高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十四) Word版含解析
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十一) Word版含解析
课时巩固过关练(十一) 数列求和及综合应用一、选择题．(·广东惠州二调)数列{}满足＝，＝，且＝(≥)，则数列{}的第项为( )解析：＝(≥)两边取倒数可得－＝－，所以是等差数列，首项＝，公差＝－＝－＝，所以＝＋×(－)＝⇒＝，故选.答案：．(·山东济宁期中)已知在数列{}中，＝，其前项和为，则在平面直角坐标系中，直线＋＋(＋)＝在轴上的截距是( )．－．－．．解析：＝＝－，前项和为＝－＋－＋…＋－＝－，由题意可得－＝，解得＝，直线＋＋(＋)＝，即为＋＋＝，令＝，可得＝－.故选.答案：．(·山东东营期中)若数列{}的通项公式是＝(－)(－)，则＋＋…＋＝( )．．．－．－解析：依题意可知＋＝，＋＝，…，＋＝，∴＋＋…＋＝×＝.故选.答案：．(·山西晋中联考)已知数列{}的通项公式是＝，其前项和＝，则项数等于( )．．．．解析：∵数列{}的通项公式是＝，∴＝－，∴＝＋＋＋…＋＝－＝－＝－＋.由＝＝－＋，可得＝.故选.答案：．已知数列{}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若＝，那么数列{}的前项和为( )解析：∵＝＝，∴＝＝＝，∴＝＝＝.答案：．已知在等差数列{}中，＝，＝，记数列的前项和为，若≤对∈*恒成立，则正整数的最小值为( )．．．．解析：设等差数列{}的公差为，∵＝，＝，∴(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴＝＋(－)＝－.∴＝＝.其前项和为＝＝＝.∵≤对∈*恒成立，∴≥，∵＝<＝.∴≥.则正整数的最小值为.故选.答案：．(·中原名校二联)已知函数()＝＋的图象在点(，())处的切线与直线－＋＝平行，若数列的前项和为，则的值为( ))解析：因为()＝＋，所以′()＝＋，又函数()＝＋的图象在点(，())处的切线与直线－＋＝平行，所以′()＝＝，所以()＝＋，所以＝＝＝，所以＝(\\(＋\(\)(\\(()－()))))＝＝.故选.答案：二、填空题．(·河北衡水四调)设向量＝()，＝(∈*)，若∥，设数列{}的前项和为，则的最小值为．解析：向量＝()，＝(∈*)，若∥，可得＝＝，∵＝＋＋＋…＋＝(\\(－()＋()－()＋()－()))＝.数列{}是递增数列，∴的最小值为＝.故答案为.答案：三、解答题．设等差数列{}的前项和为，且＝，＝＋.()求数列{}的通项公式；()设数列{}的前项和为，且＋＝λ(λ为常数)．令＝(∈*)，求数列{}的前项和.解：()设等差数列{}的首项为，公差为，由＝，＝＋得(\\(＋＝＋，＋(－(＝＋(－(＋，))解得＝，＝.因此＝－，∈*.()由题意知＝λ－，所以≥时，＝－－＝－＋＝.故＝＝(－)－，∈*.所以＝×＋×＋×＋×＋…＋(－)×－，则＝×＋×＋×＋…＋(－)×－＋(－)×，两式相减得＝＋＋＋…＋－－(－)×＝－(－)×＝－，整理得＝.所以数列{}的前项和＝.．设等差数列{}的公差为，点(，)在函数()＝的图象上(∈*)．()若＝－，点()在函数()的图象上，求数列{}的前项和；()若＝，函数()的图象在点(，)处的切线在轴上的截距为－，求数列的前项和.解：据题设可得＝.()∵＝＝－＋，∴×－＋＝－＋，∴＝，∴＝－＋(－)＝(－)．()将()＝求导得′()＝，∴()＝在(，)处的切线方程为－＝(－)，令＝，得－＝()×(－)，＝－，∴＝，∴＝－＝，∴＝，＝，∴＝，其前项和＝＋＋＋…＋＋①，两边同乘得＝＋＋＋…＋②，②－①得－＝＋＋＋…＋－＝－－，∴＝.．已知等差数列{}满足：＝，且，，成等比数列．()求数列{}的通项公式；()记为数列{}的前项和，是否存在正整数，使得>＋？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．解：()设数列{}的公差为，依题意，＋＋成等比数列，所以(＋)＝(＋)，解得＝或＝.当＝时，＝；当＝时，＝＋(－)×＝－，所以数列{}的通项公式为＝或＝－. ()当＝时，＝，显然<＋，不存在正整数，使得>＋.当＝－时，＝＝，令>＋，即－－>，解得>或<－(舍去)．此时存在正整数，使得>＋成立，的最小值为.综上所述，当＝时，不存在正整数；当＝－时，存在正整数，使得>＋成立，的最小值为.。
2022高考数学(文)二轮复习高考小题标准练(二) Word版含答案
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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(一) Word版含解析
课时巩固过关练(一) 集合、常用逻辑用语组一、选择题．(·安徽名校期中)已知集合＝{－＋<}，＝{}，则( )．⊆．⊆．∩∁＝．∩＝∅解析：不等式－＋<可化为(－)(－)<，解得<<，即＝{<<}，不等式>可化为>，解得>，即＝{>}，则∩＝∅.故选.答案：．(·山东泰安统考)已知集合＝{＝＋}，＝{＝＋}，＝{＝＋}，＝{(，)＝＋}，＝{≥}，则( )．＝．＝．＝．＝解析：集合只含有一个元素，即函数＝＋.集合，，中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合＝{＝＋}＝{≥}，集合＝{∈}，集合＝{≥}．集合的元素是函数＝＋图象上所有的点．故选.答案：．(·浙江杭州严州中学一模)已知集合＝{＝(－)}，＝{≤}，则∁∪(∩)等于( )．(－∞，)．(－∞，)∪解析：∵集合＝{＝(－)}＝{－>}＝，＝{≤}＝{≤≤}，∴∪＝{≤}，∩＝，∴∁∪(∩)＝(－∞，)∪，故选.答案：．(·河南实验中学期中)命题“若⊆，则＝”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有( )．个．个．个．个解析：易知，原命题为假命题，其否命题为真命题，逆否命题为假命题，逆命题为真命题，故选.答案：．(·山东淄博期中)“(－)<成立”是“－<成立”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：∵(－)<⇒<<，－<⇒－<<，∴“(－)<成立”⇒“－<成立”，反之，则不一定成立，∴“(－)<成立”是“－<成立”的充分而不必要条件．故选.答案：．(·广东阳东广雅中学期中)设：()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增；：>，则是的( )．充要条件．充分不必要条件．必要不充分条件．以上都不对解析：∵()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增，∴′()＝－＋，即－＋≥在上恒成立，∴Δ＝－≤，即≥，∵：()＝－＋＋在(－∞，＋∞)上单调递增，：>，∴根据充分必要条件的定义可判断：是的必要不充分条件，故选.答案：．(·黑龙江大庆期中)给出下列命题：()等比数列{}的公比为，则“>”是“＋>(∈*)”的既不充分也不必要条件；()“≠”是“≠”的必要不充分条件；()函数＝(＋＋)的值域为，则实数－<<；()“＝”是“函数＝－的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是( )．．．．解析：若首项为负，则公比>时，数列为递减数列，＋<(∈*)，当＋>(∈*)时，包含首项为正，公比>和首项为负，公比<<两种情况，故()正确；“≠”时，“≠”在＝－时不成立，“≠”时，“≠”一定成立，故()正确；函数＝(＋＋)的值域为，则＋＋＝的Δ＝－≥，解得≥或≤－，故()错误；“＝”时，“函数＝－＝的最小正周期为π”，但“函数＝－的最小正周期为π”时，“＝±”，故“＝”是“函数＝－的最小正周期为π”的充分不必要条件，故()错误．故选.答案：．(·广东惠州模拟)下列命题中的假命题是( )．∃∈，＝．∃∈，＝．∀∈> ．∀∈，>解析：对于，＝时，＝，∴是真命题；对于，＝时，＝，∴是真命题；对于，∀∈>，∴是真命题；对于，当＝时，＝，∴是假命题．故选.答案：．(·山东济南期中)下列有关命题的叙述错误的是( )．若綈是的必要条件，则是綈的充分条件．若且为假命题，则，均为假命题．命题“∀∈，－≥”的否定是“∃∈，－<”．“>”是“<”的充分不必要条件解析：对于，若綈是的必要条件，则⇒綈，即⇒綈，则是綈的充分条件，正确；若且为假命题，则，中至少一个为假命题，错误；命题“∀∈，－≥”的否定是“∃∈，－<”，正确；由>⇒<，反之不成立，∴“>”是“<”的充分不必要条件，正确．故选.答案：．(·辽宁实验中学期中)已知△为钝角三角形，命题：“对△的任意两个内角α，β，都有α＋β>”，下列结论正确的是( )．綈：对△的任意两个内角α，β，α＋β≤；假命题．綈：△中存在两个内角α，β，α＋β≤；真命题．綈：对△的任意两个内角α，β，α＋β≤；真命题．綈：△中存在两个内角α，β，α＋β≤；假命题解析：∵：对△的任意两个内角α，β，都有α＋β>，∴綈：在△中存在两个内角α，β，有α＋β≤；假命题，理由是α＋β<°，α<°－β，∴α>(°－β)，∴α＋β>，故选.答案：．(·山西怀仁期中)已知命题：∀∈[－，]，函数()＝－的值大于.若∨是真命题，则命题可以是( )．∃∈(－)，使得<．“－<<”是“函数()＝＋＋在区间上有零点”的必要不充分条件．直线＝是曲线()＝＋的一条对称轴．若∈()，则在曲线()＝(－)上任意一点处的切线的斜率不小于－解析：对于命题：函数()＝－＝－，则函数()在上单调递减，在上单调递增，∴当＝时，取得最小值，＝－<，因此命题是假命题．若∨是真命题，则命题必须是真命题．.∀∈(－)，∈(]，而>＝，因此是假命题；.函数()＝＋＋在区间上单调递增，若函数()在此区间上有零点，则·()＝(＋＋)<，解得－<<，因此“－<<”是“函数()＝＋＋在区间上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；()＝＋＝，当＝时，＝＝，因此直线＝是曲线()的一条对称轴，是真命题；.曲线()＝(－)，′()＝＋(－)＝(－)，当∈()时，′()>′()＝－，因此是假命题．答案：二、填空题．()若集合＝{∈－＋＝}中只有一个元素，则＝；。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 一 1.1.1 Word版含解析
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课时巩固过关练一集合、常用逻辑用语(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·天津高考)已知集合{}{∈},则∩( ) .{} .{} .{} .{}【解析】选.因为,所以∩.【加固训练】(·邯郸一模)已知集合{≤}{>},则集合∩( ).{≤≤} .{≤<}.{<≤} .{<<}【解析】选.已知集合{≤}{≤≤},集合{>}{>},则集合∩{<≤}..(·长春一模)设，是两个命题，若(∨)是真命题，那么( )是真命题且是假命题是真命题且是真命题是假命题且是真命题是假命题且是假命题【解析】选.因为 (∨)是真命题，则∨为假命题，因此是假命题且是假命题..(·山东高考)设集合{∈}{<},则∪( ).() .().(∞) .(∞)【解析】选.因为{∈}{<},所以集合表示大于的实数,而集合表示在与之间的实数,所以∪(∞).【加固训练】(·广州一模)若全集,集合{<<}{>},则∩( ).{<≤} .{<<}.{<<} .{≤<}【解题导引】先求出集合,进而求出,由此能求出∩.【解析】选.因为全集{>}{>},所以{≤},所以∩{<<}∩{≤}{<≤}..(·蚌埠二模)已知命题∧()是真命题,则下列命题中也是真命题的是( ) .()∨∨∧.()∧()【解析】选.命题∧()是真命题,则为真命题也为真命题,可推出为假命题为假命题,故为真命题的是∨..(·浙江高考)已知全集{},集合{}{},则()∪( )。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 三 1.2.1 Word版含解析
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课时巩固过关练三
函数的图象与性质
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.(·合肥一模)函数的定义域是( )
.[)∪(,]
.()∪(,)
.[)∪(]
.()∪()
【解析】选.⇔
⇔⇔
即≤<或<≤.所以的定义域为[)∪(,].
