§5-2-3-4基尔霍夫衍射理论

~ ~ E E 0 n
r - cos n , 2

l d
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 令：c i Aexp ikl ~ E Q l cos(n , r ) cos(n , l ) K 2
二、基尔霍夫衍射理论



(2)在不透明屏右侧∑1上， 假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件： (3)对于∑2 当R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 菲涅耳－基尔霍夫公式
cos n , A exp ikl exp ikr ~ EP i l r



§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
菲涅耳衍射是普遍的，夫琅和费衍射是菲涅耳
衍射的特例，但其计算相对简单，特别是对于 简单形状孔径的衍射，通常能够以解析形式求 出积分。 另外，它还是光学仪器中最常见的衍射现象。 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
cos(n, r ) - cos(n, l ) A exp ikl exp ikr ~ E P d i l r 2 exp ikr ~ c E Q K d r 1 Aexp ikl ~ cos(n, r ) - cos(n, l ) c , E (Q ) , K i l 2


一、惠更斯－菲涅尔原理


惠更斯－菲涅耳原理 1.内容：“波前上任何一个未受阻挡的点 都可以看作是一个频率（或波长）与入射 波相同的子波源；在其后任何地点的光振 动，就是这些子波叠加的结果。” Z 2.表达式： R Q θ

~ A exp ikR exp ikr dE P cK d R r

2 12

C
∑ K
z1
P0 E
式中(x1,y1)、(x, y)分别是孔径上任一点Q和观 察屏上考察点P的坐标值。 对于上式作二项式展开，得：
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似


当z1大到使第三项以后各项对位相k · r的作 用远小于π 时，第三项以后各项即可忽略。 可只取前两项表示r 1 x x1 2 y y1 2 即
1 1 1 0
x
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似

1 则可取 1 z r 但复指数中的r不可替代。 则菲涅耳－基尔霍夫公式可写为
1
cos n , r - cos n , l A exp ikl exp ikr ~ d E P i l r 2 A ~ exp ikr A ~ E Q K d E (Q) exp( ikr)d i r iz1
x exp ikz1 ik 2 y ~ ~ 2 E x, y exp x y E x1 , y1 exp i2 z x 1 z y1 dx1dy1 iz1 2z1 1 1
或
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳近似： 对于具体的衍射问题，还可作更精确近似： 为此取坐标系如图5－7所示 y y x P 则 r Q 2 2 12 2 r z1 x x1 y y1
1 1
二、
x
x x 2 y y 1 1 z1 1 z z 1 1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
~ E x, ik exp ikz1 ~ 2 2 y exp x y E x1 , iz1 2z1


ik y1 exp xx 1 yy 1 dx1 dy1 z1


图5－8给出了菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射 区的示意图，对应的衍射图具有不同的性质， 后面将分别讨论。

§5－4矩孔和单缝的 夫琅和费衍射
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射

衍射系统由光源，衍射屏和接收屏组成， 通常按它们相互间距离的大小，将衍射分 为两类（与前述两种近似相对应）： 一类是光源和接收屏（或两者之一）距离 衍射屏有限远；此为菲涅耳衍射。（1818年） 另一类是光源和接收屏都距离衍射屏无穷 远，此为夫琅和费衍射，1821－1822年， 两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。
E n

n
'

n

n
'

n


2.菲涅耳－基尔霍夫公式 基尔霍夫假定： A exp ikl ~ E(Q) (1)在孔径∑上
l ~ E(Q) 1 exp ikl A cos n , l ik l l n


在菲涅耳衍射区更远的地方，放置观察屏 x12 y12 max 当z1很大，使得： k 2 z1
x 2 y 2 xx1 yy1 x12 y12 则 可忽略 r z1 2 z1 z1 2 z1 x 2 y 2 xx1 yy1 z1 2 z1 z1
1 x x 2 y y 2 1 x x 2 y y 2 2 1 1 1 1 r z1 1 2 8 z12 z12


