【管理资料】理想流体动力学汇编
流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
第04章理想流体动力学
y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
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为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
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伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
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取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：
流体力学第四章 理想流体动力学
图4 .4 均 匀流和非均匀流
图4.4 均匀流和非均匀流
工程流体力学
均匀流和非均匀流:
工程流体力学
在实用上均匀流的某些性质可适用于渐变流。 主要是： (1)渐变流的过流断面接近于平面，面上各点的速 度方向接近平行； (2)定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布 规律。 即
z
p
C
表明在恒定渐变流的过流断面上，沿流线法线方 向的压强变化规律与静止液体中一样。
工程流体力学
【例 4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流 速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 h 60mmHg （不计损 失）。 求：（1）该管中的流速v； （2）若管中流体是密 度为0.8g/cm3的油，h 仍不 变，该点流速又为多少。
h B v A 图 4.3 点 流 速 的 测 量 图 4.3 点流速的测量
工程流体力学
将加速度展开成欧拉表达式
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
v12 p2 v2 2 z1 z2 hL 2g 2g p1
水头损失 hL 也是具有长度的量纲。
工程流体力学
工程流体力学
4.3
4.3.1
伯努利方程的实际应用
渐变流和急变流
流体在流动中又分为均匀流和非均匀流，对于非 均匀流按流速随流向变化的缓急可分为渐变流和急变 流两种，如图4.4。
列出由1—1到2—2断面的总流伯努利方程（取 动能修正因数 1 2 1）：
z1
水
理想流体动力学
特性1
证明：在流场中任取一流线
s
， y
则流线上任一点的速度与流
线相切。微元线段 矢量 d s 与
对应的速度矢量 v 之间的关系
式为
dx dy vx vy
流线微分方程
o
v s
ds dy
vy
dx
vx
x
v ydx vxdy 0 d 0
流函数值相等的点 可连成一条流线
证明了沿一条流线各点的流函数值相等。
q 2 1
特性3
证明：对于平面势流，有
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0
代入
x
v y
,
y
vx
得到 即
( ) ( ) 0
x x y y
2 2
x2 y2 0
例 3. 一平面恒定流动的流函数为 (x, y) 3x y
试求速度分布，写出通过 A（1，0）和 B（2， 3 ） 两点的流线方程，和两点之间连线的通过流量。
(
z
)
z
(
y
)]
0
类似可推出 y z 0
因此，存在速度势函数的流动必定无旋。
流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。
特性3
等势面：速度势函数取相同值的点构成空间曲面， 即 Φ(x, y, z)=C
证明：在等势面上取一点O，并在该面上过O任
取一微元线段矢量 d L dxi dy j dz，k该点
特性2
设ψ1、ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，要 求证明通过AB两点间单位厚度的流量q=ψ2-ψ1。
证明： 取微元线段 d s ，过微元线段的速度为 v ， 则单位厚度的微元流量dq的表达式为
理想流体动力学基本方程共133页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
理想流体动力学基本方程
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明—爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
理想流体动力学
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第4章理想流体动力学
建立理想流体运动的动力学方程，揭示理想流体 运动和力之间的关系。
内容：（1）建立理想流体动力学基本方程。
（2）特定条件下积分： 非定常无旋运动条件下积分——拉格朗日积分； 定常运动条件下沿流线积分——伯努力积分。 （3）伯努力方程的几何意义和能量意义。
欧拉运动微分方程：
vx vx t v y vx t vz vx t vx vx vx 1 p vy vz X x y z x v y v y v y 1 p vy vz Y x y z y vz vz vz 1 p vy vz Z x y z z
tt
t
一般运动 ＝ 平移 ＋ 线变形 ＋ 旋转 ＋ 角变形
