2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编8：直线与圆
XX省2021届高三最新数学〔精选试题26 套〕分类汇编 8：直线与圆一、填空题错误！未指定书签。
〔． XX省XX中学2021届高三最后一次模拟考试数学试题〕直线 l1: ax y2a 1 0和 l2: 2x(a1) y 2 0 ( a R ),那么l1l2的充要条件是a________.【答案】13错误！未指定书签。
．〔XX 省XX中学2021届高三最后一次模拟考试数学试题〕 a, b, c 成等差数列,点M( 1,0)在直线 ax by c 0上的射影点为 N ,点 P(1,1), 那么PN的最大值为 _____________ .【答案】52错误！未指定书签。
．〔XX省XX市金坛四中2021年高考数学冲刺模拟试卷doc 〕直线x 2 y30 与直线 ax 4 y b0关于点 A(1,0) 对称,那么b=_______;【答案】 2错误！未指定书签。
〔． XX省启东中学2021届高三综合训练〔 2〕〕动点P x, y满足x 1y a1,O 为坐标原点 , 假设PO的最大值的取值X围为17 ,17 , 那么实数a的取值X围是________2【答案】3,112,32错误！未指定书签。
．〔XX省XX市金坛四中2021年高考数学冲刺模拟试卷doc 〕直线y=kx+3与圆(x-3) 2+(y-2) 2=4 相交于 M,N两点 ,假设 |MN| ≥2 3,那么 k 的取值X围是 ____3【答案】－4，0错误！未指定书签。
．〔XX省XX市金坛四中2021年高考数学冲刺模拟试卷doc 〕当且仅当a r b 时,在圆 x2y2r 2 (r0) 上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1,那么 a b 的值为______.【答案】 25错误！未指定书签。
．〔XX省XX市2021届高三考前模拟数学试题〕过点 P(1,1)的直线将圆 x2y2 4 分成两段圆弧 , 要使这两段弧长之差最大 , 那么该直线的方程为 ________.【答案】 x y20错误！未指定书签。
2013高考备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学9直线与圆
各地解析分类汇编（二）系列: 直线与圆1.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】在直角坐标系中，直线30y +-=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线的斜截式方程为3y =+，即直线的斜率tan k α==所以23πα=，选D.3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。
当2a =-时，21a=-，所以不满足条件，所以1a =，选A.4.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，则有圆心到直线的距离1d 。
即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A.5.【云南省玉溪一中20131by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A.1+B.21-【答案】A【解析】因为△AOB=2222a b +=。
2013年高考真题理科数学分类汇编：考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系含解析
考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22-++=上的动点，(3)(1)4x yx=-上的动点，则PQ的最小值为( )Q是直线3A. 6 B。
4 C. 3 D. 2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径。
【解析】选B。
PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x的距离为6,半径为2，所以PQ的最小值为6=-。
242.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2，2)的直线与圆（x—1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直,则a= ( ）A. 1- B. 1 C。
2 D。
122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2）为圆（x-1）2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知,圆心（1,0)与点P（2,2)的连线与过点P（2，2)的切线垂直.因为圆心（1,0)与点P（2,2）的连线的斜率k=2，故过点P,所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此（2，2)的切线斜率为—12a=2。
A.1 B 。
2 C 。
4 D 。
【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。
【解析】选C.由22(1)(2)5x y 得圆心（1，2），半径5r,圆心到直线x+2y-5+的距离|1455|15d，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长222244lr d 。
4。
（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C :22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( ) A 。
425- B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PCPN PM ,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知，圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C :22(3)(4)9x y -+-=的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ，且421-+=+PC PCPN PM ，点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC ，即425421-≥-+=+PC PCPN PM .5.(2013·广东高考文科·Ｔ7)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y +=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径1，即1=，c =所求方程为0x y +=。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）直线2x 3y10 的一个方向向量是（）A．(2，3)B．(2，3)C．( 3，2)D．(3，2)【答案】 D2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））已知点A( 1,0), B(1,0),C (0,1) ,直线 y ax b(a0) 将△ABC切割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是（）A．(0,1)B．(12,1)( C)(12,1] D．[1,1)222332【答案】 B3．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆(x 1)2y21的两条切线 ,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为（）A． 2x y 3 0B． 2x y 3 0C． 4 x y 3 0D． 4x y 3 0【答案】 A4．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点O 0,0 , A 0,b , B a,a3 .若ABC 为直角三角形 , 则必有（）A．b a3B．b a31aC．b a3 b a310D．b a3 b a310a a【答案】 C5．（ 2013 年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,l1, l2之间 l//l1,l 与半圆订交于F,G 两点 , 与三角形ABC两边订交于E,D 两点 , 设弧FG的长为 x(0x) ,y EB BC CD, 若l从l1平行挪动到l2,则函数y f ( x)的图像大概是【答案】 D6 ．（ 2013 年高考湖南卷（理））ABC中 ,AB=AC4， P AB在等腰三角形点是边上异于A, B 的一点,光芒从点P出发,经 BC ,CA 发射后又回到原点P (如图1).若光芒QR经过 ABC的中心,则 AP 等（）A．2B．1C．8D．4【答案】 D33二、解答题7 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））本小题满分14 分 . 如图 , 在平面直角坐标系xOy中 , 点A(0,3) , 直线l : y 2x4,设圆C 的半径为 1,圆心在 l 上.(1)若圆心 C 也在直线y x 1上 , 过点A作圆C的切线 , 求切线的方程 ;(2)若圆 C上存在点 M ,使 MA2MO ,求圆心 C 的横坐标a的取值范围.ylAO x【答案】解 :(1)y2x4∵圆 C 的半径为1由y得圆心 C 为(3,2),x 1∴圆 C 的方程为:(x3)2( y2)21明显切线的斜率必定存在, 设所求圆 C 的切线方程为y kx3, 即kx y30∴ 3k 2 31∴3 1k 21 ∴2k( 4k3)0∴k0或许k3k21k4∴所求圆 C 的切线方程为 : y 3 或许y 3 x 3 即y 3 或许 3x4y1204(2) 解: ∵圆C的圆心在在直线l : y2x 4 上,因此,设圆心C为(a,2a-4)则圆C 的方程为 :(x a) 2y( 24) 21a又∵MA2MO∴设M为 (x,y)则x 2( y3) 22x2y 2整理得 : x2( y1) 24设为圆D∴点 M应当既在圆C上又在圆 D上即 : 圆 C和圆 D有交点∴ 2 1 a 2(2a4) ( 1)2 2 1由 5a 由 5a 228a8 0 得x R12a0 得012x512终上所述 , a的取值范围为 :0,。
三年高考2013_2015高考数学试题分项版专题08直线与圆理(含解析)
