2016-2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2-2资料
金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修2-2：阶段质量评估5含答案
第五章数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z＝错误!，则复数错误!＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i解析：∵z＝错误!＝－i(1＋2i）＝2－i，∴错误!＝2＋i。
答案： D2．i2 011＋i2 012在复平面内表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i2 011＋i2 012＝－i＋1＝1－i，∴表示的点在第四象限．答案： D3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数,则实数x的值为（)A．1 B．－1C．±1 D．以上都不对解析:∵复数为纯虚数，∴错误!解得x＝1.答案: A4．在复平面时,向量错误!对应的复数是2＋i，向量错误!对应的复数是－1－3i，则向量错误!对应的复数为（）A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i解析：错误!＝错误!－错误!＝－1－3i－2－i＝－3－4i,故选D.答案： D5．在复平面内，若复数z＝m2(1＋i)－m（4＋i)－6i所对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是() A．（0，3) B．（－2，0)C．（3,4）D．（－10,2）解析：z＝(m2－4m)＋（m2－m－6）i,则错误!，解得3＜m＜4.答案: C6．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数；(2)满足|z－i|＋｜z＋i｜＝2的复数z的轨迹是椭圆；(3）若m∈Z，i2＝－1,则i m＋i m＋1＋i m＋2＋i m＋3＝0。
其中正确命题的序号是（）A．（1) B．(2）(3)C．（1）（3）D．（1）(4)解析：(1)显然正确；（2)中复数z表示的点到i和－i表示的点的距离的和为2,其轨迹是线段,故（2)错；(3）中,i m＋i m＋1＋i m＋2＋i m＋3＝i m＋i m＋1－i m－i m＋1＝0，故(3）正确．答案： C7．设复数z满足错误!＝i，则|1＋z｜等于(）A．0 B．1C.错误!D．2解析：∵错误!＝i，∴1－z＝i＋z i.∴(1＋i）z＝1－i.∴z＝错误!＝－i.∴|1＋z｜＝｜1－i｜＝错误!.答案: C8．如果复数z＝3＋a i满足条件|z－2｜＜2，那么实数a的取值范围为(）A．(－22，2错误!）B．(－2,2）C．（－1，1）D．(－错误!，错误!)解析：∵｜z－2｜＝｜3＋a i－2|＝1＋a2＜2，∴a2＜3，∴－错误!＜a＜错误!。
高中数学 章末质量评估2 北师大版选修1-2(2021年整理)
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第二章框图（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下说法正确的是（）A．工艺流程图中不可能出现闭合回路B．程序框图中不可能出现闭合回路C．在一个程序框图中三种程序结构可以都不出现D．在一个程序框图中三种程序结构必须都出现解析：根据流程图的定义可知，程序框图中可以出现闭合回路，而工艺流程图中不可能出现闭合回路，所以A正确；在一个程序框图中三种基本程序结构必会出现顺序结构，但不一定出现条件结构和循环结构，所以C、D均不正确．答案：A2．下面是对三角形分类的结构图，其中不正确的是( )解析：显然选项B中对三角形的分类不完整，遗漏了不等边三角形．答案：B3．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( ）A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：结构图中表达各要素之间关系有时用连线，有时用方向箭头，如组织结构图中一般用连线即可．答案：D4．下列判断不正确的是( ）A．画工艺流程图类似于算法的流程图,自顶向下，逐步细化B．在工艺流程图中可以出现循环回路C．工艺流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系解析：在工序流程图中不能出现循环回路．答案：B5．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用( ）A．程序框图B．工艺流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：这是设计生产过程，应为工艺流程图．答案：B6．将x＝2输入以下程序框图，得结果为( )A．3 B．5C．8 D．12解析: 由题意知该程序框图的作用即为求一个分段函数y＝错误!的值,将x＝2代入上述函数表达式，显然2≥1，故将x＝2代入y＝x3＋2x得y＝12.答案: D7．下列结构图中,体现要素之间是逻辑先后关系的是（)解析: A，B，D表示的是从属关系，选C。
2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2资料
模块综合质量评估(考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 解析： ∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1,0,1}，∴i 2∈S . 答案： B2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2，∴A 错．(log 2x )′＝1x ·1ln 2＝1x ln 2，∴B 正确．故选B. 答案： B3．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析： 分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律，得出猜想结果． 答案： B4．由曲线y ＝x 与x 轴及x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为( ) A ．πB ．2πC ．3πD.π2解析： V ＝⎠⎛02πx d x ＝π⎠⎛02x d x ＝π2x 2|20＝2π(如图所示)．答案： B5．在用数学归纳法证明“已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：f (2n)＜n ＋1”的过程中，由k 推导k ＋1时，原式增加的项数是( )A ．1B ．k ＋1C ．2k－1D ．2k解析： f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋…＋12k ＋1，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝2k.答案： D 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析： ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝x －1－x ＋1x －12＝－2x －12，∴在点(3,2)处切线的斜率k ＝－23－12＝－12.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2. 答案： D7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝4x －5 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝－3x ＋2解析： y ′＝3x 2－6x ，∵(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上， 且k ＝y ′|x ＝1＝－3.从而切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选D.答案： D8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2＞0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)＞0的解集为{x|x＞－1}，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B9．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝( )A.14B.12C．1 D．2解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，∴z·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i⎝⎛⎭⎪⎫－34－14i＝316＋116＝14.故选A.答案： Ay＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是( )解析：当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，f(x)为增函数；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数．答案： C二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝a sin x ＋sin 3x 在x ＝π3处取得极值，则a ＝________.解析： y ′＝a cos x ＋3cos 3x ，由题意知，y ′⎪⎪⎪x ＝π3＝0，即a cos π3＋3cos π＝0，∴a ＝6.答案： 612．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ≥0，－x x ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x ＝____________.解析： 因为⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x ， 又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x | 10＝236. 答案：23613．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_______．解析： 将三角形内切圆扩展到四面体的内切球，边长扩展为四面体的各面的面积，积扩展为四面体的体积，于是可得一个类似的结论．答案： 若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．复数1－i 1＋i ＋i 2 010对应的点位于复平面的第______象限．解析： 原式＝1－i 21＋i 1－i ＋(i 4)502·i 2＝－2i 12＋1＋i 2＝－1－i. 其对应的点位于第三象限． 答案： 三15．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________________．解析： 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的． x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的．当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝5 2.求ω. 解析： 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意得a －3b ＝0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．方法二：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0且k ∈R ，则ω＝k i2＋i1＋3i.∵|ω|＝5 2.∴kω＝±(7－i)．17．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d ，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明： 假设a ，b ，c ，d 都是非负实数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴a ，b ，c ，d ∈[0,1]， ∴ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ，当x ＝2时，函数f (x )有极值－163.