2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试卷(解析版)
2020年高考模拟天津市北辰区高考数学第一次诊断测试试卷 含解析
2020年高考数学一诊测试试卷一、选择题（共9小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞06．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题（共6小题）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为．（用数字填写答案）13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．三、解答题（共5小题）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．参考答案一、选择题（共9个小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2．∴“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的充分不必要条件．故选：A．3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝解：f（x）＝sin x+cos x＝．f（x）的一个周期为2π，故A正确；f（x）的最大值为2，故B正确；由＜x＜，得＜＜π，∴f（x）在区间（）上单调递减，故C 正确；f（x+）＝，取x＝时，函数值为，故D错误．故选：D．4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）解：函数f（x）＝的单调递增区间，即函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：D．5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0解：等差数列{a n}的公差d＞0，若a3，a4，a8成等比数列，可得a3a8＝a42，即（a1+2d）（a1+7d）＝（a1+3d）2，化为5d+3a1＝0，由d＞0，可得a1＜0，a1d＜0，S4＝4a1+6d＝﹣d+6d＝﹣d＜0，则dS4＜0，故选：B．6．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解：离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x﹣3y＝0，抛物线y2＝12x的准线：x＝﹣3，可得P（﹣3，﹣4），双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），满足PF1⊥PF2，（3﹣c，4）•（3+c，4）＝0，解得c＝5，则a＝3；b＝4；舍去的双曲线方程为：＝1．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，又f（x）为偶函数，故f（x）＝x2+4x（x＜0），①当x+2≥0，即x≥﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2﹣4（x+2）＜5，解得﹣3＜x＜3，此时﹣2≤x＜3；②当x+2＜0，即x＜﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2+4（x+2）＜5，解得﹣7＜x＜﹣1，此时﹣7＜x＜﹣2；综上，不等式的解集为（﹣7，3）．故选：C．8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）解：由函数，可得f（x）的图象和函数y＝x+a有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选：C．9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cos x，令x＝，则f′（）＝2，∴f′（x）＝﹣2cos x，当x∈时，≥2，2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时，＞0，2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为﹣2．解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为108石解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，设这批米内夹谷约为x石，则，解得x＝108（石）．∴这批米内夹谷约为108石．故答案为：108石．12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为20．（用数字填写答案）解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为2π．解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V＝2×＝2π．故答案为：2π．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围[﹣4，2]．解：由，可得x+2y＝（x+2y）（）＝4++≥4+2＝8，而x+2y≥m2+2m恒成立⇔m2+2m≤（x+2y）min，所以m2+2m≤8恒成立，即m2+2m﹣8≤0恒成立，解得﹣4≤m≤2．故答案为：[﹣4，2]．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．解：由＝（），＝，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC 的三等分点靠近点D处，由菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，得：||＝2，∠ABD＝30°，则＝（）•（）＝﹣+＝×12﹣+×＝，故答案为：．三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，又a＝4，c＝3，cos A＝，2b2+3b﹣14＝0，解得b＝2；（Ⅱ）由cos A＝﹣，所以sin A＝，由正弦定理得：，得sin B＝，又0，所以cos B＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝2cos2B﹣1＝，所以sin（2B+）＝+＝，故答案为：．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，AB∩QA＝A，CD∩PD＝D，∴平面ABP∥平面DCP，∵QB⊂平面ABQ，∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，0，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设平面PBQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），设二面角C﹣PB﹣Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝﹣＝＝﹣，∴θ＝，∴二面角C﹣PB﹣Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设DH＝t，则H（0，0，t），A（2，0，0），＝（﹣2，0，t），＝（2，2，﹣2），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝，∴线段DH的长为．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝2c，b＝c，△B1F1F2的面积的面积S＝×2c×b＝，则bc＝，解得：a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F（﹣1，0），由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，设直线AC：y＝k（x+1），且k≠±，A（x1，y1），C（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，则|AC|＝•＝，将﹣代入上式可得|BD|＝，则＝＝+•，k2≠3，由k2＞0，则＜+•＜，k2≠3∴的取值范围（，）∪（，）．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．解：（1）等比数列{a n}的各项均为正数，设公比为q，q＞0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4＝2a5+4a6，即a4＝a4q+2a4q2，即2q2+q﹣1＝0，解得q＝（﹣1舍去），由，可得a1q3＝4（a1q2）2，即a1＝a12，解得a1＝，则an＝•（）n﹣1＝（）n；数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1，可得n≥2时，S n﹣1＝b n﹣1，又，两式相减可得b n＝b n﹣b n﹣1，化为＝，则b n＝b1••…＝1••…＝n，上式对n＝1也成立，则b n＝n，n∈N*；（2）＝，当n为偶数时，前n项和P n＝（1+3+5+…+n﹣1）+（++…+）＝（1+n﹣1）（）+＝+（1﹣）；当n为奇数时，P n＝P n﹣1+n＝+（1﹣）+n；（3）证明：＝＝2[﹣]，则前n项和T n＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＜2×＝，即有．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．解：（I）f′（x）＝a﹣，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）a＝1时，f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）＝﹣1．x→0+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a＝1时，对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+＝g（x），g′（x）＝+＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（1，+∞），u′（x）＝1﹣＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝2﹣2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+＝x0﹣2+＝x0+﹣1∈（，），∵4k＜，k∈一、选择题．∴k的最大值为0．。
天津市部分区2020年高三质量调查试卷(一)数学试题参考答案
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（一）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)10．12,2,4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11．80- 12．213．280x y -+= 14．23；231215．(](),30,-∞-+∞三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）由题设及正弦定理，得sin sinsin sin 2A BA C A +=．…………………1分 在ABC ∆中，因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A BC +=．………………………2分 由于+=A B C -π，从而sincos 22A B C+=， 所以cos2sin cos 222=C C C．………………………………………………………4分 在ABC ∆中，因为022C π<<，所以cos 02C ≠，所以1sin 22C =， 所以26=C π，即3C π=． ……………………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由于3c C π==， 则由余弦定理，得2272cos3a b ab π=+-，即227a b ab +-=． ……………8分 因为23a b =，所以22233722b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b =，从而3a =． …………………………………………………………10分在ABC ∆中，由正弦定理，得2sinsin sin 7b CB c⨯====π因为ABC ∆中，2b c =<=，且3C π=，所以03B π<<，所以cos 7===B ． ……………………………12分 所以()sin sin cos cos sin C B C B C B -=-．1272714=-⨯=．……………………………14分 17．解：因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以111111,⊥⊥A B BB BB B C ．又1111⊥A B B C ，从而以点1B 为坐标原点，分别以向量111,B B BC11B A 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系1-B xyz ． ……1分不妨设12=BB ，则有()()10,0,0,2,0,0,B B()()()10,0,2,1,2,0,1,0,1A M N ，所以()0,2,1=-MN ． ………………………2分（1）证明：【方法一】易知，平面ABC 的法向量为()12,0,0=B B ．