正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦量是一种重要的物理量，它被广泛用于电路和电子学中，是可以度量和测量电压或电流的一种简单的、可靠的方法。
它也被称为波格拉它。
正弦量以极坐标形式表示，它以每个周期的正弦值表示一个周期的数字。
它的特点是，它的值可以被定义为在指定的时间段内，电压或电流信号所处的极点。
正弦量的相量表示法是一种表示正弦量的计算方式，它可以将正弦量以角度为单位表示出来，而不是以极坐标表示法表示。
正弦量的相量表示法主要具有三种优点：
首先，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更有效率、易于理解。
例如，在极坐标表示法中，每个极坐标代表一个振荡周期，这就要求用户记住每个周期的角度、大小和方向，而正弦量的相量表示法可以把每个周期的值表示为一个数字，从而使用户更加容易理解每一个振荡周期。
其次，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更容易计算。
例如，在极坐标表示法中，需要计算每个振荡周期的极点，而正弦量的相量表示法可以直接计算每一个振荡周期的值，因此减少了计算的复杂程度。
最后，正弦量的相量表示法也可以作为数据处理或电子设备的一种实现方式，这种方式比极坐标表示法更为清晰。
此外，正弦量的相量表示法可以使用更多的计算机技术进行实现，以提高计算机对正弦量处理能力。
正弦量的相量表示法是一种高效方便的表示方式，它不仅使得表示更加清晰，而且可以明显降低计算机程序的复杂度，是电子行业用来表示正弦量的首选方式。
因此，正弦量的相量表示法应运而生，并迅速得到广泛使用。
它在电子领域的应用越来越广泛，赋予了正弦量表示技术更强的功能性和效率性，实现了正弦量表示技术的完美。
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
4.2 正弦量的相
60° 5 60°
& I 2m
& − I2m
5
由相量图上的几何关系可得
& & I1m − I2m =5
则
i1 − i2 = 5sin ω t +150
(
& − I =5∠ o I1m &2m 150
o
)
3.相量形式的 KCL 和 KVL （补充内容）
（1）相量形式的 KCL 所有流入（或流出）节点的电流相量的代数和等于零，称 为相量形式的 KCL 。
acm
辐角
1.93 ψ = arctg = 22.5o 4.66 注意： & = 5.04∠22.5o Uacm Uacm ≠ Uabm +Ubcm o uac = 5.04sin( ω t + 22.5 )
4. j 的物理含义
因为
e
e
j 90o
=cos90o + j sin90o = j
= cos 90o − j sin 90o = − j
− j 45o
所表示
& Um = 10e
Um = 10
o
j 45o
， 初相
ωt + 45 o u = 10sin( ωt + 45 )
− j 45o
ψ = 45
o
& I = 10e
I =10
， 幅值
o
ψ ωt − 45 所以 i = 2 ×10sin( ωt − 45o )
= −45， 相位
Im = 2 ⋅ I = 2 ×10
或
& & & I1 + I2 + I3 = 0
正弦量的相量表示法
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
例3: 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
试求uAB ，并画出相量图。
解:(1) 用相量法计算：
相量图: 把相量表示在复平面上的图形
可不画坐标轴
U
I
⑤相量的书写方式 I 模用最大值表示 ，则用符号： Um 、m
I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220sin(ω t 45)V 220 j45 Um 220 j45 V U e e V 则 或 2
AB
220 ( 1 0.5 j 0.866 )V
220 1.73 30V
UCBiblioteka -U B U AB UA
380 30 V
所以uAB 380 2 sin ( ω t 30 )V
(2) 相量图
30
UB
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2
有效值 j45 •
1.已知：
3.已知：
I 4e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
220 e45 V？ Um
2.已知： I 10 60A
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
求：i i1 i2 。
i2 11 2 sin(314t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
5-3 正弦量的相量表示法
i ( t ) I m sin( t i )
或
I m I m e j i I m i
I Ie j i I i
相量
U m U m e j u
U U u
正弦量
u( t ) Im(U m e j t ) u( t ) Im( 2Ue j t ) i ( t ) Im( I m e j t ) i ( t ) Im( 2 Ie j t )
20e 20 4)I
例2.根据已知正弦量写出对应相量
2 3 2)u2 20 sin(t ) 4
20 3 2) U 2 4 2
1)u1 10 2 sin(t 10 1)U 1 2
)
例3.根据已知相量写出对应正弦量，频率为工频。
1.复数
A a 2 b2
b arctg a
A a jb
a A cos b A sin
A A(cos j sin )
A Ae j A
e j cos j sin
（欧拉公式）
2.复数运算
A1 A1e j 1 A1 1 a1 jb1
U m U m e j
U Ue j
幅值相量与有效值相量的关系： U m 2U