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． (3)求曲线y ＝f (x )与直线x ＋y ＝0所围图形的面积． 解析： f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＝－163，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4.故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x .(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值163；当x ＝2时，f (x )有极小值－163. 所以函数的大致图像如图所示．故实数k 的取值范围是－163＜k ＜163.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x 3－4xx ＋y ＝0得交点坐标为(－3,3)，(0,0)和(3，－3)．∴所围图形的面积S ＝⎠⎛－30⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ＋x d x ＋⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －13x 3＋4x d x ＝2⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－112x 4| 3＝272. 19．(本小题满分12分)已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/小时(8＜v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？解析： 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝kv 2.当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5， ∴y 1＝5v 2. ∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8(8＜v ≤v 0)．y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值． 当v 0≥16时，v ＝16使y 最小． 即全程燃料费最省．当v 0＜16时，可得y ＝1 000v2v －8在(8，v 0]上递减，即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8.综上，若v 0≥16，则当v ＝16千米/小时时， 全程燃料费最省；若8＜v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )＜g (x )在(0,1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析： 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝－x 3＋ax ＋12x 32 ，即F (x )＜0在(0,1]上恒成立， 所以a ＜x 2－12x 12 在(0,1]上恒成立，令h (x )＝x 2－12x 12 ，h ′(x )＝2x －14x＝2x 3－14x＝2x －14x ＋2x ＋14x，令h ′(x )＞0，又x ∈(0,1]，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1，令h ′(x )＜0， 又x ∈(0,1]得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316. 即a ＜－316.21．(本小题满分15分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解析： 当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]，得g (2)＝f 1f2－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2. 当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得g (3)＝f 1＋f 2f 3－1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜想g (n )＝n (n ≥2)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算知，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1) ＝k [f (k )－1](k ≥2)， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立． 故存在函数g (n )＝n 使等式成立．。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评2
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞0 C.a b＞1 D ．ab＜－1【解析】 a ＋b ＜0 a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0.【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎨⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A．a≤0 B．a＞0C．a＜－1 D．a＜1【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即1a＜0⇔a＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x＜π2，则“x sin2x＜1”是“x sin x＜1”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x＜π2，所以0＜sin x＜1.由x·sin x＜1知x sin2x＜sin x＜1，因此必要性成立．由x sin2x＜1得x sin x＜1sin x，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B 二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】∵α＝π6⇒sin α＝12，∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6.【答案】π67．(2016·赤峰高二检测)已知“x＞k”是“3x＋1＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式3x＋1＜1得，x＜－1或x＞2，∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞) 三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0； (2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0； (3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数； (4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0 q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件． (2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0， 所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件． (4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4； 由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2. 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p是q的必要条件，得A⊇B.∴－k4≥2，∴k≤－8.即k的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是()A．x＞1 B．x＞－1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．x＜0或x＞1【解析】x＞1⇒1－1x＞0，故选A.【答案】 A2．(2016·天津高二检测)设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，∴cos 〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0，∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，∴a·b＝|a||b|⇐/ a∥b，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B，则A”为真，∴B⇒A，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件． 【答案】 必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】 由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜3} {x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎨⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。
北师大版高中数学选修2-2阶段质量评估4.docx
第四章 定积分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2∫a 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则∫ba f (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且∫ba f (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析： 根据定积分的性质与几何意义可知，A 、B 、C 均正确，D 不正确． 答案： D2. ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2D ．4解析： ⎠⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2-π2＝2.答案： C3．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所经过的路程为( ) A.13gt 20B ．gt 20C.12gt 20D.14gt 20解析： ⎠⎛0t0gt d t ＝12gt 2| t 00＝12gt 20. 答案： C4．如图所示，阴影部分面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x C.⎠⎛a c[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b[g (x )－f (x )]d x D.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x解析： S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x . 答案： B5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝⎪⎪⎪⎪13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋12＝56.答案： C6．m ＝⎠⎛01e xd x 与n ＝⎠⎛1e1x d x 的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝nD ．无法确定解析： m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x | 10＝e －1，n ＝⎠⎛1e1x d x ＝ln x | e 1＝1，则m ＞n . 答案： A7．