第八章 直线与圆一、选择题1. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20x y c ++=，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．2. 【 2013湖南8】在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．83 D ．43【答案】 D【解析】 使用解析法。
).34,34(32).2,2(),0,(O O ABC D BC x P ∴∆处，在中线的的重心的中点设))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,++++-⇒+-=k k k k Q k R x k y k RQ 则其方程为的斜率为设直线,0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4=--⇒=⋅=++-++=-=k k k k k k k x k k k k k QP RP QP RP 由题知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒3421(01x k x k ，舍） 选D【考点定位】直线与方程【名师点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，解决问题的关键是根据光的反射原理正确计算对称点坐标，利用对称性得到直线斜率之间的关系解决问题即可.3. 【2013山东，理9】过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 【答案】：A【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、直线方程.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法”，涉及切线问题，往往利用圆心到直线的距离等于圆的半径建方程求解. 本题是一道能力题，在考查查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力、逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答. 4. 【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=1= ,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ． 【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.5.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10 【答案】C【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ∆是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 6. 【2013高考重庆理第7题】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )． A．4 B1C．6-【答案】A【名师点睛】本题考查了圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题．7. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B、、6 D、 【答案】C【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P所作切线的长l =8. 【2013，安徽理8】函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （ ）A ．{}3,4B ．{}2,3,4C ． {}3,4,5D ．{}2,3【答案】B ．【易错警示】不理解代数式的几何意义，不能对问题进行等价转化是常见错误．【名师点睛】数形结合思想在高考中经常用到，常分为“以形助数”和“以数助形”，本题主要用到“以形助数”的思想，通过数与形之间的对应关系（()f x x的几何意义是曲线上点()(),x f x 与原点连线的斜率），通过把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题、或获得解决数的问题解决思路去解决数学问题的思想.9.【2013天津，理5】已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 则p ＝( )． A ．1 B ．32C ．2D ．3 【答案】C【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与抛物线的准线相交，求出交点的坐标，利用面积公式列方程求出P ，这样的题目在高考试题中很常见，要灵活应用圆锥曲线的几何性质解题.10. 【2014天津，理5】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A ． 【解析】【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与直线l 平行，斜率相等，列出,a b 的一个关系式，直线l 与x 轴交点为双曲线的一个焦点，求出c ，借助222a b c +=，联立方程组，求出,a b ，即可.待定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于,,a b c 的方程，还要借助22a b +2c =，正确解出,a b 的值.11. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y= 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.12. 【2014福建,理6】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【答案】A【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积及充分条件与必要条件等基础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现.相关结论是：若p q ⇒ ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.13. 【2014福建,理9】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【名师点睛】本题主要考查圆与椭圆的基础知识，及划归思想.本题解法的关键是把两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，注意与圆锥曲线有关的试题，一般运算量比较大，要注意运算的准确性. 二、填空题1.【2014江苏，理9】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .【名师点晴】求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．2. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件. 3. 【2015高考陕西，理15】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,1【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．4. 【2014高考陕西版文第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 【答案】22(1)1x y +-=【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，点关于直线的对称，，属于容易题．解题时利用对称性求出圆心坐标，就可以写出圆的标准方程．5. 【2014新课标，理16】设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在R t O M ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM =o =||12OM ≤，解得||OM ≤因为点M （0x ,1），所以||OM =≤解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．6. 【2014四川，理14】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【答案】【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要注意“一正，二定，三相等”.7.【2014高考重庆理第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.【答案】4【解析】试题分析：由题设圆心到直线20ax y --==解得：4a =所以答案应填：4.考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，等边三角形的性质，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将等边三角形这一条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .【答案】2【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，夯实基础，注重基础知识的运用，充分体现了数形结合的数学思想在数学问题中的应用，能较好的考查学生动手作图能力、基本知识的识记能力和灵活运用能力，锻炼学生的严密地逻辑推理能力.9. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 三、解答题1. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ ．（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛- ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 相切时，由32=得34k =±，又043DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（533x <≤），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C 与直线L 的图形画出求解则可轻易突破难点．2. 