新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考小题限时练1 文
高考数学三轮增分练 高考小题限时练1 文
高考小题限时练11．若(1＋i )＋(2－3i )＝a ＋b i (a ，b∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于________． 答案 3，－2解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2.2．(2016·山东改编)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝________. 答案 (－1，＋∞)解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)．3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．答案 π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则A ∈(0，π2)，sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.4．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是____________．答案 (13，1)解析 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2的定义域为R 且为偶函数．当x >0时，y ＝f (x )为增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2，解得13<x <1. 5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若PF ＝42，则△POF 的面积为______．答案 23解析 由题意易知抛物线的焦点为F (2，0)，OF ＝2.过P 点作准线的垂线交准线于点M ，则PM ＝4 2.点F 在线段PM 上的射影记为点F ′，则F ′M ＝22，故F ′P ＝2 2.在Rt△PF ′F 中，由勾股定理可知，F ′F ＝26，故S △POF ＝12×2×26＝23.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝________. 答案 100解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以a 1＋a 200＝1， 所以S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.7．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则a 5的最大值是________． 答案 9解析 设等差数列的公差为d . 则2a 1＋d ≥4,4a 1＋6d ≤16，因此a 5＝a 1＋4d ＝78(4a 1＋6d )－54(2a 1＋d )≤16×78－54×4＝9，即a 5的最大值是9. 8．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2x的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )的最大值为________，周期为________．答案2 π解析 f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2x＝2sin x cos x －(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π4]＝2sin 2x .结合正弦函数的性质，可知g (x )最大值为2，周期为π.9．(2016·四川改编)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的流程图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为________．答案 18解析 初始值n ＝3，x ＝2，程序运行过程如下：v ＝1；i ＝2，v ＝1×2＋2＝4； i ＝1，v ＝4×2＋1＝9； i ＝0，v ＝9×2＋0＝18. i ＝－1，跳出循环，输出v ＝18.10．(2016·课标全国丙改编)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________． 答案115 解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115.11．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是__________． ①∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2； ②∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2； ③∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2； ④∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2. 答案 ④解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论，只有④符合．12．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________． 答案 6解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.13．已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2＝________.答案459解析 设C 1(a ，b )，C 2(c ，d )， 则|a －2b |5＝|2a －b |5⇒a 2＝b 2， 因为过点P (1，32)，所以a ＝b >0，同理c ＝d >0.又|a －2b |5＝a －12＋b －322⇒9a 2－25a ＋654＝0， 同理，9c 2－25c ＋654＝0， 即a ，c 为方程9x 2－25x ＋654＝0的两个根， 因此C 1C 2＝2|a －c |＝2a ＋c 2－4ac ＝459.14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞) 解析 如图，连结AQ .∵PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴a2≥1，a≥2.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考大题纵横练(一)文
高考大题纵横练(一)1．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a ＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．2．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m·n ＝3b cos B .(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C的值． 解 (1)因为m·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B,所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B .因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C .因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223.又1tan A ＋1tan C ＝cosAsin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋cos C sin Asin A sin C＝C ＋A sin A sin C ＝sinBsin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324.3．(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC .证明 (1)因为EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF ，如图，连结DE .因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，所以DE ⊥AC .同理可得BD ⊥AC .又BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDEF .因为FB ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥FB .(2)设FC 的中点为I ，连结GI ，HI .在△CEF 中，因为G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥DB ，所以GI ∥DB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .4．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b n}的前n 项和T n .解 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以T n ＝2n ＋1－n －22n . 5．设函数f (x )＝ln x ＋k x，k ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由条件得f ′(x )＝1x －k x 2(x >0)． ∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴此切线的斜率为0，即f ′(e)＝0，有1e －k e 2＝0，k ＝e. ∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －e x 2(x >0)． 由f ′(x )<0，得0<x <e ，由f ′(x )>0，得x >e.∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， 故f (x )的单调递减区间为(0，e)，极小值为2.(2)条件等价于对任意x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2(*)恒成立，设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －k x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得 k ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x >0)恒成立，∴k ≥14(h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)， 故k 的取值范围是[14，＋∞)． 6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且点P (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上．①求直线AB 的斜率；②求△AOB 面积的最大值．解 (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)①方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，∴x 21－x 226＋y 21－y 223＝0， ∴2x 06＋2y 03·k ＝0，又直线OP ：y ＝12x ，M 在线段OP 上， ∴y 0＝12x 0，∴k ＝－1. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 直线AB 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k x －x 0，x26＋y23＝1， ∴(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(y 0－kx 0)2－6＝0， 由题意，Δ>0， ∴x 1＋x 2＝－4k y 0－kx 01＋2k 2， ∴x 0＝－2k y 0－kx 01＋2k 2，(*) 又直线OP ：y ＝12x ，M 在线段OP 上，∴y 0＝12x 0，(**)∴把(**)代入(*)得1＋2k 2＝－2k (12－k )，∴k ＝－1.方法三 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋mx26＋y23＝1，∴(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 由题意，Δ>0.∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，∴x 0＝－2km1＋2k 2，(ⅰ)又直线OP ：y ＝12x ，M 在线段OP 上，∴y 0＝12x 0，(ⅱ)M 在直线AB 上，∴ y 0＝kx 0＋m .(ⅲ) 解(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得：k ＝－1.②设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m ，m ∈(0,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，∴3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴AB ＝1＋－2|x 1－x 2|＝439－m 2，原点到直线的距离d ＝|m |2，∴S △OAB ＝12×439－m 2×|m |2＝23－m 2m 2≤322. 当且仅当m ＝322∈(0,3)时，等号成立， ∴△AOB 面积的最大值为322.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(四)数列文