常用相量表示形式：
U Ue j 指数形式
U U极坐标形式 U U (cos j sin ) 直角坐标形式
同理有：
I Ie j I I (cos j sin )
1)I 1 2 i1 4 2 sin( 314t
2)I 2 2 3 j 2
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
3.2 正弦量的相量表示法
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90°正交
(1)用相量图叠加
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
求和
则： Im= Im12 + Im22 = 5
θ =arctan(对边/邻边) = 53°
(本例）=1+θ =83° i=5sin(ωt+83°)
现有复数A =|A| e j
相量图
A
+1
若令：A• j =|A| e j ·e j 90° 则有：A• j = |A|e j ( + 90°)
由此知，A j使A逆时针旋转90°
相量图 Aj
90°
A
同理， A（- j）使A顺时针旋转90° 故：复平面中，j 是旋转90°的算子符。
+1
接3.3
4.复数的极坐标形式 A = A
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 +j
一、正弦量的相量表示法
b(t)
若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
A
ω
A ωt
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为：
b(t)=|A|sin(ωt +)
形式完全相同
i(t)=Imsin(ωt +)
但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
三、相量表示法举例 例1. i=5 2 sin(ωt+30 °) 极大值相量式： Im=5 2∠30° 有效值相量式： I =5∠30°
相量图
5 Iω
30°
+1
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法在物理学中，正弦量（sine wave）是一种振荡量，它可以以普遍的正弦函数的形式来表示。
它往往用来表示物理或数学模型中的规律性或周期性变化，因此拥有在物理研究中重要的应用价值。
正弦量也是数字信号处理、生物科技、通信和声学中的重要组成部分。
正弦量的相量（phasor）表示法是对正弦量的一种数学表示方式，用一个复数来表示整个正弦波的大小和相位（即时间延迟）。
正弦量的复数表示法可以将其分解成两个部分，一部分用有理解题目中提到的正弦量的大小（模）来表示，另一部分用相应的正弦量的角度（相角）来表示。
弦量的相量表示法可以用工程学中常见的极坐标和/或复平面形式来表示，可以用曲线图和/或数字示意来表示。
正弦量的相量表示法的基本原理是用一个复数来表示正弦量的实部和虚部，采用极坐标和/或复平面形式来表示。
在极坐标中，我们可以用极径（r）和极角（θ）来表示正弦量：在极坐标中，极径表示正弦量的大小，而极角表示正弦量的相位。
在复平面上，我们可以采用复数的形式来表示正弦量，即复数z的实部和虚部：在复平面上，复数的实部表示正弦量的大小，而复数的虚部表示正弦量的角度。
正弦量的相量表示法有几个优点。
首先，正弦量的相量表示法可以用数字的形式来精确地表示正弦量的相位。
其次，正弦量的相量表示法可以用复数的形式来精确表示正弦量的大小。
最后，正弦量的相量表示法使得正弦量的数学操作变得简单、高效。
正弦量的相量表示法在很多情况下都有重要的应用价值。
例如，在电机控制中，正弦量的相量表示法可以用来描述电机的运动，以及与其相关的特性，如频率、相位和相应的电压、功率等。
此外，正弦量的相量表示法在电子学的元件分析和模拟中也有广泛的应用价值。
由于正弦量的相量表示法的众多优点，在现今的工程学研究中，它得到了越来越广泛的应用。
正弦量的相量表示法为物理学、数字信号处理、生物科技、通信和声学等领域的研究提供了一种新的模型来建立物理模型和模拟信号运行行为，从而改善现有系统的性能。
正弦量的相量表示法
ψ
0
x
A = r e j
至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦
量，记为 或
Um Ume j (幅值电压相量) U Ue j (有效值电压相量)
※幅值相量与瞬时值之间的关系
• 旋转相量：A=r cos (t+) + j r sin(t+)
= r e j(t+) = r t + • 相量(复数)：A= r( cos + jsin) = r e j
i Im sin(t ) Im cos sin t Im sin cos t
则
Im cos I1m cos 1 I2m cos 2
i
Im sin I1m sin 1 I2m sin 2
因此，总电流 i 的幅值为
Im (I1m cos 1 I2m cos 2 )2
(I1m sin 1 I2m sin 2 )2
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= –30
则 Im (70.7 52)2 (70.7 30)2 122.72 40.72 129A
arctg (70.7 30) 1820
故得
70.7 52
i 129sin(t 1820)A
2. 用正弦波求解 i
a
代入后，可得 A=r (cos + j sin )
考虑欧拉公式：
cos e j e j sin e j e j
jy b
A
2
2j
可改写为：
A = r e j
也可简记为： A = r
0 ax
•由此可得到复数的三种表示法，即直 角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。
电路分析基础：正弦量的相量表示法
