存在性问题-中考数学综合专题训练试题

第四节 存在性问题
这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．
,中考重难点突破)
【例1】(汇川中考模拟)抛物线y ＝14x 2－32
x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(OA<OB)，与y 轴交于点C. (1)求点A ，B ，C 的坐标；
(2)点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点E 也从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，设点P 的运动时间为t s (0<t<2)．
①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D(如图所示)，当t 为何值时，1OP ＋1ED
的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)在抛物线的解析式中，令y ＝0，令x ＝0，解方程即可得到结果；(2)①由题意得：OP ＝2t ，OE ＝
t ，通过△CDE∽△CBO 得到CE CO ＝ED OB ，即2－t 2＝DE 4，求得1OP ＋1ED
有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线y ＝14x 2－32
x ＋2的对称轴为直线x ＝3，设F(3，m)，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF＝90°时，②当∠EFP＝90°时，③当∠PEF＝90°时，根据勾股定律列方程即可求得结果．
【答案】解：(1)在抛物线的解析式中，令y ＝0，
得14x 2－32
x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝4. ∵O A<OB ，∴A(2，0)，B(4，0)，
在抛物线的解析式中，令x ＝0，得y ＝2，∴C(0，2)； (2)①由题意，得O P ＝2t ，O E ＝t.
∵DE ∥OB ，∴△CDE ∽△CBO ，
∴CE CO ＝ED OB ，即2－t 2＝DE 4
， ∴DE ＝4－2t ，
∴1OP ＋1ED ＝12t ＋14－2t ＝1－t 2＋2t ＝11－（t －1）2， ∵0<t<2，1－(t －1)2始终为正数，
且t ＝1时，1－(t －1)2
有最大值1，
∴t ＝1时，11－（t －1）2有最小值1， 即t ＝1时，1OP ＋1ED
有最小值1， 此时OP ＝2，OE ＝1，
∴E(0，1)，P(2，0)；
②存在．F 的坐标为(3，2)或(3，7)．
【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题．
◆模拟题区
1．(汇川升学二模)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k 与直线y ＝kx ＋1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．
(1)如图①，当k ＝1时，写出A ，B 两点的坐标；
(2)在(1)的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图②，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k(k>0)与x 轴交于点C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，在直线y ＝kx ＋1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当k ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2－1，
直线的解析式为y ＝x ＋1.联立两个解析式，
得x 2－1＝x ＋1，解得x ＝－1或x ＝2，
当x ＝－1时，y ＝x ＋1＝0；
当x ＝2时，y ＝x ＋1＝3，
∴A(－1，0)，B(2，3)；
(2)设P(x ，x 2－1)．如图①所示，
过点P 作PF∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F(x ，x ＋1)．
∴PF ＝(x ＋1)－(x 2－1)＝－x 2＋x ＋2.
S △ABP ＝S △PFA ＋S △PFB ＝12PF(x F －x A )＋12PF(x B －x F )＝12PF(x B －x A )＝32
PF ， ∴S △ABP ＝32(－x 2＋x ＋2)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋278，
当x ＝12时，y P ＝x 2－1＝－34
. ∴△ABP 面积最大值为278
， 此时点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34； (3)存在，理由如下：设直线AB ：y ＝kx ＋1与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，
则E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k ，0，F(0，1)，OE ＝1k ，OF ＝1. 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：
EF ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＝1＋k 2k . 令y ＝x 2＋(k －1)x －k ＝0，即(x ＋k)(x －1)＝0，
解得x ＝－k 或x ＝1，
∴C(－k ，0)，OC ＝k.
设以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，
根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°.
设点N 为OC 中点，连接NQ ，如图②所示，
则NQ⊥EF，NQ ＝CN ＝ON ＝k 2
， ∴EN ＝OE －ON ＝1k －k 2
. ∵∠NEQ ＝∠FEO，∠EQN ＝∠EOF＝90°， ∴△EQN ∽△EOF ，
∴NQ OF ＝EN EF
， 即k 21＝1k －k 21＋k
2k
，∴k ＝±255. ∵k>0，
∴k ＝255
， ∴当k
＝255
时，存在唯一一点Q ， 使得∠OQC＝90°.
◆中考真题区
2．(黔东南中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16
x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，P(t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB.过点B 作x 轴的垂线，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D.
(1)求b ，c 的值；
(2)当t 为何值时，点D 落在抛物线上；
(3)是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵A(0，4)，C(8，0)在抛物线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，0＝－16×82＋8b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝56，c ＝4；
(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，
∠OAP ＝90°－∠APO＝∠EPB，
∴△AOP ∽△PEB ，∴AO PE ＝AP PB
， ∵AO ＝4，AP ＝2MP ＝2PB ，
∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，
又∵DE＝OA ＝4，
∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，
当点D 落在抛物线上时，
有－16(t ＋2)2＋56
(t ＋2)＋4＝4， 解得t ＝3或t ＝－2，
∵t ＞0，
∴t ＝3，故当t 为3时，点D 落在抛物线上；
(3)存在t ，能够使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似．
理由如下：①当0＜t ＜8时，若△POA∽△ADB，
则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t 整理，得t 2＋16＝0， ∴t 无解；
若△POA∽△BDA， 同理，解得t ＝－2±25(负值舍去)；
②当t ＞8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD
， 即t t ＋2＝44－12t ， 解得t ＝8±45(负值舍去)；
若△POA∽△BDA，同理，解得t 无解．
综上所述，当t ＝－2＋25或8＋45时，
以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似.。