(四)数 列1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n 2 ＝2d 2n (n ＋1)．所以∑n k ＝1 1T k ＝12d 2∑nk ＝1 1k k ＋1＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1n －n＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 4．已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a n b n ，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解 因为a n ＝23(－13)n －1＝－2(－13)n ， S n ＝23[1－－13n ]1－－13＝12[1－(－13)n ]， 所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－－13n －－13n ＋2＝12. (2)解 若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，又由2S 1＝a 1＋2,2S 2＝2a 2＋4，得a 1＝2，a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3)证明 由(2)得c n ＝n ＋1n ， 对于给定的n ∈N *，若存在k ，t ≠n ，且t ，k ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t， 即1＋1n ＝(1＋1k )·(1＋1t )，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n k ＋k －n ，则k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，∴对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和22n n c +＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n使得2+12.n n n n c c c =+5．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1)令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1. 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ，① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1，②①②得，a n ＝n＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列， 所以a n ＝13(n ＋2)． 代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(一)三角函数与平面向量文
(一)三角函数与平面向量1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(4a －b ，c )，且m ∥n .(1)求cos C 的值；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝154，求a ，b 的值． 解 (1)∵m ∥n ，∴c cos B ＝(4a －b )cos C ，由正弦定理，得sin C cos B ＝(4sin A －sin B )cos C ，化简，得sin(B ＋C )＝4sin A cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )．又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos C ＝14. (2)∵C ∈(0，π)，cos C ＝14， ∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝ 1－116＝154. ∵S ＝12ab sin C ＝154，∴ab ＝2.① ∵c ＝3，由余弦定理得3＝a 2＋b 2－12ab ， ∴a 2＋b 2＝4，②由①②，得a 4－4a 2＋4＝0，从而a 2＝2，a ＝±2(舍负)，∴b ＝2，∴a ＝b ＝ 2.2．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.3．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.4．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2＝b 2－ac .(1)求B 的大小；(2)设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D, AD ＝23，BD ＝1，求cos C 的值．解 (1)因为a 2＋c 2＝b 2－ac ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝23π.(2)在△ABD 中，由正弦定理得： AD sin B ＝BDsin∠BAD ，所以sin∠BAD ＝BD sin B AD ＝1·3223＝14，所以cos∠BAC ＝cos 2∠BAD ＝1－2sin 2∠BAD ＝1－2×116＝78.所以sin∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－782＝158.所以cos C ＝cos(π3－∠BAC ) ＝cos π3cos∠BAC ＋sin π3sin∠BAC＝12×78＋32×158＝7＋3516， 即cos C 的值为7＋3516.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(二)立体几何文
(二)立体几何1．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.2．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝2AB，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD .证明 (1)连结AC 1，设交A 1C 于点O ，连结OD .∵四边形AA 1C 1C 是矩形，∴O 是AC 1的中点．在△ABC 1中，O ，D 分别是AC 1，AB 的中点，∴OD ∥BC 1.又∵OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD .(2)∵CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ，∵AP ⊂平面A 1B 1BA ，∴CD ⊥AP .∵BB 1＝2BA ，BB 1＝AA 1，BP ＝14BB 1，∴BP BA ＝24＝ADAA 1，∴Rt△ABP ∽Rt△A 1AD ，从而∠AA 1D ＝∠BAP ，∴∠AA 1D ＋∠A 1AP ＝∠BAP ＋∠A 1AP ＝90°，∴AP ⊥A 1D .又∵CD ∩A 1D ＝D ，CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD .∴AP ⊥平面A 1CD .3.如图，在三棱锥P —ABC 中，∠PAC ＝∠BAC ＝90°，PA ＝PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．(1)求证：直线DF ∥平面PAC ；(2)求证：PF ⊥AD .证明 (1)∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴DF ∥AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线DF ∥平面PAC .(2)∵∠PAC ＝∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，又∵AB ∩AP ＝A ，AB ，AP 在平面PAB 内，∴AC ⊥平面PAB ，∵PF ⊂平面PAB ，∴AC ⊥PF ，∵PA ＝PB ，F 为AB 的中点，∴PF ⊥AB ，∵AC ⊥PF ，PF ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，AC ，AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC, ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥PF .4.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：平面PDE ⊥平面PEC .证明 (1)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC ，又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝12DC ，所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，所以AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG .又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .(说明：也可以取DC 中点，用面面平行来证线面平行)(2)因为PD ⊥底面ABCD ，EC ⊂底面ABCD ，所以CE ⊥PD .取DC 中点H ，连结EH .因为ABCD 是矩形，且AB ＝2AD ，所以ADHE ，BCHE 都是正方形，所以∠DEH ＝∠CEH ＝45°，即CE ⊥DE .又PD ，DE 是平面PDE 内的两条相交直线，所以CE ⊥平面PDE . 而CE ⊂平面PEC ，所以平面PDE⊥平面PEC.5．(2016·北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF.又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.。
高考数学三轮增分练高考小题分项练1 Word版含解析
高考小题分项练高考小题分项练集合与常用逻辑用语．已知集合＝{}，＝{＋，}，若∩＝，则∁＝.答案{}解析因为∩＝⇒⊆，所以＝，∁＝{}．．已知向量＝(，－)，＝(，)，其中∈.则“＝”是“⊥成立”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若＝，则·＝－＝，∴⊥成立；反过来，若⊥，则·＝－＝，∴＝或＝－.所以“＝”是“⊥成立”的充分不必要条件．．已知集合＝{}，＝{}，＝∩，则集合的子集的个数为．答案解析因为＝∩＝{}，所以集合的子集的个数为＝.．(·四川改编)设集合＝{－≤≤}，为整数集，则集合∩中元素的个数是．答案解析由题意可知，∩＝{－，－}，则∩中的元素的个数为.．设：－－>，：(－)<，则是的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由－－>，得<－或>，由(－)<，得<<，所以是的必要不充分条件．．已知集合＝{－≤≤}，集合＝{＝}，则∪＝.答案{－≤≤}解析＝{＝}，可知－－＋≥，解得＝{－≤≤}，∪＝{－≤≤}．．已知集合＝{＝，∈}，集合＝{＝}，则(∁)∩＝.答案(，＋∞)解析因为＝{＝，∈}＝[－]，＝{＝}＝(，＋∞)．所以(∁)∩＝(，＋∞)．．对于非空集合，，定义运算：＝{∈∪，且∉∩}．已知＝{<<}，＝{<<}，其中，，，满足＋＝＋，<<，则＝.答案(，]∪[，)解析由已知＝{<<}，∴<，又<，∴<<，同理可得<<.∵<<，<，>，∴>，∴>.∵＋＝＋，∴－＝－，∴>.又∵<，>，∴－<，∴－<，∴<<<<，∴∩＝，∴＝{<≤或≤<}＝(，]∪[，)．．“λ≤”是“数列＝－λ(∈*)为递增数列”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析∵“数列＝－λ (∈*)为递增数列”，∴＋>.∴(＋)－λ(＋)>－λ，化为λ<对于∀∈*恒成立，∴λ<.则“λ≤”是“数列＝－λ (∈*)为递增数列”的充分不必要条件．．已知，是实数，则“>”是“<”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或。
新(江苏专用)版高考数学三轮增分练高考小题分项练14算法与复数文【含答案】
高考小题分项练14 算法与复数1．已知复数z ＝2＋i1－i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案102解析 z ＝2＋i1－i ＝＋＋－＋＝12＋32i ， |z |＝122＋322＝104＝102. 2．复数z ＝2i i －1＋i 3(i 为虚数单位)的共轭复数为________．答案 1＋2i 解析 z ＝2ii －1＋i 3＝＋－＋－i ＝－i(i ＋1)－i＝1－2i ，所以其共轭复数为1＋2i.3．若对任意非零实数a ，b ，若a *b 的运算规则如图的流程图所示，则(3] .答案 32解析 因为3]3＋1,2)＝2，所以(3]4－1,2)＝32.4．设复数z 的共轭复数为z ，且满足z －z ＝1＋i1－i，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是________． 答案 12解析 由题意得，z －z ＝1＋i1－i＝＋2－＋＝i ，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2b ＝1⇒b ＝12，即虚部为12.5．如图，若输入的x 值为π3，则相应输出的y 值为________．答案 12解析 sin π3＝32，cos π3＝12，sin π3>cos π3，由流程图得y ＝cos π3＝12.6．如图给出了一个算法的流程图，该流程图的功能是________．①求a ，b ，c 三数的最大数； ②求a ，b ，c 三数的最小数； ③将a ，b ，c 按从小到大排列； ④将a ，b ，c 按从大到小排列． 答案 ②解析 第一个条件结构是比较a ，b 的大小，并将a ，b 中的较小值保存在变量a 中，第二个条件结构是比较a ，c 的大小，并将a ，c 中的较小值保存在变量a 中，故变量a 的值最终为a ，b ，c 中的最小值，故此程序的功能为求a ，b ，c 三数的最小数．7． i 是虚数单位，若2＋i1＋i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则log 2(a －b )＝________.