【全国百强校】北京大学附中2019届高三高考4月模拟试卷(六)数学(文科)试题(解析版)
北京大学附属中学2019年高三下文科数学练习卷(4月23日)
北京大学附属中学2019年高三下文科数学练习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|320}A x x =∈+>R ,2{|230}B x x x =∈-->R ,则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2.若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩,是奇函数,则1()2f -=（A）（B（C ）29-（D ）293.已知平面向量,a b 满足||3,||2a b ==,a 与b 的夹角为120,若(+)a mb a ⊥,则实数m 的值为（A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）34.若某多面体的三视图（单位:cm ）如图所示,则此多面体的体积是（A ）378cm（B ）323cm（C ）356cm（D ）312cm5.若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是（A ）z 1·z 2是实数 （B ）z 1z 2是纯虚数（C ）||z 41＝2||z 22（D ）z 21＋z 22＝4i6.若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是 （A ）(1，＋∞) （B ）⎝⎛⎭⎫0，13∪(1，＋∞) （C ）⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)（D ）(0,1)∪()4，＋∞7. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 （A ）2 （B ）4 （C）（D）8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为______.10.圆心为(1,0),且与直线1y x =+相切的圆的方程是______.11.已知实数,x y 满足1010,1x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个,则m 的值为______.12.在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55,则sin θ=______,tan2θ=______.13.已知点(,0),(,0)(0)A a B a a ->，若圆22(2)(2)2x y -+-=上存在点C 使得90ACB ∠=°，则a 的最大为____.14.如果函数()f x 满足：对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 在下列函数：①()2f x x =②()+1f x x =③2()f x x =④()2x f x =⑤()ln f x x = 中所有“保等比数列函数”的序号为____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17．（本小题满分13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80.（Ⅰ）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（Ⅱ）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（Ⅲ）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数)．18.（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线与x 轴相切，求的值； （Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．()ln f x x x a =-+a ∈R ()y f x =a ln2e a =()f x x ≤2()()=f x g x x(1,e)a19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.20．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥ （Ⅰ）求证：//AB PCD 平面 （Ⅱ）求证：AD PCD ⊥平面（Ⅲ）若点M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9.(0,1) 10 .22(1)2x y -+= 11.1 12.45;247-13. 14.①③三．解答题15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤. 当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. 16．（共13分）解：（Ⅰ）因为21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……………….2分所以11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……………….4分从而32n a n =-. ………………6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ………………8分 所以121,4.b q =⎧⎨=⎩………………10分 所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ………………11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==-. ………………13分（17）（共13分）解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 理科同学成绩的平均数x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85， 方差是s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同学成绩的平均数x2＝18×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是s 22＝18×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于x 1>x 2，s 21<s 22，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A ，B ，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a ，b ，c ，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa ，ABb ，ABc ，Aab ，Aac ，Abc ，Bab ，Bac ，Bbc ，abc .其中全是文科组同学的情况只有1种是abc ，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则P (M )＝1－110＝910.18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得， ……………… 1分 因为曲线与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，……………… 2分 由，解得，又由曲线与x 轴相切，得， 解得.……………… 3分（Ⅱ）由题意，，令函数， ……………… 4分 求导，得， 由，解得， 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：11()1-'=-=xf x x x()y f x =()0'=f x 1=x ()y f x =(1)10f a =-+=1=a ()ln ln 2e f x x x =-+()()ln 2ln 2e F x f x x x x =-=-+112()2-'=-=xF x x x()0'=F x 12=x ()'F x ()F x所以函数在上单调递增，在上单调递减， ……………… 6分 故当时，，所以任给，，即. ……………… 7分 （Ⅲ）由题意，得， 求导，得， 因为，所以与的正负号相同.…… 8分 对求导，得， 由，解得. 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，所以；. ……………… 10分()F x 1(0,)21(,)2+∞12=x max 11()()ln 1ln 2022F x F ==-+=e (0,)∈+∞x ()()0F x f x x =-≤()f x x ≤22()ln ()-+==f x x x ag x x x 32ln 12()-+-'=x x ag x x(1,e)x ∈()g x '()2ln 12h x x x a =-+-()h x 22()1-'=-=x h x x x()0'=h x 2=x ()h x '()h x ()h x (1,2)(2,e)(1)22h a =-(e)e 12h a =--min ()(2)32ln 22h x h a ==--max ()(1)22h x h a ==-如果函数在区间上单调递增，则当时，. 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，即当函数在区间上单调递增时，； ○1………… 11分 如果函数在区间上单调递减，则当时，， 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，所以当函数在区间上单调递减时，. ○2………… 12分 因为函数在区间上不是单调函数， 结合○1○2，可得，所以实数的取值范围是.……………… 13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≥'g x ()0h x ≥(1,e)min 0()(2)32ln 22h x h a ==--≥3ln 22≤-a 3ln 22=-a ()0g x '=()g x (1,)e 3ln 22≤-a 2()()=f xg x x (1,e)(1,e)x ∈()0≤'g x ()0h x ≤(1,e)max 0()(1)22h x h a ==-≤1≥a 1=a ()0g x '=()g x (1,)e 1≥a 2()()=f xg x x (1,e)3ln 212-<<a a 3ln 212-<<a由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)Ex k y x +-=. 由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+. ()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．证明：（Ⅰ）因为AB CDCD⊂平面PCDAB⊄平面PCD所以AB平面PCD（Ⅱ）法一：因为平面ABCD⊥平面PCD平面ABCD平面PCD CD=AD⊥CD,AD⊂平面ABCD所以AD⊥平面PCD法二：在平面PCD中过点D作DH CD⊥，交PC于H 因为平面ABCD⊥平面PCD平面ABCD平面PCD CD=DH⊂平面PCD所以DH⊥平面ABCD因为AD⊂平面ABCD所以DH AD⊥又AD PC=⊥，PC DH H所以AD⊥平面PCD（Ⅲ）法一：假设存在棱BC 上点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C 即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法二：假设存在棱BC 上点F ，使得MFPC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点在同一个平面α中 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面ABCD ，且P ∈α 这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证。
2019年北京大学附中高考数学模拟试卷及参考答案(文科)(4月份)
2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．{x∈R|x＜﹣1}B．C．D．{x∈R|x＞3}2．（5分）若函数是奇函数，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知平面向量，满足||＝3，||＝2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为（）A．1B．C．2D．34．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm35．（5分）若复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数B．是纯虚数C．|z|＝2|z2|2D．z＝4i6．（5分）若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（4，+∞））7．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为（）A．2B．4C．D．8．（5分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）抛物线x2＝4y的焦点到双曲线x2的渐近线的距离为．10．（5分）圆心为（1，0），且与直线y＝x+1相切的圆的方程是．11．（5分）已知实数x，y满足，若z＝mx+y（m＞0）取得最小值的最优解有无数多个，则m的值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点，则sinθ＝，tan2θ＝．13．（5分）已知点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2上存在点C使得∠ACB＝90°，则a的最大为．14．（5分）如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．在下列函数：①f（x）＝2x②f（x）＝x+1③f（x）＝x2④f（x）＝2x⑤f（x）＝ln|x|中所有“保等比数列函数”的序号为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cos x，求函数g（x）在区间上的最小值．16．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．17．（13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a＝ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．19．（14分）过椭圆W：＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|＝|F1G|．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）若点M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．{x∈R|x＜﹣1}B．C．D．{x∈R|x＞3}【解答】解：，B＝{x∈R|x＜﹣1，或x＞3}；∴A∩B＝{x∈R|x＞3}．故选：D．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2．（5分）若函数是奇函数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵x＞0时，，且f（x）为奇函数；∴．故选：A．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，分段函数的概念．3．（5分）已知平面向量，满足||＝3，||＝2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为（）A．1B．C．2D．3【解答】解：∵||＝3，||＝2，与的夹角为120°，∴＝cos120°＝＝﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•＝＝32﹣3m＝0，解得m＝3．故选：D．【点评】本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长度，本题是一个基础题．5．（5分）若复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数B．是纯虚数C．|z|＝2|z2|2D．z＝4i【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝1﹣i，∴z1•z2＝1﹣i2＝2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6．（5分）若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（4，+∞））【解答】解：若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，即8x＝log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无解，则函数f（x）＝8x与h（x）＝log a x2＝2log a x，（a＞0且a≠1）在区间（0，]上没有交点，则当a＞1时，h（x）为增函数，此时两个函数在（0，]上没有交点，满足条件，当0＜a＜1时，当x＝时，f（）＝＝2，即A（，2），要使两个函数在（0，]上没有交点，则只需要当x＝时，h（）＞f（）＝2即可，此时2log a＞2，得log a＞1，得log a＞log a a，则＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，即实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件转化为两个函数图象没有交点以及利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为（）A．2B．4C．D．【解答】解：曲线|y|＝2﹣x2，等价于，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为：4．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．8．