.(·福州一模)(≤≤)的最大值为( )
.
【解析】选.令()()(),而且≤≤,由此可得函数()的最大
值为,故(≤≤)的最大值为.
.(·承德二模)若°,则的大小关系是 ( )
<< <<
<< <<
【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与的大小得答案.
【解析】选.因为><°,所以<<.
.(·宝鸡一模)下列函数中,在区间(∞)上为增函数的是 ( )
()
【解析】选在区间(∞)上为减函数是减函数,在()上是减函数,在(∞)上为增函数()在区间(∞)上为增函数,所以不符合题意.
.(·全国卷Ⅲ)已知
,则 ( ) << <<
<< <<。
小题专练24-2021届高考数学二轮复习新高考版含解析
【答案】A
6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1= ,则双曲线的离心率为().
D.直四棱柱的外接球的体积为
10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是().
A.直线l的斜率为2
B.椭圆C的长轴长为短轴长的 倍
C.椭圆C的离心率为
D.|AF2|与点A到直线x= 的距离之比为
D.f(x)在 的值域为[-1,1]
【解析】根据题意,-1=2sinφ,∴φ=- ,∴f(x)=2sin ,平移后的函数解析式为g(x)=2sin =2sin ,∴ωπ=2kπ,∴ω=2k,k∈Z,又 - ≤ = ,∴ω≤ ,故ω=2,∴f(x)=2sin ,故A正确;令2x- =kπ+ ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,当 + = 时,k无整数解,故B错误;令2x- =kπ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,∵-π≤ + ≤π,k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,故C正确;∵x∈ ,2x- ∈ ,∴f(x)∈[-1,2],故D错误.
A.3B.1C.-1D.-3
【解析】根据诱导公式,sin =cos =sin ,所以原式= = = ,
分子、分母同时除以cosαcos ,得出原式= =-3.
高考数学二轮复习专题过关检测—数列(含解析)
高考数学二轮复习专题过关检测—数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·内蒙古包头一模)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1-a n -2=0,则a 5+a 6+…+a 14=( ) A.180B.190C.160D.1202.(2021·北京朝阳期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=( ) A.52B.53C.10D.153.(2021·湖北荆州中学月考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S10S 5=12,则S15S 5=( )A.12B.13C.23D.344.(2021·北京师大附属中学模拟)我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图),从左至右依次为:c ,#c ,d ,#d ,e ,f ,#f ,g ,#g ,a ,#a ,b ,c 1的音频恰成一个公比为√212的等比数列的原理,也即高音c 1的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音a 的频率为440 Hz,则频率为220√2 Hz 的音名是( )A.dB.fC.eD.#d5.(2021·四川成都二诊)已知数列{a n}的前n项和S n=n2,设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n,则T20的值为()A.1939B.3839C.2041D.40416.(2021·河南新乡二模)一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为()A.39B.45C.48D.517.(2021·陕西西安铁一中月考)在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n(n∈N*)的整数,则其余整数的和是()A.3 928B.4 024C.4 920D.4 9248.已知函数f(n)={n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 200二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·辽宁沈阳三模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=4n-1+t,则()A.首项a1不确定B.公比q=4C.a2=3D.t=-1410.(2021·山东临沂模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d=1.若a1+3a5=S7,则下列结论一定正确的是()A.a5=1B.S n的最小值为S3C.S1=S6D.S n存在最大值11.已知数列{a n}是等差数列,其前30项和为390,a1=5,b n=2a n,对于数列{a n},{b n},下列选项正确的是() A.b10=8b5 B.{b n}是等比数列C.a1b30=105D.a3+a5+a7a2+a4+a6=20919312.(2021·广东广州一模)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2.记a n=1+x1+x2+…+x k+2,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.k+1=2nB.a n+1=3a n-3C.a n =32(n 2+3n )D.S n =34(3n+1+2n-3) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·山西太原检测)在等差数列{a n }中,若a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,则a 1+a 1 011+a 2 021等于 .14.(2021·江苏如东检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -2,则数列{log 2a n }的前n 项和T n = .15.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 .16.(2021·新高考Ⅰ,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm ×12 dm,20 dm ×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240 dm 2,对折2次共可以得到5 dm ×12 dm,10 dm ×6 dm,20 dm ×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180 dm 2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n 次,那么∑k=1nS k =dm 2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n },a 4=116,a 5a 7=256. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|log 2a n |}的前n 项和.18.(12分)(2021·全国甲,理18)已知数列{a n}的各项均为正数,记S n为{a n}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.19.(12分)(2021·山东济宁二模)已知数列{a n}是正项等比数列,满足a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n log2a2n+1,求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)(2021·山东临沂一模)在①S nn =a n+12,②a n+1a n=2S n,③a n2+a n=2S n这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且满足.(1)求a n;(2)若b n=(a n+1)·2a n,求数列{b n}的前n项和T n.21.(12分)(2021·山东泰安一中月考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n );(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值.22.(12分)(2021·广东广州检测)已知数列{a n }满足a 1=23,且当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2.(1)求证:数列{11−a n}是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)记T n =12a 1a 2…a n ,S n =T 12+T 22+…+T n 2,求证:当n ∈N *时,a n+1-23<S n .答案及解析1.B 解析 因为a n+1-a n =2,a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公差为2的等差数列.所以a n =2+(n-1)×2=2n.设{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(2+2n)2=n 2+n.所以a 5+a 6+…+a 14=S 14-S 4=190.2.C 解析 因为等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,所以log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=log 3(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 3(a 35)=log 3(95)=log 3(310)=10.3.D 解析 由题意可知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列.∵S 10S 5=12,∴设S 5=2k ,S 10=k ,k ≠0,∴S 10-S 5=-k ,∴S 15-S 10=k2,∴S 15=3k2,∴S 15S 5=3k22k =34. 4.D 解析 因为a 的音频是数列的第10项,440=220√2×212=220√2×(2112)10−4,所以频率为220√2 Hz 是该数列的第4项,其音名是#d.5.C 解析 当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1.而a 1=1也符合a n =2n-1,所以a n =2n-1.所以1an a n+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以T n =12(1−13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=121-12n+1=n2n+1,所以T 20=202×20+1=2041. 6.D 解析 设该数列为{a n },依题意,可知a 5,a 6,…成等差数列,且公差为2,a 5=5.设塔群共有n 层,则1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三层的塔数之和为a 10+a 11+a 12=3a 11=3×(5+2×6)=51.7.D 解析 由2n ∈[1,100],n ∈N *,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1−26)1−2=126.又1+2+3+ (100)100×1012=5 050,所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n (n ∈N *)的整数,其余整数的和为5 050-126=4 924.8.B 解析 由已知得当n 为奇数时,a n =n 2-(n+1)2=-2n-1,当n 为偶数时,a n =-n 2+(n+1)2=2n+1.所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.9.BCD 解析 当n=1时,a 1=S 1=1+t ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(4n-1+t )-(4n-2+t )=3×4n-2.由数列{a n }为等比数列,可知a 1必定符合a n =3×4n-2, 所以1+t=34,即t=-14.所以数列{a n }的通项公式为a n =3×4n-2,a 2=3, 数列{a n }的公比q=4.故选BCD . 10.AC 解析 由已知得a 1+3(a 1+4×1)=7a 1+7×62×1,解得a 1=-3.对于选项A,a 5=-3+4×1=1,故A 正确.对于选项B,a n =-3+n-1=n-4,因为a 1=-3<0,a 2=-2<0,a 3=-1<0,a 4=0,a 5=1>0,所以S n 的最小值为S 3或S 4,故B 错误.对于选项C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因为a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正确.对于选项D,因为S n=-3n+n(n-1)2=n2-7n2,所以S n无最大值,故D错误.11.BD解析设{a n}的公差为d,由已知得30×5+30×29d2=390,解得d=1629.∴a n=a1+(n-1)d=16n+12929.∵b n=2a n,∴b n+1b n =2a n+12a n=2a n+1-a n=2d,故数列{b n}是等比数列,B选项正确.∵5d=5×1629=8029≠3,∴b10b5=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5,A选项错误.∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C选项错误.∵a4=a1+3d=5+3×1629=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=20929,∴a3+a5+a7a2+a4+a6=3a53a4=a5a4=209193,D选项正确.12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时k=1,第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时k=15,……第n次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2,此时k=2n-1,所以k+1=2n,故A项正确.当n=1时,a 1=1+3+2=6,当n=2时,a 2=a 1+2a 1-3=3a 1-3,当n=3时,a 3=a 2+2a 2-3=3a 2-3,……所以a n+1=3a n -3,故B 项正确. 由a n+1=3a n -3,得a n+1-32=3(a n -32),又a 1-32=92,所以{a n -32}是首项为92,公比为3的等比数列,所以a n -32=92×3n-1=3n+12,即a n =3n+12+32,故C 项错误.S n =(322+32)+(332+32)+…+(3n+12+32)=343n+1+2n-3,故D 项正确.13.15 解析 因为a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,所以a 2+a 2 020=10.又{a n }为等差数列,所以a 1+a 2 021=a 2+a 2 020=2a 1 011=10,即a 1 011=5. 