答案 1 解析 因为2＋i1＋i＝＋－＋－＝3－i 2＝32－12i ，所以由复数相等的定义可知a ＝32，b ＝－12，所以log 2(a －b )＝log 22＝1.8．运行如图所示的伪代码，其结果为________．答案 17解析 第一次循环，I ＝1，S ＝1＋1＝2；第二次循环，I ＝3，S ＝2＋3＝5；第三次循环，I ＝5，S ＝5＋5＝10；第四次循环，I ＝7，S ＝10＋7＝17，结束循环输出S ＝17. 9．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝________.答案 －15－25i解析 由图，得z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 2z 1＝i －2－i ＝－－＋－＝－15－25i.10．已知复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且(1－i)z ＝1＋a i (其中i 是虚数单位)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意，得z ＝1＋a i 1－i＝＋a ＋－＋＝1－a 2＋1＋a 2i.因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a2<0，1＋a2>0，解得a >1.11.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩，(图二)的流程图中输入的a i 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是________．答案 m ＝26，n ＝12解析 分析流程图可知，n 为50名学生中成绩在[80，＋∞)的人数，m 为50名学生中成绩在[60,80)的人数，而分析茎叶图即可知n ＝12，m ＝26. 12．已知复数z 满足|z |－z ＝2－4i ，则z ＝________. 答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i ，则a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4， 解得z ＝3＋4i.13．运行如图所示的流程图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 的取值范围为______．答案 [－3,4]解析 本程序的条件结果对应的表达式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， t <1，4t －t 2，t ≥1，则当t ∈[－1,1)时，s ＝3t ∈[－3,3)；当t ∈[1,3]时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4∈[3,4]， 综上，s ∈[－3,4]．14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，利用如图所示的流程图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是________．答案 n ≤9(或n ＜10)解析 通过分析，本流程图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件．第1次循环，S ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2；第2次循环，S ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3；…；当执行第10项时，n ＝10.n 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为执行之前的值．。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考大题纵横练(二)
高考大题纵横练(二)1．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的概率分布与均值E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的概率分布为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1 ＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往，返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同， 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40) ＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.2．(2016·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sinA .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A . 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 所以cos B ＝32，所以B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.3．(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB . 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD .连结BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD .4．数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6a 1，且对n ∈N *，点(n ，a n )恒在直线f (x )＝2x ＋k 上，其中k 为常数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n，求T 20的值．解 (1)方法一 依题意a n ＝2n ＋k ， 得a 1＝2＋k ，a 2＝4＋k ，a 3＝6＋k ， 所以S 3＝12＋3k .又S 3＝6a 1，所以12＋3k ＝12＋6k ，解得k ＝0. 即a n ＝2n .方法二 依题意得a n ＝2n ＋k ，所以a n ＋1－a n ＝(2n ＋2＋k )－(2n ＋k )＝2，所以数列{a n }是以2＋k 为首项，2为公差的等差数列． 因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋6. 又S 3＝6a 1，所以a 1＝2， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . (2)S n ＝a 1＋a n2·n ＝2＋2n 2·n ＝n (n ＋1)，所以1S n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， 所以T 20＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 20＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(120－121)＝1－121＝2021.5．(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．6．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，A 1B 1＝7，S ▱A 1B 1A 2B 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1.是否存在上述直线l 使AP →·PB →＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由A 1B 1＝7知a 2＋b 2＝7，①由S ▱A 1B 1A 2B 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2知a ＝2c ，② 又b 2＝a 2－c 2，③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP →·PB →＝1成立的直线l 存在． ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1得|m |1＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.∵AP →·PB →＝1，|OP →|＝1，∴OA →·OB →＝(OP →＋PA →)·(OP →＋PB →)． ＝OP →2＋OP →·PB →＋PA →·OP →＋PA →·PB → ＝1＋0＋0－1＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程， 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，④x 1x 2＝4m 2－123＋4k2.⑤0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 将④⑤代入上式并化简得(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥ 将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾． 即此时直线l 不存在．②当l 垂直于x 轴时，满足|OP →|＝1的直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，(1,0)，∴AP →＝(0，－32)，PB →＝(0，－32)，∴AP →·PB →＝94≠1.当x ＝－1时，同理可得AP →·PB →≠1，矛盾． 即此时直线l 也不存在．综上可知，使AP →·PB →＝1成立的直线l 不存在．。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考小题分项练3 函数的图象与性质 文
高考小题分项练3 函数的图象与性质1．定义在R 上的奇函数f (x )满足x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________． 答案 4解析 由定义在R 上的奇函数f (x )， 得f (0)＝0＝1＋b ，b ＝－1，f (2)＝2＋2(a －1)－1＝－1，a ＝0， f (x )＝log 2(x ＋2)－x －1(x ≥0)， f (－6)＝－f (6)＝－3＋6＋1＝4.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f (f (56))＝4，则b ＝________.答案 12解析 f (56)＝52－b ，①当52－b <1，即b >32时，f (f (56))＝f (52－b )＝3×(52－b )－b ＝152－4b ＝4，∴b ＝78(舍)．②当52－b ≥1，即b ≤32时，f (f (56))＝f (52－b )＝252－b ＝4，∴52－b ＝2，∴b ＝12. 3．已知函数f (x )＝ln(2x ＋4x 2＋1)－22x ＋1，若f (a )＝1，则f (－a )＝______.答案 －3解析 因为f (a )＋f (－a )＝－22a＋1＋－22－a ＋1＝－2， 所以f (－a )＝－2－f (a )＝－2－1＝－3.4．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k >0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝______.答案 4解析 f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x ＝1＋2(2x＋1－12x ＋1)＋sin x ＝3－22x ＋1＋sin x ，m ＋n ＝f (－k )＋f (k )＝6－2(12－k ＋1＋12k ＋1)＋sin(－k )＋sin k ＝6－2＝4.5．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x 的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1、P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________． 答案 {e －22e}解析 由题意得g (x )＝f (x )有且只有两个交点，即y ＝m 与y ＝x e x－12x 2－x (x ≠0)有两零点，因为y ′＝(x ＋1)e x －x －1＝0⇒x ＝－1，或x ＝0，由图可知m ＝－e －1＋12时满足条件．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >1，f －x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是____________． 答案 [－32，32]解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以－f (x )＝f (－x )，则有m ＝－1，所以f (x )＝2x－12x ，可以作出图象(如图1)，再由图象变换可以得到图2.g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ∈32，＋∞，x >1，f－x ∈[－32，＋∞，x ≤1，“函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点”等价于“函数y 1＝g (x )与函数y 2＝t 只有一个交点”，数形结合可以得到t ∈[－32，32]．7．奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝________.答案 10解析 由图可知，图1为f (x )的图象，图2为g (x )的图象，m ∈(－2，－1)，n ∈(1,2)，∴方程f (g (x ))＝0⇔g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1⇔x ＝－1，x ＝1，x ＝m ，x ＝0，x ＝n ，x ＝－2，x ＝2，∴方程f (g (x ))＝0有7个根，即a ＝7；而方程g (f (x ))＝0⇔f (x )＝m 或f (x )＝0或f (x )＝n ⇔f (x )＝0⇔x ＝－1，x ＝0，x ＝1， ∴方程g (f (x ))＝0有3个根，即b ＝3.