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝0或k ＝1，因为积分上限大于下限，所以k ＝1.答案： A8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x ＜0)cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．2 D.12解析： 如图，S ＝12×1×1＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋sin π2 ＝32. 答案： A9．曲线y 2＝6ax ，x ＝2a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是( ) A ．2πa 2 B ．4πa 2 C ．12πa 3D ．14πa 3解析： 不妨设a >0，由旋转体积公式可得：V ＝π⎠⎛02a y 2d x ＝π⎠⎛02a 6ax d x ＝6πa⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2 2a 0＝12πa 3. 答案： C10．若y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( ) A ．1B ．2C.72D ．0解析： y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x(sin t ＋12sin 2t )d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12[(cos x ＋1)2－1]＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2，故y max ＝2. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________________. 解析： ∵⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ， ∴1＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1.∴⎠⎛12f (x )d x ＝－2. 答案： －212．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝_____________.解析： ⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )| 10＝1＋k ，即1＋k ＝2，k ＝1. 答案： 113．如图所示的阴影部分的面积用定积分可表示为__________．(不用计算)解析： ∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内cos x ＞0，在⎝⎛⎭⎫π2，3π2内cos x ＜0，故两部分面积分别为⎠⎜⎛0π2cos x d x和－⎠⎜⎛π23π2cos x d x .答案： ⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎛π23π2cos x d x .14．若如图算法框图输出的结果为a ，则⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫log 2e x d x ＝________.解析： 由于算法框图，a ＝－1，12，2，周期性的出现，当i ＝2 011时，输出a ＝2， 则⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫log 2e x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x ln2d x＝log 2x |21＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， (x ≤0)，cos x －1， (x ＞0)，求⎠⎛－11f (x )d x ；(2)求⎠⎛－a ax 2d x (a ＞0)．解析： (1) ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3| 0－1＋(sin x －x )| 10 ＝sin 1－23.(2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，－x (x ＜0)，得⎠⎛－a a x 2d x ＝⎠⎛0a x d x ＋⎠⎛－a 0(－x )d x＝⎪⎪⎪⎪12x 2a 0－12x 20－a ＝a 2. 16．(本小题满分12分)若⎠⎛0k ＋2a(x 2＋2ax )d x ＝18a 3(a 为常数)，求常数k 的值．解析： 由于⎠⎛0k ＋2a(x 2＋2ax )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋ax 2⎪⎪⎪k ＋2a＝13(k ＋2a )3＋a (k ＋2a )2 ＝13(k 3＋9ak 2＋24a 2k ＋20a 3)＝18a 3， 所以k 3＋9ak 2＋24a 2k －34a 3＝0， 即(k －a )(k 2＋10ak ＋34a 2)＝0， 故k ＝a .17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 2(x ≥0)上某点A 处的切线与曲线以及x 轴所围图形的面积为112，则过切点A 的切线方程是．解析： 如图，设切点A (x 0，x 20)．由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 于是所围图形的面积S ＝S 曲边AOB －S △ABC ＝⎠⎛0x 0x 2d x －12|BC |·|AB | ＝13x 3| x 00－12·⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20 ＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切线方程为y ＝2x －1.18．(本小题满分14分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪0－1＝13.(3)依题意，有⎠⎛－1－t(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t 0(x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪0－t∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，即2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，解得t ＝1－132.。
高中数学 阶段质量检测(一)推理与证明 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题
阶段质量检测（一） 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 解析：选D (xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：选B 命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.3．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数， 所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5， 即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点解析：选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．已知函数f (x )＝5x，则f (2 019)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选D 因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 019＝504×4＋3，因此f (2 019)的末四位数字与f (7)的末四位数字相同，即f (2 019)的末四位数字是8 125.7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋1解析：选A 当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.8．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙解析：选A (1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即①甲的成绩比乙高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙低．由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙，A 正确．(2)若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩最高；③丙的成绩比乙低．由上可知②③相矛盾，故此情况不成立．(3)若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙高．由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与②相矛盾，此情况不成立．故选A. 9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x，g (x )＝－1x；④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选C 对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A 、D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.11．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能解析：选 A ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )．又f (x )＝x 3＋x 是奇函数，∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.同理，f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840 D.11 260解析：选C 依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110，⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝1840. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋114．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2215．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5. ……照此规律，第n 个等式为________．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以原不等式成立．18.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB .所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)． 求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1， 所以1－a >0.由基本不等式，得 (1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12.同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的， 故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.20．(本小题满分12分)用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝n2n ＋1(n∈N ＋)．证明：①当n ＝1时，左边＝11×3＝13， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．所以当n ＝1时等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 左边＝11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边．所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N ＋都成立．21．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．22．(本小题满分12分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1，① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222，②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323，③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k2k＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k2k ·kk ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·k k ＋1＋(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1)＝(k ＋1)(2k ＋1)6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1)＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n ＝f (n )成立．。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2学业分层测评2