（5分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A不成立，B选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．【点评】本题考查了逻辑推理问题，关键掌握题干的意义，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）抛物线x2＝4y的焦点到双曲线x2的渐近线的距离为．【解答】解：抛物线的交点为F（0，1），双曲线x2的一条渐近线方程为：y＝x，即x﹣y＝0，∴F到渐近线的距离为d＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，距离公式应用，属于中档题．10．（5分）圆心为（1，0），且与直线y＝x+1相切的圆的方程是（x﹣1）2+y2＝2．【解答】解：圆的半径为点（1，0）到直线直线y＝x+1的距离，即r＝＝，故圆的方程为（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，圆的标准方程，求出半径，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）已知实数x，y满足，若z＝mx+y（m＞0）取得最小值的最优解有无数多个，则m的值为1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝mx+y（m＞0）得y＝﹣mx+z，∵m＞0，∴目标函数的斜率k＝﹣m＜0．平移直线y＝﹣mx+z，由图象可知当直线y＝﹣mx+z和直线x+y+1＝0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点，则sinθ＝，tan2θ＝﹣．【解答】解：∵以Ox为始边的角θ的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝1，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝﹣，故答案为：；﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于基础题．13．（5分）已知点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2上存在点C使得∠ACB＝90°，则a的最大为．【解答】解：设C（2+cosα，2+sinα），∴＝（2++a，2+sinα），＝（2+﹣a，2+sinα），∵∠ACB＝90°，∴•＝（2+cosα）2﹣a2+（2+sinα）2＝0，∴a2＝10+4（sinα+cosα）＝10+8sin（α+）≤10+8＝18，（sin（α+）＝1时取等），∴0＜a≤3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．14．（5分）如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．在下列函数：①f（x）＝2x②f（x）＝x+1③f（x）＝x2④f（x）＝2x⑤f（x）＝ln|x|中所有“保等比数列函数”的序号为①③．【解答】解：由等比数列性质知a n•a n+2＝，对于①，f（a n）•f（a n+2）＝2a n•2a n+2＝＝f2（a n+1），∴①正确；对于②，f（a n）•f（a n+2）＝（a n+1）•（a n+2+1）＝a n•a n+2+（a n+a n+2）+1＝+1+（a n+a n+2）≠f2（a n+1），∴②错误；对于③，f（a n）•f（a n+2）＝•＝＝f2（a n+1），∴③正确；对于④，f（a n）•f（a n+2）＝•＝≠＝f2（a n+1），④错误；对于⑤，f（a n）•f（a n+2）＝ln|a n|•ln|a n+2|≠ln||＝f2（a n+1），⑤错误；综上，正确的命题序号为①③．故答案为：①③．【点评】本题考查了等比数列性质及应用问题，也考查了新定义的应用问题，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cos x，求函数g（x）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图可得A＝1，，所以T＝2π，ω＝1．当时，f（x）＝1，可得，∵，∴．∴．（Ⅱ）∵＝．∵，∴．当，即x＝0时，g（x）有最小值为．【点评】本题主要考查了由函数的图象求解正弦函数的解析式，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质并能灵活应用．16．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．∴，解得a1＝1，d＝3，∴数列{a n}的通项公式a n＝3n﹣2．（Ⅱ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．∴，解得＝4，∴b2n﹣1＝＝（q2）n﹣1＝4n﹣1，∴b1+b3+b5+…+b2n﹣1＝＝．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．17．（13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．【解答】解：（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；（2）计算理科同学成绩的平均数是＝×（79+79+81+81+85+89+92+94）＝85，方差是＝×[（79﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（81﹣85）2+（85﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2+（94﹣85）2]＝31.25；计算文科同学成绩的平均数是＝×（73+80+80+81+84+90+90+94）＝84，方差是＝×[（73﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（81﹣84）2+（84﹣84）2+（90﹣84）2+（90﹣84）2+（94﹣84）2]＝41.75；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；（3）成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A、B，文科有3人，记为c、d、e；从中随机抽出3人，基本事件为ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde 共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共9种，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差、概率的计算问题，是基础题．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a＝ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．【解答】解：（I）求导．得f′（x）＝﹣1＝∵曲线y＝f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）＝0，解得x＝1，又由曲线y＝（x）与x轴相切，得f（1）＝﹣1+a＝0解得a＝1．证明（II）由题意，f（x）＝lnx﹣x+ln2e，令函数F（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣2x+ln2e求导，得F′（x）＝﹣2＝由F′（x）＝0，得x＝，当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：）（∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x＝时，F（x）max＝F（）＝ln﹣1+ln2e＝0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）＝f（x）﹣x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）＝，∴g′（x）＝，当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x﹣2lnx+1﹣2a≥0在（1，e）上恒成立，或x﹣2lnx+1﹣2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x﹣2lnx+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x﹣2lnx+1在（1，e）上恒成立，令h（x）＝x﹣2lnx+1，∴h′（x）＝1﹣＝，由h′（x）＝0，解得x＝2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）＝2，h（e）＝e﹣2+1＝e﹣1，∴h（x）max＝h（1）＝2∴h（x）min＝h（2）＝3﹣2ln2，∴2a≥2或2a≤3﹣2ln2，∴a≥1或a≤﹣ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴﹣ln2＜a＜1，故a的取值范围为（﹣ln2，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19．（14分）过椭圆W：＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|＝|F1G|．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y＝x+1．与椭圆方程联立，由可求．……………（4分）（Ⅱ）证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|．当l2不与x轴垂直时，设C（x1，y1），D（x2，y2），l2的方程为y＝k（x+1）（k≠1）．由消去y，整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．则，．由已知，x2≠0，则直线AD的方程为，令x＝﹣1，得点E的纵坐标．把y2＝k（x2+1）代入得．由已知，，则直线BC的方程为，令x＝﹣1，得点G的纵坐标．把y1＝k（x1+1）代入得．＝＝把，代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4＝．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|..…………（14分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查设而不求转化思想的应用，分类讨论思想的应用．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）若点M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．【解答】证明：（Ⅰ）因为：AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以：AB∥平面PCD．（Ⅱ）法一：因为：平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD所以：AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，DH⊂平面PCD，所以DH⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，PC∩DH＝H，所以AD⊥平面PCD．（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，在△P AC中，因为M，N分别为P A，CA的中点，所以MN∥PC，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，所以P，M，F，C四点在同一个平面α中，所以FC⊂α，PM⊂α，所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，所以α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P﹣ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证．【点评】本题主要考查了线面平行判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查了数形结合思想和反证法的应用，属于中档题．。
【全国百强校】北京大学附中2019届高三高考4月模拟试卷(六)数学(文科)试题(原卷版)
2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（六）（4月份）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（）A. 恒为正B. 恒为负C. 恒为0D. 无法确定3.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A. B. C. D. 4.已知x，y满足不等式，则的最小值是（）A. 1 B. ﹣3 C. ﹣1 D. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A. 4 B. C. D. 2 6.已知是等差数列的前n项和，则“对，恒成立”是“数列为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 88.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价100% 50% 10% 40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．在某次招标中，若基准价1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A. 73，75.4B. 73，80C. 74.6，76D. 74.6，75.4二、填空题。
【全国百强校】北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学(文科)试卷
绝密★启用前北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学（文科）试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合A ={x |x −4<0}，B ={x |e x >1}，则A ∩B =（） A ．R B ．(−∞,4) C ．(0,4) D ．(4,+∞)2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M （−1，2），则sin2α=（） A ．−25B ．25C ．45D ．−453．已知数列 a n 满足a n +1=a n +3,S 5=10，则a 7为（） A ．14B ．12 C ．15 D ．224．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (1,0),B (1,1)，设OP =OA +kOB (k ∈R )，且OB ⊥OP ，则 OP =（） A ．2 B ． 2 C ． 22 D ．125．已知m 、n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列说法正确的是（） A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α6．若x , y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则y −2x 的最大值为（）A．−6B．−1C．−4D．87．在ΔABC中，“a=2,b=7,B=60°”是“cos A=277”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM⋅BP的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−12,0]C．[−34,12]D．[−34,0]…………外…………………订………班级：___________考号：____…………内…………………订………第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．若向量a =(1， 2)与向量b =(λ ，−1)共线，则实数λ=___________ .10．等比数列 a n 的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列. 若a 1=1，则S 3=______. 11．已知函数f (x )= log 12x ,x >12x −1,x ≤1 ，则f (x )的最大值为______；若关于x 的方程f (x )=a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是.12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______,最长的棱长为_____________13．已知数列 a n 的通项公式为a n =n 2−kn ，请写出一个能说明“若 a n 为递增数列，则k ≤1”是假命题的k 的值_____________14．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的的是______________ ①甲只能承担第四项工作 ②乙不能承担第二项工作③丙可以不承担第三项工作 ④丁可以承担第三项工作三、解答题…外……………装…………※※不※※要※※在※※装…内……………装…………15．已知函数f (x )= 3sin(2x +π6)−2sin x cos x +1.（Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）当x ∈[−π4, π4]时，求函数f (x )的最大值和最小值.16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 8=4，a 13=14. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在公比为q (q >1)的等比数列{b n }中，b 2=a 8，b 1+b 2+b 3=a 13，求q +q 4+q 7+...+q 22.17．在锐角ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足 3a −2b sin A =0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a +c =5，b = 7，求ΔABC 的面积．18．