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ125 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
Im
(t i )
正弦量
复数
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
2.3-正弦量的相量表示法-J
正弦量的产生 讲解：XX
16
2、正弦量的相量表示法 （课本P37） 正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi
是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电 流i，记为：
ImIm eji Im i
并称其为相量。
17 讲解：XX
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12 讲解：XX
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
13 讲解：XX
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
讲解：XX
20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
2.3 正弦量的相量表示法
学习内容： 1. 2. 复数的运算 3. 正弦量的相量表示
1 讲解：XX
正弦量的相量表示法 实质：用复数表示正弦量
所以先学习复数知识
讲解：XX
2
2.3 正弦量的相量表示法
2.3.1 复数简介 复数定义： 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b 复数的为虚部， i 1称为虚部单位。
电工电子技术基础知识点详解2-3正弦量的相量表示
正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。
相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。
要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。
1. 复数复数的表示形式及相互关系设复平面有一复数A ，其模为r ，幅角为ψ ，如图1所示。
它可以用以下几种形式表示；(1) 复数的代数式: b a A j +=22b a r += 复数的模ab arctan =ψ 复数的辐角(2) 复数的三角式：)sin j (cos sin j cos ψψψψ+=+=A A A A(3) 复数的指数式: ψj re A =(4) 复数的极坐标式: ψ∠=r A上述复数的四种表达形式，可以互相转换。
ψψψψ∠==+=+=r re r b a A j )sin j (cos j复数的加减运算可用代数式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
说明：数学中虚数用i 表示。
电工中在相量表示时，为了不与电流i 相混淆，改用j 表示虚数。
2．正弦量的相量表示由上可知：复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由幅值、角频率、初相角三个特征来确定。
在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的，可以不考虑。
因此，一个正弦量由幅值(或有效值)何初相位就可确定。
比照复数，正弦量可用复数表示。
复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)复数的辐角即为正弦量的初相角为了与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称相量。
用大写字母加“·”表示。
若已知正弦电压为)sin(m ψω+=t U u ，相量式可写为ψψψψ∠==+=mj m m m )sin j (cos U e U U U 最大值相量 相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角或:ψψψψ∠==+=U e U U Uj )sin j (cos 有效值相量相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角综上所述，正弦量的相量表示，其实质是将同频率的正弦量变换成它的复数形式，这样就把正弦稳态交流电路中繁琐的三角函数运算变换成复数运算，从而简化了运算过程。
正弦量的相量表示及运算
蒸发操作的类型
1. 按二次蒸气的利用情况分：单效蒸发和多效蒸发
单效蒸发：将二次蒸气不在利用而直接送到冷凝器冷凝以除去的蒸发 操作。 多效蒸发：若将二次蒸气通到另一压力较低的蒸发器作为加热蒸气， 则可提高加热蒸气（生蒸气）的利用率，这种串联蒸发操作称为多效 蒸发。
一、正弦量的相量表示
1. 复数的表示形式 用相量来表示相对应的正弦量的方法称为相量表示法。 相量本身就是复数。 一个复数可用下面4种形式来表示： 设A为复数 (1) 代数式A =a + jb
式中:
r a2 b2
arctan b
a
a r cos
复数的模 复数的辐角
b r sin
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
2．复数的四则运算 设有两个复数分别为：A1 r1a a1 jb1 A2 r2b a2 jb2
A1、A2加、减、乘、除时运算公式如下： A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 • A2 r1r2a b
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 3.004 j0.6156A
A1 A2 1030845 108(30 45) 8075A
A1 1030 10 (30 45) 1.25 15A A2 845 8
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