【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】(1) y ＝3或3x ＋4y －12＝0.；(2) 120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力. 【名师点晴】1．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． 2．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．3. 【2013课标全国Ⅰ，理20】(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.当k y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 【名师点睛】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查考生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.4.【2013天津，理18】设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F且与x (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB＝8，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22=132x y +；（Ⅱ）(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝22623k k -+，x1x2＝223623k k-+. 因为A(0)，0)， 所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x1x2，－y2)＋(x2x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝22212623k k+++. 由已知得22212623k k +++＝8，解得k＝考点定位：本题考点为直线与圆锥曲线相关知识【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆有关知识，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.5. 【2014天津，理18】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B．已知12AB F =． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．【答案】（Ⅰ）e =；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．【解析】由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则142323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r ，即，整理得2810k k -+=，解得4k =?．∴直线l的斜率为4+或4-考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 【名师点睛】本题考查求离心率和待定系数法求椭圆方程，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先求离心率就是根据题目所给条件列出一个关于,,a b c 的等式，就能求出离心率;其次解决直线与圆锥曲线问题，要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，简单方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.6. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 3； (II) 22132x y += ；(III) ,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭ .(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =m ∈⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝⎭综上，直线OP 的斜率的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B ．C．（﹣1，0）D ．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．B ．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B ．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）椭圆C ：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax +是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，若，则k=（）A ．B ．C ．D．212．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B ．C ．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则co tα=．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．（12分）已知双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C 的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i【考点】A5：复数的运算．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B ．C．（﹣1，0）D ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x ＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．B ．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B ．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．18【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为T r+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C ：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆C ：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C ：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax +是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a ≥﹣2x 在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x 在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a ≥﹣2x 在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x ∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h （）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，若，则k=（）A ．B ．C ．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B ．C ．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f （+x）=cos （+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f （﹣x）=cos （﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f （+x）=f （﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t ∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t ∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g （）=，可得g（t ）的最大值为．由此可得f（x ）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D 正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是[，4] ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C 的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB ∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B1B 2）=P（B1）P（B2）P （）=．P（X=2）=P （B3）=P （）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C 的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I ）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x ＜，则当0＜x ＜，f′（x）＞0，所以当0＜x ＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n +=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是 （ ）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ．(3 2)，【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(1)2 ( C) 1(1]23- D ．11[,)32 【答案】B 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a =+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C 5 ．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（ ） A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D二、解答题 7 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,。