如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．19．设点F 为椭圆E :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点，点P (1,32)在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线与椭圆相交于，两点，记ΔABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．已知函数f (x )=(x −2)ln x +2x −3 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程； （Ⅱ）当x ≥1时，求f (x )的零点个数； a (x−1)49参考答案1．C【解析】【分析】由题意，先求出集合A={x|x<4}，B={x|x>0}，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|x−4<0}={x|x<4}，B={x|e x>1}={x|x>0}，则A∩B={x|0<x<4}，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得sinα=5cosα=5，再由正弦的倍角公式，代入即可求解.【详解】由题意，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−1,2)，根据三角函数的定义可得sinα=5cosα=5，又由正弦的倍角公式可得sin2α=2sinαcosα=2×5×(5)=−45，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解中熟记三角函数的定义，及正弦函数的倍角公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.3．A【解析】【分析】由题意，根据题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得a1,d，进而求解答案.【详解】设等差数列的公差为d，由题意数列a n满足a n+1=a n+3，即d=a n+1−a n=3，又由S5=5a1+5×42d=10，解得a1=−4，则a7=a1+6d=−4+6×3=14，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项公式，准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】利用已知条件表示出向量OP，通过∠BOP=900，求出k，然后求解结果，得到答案.【详解】由题意可得OA=(1,0),OB=(1,1)，则OP=OA+kOB=(k+1,k)，又由OB⊥OP，则OB⋅OP=(1,1)⋅(k+1,k)=2k+1=0，解得k=−12，即OP=(12,−12)，所以 OP=(12)2+(−12)2=22，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，及向量的数量积的运算公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B【解析】如图, AD∥平面EFGH,DC∥平面EFGH,但AD,DC相交,A错;DG⊥平面EFGH,DG⊥FG,但FG⊂平面EFGH,C错;DC∥平面EFGH,DC⊥BC,但BC∥平面EFGH,D错;故本题选B6．B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数z=y−2x，可化为y=2x+z，结合图象可知，当直线y=2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，又由x+y=2y=x，解得A(1,1)此时z有最大值为z=1−2×1=−1，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.7．A【解析】【分析】在三角形中，根据正弦定理，分别求解cos A的值，反之利用正弦定理求得sin B，得到B，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在ΔABC中，由正弦定理可得asin A =bsin B，解得sin A=absin B=70=217，又由a<b，则A<600，所以cos A=2A=277，又由在ΔABC中，若cos A=277，则sin A=217，由正弦定理sin B=ba sin A=72×217=32，则B=1200或600，所以“a=2,b=B=600”是“cos A=277”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8．D【解析】如图，由AB=1，BC=2，可得AC=3，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x3=1，则直线AM方程为y=33x，联立，解得：M（34，34），由图可知，当P在线段BC上时，AM⋅BP有最大值为0，当P在线段AC上时，AM⋅BP有最小值，设P（0，y）（0≤y≤3），∴AM⋅BP=（34，34）⋅（−1，y）=−34+34y≥−34．∴AM⋅BP的范围是[−34，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．9．−12；【解析】【分析】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，列出方程1λ=2−1，即可求解.【详解】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，则1λ=2−1，解得λ=−12.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共先的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列a n的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，求得q=2，进而求解数列的和.【详解】由题意，设等比数列a n的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，即4a2=4a1+a3，则4a1q=4a1+a1q2，又由a1=1，所以q2−4q+4=0，解得q=2，所以S3=a1+a1q+a1q2=1+2+4=7.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.11．1 ；(−1,0)【解析】【分析】由题意，函数f(x)的解析式，分别求解，每段函数的值域，即可得到函数的最大值；又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，即可求解.【详解】由题意，函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1，则当x>1时，log12x<0，当x≤1时，2x−1≤1，所以f(x)的最大值为1，作出函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1的图象，如图所示，又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，即y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，实数a的取值范围是(−1,0).【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，及分段函数的图象的应用，其中解答中把关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．105【解析】【分析】由给定的三视图可得该几何体表示一个的三棱锥，结合锥体的体积公式和几何体的结构特征即可求解.【详解】由给定的三视图可得该几何体表示一个底面边长分别为5和3的直角三角形，高为4的三棱锥A−BCD，如图所示，由四棱锥的体积公式，可得V=13S =13×12×5×3×4=10，结合该三棱锥的结构特征，可得最长的棱为AD，则AD=32+52+42=52.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 13．(1,3)内任意一个数均可【解析】【分析】由题意，数列a n为递增数列，转化a n+1−a n>0,n∈N+恒成立，求得实数k<3，进而可得得到答案.【详解】由题意，数列a n的通项公式为a n=n2−kn，若a n为递增数列，则a n+1−a n=(n+1)2−k(n+1)−n2+kn=2n+1−k>0,n∈N+恒成立，即k<2n+1,n∈N+恒成立，所以实数k<3，所以“若a n为递增数列，则k≤1”是假命题的k的值可取(1,3).【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数列的单调性，不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的单调性和不等式的恒成立，求得实数k的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．①③④【解析】【分析】由表可知，五项工作后获得的效益综合最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取值，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项工作，甲承担第二项工作，在由戊承担第四项工作，即可得出结论.【详解】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，要使得总和最大，甲可以承担第一或四项工作，并只能承担第三项工作，丁则不可以承担工作，所以丁承担第五项工作，乙若承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；以若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，所以①③④不正确.【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).15．（Ⅰ）[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意f x=sin(2x+π3)+1，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由题意x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）f(x)=3(32sin2x+12cos2x)−sin2x+1=1sin2x+3cos2x+1=sin(2x+π)+1由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，所以，函数f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）f(x)=sin(2x+π3)+1，由x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)有最大值f(π12)=1+1=2；当2x+π3=−π6，即x=−π4时，f(x)有最大值f(−π4)=−12+1=12；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16．（Ⅰ）a n=2n−12 . （Ⅱ）27(224−1)；【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意，求得a1,d的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）依题意，列出方程组，求得q的值，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知可得a1+7d=4，a1+12d=14，解得d=2，a1=−10.所以a n=−10+2(n−1)=2n−12 .（Ⅱ）依题意，b1q=4，b1+b1q+b1q2=14，即b1q=4，b1+4q=10，消去b1，得2q2−5q+2=0，解得q=2或q=12（舍），当q=2时，q+q4+q7+...+q22=27(224−1)；【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.17．(1)∠B=π3；（2）S△ABC=12ac sin B=332【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。
北京师范大学附属中学2019届高三(下)四月份月考数学(文科)试题
绝密★启用前 北京师范大学附属中学2019届高三（下)四月份月考数学（文科)试题（五) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R P C Q ⊆ D ．R Q C P ⊆ 2．已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为 A ．1 B ． C ． D ．2 3．已知数列 为等差数列，且 ，则 等于 A ． B ． C ． D ． 4．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）○…………外…………○…………○…………线…………○……※※请※※不※ ○…………内…………○…………○…………线…………○…… A ． B ．C ．D ．6．已知 中， ， ， 为 边上的中点，则( )A ．0B ．25C ．50D ．1007．记函数 的定义域为D ，在区间 上随机取一个实数x ，则 的概率是A ．B ．C ．D ．8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n （modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．13B ．11C ．15D ．8第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知，则______．10．已知是定义在R上的周期为4的偶函数，当时，，则______．11．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_______.12．已知函数在区间上单调递减，且为偶函数，则满足的的取值范围是_______.13．过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.14．设数列{}n a的前n项和为n S，121n na a n++=+，且2019nS=，若22a<，则n的最大值为______．三、解答题15．中的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角的值.16．在等差数列{}n a和等比数列{}n b中，111a b==，22a b=，432a b+=．(Ⅰ)求{}n a和{}n b的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n na b+的前n项和nS．17．已知函数．当时，求的单调递减区间；对任意的，及任意的，，恒有成立，求实数t的取值范围．18．哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩满分150分，现有…………○…………线…………○……名：___________班级：…………○…………线…………○……Ⅰ 根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整； Ⅱ 根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度 不要求计算出具体值，给出结论即可 ； Ⅲ 现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率． 19．如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， ， ， ，且 求证：平面 平面 设D 是 的中点，判断并证明在线段 上是否存在点E ，使 平面 ，若存在，求点E 到平面 的距离． 20．在平面直角坐标系xOy 中，动点 总满足关系式 ．点M 的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程； 坐标原点O 到直线l ： 的距离为1，直线l 与M 的轨迹交于不同的两点A ，B ，若 ，求 的面积．参考答案1．B【解析】 试题分析：24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆.故B 正确. 考点：集合间的关系.2．C【解析】【分析】直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为 ， ，且， 所以， ，解得 ，故选C. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.3．B【解析】【分析】由 ，利用等差数列的性质可得 ，根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】因为数列 为等差数列，且， 所以 ，， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及诱导公式的应用，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.4．A【解析】【分析】“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．即可判断出结论．【详解】“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法和推理能力与计算能力，属于基础题．5．A【解析】由题可知：该几何体为个圆柱和半个圆锥组成，所以该组合体体积为：6．C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7．A【解析】【分析】求出函数f（x）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【详解】函数的定义域为：，则在区间上随机取一个实数x，的概率是．故选：A．【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8．A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
北京大学附属中学2019年高三下文科数学模拟考试题(六)(解析版)