所以a 1+a 1 011+a 2 021=3a 1 011=15. 14.n(n+1)2解析 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2,两式相减,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1.当n=1时,可得a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n =2n . 所以log 2a n =n ,所以T n =n(n+1)2.15.3n 2-2n 解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{a n }是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n }的前n 项和为S n =n×1+n(n-1)2×6=3n 2-2n.16.5 240(3−n+32n) 解析 对折3次共可以得到52 dm ×12 dm,5 dm ×6 dm,10 dm ×3 dm,20dm ×32dm 四种规格的图形,面积之和S 3=4×30=120 dm 2;对折4次共可以得到54 dm ×12 dm,52dm ×6 dm,5 dm ×3 dm,10 dm ×32dm,20 dm ×34dm 五种规格的图形,S 4=5×15=75 dm 2.可以归纳对折n 次可得n+1种规格的图形,S n =(n+1)·2402ndm 2.则∑k=1nS k =S 1+S 2+…+S n =240221+322+423+…+n+12n . 记T n =221+322+423+…+n+12n , ① 则12T n =222+323+…+n2n +n+12n+1.②①与②式相减,得T n -12T n =12T n =221+122+123+…+12n −n+12n+1=32−n+32n+1. 故T n =3-n+32n .故∑k=1nS k =240·T n =240(3−n+32n).17.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).由等比数列的性质可得a 5a 7=a 62=256,因为a n >0,所以a 6=16.所以q 2=a6a 4=256,即q=16.所以a n =a 6q n-6=16×16n-6=16n-5. (2)由(1)可知log 2a n =log 216n-5=4n-20,设b n =|log 2a n |=|4n-20|,数列{b n }的前n 项和为T n . ①当n ≤5,且n ∈N *时,T n =n(16+20-4n)2=18n-2n 2;②当n ≥6,且n ∈N *时,T n =T 5+(4+4n-20)(n-5)2=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n 2-18n+80.综上所述,T n={18n-2n2,n≤5,且n∈N*,2n2-18n+80,n≥6,且n∈N*.18.证明若选①②⇒③,设数列{a n}的公差为d1,数列{√S n}的公差为d2.∵当n∈N*时,a n>0,∴d1>0,d2>0.∴S n=na1+n(n-1)d12=d12n2+(a1-d12)n.又√S n=√S1+(n-1)d2,∴S n=a1+d22(n-1)2+2√a1d2(n-1)=d22n2+(2√a1d2-2d22)n+d22-2√a1d2+a1,∴d12=d22,a1-d12=2√a1d2-2d22,d22-2√a1d2+a1=0,∴d22=d12,d2=√a1,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②,设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1,所以S n=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以√S n−√S n-1=n√a1-(n-1)√a1=√a1.所以{√S n}是首项为√a1,公差为√a1的等差数列.若选②③⇒①,设数列{√S n}的公差为d,则√S2−√S1=d,即√a1+a2−√a1=d.∵a2=3a1,∴√4a1−√a1=d,即d=√a1,∴√S n=√S1+(n-1)d=√a1+(n-1)√a1=n√a1,即S n =n 2a 1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2a 1-(n-1)2a 1=(2n-1)a 1, 当n=1时,a 1符合式子a n =(2n-1)a 1,∴a n =(2n-1)a 1,n ∈N *,∴a n+1-a n =2a 1, 即数列{a n }是等差数列.19.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项,所以2a 3=2a 1+3a 2,即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ,因为a 1≠0,所以2q 2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去).所以a 4=a 1q 3=8a 1=16,解得a 1=2.所以a n =2×2n-1=2n . (2)由(1)可知a 2n+1=22n+1,所以b n =(-1)n log 2a 2n+1=(-1)n log 222n+1=(-1)n (2n+1), 所以T n =(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n (2n+1), -T n =(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1), 所以2T n =-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1−(−1)n-12+(-1)n (2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n (2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n ,所以T n =(n+1)(-1)n -1. 20.解 (1)若选①,则2S n =na n+1.当n=1时,2S 1=a 2,又S 1=a 1=1,所以a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=(n-1)a n ,所以2a n =na n+1-(n-1)a n ,即(n+1)a n =na n+1,所以an+1n+1=a n n(n ≥2).又a 22=1,所以当n ≥2时,an n =1,即a n =n.又a 1=1符合上式,所以a n =n.若选②,则当n=1时,2S 1=a 2a 1,可得a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=a n a n-1,可得2a n =a n a n+1-a n a n-1. 由a n >0,得a n+1-a n-1=2.又a 1=1,a 2=2,所以{a 2n }是首项为2,公差为2的等差数列,{a 2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n =n.若选③,因为a n 2+a n =2S n ,所以当n ≥2时,a n-12+a n-1=2S n-1,两式相减得a n 2+a n -a n-12-a n-1=2a n ,即(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0.由a n >0,得a n -a n-1-1=0,即a n -a n-1=1,所以{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以a n =n.(2)由(1)知b n =(n+1)·2n ,所以T n =2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n , 2T n =2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1, 两式相减,得-T n =4+22+23+ (2)-(n+1)·2n+1=4+4(1−2n-1)1−2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以T n =n·2n+1.21.解 (1)设a n ,b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列{a n }是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{b n }是首项为400,公差为a 的等差数列.所以数列{a n }的前n 项和S n =128×[1−(32)n ]1−32=256[(32)n-1],数列{b n }的前n 项和T n =400n+n(n-1)2a.所以经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n )=S n +T n =256[(32)n-1]+400n+n(n-1)2a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则F (7)≥10 000, 即256[(32)7-1]+400×7+7×62a ≥10 000,即21a ≥3 082,所以a ≥3 08221.又a ∈N *,所以a 的最小值为147.22.证明 (1)因为当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2,所以a 1a 2…a n =2an+1-2,两式相除,可得a n =1a n+1-11a n-1,所以11−a n=a n+11−a n+1=11−an+1-1,所以11−an+1−11−a n=1(n ≥2).又a 1=23,所以a 2=34,11−a 1=3,11−a 2=4,所以11−a 2−11−a 1=1,所以11−an+1−11−a n=1(n ∈N *),所以数列{11−a n}是首项为3,公差为1的等差数列.所以11−a n=3+(n-1)×1=n+2,所以a n =n+1n+2.(2)因为T n =12a 1a 2…a n =12×23×34×…×n+1n+2=1n+2,所以T n 2=1(n+2)2>1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3,所以S n=T12+T22+…+T n2>13−14+14−15+…+1n+2−1n+3=13−1n+3=1-1n+3−23=n+2 n+3−23=a n+1-23,所以当n∈N*时,a n+1-23<S n.。
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(三) Word版含解析
课时巩固过关练(三) 不等式、线性规划A 组一、选择题 1．(2016·上海浦东期末)如果a >b >0，那么下列不等式中不正确的是( ) A.a ab >b ab B.1a >1bC ．ab >b 2D ．a 2>ab解析：∵a >b >0，∴ab >b 2，a 2>ab ，a ab >b ab ，1b >1a，故选B.答案：B 2．(2016·福建宁德期中)已知集合M ＝{x |x 2－2 014x －2 015>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015,2 016]，则( )A ．a ＝2 015，b ＝－2 016B ．a ＝－2 015，b ＝2 016C ．a ＝2 015，b ＝2 016D ．a ＝－2 015，b ＝－2 016解析：化简得M ＝{x |x <－1或x >2 015}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015，2 016]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 016}，即－1,2 016是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．∴b ＝－1×2 016＝－2 016，－a ＝－1＋2 016，即a ＝－2 015.答案：D3．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－4＋1＝－b a ，－4×1＝ca，即b ＝3a ，c ＝－4a ，故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1.答案：A4．(2016·山东淄博期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0，则目标函数z ＝x－2y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0作出可行域如图，化目标函数z ＝x －2y 为y ＝12x －z2，由图可知，当直线y ＝12x －z 2过C ⎝⎛⎭⎫2，12时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大．∴z max ＝2－2×12＝1.故选A.答案：A5．(2016·贵州遵义二联)过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－8，则实数a 等于( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．2解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋a ＝0，x －y ＝－2，解得A (－2－a ，－a )，化z ＝x ＋2y ，得y ＝－x 2＋z 2.由图可知，当直线y ＝－x 2＋z2过A 时，z 有最小值为－8，即－2－a －2a ＝－8，解得a ＝2.故选D.答案：D6．(2016·北京西城期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m ，若z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m 等于( )A.32 B ．－32 C.14 D ．－14解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，解得A (1,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y －x ＝1，解得B (m －1，m )，化z ＝x ＋3y ，得y ＝－x 3＋z 3.由图可知，当直线y ＝－x 3＋z3过A 点时，z 有最大值为7，当直线y ＝－x 3＋z3过B 点时，z 有最小值为4m －1，由题意，得7－(4m －1)＝7，解得m ＝14.故选C.答案：C7．(2016·广东惠州二调)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0，则x ＋y ＋3x ＋2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，52B.⎣⎡⎦⎤54，52 C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2 解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得x ＋y ＋3x ＋2＝x ＋2＋y ＋1x ＋2＝1＋y ＋1x ＋2，表示可行域内的点与A (－2，－1)连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B (2,0)时，目标函数取最小值为1＋0＋12＋2＝54；当直线经过点C (0,2)时，目标函数取最大值为1＋2＋10＋2＝52，故答案为⎣⎡⎦⎤54，52答案：B8．(2016·云南师大附中月考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，103B.⎣⎡⎦⎤13，52C.⎣⎡⎦⎤2，52D.⎣⎡⎦⎤2，103 解析：设k ＝y x ，则z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k，作出不等式组对应的平面区域如图．