上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编8：直线与圆
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ,则（ ）A ．422≤+b a .B ．422≥+b a .C ．41122≤+b a . D ．41122≥+ba . 2 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是 （ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-D ．[1,0](1,)-+∞3 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）若点)1,(b a M 和)1,(cb N 都在直线l :1=+y x 上,则点)1,(a c P ,),1(b cQ 和l 的关系是 （ ）A ．P 和Q 都在l 上B ．P 和Q 都不在l 上C ．P 在l 上,Q 不在l 上D ．P 不在l 上,Q 在l 上二、填空题4 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）若直线l 过点(1,3)A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为___________.5 ．（2013届浦东二模卷理科题）若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点,则实数m 的取值范围是____________.三、解答题6 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知点)0,1(A ,1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点,且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列,公差为d ,0≠d .(1)若1P 坐标为()1,1-,2d =,点3P 在直线3180x y --=上时,求点3P 的坐标; (2)已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ,过点A 的直线交圆于31P P 、两点,2P 是圆C 上另外一点,求实数d 的取值范围;(3)若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上,点2P 的横坐标为3,求证:线段13P P 的垂直平分线与x轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. A 二、填空题 4. 21y x =-+5. ]10,0[ 三、解答题6. 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.解(1)11AP =,所以35AP =,设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,消去y ,得211300x x -+=, 解得15x =,26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0(2)由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t(ⅰ)当130<<r 时,点()1,0A 在圆上或圆外,31132P P AP AP d =-=, 又已知0≠d ,r P P 2031≤≤,所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 (ⅱ)当13≥r 时,点()1,0A 在圆内,所以13213132max=--+=r r d,又已知0≠d ,13220≤<d ,即013<≤-d 或130≤<d结论:当130<<r 时,0<≤-d r 或 r d ≤<0;当13≥r 时,013<≤-d 或130≤<d(3)因为抛物线方程为x y 42=,所以()1,0A 是它的焦点坐标,点2P 的横坐标为3,即82=AP设()111,P x y ,()333,P x y ,则111+=x AP ,133+=x AP ,1322AP AP AP +=, 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+,则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=-则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,0。
2011-2013年全国高考数学汇编直线与圆介绍
2011年高考试题数学（理科）直线与圆一、选择题:1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．() B ．(0)∪(0c ．[3-3] D ．(-∞，3-)∪(3，+∞) 答案：B解析：曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,33 2.(2011年高考重庆卷理科8)（8）在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （A）（B）（C）（D ）二、填空题:1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大.【答案】①③⑤【解析】①正确，设12y =+，当x 是整数时，y 是无理数，（x ，y ）必不是整点.②不正确，设kb =y1)x -过整点（1,0）.③正确，直线l 经过无穷多个整点，则直线l 必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线l 经过两个整点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，令x =121()x k x x +-（k Z ∈），则x ∈Z ，且y =211()k y y y -+也是整数，故l 经过无穷多个整点.④不正确，由③知直线l 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，∵直线方程为y kx b =+的形式，∴12x x ≠，∴y =2112212121y y y x y x x x x x x --+--， ∴k ，b ∈Q ，反之不成立，如1134y x =+，则334x y =-，若y ∈Z ，则334x y =-∉Z ，即k ，b ∈Q ，得不到y kx b =+经过无穷个整点.⑤正确，直线y1)x -只过整点（1,0）.2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为1。
2013届高考数学专题训练8 直线与方程、圆与方程 理.doc
高考专题训练八 直线与方程、圆与方程班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质． 如图，记题中圆的圆心为C (2,3)，作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|2k |1＋k2，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－4k21＋k2≥23，即4－4k 21＋k 2≥3，解得－33≤k ≤33. 答案：B2．(2011·潍坊市)若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：由圆的几何性质知k PQ ·k OM ＝－1，∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y－2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：B3．(2011·日照市)若直线x a ＋y b＝1经过点M (cos α，sin α)，则( )A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：由点M (cos α，sin α)可知，点M 在圆x 2＋y 2＝1上，又直线x a ＋yb＝1经过点M ，所以|ab |a 2＋b2≤1⇒a 2＋b 2≥a 2b 2，不等式两边同时除以a 2b 2得1a 2＋1b2≥1，故选D. 答案：D4．(2011·临沂市)已知直线x ＋3y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，则与OA →＋OB →共线的向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，33 C ．(－1，3)D ．(1，3)解析：根据题意|OA →|＝|OB →|＝1，故(OA →＋OB →)⊥AB →，直线AB 的斜率为－33，故向量OA →＋OB →所在直线的斜率为3，结合选项知，只有选项D 符合要求．答案：D5．(2011·烟台市)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0 B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0 C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0解析：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等，故可得a ＝±2(舍负)，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0，故答案选C.答案：C6．(2011·山东省临沂市)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32解析：由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥22x ＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．