速度分解定理的意义： （1）旋转运动从一般运动中分离出来，分为无旋和有旋运动; （2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来， 研究粘性流体运动规律。
流体微团中过某一点无限多条直线段旋转角速度的平均值， 在数值上等于过该点的直角平分线的旋转角速度。
H
z1
2
z2
伯努力方程表明： （1）流速高度、压力高度和几何高度之和沿流线不变，即总高 度H为一水平线。 （2）理想流体沿流线运动的总水头线是一水平线。
流体微团的运动由三部分组成：
• 以速度 v(vx , vy , vz ) 作平移运动； • 绕某瞬时轴以平均角速度(x , y , z ) 旋转，不引起微团形状 的改变； • 纯变形运动：线变形速率 ex , ey , ez 使微团的体积膨胀或缩小， x , 使微团发生角变形。 角变形速率 y , z
物理意义：
单位质量流体局部惯性力、变位惯性力、质量 力和压力合力平衡。
流体力学(中)(第四章 理想流体动力学)
Vi t
Vj
Vi x j
1
p xi
fi
t
(e
1 2
V
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
pV
q qR
t
e
1 2
V
2
Vj x j
e
1 2
V2
1
f jVj x j
pV j
q qR
不封闭！
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§4.1 理想流体运动的基本方程和初边值条件
2. 理想流体能量方程的讨论
2020/7/25
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§4.1 理想流体运动的基本方程和初边值条件
3. 常用理想流体动力学微分型封闭方程组
重力场中，理想常比热完全气体绝热流动
V V
t
关于 p, , V 的封闭方程组
V V V 1 p g
t
p
p
t
V
0
p RT
e
CvT
e,T
重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动
流体力学
第四章 理想流体动力学
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体
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真实流体
2
第四章 理想流体动力学
1.理想流体运动的基本方程和初边值条件
2. 理想流体在势力场中运动的主要性质
3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分
4. 理想不可压无旋流动数学模型和性质 5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法
1 R1
1 R2
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§4.1 理想流体运动的基本方程和初边值条件
理想流体动力学
∂ϕ ∂z
利用梯度的概念，可类推出 vl =
∂ϕ 。 （参加书上的推导方式） ∂l
2.存在势函数的流动一定是无旋流动 设某一流动，存在势函数 设某 流动，存在势函数 ϕ ( x, y, z, t ) ，其流动的角速度分量：
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂v y ∂vx ∂ ∂ϕ ωz = ( ) = [ ( ) − ( )] = ( − )=0 − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y
这说明， 一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢 量与流向平行 可推知流线与等势面是正交的 量与流向平行，可推知流线与等势面是正交的。
4.势函数是调和函数（满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数） ，对 不可压缩流体，连续性方程为： 缩 连
∂v x ∂v y ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z
从上所见，在不可压缩流体有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续 性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，转化为求解一定 边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 Laplace l 方程是一个线性方程，其解具有可叠加性，如： 方程是 个线性方程 其解具有可叠加性 如 ϕ1 ，ϕ 2 是 方程的解，则ϕ1 + ϕ 2 也是方程的解。利用这一性质，分析研究一些简单 的势流 然后叠加可组成比较复杂的势流 的势流，然后叠加可组成比较复杂的势流。 三、流函数 在三维、理想、不可压缩无旋流动中，由于存在速度势函数ϕ ，而 使问题大为简化。 对于不可压缩流体的平面运动（有旋、无旋） 缩 体 平 动 有旋 无旋 ，还存在另一个表征 存在另 个 征 流动的函数—流函数。且不同的流函数数值代表不同的流线。如下图所 示：
将用势函数表示的速度分量：v x = 得：
理想流体动力学
，
vy y
，
vz z
2 2 2 0 x y z
即 0 ，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数 就叫做调和函数
2
§8.2 平面无旋流动