由于10⋅=B B MN ，所以1⊥B B MN ，即1⊥BB MN ． …………………4分 又因为⊄MN 平面ABC ，所以MN //平面ABC ．………………………5分 【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述），若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：【方法二】取1B B 的中点Q ,连接MQ ．证明平面MNQ //平面ABC ，进而证得MN //平面ABC ．【方法三】取AB 的中点R ,连接,CR NR ．先证明MN //CR ,进而证得MN //平 面ABC ．（2）由题意，知()0,2,1=-MN ,()1,2,0=-BM ,()11,2,0=B M ． 设平面MNB 的法向量为(),,=m x y z ，则有0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m MN m BM 即20,20.-+=⎧⎨-+=⎩y z x y 令1=y ，得()2,1,2=m ． ……………………………………………………7分设平面1MNB 的法向量为()111,,=n x y z ，则有10,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n MN n B M 即111120,20.-+=⎧⎨+=⎩y z x y 令11=y ，得()2,1,2=-n ．……………………………………………………8分所以1,3,3⋅===m n m n ，所以1cos ,9⋅==m n m n m n， ………………10分 设二面角1--B MN B 的大小为θ，所以45sin ,9m n θ==．故所求二面角1--B MN B ………………………………11分 （3）设点()0,,0P t （02t ≤≤），则()1,2,0PM t =-, 且有()2,12,3PM n t PM t n ⋅=-=+-=． 设直线PM 与平面1MNB 所成角为θ，则有2sin cos ,15PM n θ==215=， ………………12分 整理，得22116200t t +-=，解得23t =或107t =-（舍去）．…………14分 所以111123B P tB C ==． …………………………………………………………15分 18．解：（1）易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为)，准线方程x =所以椭圆E 的右焦点)F，左焦点为()'F ． ……………………2分设椭圆E 的半焦距为c ,依题意得222222,,c b PQ a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == ………………………………………5分 故所求椭圆的方程为22142x y +=． ………………………………………………6分 （2）【方法一】由题意，得E 的左顶点()2,0A -． 又知直线l 的斜率存在，不妨设为k （0k≠），点(),B B B x y , 则直线AB 方程为()2y k x =+．………………………………………………7分联立方程组()222,1.42y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩+消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=， （※）………………9分 易得()()()2222842184160kk k ∆=-+-=>，所以点2,B x -为方程（※）的实数根，从而22842=21B k x k --⨯+，所以222421B k x k -=+． 所以()222244222121B B k ky k x k k k ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭． …………………………11分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点(),B B M x y --,即222244,2121k k M k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．………………………12分 因为1AMk =,所以2224211242+21k k k k +=--+，解得12k =-． ………………………14分 故所求直线l 的方程为()122y x =-+，即220x y ++=． …………………15分 【方法二】由题意，得E 的左顶点()2,0A -，直线AM 的斜率为1，所以直线AM 的方程为2y x =+． ……………………………………………7分联立方程组222,1.42y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得23840x x ++=． 解得2x =-，或23x =-．………………………………………………………10分 所以点M 的横坐标23M x =-（因为2-为点A 的横坐标）， 所以点M 的纵坐标43M y =，从而点24,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………12分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以12AB k =-．………………………………14分所以直线AB 的方程为()122y x =-+,即所求直线l 的方程为220x y ++=．…………………………………………15分 19．解：（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由4328,2a a a ==+，得312118,2a q a q a q ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去1a 并整理，得2440q q -+=，………………………2分 解得2q =,从而11a =．所以12n n a -=； ……………………………………………………………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，由12b a =,265b b a +=，得12,4616b d =⎧⎨+=⎩，…………………………………………………………………5分解得12,2b d ==．所以()2122n b n n =+-⨯=． …………………………………………………6分（2）由（1）及题意，得221,212,n n n n m c n n m ⎧⋅=-=⎨+=⎩，，其中m N *∈． ………………8分①当n 为奇数时，不妨设数列{}2nn ⋅的前n 项和为S奇，所以13521n S c c c c -=++++奇，即()3521123252212n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯奇， …………………………9分所以()()35721214123252232212n n S n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯奇．上述两式相减，得()35212132222222212n n S n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯奇()()4121212145610221221433n n n n n -++--=+--⨯=⨯--， …………11分 所以S =奇216510299n n +-⨯+． ………………………………………………12分 ②当n 为偶数时，易得，数列{}2+1n 前n 项和为()()2541=591341232n n S n n n ++⎡⎤⎣⎦+++++==+偶．………………14分设{C n }的前2n 项和为T 2n 则2n T S S =+奇偶212651022399n n n n +-=⨯+++．………………………………………15分20．解：（1）因为()ln 1f x x m x =--（()0,x ∈+∞），所以()1mf x x'=-（()0,x ∈+∞）． ……………………………………………1分 因为1x =是()f x 的极值点，所以()10f '=，即101m-=，所以1m =． …………………………………………………………2分 此时()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-'=-=，（()0,x ∈+∞）． 易得，当01x <<时， ()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间()0,1上单调递减；在区间()1,+∞上单调递增，………4分 所以函数()f x 在1x =处的极值A 是最小值．…………………………………5分（2）由（1）知，1m =，所以()1ln 1x g x e x -=--，且()0,x ∈+∞． 所以()11x g x ex-'=-． ……………………………………………………………6分 设()11x h x ex -=-（()0,x ∈+∞），则()121x h x e x-'=+． ……………………7分 显然，当0x >时，()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10h =．………………………9分 所以,当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<； 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>．所以，函数()g x 的单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞． ………11分 （3）证明：由（1）可知,当1x >时，()()10f x f >=，即1ln x x ->．………………………………12分不妨令112n x =+（n ∈N *）， 则有11ln 122⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n （n ∈N *）．……………………………………………13分 所以12121111111ln 1ln 1ln 1112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n ， 即2111ln 1111ln 222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n e ．…………………………………15分 因为函数ln =y x 在区间()1,+∞上单调递增，所以2111111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n e （得证）． …………………………………16分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=消费/元（第5题）8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜( )a b ∈R ，为奇函数，则()f a b +的值为▲．【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cos C ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分 （2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得sin C ＝2sin A cos B ，…………………………………………………………………………8分 因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD 1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB 1⊥AC ．………………………………………………………………………3分（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． ………………………………………………4分 （2）将(0)y kx m k =+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m ++-=， 整理，得222(14)8480k x mkx m +++-=．① 由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =． …………………………………………………………………8分 因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A (2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ =α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ = t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT =α，O 1T =1， 所以O 1P 1sin =α． 又OO 1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中，（第18题）l 111sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ =QT = t ，O 1T =1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以1OP TP OQ TO =，即OP t = 化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ．列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km 2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t=OPQ的面积S的最小值为km2）．…………16分19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a=+∈R．（1）求()f x的单调区间；（2）试求()f x的零点个数，并证明你的结论．【解】（1）由函数f(x)＝a ln x(a∈R)，得f ′(x)2)x+．…………………………2分因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+∞)，单调减区间为(0，e-2)．……………………5分（2）由（1）可知，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1．………………………………………………6分（i）当a＞2e-1时，由f(x)≥f(e-2)＝a－2e-1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分（ii）当a＝2e-1时，因f(x)在(e-2，+∞)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x∈(0，e-2)∪(e-2，+∞)时，f(x)＞f(e-2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分（iii）当a＜2e-1时，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1＜0．①a≤0时，因为当x∈(0，e-2]时，f(x)＝a ln x＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e-2，+∞)单调递增，且f(e-2)＝a－2e-1＜0，又e-2a∈(e-2，+∞)，且f(e-2a)＝a(1－2e-a)>0，此时，函数f(x)在(e-2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分②0＜a＜2e-1时，因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4e a -∈(0，e -2)，且f ( )4e a -＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1； 当0＜a ＜2e -1时，f (x )的零点个数为2．………………………………………16分 20．(本小题满分16分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． （1）已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n －1．①求{a n }的通项公式；②试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z ()n *∈N ． 求证：{a n }为“等比源数列”．【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．………………………………………………4分 ②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ．……………………………………………………7分 所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n －m )［2a m +(n －m )d ］＝a m (k －m )成立．…13分 当n ＝a m +m ，k ＝2a m +a m d +m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列． 所以，数列{a n }为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． ABCDEOl（第21_A 题）【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12．所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分 55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α=4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，， 所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（ ）*．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（ ）*成立； （ii ）假设当n k =时，等式（ ）*成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（ ）*成立． 综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分。
2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试题(解析版)
2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =U （ ） A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】Q 集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{} 02B x x =<<,∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.3．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.4．函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(3,)+∞D ．(,3)-∞-【答案】D【解析】试题分析：因为290x ->，所以3x >或3x <-，由于函数29y x =-在(),3-∞-上递减，函数12log y x =在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间为(,3)-∞-，故选D. 【考点】1、函数的定义域；2、函数的单调性.5．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴， ∴，∴，，故选B.【考点】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念6．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意； 对于B ，22134x y -=的离心率为213e =，不合题意； 对于D ，22143x y -=的离心率为7e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-【答案】C【解析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.8．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．[0,1)C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】A【解析】在同一坐标系中画出()f x 的图像与y x a =+的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数a 的取值范围. 【详解】画出函数图像如下：当1a <时，函数()y f x =的图像与y x a =+的图像有两个交点， 即方程()f x x a =+有且只有两个不等的实根. 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.9．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q ，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>； 当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>，即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+Q 的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 10．i 是虚数单位,若21aii++是纯虚数,则实数a 的值为______. 【答案】2- 【解析】对复数21aii++进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到a 的值. 【详解】()()()()212111ai i ai i i i +-+=++-()()2221a a i i ++-=-2222a a i +-=+ 因为复数为纯虚数， 所以202a+=，得2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______【答案】108（石）.【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果. 【详解】因为256粒内夹谷18粒，故可得米中含谷的频率为189256128=， 则1536石中米夹谷约为15369108128⨯=（石）. 故答案为：108（石）. 【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题. 12．在261()x x+的展开式中，含3x 项的系数为_________.（用数字填写答案） 【答案】20【解析】试题分析：由题意可得()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令333461233,3,20r r T C x x -=∴=∴==，综上所述，3x 的系数为20，故答案为20.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两个底面半径为3，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体31，体积为2123123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 14．己知x >0，y >0，且211x y+=，若x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________. 【答案】[4,2]-【解析】由211x y +=，可得()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开，利用基本不等式可求2x y +得最小值，不等式等价于()2min 22m m x y +≤+，据此求出m 的取值范围即可.【详解】由211x y +=，可得()1442244282x y x yx y x y y y x y x x ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 而222x y m m +≥+恒成立()2min 22m m x y ⇔+≤+，所以228m m +≤恒成立，即2280m m +-≤恒成立， 解得42m -≤≤， 故答案为：[4,2]-. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.15．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+u u u v u u u v u u u v ，13DF DC =u u u v u u u v ，则BE BF ⋅=u u u v u u u v_________.【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF u u u r u u u r的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，Q 菱形边长为2，60ABC ∠=o ，()(()(1,0,0,3,1,0,3A B C D ∴--，()12BE BA BD =+u u u r u u u r u u u rQE ∴为AD 的中点，132E ⎛- ⎝⎭， 1123,33BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭u u u r u u u r Q ， 133153,,,2233BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，11522623BE BF ∴⋅=-+=u u u r u u u r .故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 16．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值； （2）求的值.