圆心为原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析：本题考查了直线与圆的位置关系，在解题时应首先求得原点到直线的距离，即是圆的半径，写出圆的方程即可，题目定位于简单题．由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝28．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．解析：本小题主要考查了直线与圆的知识，并且考查了圆关于直线对称的知识点． 由题可知k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，又k l k PQ ＝－1⇒k l ＝－1，圆关于直线l 对称，找到圆心(2,3)的对称点(0,1)，又圆的半径不变，易得x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝19．(2011·临沂)已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 中点为M (x 0，y 0)，且y 0≥x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________．解析：如下图所示，点M 在射线AB 上，射线AB 的方程为y ＝－12x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－53，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，根据y 0x 0的几何意义可知y 0x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－15.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－1510．(2011·苏锡常镇)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是__________________．解析：∵(x －a )2＋(y －a )2＝4，∴圆心坐标为(a ，a )，半径为2，圆心在直线y ＝x 上，只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的半径为2，当a ＝22时，单位圆与圆(x －a )2＋(y －a )2＝4内切，此时只有切点到原点的距离是1，当a ＝322时，单位圆与圆(x －a )2＋(y －a )2＝4外切，此时也只有切点到原点的距离是1，而当22<a <322时，单位圆与圆(x －a )2＋(y －a )2＝4相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为1；同理，当－322<a <－22时，单位圆与圆(x －a )2＋(y －a )2＝4也相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为1，即当22<a <322或－322<a <－22时，单位圆与圆(x －a )2＋(y －a )2＝4相交于两个点，在圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在这两个交点到原点的距离为1.答案：22<a <322或－322<a <－22三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知，如图，⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由⊙O 外一点P (a ，b )向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |.(1)求实数a 、b 间满足的等量关系； (2)求线段PQ 长的最小值；(3)若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时⊙P 的方程．解：(1)接接OP ，∵Q 为切点，PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又由已知|PQ |＝|PA |，故|PQ |2＝|PA |2， 即(a 2＋b 2)－12＝(a －2)2＋(b －1)2.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为2a ＋b －3＝0. (2)由2a ＋b －3＝0，得b ＝－2a ＋3. |PQ |＝a 2＋b 2－1＝a 2＋－2a ＋32－1＝5a 2－12a ＋8＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋45. 故当a ＝65时，|PQ |min ＝255，即线段PQ 长的最小值为255.(3)设⊙P 的半径为R ，⊙P 与⊙O 有公共点， ∵⊙O 的半径为1，∴|R －1|≤|OP |≤R ＋1，即R ≥|OP |－1且R ≤|OP |＋1.而|OP |＝a 2＋b 2＝a 2＋－2a ＋32＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋95. 故当a ＝65时，|PO |min ＝355，此时b ＝－2a ＋3＝35，R min ＝355－1.则半径取最小值时⊙P 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝⎛⎭⎪⎫y －352＝⎝⎛⎭⎪⎫355－12. 12．(13分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：解法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝2 2.故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切，当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．。
2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章立体几何-5直线,平面垂直的判定与性质.docx
第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质题型 95证明空间中直线、平面的垂直关系1. (2013 全国新课标卷理4） 已知 m ，n 为异面直线， m 平面， n 平面 .直线 l 满足 lm ， ln ， l，则（） .A. ∥ 且 l ∥B.且 lC.与相交 ,且交线垂直于 lD.与相交 ,且交线平行于 l2.（ 2013 广东理 18）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A 90 ， BC 6 ， D , E 分别是 AC , AB 上的点， CD BE2， O 为 BC 的中点 .将ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 ABCDE ，其中 AO3 .CO.BADECOBADE图 1图 2(1) 证明 : A O 平面 BCDE ；(2) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 .3.（ 2013 江西理 19）ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中如图，四棱锥P 点， △ DAB ≌△ DCB ， EA EB AB 1， PA3，连接 CE 并延长交 AD 于 F ．求证： AD2(1) 平面 CFG ；(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值．4.（ 2013 江苏 16）AB ，过 A如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ， AB BC ， AS 作 AF SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证：（1）平面 EFG // 平面 ABC ；S（2） BCSA .EGFCAB5. (2013 福建理 19）如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中 ， 侧 棱 AA 1底 面 ABCD ，AB/ / DC, AA 11,AB 3k,A D4 k, B C5 k, D C 6,k( k 0（ 1）求证：CD平面 ADD 1 A 1（ 2）若直线AA 1 与平面AB 1 C 所成角的正弦值为6 ，求7k 的值（ 3）现将与四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f (k) ，写出f (k) 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.6.(2013 天津理 17）ABCD ABC D 1如图，四棱柱－ 1 1 1 1 中．侧棱 AA 底面 ABCD ，AB ∥ DC ，ABAD ，AD CD1， AA AB 2， E 为棱 AA 的中点．1 1(1)证明： BC CE ；1 1(2) 求二面角 B 1－CE －C 1 的正弦值；(3) 设点M 在线段 CE 上，且直线AM与平面 ADD A 所成角的正弦值为2，求线段1 1 16AM 的长．B B1C C1A A1ED D1 7． (2013 湖南理 19）如图 5，在直棱柱ABCD ABC11 1D中，AD// BC，BAD 90,AC BD , BC1, 1AD AA 3.A1 D 1 1（ 1）证明：AC B1D；B1C1（ 2）求直线BC11与平面ACD1所成角的正弦值 .A DBC8.（ 2013 辽宁理 18）如图， AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面， C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角C -PB -A的余弦值 .PABC9. (2013 陕西理 18）如图，四棱柱ABCDABC- D 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，AO 平面11 111ABCD ， ABAA 12 .D1C1A1B1（1）证明： AC 1 平面 BBD 11D ；DC（2）求平面 OCB 与平面 BBD D 的夹角 的大小 .1 1 1OAB10（. 