平面流动是指对任一时刻，流场中各点的 速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场 中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在 流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定 运动的函数仅与两个坐标及时间有关。 在实际流动中，并不存在严格意义上的平 面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量 在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可 以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可 简化为平面流动问题处理。（图1）
§8.1 无旋流动
无旋流动就是其流场中每个流体微团不发生旋转， 角速度 ，即 0 1 vz v y x ( )0 2 y z
y (
1 vx vz )0 2 z x
1 v y vx z ( )0 2 x y
一 速度势函数
得到 1 ( v z v y ) 0 y 1 ( vx vz ) 0 1 ( v y vx ) 0 x z 2 z x
特性2
设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角 速度分量 v
x (
1 v z 1 y ) [ ( ) ( )] 0 2 y z 2 y z z y
类似的推出
y z 0
可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。
特性3
等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢 量 d L dxi dy j dzk 0 ，求 d L 与点A处速度 v 的标量积。
第四章理想流体动力学
其中dx、dy、dz为流线上的线元的分量。 以x方向为例：
vx vx vx vx 1 p X x dx t vx x v y y vz z dx
首先，定常流动，有：
vx ＝0 t
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
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第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
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§4-3 伯努利积分式及其应用
介绍伯努利(D.Bernouli 1700－1782)方程的推导和应 用。 伯努利方程的推导： 是欧拉方程在定常运动沿流线的积分。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
v x v x v x v x vx vy vz vx vy vz x y z x y x z x v y v x v x v z vx vy vz vy vz vx x x y x z x x x 1 2 2 2 1 2 vx v y vz v x 2 x 2
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推导过程主要将运动微分方程沿流线积分， 再将积分号下的项变形为某个函数的全微分， 得到积分方程。然后在质量力为重力的情况下， 整理出要求的伯努利积分式。 欧拉运动微分方程：
v x v x v x v x 1 p vx vy vz X t x y z x v y v y v y v y 1 p vx vy vz Y t x y z y v z v z v z v z 1 p vx vy vz Z t x y z z
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理想流体动力学理论
第四章 流体的积分关系式及其应用众所周知，一个固体质点在保守力场中运动时，质点的动能和势能之和保持不变，这就是经典物理中的机械能守恒定律。
从数学的观点看，机械能守恒是动量方程的一次积分，称为能量积分。
有了能量积分方程，我们在处理保守场中的动力学问题时，就可通过该方程将始、末两态直接联系起来，而不必考虑中间过程的细节。
在流体力学中也有类似的积分。
前面一章建立了控制流体流动的微分方程组，原则上利用该方程组可以求解满足Stokes 假设的Newton 流体的任意流动问题。
对于理想流体流动问题，可以直接积分微分方程，得到积分方程。
利用积分方程求解流动问题显然更为简便，因而这些积分方程得到广泛应用。
什么样的流体是理想流体呢？当流体发生剪切变形时总会伴有粘性应力。
粘性应力不仅与流体的粘性性质(以粘性系数表征)有关，还依赖于速度梯度，对于低粘（μ小）流体的流动，如果速度的空间变化不太急剧，粘性应力就比较小。
如果粘性应力对所研究的流动问题影响较小，可以忽略流体的粘性，认为流体是无粘的，即理想流体。
一般常见的流体，如空气和水，粘性系数很小，在自然界和工程中遇到的这些流体的大多数流动，粘性的影响都可以忽略，都可以近似看作理想流体流动。
在流体力学发展的历史上，无粘流理论是流体力学中历史悠久，发展完善，成果辉煌，应用广泛的一个分支领域。
§4.1理想流体运动方程的进一步化简理想流体满足Euler 方程：dV pF dt ρ∇=-， （4-1）或者改写成兰姆—葛罗米柯形式2rot 2VV p V V F t ρ⎛⎫∂∇+∇+⨯=-⎪∂⎝⎭。
（4-2）若体力有势F π=-∇，（4-3）其中π代表体力势，即单位质量流体的势能。
如果体力仅为重力，取z 轴沿g -方向，并取0z =为零势能面，则gz π=。
若流体密度是常量或仅为压强的函数，则称流体是正压流体。