北京大学附属中学2019年高三模拟考试（六）文科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用补集的定义求解即可.【详解】已知全集，集合，则 .故选D.【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.2.已知定义在上的奇函数在上单调递减,且则的值A. 恒为正B. 恒为负C. 恒为D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．【详解】定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（﹣∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣c），f（c）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（﹣b）+f（﹣c）+f（﹣a）＝﹣f（a）﹣f（b）﹣f（c），∴f（a）+f（b）+f（c）＜0，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记奇偶性，将a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0变形为a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a利用单调性是关键，属于基础题．3.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【详解】将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin（x﹣2）＝sin（x﹣1），故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键，是基础题4.已知满足不等式组,则的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【详解】由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，作出x，y满足不等式对应的可行域：（如图阴影所示）平移直线y＝3x+z，由平移可知当直线y＝3x+z经过点A时，直线y＝3x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得A（，1）代入z＝y﹣3x，得z＝1﹣3，即z＝y﹣3x的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．6.已知是等差数列的前项和,则“对恒成立”是“数列为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】S n＜na n对，n≥2恒成立，即n d＜n[+（n﹣1）d]，化简即可判断出结论．【详解】S n＜na n对，n≥2恒成立，∴n d＜n[+（n﹣1）d]，化为：n（n﹣1）d＞0，∴d＞0．∴数列{a n}为递增数列，反之也成立．∴“S n＜na n对，n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件，等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0．8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0．8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0．8分．在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：分分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是A. 73，75．4B. 73，80C. 74．6，76D. 74．6 ，75．4【答案】A【解析】【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A．【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.若平面向量,,且,则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】可求出，根据便可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】；∵；∴；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】考查向量坐标运算和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件，熟记基本公式是关键，是基础题10.将标号为的张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片取出,将这些卡片中标号最大的数设为，把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为.甲同学认为有可能比大,乙同学认为和有可能相等,那么甲乙两位同学中说法正确的同学是______.【答案】乙【解析】每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此时.所以乙对。
精品解析：【全国百强校】北京中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学(文)试题(解析版)
中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合,或,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的交集运算直接直接求出答案即可.【详解】解：因为,或所以故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】定义域为,通分得:,设,, 时,,画出大致图象如下.易发现,即与交于点,又,,即点为公切点,点为内唯一交点,又均为偶函数,点也为公切点,为交点,有两个零点，故选3.已知平面向量,且,则实数的值是( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由列出方程解出答案即可.【详解】解：由，得所以或故选：D【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示.4.如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先画出，平移直线易得在点D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值.【详解】解：在图中画出直线，平移直线易得在点D处取得最大值因为点D，所以最大为2故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，属于基础题.5.已知是平面的一条斜线,直线过平面内一点,那么下列选项中能成立的是( )A. ,且B. ,且C. ,且∥D. ,且∥【答案】A【解析】【分析】将选项BCD一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD错误，选项A得不出矛盾，选项A 正确.【详解】解：若,且，则∥或，不符合题意，选项B错误；若,且∥，则，不符合题意，选项C错误；若,且∥，则∥，不符合题意，选项D错误.故选：A.【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.6.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.【详解】解：将圆化为标准式为，得圆心为，半径圆心到直线的距离，又弦长由垂径定理得，即所以故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.7.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数.【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为360：400=9:10所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为360：400=9:10因为高一抽取了60人，所以高二应抽取54人故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.8.已知四边形ABCD为边长等于的正方形，PA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先找到异面直线QD与PA所成角为∠DQC=30°，求出QC长，再由QC⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以四棱锥Q－ABCD的外接球与长宽高分别为、、的长方形的外接球相同，然后由长方体外接半径公式算出外接球的半径，从而求出表面积.【详解】解：因为QC∥PA，所以异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，因为四边形ABCD为边长等于的正方形所以QC =又因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，得QC⊥平面ABCD所以四棱锥Q－ABCD的外接球与长宽高分别为、、的长方形的外接球相同所以外接球的半径为所以四棱锥Q－ABCD 外接球的表面积故选：C.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，空间几何体的外接球，将本题中四棱锥的外接球转化为长方体外接球可简化本题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.命题“,”的否定是__________.【答案】【解析】【分析】全称命题的否定，为特称命题，结论要否定. 【详解】将全称命题化为特称命题，将结论否定：. 【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词. 10.若抛物线,则焦点的坐标是________. 【答案】【解析】【分析】观察抛物线方程易得抛物线焦点在y轴正半轴，然后写出焦点即可. 【详解】解：因为，得，，所以抛物线焦点故答案为：. 【点睛】本题考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题.11.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.12.在无穷数列中,为的前项和.若对任意,,则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”________.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】答案不唯一，列出出一个符合题意的数列即可.【详解】解：由题意知，只要符合这个条件即可，例如：故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查了数列前n项和的概念，属于基础题.13.已知函数,其中常数;若在上单调递增,则的取值范围__________。
2019届北京大学附中高三高考4月模拟试题（六）数学（文）试题
2019届北京大学附中高三高考4月模拟试题（六）数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用补集的定义直接进行补集的运算即可．【详解】由题可得．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，描述法、区间表示集合的概念，是基础题2．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（）A．恒为正B．恒为负C．恒为0 D．无法确定【答案】B【解析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．【详解】定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（﹣∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣c），f（c）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（﹣b）+f（﹣c）+f（﹣a）＝﹣f（a）﹣f（b）﹣f（c），∴f（a）+f（b）+f（c）＜0，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记奇偶性，将a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0变形为a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a利用单调性是关键，属于基础题．3．将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【详解】将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin（x﹣2）＝sin（x﹣1），故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键，是基础题4．已知x，y满足不等式，则的最小值是（）A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【详解】由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，作出x，y满足不等式对应的可行域：（如图阴影所示）平移直线y＝3x+z，由平移可知当直线y＝3x+z经过点A时，直线y＝3x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得A（，1）代入z＝y﹣3x，得z＝1﹣3，即z＝y﹣3x的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4 B．C．D．2【答案】B【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．6．已知是等差数列的前n项和，则“对，恒成立”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S n＜na n对，n≥2恒成立，即n d＜n[+（n﹣1）d]，化简即可判断出结论．【详解】S n＜na n对，n≥2恒成立，∴n d＜n[+（n﹣1）d]，化为：n（n﹣1）d＞0，∴d ＞0．∴数列{a n}为递增数列，反之也成立．∴“S n＜na n对，n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件，等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A．73，75.4 B．73，80 C．74.6，76 D．74.6，75.4【答案】A【解析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A．【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题9．若平面向量,,且,则实数的值为______.【答案】【解析】可求出，根据便可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】；∵；∴；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】考查向量坐标运算和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件，熟记基本公式是关键，是基础题10．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b．甲同学认为a有可能比b大，乙同学认为a和b有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确的同学是_______．【答案】表格略，乙【解析】利用信息可以先自己随便填写出来一种情况，然后对图分析结果即可．【详解】20 1 2 10 1119 3 4 9 1218 5 6 13 1617 7 8 14 15比如此时每一列的最小值分别为17，1，2，9，11，此时最小值中最大的是a＝17，每一行中最大的分别是20，19，18，17，此时四个最大值中最小的是b＝17从而得出每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此时故答案为乙【点睛】本题考查推理知识，利用信息，分析思考解决问题，属于逻辑思维的有难度的题目．11．执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为_______．【答案】【解析】初始 5 0第一次9 1第二次17 2第三次33 3第四次65 4第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．13．如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有平面；②线段BM的长为定值；③存在某个位置，使DE与所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】取D的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设DE⊥C得出矛盾结论判断③．【详解】取D的中点N，连接MN，EN，则MN为△CD的中位线，∴MN∥CD，且MN=CD又E为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE∥CD，且BE=CD∴MN∥BE，且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，又EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面DE，故①正确；由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；取DE的中点O，连接O，CO，由D＝E可知O⊥DE，若DE⊥C，则DE⊥平面OC，∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，∴△OCD为等腰直角三角形，故而CD OD，而OD DE，CD＝4，与CD OD矛盾，故DE与C所成的角不可能为90°．故③错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．【答案】5【解析】【详解】若的点赞量＞的点赞量，再考虑3部的情形，若的点赞量＞的点赞量＞的点赞量，以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部．