2014 辽宁理 4）已知 m n表示平面，下列说法正确的是 （）.， 表示两条不同直线，A ．若 m// , n // , 则 m // nB ．若 m ，n，则 m nC ．若 m， mn ，则 n // D ．若 m//， m n ，则 n10. 解析A 选项 m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以 n，D 选项也可以 n//或 n 与斜交 . 根据线面垂直的性质可知选B .11.（ 2014 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线 l 1,l 2,l 3, l 4 ，满足 l 1 l 2 ,l 2l 3, l 3l 4 ，则下列结论一定正确的是（ ） .A ． l 1 l 4B ． l 1//l 4C ． l 1,l 4 既不垂直也不平行D ． l 1, l 4 的位置关系不确定11. 解析由 l 1l 2 ， l 2 l 3 可知 l 1与 l 3的位置不确定，若 l 1 //l 3 ，则结合 l 3 l 4 ，得 l 1 l 4 ，所以排除选项 B ，C ，若 l 1 l 3，则结合 l 3 l 4 ，知 l 1与 l 4可能不垂直，所以排除选项A.故选 D.评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性 .12.（ 2014 江苏理 16）如图，在三棱锥 PABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点．已知 PAAC ， PA6， BC8 ， DF 5．求证：（ 1）直线 PA // 平面DEF；（ 2）平面 BDE平面 ABC ．PD13.（ 2015 广东理 18）如图所示， △ PDC 所在的平面AE与 长方形 ABCD 所 在 的平面 垂直 ， PDPC 4 ，FCBAB 6 ， BC3，点 E 是 CD 的中点，点PDCEAFGBF , G分别在线段AB ， BC上，且 AF2 FB , CG2GB .(1)求证：PEFG；(2) 求二面角 P AD C 的正切值；(3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 .13. 解析 （ ）证明：因为 PD PC 且点 E 为 CD 的中点，所以 PEDC ．1又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC平面 ABCDCD ， PE 平面 PDC ，所以 PE 平面 ABCD ．又 FG 平面 ABCD ，所以 PEFG ．（ ）因为 ABCD 是矩形，所以 ADDC ．由（ ）可得 PE 平面 ABCD ，所以PE AD，2 1所以 AD平面 PCD ．又 PD 平面 PDC ，所以 AD PD ．又因为 ADDC ，所以 PDC 即为二面角 P AD C 的平面角．在 Rt △ PDE 中， PD 4， DE1AB 3 ， PEPD 2DE 27，2所以tanPDCPE 7，即二面角 PAD C 的正切值为7 ．DE33（3）如图所示，连接AC ，因为 AF2FB ， CG 2GB ，即AFCG 2 ，FBGB所以 AC //FG ，所以PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角．在 △PAC 中，因为 PAPD 2AD 25 ，ACAD 2 CD 23 5，52352所以由余弦定理可得2AC 2PC 242cos PACPA9 5 ，2PA AC2 53 525所以直线PAFG 所成角的余弦值为9 5 ．与直线25PDECGA FB14.（ 2016 全国甲理 14 ） ，是两个平面， m ， n 是两条线，有下列四个命题：①如果 m n ， m ， n//，那么．②如果 m ， n // ，那么 m n ．③如果 a //， m，那么 m//．④如果 m //n ， // ，那么 m 与所成的角和 n 与 所成的角相等．以上命题正确的命题有.14. ②③④ 解析将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.15（. 2016 浙江理 2）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l .若直线 m, n 满足 m ∥ , n ⊥ ，则（ ）.A. m ∥ lB. m ∥ nC. n lD. m n15.C 解析对于选项 A ，因为l ，所以 l.又因为 m //，所以 m 与 l 平行或异面.故选项 A 不正确；对于选项 B 和 D ，因为，n ，所以 n或 n // .又因为 m //，所以 m 与 n 的关系平行、相交或异面都有可能 .故选项 B 和 D 不正确；对于选项 C ，因为l, 所以 l , 因为 n,所以 n l ，故选项 C 正确，故选 C.16.(2016 全国甲理 19)如图所示，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB 5 ，AC 6 ， 点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AECF5， EF 交 BD 于点 H ，将 △ DEF沿 EF 折4到 △ D EF 的位置， OD10 . （1）证明： DH平面 ABCD ；D /AEDOHFBC16.解析 （ 1）证明：因为 AE CF5AE CF EF ∥ AC4 ，所以ADCD ，所以 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD ，所以 EF BD ，所以 EF DH ，所以 EFDH ．因为AC6 ，所以AO3.又AB 5 ，OB ，所以OBOD4，所以 OHAEOD 1 ，AOAD所以 DH D H3，所以OD2OH2D H 2，所以 D HOH．又因为OH I EFH，所以 DH面 ABCD ．17.（ 2016 全国乙理 18）如图所示，在以 A， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2 FD ， AFD 90 ，且二面角 DAF E 与二面角C BE F 都是 60 ．（1）求证：平面ABEF平面EFDC；CDEFB A17.解析（ 1）由已知可得AF DF ， AF FE ，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF ，故平面 ABEF平面 EFDC.18.（ 2016 北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD平面 ABCD ，PA PD ， PA PD ， AB AD ， AB 1 ， AD 2 ，AC CD 5 .（1）求证：PD平面 PAB；PD ABC18.解析（ 1）如题中的图所示，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD ，AB平面 ABCDAB,AD，得AB平面 PAD ，所以 PD AB .又因为 PD PA,PA平面 PAB ， AB平面 PAB， AB PA A ，所以PD平面PAB .19.（ 2016 浙江理17）如图所示，ABC DEF，BCFE平面ABC ,在三棱台中平面ACB =90 ，BE EF FC1, BC2, AC 3.(1) 求证：BF平面 ACFD ；D FA ECB19.解析（ 1）因为此几何体三棱台，延长AD, BE,CF 可相交于一点K, 如图所示.因为平面 BCFE平面ABC，平面 BCFE 平面ABC为BC，KD FAEC BAC平面ABC，且AC BC ，所以AC平面BCK，因此BF AC .又因为 EF ∥BC , BE EF FC1, BC 2 ，可以求得KBC KCB 60 ，所以△ BCK为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则BF CK .因为 AC,CK平面ACFD，AC CK C ，所以BF平面 ACFD .20．（2016 江苏 16）如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D , E分别为AB, BC的中点，点F 在侧棱 B B 上，且 B D A F ， AC1A B ．111111求证：（ 1）直线DE //平面AC11F；（2）平面B1 DE平面AC F．11C11B1AFCEA D B20.解析（ 1）因为 D , E 分别为AB, BC的中点，所以DE为△ ABC 的中位线，所以DE // AC ，又因为三棱柱ABC A1 B1C1为直棱柱，故 AC //AC11，所以 DE //AC11，又因为 AC11平面 AC11F ，且 DE AC11 F ，故DE// 平面AC1 1F．（2）三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，所以 AA1平面 A1B1C1.又 AC11平面 A1 B1C1，故 AA1AC11.又 AC1 1A1B1，且 AA1A1B1A1， AA1 , A1B1平面 AA1B1 B ，所以 AC11平面 AA1B1B ．又因为 B1D平面 AA1B1 B ，所以 AC11B1 D ．又因为 AF1B1D ， AC11A1 F A1，且 AC11, A1 F平面 AC11F ，所以B1D平面AC F．又因为 B D平面B DE，所以平面 B DE平面AC1F．111111（江苏15）如图所示，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面ABD21. 2017平面 BCD ，点 E,F （E与A,D不重合）分别在棱AD , BD 上，且EF AD ．求证：（ 1） EF∥平面ABC；（ 2）AD AC．AEBF DC21.解析（1）在平面ABD内，因为AB AD ， EF AD ，且点 E 与点 A 不重合，所以EF //AB .又因为 EF平面 ABC ，AB平面 ABC ，所以 EF // 平面 ABC .（2）因为平面ABD平面 BCD ，平面ABD平面 BCD BD ，BC平面 BCD ， BC BD ，所以 BC平面 ABD .因为 AD平面 ABD ，所以BC AD .又 AB AD ，BC AB B ，AB平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 AD平面 ABC 又因为 AC平面 ABC ，所以 AD AC..22.（ 2017全国 1 卷理科18（ 1））如图所示，在四棱锥P ABCD中， AB //CD ，且BAP CDP90.(1) 求证：平面PAB平面PAD；PD CA B22.1BAP CDP90，所以 PA AB，PD CD .解析（）证明：因为又因为 AB∥ CD ，所以.又因为PD PA P ，PD，PA平面，所以AB PAD AB PD AB PAB PAD平面PAB PAD.