若流体正压，)(p ρρ=，此时可定义压力函数()dpP p ρ=⎰（4-4-1）或()dpdP p ρ=。
第五章 理想流体动力学
第五章理想流体动力学§5-1 伯努利定理及其应用dp℘=∫℘ρ的压力函数L 沿P∇℘=∇ constρρ℘=均质不可压缩流场中dp1∫℘==∫绝热可逆熵沿迹线不变，定常流流线与DS0=迹线重合，故熵沿流线不变。
Dtr1L11p s s ln ln p C ρρ⎛⎞−=+⎜⎟⎝⎠p 1为L上一个参考点1p1p γ111p co nst1p γργρρ=+⎜⎟−⎝⎠()pp,L co nst1γγρ℘=+−二、沿着流线和涡线成立的伯努利积分()l ⎜⎟∂2l 2l lvp L U ρ∂∂⎝⎠⎡⎤∂=()()l p,L l 2Ω+℘+×⎢⎥∂⎣⎦V三、伯努利积分常数与所取曲线无关的情况⎢⎥22vU i ⎣⎦∴+℘+=()0p 2℘(Ω×=关于V )()()10 20 33ΩΩΩ=⊥与平行流线与涡线重合平面流中故不存在V =V V ()0i (二)在具有均匀流区域的流场中每条流线在均匀流处具有相同的物理量,因此相同ρ2222v v p =p =处工况速度与压力同一流线伯努利积分同流线伯努利积分ρ221c v v 2ρ−（）任意点与参考点上的动压差若一物体安置在流体中，与物面相邻的流体在同一条流线上若安中邻条线c c b c p g z z dA-v v dA ρρ⎡⎤=−+−−w w n n ()()b A A 2⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫()121mg z z 1ρ−=若机翼垂直方向的尺寸为静压：21.772N /m 可见翼型的升力主要是由其表面上下动压差引起的六六、完全气体作可逆绝热流动时的11v ⎝⎠11L p s s ln p C γρ⎛⎞⎛⎞−=⎜⎟⎜⎟⎠1v ρ⎝⎝⎠i ==℘2v ρ℘==∫0U,i const i 2+忽略i 滞止焓或总焓00i T --—滞止焓或总焓 滞止温度或总温—滞止压力 滞止密度00p ργ做定常小孔口做定常、可逆绝热的出流问题容器中远离孔口处0V=（2）理想可压缩流体绕翼型的流动中，表面形成驻点i C T i== 0P00max P02v2C T∴=取决于滞止温度最大速度可被解释为理想可压流体从气罐流入绝对真空（该处）时p T 0ρ===max v 状态。
流体力学——理想流体力学（可编辑）
第六章 理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ .6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值6-4已知平面流动速度势函数 φ=-π2q lnr,写出速度分量Vr,V θ,q 为常数。
6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-m θ+C ,写出速度分量Vr 、V θ, m 为常数6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx ,εyy , 求出速度势函数φ.6-7 已知平面流动流函数ψ=x 2-y 2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.6-8一平面定常流动的流函数为(,)x y y ψ=+试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2.6-9 已知流函数ψ=V ∞(ycos α-xsin α),计算其速度,加速度,角变形率(xy ε=yx ε=21(x v y ∂∂+yv x ∂∂)),并求速度势函数φ. 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
6-11 什么样的平面流动有流函数?6-12 什么样的空间流动有势函数?6-13 已知流函数ψ=-θπ2q ,计算流场速度. 6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x 2 +y 2), 试确定该流动的势函数φ.6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数ϕ和流函数ψ与速度分量y x v v ,有什么关系?6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?6-19 试写出沿y 方向流动的均匀流(V=Vy=C=V ∞)的速度势函数φ，流函数ψ.6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y ；Vy=-y-4x 试证：（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求φ, (3)求ψ，6-21 已知平面流动流函数ψ=arctg xy ，试确定该流动的势函数φ. 6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x 2+x-y 2, (Ⅱ)ψ=2xy+y.6-23 已知两个点源布置在x 轴上相距为a 的两点，第一个强度为2q 的点源在原点，第二个强度为q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q >0）。
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上述方程称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称 为调和函数。
第二节 平面无旋流动
在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程 为：