∴a ＋b ＝10.8．当函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，－2x＋a ， x ≤0有且只有一个零点时，a 的取值范围是________．答案 a ≤0或a >1解析 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴当x ≤0时，函数f (x )没有零点，故－2x＋a >0或－2x＋a <0在(－∞，0]上恒成立，即a >2x，或a <2x在(－∞，0]上恒成立，故a >1或a ≤0.9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为________．答案 92解析 由题意，得点A (－2，－1)， 故－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，∴2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92，当且仅当m ＝n ＝23时，等号成立． 10．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－2 015)＋f (－2 014)＋f (－2 013)＋…＋f (2 014)＋f (2 015)＝________. 答案 4 031解析 ∵f (x )＝x 3＋sin x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋cos x ，f ″(x )＝6x －sin x ，又∵f ″(0)＝0，而f (x )＋f (－x )＝x 3＋sin x ＋1－x 3－sin x ＋1＝2， 函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1图象的对称中心的坐标为(0,1)， 即x 1＋x 2＝0时，总有f (x 1)＋f (x 2)＝2，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋f (－2 013)＋…＋f (2 014)＋f (2 015)＝2×2 015＋f (0)＝4 030＋1＝4 031.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－2， x ≥1，log 3x 2＋1， x <1，则f (f (－2))＝________；f (x )的最小值为________． 答案 1 0解析 f (f (－2))＝f (log 33)＝f (1)＝1＋2－2＝1.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－2≥22－2；当x <1时，f (x )＝log 3(x 2＋1)≥0. 故f (x )的最小值为f (0)＝0.12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室．则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 0.6解析 当t ＝0.1时，可得1＝(116)0.1－a，∴0.1－a ＝0，a ＝0.1，由题意可得y ≤0.25＝14，即(116)t －0.1≤14，即t －0.1≥12， 解得t ≥0.6，∴至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．13．已知函数f (x )的定义域为R ，直线x ＝1和x ＝2是曲线y ＝f (x )的对称轴，且f (0)＝1，则f (4)＋f (10)＝________. 答案 2解析 ∵直线x ＝1和x ＝2是曲线y ＝f (x )的对称轴， ∴f (2－x )＝f (x )，f (4－x )＝f (x )，∴f (2－x )＝f (4－x )，∴y ＝f (x )的周期T ＝2， ∴f (4)＋f (10)＝f (0)＋f (0)＝2.14．给定方程：(12)x＋sin x －1＝0，则下列命题中：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； ④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1. 正确的命题是________． 答案 ②③④解析 对于①，若α是方程(12)x ＋sin x －1＝0的一个解，则满足(12)α＝1－sin α，当α为第三、四象限角时，(12)α>1，此时α<0，因此该方程存在小于0的实数解，故①不正确；对于②，原方程等价于(12)x－1＝－sin x ，当x ≥0时，－1<(12)x－1≤0，而函数y ＝－sin x 的最小值为－1，且有无穷多个x 满足－sinx ＝－1，因此函数y ＝(12)x －1与y ＝－sin x 的图象在[0，＋∞)上有无穷多个交点，因此方程(12)x＋sin x －1＝0有无数个实数解，故②正确； 对于③，当x <0时，由于x ≤－1时，(12)x－1≥1，函数y ＝(12)x－1与y ＝－sin x 的图象不可能有交点，当－1<x <0时，存在唯一的x 满足(12)x＝1－sin x ，因此该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；对于④，由上面的分析知，当x ≤－1时，(12)x－1≥1，而－sin x ≤1且x ＝－1不是方程的解，因此函数y ＝(12)x－1与y ＝－sin x 的图象在(－∞，－1]上不可能有交点，因此只要x 0是该方程的实数解，则x 0>－1，故④正确． 故答案为②③④.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考小题分项练10 圆
高考小题分项练10 圆锥曲线1．椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点分别为点F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点(非左，右顶点)，则△PF 1F 2的周长为________．答案 10解析 由x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2， 所以△PF 1F 2周长为2a ＋2c ＝6＋4＝10.2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________． 答案 35解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 216－y 29＝1渐近线为y ＝±34x,3x ±4y ＝0，所求距离为d ＝332＋42＝35. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦距为10，点P (1，2)在C 的渐近线上，则C 的方程为__________．答案 x 25－y 220＝1 解析 由题意，得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，且c ＝5.因为点P (1,2)在C 的渐近线上，所以b ＝2a ，所以a 2＝5，b 2＝20.4．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为______米.答案 8解析 以顶点为坐标原点，平行水面的直线为x 轴建系，设抛物线方程为x 2＝my ，因为过点(8，－4)，所以m ＝－16，令y ＝－1得|x |＝4，从而水面的宽度为8米．5．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________．答案 5 解析 不妨设x 2a 2－y 2b 2＝1，F (c,0)， 则点P (－c ，±2b )，从而有c 2a 2－4b 2b 2＝1⇒c 2a 2＝5⇒e ＝ 5. 6．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，直线AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为________．答案 1＋ 2解析 由题意，得x A ＝x B ＝p 2＝c ， |y A |＝ 2p ·p2＝p ＝2c ， 因此c 2a 2－4c 2b 2＝1⇒4c 2b 2＝b 2a2⇒b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ⇒e 2－2e －1＝0⇒e ＝1＋2(负值舍去)． 7．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为____________．答案 x ±2y ＝0解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率为a 2－b 2a ；双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，离心率为a 2＋b 2a. ∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴ a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， ∴(b a )2＝12，b a ＝22， C 2的渐近线方程为：y ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知点F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，点P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是________．答案 2－ 3 解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1， 双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1. 由题意c a ·c a 1＝1，(*)又∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：在椭圆中，4c 2＝4a 2－(2＋3)PF 1·PF 2，在双曲线中，4c 2＝4a 21＋(2－3)PF 1·PF 2，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)得c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4， 即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0，得e 2＝7－43，即e ＝2－ 3.9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2－2y 2＝1的右支上的一个动点，若点P 到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为________．答案 63解析 设点P (x ，y )，由题意得[|2x －2y ＋2|6]min >m ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x －2y ＝0的距离为|2|6＝63，因此[|2x －2y ＋2|6]min >63，即m ≤63，实数m 的最大值为63. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66F 1F 2，则椭圆C 的离心率e ＝______. 答案 22 解析 设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以ab a 2＋b 2＝63c .因为b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍)，所以e ＝22. 11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为__________． 答案 y 2＝8x解析 ∵e ＝c a ＝3⇒c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a ，∴y ＝±b ax ＝±2x ， ∴S △AOB ＝12·p 2·2p ＝42，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . 12．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案 3＋1解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，PF 2－PF 1＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝ca ＝23－1＝3＋1.13．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，当点P 到直线y ＝x ＋4的距离最短时，点P 的坐标是________．答案 (1,2)解析 设P (y 24，y )，则点P 到直线y ＝x ＋4的距离d ＝|y 24－y ＋4|2＝14y －22＋32，当y ＝2时，d 取得最小值．把y ＝2代入y 2＝4x ，得x ＝1，所以点P 的坐标为(1,2)． 14．已知点F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 216＝1的左，右焦点，点M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________.答案 25解析 由椭圆的对称性，知满足题意的点M 是椭圆短轴的端点， MF 1＝MF 2＝a .设内切圆半径为r ，则2πr ＝3π，r ＝32，又12×(2a ＋2c )r ＝12×2c ×4，所以(a ＋a 2－16)×32＝4a 2－16，解得a 2＝25.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考小题分项练1 集合与常用逻辑用语 文