又平面，所以平面平面.（2017全国3卷理科（））如图所示，四面体 ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD23.191是直角三角形，ABD CBD ，AB BD ．（1）求证：平面ACD平面 ABC ；23．解析⑴如图所示，取AC 的中点为 O ，联结 BO ， DO .因为△ ABC 为等边三角形，所以BO AC ， AB BC .AB BC由 BD BD，得△ABD △CBD ，所以 AD CD ，即△ ACD 为等腰直角三角形，ABD DBC从而 ADC 为直角.又 O 为底边 AC 中点，所以 DO AC.令 AB a ，则 AB ACBC BD a，易得 ODa3a ，， OB22222DOB，即 OD OB .所以 OD OB BD ，从而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O，所以 OD平面 ABC.AC平面 ABCOB平面 ABC又因为 OD平面 ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面 ABC.DCEOBA题型 96与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无1．（ 2013 四川理19）如图，在三棱柱ABC A BC 中，侧棱AA底面 ABC ，AB AC2AA ，1111 BAC120，D, D 分别是线段BC,BC 的中点，P是线段AD的中点．1111P ABC（）在平面 ABC内，试作出过点与平面平行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD A ；1 1（2）设（ 1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A AM N 的余弦值．1CDA P BC1D 1B1A12. (2015 陕西理18) 如图a所示，在直角梯形ΑΒCD中，ΑD //ΒC，ΒΑDπ，2ΑΒ=ΒC = 1，ΑD 2 ，Ε是ΑD 的中点，O是ΑC与 BE的交点．将△ABE 沿 BE 折起到△ΑΒΕ的位置，如图 b所示．1A1(A)A E DEDOOB C B C（ a ）（ b）（ 1）证明：CD平面ΑΟC；1（ 2）若平面ΑΒΕ1平面ΒCDΕ，求平面ΑΒ1C与平面Α1CD夹角的余弦值．2. 解析（ 1）因为AB = AE =1,所以△ABE为等腰三角形，所以AO BE.1同理可证 CO BE .因为AO1CO=O，所以BE平面 AOC1.因为 ED //BC 且 ED =BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 EB //CD .所以 CD平面 AOC1.(2) 当平面A1BE平面 BCDE 时，以 O 为坐标原点，OBxOC为 y 轴，OA为 z 为轴，1轴的正方向建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示 .则B( 2,0,0), C(0,2,0), A1(0,0,2), E(2,0,0), D( 2,2,0)，22222则 A1B = ( 2,0, -2), BC = (- 2 ,2,0),2222设平面 A1 B C的法向量为n1 =(x ,y , 1， ) 则n1BC 2x22y2n11,1,1.z 22n1A1B x0A1(A)22AD (2,22CD(2,0,0)E D同理，,)，，122B OCx y设平面 ACD的法向量n =(w, z,1)，所以12n2CD2w0w 02 z2，n2A1D2w0z 122得 n2(0,1,1)，从而平面ABC ACDcos n1n22.1与平面1夹角的余弦值为6n1n2 3 23。
北京市2013高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 8 直线与圆 文
【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】8：直线与圆1．（2013届北京市朝阳区一模数学文）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(2+B ．()4,0-C ．(22--+D . ()0,4D圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，半径为。
由题意知<22m -<，解得04m <<，选D.2．（2013届北京市石景山区一模数学文）设a ∈R ，则“1a =”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 A直线1l 的斜率为2a -，直线2l 的斜率为11a -+，所以如两直线平行则有112aa -=-+，解得1a =或2a =-。
所以1a =是两直线平行的充分不必要条件，选A.3．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．610 B ．620 C ．630 D ．640B圆的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，所以圆心为(3,4)M ，半径为5.其中过点(3,5)N 的最长弦为直径10AC =,当MN BD ⊥时，BD 最小，此时1MN =，所以BD ===，所以四边形ABCD 的面积为111022BD AC ⋅=⨯=,选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知直线01)1(:1=+++y a ax l ,02:2=++ay x l ,则“2-=a ”是“21l l ⊥”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A当2-=a 时，两直线方程为1:210l x y --+=，2:220l x y -+=。
高考数学 全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编8 直线与圆 理
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）1by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（ ）A 1B ．2CD 1【答案】A 【解析】因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线的距离为2，所以2=，即2222a b +=。
所以2212b a =-，由22102b a =-≥，得22,b b ≤≤≤。
所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====，即d ==，因为b ≤≤，所以当b =时，1d ====+A ．2 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）若直线20ax by -+=(a ＞0，b ＞0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b +的最小值为（ ）A ．14 B C ．32+D ．32+【答案】C 【解析】圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，所以圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =.因为直线被圆截得的弦长为4，所以线长为直径，即直线20ax by -+=过圆心，所以220a b --+=，即22a b +=，所以12ab +=，所以1111133()()122222aba b a b a b a b +=++=+++≥+=+当且仅当2b aa b =，即222a b =，a =时取等号，所以11a b +的最小值为32C ． 3 ．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为 （ ）A ．40x y +-=B ．30x y -=C ．40x y +-=或30x y +=D ．40x y +-=或30x y -=【答案】D 【解析】若直线过原点，设直线方程为y kx =，把点(1,3)P 代入得3k =，此时直线为3y x =，即30x y -=。
高考试题解析分类汇编(文)：直线与圆
2013年高考解析分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为zhangwlx （ ）A ．6B ． 4C ．3D ．2【答案】B本题考查圆的性质以及距离公式。
圆心为(3,1)M -,半径为 2.圆心到直线3x =-的距离为3(3)6--=，所以PQ 的最小值为624-=，选B.2 ．（2013年高考江西卷（文12））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为【答案】B本题考查函数图象的识别。
根据题意易知t x-=12cos，所以1421)1(2cos 22+-=--==t t t x y ，)1,0(∈t ，易得图像为B 。
3 ．（2013年高考天津卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直==解得12k =-。
因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =,选C. 4 ．（2013年高考陕西卷（文8））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B点M(a, b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交。
高考数学真题分类解析考点28 直线与圆学生版