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】 D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】 D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A.b 5b 7>b 4b 8B.b 7b 8>b 4b 5C.b 5＋b 7<b 4＋b 8D.b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C 二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球.【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228.已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题9.如图1-1-13(1)，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图1-1-13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1)(2)图1-1-13【解】类比S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，有V PA′B′C′V PABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.证明：如图，设C′，C到平面P AB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故V PA′B′C′V PABC＝13S△P A′B′·h′13S△P AB·h＝P A′·PB′·h′P A·PB·h＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.10.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{a n}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A.正四面体的内切球的半径是其高的1 2B.正四面体的内切球的半径是其高的1 3C.正四面体的内切球的半径是其高的1 4D.正四面体的内切球的半径是其高的1 5【解析】原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar⇒r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14h，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【解析】 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列.【答案】 D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.【导学号：94210008】【解析】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下： 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2).。
2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1检测 阶段质量评估1 含答案 精品
第一章常用逻辑用语一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立；②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立；③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案： B2．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：原命题是假命题，如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2，逆命题为“若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4，d＝5，c≠d，由原命题与逆否命题等价、否命题与逆命题等价，知否命题和逆否命题均为假命题，故选A.答案： A3．下列命题是真命题的有()①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有①正确．答案： B4．下列语句是特称命题的是()A ．整数10是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．任给x ∈M ，p (x )解析： A 为“p 且q ”命题，D 为全称命题，C 为简单命题，故选B. 答案： B5．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若x ＋y ＝0与x －ay ＝0互相垂直， 则x －ay ＝0的斜率必定为1，故a ＝1；若a ＝1，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0显然垂直． 答案： C6．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： “对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”等价于关于x 的不等式：x 3－x 2＋1≤0恒成立，其否定为：x 3－x 2＋1≤0不恒成立；即存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＞0成立，故选C.答案： C7．命题“负数的平方是正数”隐含的量词是( ) A ．有一个 B ．有些 C ．不含有量词D ．任意一个解析： 这是一个省略量词的全称命题．故选D. 答案： D8．“a ＝－1”是函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝0时，函数f (x )也只有一个零点，故必要性不成立． 答案： A9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析： 原不等式的解集为{x |x ≤－12或x ≥3}，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C 符合．答案： C10．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥3B ．m ＜8C ．m ≥3或m ＜8D ．3≤m ＜8解析： 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8，故实数m 的取值范围为3≤m ＜8，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零12．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的________条件． 解析： 由|x －1|<2，得－2<x －1<2⇔－1<x <3. 由x (x －3)<0⇔0<x <3， 显然，有－1<x <3⇐0<x <3. 答案： 必要不充分13．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1； 由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4. 答案： a ＞4 14．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；②“若sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题． 其中是真命题的有________．解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4，可知②是假命题；对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题． 答案： ③④三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .解析： (1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解析： (1)原命题：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14，是真命题．(2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0} ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0} ＝{x |x ＜－4或x ≥－2}． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ＜0，解得－23≤a ＜0或a ≤－4.18．(14分)已知a >0.设命题p ：函数y ＝a x 为减函数，命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x >1a恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围． 解析： p 为真命题⇔0<a <1， q 为真命题⇔1a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ， x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.∵y ＝x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是递减的，在[1,2]上是递增的． ∴当x ＝1时，y ＝x ＋1x 取最小值2，∴1a <2，∴a >12. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则0<a <1且a ≤12，所以0<a ≤12.②若p 假q 真，则a ≤0或a ≥1且a >12，所以a ≥1.综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1，即⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)．。
2016-2017学年北师大版高中数学选修2-2：阶段质量评估