高考小题分项练1 集合与常用逻辑用语1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{a＋2，a}，若A∩B＝B，则∁A B＝________.答案{2}解析因为A∩B＝B⇒B⊆A，所以a＝1，∁A B＝{2}．2．已知向量a＝(x，－1)，b＝(x，4)，其中x∈R.则“x＝2”是“a⊥b成立”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若x＝2，则a·b＝x2－4＝0，∴a⊥b成立；反过来，若a⊥b，则a·b＝x2－4＝0，∴x＝2或x＝－2.所以“x＝2”是“a⊥b成立”的充分不必要条件．3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．答案8解析因为C＝A∩B＝{1,3,5}，所以集合C的子集的个数为23＝8.4．(2016·四川改编)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是________．答案 5解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.5．设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由x2－x－20>0，得x<－4或x>5，由log2(x－5)<2，得5<x<9，所以p是q的必要不充分条件．6．已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，集合N＝{x|y＝－x2－x＋6}，则M∪N＝__________.答案{x|－3≤x≤3}解析N＝{x|y＝－x2－x＋6}，可知－x2－x＋6≥0，解得N＝{x|－3≤x≤2}，M∪N＝{x|－3≤x≤3}．7．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁R A)∩B＝________.答案(1，＋∞)解析因为A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]，B＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)．所以(∁R A)∩B ＝(1，＋∞)．8．对于非空集合A，B，定义运算：A B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知M＝{x|a<x<b}，N ＝{x|c<x<d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M N＝________________. 答案(a，c]∪[d，b)解析 由已知M ＝{x |a <x <b }，∴a <b ，又ab <0，∴a <0<b ，同理可得c <0<d .∵ab <cd <0，c <0，b >0，∴a c >d b ，∴a －c c >d －b b . ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c >d －b b. 又∵c <0，b >0，∴d －b <0，∴a －c <0，∴a <c <0<d <b ，∴M ∩N ＝N ，∴M N ＝{x |a <x ≤c 或d ≤x <b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．9．“λ≤1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”，∴a n ＋1>a n .∴(n ＋1)2－2λ(n ＋1)>n 2－2λn ，化为λ<2n ＋12对于∀n ∈N *恒成立，∴λ<32.则“λ≤1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件．10．已知a ，b 是实数，则“a 2b >ab 2”是“1a <1b”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充要解析 由a 2b >ab 2，得ab (a －b )>0，若a －b >0，即a >b ，则ab >0，则1a <1b成立， 若a －b <0，即a <b ，则ab <0，则a <0，b >0，则1a <1b成立， 若1a <1b ，则b －a ab<0， 即ab (a －b )>0，即a 2b >ab 2成立．即“a 2b >ab 2”是“1a <1b”的充要条件． 11．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________．答案 [－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离，所以d ＝21＋k 2≥1，解得－3≤k ≤ 3.12．已知命题p ：|x －4|≤6，命题q ：(x －1)2－m 2≤0 (m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [9，＋∞)解析 由题意，得命题p ：－2≤x ≤10，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m .由p 是q 的充分不必要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10，其中等号不能同时取得，所以m ≥9.13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵A ＝{x |x >1}，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，作图如下：易知：a ≤1时，(∁U A )∪B ＝R .14．设集合A ＝{(m 1，m 2，m 3)|m i ∈{－2,0,2}，i ＝1,2,3}，则集合A 中所有元素的个数为______；集合A 中满足条件“2≤|m 1|＋|m 2|＋|m 3|≤5”的元素个数为______．答案 27 18解析 m 1从集合{－2,0,2}中任选一个，有3种选法，m 2，m 3都有3种选法；∴构成集合A 的元素有3×3×3＝27(种)情况，即集合A 的元素个数为27.对于2≤|m 1|＋|m 2|＋|m 3|≤5分以下几种情况：①|m 1|＋|m 2|＋|m 3|＝2，即此时集合A 的元素含有一个2或－2，两个0.2或－2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2＝6(种)；②|m 1|＋|m 2|＋|m 3|＝4，即此时集合A 含有两个2或－2，一个0；或者一个2，一个－2，一个0；当是两个2或－2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或－2，这种情况有3×2＝6(种)；当是一个2，一个－2，一个0时，对这三个数全排列，即得到3×2×1＝6(种)．∴集合A 中满足条件“2≤|m 1|＋|m 2|＋|m 3|≤5”的元素个数为6＋6＋6＝18.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(一)直线与圆锥曲线(1
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．(1)解 由椭圆过点A (2,0)，B (0,1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆离心率e ＝ca ＝32. (2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PB 的方程为y －1＝y 0－1x 0(x －0)， 令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而AN ＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 直线PA 的方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0， 从而BM ＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 所以S 四边形ABNM ＝12AN ·BM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值．2．(2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3e FA，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3e FA ， 即1c ＋1a ＝3c a a －c ，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H4k 2＋3＝0，解得yH ＝9－4k212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝－1k x ＋9－4k212k ，消去y ，解得x M ＝20k 2＋912k 2＋1.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔MA ＝MO ，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912k 2＋1＝1，解得k ＝－64或k ＝64.所以直线l 的斜率为－64或64. 3．(2016·课标全国甲)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，AM ＝AN 时，求△AMN 的面积；(2)当2AM ＝AN 时，求k 的取值范围．解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由AM ＝AN 及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t 3－tk 23＋tk 2，故AM ＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得AN ＝6k t 1＋k23k 2＋t .由2AM ＝AN 得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．4．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )，所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0， 直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0， 此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m .同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m2－218k 2＋1x 0＋m .所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0＝－32k 2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k .由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0， 所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意．所以直线AB 的斜率的最小值为62.。
高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮
高考小题分项练(六)1．复数z ＝x ＋3i1－i (x ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则x 的值为________．2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________． 3．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则AB的最小值为________．4．(2015·湖南改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．5．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 为________．7．已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为________． 8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“成功函数”．若函数f (x )＝logc (c x ＋t ) (c >0，c ≠1)是“成功函数”，则t 的取值范围为________．11．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 12．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a t＝6a t，(a ，t 均为正实数)，类比以上等式可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________. 13．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是________．14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．15．若存在x 使不等式x －mex >x 成立，则实数m 的取值范围为________．答案精析高考小题分项练(六)1．－3解析 因为z ＝x ＋3i 1－i ＝(x ＋3i )(1＋i )2＝(x －3)＋(x ＋3)i2，且是实数，所以x ＝－3.2.223解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 3．4解析 当P 点同时满足：(1)P 为AB 的中点；(2)P 点到O 点的距离最大时，AB 取得最小值．可行域如图所示．因为直线y ＝x 和直线x ＋y ＝4垂直，故P 点的坐标是(1,3)时OP 最大．易知此时AB ＝4.4．2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.5.32解析 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.6．4解析 执行程序框图可知：n ＝1，s ＝0，p ＝30，s <p 成立；s ＝3，n ＝2，s <p 成立；s ＝3＋9，n ＝3，s <p 成立；s ＝3＋9＋27，n ＝4，s <p 不成立，因此输出的n 的值为4. 7．9解析 易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.8．[－6,0]解析 在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1有且只有一负根，则Δ＝0且a ＋42<0，得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a ∈[－6,0]． 9．