江西省宜春市昌黎实验学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题(解析版)

宜春昌黎实验学校高中部2019-2020学年第一学期12月月考高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )A. 1B. 2C. 3D. 1或3 【答案】D【解析】【分析】分三条直线相交于一点与不相交与一点两种情况进行讨论.【详解】当三条直线两两相交于同一点,如空间直角坐标系的,,x y z 轴,此时可以确定3个平面. 当三条直线两两相交于三个不同的点时,根据不共线的三点确定一个平面可知可以确定一个平面. 故选：D【点睛】本题主要考查了空间中直线的位置关系与空间想象能力,属于基础题型.2.下列函数是偶函数的是 ( )A. []2,0,1y x x =∈B. 12y x -= C. 223y x =- D. y x =【答案】C【解析】A 、[]2,0,1y x x =∈,图象不关于y 轴对称,不是偶函数,B 、12y x -=,定义域为0,)+∞（,不是偶函数, C 、22()2()323()f x x x f x -=--=-=,此函数为偶函数;D 、()-x ()f x f x -==-,此函数为奇函数,故选C.3.下列函数中,在区间()0,∞+上是增函数的是( )A. 24y x =-+B. 3y x =-C. 1y x =D. y x =【答案】D【解析】【分析】 根据常见函数的图像变换分析即可.【详解】对A, 24y x =-+为抛物线开口向下, 在区间()0,∞+上是减函数. 对B, 3y x =-为直线,且因为斜率为1-故单调递减.对C, 1y x=在区间()0,∞+上是减函数. 对D, y x =在区间()0,∞+上解析式为y x =是增函数.故选：D4.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A B y '''轴，则原图中ABC ∆是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形【答案】B【解析】【分析】 由//A B y '''轴可知,在原图中//AB y 轴即可得出90ABC ∠=︒.【详解】由//A B y '''轴可知,在原图中//AB y 轴,故90ABC ∠=︒,故ABC ∆是直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查了斜二测画法,属于基础题型.5.设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 6.函数y ＝2＋log a x (a ＞0，且a ≠1)，不论a 取何值必过定点( )A. (1，0)B. (3，0)C. (1，2)D. (2，3)【答案】C【解析】【分析】根据log (0a y x a =>且1a ≠)过定点()1,0，即可得结果．【详解】因为log (0a y x a =>且1a ≠)过定点()1,0，所以2log (0a y x a =+>且1a ≠)过定点()1,2，故选C .【点睛】本题主要考查对数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助y x a =过定点()0,1解答；(2)对数型：主要借助y log a x =过定点()1,0解答.7.已知01a <<，log log aa x =+1log 52a y =，log log a a z =则下列关系正确的是( )A. x y z >>B. z y x >>C. y x z >>D. z x y >> 【答案】C【解析】【详解】依题意，log log log a a a x y z ===，由于01a <<，函数log a y x =为减函数，故y x z >>.故选C.8.已知点（13，27）在幂函数f （x ）=（t -2）x a 的图象上，则t +a =（ ）A 1-B. 0C. 1D. 2 【答案】B【解析】【分析】由幂函数可得21t -=,再将点代入函数中可得()12723a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求解即可 【详解】解：∵幂函数,则21t -=,即3t =, 又∵点1,273⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()a f x x =的图象上， ∴112733af ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3a =-, ∴()330t a +=+-=故选B【点睛】本题考查幂函数的定义,考查已知函数图象上的一点求参数,属于基础题9.如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】 试题分析：设G 为AC 中点，由中位线可知//,//EG BC GF CD ，所以GEF ∠就是所求两条之间所成角，且三角形GEF 为等腰直角三角形你给，所以45GEF ∠=..考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决10.关于x 的方程9(2)340x xa +-+=有解，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (2,)-+∞B. (,4)-∞-C. (,2]-∞-D. [4,)-+∞【答案】C【解析】【分析】 化简原方程可得，9442333x x x x a +⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出433x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值域，可得2a -的范围，从而可得结果.【详解】()92340x x a +-+=，()()2394x x a ∴-=-+， 94423433x x x x a +⎛⎫∴-=-=-+≤- ⎪⎝⎭， （当且仅当433x x =，即3log 2x =，等号成立）， 故2a ≤-，实数a 的取值范围是(],2-∞-，故选C .【点睛】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.在正四棱锥S ABCD -中，E ,M ,N 分别是BC ，CD ，SC 的中点．动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ）①EP ⊥AC ；②EP BD ∥；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC .A. ①③B. ③④C. ①②D. ②④【答案】D【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定逐个判断即可.【详解】作出如图的辅助线.对①,再正四棱锥S ABCD -中,因为AC BD ⊥,AC SO ⊥,BD ⊂面SBD ,SO ⊂面SBD ,且SO BD O ⋂=,故AC ⊥面SBD .又因为E ,M ,N 分别是BC ,CD ,SC 的中点,故面//EMN 面SBD ,故AC ⊥面EMN ,因为EP ⊂面EMN ,故EP ⊥AC 成立.