第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案： B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.共中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②错误，③正确．答案： B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案： B4．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c全不为0B．a，b，c中最多只有一个为0C．a，b，c中只有一个不为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析： “不全为0”等价于“至少有一个不为0”． 答案： D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是( ) A.n 2－n ＋62B.n 2－n ＋42C.n 2－n ＋22D.n 2－n 2解析： 第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n －1行n －1个数 ∴1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)·n2，∴第n 行的第3个数为(n －1)·n 2＋3＝n 2－n ＋62.答案： A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析： ∵已知等式对一切n ∈N ＋都成立， ∴当n ＝1,2,3时也成立．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ， 解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝c ＝14.答案： A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左端应添加的项是( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．[(k ＋1)＋1]2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： n ＝k 时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案： D8．已知x ∈R ＋，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析： 观察a 与n ＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n ＋1－1)n →n ＋1，所以a ＝n n .答案： D9．数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N)，则a 2 009的值为( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析： ∵a n ＝11－a n －1，又a 1＝12，∴a 2＝11－a 1＝2.a 3＝11－a 2＝－1.a 4＝11－a 3＝a 1＝12.∴数列{a n }的项是周期性出现，周期为3. ∴a 2 009＝a 669×3＋2＝a 2＝2. 答案： D10．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析： 题设中“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{a n}中，有S m＋n＝S m＋S n＋mnd，其中S m，S n，S m＋n，分别是{a n}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{b n}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有A m＋n＝A m·A n·q mn，事实上，设公比为q，A n为前n项积，则有A m＋n＝b1·b2·b3·…·b m＋n ＝b1·b1q·b1q2·…·b1q m＋n－1＝b m＋n1·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝b m＋n1q(m＋n－1)(m＋n)2又A m·A n·q mn＝(b1·b2·…·b m)·(b1·b2·…·b n)·q mn＝b m1·q1＋2＋…＋(m－1)·b n1·q1＋2＋…＋(n－1)·q mn＝b m＋n1·q(m－1)m2＋(n－1)n2＋mn＝b m＋n1·q(m＋n)(m＋n－1)2故猜测正确．答案：A m＋n＝A m·A n·q mn，其中A m＋n、A m、A n分别是{b n}的前m＋n，m，n项之积，q为公比12．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________________.解析：由f(x)＝xx＋2(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16＝x(24－1)x＋24，…∴当n≥2且n∈N＋时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．解析：平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．答案：在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝_____________.解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因为4(n2＋n)是偶数，所以4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a 一定是偶数．16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析： (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ， 则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析： 前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原数列的第n 项a n 就等于此新数列的前n 项和，即a 1＝2＝1＋1＝2，a 2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a 3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a 4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20个拐弯处的数是：a 20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25个拐弯处的数是：a 25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小题满分14分)数列{a n }是这样确定的：a 1＝1，a n ＋1＝pa n ＋x ，p ≠0且p ≠1，n ＝2,3,4，…，试归纳出a n 的表达式，并用数学归纳法予以证明．解析： a 2＝pa 1＋x ＝p ＋x ，a 3＝pa 2＋x ＝p (p ＋x )＋x ＝p 2＋(p ＋1)x ， 同理a 4＝p 3＋(p 2＋p ＋1)x ， …猜想a n ＝p n －1＋(p n －2＋p n －3＋…＋1)·x＝pn －1＋p n －1－1p －1·x .证明：(1)当n ＝1时，公式成立．(2)假设n ＝k 时，公式成立， 即a k ＝pk －1＋p k －1－1p －1·x ，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝pa k ＋x ＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫p k －1＋p k －1－1p －1·x ＋x ＝p k ＋p k－1p －1·x ， ∴当n ＝k ＋1时公式也成立．由(1)、(2)知，公式对任何n ∈N ＋都成立．。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 模块综合测评2 Word版含解析
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C. 【答案】 C2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 的值为( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12， 所以e ＝ca ＝a 2＋b2a＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＝52.【答案】 C3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断． 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．【答案】 B4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.55 B ．555 C.355D ．115【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， 当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74【解析】 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )【导学号：32550103】A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时，a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a ＞b ”成立的充要条件，故D 错误．【答案】 A7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上【解析】 将x 2＋y 2－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2＋y 2＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支．【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33，故点M 到直线l 的距离d ＝|OM →|2－|OM →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9．如图1，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图1A ．1B ． 2C ．2D ．4【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C10．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15 B ．255 C.55D ．25【解析】 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →|·|n |＝55，∴P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55，故选C.【答案】 C11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→|·|PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( )A.55 B ．33 C.255 D ．63【解析】取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55， ∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．【解析】 根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题．【答案】 若A B ，则A ∪B ≠B14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.【解析】 a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0， 即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0.解得x ＝－4. 【答案】 －415．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．图2【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 16OA →＋13OB →＋13OC →16．