18解析 设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 10.⎝⎛⎭⎫0，14 解析 无论c >1还是0<c <1，f (x )＝log c(c x＋t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎨⎧f (a )＝a 2，f (b )＝b2，则问题可转化为求f (x )＝x 2，即log c (c x ＋t )＝x2，即c x ＋t ＝c 在R 上有两个不相等的实数根的问题，令c ＝m (m >0)，则c x ＋t ＝c 可化为t ＝m －m 2，问题进一步可转化为求函数y ＝t 与y ＝m －m 2 (m >0)的图象有两个交点的问题，结合图形可得t ∈⎝⎛⎫0，14. 11．4解析 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，即x＋2y 的最小值是4. 12．41解析 由推理可得a ＝6，t ＝62－1＝35，故a ＋t ＝41. 13．[－12，1)∪(1,3]解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1，∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x <1或1<x ≤3.14.233解析 由离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立． 15．(－∞，0)解析 依题意得，关于x 的不等式x －me x >x ，即－m >e x x －x 有解．记f (x )＝e x x －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x (x ＋12x)－1≥e x ×2x ×12x－1＝2e x －1>2－1>0(x >0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m >0，m <0，实数m 的取值范围是(－∞，0)．。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(三)函数与导数(1)文
(三)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝(ax 2＋x ＋2)e x(a ＞0)，其中e 是自然对数的底数． (1)当a ＝2时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在[－2,2]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋4在[t ，t ＋1]上有解． 解 (1)f (x )＝(2x 2＋x ＋2)e x，则f ′(x )＝(2x 2＋5x ＋3)e x ＝(x ＋1)(2x ＋3)e x， 令f ′(x )＝0, 得x ＝－1，－32，∴f (x )极大值＝f (－32)＝5e －32，f (x )极小值＝f (－1)＝3e －1.(2)问题转化为f ′(x )＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋3]e x≥0在x ∈[－2,2]上恒成立； 又e x ＞0即ax 2＋(2a ＋1)x ＋3≥0在x ∈[－2,2]上恒成立； 令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋3， ∵a ＞0，对称轴x ＝－1－12a <0.①当－1－12a ≤－2，即0<a ≤12时，g (x )在[－2,2]上单调递增，∴g (x )的最小值g (x )＝g (－2)＝1＞0， ∴0＜a ≤12.②当－2＜－1－12a ＜0，即a >12时，g (x )在[－2，－1－12a ]上单调递减，在[－1－12a ，2]上单调递增，∴Δ＝(2a ＋1)2－12a ≤0，解得：1－32≤a ≤1＋32， ∴12＜a ≤1＋32， 综上，a 的取值范围是(0,1＋32]． (3)∵a ＝1，设h (x )＝(x 2＋x ＋2)e x－x －4，h ′(x )＝(x 2＋3x ＋3)e x －1，令φ(x )＝(x 2＋3x ＋3)e x－1， φ′(x )＝(x 2＋5x ＋6)e x， 令φ′(x )＝(x 2＋5x ＋6)e x＝0， 得x ＝－2，－3.∴φ(x )极大值＝φ(－3)＝3e 3－1<0，φ(x )极小值＝φ(－2)＝1e 2－1<0.∵φ(－1)＝1e－1<0，φ(0)＝2>0，∴存在x 0∈(－1,0)，x ∈(－∞，x 0)时，φ(x )＜0，x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )＞0， ∴h (x )在(－∞，x 1)上单调递减， 在(x 1，＋∞)上单调递增，又∵ h (－4)＝14e 4>0，h (－3)＝8e3－1<0，h (0)＝－2<0，h (1)＝4e －5>0.由零点存在性定理可知：h (x )＝0的根x 1∈(－4，－3)，x 2∈(0,1)，即t ＝－4,0. 2．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减． ③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减． (2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，所以f (x )有两个零点．(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x， 所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．3．(2016·山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增．可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意 . 综上可知，实数a 的取值范围为a ＞12.4．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x.(1)判断函数f (x )的单调性； (2)证明：当x >0时，ln(1＋1x)<1x 2＋x.(1)解 f ′(x )＝a x －1－1x 2＝－x 2＋ax －1x 2(x >0)．记g (x )＝－x 2＋ax －1，对称轴为x ＝a2，Δ＝a 2－4，而g (0)＝－1<0，且开口方向向下，则①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，g (x )≤0，f ′(x )≤0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当Δ＝a 2－4>0，即a >2或a <－2时， 若a >2，则a2>1，方程g (x )＝0的两根x 1＝a ＋a 2－42>0，x 2＝a －a 2－42>0，当0<x <a －a 2－42或x >a ＋a 2－42时，f ′(x )<0；当a －a 2－42<x <a ＋a 2－42时，f ′(x )>0. 则f (x )在区间(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在区间(a －a 2－42，a ＋a 2－42)上单调递增．若a <－2，则a2<－1，g (x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．综上所述，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >2时，f (x )在区间(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在区间(a －a 2－42，a ＋a 2－42)上单调递增．(2)证明 原不等式可化为ln(1＋1x)<1x1＋1x＝ 1＋1x－11＋1x.令t ＝ 1＋1x，∵x >0，∴t >1，则原不等式等价于2ln t <t －1t.令φ(t )＝2ln t －t ＋1t，由(1)可知，函数φ(t )在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t )<φ(1)＝0，∴2ln t <t －1t，故原不等式成立．。
高考数学(文江苏专用)三轮：高考小题限时练2
高考小题限时练2 1．(2016·山东改编)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________. 答案 1－2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是____________．答案 [2，＋∞)解析 M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，因为M ⊆N ，所以a ≥2.3．(2016·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．答案 6解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.4．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________． 答案 －34解析 设A (－1,0)，B (1,0)，C (x ，y )，则由CA →·CB →＝λ，得(x ＋1)(x －1)＋y 2＝λ⇒x 2＋y 2＝1＋λ，因此λ<0,1＋λ≥0，1＋λ＋12≤1或1＋λ－12≥1， 解得－1≤λ≤－34，即负数λ的最大值是－34. 5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．答案 34解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 6．(2015·安徽改编)执行如图所示的流程图，输出的n 值为________．答案 4解析 执行第一次判断：|a －1.414|＝0.414>0.005，a ＝32，n ＝2； 执行第二次判断：|a －1.414|＝0.086>0.005，a ＝75，n ＝3； 执行第三次判断：|a －1.414|＝0.014>0.005，a ＝1712，n ＝4； 执行第四次判断：|a －1.414|<0.005，输出n ＝4.7．已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 a 1＋b 1>0，a 2＋b 2＝a 1＋2＋2b 1<0,0<a 1＋b 1<－2－b 1，b 1<－2，b 2＝2b 1<－4，a 3＋b 3＝a 2＋2＋2b 2＝a 2＋b 2＋2＋b 2<0＋2－4＝－2，则a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．8．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c >0)没有零点，则a ＋c b的取值范围是__________． 答案 (1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c >0)没有零点，∴b 2－4ac <0，∴b 2<4ac ，∵a ，c >0，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ≥4ac ，∴(a ＋c )2>b 2，又a ，b ，c >0，∴a ＋c >b >0，∴a ＋c b>1， ∴a ＋c b的取值范围是(1，＋∞)． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是________．答案 3 解析 ∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0<C <π，∴C ＝π3， ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)， ∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6， ∴32<3sin(A ＋π6)≤3， ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________．答案 [3，＋∞)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ， 与抛物线方程联立消去y 得x 2±b ax ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝c a≥3. 11．(2016·课标全国甲改编)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．答案 4m n解析 由题意得：(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4m n. 12．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4. 又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b .AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ⎝⎛⎭⎫13a －23b＝－29a 2－29b 2＋59a ·b＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1.可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b .CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ⎝⎛⎭⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.13．(2016·浙江)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．答案 12解析 设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°， ∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )． 要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]， 由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12. 14．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是(－12，12]； ②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在(－12，32]上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________．答案 ①③解析 令x ＝m ＋a ，a ∈(－12，12]，m ∈Z ， 所以f (x )＝x －{x }＝a ∈(－12，12]，所以①正确． 因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (x ) (k ∈Z )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误．f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，又可知小于1的正数都不是f (x )的周期，所以最小正周期为1.所以③正确．显然④错误．所以正确的为①③.。