故答案为：5【点睛】本题考查了简单的合情推理的应用，先分析2部，3部的情况是关键，属于基础题．三、解答题15．设是首项为1，公比为3的等比数列．（Ⅰ）求的通项公式及前n项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前n项和，且，求．【答案】（1），；（2）1010【解析】（1）由等比数列通项公式和求和公式求解即可；（2）由题先求公差d,再求和即可【详解】（1）由题意可得∴==．（2），∴=10=2d，∴d=5，∴=20×3+×5=1010【点睛】本题考查等比数列和等差数列通项公式和求和公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题16．在中，角的对边分别为，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）在中，，求出正弦函数值，利用正弦定理转化求解即可．（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）在中，，∴，∵，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．17．在平行四边形ABCD中，，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，．连结EB，交AD于点F，如图，将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图．（1）证明：平面平面BCP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面平面ABCD，求三棱锥的体积．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明．，．推出，，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP．（2）解法一：证明平面ABCD．取BF 的中点为O，连结GO，得到平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明平面ABCD．三棱锥的高等于．说明的面积是四边形ABCD的面积的，通过，求解三棱锥的体积．【详解】（1）证明：如题图1，在中，，，所以．在中，，所以．所以．如题图2，．又因为，所以，，，所以平面BFP，又因为平面BCP，所以平面平面BCP．（2）解法一：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则，所以平面ABCD．即GO为三棱锥的高．且．因为，三棱锥的体积为．解法二：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥的高等于．因为H为CD的中点，所以的面积是四边形ABCD的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的．面，所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.【详解】（1）当时，所以，令得，或.当变化时，的变化情况如下表：所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.(2)当时，若，则，所以因为，所以若，则，所以令，所以有两个不相等的实根，且不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19．据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．【答案】（Ⅰ）最大的地区为甘肃省，最小的地区为青海省（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可【详解】（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即从4个地区中任取2个地区共有6种情况，，，，，，其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，，，，，则．【点睛】本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．20．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果；（2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果；（3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）因为，所以因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以,又,所以，所以椭圆方程为.（2）方法一：设,，,,,，（舍）所以.方法二：设，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,，，（舍）所以方法三：设直线的斜率为，，其中化简得当时，得，显然直线存在斜率且斜率不为0.因为与垂直，所以,得，，,所以（3）直线恒过定点,设，，由题意，设直线的方程为，由得，显然，，则，，因为直线与平行，所以，则的直线方程为，令，则，即,，直线的方程为,令，得,因为，故，所以直线恒过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．。
精品解析：【全国百强校】北京大学附属中学2019年高三下文科数学模拟考试题(六)(解析版)
北京大学附属中学2019年高三模拟考试（六）文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用补集的定义求解即可.【详解】已知全集，集合，则 .故选D.【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.2.已知定义在上的奇函数在上单调递减,且则的值A. 恒为正B. 恒为负C. 恒为D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．【详解】定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（﹣∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣c），f（c）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（﹣b）+f（﹣c）+f（﹣a）＝﹣f（a）﹣f（b）﹣f（c），∴f（a）+f（b）+f（c）＜0，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记奇偶性，将a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0变形为a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a利用单调性是关键，属于基础题．3.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【详解】将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin（x﹣2）＝sin（x﹣1），故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键，是基础题4.已知满足不等式组,则的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【详解】由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，作出x，y满足不等式对应的可行域：（如图阴影所示）平移直线y＝3x+z，由平移可知当直线y＝3x+z经过点A时，直线y＝3x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得A（，1）代入z＝y﹣3x，得z＝1﹣3，即z＝y﹣3x的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．6.已知是等差数列的前项和,则“对恒成立”是“数列为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】S n＜na n对，n≥2恒成立，即n d＜n[+（n﹣1）d]，化简即可判断出结论．【详解】S n＜na n对，n≥2恒成立，∴n d＜n[+（n﹣1）d]，化为：n（n﹣1）d＞0，∴d＞0．∴数列{a n}为递增数列，反之也成立．∴“S n＜na n对，n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件，等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0．8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0．8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0．8分．在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：分分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是A. 73，75．4B. 73，80C. 74．6，76D. 74．6 ，75．4【答案】A【解析】【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A．【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.若平面向量,,且,则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】可求出，根据便可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】；∵；∴；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】考查向量坐标运算和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件，熟记基本公式是关键，是基础题10.将标号为的张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片取出,将这些卡片中标号最大的数设为，把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为.甲同学认为有可能比大,乙同学认为和有可能相等,那么甲乙两位同学中说法正确的同学是______.【答案】乙【解析】每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此时.所以乙对。
中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学(文)试题
中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|31}A x x =-<<,{1B x x =<-或2}x >,则A B =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<<（D ）{|12}x x <<2.函数2πsin12()12xf x x x=-+的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）43.已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是（A ）1-（B ）1（C ）2（D ）1-或24.如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ,(,)P x y 为M 中任意一点,则y x -的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）1-（D ）2-5.已知m 是平面α的一条斜线,直线l 过平面α内一点A ,那么下列选项中能成立的是 （A ）l α⊂,且l m ⊥ （B ）l α⊥,且l m ⊥ （C ）l α⊥,且l ∥m（D ）l α⊂,且l ∥m6.已知圆2240x y x a +-+=截直线0x =所得弦的长度为则实数a 的值为（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）67.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为 （A ）66（B ）54（C ）40（D ）368.已知四边形ABCD 为边长等于5的正方形，PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( )（A ）12524π （B ）1256π （C ）25π （D ）1252π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9.命题“,0x x e ∀∈>R ”的否定是______. 10.若抛物线212x y =,则焦点F 的坐标是______.11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．12.在无穷数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*n ∈N ,{2,3}n S ∈,则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”.13.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;若()y f x =在π2π[,]43-上单调递增,则ω的取值范围.14某几何体的主视图和俯视图如右图所示,在下列图形中,可能是该几何体左视图的图形是______.（写出所有可能的序号）①②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 2f x x x x =-．（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，()1f x -≥．16.（本小题满分13分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且131,6a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2na nb =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在*m ∈N ，使得m T =2044S +？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）记A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计A 的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为1X ,2X ,求1X 的值，并直接写出1X 与2X 的大小关系.18.（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC A B 的中点. （Ⅰ）求证：11BC AC ⊥； （Ⅱ）求证：//EF 平面11A C CA ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由.乙站甲站ABCA 1B 1C 1EF19.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学（文）试题文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9.00,0x x e ∀∈≤R 10 .(0,3) 11.89 12.{2,1,0,0,0,0,0}⋅⋅⋅ 13.3(0,]414.①②③三．解答题 15．（共13分）解：（Ⅰ）因为(2cos 2f x x x -2sin(2)6x π=-所以()2sin 166f ππ==.（Ⅱ）证明：因为02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤.当266x ππ-=-时， 即0x =时，()f x 取得最小值1-.所以当π[0,]2x ∈时，()1f x -≥．16.（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则31231336S a a a a d =++=+=， 又11a =，所以1d =，n a n =.（Ⅱ）因为22na n nb ==，所以{}n b 为等比数列.所以12(12)2212n n n T +-==--.假设存在*m ∈N ，使得m T =2044S +.2020(120)2102S ⨯+==， 所以12221044m +-=+，即12256m +=，所以7m =满足题意.17．（本小题满分13分）（Ⅰ）因为0.012530.040520.048551a ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=， 所以0.036=a（Ⅱ）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P A 的估计值为0.5（Ⅲ）1=X 0.012⨯5+0.040⨯10+0.048⨯15+0.040⨯20+0.036⨯25+0.012⨯30+0.012⨯35⨯5（）=18.3.由直方图知：12X X < 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）因为11BC C C ⊥，又平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且平面11AC CA 平面111BCC B C C =， 所以1BC ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11A C CA ， PGFEC 1B 1A 1CBA所以11BC AC ⊥. （Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点，所以11FG B C //，且1112FG B C =.在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，所以11EC B C //，且1112EC B C =.所以EC FG //，且EC FG =. 所以四边形FECG 是平行四边形. 所以FE GC //.又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA .（Ⅲ）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP .取AB 的中点P ，连PE ，连PF .因为1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ,CG ⊂平面11ACC A , 所以1BC ⊥AC ,1BC ⊥CG .在△ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以PE AC //. 又由（Ⅱ）知FE CG //， 所以1BC ⊥PE ，1BC EF ⊥. 由PE EF E =得1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB =. 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当0m =时：()(1)e x f x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-.（Ⅱ）()(1)(e )x f x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e x f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或； 当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减.(ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或；当()0f x '<时，ln 1m x <<-. 所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减.（Ⅲ）（1）当0m =时，()e x f x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >， 所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点. （2）当0m >时：（ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0ef =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<， 只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点. (ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. 20. （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意a 1b =，1c ==所以离心率c e a==，左焦点(1,0)F -． （Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=. 当00y =时直线l方程为x或x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切．（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++2002054422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 2200205(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=． 故AFB ∠为定值90．。
北京大学附属中学2019年高三下文科数学练习卷(4月23日)
北京大学附属中学2019年高三下文科数学练习卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|320}A x x =∈+>R ,2{|230}B x x x =∈-->R ,则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2.若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩,是奇函数,则1()2f -=（A）（B（C ）29-（D ）293.已知平面向量,a b 满足||3,||2a b ==,a 与b 的夹角为120,若(+)a mb a ⊥,则实数m 的值为（A ）1 （B ）32（C ）2（D ）34.若某多面体的三视图（单位:cm ）如图所示,则此多面体的体积是（A ）378cm（B ）323cm（C ）356cm（D ）312cm5.若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是 （A ）z 1·z 2是实数 （B ）z 1z 2是纯虚数（C ）||z 41＝2||z 22（D ）z 21＋z 22＝4i6.若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是 （A ）(1，＋∞) （B ）⎝⎛⎭⎫0，13∪(1，＋∞) （C ）⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)（D ）(0,1)∪()4，＋∞7. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 （A ）2 （B ）4（C ）（D ）8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为______.10.圆心为(1,0),且与直线1y x =+相切的圆的方程是______.11.已知实数,x y 满足1010,1x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个,则m 的值为______.12.在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55,则sin θ=______,tan2θ=______.13.已知点(,0),(,0)(0)A a B a a ->，若圆22(2)(2)2x y -+-=上存在点C 使得90ACB ∠=°，则a 的最大为____.14.如果函数()f x 满足：对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 在下列函数：①()2f x x =②()+1f x x =③2()f x x =④()2x f x =⑤()ln f x x = 中所有“保等比数列函数”的序号为____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17．（本小题满分13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80.（Ⅰ）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（Ⅱ）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（Ⅲ）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数)．18.（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线与x 轴相切，求的值； （Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．()ln f x x x a =-+a ∈R ()y f x =a ln2e a =()f x x ≤2()()=f xg x x(1,e)a19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.20．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥ （Ⅰ）求证：//AB PCD 平面 （Ⅱ）求证：AD PCD ⊥平面（Ⅲ）若点M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9.(0,1) 10 .22(1)2x y -+= 11.1 12.45;247-13. 14.①③三．解答题15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6fx x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤. 当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. 16．（共13分）解：（Ⅰ）因为21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……………….2分所以11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……………….4分从而32n a n =-. ………………6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ………………8分 所以121,4.b q =⎧⎨=⎩………………10分 所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ………………11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==-. ………………13分（17）（共13分）解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 理科同学成绩的平均数x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，方差是s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同学成绩的平均数x 2＝18×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是s 22＝18×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于x 1>x 2，s 21<s 22，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A ，B ，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a ，b ，c ，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa ，ABb ，ABc ，Aab ，Aac ，Abc ，Bab ，Bac ，Bbc ，abc .其中全是文科组同学的情况只有1种是abc ，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则P (M )＝1－110＝910.18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得， ……………… 1分 因为曲线与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，……………… 2分 由，解得，又由曲线与x 轴相切，得， 解得.……………… 3分（Ⅱ）由题意，，令函数， ……………… 4分 求导，得， 由，解得， 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：11()1-'=-=xf x x x()y f x =()0'=f x 1=x ()y f x =(1)10f a =-+=1=a ()ln ln 2e f x x x =-+()()ln 2ln 2e F x f x x x x =-=-+112()2-'=-=xF x x x()0'=F x 12=x ()'F x ()F x所以函数在上单调递增，在上单调递减， ……………… 6分 故当时，，所以任给，，即. ……………… 7分 （Ⅲ）由题意，得， 求导，得，因为，所以与的正负号相同.…… 8分 对求导，得， 由，解得. 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，所以；. ……………… 10分 如果函数在区间上单调递增，则当时，. 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，()F x 1(0,)21(,)2+∞12=x max 11()()ln 1ln 2022F x F ==-+=e (0,)∈+∞x ()()0F x f x x =-≤()f x x ≤22()ln ()-+==f x x x ag x x x 32ln 12()-+-'=x x ag x x (1,e)x ∈()g x '()2ln 12h x x x a =-+-()h x 22()1-'=-=x h x x x()0'=h x 2=x ()h x '()h x ()h x (1,2)(2,e)(1)22h a =-(e)e 12h a =--min ()(2)32ln 22h x h a ==--max ()(1)22h x h a ==-2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≥'g x ()0h x ≥(1,e)min 0()(2)32ln 22h x h a ==--≥3ln 22≤-a 3ln 22=-a ()0g x '=即当函数在区间上单调递增时，； ○1………… 11分 如果函数在区间上单调递减，则当时，， 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，所以当函数在区间上单调递减时，. ○2………… 12分 因为函数在区间上不是单调函数， 结合○1○2，可得，所以实数的取值范围是.……………… 13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.()g x (1,)e 3ln 22≤-a 2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≤'g x ()0h x ≤(1,e)max 0()(1)22h x h a ==-≤1≥a 1=a ()0g x '=()g x (1,)e 1≥a 2()()=f xg x x (1,e)3ln 212-<<a a 3ln 212-<<a由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=. 由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+. ()()21211(1)1(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++. 即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．证明：（Ⅰ）因为AB CDCD ⊂平面PCDAB ⊄平面PCD所以AB 平面PCD（Ⅱ）法一：因为平面ABCD ⊥平面PCD平面ABCD 平面PCD CD =AD ⊥CD ,AD ⊂平面ABCD所以AD ⊥平面PCD法二：在平面PCD 中过点D 作DH CD ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD平面ABCD 平面PCD CD =DH ⊂平面PCD所以DH ⊥平面ABCD因为AD ⊂平面ABCD所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，PC DH H =所以AD ⊥平面PCD（Ⅲ）法一：假设存在棱BC 上点F ，使得MF PC 连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MN PC 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C即MF就是MC而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法二：假设存在棱BC上点F，使得MF PC，显然F与点C不同P M F C四点在同一个平面α中所以,,,所以FC⊂α，PM⊂α所以B FC∈⊂α，A PM∈⊂αA B C确定的平面ABCD，且P∈α所以α就是点,,这与P ABCD-为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证。
2019年4月北京市清华大学附属中学2019届高三高考二模考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前北京市清华大学附属中学2019届高三年级下学期第二次高考模拟考试数学（文）试题(解析版)2019年4月一、选择题。
1.设集合{}2|670A x x x =--<,{|}B x x a =≥,现有下面四个命题： 1p ：a R ∃∈,A B ⋂=∅；2p ：若0a =,则(7,)A B =-+∞；3p ：若(,2)R B =-∞ð,则a A ∈；4p ：若1a ≤-,则A B ⊆．其中所有的真命题为（ ）A. 1p ,4pB. 1p ,3p ,4pC. 2p ,3pD. 1p ,2p ,4p【答案】B【解析】 由题设可得,()17A =-，,则当7a ≥时,有AB ⋂=∅,所以命题1p 正确；若0a =时,[)0B =+∞，,则()1,A B ⋃=-+∞,所以命题2p 错误；若()2R B ，=-∞ð,则2a A =∈,所以命题3p 正确；若1a ≤-时,A B ⊆成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算,以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能,属于中低档题型,也是常考题型.在二次不等式的求解过程中,首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <,当0a >时,则有“大于号取两边,即()()12,x x -∞⋃+∞，,小于号取中间,即()12,x x ”.2.下列说法错误的是（ ）A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程0.20.8y x ∧=+y 0.2x 0.8=+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y ∧平均增加0.2个单位D. 对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强,则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强,则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.故选D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义,线性回归方程,相关系数,以及独立性检验等,是概念辨析问题．3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的底层共有灯（ ）A. 2盏B. 3盏C. 26盏D. 27盏 【答案】C。