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【导学号：32550104】【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}． 依题意，p ⇒q 但q p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0＜a ≤3.18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．【解】 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n＝0无实根，所以p q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )， 所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM .(2)CE →＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1， 则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、图4M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2＋647， 由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647. (2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)． 所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． 所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令．21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .图5(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D -AF -E 的余弦值．【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ， 则C (0，a,0)，且A (0,0，a )，由平面几何知识可求得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →＝(0,0，a )，所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0＝0， CF →·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ， 所以CF ⊥平面ADF .(2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ，设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AE →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34ax ＋34ay －az ＝0， 取x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，34.由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，故cos 〈n ，CF →〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝25719，由题图可知二面角D -AF -E 为锐二面角，所以其余弦值为25719.22．(本小题满分12分)(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .图6(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【导学号：32550105】【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评3 含解析
章末综合测评(三）导数应用（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3,则t＝5时的瞬时速度为( ）A。
5 B.25C。
125 D.625【解析】∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125。
【答案】C2.函数f(x）＝(x－3）e x的单调递增区间是（)A。
(－∞，2) B。
（0，3）C.（1，4) D。
（2,＋∞）【解析】f′（x)＝(x－2）e x，由f′(x)>0，得x〉2，所以函数f（x)的单调递增区间是（2,＋∞).【答案】D3.函数f（x）＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（)A。
a≥0 B。
a〉0C.a≤0D.a〈0【解析】f′(x）＝3ax2＋1，当a＝0时,f′（x）＝1>0，f（x）单调增加，无极值；当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可。
【答案】D4。
（2016·西安高二检测）函数f（x）的导函数f′(x）的图像如图1所示，那么f（x）的图像最有可能的是( ）图1A B C D【解析】数形结合可得在（－∞，－2）,（－1，＋∞)上，f′（x）〈0,f(x)是减函数;在(－2,－1）上,f′（x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。
【答案】B5。
若函数y＝a（x3－x）的递增区间是错误!，错误!，则a的取值范围是( ）A。
a〉0 B。
－1〈a〈0C.a>1 D。
0〈a〈1【解析】依题意得y′＝a（3x2－1)>0的解集为错误!，错误!,∴a〉0.【答案】A6。
若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′(x)>0，则( ）A.3f（1)〈f(3）B.3f(1）〉f(3）C.3f(1)＝f(3）D.f(1）＝f(3）【解析】由于f（x）>xf′(x)，错误!′＝错误!<0恒成立，因此错误!在R上是单调递减函数,∴错误!<错误!,即3f（1)〉f（3），故选B。
2016_2017学年高中数学章末质量评估2北师大版
第二章框图(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下说法正确的是( )A．工艺流程图中不可能出现闭合回路B．程序框图中不可能出现闭合回路C．在一个程序框图中三种程序结构可以都不出现D．在一个程序框图中三种程序结构必须都出现解析：根据流程图的定义可知，程序框图中可以出现闭合回路，而工艺流程图中不可能出现闭合回路，所以A正确；在一个程序框图中三种基本程序结构必会出现顺序结构，但不一定出现条件结构和循环结构，所以C、D均不正确．答案： A2．下面是对三角形分类的结构图，其中不正确的是( )解析：显然选项B中对三角形的分类不完整，遗漏了不等边三角形．答案： B3．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D ．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析： 结构图中表达各要素之间关系有时用连线，有时用方向箭头，如组织结构图中一般用连线即可．答案： D4．下列判断不正确的是( )A ．画工艺流程图类似于算法的流程图，自顶向下，逐步细化B ．在工艺流程图中可以出现循环回路C ．工艺流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D ．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系解析： 在工序流程图中不能出现循环回路．答案： B5．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用( )A ．程序框图B ．工艺流程图C ．知识结构图D ．组织结构图解析： 这是设计生产过程，应为工艺流程图．答案： B6．将x ＝2输入以下程序框图，得结果为( )A ．3B ．5C ．8D ．12解析： 由题意知该程序框图的作用即为求一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x x 2＋x x 3＋2x x 的值，将x ＝2代入上述函数表达式，显然2≥1，故将x ＝2代入y ＝x 3＋2x 得y ＝12.答案： D7．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是( )解析：A，B，D表示的是从属关系，选C.答案： C8．如下图所示的是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过的工序的道数是( )A．6或8 B．5或7C．4或5 D．7或8解析：由流程图可得．答案： B9．如下图，某人拨通了电话，准备为手机充值，需要如何操作( )A．1－5－1－1 B．1－5－1－5C．1－5－2－1 D．1－5－2－3解析：由流程图按步骤操作：1－5－2－1.答案： C10．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ．24C ．20D ．19解析： 由A 向B 传递信息共有4条线路．第一条为A —D —C —B 线，传递的最大信息量为3，第二条A —D —E —B ，传递的最大信息量为4，第三条为A —G —F —B ，第四条为A —G —H —B ，要使从A 到B 有最大的信息通过，G —F 的信息量为6，H —B 的信息量为6.所以最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．某一程序框图如图，输入x ＝1得结果________．解析： ∵x ＝1>0，∴y ＝12×1－5＝－92. 答案： －9212．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，其操作为________________________________． 解析： 因为是查询本机余额，应先按1号键，再按2号键．答案：拨10011电话，按1号键，再按2号键13．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入向量共线的“充要条件”，则应该是在________的下位．解析：向量共线的充要条件是两个向量能写成数乘的形式．答案：数乘14．已知某算法的流程图如下图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)、(x2，y2)、…、(x n，y n)、….(1)若程序运行中输出的一个数组是(t，－8)，则t＝______；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为________．解析：容易看出这是用循环结构表示的程序，n依次取值：1,3，5,7,9,11，…；相应地x依次取1,3,9,27,81,243，…，y依次取值：0，－2，－4，－6，－8，－10，…；可知：t＝81；共输出1 004组．答案：(1)81 (2)1 004三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设计一个解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)过程的流程图．解析：当ax2＋bx＋c＞0时，需解方程ax2＋bx＋c＝0，按Δ＝b2－4ac进行分类，分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0共三种情况，其流程图为：16．(本小题满分12分)画出《数学·必修2》中“直线与方程”一章的知识结构图．解析：知识结构图如下：17．(本小题满分12分)根据如图所示程序框图写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等差数列吗？解析： 若将打印出来的数列依次记为a 1 a 2 a 3 a 4 a 5则a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝1＋3＝4，a 3＝a 2＋3＝4＋3＝7，a 4＝a 3＋3＝7＋3＝10，a 5＝a 4＋3＝10＋3＝13.于是可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋3.由于a n －a n －1＝3，因此这个数列是等差数列．18．(本小题满分14分)北京期货商会组织结构设置如下：(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共辖理事会；(2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长；(3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．据以上绘制其组织结构图．解析：结构图如图所示．。