【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 （1）在中，根据余弦定理，，于是， 解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 73，求线段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u v u u u v u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-u u u v 是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-u u u v ，利用0QB AD ⋅=u u u v u u u v，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-u u u v ，()2,2,2PB =-u u u v，由73cos<,PB AH >=u u u v u u u v24273234h h--=⋅+， 解方程可得结果.【详解】（1）Q 平面ADPQ ⊥平面ABCD ， 平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u v u u u v u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-u u u v是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-u u u v ，∴ 0QB AD ⋅=u u u v u u u v，又Q 直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面.（2）Q ()()2,2,2,=0,22PB PC =--u u u v u u u v，. 设()1111,,n x y z =u v为平面PBC 的法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =u v.设()2222,,n x y z =u u v为平面PBQ 的法向量，又Q ()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-u u u v u u u v，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =u u v，∴121212cos<,n n n n n n ⋅>==⋅u v u u vu v u u v u v u u v 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-u u u v ，又()2,2,2PB =-u u u v，又cos<,PB AH >=u u u v u u u v=，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，1B 为椭圆短轴的一个端点，12BF F ∆3 （1）求椭圆的方程;（2）若,,,A B C D 是椭圆上异于顶点的四个点AC 与BD 相交于点1F ，且0AC BD ⋅=u u u v u u u v,求||||AC BD 的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）||3131315154,,,||4151513133AC BD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】(1)根据题意列出方程组，求解,,a b c 即可求得椭圆的标准方程；(2) 设1122(,),(,)A x y C x y ，直线AC 方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立求出1212,x x x x +，利用弦长公式求出||AC ，同理求出||BD ，从而表示出||||AC BD ，根据题意求出k 的取值范围从而求出||||AC BD 的范围.【详解】解：（1）11212122B F F c a S c b ∆⎧=⎪⎪⎨⎪=⋅⋅=⎪⎩，2a c b =⎧⎪⎨=⎪⎩222a b c =+可得22234c c c =+， 解得1c =，则2a =，b =椭圆方程：22143x y +=（2）1(1,0)F -，设1122(,),(,)A x y C x y ，直线AC 方程为(1)y k x =+， 联立直线AC 方程与椭圆方程可得()22224384120k x k x k +++-=，221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++()22121||43k AC k +==+，因为0AC BD ⋅=u u u r u u u r ，所以直线BD 的方程为1(1)y x k=-+，把1k -代入()2212143k k ++可得()22121||34k BD k +=+，因为,,,A B C D 是椭圆上异于顶点的四个点AC 与BD ，所以两条直线均不过点(0,2,0)±，所以0,3k ≠±，222||34371(||430,44433AC k BD k k k +==+≠±⋅++ 因为2433k +>，所以2110433k <<+，222334371444344433k k k +<=+⋅<++ ∴||3131315154,,,||4151513133AC BD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S b +=，*n N ∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,,n n n b n c a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P .（3）设252123n n n n n b d a b b +++=，*n N ∈，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13n T <.【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；n b n =（2）当n 为偶数时，n p =21114332nn ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭；当n为奇数时，12(1)1114332n n n P -+⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】(1)根据题意列出方程组，求出1a 、q ，从而得到{}n a 的通项公式，当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-，化简可得{}n b n是首项为1的常数列，即可求得{}n b 的通项公式；(2)分类讨论，当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++⋯++++⋯+，分别利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和即可，当n 为奇数时，由1n n n P P b -=+可求得结果；(3)裂项法可得125111(21)(23)2(21)2(23)2n n n nn d n n n n -+=⋅=-++++，从而求得1113(23)23n n T n =-<+. 【详解】解；（1）因为0n a >，所以0q >，24562431224210414a a a q q a a a q ⎧=+⎧+-=⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩，解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-，即11n n b b n n -=-， ∴{}n b n是首项为1的常数列，1n bn =∴n b n =；（2）,1,2nn n n C n ⎧⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++⋯++++⋯+24111[13(1)][()()()]222n n =+++-++++L L22111441112(11)12433214n nn n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=+-+=+-⋅ ⎪⎝⎭-当n 为奇数时，11221(1)111(1)11143324332n n n n nn n P P b n ----+⎛⎫⎛⎫=+=+-+=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）125111(21)(23)2(21)2(23)2n n n nn d n n n n -+=⋅=-++++211111113525272(21)2(23)2n n n T n n -=-+-++-⋅⋅⋅++L1113(23)23n n =-<+ 【点睛】本题考查数列的综合，等差数列、等比数列通项公式、前n 项和的求解，分组求和法，裂项相消法求和，计算时一定要数对项数，属于较难题. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->Q ，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c <<a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.0a 1<<b 0<c 1>b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以 故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<<b c a<<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c<<c a b<<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大01,a <<12,12b c <<<<小.【详解】解：，，，所以.故选A.1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 01a ∴<<244log 3log 9log 71b c ==>=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a<<c a b<<c b a<<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】,,0.2221,0a >=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c<<c b a<<c a b<<【答案】C 【解析】由题意：，且：，()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。
2020年天津市北辰区高考数学一诊试卷
2020年天津市北辰区高考数学一诊试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合2{|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．{|01}x x <<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x -<<2．（5分）设x R ∈，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）设函数()sin ()f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是( ) A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减D ．()3f x π+的一个零点为6x π=4．（5分）函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(3,)+∞D ．(,3)-∞-5．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则( )A ．10a d >，40dS >B ．10a d <，40dS <C ．10a d >，40dS <D ．10a d <，40dS >6．（5分）已知离心率为53的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是( )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =-，则不等式(2)5f x +<的解集为( ) A ．(3,7)-B ．(4,5)-C ．(7,3)-D ．(2,6)-8．（5分）函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩„，若方程()f x x a =+恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞B ．[0，1)C ．(,1)-∞D ．[0，)+∞9．（5分）已知函数()y f x =的定义域为(,)ππ-，且函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当(0,)x π∈时，()()sin 2f x lnx f x ππ=-'（其中()f x '是()f x 的导函数），若(log 3)a f π=，13(log 9)b f =，13()c f π=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．（5分）i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为 ． 11．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为12．