故①成立.对②,当且仅当P 与M 重合时, EP BD ∥.故②不一定成立.对③,由①有面//EMN 面SBD ,又EP ⊂面EMN ,故EP ∥平面SBD .故③成立.对④, 当且仅当P 与M 重合时, 才有EP ⊥平面SAC .故④不一定成立.故选：D【点睛】本题主要考查了线面线线平行与垂直的判定,属于中等题型.12.已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-若当(1,1)x ∈-时，11()9x f x =，(2014)1f a -=，则实数a 的值可以是( ) A. 119- B. 119 C. 911- D. 911【答案】D【解析】【分析】根据奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-可得()f x 周期为4,化简(2014)1f a -=后再逐个判断即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,故()(2)f x f x =-,()(2)()f x f x f x -=+=-, 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=,故()f x 周期为4.又(2014)1f a -=故(2)1f a -=即()1f a =.又当(1,1)x ∈-时,11()9x f x =,故当911a =时满足. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数性质的运用以及函数的求值等,属于中等题型. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上） 13.计算：7log 22lg5lg 47++=__________． 【答案】4【解析】【分析】根据对数的基本运算求解即可.【详解】7log 22lg5lg472lg52lg222(lg5lg2)24++=++=++=故答案为：4【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.14.设()132e ,2()log 21,2x x x f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f =__________． 【答案】2【解析】【分析】代入自变量对应的区间求解即可.【详解】()21133((2))(log 21)(log 3)(1)22f f f f f e -=-====,故答案为：2【点睛】本题主要考查了分段函数的求值以及对数指数的基本运算等,属于基础题型.15.设l 、m 、n 为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，则①若m α，m n ⊥，n β⊥，则αβ∥；②若m α⊥，m n ，n β，则αβ⊥；③若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥；④若l αβ=，m α，m β，则m l ； ⑤若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥．以上命题正确的有________________【答案】②④ 【解析】【分析】利用线线，线面，面面的位置关系以及性质对命题逐个进行判断即可得到答案.【详解】①若m α，m n ⊥，n β⊥，则αβ∥或相交；②若m α⊥，m n ，n β，由线面垂直的判定定理可得：αβ⊥；③若m α⊥，n β，αβ⊥，则m 与n 相交平行或为异面直线，因此不正确；④若l αβ=，m α，m β，由线面平行的判定定理及其性质定理可得：m l ；⑤若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l 与α不一定垂直．综上可得：②④正确．故答案②④．【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系的判断，考查有关性质定理和判定定理的应用，属于基础题.16.设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则a ，b ，c 的大小关系为__________．【答案】a b c <<【解析】【分析】画出2x y =与12log y x =的图像分析交点情况即可. 【详解】画出2x y =与12log y x =的图像如图,由图像知,1a b c <<<故答案为：a b c <<【点睛】本题主要考查了指对数函数图像的运用,根据交点判断函数值大小,属于中等题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知全集为R ,集合{}02M x x =<≤，{}|33N x x x =<->或，求：（1）M N ⋂；（2）R R C MC N ； （3）R ()C M N【答案】(1) M N ⋂=∅；(2) R R C MC N R =； (3) {}R ()|3023C MN x x x =-≤≤<≤或【解析】【分析】根据交并补集的运算求解即可. 【详解】(1)由集合{}02M x x =<≤,{}|33N x x x =<->或得M N ⋂=∅(2) {}R |02C M x x x =≤>或,{}R |33C N x x =-≤≤,故R R C MC N R = (3){}|3023M N x x x x ⋃=<-≤或或,故{}R ()|3023C M N x x x =-≤≤<≤或【点睛】本题主要考查了交并补的基本运算,属于基础题型.18.已知函数()22x ax b f x +=+ ，517(1),(2)24f f ==. (1)求,a b 的值；(2)试判断并证明函数()f x 的奇偶性；(3)试判断并证明函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性并求()f x 的值域．【答案】(1)1a =-,0b =； (2)偶函数；（3）[)2,+∞.【解析】试题分析：（1）列方程组解出；（2）求出f （-x ），判断与f （x ）的关系；（3）利用函数单调性定义证明，得出函数的单调性，根据单调性求出最值． 试题解析：(1)因为()()5121724f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以10a b =-⎧⎨=⎩; (2)由（1）知()22x x f x -=+的定义域为R ，因为()()22x x f x f x --=+= 所以()f x 为偶函数；（3）对任意[)120,x x <∈+∞，则()()12f x f x - =()()11222222x x x x --+-+ =()1212122122?2x x x x x x ++--，则()()120f x f x -<所以()f x 在区间[)0,+∞上为增函数， 又()f x 为偶函数，所以()f x 在区间(],0-∞上是减函数，所以()f x 的最小值为(0)f =2 ,所以()f x 值域为[)2,+∞.19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m ，高4m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m （底面直径不变）.