精品解析：【全国百强校】北京市中国人民大学附属中学2019届高三高考信息卷(一)文科数学试题(解析版)
北京市人大附中2019届高考信息卷(一)文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】复数，复数的共轭复数是，就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选：B．【点睛】本题考查两个复数代数形式乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出，再根据所得图象关于轴对称求出，可得的解析式．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象；∵所得图象关于轴对称，∴，．∵，即，.∴，,则当取最小值时，取，可得，∴函数的解析式为.故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．3.实数，满足不等式组，若的最大值为5，则正数的值为（）A. 2B.C. 10D.【答案】A【解析】【分析】根据条件中确定两个不等式，可以确定出，所以第三个不等式可以转化为，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到取最大值时的最优解，得到关于的方程，得到答案.【详解】先由画可行域，发现，所以可得到，且为正数.画出可行域为（含边界）区域.，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距，由图可知在点时截距最大，解得，即，此时，解得故选A项.【点睛】本题考查线性规划中已知目标函数最大值求参数，属于简单题.4.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. B. 5 C. 6 D.【答案】B【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）.【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.从写有电子字体的“2”，“0”，“1”，“9”的四张卡片（其中“2”可作“5”用，“9”可作“6”用），随机抽出两张卡片，则能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定从四张卡片中随机抽出两张卡片所包含的基本事件总数，再列举出“能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1”所包含的基本事件，进而可求出概率.【详解】从四张卡片中随机抽出两张卡片所包含的基本事件总数为；由题意可知：满足“能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1” 所包含的基本事件有：，共3个基本事件；故所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.6.如图，在下列三个正方体中，均为所在棱的中点，过作正方体的截面．在各正方体中，直线与平面的位置关系描述正确的是A. 平面的有且只有①；平面的有且只有②③B. 平面的有且只有②；平面的有且只有①C. .平面的有且只有①；平面的有且只有②D. 平面的有且只有②；平面的有且只有③【答案】A【解析】【分析】①连结，根据面面平行的判定定理可证平面平面，进而可得平面；②③都可以根据线面垂直的判定定理，用向量的方法分别证明，，即可证明平面；从而可得出结果.【详解】①连结，因为均为所在棱的中点，所以，，从而可得平面，平面；根据，可得平面平面；所以平面；②设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，所以，即；又，即；又，所以平面；③设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，所以，即；又，即；又，所以平面；故选A【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直的判定，灵活掌握判定定理即可，属于常考题型.7.已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将函数化简整理，再由题意确定的范围，进而可求出的取值范围，即可得出结果.【详解】因为，又在上单调递增，，所以()，故()，又，所以，因此，故；因为恒成立，所以只需.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.8.数列满足：对任意的且，总存在，，使得，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】由题意结合“数列”的定义考查所给的数列是否满足定义即可，其中满足定义的需要给出满足题意的i,j数值，不满足题意的举出反例即可.【详解】令，则，所以数列“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，所以数列是“数列”．综上，“数列”的个数为．本题选择C选项.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年4月清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前清华大学附属中学2019届高三下学期第一次高考模拟考试数学（文）试题（解析版）2019年4月注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚，将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答,答案无效。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.考试结束,监考人员将试卷、答题卷一并收回。
5.保持答题卷清洁,不要折叠、不要弄破。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题解析：,,选A.考点：集合的运算2.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学,在某景区,由于时间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选,据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是( )①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等.A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】D【解析】对甲、乙、丙喜欢程度排序共,分别为以下6种,甲>乙>丙甲>丙>乙乙>丙>甲乙>甲>丙丙>甲>乙丙>乙>甲,,综上所述③④正确,选D.【点睛】本题应根据三个景点喜欢程度排序,再根据题目条件分析各景点的人数情况,枚举是本题最重要的方法,最简单的方法反而是最有效的方法。
3.,( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】⇒反之不成立,.【详解】•是常数,是常数,若已知（•）（）,则。
2019届北京市西城区高三4月统一测试(一模)数学(文)试题(解析版)
2019届北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学（文）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】，所以，故选：B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2．若复数，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先根据复数除法法则得代数形式，再根据复数几何意义得结果.【详解】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数除法法则以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.3．下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．【详解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；（B）的值域是（0，＋∞），排除；（D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；只有（C）符合题意.故选C.【点睛】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为( )A．4 B．5 C．7 D．9【答案】D【解析】根据条件执行循环，输出结果.【详解】第1步：S＝－3，k＝3；第2步：S＝－，k＝5；第3步：S＝，k＝7；第4步：S＝2，k＝9，退出循环，此时，k＝9故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基本题.5．在△中，已知，，，则c＝( )A．4 B．3 C．D．【答案】C【解析】由三角形的内角和定理，诱导公式可求sin C的值，根据正弦定理即可解得c 的值．【详解】∵a＝2，，，∴sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），∴由正弦定理，可得：c．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．设均为正数，则“”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据不等式性质化简不等式，再判断充要关系.【详解】由，为正数，得：，即，即，所以，有，即充分性成立，反过来，当时，有，化简，得：，必要性成立，所以，“”是“”的充要条件，故选：C【点睛】本题考查不等式性质以及充要关系，考查基本分析论证能力，属基本题.7．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为( )A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.【详解】目标函数化为：，画出的图象，并平移，如图，当平移到与圆相切时，目标函数在y轴上的截距最大，由圆心O到直线距离d＝，得z的最大值为,当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由，得B 点坐标为（－1，－1），所以，z的最小值为－7，故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.8．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】化简曲线方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可．【详解】等价于，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为：4．故选：B．【点睛】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．二、填空题9．设向量，满足||＝2，||＝3，，60°，则•（）____．【答案】7【解析】利用已知条件，通过向量的数量积化简求解即可．【详解】向量，满足||＝2，||＝3，，60°，则•（）4+27．故答案为：7．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．【答案】3【解析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.【详解】依题意，得：2a＝c－a，即a＝，所以，离心率故答案为：3本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.11．能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．【答案】答案不唯一，如，【解析】取A＝60°，B＝30°代入检验可得．【详解】当A＝60°，B＝30°时，sin2A＝sin120°，sin2B＝sin60°，此时，但A与B不相等，故答案为：A＝60°，B＝30°．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，涉及到特殊角的三角函数值，属于基础题．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】【解析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为：本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．设函数当时，____；如果对于任意的都有，那么实数b的取值范围是____．【答案】【解析】由分段函数解方程可得a的值；由对数函数和一次函数的单调性，可得f（x）的值域，由不等式恒成立思想可得b的范围．【详解】若a≥－1，则有，解得：a＝，不符；若a＜－1，则有－2a－4＝－1，解得：＜－1，符合题意，所以，；画出函数的图象，由图可知f（x）的值域为（﹣2，+∞），对于任意的x∈R都有f（x）≥b，则有，所以，故答案为：，（﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查分段函数的运用：求自变量和值域，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于基础题．14．团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.【答案】7040【解析】根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可．【详解】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得a+b＝110 ③由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b＝1290 ④，解③④得：a＝70人，b＝40人，故答案为：70，40．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力．三、解答题15．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值,最小值．【解析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的周期性得出结论．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最小值和最大值．【详解】（Ⅰ）=，所以函数的最小正周期.（Ⅱ）因为，所以．所以当，即时，取得最大值.当，即时，取得最小值．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．已知数列的前项和，其中.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若（）为等比数列的前三项，求数列的通项公式.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当n＝1时，S1＝a1＝4，当n≥2时，由题意，得S n＝n（n+1）+2，S n﹣1＝（n﹣1）n+2，相减即可得出．（Ⅱ）由题意，得．利用通项公式可得k，进而得出公比q，利用通项公式即可得出．【详解】（Ⅰ）当时，，当时，由题意，得，，，由，得，其中所以数列的通项公式（Ⅱ）由题意，得.即.解得（舍）或.所以公比.所以.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）【答案】（Ⅰ）或. （Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率．（Ⅲ）由茎叶图直接得．【详解】（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为.由题意，得，即.故图中a的取值为或.（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M.由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，.则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种，即，，，，，，，，，.而事件M的结果有7种，它们是，，，，，，所以.即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为.（Ⅲ）由茎叶图直接观察可得.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析【解析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．【详解】（Ⅰ）由底面为矩形，知.又因为，，所以平面.又因为平面，所以.（Ⅱ）由底面为矩形，知，又因为平面，平面，所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），使得平面平面.证明如下：取的中点，的中点，连接，则.由，得.所以四点共面.由（Ⅰ），知平面，所以，故.在△中，由，可得.又因为，所以平面.又因为平面所以平面平面（即平面平面）.即线段上存在点（即中点），使得平面平面【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．19．设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当x变化时，与的变化情况如下表所示：所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.当x变化时，与的变化情况如下表所示：所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.20．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求四边形面积的最大值；（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）【答案】（Ⅰ），离心率（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由题意可知：m＝1，可得椭圆方程，根据离心率公式即可求出（Ⅱ）设直线CD的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，由S ACBD＝S△ACB+S△ADB，换元，根据函数的单调性即可求得四边形ACBD面积的最大值．（Ⅲ）点M在一条定直线上，且该直线的方程为x＝4【详解】（Ⅰ）由题意，得 , 解得.所以椭圆方程为.故，，.所以椭圆的离心率.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，又因为，，所以四边形的面积.当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去，得.由题意，可知恒成立，则，四边形的面积，设，则四边形的面积，，所以.综上，四边形面积的最大值为.（Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，函数性质的运用，计算量大，要求能力高，属于难题．。