（5分）在261()x x+的展开式中，含3x 项的系数为 ．（用数字填写答案）13．（5分）已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ． 14．（5分）已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m ++…恒成立，则实数m 的取值范围 ．15．（5分）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，1()2BE BA BD =+u u u r u u u r u u u r ，13DF DC =u u u r u u u r，则BE BF =u u u r u u u r g ．三、解答题（本大题共5个小题，每小题15分，共75分）16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4a =，3c =，1cos 4A =-． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，//PD QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．（Ⅰ）求证：//QB 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB所成角的余弦值为73，求线段DH 的长．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12e =，1F ，2F 分别为左右焦点，1B 为短轴的一个端点，△112B F F 3（Ⅰ）求椭圆E 的方程（Ⅱ）若A ，B ，C ，D 是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC 于BD 相交于点1F ，且0AC BD =u u u r u u u r g ，求||||AC BD 的取值范围． 19．（15分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S b +=，*n N ∈，且11b =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,,n n nb nc a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．（3）设252123n n n n n b d a b b +++=，*n N ∈，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13n T <．20．（15分）设函数()2()f x ax lnx a R =--∈． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41)()10()k lnx x f x k Z --+-<∈成立，求k 的最大值．2020年天津市北辰区高考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合2{|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．{|01}x x <<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x -<<【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A B U ． 【解答】解：Q 集合2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|02}B x x =<<， {|12}A B x x ∴=-<<U ．故选：D ．2．（5分）设x R ∈，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式，即可判断出关系． 【解答】解：|1|1x -<，解得：01x <<． 由220x x --<，解得：12x -<<．∴ “|1|1x -<”是“220x x --<”的充分不必要条件．故选：A ．3．（5分）设函数()sin ()f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是( ) A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减D ．()3f x π+的一个零点为6x π=【分析】利用辅助角公式化积，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+．。
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。
天津市北辰区2023-2024学年高三上学期第一次联考(期中)数学试题含答案
北辰区2024届高三第一次联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}2,1,0,1,2U =--，{}2,1A =-，{}1,0,1B =-则()UA B ⋂=ð（）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}1,0- D.{}2,1,0,1--2.设x ∈R ，则“20x x ->”是“12x +>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.已知2log 0.8a =，0.22b =，0.10.2c =，则（）A.b c a >>B.c b a>> C.b a c >> D.a c b>>4.函数sin ()||1xf x x =+的部分图像大致为（）A. B.C. D.5. 下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │C. f (x )=cos│x │D. f (x )= sin│x │6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则5a =（ ）A. 32- B. 16- C. 16D. 327. 观察下列关于两个变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为A. 正相关、负相关、不相关B. 负相关、不相关、正相关C. 负相关、正相关、不相关D. 正相关、不相关、负相关8. 设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A.B.C.D. 9. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与C 的左支的一个公共点为P ，若原点O 到直线2PF 的距离等于实半轴的长，则双曲线C 的离心率为（ ）A53B.54C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10. 已知()23i 514i z +=+（i 为虚数单位），则z =________．11. 62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为________．12. 一条倾斜角为π4的直线经过抛物线24x y =的焦点，且该直线与圆22230x y y ++-=相交于，B 两点，则AB =________．13. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是________．.14. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则•DE CB 的值是________；•DE DC的最大值____________.15. 已知函数()221ax x f x x+-=，函数()2cos22sin g x a x a x =--，若()11,x ∀∈+∞．2π0,3x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，且222sin b A c a +=.（1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD CD ⊥，PD AD ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．（1）证明：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；（3）求平面MNC 与平面CDN 的夹角的余弦值．18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，直线0x y +=与圆222x y b +=相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点(4,0)N 的直线l 与椭圆交于不同两点，线段,A B 的中垂线为l '，若l '在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程.19. 各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*214,691,n n a a S n n N +==++∈．各项均为正数的等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==．（1）求证{}n a 为等差数列并求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若(32)n n c n b =-⋅,数列{}n c 的前n 项和n T ．①求n T ；②若对任意*2,n n N ≥∈,均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围．20 已知函数()()2ln R af x x x a x=-+∈．（1）当1a =时，求曲线()f x 在2x =处切线的斜率；（2）讨论函数()f x 单调性；（3）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x >，且()()()1212f x f x m x x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．.的北辰区2024届高三第一次联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】A第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【10题答案】【答案】4i +##i+4【11题答案】【答案】240【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】221【14题答案】【答案】 11【15题答案】【答案】78a <三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（1）3π； （2）a =【17题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）16； （3.【18题答案】【答案】（1）22143x y +=（2）440x y --=,.【19题答案】【答案】（1）32n a n =-,12n n b -=（2）①()3525nn T n =-⋅+; ②332m ≥【20题答案】【答案】（1）14-（2）见解析（3）0m ≤。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
2020届天津市六校高三上学期期初检测数学试题(解析版)
2020届天津市六校高三上学期期初检测数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}|02A x N x =∈≤<，{}|1B x N x =∈>，则()R A C B =（ ） A.{}0,1 B.{}0C.{}|01x x ≤≤D.{}|01x x ≤<【答案】A【解析】先求出R C B 再求()R A C B I 得解. 【详解】由题得{|2}{|2,}R C B x x x x x N =<>∉且, 所以()={0,1}R A C B .故选：A 【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．命题“x R ∀∈，223x x =”的否定是（ ） A.x R ∀∉，223x x ≠ B.x R ∀∈，223x x ≠ C.x R ∃∉，223x x ≠ D.x R ∃∈，223x x ≠ 【答案】D【解析】因为","x p ∀ 的否定为,x p ∃⌝ ,所以命题“x R ∀∈，223x x =”的否定是x R ∃∈，223x x ≠,选D.3．已知ln a π=，lg125b =，0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.以上选项都不对【答案】B【解析】利用指数对数函数的图像和性质确定,,a b c 的范围即得它们的大小关系.由题得2ln ln ln 2e a e π<=<=， 所以12a <<.2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e⎛⎫=<= ⎪⎝⎭, 所以b a c >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A.x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B.x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D.x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 【答案】B【解析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】 由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加.