（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？【答案】（1）31256()3V m π=，32288()3V m π=（2）21()S m =，32288()3V m π=（3）方案二B 比方案一更经济【解析】【详解】试题分析：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,则仓库的体积()231111625643323V Sh m π⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 如果按方案二，仓库的高变成8m ， 体积()232111228883323V Sh m π⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ （2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8m .锥的母线长为l ==则仓库的表面积218()S m π=⨯⨯=如果按方案二，仓库的高变成8m.，棱锥的母线长为10l ==，则仓库的表面积2261060()S m ππ=⨯⨯=（3）2121,V V S S ><∴方案二比方案一更加经济考点：锥体的体积表面积点评：锥体的高为h ，底面圆半径为r ，则体积213V r h π=，表面积2S r ππ=+ 20.四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1) 求四面体ABCD 的体积;(2)证明:四边形EFGH 是矩形.【答案】（1）23（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)由三视图知四面体ABCD 以AD 为高, BCD 为底面,直接求体积即可.(2)根据线面平行的性质即可知四边形EFGH 是平行四边形,再根据AD ⊥平面BDC 即可证明四边形EFGH 是矩形【详解】(1)由该四面体的三视图可知,BD DC ⊥,BD AD ⊥,AD DC ⊥,2BD DC ==,1AD =, AD ∴⊥平面BDC .∴四面体体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=. (2)BC ∥平面EFGH ,平面EFGH 平面BDC FG =,平面EFGH平面ABC EH =,BCFG ∴,BC EH ∥. FG EH ∴.同理EF AD ∥,HG AD ,EF HG ∴.∴四边形EFGH 是平行四边形.又AD ⊥平面BDC ,AD BC ∴⊥,EF FG ∴⊥.∴四边形EFGH 是矩形.【点睛】本题主要考查了三视图以及线面平行性质等,属于基础题型.21.如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1==PA AB，BC =，2AC =．（Ⅰ）证明：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）在线段PC 上是否存在点D ，使得AC BD ⊥，若存在，求PD 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）在线段PC 上存在点D，当PD =时，使得AC BD ⊥． 【解析】【分析】（Ⅰ）由勾股定理得AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，可证PA BC ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）在平面ABC 内，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，在平面PAC 内，过点E 作DE PA ，交PC 于点D ，连结BD ，利用线面垂直的判断定理可证AC ⊥平面DBE ，利用线面垂直的性质可证AC BD ⊥，在ABC 中，解三角形即可得解PD 的值．详解】（Ⅰ）由题知：1AB =，BC =，2AC =．则222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）在线段PC 上存在点D ，当PD =时，使得AC BD ⊥． 理由如下： 在平面ABC 内，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，在平面PAC 内，过点E 作DE PA ，交PC 于点D ，连结BD ，由PA ⊥平面ABC ，知PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，所以AC ⊥平面DBE ，又因为BD ⊆平面DBE ，所以AC BD ⊥，在ABC 中，AB BC BE AC ⋅== 所以12AE =，32CE =， 所以CE CD CA CP=，所以CD =PD =【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题. 22.如图，矩形ABCD 的长是宽的2倍，将DAC △沿对角线AC 翻折，使得平面DAC ⊥平面ABC ，连接BD ．（Ⅰ）若4BC =，计算翻折后得到的三棱锥A BCD -的体积；（Ⅱ）若A 、B 、C 、D 四点都在表面积为80π的球面上，求三棱锥D ABC -的表面积．【答案】（Ⅱ）325+. 【解析】【分析】（Ⅰ）由4BC =，得2AB =，AC =求出三角形ABC 的面积，再由等面积法求出三棱锥D ABC -的高，利用等体积法求三棱锥A BCD -的体积；（Ⅱ）取AC 中点O ，可知O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，求得半径R =AC =然后分别求解三角形可得三棱锥D ABC -的表面积．【详解】（Ⅰ）若4BC =，则2AB =，AC =则142ABC S AB BC =⋅⋅=，三棱锥D ABC -的高为AD DC AC ⋅==，故1315A BCD D ABC ABC V V S h --∆==⋅⋅=； （Ⅱ）取AC 中点O ，则在直角三角形ADC 中， 得12OA OC OD AC ===，同理在直角三角形ABC 中，12OA OC OB AC ===，∴球的半径12R AC =，由2480R ππ=，可得R =AC = 又22AD AB DC ==，∴4AB DC ==，8AD BC ==， ∴148162ADC ABC S S ==⨯⨯=， 过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF BC ∥于F ，连接DF ，得DF AB ⊥，∴5AD DC DE AC ⋅===，5AE ==，5CE =，∵AF AE AB AC =，∴165AE AF AB AC =⋅=，DF ==，∴1142255ADB DBC S S AB DF ∆==⋅⋅=⨯⨯=，三棱锥D ABC -的表面积为32ADC ABC ADB DBC S S S S S ∆∆∆∆=+++=+．【点睛】本题考查多面体体积和表面积的求法，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.。