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U B
例3-4 • 对如图电路，设
i
i 1 I 1 m s t i 1 ) n 1 s ( 0 t i 4 n ) A 0 5 ( i 2 i 2 I 2 m s t i 2 ) n 6 s ( t 0 i 3 n ) A 0 ( i 1
试求总电流 i 。
解 本题可用几种方法求解计算。
i I m s t i ) n I m c s ( o t i I m s s n c i t n o
则
Im co sI1m co 1sI2m co 2s i
Im si nI1m si n 1I2m si n 2
i2
因此，总电流 i 的幅值为
i1
Im (I1m co 1 sI2m co 2)s2
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= –30
则 Im (7.7 0 5)2 2 (7.7 0 3)2 0 1.7 2 2 4 2.7 2 0 1A 29
ar(7 c.7 t0 g 3)0 12 8 0
故得
7.7 0 52
i 1s 2 it9 n 1 2 ( 0 8 ) A
与前面讨论的复数表示法一致。
通过上面讨论可知 动点A(复数)坐标的为
A(t)=r cos (t+) + j r sin(t+) jy
= r e j(t+) = r / t+
A
正弦量 u = Um sin(t+)
复数量 A= r( cos + j sin )
ψ
0
x
A = r e j
至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦
•同理 j3 j 及 j4 1
由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度 为90°的旋转因子。乘以 j 是向正方向 旋转90°；除以 j 是向负方向旋转90°。
例 试写出表示uA=220 2 sin314t V,
题
uB=220 2 sin(314t–120º) V,
3-3 uC=220 2 sin(314t+120º) V,
2. 用正弦波求解 i
129sin (t–18.3)
0
100sin (t+45)
t
60sin (t–30)
2. 用相量图求解
45°18.3° 30°
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。
jy A b
设在复平面上一复数A(a,b).
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctgb
或： arcos brsin
a
代入后，可得 A=r (cos + j sin )
的相量，并画出相量图。
解 分别用有效值相量 U A U B U C 表示uA、 uB和uC
则
U A 22 /0 0 2V 20
U C
U B22 / 10 2 2 02 (1 2 0 j2 3)V 120 U A
U C22 /10 22 0(2 1 20 j2 3)V 120
它们的相量图为：(右图)
考虑欧拉公式：
cos ej ej sin ej ej
jy b
A
2
2j
可改写为：
A = r e j
也可简记为： A = r
0 ax
•由此可得到复数的三种表示法，即直 角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。
•其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及 极坐标式便于进行乘除运算。
现令有向线段OA绕原点O以角速度ω作逆时针旋
量，记为 U mUmej (幅值电压相量)
或
U Uj e (有效值电压相量)
※幅值相量与瞬时值之间的关系
• 旋转相量：A=r cos (t+) + j r sin(t+)
= r e j(t+) = r t + • 相量(复数)：A= r( cos + jsin) = r e j
• 交流电瞬时值：u = Um sin( t+)
§3-2. 正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
uU m si n t ( )
+
②正弦波形图示法: (见右图) 0
_
t
③ 相量表示法。
相量表示法
•将相量(r e j )乘上一个时间因子(e j t)，
得到复数圆的轨迹，对其取虚部的结果就 是正弦量的瞬时值。
※虚单位 j 的数学意义和物理意义
• j = e j90°
jy
• j×j = j 2 = e j90°× e j90° = e j180°= –1
即 j 1
j
j2
1
–1 o j4 x j3 –j
i i1i2 I1msin(t1)I2msin(t2)
1. 用三 角函数
I1m(sintcos1costsin1)
式 求 解 I2m(sintcos2costsin2)
(I1mcos1I2mcos2)sint
(I1msin1I2msin2)cost
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量， 设此正弦量为
转，可得A点在纵轴上的投影坐标为 jy
y = |OA| sin ( t+ )
比较正弦电压
y
A
u = Um sin ( t+ )
A点的轨迹在复平面上的位
0
x
置用复数可表示为：
A= r [cos( t+)+j sin( t+)]
= r e j( t+ )
=r/t+
可改写为 A= r e j e jt 其中 A= r e j 相当于初始值。
(I1m si n 1I2m si n 2)212
总电流 i 的初相位为
ar(I c1 m tsg i 1 nI2m si 2 n) I1 m co 1 sI2m co 2s
Im (I1m co 1 sI2m co 2)s2 (I1m si n 1I2m si n 2)212
ar(I c 1 m tsg i 1 n I2 m si 2 n) I1 m co 1 sI2 m co 2s