【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知直线m ，n ，平面α，n ⊂α，那么“m α”是“m n ” （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用线面的位置关系先考虑充分性，再考虑必要性得解. 【详解】先考虑充分性，当m α时，m 有可能和n 平行或异面，所以“m α”是“m n ”的非充分条件；再考虑必要性，当m n 时，m 有可能平行α，也有可能在平面α内，所以“m α”是“m n ”非必要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充要条件的判定和空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析能力.6．函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A.()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为，3sin 2sin A C =，1cos 4B =-，则cos 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）【答案】C【解析】通过三角形的面积以及已知条件求出a ，c ，利用正弦定理求解sin ,cos A A 的值；再利用二倍角公式可求cos2A ，sin2A 的值，进而利用两角和的余弦化简cos(2)3A π+得解.【详解】在ABC ∆中，由1cos 4B =-，可得：sin B =，由1sin 2ABC S ac B ∆==24ac =，∵3sin 2sin A C =， ∴32a c =. 可得4,6a c ==，由余弦定理可得：22212cos 1636264()644b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯-=，得8b =，由正弦定理sin sin a b A B=，可得：7sin 8A A =．所以217cos22cos 132A A =-=，sin 22sin cos A A A ==可得：1117cos(2)cos22()32232A A A π+==⨯=． 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式、二倍角公式和和角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 8．已知1F ，2F 分别为双曲线()222330x y aa -=>的左右焦点，P 是抛物线28y ax =-与双曲线的一个交点，若1218PF PF +=，则抛物线的准线方程为（ ） A.2x = B.3x =- C.3x = D.2x =-【答案】C【解析】求出P 点坐标，计算1||PF ，2||PF ，列方程计算a 的值即可得出答案． 【详解】双曲线的标准方程为222213x y a a-=，∴双曲线的左焦点1(2,0)F a -为抛物线28y ax =-的焦点，联立方程组2222338x y a y ax⎧-=⎨=-⎩，消元可得2238+30x ax a -=，解得3ax =（舍)或3x a =-．不妨设P 在第二象限，则(3P a -，)，又2(2,0)F a ，1||5PF a ∴==，2||7PF a ， 12||||1218PF PF a ∴+==，即32a =． 所以抛物线的方程为212y x =-∴抛物线的准线方程为112=34x =⨯．故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2'xf x f x e -<，()ln 24f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A.(),ln 2-∞B.(),2-∞C.()ln 2,+∞D.()2,+∞【答案】A【解析】由题得()()[']0xxe f x f x e ---<，构造函数()()xxg x e f x e -=-，求出函数()g x 的单调性得解. 【详解】由题得()()[']0xxe f x f x e ---<构造函数()()xxg x e f x e -=-，所以()()[()]0xxg x e f x f x e -''=--<所以函数()g x 在R 上单调递减.ln 2ln 21(ln 2)(ln 2)4202g e f e -=-=⨯-=,由函数的单调性得，当ln 2x <时，()(ln 2)0g x g >=， 即当(,ln 2)x ∈-∞时，恒有()0>g x ， 即()20,()xxxe f x e f x e -->∴>.所以不等式()2xf x e >的解集为(),ln 2-∞.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题10．二项式5的展开式的常数项是______. 【答案】-40【解析】先写出二项式展开式的通项，再求常数项. 【详解】由题得15555362155()(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-， 令550,362r r -=∴=故答案为：-40 【点睛】本题主要考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．i 是虚数单位，则()()3411i i i+-=+______.【答案】5【解析】先化简复数()()3411i i i+-+，再求模得解.【详解】 由题得()()3417(7)(1)=4311+(1+)(1)i i i i i iiii i +-++-==-+-，所以()()3411i i i+-=+.故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.12．如图，在三棱柱的侧棱1A A 和1B B 上各有一动点P ，Q 且满足1A P BQ =，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP -与三棱柱111A B C ABC -的体积比为______.【答案】1:3【解析】由已知中1A P BQ =，我们可得四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，等于侧面11ABPQB A 的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C PQBA -的体积转化三棱锥1C ABA -的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的13，求出四棱椎C PQBA -的体积，进而得到答案． 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，侧棱1AA 和1BB 上各有一动点P ，Q 满足1A P BQ =，∴四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，故四棱椎C PQBA -的体积等于三棱锥1C ABA -的体积等于13V ，所以四棱锥C ABQP -与三棱柱111A B C ABC -的体积比为体积比为1:3. 故答案为：1:3 【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，等于侧面11ABPQB A 的面积的一半，将四棱椎C PQBA -的体积转化三棱锥1C ABA -的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的13，是解答本题的关键． 13．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O .若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ACAB=______.【解析】首先用AB 、AC 表示出AD 、EC ，结合3AB AC AD EC ⋅=⋅得221322AB AC =，进一步可得结果． 【详解】 由题得1()2AD AB AC =+， 13EC AC AE AB AC =-=-+，因为3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以331))223AB AC AB AC AB AC ⋅=+⋅+（（- ∴221322AB AC =， ∴2213AC AB=，∴AC AB故答案为： 3【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形加法和减法法则和平面向量的基底法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．设0a ≥，0b ≥，则32a b++的最小值是______.【答案】2【解析】由题得,a b 不能同时为零，当0a >时，先令0bt b at a=≥=，，原式，再2(0)t x x =≥，原式=1333x x x +≥+++，再利用导数求()0)f x x =≥的最小值得解. 【详解】由题得,a b 不能同时为零， 当0a =时，0,b >原式=1, 当0a >时，可令0bt b at a=≥=，，原式令2(0)t x x =≥，原式=1333x x x +≥+++，当且仅当1x =时取等.设1，所以()f x '=所以函数()f x 在[0,1)单调递增，在1+∞（，）单调递减， 所以max 1()(1)2f x f ==，所以原式当且仅当x=1时取等)所以最小值是2.故答案为：2【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(]0,2x ∈时，()f x =()()2,010.5,12k x x g x x ⎧+<≤=⎨<≤⎩，设函数()()()h x f x g x =+，若在区间(]0,13x ∈上，函数()h x 有11个零点，则k 的取值范围是______.【答案】143⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦【解析】先作出函数()f x 与()g x -的图象，得到函数()f x 与1()(122g x x -=-<…，34x <…，56x <…，78910,1112x x x <<≤<≤，…仅有3个实数根，则()f x (0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，再通过数形结合得解. 【详解】令()()()h x f x g x =+=0，所以()()f x g x =-在区间(]0,13x ∈上，函数()f x x y 和=-g()的图像有11个交点，()()2,01k x x y g x ⎧-+<≤=-=⎨作出函数()f x 与()y g x =-的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122y g x x =-=-<…，34x <…，56x <…，78910,1112x x x <<≤<≤，）…仅有3个实数根；所以要使关于x 的方程()()f x g x =-有8个不同的实数根，则()y f x ==(0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线+20kx y k +=的距离为11=，解得0)k k =<，两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k -=，所以13k =-∴13k <≤-．故答案为：143⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题16．某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同。
2020届高三上第一次模考理科数学试卷及答案解析
2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （ ） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科
创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +>创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01（C ）12()()0f x f x ->（D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若23MN ≥k 的取值范围是( ) （A ）12(,)5-∞-（B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞ 8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OC OB ⋅的最大 值是（ ） （A ）2 （B ）12+（C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2 2.在Rt△PAH中，PH=22PA AH+=32，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以ADu u u r,APu u u r的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PEu u u r=（1,0,-2），ECuuu r=（1,1,0），APu u u r=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APn AP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、333⎛⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m ＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122nn n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122nn b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
