正弦量的相量表示法

i i1i2 I1msin(t1)I2msin(t2)
1. 用三 角函数
I1m(sintcos1costsin1)
式 求 解 I2m(sintcos2costsin2)
(I1mcos1I2mcos2)sint
(I1msin1I2msin2)cost
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量， 设此正弦量为
的相量，并画出相量图。
解 分别用有效值相量 U A U B U C 表示uA、 uB和uC
则
U A 22 /0 0 2V 20
U C
U B22 / 10 2 2 02 (1 2 0 j2 3)V 120 U A
U C22 /10 22 0(2 1 20 j2 3)V 120
它们的相量图为：(右图)
与前面讨论的复数表示法一致。
通过上面讨论可知 动点A(复数)坐标的为
A(t)=r cos (t+) + j r sin(t+) jy
= r e j(t+) = r / t+
A
正弦量 u = Um sin(t+)
复数量 A= r( cos + j sin )
ψ
0
x
A = r e j
至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦
(I1m si n 1I2m si n 2)212
总电流 i 的初相位为
ar(I c1 m tsg i 1 nI2m si 2 n) I1 m co 1 sI2m co 2s
Im (I1m co 1 sI2m co 2)s2 (I1m si n 1I2m si n 2)212
ar(I c 1 m tsg i 1 n I2 m si 2 n) I1 m co 1 sI2 m co 2s
U B
例3-4 • 对如图电路，设
i
i 1 I 1 m s t i 1 ) n 1 s ( 0 t i 4 n ) A 0 5 ( i 2 i 2 I 2 m s t i 2 ) n 6 s ( t 0 i 3 n ) A 0 ( i 1
试求总电流 i 。
解 本题可用几种方法求解计算。
§3-2. 正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
uU m si n t ( )
+
②正弦波形图示法: (见右图) 0
_
t
③ 相量表示法。
相量表示法
量，记为 U mUmej (幅值电压相量)
或
U Uj e (有效值电压相量)
※幅值相量与瞬时值之间的关系
• 旋转相量：A=r cos (t+) + j r sin(t+)
= r e j(t+) = r t + • 相量(复数)：A= r( cos + jsin) = r e j
• 交流电瞬时值：u = Um sin( t+)
•将相量(r e j )乘上一个时间因子(e j t)，
得到复数圆的轨迹，对其取虚部的结果就 是正弦量的瞬时值。
※虚单位 j 的数学意义和物理意义
• j = e j90°
jy
• j×j = j 2 = e j90°× e j90° = e j180°= –1
即 j 1
j
j2
1
–1 o j4 x j3 –j
考虑欧拉公式：
cos ej ej sin ej ej
jy b
A
2
2j
可改写为：
A = r e j
也可简记为： A = r
0 ax
•由此可得到复数的三种表示法，即直 角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。
•其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及 极坐标式便于进行乘除运算。
现令有向线段OA绕原点O以角速度ω作逆时针旋
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= –30
则 Im (7.7 0 5)2 2 (7.7 0 3)2 0 1.7 2 2 4 2.7 2 0 1A 29
ar(7 c.7 t0 g 3)0 12 8 0
故得
7.7 0 52
i 1s 2 it9 n 1 2 ( 0 8 ) A
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。
jy A b
设在复平面上一复数A(a,b).
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctgb
或： arcos brsin
a
代入后，可得 A=r (cos + j sin )
•同理 j3 j 及 j4 1
由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度 为90°的旋转因子。乘以 j 是向正方向 旋转90°；除以 j 是向负方向旋转90°。
例 试写出表示uA=220 2 sin314t V,
题
uB=220 2 sin(314t–120º) V,
3-3 uC=220 2 sin(314t+120º) V,
转，可得A点在纵轴上的投影坐标为 jy
y = |OA| sin ( t+ )
比较正弦电压
y
A
u = Um sin ( t+ )
A点的轨迹在复平面上的位
0
x
置用复数可表示为：
A= r [cos( t+)+j sin( t+)]
= r e j( t+ )
=r/t+
可改写为 A= r e j e jt 其中 A= r e j 相当于初始值。
2. 用正弦波求解 i
129sin (t–18.3)
0Hale Waihona Puke Baidu
100sin (t+45)
t
60sin (t–30)
2. 用相量图求解
45°18.3° 30°
i I m s t i ) n I m c s ( o t i I m s s n c i t n o
则
Im co sI1m co 1sI2m co 2s i
Im si nI1m si n 1I2m si n 2
i2
因此，总电流 i 的幅值为
i1
Im (I1m co 1 sI2m co 2)s2