k 的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，即C (3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，则k OA ＝2，k OC ＝13，则13≤k ≤2，z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k 在13≤k ≤1上为减函数，在1≤k ≤2上为增函数，则最小值为z ＝1＋1＝2，当k ＝13时，z ＝13＋3＝103，当k ＝2时，z ＝2＋12＝52<103，则z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k 的最大值为103，则2≤z ≤103.答案：D9．(2016·黑龙江哈尔滨模拟)若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6解析：由题意可得x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2＋x 2y 2＋2y 2x 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2，即x ＝±42y 时，等号成立，故x 2＋2y 2有最小值为3＋22，故选B. 答案：B10．(2016·黑龙江实验中学月考)设x ，y ∈R ＋且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1)解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时等号成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍去)．∴x ＋y 的最小值为2＋22，故答案为A.答案：A 二、填空题 11．(2016·山东临沂模拟)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则(x －y )(x 2－xy ＋y 2)__________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵0<a <1且a x <a y ，∴x >y ，又x 2－xy ＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －y 22＋3y 24>0，∴(x －y )(x 2－xy ＋y 2)>0.答案：> 12．(2016·河南商丘二模)若函数y ＝e x －a (e 为自然常数)的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，y ＋1≥0，x －y ≥0，则实数a 的取值范围是_________________________________．解析：由题意作平面区域如下，当函数y ＝e x－a 与直线y ＝x 相切时，切点恰为(0,0)，故此时0＝1－a ，故a ＝1；当函数y ＝e x －a 过点(5，－1)时，－1＝e 5－a ，故a ＝e 5＋1；结合图象可知，1≤a ≤e 5＋1.故答案为[1，e 5＋1]．答案：[1，e 5＋1]13．(2016·江西吉安期中)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x －y ＋m ≥0总成立，则m 的取值范围是__________．解析：若2x －y ＋m ≥0总成立，则m ≥y －2x 总成立，设z ＝y －2x ，即求出z 的最大值，作出不等式组对应的平面区域如图．由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线经过点C (0,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大，此时z ＝3－0＝3，∴m ≥3.答案：[3，＋∞) 14．(2016·天津五校联考)已知a ，b 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则3a ＋b 的最小值为__________．解析：∵log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，∴9a ＋b ＝ab ，即1a ＋9b ＝1，∴(3a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝3＋9＋b a＋27a b ≥12＋2b a ·27a b ＝12＋63，当且仅当a ＝1＋3，b ＝3(3＋3)时，取“＝”，即3a ＋b 的最小值为12＋6 3.答案：12＋6 315．(2016·广东东莞石竹附中期中)已知x >0，y >0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y恒成立，则m的最大值为__________．解析：∵x >0，y >0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，又⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋x y ≥6＋29y x ·x y ＝12.当且仅当9y x ＝xy即x ＝3y 时取等号，∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ·(x ＋3y )的最小值为12，由恒成立可得m ≤12，即m 的最大值为12，故答案为12.答案：12B 组一、选择题1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：∵S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－1)＝73<3，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e (e －1)>3，则S 2<S 1<S 3.故选B .答案：B2．(2016·安徽安庆一模)当0≤x ≤2时，不等式18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，则t 的取值范围是( )A ．[1－3，1]B ．[－1,1]C ．[－1,1－3]D ．[－1,1＋3]解析：令y ＝x 2－3x ＋2,0≤x ≤2，∵y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14，∴y 在0≤x ≤2上取得最小值为－14，最大值为2，若18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2在0≤x ≤2上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧18(2t －t 2)≤－14，3－t 2≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －2≥0，t 2－1≤0，∴⎩⎨⎧ t ≤1－3，－1≤t ≤1或⎩⎨⎧t ≥1＋3，－1≤t ≤1，∴t 的取值范围为[－1,1－3]．答案：C3．(2016·山东聊城期中)已知点M(a ，b)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：令s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，则P(a ＋b ，a －b)为P(s ，t)，由s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，可得2a ＝s ＋t,2b ＝s －t ，因为a ，b 是正数，且a ＋b ≤2.有⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ≥0，s －t ≥0，s ≤2，以s 为横坐标，t 为纵坐标在直角坐标系上画出P(s ，t)所在平面区域(图中阴影部分)，即可得点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积为4，故选C .答案：C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C . 5D ．2解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2,1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，∴25－2a ＝b ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a 2－85a ＋20(0<a<5)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－(85)24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，故选B .答案：B5．(2016·河北南宫期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D .⎣⎡⎭⎫53，5解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴A(2，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝⎛⎭⎫13，23.令u ＝2x －2y－1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A(2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y轴上的截距最小，u 最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u<5，∴z ＝|u|∈[0,5)．故选C .答案：C 6．(2016·天津蓟县期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，5 D ．(－∞，3)解析：由图可知，当x >0时，导函数f ′(x )>0，原函数单调递增，∵两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，∴0<2a ＋b <4，∴b <4－2a,0<a <2，画出可行域如图．k ＝b ＋1a ＋1表示点Q (－1，－1)与点P (a ，b )连线的斜率，当P 点在A (2,0)时，k 最小，最小值为13；当P 点在B (0,4)时，k最大，最大值为5.取值范围是⎝⎛⎭⎫13，5.故选C.答案：C7．(2016·浙江温州联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －4≤0，x ≥0，则|3x ＋y －4|＋|x ＋2y ＋8|的最小值是( )A ．11B ．12C ．16D ．18 解析：当3x ＋y －4≥0时，可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为z ＝4x ＋3y ＋4，显然z 在A (1,1)处取得最小值11.当3x ＋y －4<0时，z ＝－2x ＋y ＋12，作出可行域(图略)易知z 在坐标原点处取得最小值12.所以所求目标函数的最小值为11.答案：A8．(2016·河南郑州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy2的最大值是( )A.116B.18C.14D.12解析：xz y 2＝xz (x ＋2z )2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18，当且仅当x z ＝4z x，即x ＝2z 时取等号． 答案：B 9．(2016·广东广州期中)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.233C.263D.433 解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∵Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，可得Δ>0.∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：D 二、填空题 10．(2016·河北期中)给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则2(a 2＋b 2)≥a ＋b ； ②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是__________．解析：对于①，要证原不等式成立，只需证(2(a 2＋b 2))2≥(a ＋b )2，化简得(a －b )2≥0，显然成立，①正确；对于②，当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，②不正确；对于③，举反例可得，如取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4，ab >4，则由条件推不出a >2，b >2，③不正确；对于④，2(a ＋b ＋c )2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＋4ab ＋4ac ＋4bc ≥6ab ＋6ac ＋6bc ＝6，则(a ＋b ＋c )2≥3，④正确．综上，①④正确．答案：①④11．(2016·江西南昌模拟)设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫xm －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：依据题意得x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x ＋132＋43在x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立．即⎝⎛⎭⎫1m 2－4m 2≤⎝⎛⎭⎫－3x 2－2x ＋1min ，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，∴1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≥32或m ≤－32，∴实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪m ≥32或m ≤－32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞12．(2016·福建南平期中)已知点O 为坐标原点，点M (2,1)，点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，x ≤4，则OM →·ON →的最大值为__________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，x ≤4表示的平面区域如下图阴影部分所示.OM →·ON →＝2x ＋y ；解⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即A (4,3)．设2x ＋y ＝z ，∴y ＝－2x ＋z .∴z 为直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图看出当该直线过点A 时，截距最大，即z 最大．∴3＝－8＋z ，z ＝11.∴z 的最大值为11，即OM →·ON →的最大值为11.答案：1113．(2016·浙江温州十校联合体初考)若直线ax ＋by ＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8≥0，2x ＋y －4≤0，x ＋2y ＋4≥0表示的平面区域无公共点，则a ＋b 的取值范围是__________．解析：由已知不等式组可画出其所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，并分别联立直线方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5y ＋8＝0，2x ＋y －4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8＝0，x ＋2y ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋2y ＋4＝0并计算得到点A ，B ，C 的坐标为(1,2)，(－4,0)，(4，－4)．