钟庭耀博士负责，旨在为 学术界、新闻界、决策人员及社会人士提供有用的民 意数据 服务社会 意数据,服务社会. 民研计划自1992年12月开始，便定期调查香港市民对 两岸三地政府的信任程度、及对前途的信心程度的意 见，作为国家民族意见调查系列的一部分，18年来没 有改变. 现在我们以该中心在2010年12月14日发布的 调查结果，来了解一下统计的5个组成部分.
LOGO
LOGO
抽样技术
• 特区政府统计处资料显示，截至 2010年年中，香港特区人口数目 706.12万. (.hk/hong_kong _statistics) • 如何从这超过700万个选民中选取 1000个样本，使这样本可以在某种 程度上反映总体的信息？ • 调查方案设计，问卷设计
统计学的发展简史
萌芽时期 第一时期：描述性统计 第二时期：推断统计 第三时期：经典统计学VS贝叶斯统计学 第四时期：贝叶斯统计学
•
《易九家言》： “事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡”
LOGO
LOGO
萌芽篇
FOREWORD
萌芽篇
FOREWORD
奴隶社会 在征兵、徭役、征税，等社会活动中，开始 了对人口 土地和财产的统计活动 出现了调查 登记 了对人口、土地和财产的统计活动，出现了调查、登记、 简单计数及加总这些统计的内容.
LOGO
LOGO
第四时期（1940至今）
贝叶斯统计学
现代统计学
统计方法是建立在现代科学方法之上，由统计学理论指 导的数据收集 表达和分析的方法 导的数据收集、表达和分析的方法。 计算机和统计软件的出现，使统计学得到了突飞猛进的 发展。 统计软件如SAS、SPSS、Excel 、S‐plus 、 Stata 、 Minitab 、 Statistica 、Eviews 、PEMS、Matlab、马克威软件 、马克威软件…… 新的思潮和处理手段：大数据、云计算等等
• 经典统计学、贝叶斯统计学、信念统计学之间的争论 ，仍然处于一种胶着状态，每一种理论都有自身的长 处和不足，很难断言哪一种统计思想就一定能取代另 一种统计思想.
LOGO
LOGO
现代统计学
• 统计变得越来越数学化了。 • 电子计算机已经带来了巨大的变化。 • 模型在统计和科学工作中的作用现已被广泛承认 。 • 许多新的分支或专门化和应用已经被发展了：决策论 ，时间序列，多元分析，经济计量学，博奕论，临床 试验，非参数推断，序贯分析，数学生物分类学，及 可靠性。数量统计及其应用正在继续发展和扩大。
统计学能做什么？
统计数据常附有正负误差范围，所以在观看这些数据时， 必须加以考虑进来 • 范例：「A频道收视率为20%，B频道收视率为18%，C频道 收视率只有6%。如果上述统计的误差皆为正负5%，那么是 否实际收看A频道的人会比看B频道或看C频道的人多？」 • 实际上，如果考虑正负误差范围，A频道的实际收视率在 15%—25%之间，B频道的实际收视率为13%—23%之间，C频 道的实际收视率为1%—11%之间，所以实际收看A频道的人 不一定会比B频道的人多，但高于C频道的人。
LOGO
参数估计
• 怎样从这1000个左右的数据来估计超过700万香 港特区居民对特首的支持度？ （点估计） • 用1000个左右的数据来估计超过700万的总体信 息，必然会产生误差. 息，必然会产 误差 如何给出误差的范围， 何给出误差的范围， 以及此误差范围的可信程度？ （区间估计）
LOGO
假设检验
统计学究竟在做什么？ 一个故事
这7名地质学家和火山学家均是一个自然灾害特别委员会的成员。 在拉奎拉地震发生6天前，该委员会就拉奎拉是否会发生大地震召 开了紧急会议。科学家们当时得出的结论是，目前无法判断这些 小型地震后是否会发生大地震。意大利检方认为，这些地震专家 在会议之后的建议性言论打消了人们对地震的担忧 检察官认为 在会议之后的建议性言论打消了人们对地震的担忧。检察官认为 专家们应该给出更明确的信息，让民众去判断威胁的严重程度， 决定是否要离开。
LOGO
推荐阅读（科普书籍）
纳特•西尔弗 尔弗 (Nate ( Silver) ) (作者), 中信出版社; 第1版 (2013年9月10日)
LOGO
推荐阅读（科普书籍）
统计学究竟在做什么？
统计是倚天剑？
• 统计的判定， 统计的判定 • 是否一出手， • 就令人臣服？
冯启思 (Kaiser Fung) (作者) ), 曲玉彬 (译者) 中国人民大学出版社; 第1版 (2013年9月1日)
LOGO
统计学能做什么？
• • • • • • 很少经由统计去证明那件事必是对的。 探索真相？ 真相留给上帝！ 在随机世界，真相常难以大白。 一切都是假设，只看你接受那一个。 接受或拒绝，采类似刑事诉讼法第12条 无罪推定的精神。
统计学能做什么？
因而发展出统计学里所着重的几项要点：
• 统计方法，常对应人们的某种思维。 统计方法 常对应人们的某种思维 • 机率及误差，构成统计思维之两大支柱。
LOGO
统计学能做什么？
一般的算命理论大多来自古代人的统计结论，但是缺乏实际 数据，而且大多是统计相关而非因果相关的结论 • 星座理论：「处女座的人做事较龟毛（做事拖拖拉拉 ，犹豫不决）」。此命题说明可能有很多个处女座人 士很龟毛，但是究竟有多少百分比的处女座人士很龟 毛？从古至今的星座算命书籍并未有确切的统计数据 留下来，而且处女座并非导致龟毛的原因，所以二者 并非因果相关 而是统计相关 并非因果相关，而是统计相关。
封建社会 这个时期，是所有的科学发展的最黑暗的时期，统 计学亦几乎没有任何的发展.
例如：据晋皇甫谧 （ 公 元 215—282 年 ） 《帝王世纪丛书》 记载，我国早在四 千多年前的夏朝， 为了治国治水的需 要，就进行了初步 的国情统计：全国 分为 9 个州，人口为 1355 万 人 ， 土 地 为 万顷 2438万顷。