高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮
高考小题分项练(一)1．(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝________.2．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的________条件．3．函数f (x )＝12－x＋lg(1＋x )的定义域是________． 4．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.5．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________.6．(2015·连云港模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的______条件．7．函数f (x )在定义域内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 8．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为________．9．(2015·南京模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年时，其营运的平均利润最大．10．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是________． 11．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________．12．(2015·江西六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是________________________________________________________________________．13．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．14．某名牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．15．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 都成立，又当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则下列四个命题：①函数y ＝f (x )是以4为周期的周期函数；②当x ∈[1,3]时，f (x )＝(2－x )3；③函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；④函数y ＝f (x )的图象关于点(2,0)对称．其中正确命题的序号是________．答案精析高考小题分项练高考小题分项练(一)1．(1,2)解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．2．充分不必要解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，所以a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”；当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，即“a ∥b ” ⇏“m ＝－3”．故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．3．(－1,2)∪(2，＋∞)解析 要使函数有意义当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≠0，1＋x >0，解得x >－1且x ≠2，从而定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．4．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74. 5．x 3－ln(1－x )解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．6．充要解析 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时， f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，cos φ＝0，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件． 7．c <a <b解析 由于函数满足f (x )＝f (2－x )，则说明函数关于直线x ＝1对称，且当x ∈(－∞，1)时，由不等式(x －1)f ′(x )<0，可知函数f ′(x )>0，说明函数在x ∈(－∞，1)上单调递增，则在(1，＋∞)时，函数单调递减．x ＝3离对称轴的距离为最远，则最小值为f (3)，因为0<12<1在单调递增区间上，所以a <b ，所以c <a <b .8．2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立， 得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.9．5解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25x＋12， ∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x， 即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的平均利润最大．10．1解析 依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x >0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]>0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]<0，g (x )是减函数，g (x )>0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1. 11．[－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离，所以d ＝21＋k2≥1，解得－3≤k ≤ 3.12．(8，＋∞) 解析 由题意得：⎩⎨⎧ x 0≤0，301x ＋>3或⎩⎨⎧ x 0>0，log 2x 0>3即⎩⎨⎧ x 0≤0，x 0>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，x 0>8，解得x 0>8. 13.⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)<0，即－6b ·(3－6b )<0，解得0<b <12. 14．40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0.即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x>40时，y′>0，当0<x<40时，y′<0，所以当x＝40时，y最小．15．①②③④解析因为函数y＝f(x)是奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，由f(x－2)＝－f(x)可知，函数是最小正周期为4的函数，故命题①正确．f(－x)＝－f(x)和f(x－2)＝－f(x)结合得到f(x－2)＝f(－x)，故函数关于x＝－1对称，而x∈[1,3]，x－2∈[－1,1]，∴f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，∴f(x)＝－(x－2)3＝(2－x)3，故命题②正确，由上可作图，推知命题③④正确．。
江苏省高考文科数学三轮复习练习：小题分类练一 概念辨析类 含解析
小题分类练(一) 概念辨析类(建议用时：50分钟)1．已知锐角α的终边上一点P 的坐标为(1＋cos 40°，sin 40°)，则锐角α＝________．2．“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的________条件．3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列说法中，正确的是________．(1)②、③都不能为系统抽样(2)②、④都不能为分层抽样(3)①、④都可能为系统抽样(4)①、③都可能为分层抽样4．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中假命题的序号是________．①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ；④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .5．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的序号是________．①α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n ；②α⊥β，l ⊂α⇒l ⊥β；③l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m ；④l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β.6．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，有下列命题：①m ∥l ；②m ⊥l ；③l 与圆相交；④l 与圆相切；⑤l 与圆相离．其中是真命题的是________．7．已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ≤1）－x ＋a （x >1），若函数f (x )在[0，2]上的最大值比最小值大52，则a 的值为________． 8．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．9．给出下列四个结论：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形；②若sin A ＝sin B ，则△ABC 是等腰三角形；③若a sin A ＝b sin B＝c ，则△ABC 是直角三角形； ④在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则这个三角形是等腰或直角三角形．其中错误命题的序号是________．10．(2019·苏州模拟)已知样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差是4，如果有b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，那么数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为________．11．已知函数f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5(x ∈R )，给出以下命题： ①函数f (x )的最大值是2；②周期是5π2； ③函数f (x )的图象相邻的两条对称轴之间的距离是52π； ④对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )成立；⑤点⎝⎛⎭⎫15π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是________．12．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝3π(x －1)2＋2；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x；④f (x )＝log 0.5x .其中是一阶格点函数的有________．13．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0，1]上是增函数；④f (x )在[1，2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是________．14．设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，又k 是一个常数．已知当k <0或k >4时，f (x )－k ＝0只有一个实根；当0<k <4时，f (x )－k ＝0有三个相异实根，现给出下列命题：①f (x )－4＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根；②f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根；③f (x )＋3＝0的任一实根大于f (x )－1＝0的任一实根；④f (x )＋5＝0的任一实根小于f (x )－2＝0的任一实根．其中错误的命题的个数是________．小题分类练(一)1．解析：由题意知tan α＝sin 40°1＋cos 40° ＝2sin 20°cos 20°1＋2cos 220°－1＝tan 20°，所以α＝20°. 答案：20°2．