要使直线ax ＋by ＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8≥0，2x ＋y －4≤0，x ＋2y ＋4≥0表示的平面区域无公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －4>0，－4a －4>0，a －b －1>0(无解)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －4<0，－4a －4<0，a －b －1<0，点(a ，b )所在平面区域如图中阴影所示：11 同理可解得点M (－1，－2)，N (2,1)．令直线t ＝a ＋b ，即b ＝－a ＋t ，当直线b ＝－a ＋t 过点M 时，t 有最小值为－3；当直线t ＝a ＋b 过点N 时，t 有最大值为3，所以t ＝a ＋b 的取值范围是(－3,3)．故应填(－3,3)．答案：(－3,3)14．(2016·江西期中)正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则4y －x ＋6xy的最小值为__________． 解析：∵正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，∴4x ＋2y ＝6，则4y －x ＋6xy ＝4y －x ＋4x ＋2y xy＝3⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2y x ≥5＋2×2x y ·y x＝9，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴则4y －x ＋6xy的最小值为9.故答案为9. 答案：915．(2016·浙江温州联考)已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则u ＝1＋z 2xyz的最小值为__________．解析：∵1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ，∴u ＝1＋z 2xyz ≥1＋z (1－z 2)z ＝1(1－z )z ≥4，当且仅当z ＝12，x ＝y ＝64时，等号成立． 答案：4。
2020届高考数学(文)课标版二轮习题：考前冲刺 巧用10种解题术 含解析
巧用10种解题术解题术一 “抛砖引玉,特例引路”术对条件与结论之间关系不太明显的命题求解,可采用“投石问路”的方式,先解决与它有关的一个简单的特例或一个熟悉的特例,然后将这一特例的解法拓展到一般情形,从而使原命题获得解决.这就是“特例引路术”.一般地,对于涉及定值、定点的问题,常常从图形的特殊情况入手,先把定值、定点确定下来,使结论有一个明确的方向.这是因为一般情况与特殊情况之间往往有某种内在的联系可以使用,或论证方法有相似之处可以借鉴.典例1 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O 为坐标原点,A,B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA,OB 的斜率之积为-12,求证:直线AB 过x 轴上一定点.解析 (1)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的坐标为(1,0),所以p2=1,所以p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)证明:①当直线AB 的斜率不存在时, 设A (t 24,t),B (t 24,-t).因为直线OA,OB 的斜率之积为-12, 所以t t 24·-t t 24=-12,化简得t 2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB 的方程为x=8.②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),联立得{y 2=4x,y =kx +b,化简得ky 2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得y A y B =4b k ,因为直线OA,OB 的斜率之积为-12,所以y A x A·y B x B=-12,即x A x B +2y A y B =0.即y A 24·y B24+2y A y B =0,解得y A y B =0(舍去)或y A y B =-32.所以y A y B=4b=-32,即b=-8k,所以直线AB的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8).k综上所述,直线AB过定点(8,0).先以直线AB的斜率不存在为特例,求出直线AB的方程,从而探求出直线AB过的定点,为探求直线AB斜率存在时过的定点提供方向.解题术二“图作向导,用图探路”术对题设条件不够明显的数学问题求解,要注意相关的图形,巧用图形作向导,可打破思维瓶颈,多途径找到突破方法.尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的命题,其本身虽不带有图形,但可以设法构造相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题求解.力争做到有图用图,无图想图,补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途径.这就是“用图探路术”.典例2已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=f(x);当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x).则F(x)()A.有最小值0,无最大值B.无最小值,有最大值1C.有最小值-1,无最大值D.无最小值,也无最大值答案C解析在同一直角坐标系中,作出函数y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,如图(1)所示.从而得到函数F(x)的图象,如图(2)所示.故选C.(1)解决本题的关键是读懂F(x)的意义,利用y=|f(x)|=|2x -1|与y=g(x)=1-x 2的图象作出F(x)的图象.(2)y=|f(x)|的图象就是保留y=f(x)的图象在x 轴上方的部分,将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上对称翻折而得到. 解题术三 “巧记变量,引参搭桥”术当利用题目条件中的已知量或变量无法直接与要求的结论之间建立关系式时,可考虑引入一些中间变量,即参数(可以是角度、线段、斜率及点的坐标等),来建立条件与结论之间的联系,这是一种非常重要的解题方法,也就是我们所说的“引参搭桥术”,尤其在解析几何中,应用较为广泛.典例3 如图,△ABC 的外接圆的圆心为O,半径r=1,且∠ACB=45°,若存在实数p,q 使OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则p+q 的取值范围是 .答案 [-√2,1)解析 由已知得圆O 的方程为x 2+y 2=1, 设动点C 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈(π2,2π)).由A(0,1),B(1,0),C(cosθ,sinθ)及OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得p=sinθ,q=cosθ. 于是p+q=√2sin (θ+π4),又θ+π4∈(3π4,9π4),所以p+q ∈[-√2,1).向量关系中的系数范围问题是近几年高考考查的热点,这种问题常常与平面几何中的三角形、四边形、圆相交汇,利用建系设点、向量关系代数化、引入参数、建立目标函数等方法即可解决此种问题.解题术四“解题常招,设参换元”术在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目的条件或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化,从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去探究解题思路,就是“设参换元术”,常见的换元法:三角代换、比值代换、整体代换等.典例4已知椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点.(1)求椭圆Ω的标准方程;(2)设椭圆Ω的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M,N两点,求△FMN的面积S的最大值.解析(1)已知直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点,令x=0,得y=1,所以椭圆的上顶点的坐标为(0,1),即b=1;令y=0,得x=√2,所以椭圆的右顶点的坐标为(√2,0),即a=√2.所以椭圆Ω的标准方程为x 22+y2=1.(2)由题意可得直线MN过点G(2,0),其斜率存在且不为0,可设其方程为y=k(x-2)(k≠0),由{y=k(x-2),x22+y2=1消去y整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.因为直线MN与椭圆交于两点,所以Δ=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)=8(1-2k2)>0,解得0<k2<12.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8k 21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,所以|MN|=√1+k 2·|x 1-x 2| =√(k 2+1)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =√(k 2+1)[(8k 21+2k )2-4×8k 2-21+2k ]=√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k .易知椭圆的右焦点为F(1,0),则点F(1,0)到直线MN 的距离d=√2=√2,所以S=12|MN|·d=12·√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k ·√2=12|k|√8(1-2k 2)1+2k =√2·√(1-2k )k (2k +1).令t=1+2k 2,t ∈(1,2),则k 2=t -12, 则S=√2·√-t 2+3t -22t 2=√2·√-1t 2+32t -12=√2·√-(1t -34)2+116, 所以当t=43,即k 2=16时,S 取得最大值,最大值为√24.经检验,k 2=16满足0<k 2<12,故△FMN 的面积S 的最大值为√24.解析几何中的最值问题的常见解题思路:先利用已知条件,建立关于参数的函数,再求解函数的最值.所建立的函数通常结构复杂,不易直接求解,可通过换元将其转化为简单的函数,然后求最值.如该题就是利用t=2k 2+1,将所求转化为二次函数的最值问题.解题术五 “变量交错,分离协调”术对含有多个变量的问题,在求解时往往需要分离变量,即将混为一团的变量分开,使之各自成为一个小整体,便于分别分析各自所具有的特征、研究它们之间的差异,从中发现解题的思路.这种通过对变量的分离来协调变量间的关系,理顺解题思路进行各个击破的解题策略,就是“分离变量术”.典例5 设函数f(x)=lg1+2x +…+(n -1)x +n x ax,其中a ∈R,n 是任意给定的自然数,且n ≥2,如果当x ∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a 的取值范围.解析 由题意有1+2x +…+(n-1)x +n x a>0, 从而a>-[(1n )x+(2n )x+…+(n -1n)x ].因为n≥2,而y=(kn )x(k=1,2,…,n-1)是(-∞,1]上的递减函数,所以[(1n )x+(2n)x+…+(n-1n)x]≥1n+2n+…+n-1n=n-12,故a>-n-12.巧将变元a与变元n,x分离,促使它们的隐含关系显露出来,以便获得解题方向.这种做法就是“分离变量”战术思想的体现.解题术六“因势推导,反客为主”术解答数学题时通常把注意力集中在主变元上,当思维受阻时,要从条件与结论的内在联系变换思考方向,视其参变元为主变元进行研究、推导,也能得到解决问题的途径,有时还能获得问题的巧解.这种做法就是“反客为主术”.典例6已知f(x)=ax2+2(2a-1)x+4a-7,a∈N*,若f(x)=0至少有一个整数根,则a的取值为.答案1和5解析依题意可知,当f(x)=0时,有2x+7=a(x+2)2,①显然,当x=-2时,方程①不成立.故有a=2x+7(x+2)2(x≠-2),②于是,当a为正整数时,必有2x+7≥(x+2)2,且x∈Z,x≠-2,即x必须满足条件-3≤x≤1(x∈Z,x≠-2).由此可知,x只能在-3,-1,0,1中取值.将-3,-1,0,1分别代入②中,得知仅当x=-3,x=-1和x=1时能保证a为正整数,且此时有a=1和a=5,所以,当a=1和a=5时,方程f(x)=0至少有一个整数根.从函数的角度看x为主变元,参数a是次变元.这里将原问题转化为a是x的函数关系式来讨论x ②,就是“反客为主”的一种具体的体现.易知,本题若用求根公式解出x=1-2a±√3a+1a的整数值,将是十分繁琐的.解题术七“换位推理,声东击西”术有些命题直接求解会感到困难或根本难以从条件入手,这时可避开正面强攻,从结论的对立面入手,或考查与其相关的另一问题,或反例,从中也可以找到解决问题的途径,有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西术”.常见的基本方法:反证法、补集法、反例法等.典例7若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案D解析由题意可知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.由已知条件得△A2B2C2不是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,则由题意可得{sinA 2=cosA 1=sin (π2-A 1),sinB 2=cosB 1=sin (π2-B 1),sinC 2=cosC 1=sin (π2-C 1),解得{ A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1,所以A 2+B 2+C 2=(π2-A 1)+(π2-B 1)+(π2-C 1),即π=3π2-π,显然该等式不成立,所以假设不成立. 所以△A 2B 2C 2不是锐角三角形,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.故选D.解题术八 “追求界值,极端原理”术选择运动变化中的极端值,往往是动静转换的关键点,可以起到降低解题难度的作用,因此是一种较高层次的思维方法.从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,运用极端值法解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低难度,优化解题过程.典例8 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F,点P 为左支下半支上异于顶点A 的任意一点,则直线PF 斜率的变化范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(1,+∞)答案 C 解析 如图所示,当P →A 时,PF 的斜率k →0.当PF ⊥x 轴时,PF 的斜率不存在,即k →±∞. 当P 在无穷远处时,PF 的斜率k →1. 结合四个备选项可知,选C.解题术九 “关注整体,设而不求”术设而不求是数学解题中的一种很有用的方法,采用设而不求的策略,往往能避免盲目推演而造成的复杂运算,从而达到准确、快速的解题效果.