高二数学苏教版选修2-2精编讲义：第2章 2.2 2.2.2 间接证明 Word版含解析

2．2.2 间 接 证 明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？ 提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法 (1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：导致逻辑矛盾“若p 则q ”为真 (2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[对应学生用书P30][例1]锐角三角形．[思路点拨]本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通](1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2]求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨]“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通]证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例3]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨]本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析]假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．[一点通](1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0， ∴(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞14＝12. 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根， 设α，β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数， 所以f (α)<f (β)． 这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间 [a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形 (1)一些基本命题、基本定理； (2)易导出与已知矛盾的命题； (3)“否定性”命题； (4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题； (6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题． 2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．[对应学生用书P32]一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab 中至多有一个小于2”的反设为________．答案：1＋b a ，1＋ab都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根1． 用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 ____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________． 解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”． 答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b <12，－12<4＋2a ＋b <12，－12<9＋3a ＋b <12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b <－12， ①－92<2a ＋b <－72， ②－192<3a ＋b <－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。