此为菲涅耳近似。 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此 时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
r z1 1 2
z
2 1

§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得： 菲涅耳衍射的计算公式：
三、夫琅和费近似：
~ ~ x, y exp ikz1 E x1 , y1 exp ik x x1 2 y y1 2 dx1dy1 E iz1 2 z1
2 2 ~ ~ I1 E1 P 和I 2 E 2 P


§5－3 基尔霍夫衍射公式的近似
一、傍轴近似： 二、 菲涅耳近似： 三、夫琅和费近似：
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被
积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作 一些近似处理。 一、傍轴近似： 对：垂直入射于无限大不透明屏上孔径∑上 y y 的单色平面波。 x P Q 如图所示： C P z 有 cos( n , l ) cos 1 ∑
二、基尔霍夫衍射理论

1.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 标量衍射理论：孤立地把E看作标量场，并用 曲面上的E 和 值表示面内任一点的值 。 ~ ~ ~ ~ ~ E ~ G ~ E ~ G ~ ~ 表达式： G E d 4E P E P 1 G E d 4
1 1
x
1 cos K ( ) 2
1
0
K
E
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
若
衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离 小得多，且观察屏上的考察范围也比观察屏到 孔径的距离小得多，则有傍轴近似： （1）取 cos( n, r ) cos 1 y y 则倾斜因子 K 1 x P r Q （2）由于上述条件， C P z 使孔径范围内的 ∑ K 任一点Q,到观察 E 屏上考察点P的距离r变化不大，则可取
光的衍射内容回顾

一、惠更斯－菲涅尔原理 二、基尔霍夫衍射理论 三、Babinet原理
一、惠更斯－菲涅尔原理

惠更斯原理：

内容：“波前上的每一个面元都可以看作 是一个次级扰动中心，它们能产生球面子 波”，并且：“后一时刻的波前的位置是 所有这些子波前的包络面”
作用：利用惠更斯原理，可以说明衍射的 存在； 存在的问题：不能确定光波通过衍射屏后 沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确 定衍射图样中的光强分布。



直观地说，因为透镜可以把位于无限远的图 象成象在其后焦面上，所以观察屏上的辐照 度分布与z1→∞时，观察屏上的辐照度分布 是相似图形，因而在透镜后焦面上可以看到 夫琅和费衍射图形。 另一方面，可以把如图5－9所示的装置看成 是一个特殊的菲涅耳衍射装置。这时把透镜 对光波的作用看成是衍射屏透过函数的一个 组成部分。 设透镜很薄，位在∑面上，则它能把正入射 平面波转化为向其后焦点会聚的球面波：
4.菲涅耳衍射公式：


§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
5.夫琅和费衍射公式：
~ E x, y ik ~ exp ikz1 exp x 2 y 2 E x1 , iz1 2z1


ik xx 1 yy 1 dx1dy1 y1 exp 2 z1
S
Σ
r
P
Σ＇ ＇ Z
一、惠更斯－菲涅尔原理



或： 3.菲涅耳假设：当时0 ，倾斜因子K有最大 值，随着增加 ，K(减小。 当≥π /2时， K( =0。 4.存在的问题： 没有给出K(、C的形式，实际上很难进行 定量计算，后来的基尔霍夫衍射理论解决了 此问题。
~ ~ exp ikr E P c E Q K d r
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
基尔霍夫衍射公式的近似： 1.傍轴近似：入射光垂直孔径面 2.菲涅耳近似
：
1 1 K 1, r z1
1 x x1 2 y y1 2 r z1 1 z12 2

即只有在很远距离上才能观察到夫琅和费衍射 条纹，在实验室中很难实现。即使设法实现， 在观察面上的辐照度也将相当微弱。 通常观察夫琅和费衍射的方法是在衍射光栏后 方紧靠孔径处放置一个透镜，在透镜后焦面上 即可呈现夫琅和费衍射图形。如图（5－9）所 示。 f P’ P