考点28 直线与圆【考点分类】热点一 直线的方程与位置关系1.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) （A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)[13,12）2.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）(A) 12- (B) 1 (C) 2 (D) 123.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（ ）（A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）X-1）或y=x-1）（C ）x-1）或y=x-1） （D ）y=2（x-1）或y=2-（x-1）A ．2B ．1C ．83 D ．435.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 A.032=-+y xB.032=--y xC.034=--y xD.034=-+y x6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______.7.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 .8.（2012年高考辽宁卷文科7）将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是( ) （A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=09.(2012年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.(2012年高考湖北卷文科5)过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0【方法总结】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.热点二 圆的方程和性质11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .12.(2012年高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离13.(2012年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.【方法总结】1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程 组，从而求出D ，E ，F 的值.热点三 直线与圆的位置关系14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）(A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】过点（，0）引直线ι与曲线y =交于A,B两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）A. B.- C. D-17.(2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A. B. D.118. (2012年高考天津卷理科8)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )（A ）[1- （Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞19.(2012年高考陕西卷理科4)已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能20.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆O ：225x y +=，直线l ： cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦， 其中最短的弦长为__________.23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.24.(2012年高考江西卷文科14)过直线x+y-=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________.25. (2012年高考天津卷文科12)设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .26. （2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．27.(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 28.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数. 【方法总结】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2 (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.【考点剖析】一．明确要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.会求两直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.4.掌握圆的标准方程和一般方程．5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．二．命题方向1.两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.2.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.3.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中.三．规律总结一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等． 三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．一条规律过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．【考点模拟】一．扎实基础1.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】 “错误！未找到引用源。
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
一、选择题
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．（2013年上海市春季高考数学试卷）直线2310x y -+=的一个方向向量是 （ ）
A ．(2 3)-，
B ．(2 3)，
C ．(3 2)-，
D ． (3 2)，
【答案】D
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．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知点
(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范
围是 （ ）
A ．(0,1)
B
．1(1)2
( C) 1(1]3
D ． 11
[,)32
【答案】B
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．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））过点
()3,1作圆()
2
211
x y -+=的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程为
（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
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．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知点
()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
（ ）
A ．3b a =
B ．31
b a a
=+
C ．(
)3310b a b a a ⎛⎫
---
= ⎪⎝⎭
D ．331
0b a b a a
-+--
= 【答案】C
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．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12
,l l 之间//1l ,与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧 FG
的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是
【答案】D
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．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC
=，点P 是边AB 上异
于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等
（ ）
A ．2
B ．
C ．
8
3
D ．
43
【答案】D 二、解答题
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．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）本小题满分14分.如图,在平面直
角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】解:(1)由⎩⎨
⎧-=-=1
4
2x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为
∴圆C 的方程为:1)2()3(2
2
=-+-y x
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx
∴
11
3
232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43
-=k
∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者34
3
+-
=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(2
2=--+-a y a x
又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(2
2=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(122
2+≤---+≤
-a a
由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5
120≤
≤x 终上所述,
a 的取值范围为:⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡512,。