2019届人教B版(理科数学) 2.10 导数的概念及运算 单元测试

1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝e x D．y＝x3答案 A解析设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y ＝f(x)＝sin x的导函数为f′(x)＝cos x，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sin x具有T性质；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝1x，则f′(x1)·f′(x2)＝1x1x2>0，故函数y＝ln x不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝e x，则f′(x1)·f′(x2)＝e x1＋x2>0，故函数y＝e x不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9x21 x22≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.2．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝2f(2－x)－x2＋5x－5，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝x B．y＝－2x＋3C．y＝－3x＋4 D．y＝x－2答案 A解析∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋5x－5，∴f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋5.令x＝1，则f(1)＝2f(1)－1＋5－5，∴f(1)＝1.f′(1)＝－2f′(1)－2＋5，∴f′(1)＝1.∴切线方程为y＝x.故选A.3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln 2解析 直线y ＝ x ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x＋1)得y ′＝1x ＋1，∴ ＝1x 1＝1x 2＋1， ∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln ＋2，y 2＝－ln .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ， ∵A 、B 在直线y ＝ x ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2. 4．(2014·江西高考)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2)解析[基础送分提速狂刷练一、选择题1．曲线y ＝lg x 在x ＝1处的切线的斜率是( )A.1ln 10 B ．ln 10 C ．ln e D.1ln e答案 A解析因为y′＝1x·ln 10，所以y′|x＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A.2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值答案 C解析由于f′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；当x∈(4,5)时函数递增，故C正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是()答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1，切线的斜率 ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B 符合．4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6答案 B解析 由导数的几何意义， ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x ＋x答案 C 解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x ＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝ x ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得a >0，b >0，则－b 2a <0，4ac －b 24a ＝－b 24a <0，则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，－b 24a 在第三象限，故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164答案 C解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，则 ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a＝0，解得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且 ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又 ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍)，即 ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧ y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14x ＋a ＝0，由Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164，综上，a ＝1或a ＝164，故选C.二、填空题11．(2017·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是________．答案 －34解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，即3cos x ＝sin x ，∴tan x ＝3，则tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝61－9＝－34. 12．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________．答案 ln 2解析 函数f (x )＝e x＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －a e x .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x－a e x ＝－(e －x －a e x )，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2. 13．(2018·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，则不等式f (x )＜x ＋12的解集为________．答案 (－∞，1)解析 据已知f ′(x )＞12，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－12x 在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ，化简得f (x )－12x ＜12，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．14．(2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率 2＝a －2sin x 2.由题设可知 1· 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2 ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题15．(2017·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16．(2018·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132. ∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是y －132＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0.(2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5，∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点， ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点，易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3， 当x <0或x >3时，g ′(x )>0，当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5，g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.。