解析：直线平行的充要条件是2×2＝a ×a 且⎩⎪⎨⎪⎧2×（－2）≠（－1）×a －2×a ≠（－1）×2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a ＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．答案：充分不必要3．解析：①的间隔为27，可为系统抽样或分层抽样，③的间隔为27，可以为分层抽样也可以为系统抽样；④的第一个数为30，不符合系统抽样，因为间隔为27，④的第一个数应该为1～27；分层抽样则要求初一年级应该抽取4人，号码在1～108，所以④中的111不符合分层抽样．答案：(4)4．解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故①不正确；②正确；两个向量的平方相等，说明两个向量的模相等，但未必共线，故③不正确；由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，由①得④不正确．答案：①③④5．解析：对于①，l ∥n 或l ，n 异面，所以错误；对于②，l 与β可能相交可能平行也可能l ⊂β，所以错误；对于③，l 与m 还可能异面或相交，所以错误．④正确．答案：④6．解析：点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，所以a 2＋b 2<r 2，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2 >r 2r ＝r .所以l 与圆相离． k OP ＝b a ，k m ＝－a b ， 直线l 的斜率k l ＝－a b ＝k m ，所以m ∥l . 答案：①⑤7．解析：当0<a <1时，函数f (x )在[0，2]上的最大值是1，最小值是a －2，则1－(a －2)＝52，得a ＝12；当1<a ≤3时，函数f (x )在[0，2]上的最大值是a ，最小值是a －2，则a －(a －2)＝2≠52，此种情况不成立；当a >3时，函数f (x )在[0，2]上的最大值是a ，最小值是1，则a －1＝52，得a ＝72.综上，a ＝12或72. 答案：12或728.解析：画出可行域如图阴影部分所示，或分别解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝mx ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1 得到三个区域端点(0，0)，⎝⎛⎭⎫12，12，⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1，当且仅当直线z ＝x ＋my 过点⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，z 取到最大值z ＝m 2＋1m ＋1<2，解得m ∈(1，1＋2)． 答案：(1，1＋2)9．解析：若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，△ABC 是等腰或直角三角形；若sin A ＝sin B ，则a ＝b ，得A ＝B ，所以△ABC 只能是等腰三角形；若a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c ，得sin C ＝1，C ＝π2.对于④将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B 代入已知整理得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故是直角或等腰三角形． 答案：①10．解析：因为b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的方差和样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差相等，均是4，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为2.答案：211．解析：f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 5＋π4， 则函数f (x )的最大值是2，所以①不正确；周期T ＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f (x )的图象相邻的两条对称轴之间的距离是12T ＝5π2，所以③正确；令2x 5＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝5π8＋52k π，k ∈Z ，所以④不正确；f ⎝⎛⎭⎫15π8＝2sin ⎝⎛25× ⎭⎫15π8＋π4 ＝2sin π＝0，所以⑤正确．答案：③⑤12．解析：显然点(0，0)在函数f (x )＝sin x 的图象上，而且函数只有最高点和最低点以及图象与x 轴的交点(除(0，0)点外)处，但这些点的横坐标都不是整数，函数f (x )＝sin x 是一阶格点函数；函数f (x )＝3π(x －1)2＋2图象上点(1，2)为整点，当x 取x ≠1的整数时，函数值都不是整数，故函数f (x )＝3π(x －1)2＋2是一阶格点函数；函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x中，当x 取负整数或者零时，都是整点，故函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x 不是一阶格点函数；函数f (x )＝log 0.5x ，显然点(1，0)为其格点，当x ＝⎝⎛⎭⎫12－n (n ＝0，1，2，…)，都是整点，故函数f (x )＝log 0.5x 不是一阶格点函数．答案：①②13．解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．由f (x )在[－1，0]上是增函数，得f (x )在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．答案：①②⑤14．解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数f (x )的极大值为4，极小值为0，所以当f (a )＝4或f (a )＝0时对应的f ′(a )＝0，则①②正确. f (x )＋3＝0的实根小于f (x )－1＝0的实根，所以③不正确；f (x )＋5＝0的实根小于f (x )－2＝0的实根，所以④正确．答案：1。
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高考小题限时练1
1．若(1＋i )＋(2－3i )＝a ＋b i (a ，b∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于________．
答案 3，－2
解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2.
2．(2016·山东改编)设集合A ＝{y |y ＝2x
，x ∈R }，B ＝{x |x 2
－1<0}，则A ∪B ＝________. 答案 (－1，＋∞)
解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)．
3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5
2，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．
答案
π6
解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则A ∈(0，π2)，sin A ＝45，445＝5
2sin B ，sin B ＝1
2
.
又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π
6.
4．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x
2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是____________． 答案 (1
3
，1)
解析 f (x )＝ln(1＋|x |)－
1
1＋x
2的定义域为R 且为偶函数．当x >0时，y ＝f (x )为增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2
，解得13<x <1.
5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若PF ＝42，则△POF 的面积为______． 答案 2 3
解析 由题意易知抛物线的焦点为F (2，0)，OF ＝ 2. 过P 点作准线的垂线交准线于点M ，则PM ＝4 2.
点F 在线段PM 上的射影记为点F ′，则F ′M ＝22，故F ′P ＝2 2.在Rt△PF ′F 中，由勾股定理可知，F ′F ＝26，故S △POF ＝1
2
×2×26＝2 3.
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A ，B ，C 三点共线(该直线不
过点O )，则S 200＝________. 答案 100
解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以a 1＋a 200＝1， 所以S 200＝
a 1＋a 200
2
×200＝100.
7．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则a 5的最大值是________． 答案 9
解析 设等差数列的公差为d . 则2a 1＋d ≥4,4a 1＋6d ≤16，
因此a 5＝a 1＋4d ＝78(4a 1＋6d )－5
4(2a 1＋d )
≤16×78－5
4×4＝9，
即a 5的最大值是9.
8．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2
x 的图象向左平移π8个单位长度后得到
函数g (x )，则g (x )的最大值为________，周期为________． 答案
2 π
解析 f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2
x ＝2sin x cos x －(cos 2
x －sin 2
x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π
4
)，
所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π
4
]＝2sin 2x .
结合正弦函数的性质，可知g (x )最大值为2，周期为π.
9．(2016·四川改编)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的流程图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为________．
答案18
解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：
v＝1；
i＝2，v＝1×2＋2＝4；
i＝1，v＝4×2＋1＝9；
i＝0，v＝9×2＋0＝18.
i＝－1，跳出循环，输出v＝18.
10．(2016·课标全国丙改编)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案1 15
解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本
事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为1
15
.
11．(2016·浙江改编)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是__________．
①∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2；
②∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2；
③∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2；
④∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2.
答案④
解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论，只有④符合．
12．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．
答案 6
解析 由f (x )＝x cos x 2
＝0，得x ＝0或cos x 2
＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2
∈[0,16]． 由于cos(π
2＋k π)＝0(k ∈Z )，
而在
π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2
满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.
13．已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝1
2x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的
圆心距C 1C 2＝________. 答案
45
9
解析 设C 1(a ，b )，C 2(c ，d )， 则
|a －2b |5＝|2a －b |5
⇒a 2＝b 2
， 因为过点P (1，3
2)，所以a ＝b >0，同理c ＝d >0.
又
|a －2b |
5
＝a －1
2
＋b －
32
2
⇒9a 2
－25a ＋654
＝0，
同理，9c 2
－25c ＋654
＝0，
即a ，c 为方程9x 2
－25x ＋654＝0的两个根，
因此C 1C 2＝2|a －c |＝2
a ＋c
2
－4ac ＝45
9
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14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞) 解析 如图，连结AQ .
∵PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线
段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴a
2
≥1，a≥2.。