u x
u y
0
x y
u
x
x
y (uy )
是 –uydx+uxdy 成为某一函数ψ（x，y，t）全 微分的充分必要条件。
d(u)dx udy
y
x
ddxdy
x y
函数ψ 称为流函数。
第三节 几种简单的平面无旋流动
一、均匀直线流动
ux
x
y
u
uy y x 0
d u dxu dy
x
y
u dxu xc
d uydxuxdy udyuyc
二、源流和汇流
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
三、环流
第四节 势流叠加
1 2
1
2
u 1 2uu x x x x 1x 2x
当地雷诺数）来判定。 转捩点：在x=xk处边界层由层流转变为紊流的 过渡点。 临界雷诺数： (3.5~5.0)105 临界雷诺数并非常量，而是与来流的扰动程度有关， 如果来流受到扰动，脉动强，流态的改变在较低的 雷诺数就会发生。
第十节 曲面附面层的分离现象 与卡门涡街
当物体绕弯曲表面流动时，边界层内会伴随产生压差，边 界层因此可能会从某一位置开始脱离物体表面，在物面附近出 现回流现象，这种现象称为边界层分离现象或脱体现象。下图 为圆柱后部发生的流动分离形成一对涡旋，称为猫眼。
层流 xE/d=0.028Re； 湍流 xE/d=50
这里，雷诺数 Re=ud/
u
边界层
xE
充分发展的流动
进口段长度
(b)湍 流
圆管内边界层的发展
入口段的液体运动不 同于正常的层流或紊 流，因此进行管路阻 力实验时，需避开入 口段长度。
转捩点、临界雷诺数
与管内流动类似，平板绕流边界层内的流动型
态也可以用无量纲准数 Rxeku0xk/（称为
势函数和流函数小结
一个流动存在势函数的条件仅仅是无旋， 只要无旋，那么，不管是可压缩流体还是不可 压缩流体，也不管是恒定流还是非恒定流，三 元流还是二元流，都存在势函数。对于不可压 缩流体无旋流动，势函数满足拉普拉斯方程。
流函数存在的条件则是不可压缩流体，以 及流动是平面问题，与流动是否无旋，是否恒 定和是否具有粘性无关。当流动又是无旋时， 则流函数也满足拉普拉斯方程。
边界层内流动必须计入流体的粘性影响可利用动量方程 求得近似解（N-S方程简化得到的相对容易求解的普朗特 边界层方程）。
边界层外流动视为理想流体流动，可进一步处理成理想 无旋的有势流动。
边界层的厚度
边界层厚度δ（boundary layer thickness）：自固体边界表面 沿其外法线到纵向流速ux达到主流速u0的99%处，这段距离称 为边界层厚度。边界层的厚度顺流增大，即δ是x的函数。
边界层的内边界 u0
边界层的外边界 u0.99u0
边界层的外边界是人为划定的粘性作用主要影响区的界线，而 不是流线。
边界中的水流同样存在两种流态：层流和湍流。 湍流边界层又可沿边界层横向分为粘性底层和湍流层。
二、管流附面层
边界层
u m ax
u
对于圆管，有：
xE
充分发展的流动
进口段长度
(a)层 流
普朗特边界层理论的主要内容：
(1) 紧贴壁面非常薄的一层，该薄层内速度梯度很大，这一薄 层称为边界层。层内流体粘性作用极为重要，不可忽略。
(2) 边界层以外的流动区域，称为主体区或外流区。该区域内 流体速度变化很小，故这一区域的流体流动可近似看成是理想 流体流动。
根据边界层的概念，可将流场的求解可分为两 个区进行：
理想流体动力学
本章重点难点
掌握流函数和势函数的定义； 理解附面层的概念与分离现象； 掌握悬浮速度的计算方法。
第一节 无旋流动
流动场中各点旋转角速度等于零的运 动，称为无旋流动。
根据全微分理论，上列三等式是某空间位置函数 φ ( x 、 y 、 z) 存在的必要和充分的条件。
又
函数φ 称为速度势函数。 存在速度势函数的流动，称为有势流动，简称 势流。 无旋流动必然是有势流动。
uy yy1y2 u1yu2y
均匀直线流中的源流
第六节 绕流运动与附面层基本概念
垂直于来流方 向的升力来流方 向的阻力
形状阻力
附面层
附面层 的分离
一、附面层的形成及其性质
边界层理论
边界层的概念
边界层（boundary layer）：
亦称附面层，雷诺数很 大时，粘性小的流体 （如空气或水）沿固体 壁面流动（或固体在流 体中运动）时壁面附近 受粘性影响显著的薄流 层，如图所示。
边界层分离的必要条件是：逆压、流体具有粘性 这两个因素缺一不可。
以左图机翼绕流为例。 Ａ点是驻点，Ｃ点处机翼最厚。
从Ａ到C是顺压区，压力逐渐降低，压力能转化为动能，对 边界层流动有增速作用，从而减少了边界层厚度的增长率。
C点以后的逆压区，压力升高，动能转化为压力能，压差作 用力将对边界层流动有减速作用，从而增加了边界层厚度的 增长率。
一切不可压缩流体的平面流动，无论是 有旋流动或是无旋流动都存在流函数，但是， 只有无旋流动才存在势函数。
所以对于平面流动问题，流函数具有更 普遍的性质，它是研究平面流动的一个重要 工具。
y
ux
u
x
y
ux xy,uy yx
平面势流的流函数和势函数互为共轭调和函数。所以， 若已知其中一个函数，即能求出另一个函数。而且可 引入复变函数作为未知函数，利用复变函数求解析函 数的方法求解。
1. 势函数满足拉氏方程 2 0 的条件是 A、平面有势流动； B、不可压缩流体的有势流动； C、不可压缩流体的平面有势流动； D、不可压缩流体的平面拉氏。
2. 流函数满足拉氏方程 2 0 的条件是（） A、平面不可压缩流体的流动； B、平面有势流动； C、不可压缩流体的有势流动； D、不可压缩流体的平面有势流动。
边界层分离
分离点：通常把物面上开始出现流动方向改变的Ｓ点（即壁面
上速度梯度为零的点）称为分离点或脱体点。Ｓ点以后的漩涡
区又称为分离区。
压 力 逐 渐 减 y小0( u y)压 y0力 0逐 渐 y 增 大分影边离响界区外，将流这严区时重的已
(uy)y0 0
(uy)y0 0
不能认为粘性