2020年天津市北辰区高考数学一诊试卷(含答案解析)
2020年天津市北辰区高考数学一诊试卷一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|0<x <4}，则A ∪B =( )A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,3)2. 不等式x 2+3x +2>0成立的一个充分不必要条件是( )A. (−1,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,−2]∪[−1,+∞)D. (−1,+∞)∪(−∞,−2)3. 设函数f (x )=sinx +√3cosx (x ∈R )，则下列结论中错误的是 ( )A. f (x )的一个周期为2πB. f (x )的最大值为2C. f (x +π3)的一个零点为x =π6D. f (x )在区间(π6,2π3)上单调递减4. 函数的单调减区间为( )A. (0,1]B. (0,2)C. (1,2)D. [0,2]5. 在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 3=16，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则d =( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 双曲线C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若|AF 2|=|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A. 1+√2B. 1+√3C. 2+√2D. 2+√37. 已知函数f(x)=(m −1)x 2+2mx +3是定义在R 上的偶函数，则f(x) ( )A. 在R 上是单调增函数B. 在R 上是单调减函数C. 在(−∞,0]上是单调增函数D. 在[0,+∞)上是单调增函数8. 已知函数f(x)={log 12x,x >02x,x ≤0若关于x 的方程f(x)=k 有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (−∞,1)C. (0,1]D. (1,+∞)9. 已知函数f (x )=x +sinx ，x ∈R ，若a =f (log 123)，b =f (log 132)，c =f (2−2)则a,b,c 的大小为( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知i 是虚数单位，则2i1−i = ______ ．11. 围棋盒子中有多枚黑子和白子，已知从中取出2枚都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235，则从中任意取出2枚棋子恰好是同一色的概率是________． 12. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为________．13. 平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为______ ．14. 已知x,y ∈(0,+∞)，且2y +x −xy =0，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_____________15. 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB =60°，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c.已知acosC +12c =b ．(1)求A ；(2)若b =4，c =6，求cos B 和cos(A +2B)的值．17. 如图，在四面体A −BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，CD =2，AD =4.M 是AD 的中点，P是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC ． (1)证明：PQ//平面BCD ；(2)若异面直线PQ 与CD 所成的角为45°，二面角C −BM −D 的大小为θ，求cosθ的值．18.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，交抛物线于M，N两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若|AB|=12|MN|，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=4x，若4，f(a1)，f(a2)，…，f(a n)，2n+3(n∈N∗)构成等比数列．(I)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n={1n,n为偶数n+2,n为奇数，求数列{b na n}的前n项和为S n．20.试讨论函数g(x)=lnx−2ax+2a，a∈R的单调性．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∪B={x|−1≤x<4}=[−1,4)．故选：A．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可．解：∵x2+3x+2>0，∴(x+1)(x+2)>0，解得：x>−1或x<−2，故不等式x2+3x+2>0成立的一个充分不必要条件是(−1,+∞)，故选：A．3.答案：C解析：本题主要考查三角函数的性质，涉及到函数的周期、单调性和对称性，牢记三角函数的性质并灵活运用是解题的关键，属较易题．首先化简函数式，然后逐项判断性质即可．解析：解：由题意，对于A：函数f(x)的最小正周期是，所以A正确；对于B：函数最大值为2，所以B正确；对于C：，当时，函数值不为0，所以C不正确．对于D：令，解得，当k=0时，函数f(x)的一个单调递减区间是，所以正确；故选C．4.答案：A解析：本题考查了求复合函数的单调区间，按照“同增异减”的方法求单调区间，属于容易题．解：令t=2x−x2>0，求得0<x<2，t，可得函数的定义域为{x|0<x<2}，且y=log13本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(0,1]．故选A．5.答案：D解析：本题主要考查等差数列的基本知识和等比中项的性质．本题先根据等差数列的概念写出a1=a3−2d=16−2d，a7=a3+4d=16+4d，然后根据等比中项的性质有a32=a1a7，代入即可解出d的值．解：由题意，a1=a3−2d=16−2d，a7=a3+4d=16+4d，∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32=a1a7，即162=(16−2d)(16+4d)，整理，得d2−4d=0，解得d=4．故选：D．6.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．=求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，得b2a2c，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，|AF2|=|F1F2|，=2c，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以b2a=1+√2．c2=a2+b2=1，解得a=√2−1，双曲线的离心率e=ca故选A．7.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性，以及二次函数单调性，属于基础题．根据偶函数性质，求解参数即可．解：∵函数为偶函数，则f(−x)=f(x)，得m=0，∴f(x)=−x2+3，根据二次函数性质，在(−∞,0]上是单调增函数．故选C．8.答案：C解析：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，数形结合得答案．解：由题意画出函数图象如图，由图可知，要使方程f(x)=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(0,1]．故选：C．9.答案：C解析：本题考查了函数的单调性的应用，属于基础题．求函数f(x)=x+sinx的导数f′(x)=1+cosx≥0，可得函数f(x)在R上递增，即可得c>b>a．解：函数f(x)=x+sinx的导数f′(x)=1+cosx≥0，∴函数f(x)在R上递增，又，，2−2=14>0，所以，∴c>b>a，故选C．10.答案：−1+i解析：解：复数2i1−i =2i(1+i)(1+i)(1−i)=−1+i．故答案为：−1+i．利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，是基础题．11.答案：1735解析：本题求事件的概率关键是判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．“任意取出2粒恰好是同一色”包含“取出2粒都是黑子”和“取出2粒都是白子”两个事件的和事件，利用互斥事件的概率公式求出从中任意取出2粒恰好是同一色的概率．解：因为取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235， 所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为17+1235=1735故答案为1735．12.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数． 求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r 2r x 10−3r ，令10−3r =4，得r =2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为C 5222=40．故答案为40．13.答案：23π解析：解：方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形是一个以(0,1)，(1,0)，(0,−1)，(−1,0)为顶点的正方形，绕y 轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体， 如下图所示：圆锥的底面半径为1，高为1，故几何体的体积为：2×13×π×1=23π， 故答案为：23π.方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形是一个以(0,1)，(1,0)，(0,−1)，(−1,0)为顶点的正方形，绕y 轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体圆锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．14.答案：(−4,2)解析：本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换．应注意基本不等式中等号成立的条件． 2y +x −xy =0等价于2x +1y =1，根据乘“1”法利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得道关于m 的不等式，即可解出m 的范围． 解：∵x,y ∈(0,+∞)，且2y +x −xy =0， ∴2x +1y =1，∴x +2y =(x +2y)·(2x +1y)=2+2+4y x+x y ≥4+2√4y x ·xy =8，当且仅当4yx =xy ，即x =4，y =2时取等号， ∵x +2y >m 2+2m 恒成立， ∴m 2+2m <8，解得−4<m <2， 故答案为：(−4,2)．15.答案：−a23解析：解：如图所示， ∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB =60°， ∴|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，。
2022届天津市北辰区高三下第一次测试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④ 2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π4．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元 6．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA 的最小值为（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．2237．若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A．1 B．2-C．12D．12-9．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“//lα”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年11．函数y=2x sin2x的图象可能是A．B．C ．D ．12．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津北辰区朱唐庄中学 高三数学理月考试卷含解析