金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修1-1检测阶段质量评估2含答案
第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为10，则P点的坐标是( )A．（9,6）B．(9，±6）C．(6,9) D．（6，±9)解析：设P（x0，y0)，则x0＋1＝10，∴x0＝9，y错误!＝36，∴y0＝±6，故P点坐标为（9，±6)．答案：B2．以双曲线错误!－错误!＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A。
错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1解析: 双曲线的焦点（±4，0),顶点（±2,0），故椭圆的焦点为(±2,0），顶点为（±4,0）．所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.答案: A3．θ是任意实数,则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析： sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0,这时曲线表示双曲线,sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案： C4．双曲线x 24＋错误!＝1的离心率e ∈（1，2），则k 的取值范围是( ） A ．（－∞，0)B ．(－12，0）C ．（－3,0）D ．(－60，－12） 解析： ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k 。
∵e ∈（1,2),∴错误!＝错误!∈（1，4)，k ∈（－12,0）．答案: B5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2)，则它的离心率为（ ）A 。
错误!B ．错误! C.错误! D ．错误!解析: 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0），所以其渐近线方程为y ＝±错误!x ，因为点(4,－2)在渐近线上,所以错误!＝错误!,根据c2＝a2＋b2，可得错误!＝错误!，解得e2＝错误!,e＝错误!。
高中数学 第一章 阶段质量检测 北师大版选修22
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)[1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n＝( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1答案：B2．在△ABC中，sin A sin C<cos A cos C，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由sin A sin C<cos A cos C，可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．答案：C3．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是( )①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④解析：根据反证法的证明步骤：反设，正确推理，矛盾，①②③④给出的矛盾都可以．答案：D4．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199解析：记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.归纳得f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A．各正三角形内的任一点B．各正三角形的中心C．各正三角形边上的任一点D．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案：B 6．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．答案：D7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋1解析：当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.答案：A8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为 2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0解析：由(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )，知ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)≤0.答案：D10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．正负都有可能解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”． 答案：x ，y 均不大于1(或x ≤1且y ≤1)12．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋113．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝(S 1S 2)·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶814．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ， 即2a n1＋a n＝a n ，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0.又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0. ∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． ∴B 为锐角．法二(综合法)由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2ac a ＋c，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )． ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac>0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴0<B <π2，即B 为锐角．17．(本小题满分12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sinα)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋si n 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.18．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明． 解：(1)f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f 2(x )＝x1＋x21＋x 21＋x 2＝x1＋2x2，f 3(x )＝x1＋2x 21＋x 21＋2x2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x2. (2)猜想f n (x )＝x1＋nx2，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x1＋kx2，那么f k ＋1(x )＝x1＋kx21＋x 21＋kx2＝x1＋kx 2＋x2＝x1＋k ＋1x2. 这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立． 由①②，可知f n (x )＝x1＋nx2对所有n ∈N ＋均成立．。
高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修22
第二章 变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝st ＋Δt －s tΔtB.v ＝s ΔtΔtC.v ＝s ttD.v ＝s t ＋Δt －s ΔtΔt解析： 由平均速度的定义可知，物体在t 到Δt ，Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt＝st ＋Δt －s tΔt.答案： A2．下列各式正确的是( ) A ．(ln a )′＝1a(a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －3)′＝－13x －4解析： 因为a 为常数，(ln a )′＝0，故A 错．由导数公式表易知B 、D 错误． 答案： C3．设f (x )＝x ln x ＋x ，若f ′(x 0)＝3，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 2eD ．ln 2解析： ∵f (x )＝x ln x ＋x ，∴f ′(x )＝ln x ＋2. 又∵f ′(x 0)＝3，∴x 0＝e. 答案： B 4．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．0 B.12 C.56D ．－56解析： ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23 －x －32 ′＝－23x －53 ＋32x －52 ，∴f ′(1)＝－23＋32＝56.答案： C5．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3解析： y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3， 即tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案： B6．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析： 由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.答案： A7．已知f (x )＝x 33＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．3解析： f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝3f ′(0)，则f ′(0)＝0. ∴f ′(1)＝1＋3f ′(0)＝1. 答案： A8．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24－3ln x ′＝x 2－3x ， 令x 2－3x ＝12，结合x ＞0，得x ＝3. 答案： A9．已知y ＝12sin 2x ＋sin x ，则y ′( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋sin x ′ ＝12(sin 2x )′＋(sin x )′ ＝12·cos 2x ·2＋cos x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98， ∴y ′max ＝2，y ′min ＝－98，且y ′＝2cos 2x ＋cos x －1为偶函数．答案： B10．若曲线C ：y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．－1解析： y ′＝3x 2－4ax ＋2a ，∵曲线在任意点处的切线的倾斜角都是锐角， ∴3x 2－4ax ＋2a ＞0恒成立． ∴Δ＝16a 2－24a ＜0，∴0＜a ＜32.又a ∈Z ，∴a ＝1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设曲线y ＝xn ＋1－2(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2 011x 2＋…＋log 2 011x 2 010的值为________________．