方法一 整体代入,设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时,要有目标意识,通过虚设的策略,整体转化的思想,绕开复杂的运算过程,可使问题迅速得到解决.典例9 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 8-2S 4=5,则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为( )A.10B.15C.20D.25答案 C解析 由题意可得a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8,由S 8-2S 4=5可得S 8-S 4=S 4+5,由等比数列的性质可得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列,则S 4(S 12-S 8)=(S 8-S 4)2,综上可得a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8=(S 4+5)2S 4=S 4+25S 4+10≥2√S 4+25S 4+10=20,当且仅当S 4=5时等号成立,综上可得a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为20.方法二 适当引参,设而不求合理地引入参数,可使解题目标更加明确,已知和欲求之间的联系得以明朗化,使问题能够得到解决.典例10 已知对任何满足(x-1)2+y 2=1的实数x,y,如果x+y+k ≥0恒成立,求实数k 的取值范围.解析 将(x-1)2+y 2=1化为极坐标方程, 得{x =1+cosθ,y =sinθ(θ∈R),则可设g(θ)=x+y+k=sinθ+cosθ+1+k =√2sin (θ+π4)+1+k ≥-√2+1+k, 令-√2+1+k ≥0,得k ≥√2-1. 方法三 巧设坐标,设而不求在解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能促使问题定向,简便化归,起到以简驭繁的解题效果.典例11 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,求证:直线AC 经过原点O.证明 如图,设点A(2p t 12,2pt 1),B(2p t 22,2pt 2),则点C (-p2,2pt 2).因为直线AB 过焦点F,所以2pt 1·2pt 2=-p 2, 解得t 1t 2=-14.又直线OC 的斜率k OC =2pt 2-0-p2-0=-4t 2=1t 1,直线OA 的斜率k OA =2pt 1-02pt 12-0=1t 1,则k OC =k OA ,故A,O,C 三点共线,即直线AC 经过原点O.解题术十 “思维受限,攻坚突围”术思维受限一般出现在压轴题或计算量大的题上,有时也出现在一些条件特殊的选择题、填空题上,这些题不一定就是难度很大的题,反而可能是因某些运算或推理繁杂感到心理紧张而导致一下子想不出解决方法的题.一般来说,对此类问题的突围关键在于如何针对已有的信息与所求目标的差异进行综合分析,整合相关的结论(包括已推得的结论),注重信息的迁移.要注重考查命题所涉及的概念、定理,把握命题的结构特点,构建相应的数学模型进行模仿探索,力争做到求什么,想什么.在审查已做的运算、推理与所求结论的要求是否正确时,要注重隐含条件的挖掘与整合,仔细清查还有哪些条件未用上,还有哪些相关的通法未用到,力争做到给什么,用什么.在将条件与结论联系起来时,要勇于试探、创新思维,注重类比、猜想、凑形、配式,力争做到差什么,找什么.这就是我们常常说的“思维受限突围术”.常见的突围策略有以下两种:策略一前难后易空城计对设有多问的数学命题,若前一问不会解,而后面的几问又是自己容易解的,或是可用第一问的结论来求解的,此时应放弃第一问的求解,着重攻后面的几问,并将第一问的结论作为后几问的条件使用,巧妙地配合题设条件或有关定理解答后面的问题.这种利用自己根本不懂或不会证明的问题条件来解后几问的做法,就是数学解题中的“空城计”,即前问难后问易,弃前攻后为上计(有时也说成:前难后易前问弃,借前结论攻后题).典例12设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<x-1lnx<x;(3)设c>1,证明:当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.解析(1)由题设可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-1,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,lnx<x-1.故当x∈(1,+∞)时,lnx<x-1,ln1x <1x-1,即1<x-1lnx<x.(3)证明:设g(x)=1+(c-1)x-c x(c>1),则g'(x)=c-1-c x lnc.令g'(x)=0,解得x 0=ln c -1lnc lnc .当x<x 0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x 0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.由(2)知1<c -1lnc <c,故0<x 0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0,所以当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .(1)求出导函数f'(x),然后确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论证明;(3)构造新函数,然后通过研究新函数的单调性来证明.解决本题时,由于第(2)问较麻烦,很多考生不会做或花费较长时间,从而延误了第(3)问的解答,由题意可知,第(3)的解答可直接利用第(2)问的结论,构造函数后易判断证明,因此求解时可跨过第(2)问先解决第(3)题,从而增大了本题的得分率.这是解决此类题的上策之举.策略二 前解倒推混战术有些数学命题的求解,开始入手还较为顺畅,但一到最后就难以继续前进了.此时若知悉它的大致趋势和结果,则根据所求结论的形式、特点,进行反推、凑形,直到得出大致与所要达到的目标相当、相同或相似的式子,再来巧妙地进行求解也是可行的.这种不按常规方式出牌的解题方法我们称之为“混战术”.典例13 已知函数f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.解析 (1)f'(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,f(x)只有一个零点.②设a>0,则当x ∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围是(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2,而f(x2)=(x2-2)e x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)e x2,设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g'(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(1)由函数有两个零点,得出关于a的不等式进行求解;(2)构造函数证明不等式.解答本题第(2)问利用了逆向解答,把要证明的x1+x2<2巧妙地转化为f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0,从而确定出f(2-x2)的表达式,再构建函数证明不等式.。
函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题(解析版)-2024年新高考数学二轮复习专题
函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题 【方法技巧与总结】1.不动点与稳定点【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0∈I，使得f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一阶不动点，简称不动点．①不动点是方程x=f(x)的解②不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0∈I，使得f(f(x0))=x0且f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点①二阶周期点是方程组y=f(x)x=f(y)x≠y的解②二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0∈I，使得f(f(x0))=x0则称x0为函数f(x)的二阶不动点，简称稳定点①稳定点是不动点和二阶周期点的并集②稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标2.两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【典型例题】1(2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y=13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为()A.32B.23C.1D.3【答案】B【解析】由y=13-x2-2(x∈[-3,3])，得y≥0，x2+y+22=13，则函数的图像是以M(0,-2)为圆心的圆的一部分，先画出函数y=13-x2-2(x∈[-3,3])的图象,这是一个圆弧AB，圆心为M(0,-2),如图所示，由图可知当此圆弧绕点(-3,0)逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，即当圆心M(0,-2)在x轴上时，所以θ最大值即为∠MAB，tan∠MAB=23，所以θ最大时的正切值为2 3.故选：B.2(2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数f x =ln x +1 x ≥0 ，将函数f x 的图象绕原点逆时针旋转αα∈0,θ 角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B【解析】因为f x =ln x +1 x ≥0 ，所以f x =1x +1，则f 0 =1．即函数f x =ln x +1 在原点的切线OM 的斜率k =1，所以∠MOx =π4．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于π2-∠MOx 时，旋转所得的图象与y 轴就会存在两个交点，此时曲线C 不是函数的图象，故θ的最大值是π2-∠MOx =π4．故选：B ．3(2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f (x )=ax -e x 与函数g (x )=x ln x +1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为()A.(e -1,+∞)B.e -12,+∞C.e -12,+∞ D.(-∞,e -1)【答案】A【解析】因为函数f x 与g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以-f x =g (x )，即e x -ax =x ln x+1有两解，则a =e x -x ln x -1x 有两解，令h (x )=e x -x ln x -1x ，则h (x )=e x -1 x -1x2，所以当x ∈0,1 时，h (x )<0；当x ∈1,+∞ 时，h (x )>0；所以函数h (x )在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增；所以h (x )在x =1处取得极小值，所以h (1)=e -1，所以a >e -1，a 的取值范围为e -1,+∞ .故选：A .4(2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数f x =ax -x ln x 与函数g x =e x -1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为()A.-∞,1-eB.-∞,1-e 2C.-∞,1-eD.-∞,1-e 2【答案】C【解析】因为函数f x 与g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以-f x =g x ，即-ax +x ln x =e x -1有两解，所以a =x ln x -e x +1x有两解，令h x =x ln x -e x +1x ，则hx =e x-1 1-x x 2，所以当x ∈0,1 时，h x >0，此时函数h x 在0,1 上单调递增；当x ∈1,+∞ 时，h x <0，函数h x 在1,+∞ 上单调递减，所以h x 在x =1处取得极大值，h 1 =1-e ，且x ∈0,1 时，h x 的值域为-∞,1-e ，x ∈1,+∞ 时，h x 的值域为-∞,1-e ，因此a =x ln x -e x +1x有两解时，实数a 的取值范围为-∞,1-e ，故选：C .5(2024·全国·高三专题练习)对于连续函数f x ，若f x 0 =x 0，则称x 0为f x 的不动点．设f x =x a x +2，若f x 有唯一不动点，且f x 0 =11012，x n =f x n -1 n =1,2,⋯ ，则x 2023=．【答案】12023【解析】由f x 有唯一不动点，即方程xa x +2=x 有唯一解，即ax 2+2a -1 x =0有唯一解，所以Δ=2a -1 2-4a ×0=0，解得a =12，所以f x =2xx +2，又由x n =f x n -1 n =1,2,⋯ ，可得x n =2x n -1x n -1+2，所以1x n =1x n -1+12，从而1x n 是一个公差为12的等差数列，首项为1x 1=1f x 0=1012，所以1x n =1012+n -12，所以1x 2023=1012+2023-12=2023，即x 2023=12023．故答案为：12023.6(2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0为该函数的一个不动点，现新定义：若x 0满足f x 0 =-x 0，则称x 0为f x 0 的次不动点，有下面四个结论①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当1≤a ≤32时，函数f (x )=log 24x -a ⋅2x +1 在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m ，使得函数f (x )=e x -12x -m 在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为．【答案】②③【解析】对于①:取函数f (x )=x 2，f (0)=0，0既是f x 的不动点，又是f x 的次不动点，故①错误；对于②:定义在R 上的奇函数满足f (0)=0，故②正确；对于③:当log24x -a ⋅2x +1 =x 时，∴4x -a ⋅2x +1=2x ，即a =2x +12x-1.令2x =t ，t ∈[1,2]，∴a =t +1t -1在区间1,2 上单调递增，a =2x +12x -1在0,1 上单调递增，满足log 24x -a ⋅2x +1 =x 有唯一解；当log 24x -a ⋅2x +1 =-x 时，∴4x -a ⋅2x +1=12x 即a =2x +12x -122x .