2020年天津北辰区朱唐庄中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.参考答案：B2. 已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把||=7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果．【解答】解：∵||=7，||=3，||=5，∴2﹣2?+2=9﹣2?+25=49∴?=﹣，∴cos＜，＞===﹣∵＜，＞∈[0，π]∴与的夹角为．故选A．3. 已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5}的子集，且，则集合A 可以有( )种情况。
A.2B.3C.4D.6参考答案：C4. “成等差数列”是“”成立的（）A．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件参考答案：A5. 已知,函数在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略6. 命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。
【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。
7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是A.B.C.D.参考答案：D 略8. 若数列的前n 项和为S n =n 2，则A ．a n =2n-1B ．a n =2n+1C ．a n =-2n-1D ．a n =-2n+1 参考答案： A 略9. 设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）( ) A ． 1 B ． 4 C ．D ． 1或4参考答案：D10. .已知是锐角的外接圆的圆心,且,若,则=( )A.B. C.D.参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线（为常数）与函数及函数的图象分别相交两点，则两点之间的距离为.参考答案：12. 观察下列等式：可以推测：= 。
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2020年高考数学一诊测试试卷一、选择题（共9小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞06．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题（共6小题）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为．（用数字填写答案）13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．三、解答题（共5小题）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．参考答案一、选择题（共9个小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2．∴“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的充分不必要条件．故选：A．3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝解：f（x）＝sin x+cos x＝．f（x）的一个周期为2π，故A正确；f（x）的最大值为2，故B正确；由＜x＜，得＜＜π，∴f（x）在区间（）上单调递减，故C 正确；f（x+）＝，取x＝时，函数值为，故D错误．故选：D．4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）解：函数f（x）＝的单调递增区间，即函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：D．5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0解：等差数列{a n}的公差d＞0，若a3，a4，a8成等比数列，可得a3a8＝a42，即（a1+2d）（a1+7d）＝（a1+3d）2，化为5d+3a1＝0，由d＞0，可得a1＜0，a1d＜0，S4＝4a1+6d＝﹣d+6d＝﹣d＜0，则dS4＜0，故选：B．6．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解：离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x﹣3y＝0，抛物线y2＝12x的准线：x＝﹣3，可得P（﹣3，﹣4），双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），满足PF1⊥PF2，（3﹣c，4）•（3+c，4）＝0，解得c＝5，则a＝3；b＝4；舍去的双曲线方程为：＝1．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，又f（x）为偶函数，故f（x）＝x2+4x（x＜0），①当x+2≥0，即x≥﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2﹣4（x+2）＜5，解得﹣3＜x＜3，此时﹣2≤x＜3；②当x+2＜0，即x＜﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2+4（x+2）＜5，解得﹣7＜x＜﹣1，此时﹣7＜x＜﹣2；综上，不等式的解集为（﹣7，3）．故选：C．8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）解：由函数，可得f（x）的图象和函数y＝x+a有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选：C．9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cos x，令x＝，则f′（）＝2，∴f′（x）＝﹣2cos x，当x∈时，≥2，2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时，＞0，2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为﹣2．解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为108石解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，设这批米内夹谷约为x石，则，解得x＝108（石）．∴这批米内夹谷约为108石．故答案为：108石．12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为20．（用数字填写答案）解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为2π．解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V＝2×＝2π．故答案为：2π．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围[﹣4，2]．解：由，可得x+2y＝（x+2y）（）＝4++≥4+2＝8，而x+2y≥m2+2m恒成立⇔m2+2m≤（x+2y）min，所以m2+2m≤8恒成立，即m2+2m﹣8≤0恒成立，解得﹣4≤m≤2．故答案为：[﹣4，2]．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．解：由＝（），＝，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC 的三等分点靠近点D处，由菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，得：||＝2，∠ABD＝30°，则＝（）•（）＝﹣+＝×12﹣+×＝，故答案为：．三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，又a＝4，c＝3，cos A＝，2b2+3b﹣14＝0，解得b＝2；（Ⅱ）由cos A＝﹣，所以sin A＝，由正弦定理得：，得sin B＝，又0，所以cos B＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝2cos2B﹣1＝，所以sin（2B+）＝+＝，故答案为：．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，AB∩QA＝A，CD∩PD＝D，∴平面ABP∥平面DCP，∵QB⊂平面ABQ，∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，0，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设平面PBQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），设二面角C﹣PB﹣Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝﹣＝＝﹣，∴θ＝，∴二面角C﹣PB﹣Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设DH＝t，则H（0，0，t），A（2，0，0），＝（﹣2，0，t），＝（2，2，﹣2），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝，∴线段DH的长为．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝2c，b＝c，△B1F1F2的面积的面积S＝×2c×b＝，则bc＝，解得：a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F（﹣1，0），由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，设直线AC：y＝k（x+1），且k≠±，A（x1，y1），C（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，则|AC|＝•＝，将﹣代入上式可得|BD|＝，则＝＝+•，k2≠3，由k2＞0，则＜+•＜，k2≠3∴的取值范围（，）∪（，）．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．解：（1）等比数列{a n}的各项均为正数，设公比为q，q＞0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4＝2a5+4a6，即a4＝a4q+2a4q2，即2q2+q﹣1＝0，解得q＝（﹣1舍去），由，可得a1q3＝4（a1q2）2，即a1＝a12，解得a1＝，则an＝•（）n﹣1＝（）n；数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1，可得n≥2时，S n﹣1＝b n﹣1，又，两式相减可得b n＝b n﹣b n﹣1，化为＝，则b n＝b1••…＝1••…＝n，上式对n＝1也成立，则b n＝n，n∈N*；（2）＝，当n为偶数时，前n项和P n＝（1+3+5+…+n﹣1）+（++…+）＝（1+n﹣1）（）+＝+（1﹣）；当n为奇数时，P n＝P n﹣1+n＝+（1﹣）+n；（3）证明：＝＝2[﹣]，则前n项和T n＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＜2×＝，即有．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．解：（I）f′（x）＝a﹣，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）a＝1时，f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）＝﹣1．x→0+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a＝1时，对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+＝g（x），g′（x）＝+＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（1，+∞），u′（x）＝1﹣＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝2﹣2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+＝x0﹣2+＝x0+﹣1∈（，），∵4k＜，k∈一、选择题．∴k的最大值为0．。