北京师范大学附属中学2019年普通高考第一次模拟考试试题文科数学(精品解析)
汕头市2019届普通高考第一次模拟考试试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log 1},{0,12,34}A x x B =>=，，，则A B =（ ）A ．{0,12}，B ．{123}，，C ．{2,34}，D ．{3}，4答案：D考点：集合的运算，对数函数。
解析：22{|log 1log 2}{|2}A x x x x =>=>＝，所以，A B ={3}，42．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若2z =，则a = （ ） A ．0 B ．2C ．2-D ．1答案：A考点：复数的概念与运算。
解析：2i (2)(1)221i 222a a i i a az i ++-+-===++，因为2z =， 所以，2222()()222a a +-+=，即2288a +=，解得：a =0 3．设,x y 满足约束条件1y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩1-，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，2z x y =+经过点C （2，－1）时，取得最大值为：34．现有甲、 乙、 丙、 丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、 丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112答案：B考点：古典概型。
解析：：甲、乙、丙、丁4 名学生平均分成两个小组共有3 种情形：{（甲、乙），（丙、丁）}，{（甲、 丙），（乙、丁）}，{（甲、丁），（乙、丙）}.乙、丙两人恰好在一起只有1 种情形{（甲、丁），（乙、丙）}.5．已知圆O :x 2+ y 2= 4 ( O 为坐标原点)经过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点， 则椭圆C 的标准方程为A ．22142x y += B ．22184x y += C ．221164x y += D ．2213216x y += 答案：B考点：椭圆的性质。
北京大学附属中学2019届高三文科数学练习卷(五)(解析版)
2018-2019学年北京大学附中高三（下）月考数学试卷（文科）（五）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D. 1，【答案】C【解析】解：；．故选：C．可解出集合B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，以及并集的运算．2.已知向量，，则下列向量中与垂直的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，向量，，则，对于A，，，即与不垂直，A不符合题意；对于B，，，即与不垂直，B不符合题意；对于C，，，即与不垂直，C不符合题意；对于D，，，即与垂直，D符合题意；故选：D．根据题意，求出向量的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，依次分析选项，验证是否为0，综合即可得答案．本题考查向量垂直的判定，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为．故选：A．利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线为的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：选项A双曲线的焦点坐标在x轴，不正确；选项B双曲线的焦点坐标在x轴不正确；选项C：双曲线的焦点坐标在y轴，渐近线方程为：，满足题意；正确；选项D双曲线的渐近线方程为：，不满足题意，不正确；故选：C．判断双曲线的焦点坐标所在的轴，求出双曲线的渐近线方程，即可得到选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是A. 是奇函数B. 的一条对称轴为直线C. 的最小正周期为D. 在上为减函数【答案】D【解析】解：向量，向量，函数，由，可得为偶函数，则A错；由，可得，则B错；的最小正周期为，则C错；由可得，则在上为减函数，D正确．故选：D．运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数，再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论．本题考查向量数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6.设是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等差数列的前n项和为，，则，，，于是，，因此D正确．经过代入验证可得：，，，故选：D．设等差数列的前n项和为，，可得，，，代入验证即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.执行如图所示的程序框图，输出S的值为A. B. C. 3 D. 2【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，可得：．故程序框图输出S的值为2．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：半个以3为半径的圆柱截取一个半径为1的圆柱．故：．故选：C．首先把三视图转换为几何体进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足约束条件，则的最小值是______．【答案】【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为由解得．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为：．故答案为：．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：曲线，可得，，，故切线方程是：，即，故答案为：．求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可．本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．11.已知为数列的前n项和，，若，则______．【答案】7【解析】解：，时，，变形为：，时，，解得．数列是等比数列，首项为4，公比为2．，解得，，，则．故答案为：7．，时，，变形为：，时，，解得利用等比数列的通项公式可得．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.椭圆：右焦点为F，存在直线与椭圆C交于A，B两点，使得为顶角是的等腰三角形，则椭圆C的离心率______．【答案】【解析】解：要使为顶角是的等腰三角形，则．，可得，即，解得故答案为：．要使为顶角是的等腰三角形，通过求解三角形，结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查了椭圆的方程及离心率的求法，属于中档题．13.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：函数，，，，，解得．故答案为：．推导出，，，从而，由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是______．【答案】【解析】解：根据题意，中，若，则有，变形可得：，则有，即，分析可得：当时，取得最大值，则有，即的最大值是；故答案为：．根据题意，由三角形面积公式以及余弦定理可得，变形可得：，结合正弦函数的性质分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦、余弦定理的形式．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列满足：，且，．求数列的通项公式；若数列满足，且求数列的通项公式，并求其前n项和．【答案】解：由知数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，，所以．【解析】判断数列是等差数列，然后求解数列的通项公式．利用递推关系式求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的通项公式以及是；求和，错位相减法的应用考查计算能力．16.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：满分100分，单位：分．在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．【答案】解：甲乙，甲乙，甲乙，甲的成绩更稳定．解法一：考试有5次，任选2次，基本事件有10个，分别为：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，其中符合条件的事件有6个，分别为：和，和，和，和，和，和，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为．解法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为：，，，，，，，，，共10种，其中符合条件的情况有，，，，，共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为．【解析】先分别求出两组数据的均值，再求出两组数据的方差，从而得到甲的成绩更稳定．法一：考试有5次，任选2次，利用列举法求出基本事件有10个，符合条件的事件有6个，由此能求出5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率．法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，从中任取两次，利用列举法求出分差绝对值的情况有10种，其中符合条件的情况有6种，由此能求出5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率．本题考查平均数、方差、概率的求法，考查列举法、古典概型、统计表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.已知点，圆E：，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．求动点Q的轨迹的方程；若直线l与圆O：相切，并与中轨迹交于不同的两点A、当，且满足时，求面积S的取值范围．【答案】解：连接QF，，点的轨迹是以、为焦点，长轴长的椭圆，即动点Q的轨迹的方程为；依题可知的斜率不可能为零，则设直线l的方程为．直线l即与圆O：相切，则，，又设，，则，消去整理得，由，由韦达定理得，．又由求根公式有．，，．面积S，丨丨丨丨，丨丨丨丨，丨丨，丨n丨，且，面积S的取值范围【解析】由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点，长轴长的椭圆，则，即可求得动点Q的轨迹的方程；由直线与圆O相切，则，将直线方程代入椭圆，利用韦达定理，及向量的坐标运算，表示出，利用三角形的面积公式求得面积S与的关系，即可求得面积S的取值范围．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．18.内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且，．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ若AD是BC边上的中线，，求的面积．【答案】解：Ⅰ由正弦定理得，可化为即．Ⅱ以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在中，．在中，由余弦定理得．即：，解得，．故．【解析】Ⅰ利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；Ⅱ以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在中，在中，由余弦定理得求出AC，然后求解三角形的面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．19.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面BCGF，，．Ⅰ求证：；Ⅱ若和梯形BCGF的面积都等于，求三棱锥的体积．【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ取BC的中点为D，连结DF．由是三棱台得，平面平面EFG，．，，四边形CDFG为平行四边形，．，D为BC的中点，，．平面平面BCGF，且交线为BC，平面BCGF，平面ABC，而平面ABC，分Ⅱ三棱台的底面是正三角形，且，，，．由Ⅰ知，平面ABC．正的面积等于，，．直角梯形BCGF的面积等于，，，分【解析】Ⅰ取BC的中点为D，连结推导出，四边形CDFG为平行四边形，从而再求出，从而进而平面ABC，由此能证明．Ⅱ由能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ设，若存在两个相异零点，，求证：．【答案】解：Ⅰ因为，所以，因为函数在处取得极大值，所以，即，所以，此时经检验，在上单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，符合题意，所以；证明：Ⅱ由Ⅰ知：函数函数图象与x轴交于两个不同的点，，为函数的零点，令，在单调递减，在单调递增且，，欲证：，即证：，即证，即证构造函数，，，得证．【解析】Ⅰ求出函数的导数，根据，求出a的值，检验即可；Ⅱ问题转化为证，构造函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．第11页，共11页。
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右平移 2 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可 【详解】将函数 y＝sinx 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的
2 倍，纵坐标不变，
得到 y＝ sin x，
再把所得的图象上的所有点向右平移 2 个单位长度，
作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论 【详解】由 z＝ y﹣3x，得 y＝ 3x+z ，
作出 x， y 满足不等式
对应的可行域： （如图阴影所示）
平移直线 y＝ 3x+z ，
由平移可知当直线 y＝ 3x+z 经过点 A 时， 直线 y＝ 3x+z 的截距最小，此时 z 取得最小值，
D. 2
【答案】 B
【解析】
∴f （ a） +f （ b） +f （ c）＜ 0，
故选： B．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记奇偶性，将
a+b＞ 0， b+c＞ 0， a+c＞ 0 变形为 a＞﹣ b，
b＞﹣ c， c＞﹣ a 利用单调性是关键，属于基础题．
3.将函数
的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向
是基础题
2.已知定义在 上的奇函数
在
的值（
）
上单调递减， 且
，
，
，则
A. 恒为正 【答案】 B
B. 恒为负
C. 恒为 0
D. 无法确定
【解析】
分析】
由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得
f （ a） +f （ b） +f （ c）＜ 0，可得结论．
【详解】定义在 R 上的奇函数 f （ x）在 [0 ，+∞）上单调递减，
2019 年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科） （六）（ 4 月份）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集
，集合
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】
【分析】
利用补集的定义直接进行补集的运算即可．【详解】由题可得 Nhomakorabea．
故选： D．
【点睛】本题考查补集的运算，描述法、区间表示集合的概念，
得到的图象所对应的函数解析式为 y＝ sin （ x﹣ 2）＝ sin （ x﹣ 1），
故选： D． 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键，是基础题
4.已知 x，y 满足不等式
，则
的最小值是（
）
A. 1
B. ﹣3
C. ﹣1
D.
【答案】 D 【解析】
【分析】
故函数 f （x）在（﹣∞， 0] 上也单调递减，故 f （ x）在 R 上单调递减．
根据 a+b＞0， b+c＞0， a+c＞ 0，
可得 a＞﹣ b， b＞﹣ c， c＞﹣ a，∴ f （ a）＜ f （﹣ b）， f （b）＜ f （﹣ c）， f （ c）＜ f （﹣ a）， ∴f （ a） +f （ b） +f （ c）＜ f （﹣ b） +f （﹣ c）+f （﹣ a）＝﹣ f （ a）﹣ f （ b）﹣ f （ c），
由
，解得 A（ ， 1）
代入 z＝ y﹣ 3x ，得 z＝ 1﹣ 3
，
即 z＝ y﹣3x 的最小值为 ． 故选： D．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类 问题的基本方法．
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（
）
A. 4
B.
C.