(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.1 集合的含义与表示学案1 新人教A版必修5

1.1.1 集合的含义与表示（一）
1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．
2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．
1．元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练
集合的概念
【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．
解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”
不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能
构成集合．
规律方法 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任
何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、
无序性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A ．高个子的人
B ．很大的数
C ．聪明的人
D ．小于3的实数
答案 D
集合中元素的特性
【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2
＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .
分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．
解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，
∴a ＝－1或a ＝－32
.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．
当a ＝－32时，a －2＝－72
，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32
. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合
中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后
的学习中熟练掌握．
变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m
的值．
解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.
若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3. m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，
∴m 只能取3.
元素与集合的关系
【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．
分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A中的元素．
解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－22，
所以6－22是集合A中的元素．
规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断1
2－3
是不是集合A中的元素．
解∵
1
2－3
＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z，
∴2＋3∈A，即1
2－3
∈A.
1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．
课时作业
一、选择题
1．下列几组对象可以构成集合的是( )
A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人
C．某校高一所有聪明的同学 D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
答案 D
2．下列四个说法中正确的个数是( )
①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；
③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
A ．0
B ． 1
C ．2
D ．3
答案 A
3．由a 2
，2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )
A ．1
B ．－2
C ．6
D ．2
答案 C
解析 验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
4．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 答案 D
解析 由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等． 5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz
的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )
A ．0∉M
B ．2∈M
C ．－4∉M
D ．4∈M
答案 D
解析 分类讨论：x 、y 、z 中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M .
二、填空题
6．用“∈”或“∉”填空
(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ；(4)－12
______R ；(5)1______N *；(6)0________N .
答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈
7．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．
答案 1
解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；
当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；
当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；
当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；
综上可知，A 中只有一个孤立元素5.
8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生． 答案 ①④⑤
三、解答题
9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .
解 当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，
则x ＝－2或x ＝1.
经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．
当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.
经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．
∴x ＝－3或x ＝2.
10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；
当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；
当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
【探究驿站】
11．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a
∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；
(2)集合A 不可能是单元素集．
证明 (1)若a ∈A ，则11－a
∈A . 又∵2∈A ，∴11－2
＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－ －1 ＝12
∈A . ∵12∈A ，∴11－12
＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12
. (2)若A 为单元素集，则a ＝
11－a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．
∴a ≠11－a
，∴A 不可能为单元素集．。