解析： 由y ＝xn ＋1－2，得y ′＝(n ＋1)x n，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2 010＝log 2011(x 1·x 2·…·x 2010)＝log 2011⎝⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×2 0102 011 ＝log 2 01112 011＝－1.答案： －112．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是________________． 解析： ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3， ∴当x ＝－1时，y ′有最小值3，即斜率最小为3. 此时切点为(－1，－14)， 所以切线方程为3x －y －11＝0. 答案： 3x －y －11＝013．已知过曲线y ＝x 3＋bx ＋c 上一点A (1,2)的切线为y ＝x ＋1，则bc 的值为_________． 解析： f ′(1)＝(3x 2＋b )|x ＝1＝3＋b ＝1， 所以b ＝－2. 所以y ＝x 3－2x ＋c ， 所以2＝1－2＋c ， 所以c ＝3，从而bc ＝－6. 答案： －614．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________． 解析： ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)， ∴－15x 5∈(－∞，0)，∴a ∈(－∞，0)．答案： (－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (3)y ＝1－sin x 1＋cos x ；(4)y ＝a 3xcos(2x ＋1)．解析： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2＝x 3＋x －32＋x －2sin x . ∴y ′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5) ＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5. ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′＝1－sin x ′1＋cos x －1－sin x1＋cos x ′1＋cos x 2＝sin x －cos x －11＋cos x2.(4)y ′＝[a 3xcos(2x ＋1)]′＝(a 3x)′cos(2x ＋1)＋a 3x[cos(2x ＋1)]′＝a 3xln a ·(3x )′cos(2x ＋1)＋a 3x·[－sin(2x ＋1)]·(2x ＋1)′ ＝3a 3xln a ·cos(2x ＋1)－2a 3xsin(2x ＋1) ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋1)－2sin(2x ＋1)]．16．(本小题满分12分)偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解析： ∵f (x )的图像过P (0,1)点，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴可知切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， ∴切线方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. ∴直线l ：y ＝13x .切点(－2，－26)．18．(本小题满分14分)已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，若直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．解析： 依题意，设直线l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21；对于C 2：y ′＝－2(x －2)， 则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.依题意，两条切线互相重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2x 2－2，－x 21＝x 22－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
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第一章 推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系( )A．等于n2 B．等于n3C．等于n4 D．等于n(n＋1)解析： 第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案： B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.共中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析： ①②错误，③正确．答案： B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析： 用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案： B4．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c全不为0B．a，b，c中最多只有一个为0C．a，b，c中只有一个不为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析： “不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案： D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是( )A. B.C. D.解析： 第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n－1行n－1个数∴1＋2＋…＋(n－1)＝，∴第n行的第3个数为＋3＝.答案： A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a、b、c的值为( )A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c解析： ∵已知等式对一切n∈N＋都成立，∴当n＝1,2,3时也成立．即 解得答案： A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝，则由n＝k到n ＝k＋1时，等式左端应添加的项是( )A．k2＋1B．(k＋1)2C．[(k＋1)＋1]2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析： n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.答案： D8．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )A．2n B．n2C．22(n－1) D．n n解析： 观察a与n＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n＋1－1)n→n＋1，所以a＝n n.答案： D9．数列{a n}中，若a1＝，a n＝(n≥2，n∈N)，则a2 009的值为( ) A．－1 B.C．1 D．2解析： ∵a n＝，又a1＝，∴a2＝＝2.a3＝＝－1.a4＝＝a1＝.∴数列{a n}的项是周期性出现，周期为3.∴a2 009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案： D10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析： 题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{a n}中，有S m＋n＝S m＋S n＋mnd，其中S m，S n，S m ，分别是{a n}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数＋n列{b n}中，有__________________．解析： 由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有A m＋n＝A m·A n·q mn，事实上，设公比为q，A n 为前n项积，则有A m＋n＝b1·b2·b3·…·b m＋n＝b1·b1q·b1q2·…·b1q m＋n－1＝b·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝bq又A m·A n·q mn＝(b1·b2·…·b m)·(b1·b2·…·b n)·q mn＝b·q1＋2＋…＋(m－1)·b·q1＋2＋…＋(n－1)·q mn＝b·q＋＋mn＝b·q故猜测正确．答案： A m＋n＝A m·A n·q mn，其中A m＋n、A m、A n分别是{b n}的前m ＋n，m，n项之积，q为公比12．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，f3(x)＝f[f2(x)]＝，f4(x)＝f[f3(x)]＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________________.解析： 由f(x)＝(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝＝，f3(x)＝f[f2(x)]＝＝，f4(x)＝f[f3(x)]＝＝，…∴当n≥2且n∈N＋时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝.答案： 13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．解析： 平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．答案： 在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝_____________.解析： 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案： 3n2－3n＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．证明： (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因为4(n2＋n)是偶数，所以4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a一定是偶数．16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析： (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析： 前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原数列的第n项a n就等于此新数列的前n项和，即a1＝2＝1＋1＝2，a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20个拐弯处的数是：a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25个拐弯处的数是：a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小题满分14分)数列{a n}是这样确定的：a1＝1，a n＋1＝pa n ＋x，p≠0且p≠1，n＝2,3,4，…，试归纳出a n的表达式，并用数学归纳法予以证明．解析： a2＝pa1＋x＝p＋x，a3＝pa2＋x＝p(p＋x)＋x＝p2＋(p＋1)x，同理a4＝p3＋(p2＋p＋1)x，…猜想a n＝p n－1＋(p n－2＋p n－3＋…＋1)·x＝p n－1＋·x.证明：(1)当n＝1时，公式成立．(2)假设n＝k时，公式成立，即a k＝p k－1＋·x，则n＝k＋1时，a k＋1＝pa k＋x＝p·＋x＝p k＋·x，∴当n＝k＋1时公式也成立．由(1)、(2)知，公式对任何n∈N＋都成立．。