令2x =t ，t ∈[1,2]，∴a =t +1t -1t 2在区间1,2 上单调递增，a =2x +12x -122x 在0,1 上单调递增，满足log 124x -a ⋅2x +1 =x 有唯一解；综上1≤a ≤32时函数f (x )在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;对于④:假设函数f (x )=e x -12x -a 在区间0,1 上存在不动点，则f (x )=x 在0,1 上有解，即a =e x-12x -x 2在0,1 上有解，令m (x )=e x -12x -x 2，则m (x )=e x -12-2x ，再令n (x )=e x -12-2x ，则n(x )=e x -2，令n(x )=0，解得x =ln2，所以n x 在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,1)上单调递增，所以n (x )min =n (ln2)=2-12-2ln2=32-2ln2=ln e 32-ln4=ln e 3-ln 16>0，所以m(x )>0在0,1 上恒成立，所以m x 在0,1 上单调递增，所以m (x )min =m (0)=1，m x max =m 1 =e -32，所以实数a 满足1≤a ≤e -32，存在正整数a =1满足条件，故④错误：故答案为：②③7(2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f (x )，如果存在点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称函数f (x )为“不动点”函数，而称x 0为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点x 0满足f x 0 =x 0，则称x 0为f (x )的双重不动点．则下列函数中，①f (x )=x 3-x sin x ；②f (x )=e x-1x ；③f (x )=e x +e -x 2-1具有双重不动点的函数为．(将你认为正确的函数的代号填在横线上)【答案】①③【解析】对于①，f (x )=x 3-x sin x ，x ∈R ，所以f x =3x 2-sin x -x cos x ，又f (0)=03-0sin0=0，f 0 =3×0-sin0-0×cos0=0，则x =0是f (x )=e x -1x的双重不动点；对于②，f (x )=e x -1x ，x ∈-∞,0 ∪0,+∞ ，f (x )=e x +1x 2，令φ(x )=e x +1x2-x ，当x >0时，由基本初等函数图象易知e x >x ，所以e x +1x 2-x >0，当x <0时，e x +1x 2-x >0显然成立，所以不存在x 0，使得f x 0 =x 0，故函数f (x )=e x -1x不是具有双重不动点的函数；对于③，f (x )=e x +e -x 2-1，x ∈R ，则f (x )=e x -e -x 2，又f (0)=e 0+e -02-1=0，f(0)=e 0-e -02=0，所以x =0是函数f (x )=e x +e -x2-1的双重不动点；综上，具有双重不动点的函数是①③.故答案为：①③.【过关测试】一、单选题1.(2024·安徽池州·高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是A.3B.1C.33D.0【答案】B【解析】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π3个单位后与下一个点会重合．设f(π)处的点为A1，∵f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图象重合，∴旋转后A1的对应点A2也在f(x)的图象上，同理A2的对应点A3也在图象上，以此类推，f(x)对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f(1)=3时，即A1(1,3)，此时A5(1,-3)，不满足函数定义；当f(1)=33时，即A11,33，此时A61,-33，不满足函数定义；当f(1)=0时，即A6(1,0)，此时A112，32，A512，-32，不满足函数定义；故选B．2.(2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，f x 是定义在D上的函数，若f x 的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f3 的可能取值只能是()A.3B.3C.-3D.0【答案】A【解析】对于A项，若f3 =3，则构造如图1的函数图象，使得点A13,3，根据定义可得图象上不存在关于x轴对称的点，符合函数的定义，所以f3 的取值可能是 3.故A正确；对于B项，若f3 =3，构造如图2的函数图象，使得点A13,3，，根据定义可推得点A73,-3所以有f3 =-3，不符合函数的定义，故B错误；对于C项，若f3 =-3，构造如图3的函数图象，使得点A13,-3，根据定义可推得点A33,3，所以有f3 =3，不符合函数的定义，故C错误；对于D项，若f3 =0，构造如图4的函数图象，使得点A13,0，所以f3 =3.，根据定义可推得则点A23,3又A83,-3，所以f3 =-3，不符合函数的定义，故D错误.故选：A.3.(2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图①)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O ､A ，两动点B ､Q ，且|OA |=|OB |=1,OA 绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ，设函数f θ =4⋅sign θ ⋅cos θ-sin5θ-π≤θ≤π ，其中sign x =1x >00x =0,-1x <0令ρ=f θ ，作OQ =ρOB ，随着θ的变化，就得到了点Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q 的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为()A.B.C. D.【答案】B【解析】先考虑与OA 共线的蝴蝶身方向，令θ=π，则f π =4⋅sign π ⋅cosπ-sin5π=-4，所以OQ =-4OB =4OA ，令θ=-π，则f -π =4⋅sign -π ⋅cos -π -sin -5π =4，所以OQ =4OB =-4OA，所以排除AC ，先考虑与OA垂直的蝴蝶身方向，令θ=π2，则f π2 =4⋅sign π2 ⋅cos π2-sin 5π2=-1，所以OQ =-OB ，所以排除D ，故选：B4.(2024·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数f x =x 2-m 与函数g (x )=ln 1x-x ,x ∈12,2的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A.0,2-ln2B.0,-14+ln2 C.-14+ln2,2-ln2 D.-14+ln2,ln2 【答案】B【解析】函数f x =x 2-m 关于x 轴对称的函数为h (x )=-f (x )=-x 2+m ，根据题意h (x )和g (x )在12,2上有两个交点，即-x 2+m =ln 1x -x ,所以m =x 2-ln x -x ,令h (x )=x 2-ln x -x ,由h(x )=2x -1x -1=2x 2-x -1x,令h (x )=0，可得x =1或x =-12故当x ∈12,1时，h (x )<0，h (x )为减函数，当x ∈1,2 时，h (x )>0，h (x )为增函数，由h 12 =14-12-ln 12=-14+ln2<1，h (1)=1-0-1=0，h (2)=4-2-ln2=2-ln2>1，所以m ∈0,-14+ln2 时m =x 2-ln x -x 有两解，故选：B5.(2024·贵州六盘水·高三校考期末)已知函数f (x )=-x 3+ax ∈1e ,e(e 是自然对数的底数)与g (x )=3ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.0,1e 3+2B.0,e 3-4C.1,e 3-3D.e 3-4,+∞ ,【答案】C【解析】由已知，得到方程a -x 3=-3ln x ⇔-a =3ln x -x 3在1e ，e上有解．设f (x )=3ln x -x 3，求导得：f ′(x )=3x -3x 2=31-x 3 x，∵1e ≤x ≤e ，∴f ′(x )=0在x =1有唯一的极值点，∵f 1e =-3-1e3，f (e )=3-e 3，f (x )极大值=f (1)=-1，且知f (e )<f 1e，故方程-a =2ln x -x 2在上有解等价于3-e 3≤-a ≤-1．从而a 的取值范围为[1，e 3-3]．故答案为C .6.(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习)若函数y =x 3-x 2-1-a ，((x ∈1e ,e，e 为自然对数的底数)与y =x 2-3ln x 的图象上存在两组关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A.0,1e3+2B.0,e 3-4C.1e3+2,e 3-4D.1e 3+2,+∞【答案】A【解析】根据题意得到x 3-x 2-1-a =-(x 2-3ln x )=-x 2+3ln x ,这个方程由两个不同的根，变量分离得到a=x 3-1-3ln x =g x ，gx =3x 3-1x ⇒x =1是导函数的根，函数在1e,1 ,g <0;(1,e ],g >0，故函数先减后增，且g x min =g 1 =0；g 1e =2+1e3<g e =e 3-4, 则使得两个函数y =a 和g (x )有两个交点只需，a ∈0,g 1e即0,1e3+2.故答案为A ．7.(2024·湖北·校联考二模)已知函数f (x )=a -x 2(1e≤x ≤e ,e 为自然对数的底数)与g (x )=2ln x 的图象上存在两组关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.1,e 2-2B.1,1e 2+2C.1e 2+2,e 2-2D.1e 2+2,e 2-2【答案】B【解析】由题意知，a -x 2+2ln x =0在1e,e上有两个解，则a =x 2-2ln x ，令h x =x2-2ln x，x∈1e,e，则h x =2x-2x=2x2-1x，令h x <0⇒1e≤x<1，令h x >0⇒1<x≤e，得h x 在1e,1单调递减，1,e 上单调递增，又h1 =1,h e =e2-2,h1e=1e2+2，所以1<a≤1e2+2.故选：B．8.(2024·全国·高三专题练习)函数y=f x 定义在R上，已知y=f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于方程f x =x的根，下列说法正确的是()A.没有实根B.有且仅有一个实根C.有两个实根D.有两个以上的实根【答案】B【解析】∵函数y=f(x)定义在R上，y=f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，∴f(x)与其反函数是同一个函数，∴f(x)关于y=x对称，原点(0,0)是它的对称点，当f(x)=x时，2y=x，y=x，解得x=y=0，是唯一解．∴方程f(x)=x有且仅有一个实数根．故选：B．9.(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数f x =x2+m与函数g x =-ln1x -3x x∈12,2的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是()A.54+ln2,2B.2-ln2,54+ln2C.54+ln2,2+ln2D.2-ln2,2【答案】D【解析】原问题等价于h x =f x +g x =x2+ln x-3x+m在12,2有零点，而h x =2x+1x-3=1x2x-1x-1，∴x∈12,1,h x <0，h x 单调递减，x∈1,2 ,h x >0，h x 单调递增，又h1 =m-2,h2 =ln2-2+m,h12=-ln2-54+m，由ln2>12可判断h2 >h12，因而h x 的值域为m-2,m+ln2-2，又h x 有零点，有m-2≤0≤m+ln2-2，所以m∈2-ln2,2.故选：D.10.(2024·青海海南·高三校联考期末)已知函数f x =ln-x与函数g x =e x-e-1x-a的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为()A.0,eB.1,+∞C.e,+∞D.1e,+∞【答案】B【解析】由题意，f (x )=ln (-x )、h (x )=ln x 关于y 轴对称，∴h (x )与g (x )在(0,+∞)上有交点，则e x -(e -1)x -a =ln x 在(0,+∞)有解，令k (x )=e x -(e -1)x -a -ln x ，则k (x )=e x -1x -(e -1)，k (x )=e x +1x2>0，∴k (x )在(0,+∞)上递增，而k (1)=e -1-e +1=0，∴在(0,1)上k (x )<0，k (x )递减；在(1,+∞)上k (x )>0，k (x )递增；∴k (x )≥k (1)=1-a ，故只需1-a ≤0即可，得a ≥1.故选：B11.(2024·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -12(x <0)与g (x )=ln (x +a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.-∞,1eB.0,eC.-1e,eD.-e ,1e【答案】B【解析】函数f x 与g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，即f (-x )=g (x )有解，即函数y =f (-x )与函数y =g (x )的图象有交点，在同一坐标系内画出函数y =f (-x )=e -x -12与函数y =g (x )=ln (x +a )的图象．由图象，得ln a <12，即0<a <e ；故选B .12.(2024·湖北·高三校联考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个实数x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x 0为函数的不动点.设函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-x +a ，a ∈R .若f (x )在区间(0,3)上存在不动点，则a 的取值范围是()A.-e 2-e -2-3,-1B.-e 2-e -2,-1C.-e 2-e -2-7,-e -e -1D.-e 2-e -2-5,-e -e -1【答案】A【解析】由题意可得，f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-x +a =x 在(0,3)上有解，即e x -1+e 1-x +x 2-2x +1=1-a 有解，令x -1=t ，t ∈(-1,2)，则-a +1=e t +e -t +t 2，令函数g (t )=e t +e -t +t 2，g (t )=e t -e -t +2t ，当t ∈(0,2)时，g (t )>0，所以g (t )在(0,2)上单调递增，g (-t )=e -t +e t +-t 2=e t +e -t +t 2=g (t )，所以g (t )为偶函数，所以g (t )在(-1,0)上单调递减.g (t )min =g (0)=2，g (t )<g (2)=e 2+e -2+4，故-a +1∈2,e 2+e -2+4 ，a ∈-e 2-e -2-3,-1 ，故选：A .13.(2024·山东菏泽·统考一模)定义在实数集R 上的函数y =f x ，如果∃x 0∈R ，使得f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的不动点.给定函数f x =cos x ，g x =sin x ，已知函数f x ，f g x ，g f x 在0,1 上均存在唯一不动点，分别记为x 1,x 2,x 3，则()A.x 3>x 1>x 2B.x 2>x 3>x 1C.x 2>x 1>x 3D.x 3>x 2>x 1【答案】C【解析】由已知可得，cos x 1=x 1，则cos x 1-x 1=0，且sin cos x 1 =sin x 1，所以sin cos x 1 -sin x 1=0.又cos sin x 2 =x 2，sin cos x 3 =x 3.令h x =x -sin x ，x ∈0,1 ，则h x =1-cos x >0恒成立，所以，h x 在0,1 上单调递增，所以h x >h 0 =0，所以x >sin x .所以，sin cos x 3 =x 3>sin x 3，即sin cos x 3 -sin x 3>0.令F x =sin cos x -sin x ，x ∈0,1 ，因为函数y =sin x 在0,1 上单调递增，y =cos x 在0,1 上单调递减，且0<cos x <1，根据复合函数的单调性可知，函数y =sin cos x 在0,1 上单调递减，所以F x 在0,1 上单调递减.又F x 1 =0，F x 3 >0=F x 1 ，所以x 3<x 1.因为y =cos x 在0,1 上单调递减，sin x 2<x 2，所以cos sin x 2 >cos x 2.又cos sin x 2 =x 2，所以x 2>cos x 2，即cos x 2-x 2<0.令G x =cos x -x ，x ∈0,1 ，则G x =-sin x -1<0恒成立，所以，G x 在0,1 上单调递减.又G x 1 =cos x 1-x 1=0，G x 2 =cos x 2-x 2<0=G x 1 ，所以x 2>x 1.综上可得，x 2>x 1>x 3.故选：C .14.(2024·河南开封·统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数f x =x ae x -ln x 为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是()A.-∞,0 B.-∞,1eC.-∞,1D.-∞,e【答案】B【解析】由题意得若函数f x =x ae x -ln x 为不动点函数则满足f x 0 =x 0ae x 0-ln x 0 =x 0，即ae x=ln x 0+1，即a =ln x 0+1ex设g x =ln x +1e x ，g x =ln x +1 ⋅e x -e x ln x +1 e x 2=1x-ln x -1e x 设h x =1x -ln x -1,h x =-1x2-1x <0所以h x 在0，+∞ 单调递减，且h 1 =0x ∈0,1 ，h x >0,g x >0所以g x 在0，1 上单调递增，x ∈1,+∞ ,h x <0,g x <0，所以g x 在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =ln1+1e1=1e 当x ∈0,1e ,ln x +1 <0,e x >0,则g x <0当x ∈1e,+∞ ,ln x +1 >0,e x >0,则g x >0所以g x 的图像为：要想a =ln x 0+1ex成立，则y =a 与g x 有交点，所以a ≤g x max =1e 故选：B15.(2024·全国·高三专题练习)对于函数f x ，若f x =x ，则称x 为f x 的“不动点”，若f f x =x ，则称x 为f x 的“稳定点”，记A =x f x =x ，B =x f f x =x ，则下列说法错误的是()A.对于函数f x =x ，有A =B 成立B.若f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C.对于函数f x =12 x，有A =B 成立D.对于函数f x =bx ，存在b ∈0,+∞ ，使得A =B 成立【答案】D【解析】对于A ：函数f x =x ，A =x x =x =R =B ，故A 正确.对于B ：若A 是空集，则f x >x 恒成立或f x <x 恒成立.若f x >x 恒成立，用f x 代替x 可得f f x >f x >x ，同理可得f f x <f x <x ，所以f f x =x 无解，即B 为空集，故B 正确.对于C ：函数f x =12 x ，设方程12 x =x 的解为x 0，则12 x 0=x 0，A =x 0 ，f f x =x 即f 12 x=x ，因为函数f x =12x在R 上单调递减，且f x ∈0,+∞ ，所以函数f f x 在R 上单调递增，且f f x ∈0,1 .又因为f 12 x 0=f x 0 =12 x 0=x 0，所以x 0是方程f 12x=x 的唯一解，则B =x 0=A ，故C 正确.对于D ：函数f x =b x，A =x b x =x =b ,-b ，B =x f f x =x =x f b x =x =x x ≠0 ，A ≠B ，故D 错误.故选：D16.(2024·全国·高三专题练习)对于函数f x ，若f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的“不动点”；若f f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的“稳定点”．如果函数f x =x 2+a a ∈R 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A.-∞，14B.-34，+∞ C.-34，14D.-34，14【答案】D【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以f x =x 有解，但方程组f x 1 =x 2f x 2 =x 1x 1≠x 2 无解，由f x =x ，得x 2-x +a =0有解，所以1-4a ≥0，解得a ≤14．由f x 1 =x 2，f x 2 =x 1， 得x 21+a =x 2，x 22+a =x 1，两式相减，得x 1-x 2 x 1+x 2 =x 2-x 1，因为x 1≠x 2，所以x 2=-x 1-1，消去x 2，得x 21+x 1+a +1=0，因为方程x 21+x 1+a +1=0无解或仅有两个相等的实根，所以1-4a +1 ≤0，解得a ≥-34，故a 的取值范围是-34，14．故选：D .17.(2024·全国·高三专题练习)若存在一个实数t ，使得F t =t 成立，则称t 为函数F x 的一个不动点.设函数g x =e x +1-e x -a (a ∈R ,e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f x 满足f -x +f x=x 2，且当x ≤0时，f 'x <x .若存在x 0∈x f x +12≥f 1-x +x ，且x 0为函数g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为()A.-∞,e2B.e 2,+∞ C.e2,eD.e2,+∞【答案】B【解析】依题意知f -x +f x =x 2，令h x =f x -x 22，x ∈R ，∴h x =-h -x ，∴h x 为奇函数，∵h x =f 'x -x ，且当x ≤0时，f x <x ，∴当x ≤0时，h x <0，h x 单调递减，∴h x 在R 上单调递减，由f x +12≥f 1-x +x ，得f x -x 22≥f 1-x -1-x 22，即h x ≥h 1-x ，∴x ≤1-x ，即x ≤12，∴x 0≤12，∵x 0为函数g x 的一个不动点，∴g x 0 =x 0，即e x-e x 0-a =0，∴a =e x 0-e x 0，即关于x 的方程a =e x -e x 在x ∈-∞,12上有解.令t x =e x -e x ，x ∈-∞,12，则t x =e x -e 12≤0，∴t x 在-∞,12上单调递减，∴t x min =t 12 =e2，要使关于x 的方程a =e x -e x 在x ∈-∞,12 上有解，则a ≥e 2，即实数a 的取值范围为e 2,+∞ .故选：B二、多选题18.(2024·安徽六安·高三六安一中校考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是()A.函数f(x)=sin x有3个不动点B.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)至多有两个不动点C.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根D.设函数f(x)=e x+x-a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使f(f(y0))=y0成立，则a的取值范围是1,e【答案】BCD【解析】对于A，令g(x)=sin x-x，x∈R，g (x)=cos x-1≤0，当且仅当cos x=1时取“=”，则g(x)在R上单调递减，而g(0)=0，即g(x)在R上只有一个零点，函数f(x)只有一个不动点，A不正确；对于B，因二次函数y=ax2+(b-1)x+c至多有两个零点，则函数f(x)至多有两个不动点，B正确；对于C，依题意，方程f(x)-x=0⇔ax2+(b-1)x+c=0无实数根，即Δ=(b-1)2-4ac<0，当a>0时，二次函数y=f(x)-x的图象开口向上，则f(x)-x>0恒成立，即∀x∈R，恒有f(x)>x，而f(x)∈R，因此有f[f(x)]>f(x)>x恒成立，即方程f(f(x))=x无实根，当a<0时，二次函数y=f(x)-x的图象开口向下，则f(x)-x<0恒成立，即∀x∈R，恒有f(x)<x，而f(x)∈R，因此有f[f(x)]<f(x)<x恒成立，即方程f(f(x))=x无实根，所以函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根，C正确；对于D，点(x0,y0)在曲线y=sin x上，则y0∈[-1,1]，又f(f(y0))=y0，即有0≤y0≤1，当0≤y0≤1时，f(y0)=y0满足f(f(y0))=y0，显然函数f(x)=e x+x-a是定义域上的增函数，若f(y0)>y0，则f(f(y0))>f(y0)>y0与f(f(y0))=y0矛盾，若f(y0)<y0，则f(f(y0))<f(y0)<y0与f(f(y0))=y0矛盾，因此，当0≤y0≤1时，f(y0)=y0，即当0≤x≤1时，f(x)=x，对x∈[0,1]，e x+x-a=x⇔a=e x-x2+x，令h(x)=e x-x2+x，x∈[0,1]，h (x)=e x-2x+1≥2-2x≥0，而两个“=”不同时取得，即当x∈[0,1]时，h (x)>0，于是得h(x)在[0,1]上单调递增，有h(0)≤h(x)≤h(1)，即1≤h(x)≤e，则1≤a≤e，D正确.故选：BCD19.(2024·全国·高三专题练习)将函数h x =e x x≥0的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θθ∈0,π，得到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则θ的可能取值为()A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】ABCD 【解析】如上图所示，L 1,L 2,L 3,L 4分别是h x =e x 绕着原点逆时针方向旋转π4，π2，3π4，π，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.故选：ABCD ．20.(2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L .E .J .Brouwer )，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A.f x =x 2-x -3 B.f x =2x+xC.f x =x 12+2D.f x =log 2x -1【答案】ACD【解析】选项A ，若f x 0 =x 0，则x 20-2x 0-3=0，解得x 0=3或x 0=-1，故该函数是“不动点”函数；选项B ，若f x 0 =x 0，则2x=0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项C ，若f x 0 =x 0，则x 0+2=x 0，得x 0 2-x 0-2=0，且x 0≥0，解得x 0=4，该函数是“不动点”函数；选项D ，若f x 0 =x 0，则log 2x 0 -1=x 0，即log 2x 0 =x 0+1，在同一坐标系中，作出y =log 2x 与y =x +1的函数图象，如图，由图可知，方程log 2x =x +1有实数根x 0，即存在x 0，使log 2x 0 -1=x 0，故该函数是“不动点”函数．故选：ACD .21.(2024·广东珠海·高三校考期末)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个定点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0为该函数的不动点，则下列说法中正确的有()A.函数f x =ln x +1 是“不动点”函数B.函数f x =x 2-x -3的不动点为-1和3C.函数f x =e x +x 的导函数是“不动点”函数D.函数f x =e x +x 的导函数不是“不动点”函数【答案】ABD【解析】对于A ,由于f x =ln x +1 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =ln 0+1 =0，所以x =0是f x =ln x +1 的不动点，故f x =ln x +1 是“不动点”函数，A 正确，对于B ,令f x =x 2-x -3=x ，则x 2-2x -3=0，解得x =3或x =-1，故函数f x =x 2-x -3的不动点为-1和3，B 正确，对于C ，由于f x =e x +1，定义域为R ,令n x =e x +1-x ，则n x =e x -1，则当x >0,n (x )>0,n (x )单调递增，当x <0,n (x )<0,n (x )单调递减，所以n (x )≥n (0)=2>0，故n x =e x +1-x >0，故f x =e x +1=x 无实数根，因此f x =e x +1不是“不动点”函数，C 错误，D 正确，故选：ABD22.(2024·全国·高三专题练习)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L .E .J .Brouwer )，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A.f x =2x +xB.f x =x 2-x -3C.f x =1x 2+1 D.f x =log 2x -1【答案】BCD【解析】选项A ，若f x 0 =x 0，则2x 0=0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B ，若f x 0 =x 0，则x 20-2x 0-3=0，解得x 0=3或x 0=-1，故该函数是“不动点”函数；选项C ，若f x 0 =x 0，则1x 20+1=x 0，得x 20-3x 0+1=0，且x 0≥1，解得x 0=3+52，该函数是“不动点”函数；选项D ，若f x 0 =x 0，则log 2x 0 -1=x 0，即log 2x 0 =x 0+1，在同一坐标系中，作出y =log 2x 与y =x +1的函数图象，如图，由图可知，方程log 2x =x +1有实数根x 0，即存在x 0，使log 2x 0 -1=x 0，故该函数是“不动点”函数．故选：BCD 三、填空题23.(2024·全国·高三专题练习)设函数y =12x -1 +12x -2 +1．(1)该函数的最小值为；(2)将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤π2得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是．【答案】 20，π4 【解析】(1)先画出函数y =12x -1 +12x -2 +1的图象由图可知，该函数的最小值为2．(2)由图可知，当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于π4时，曲线C 都不是一个函数的图象则θ的取值范围是：0，π4．故答案为：2；0，π4．24.(2024·浙江温州·统考一模)将函数y =12x -1 +12x -2 +1的图像绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤π2得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是.【答案】0，π4【解析】29．(2024·云南·统考模拟预测)已知函数f x =16x 3-mx +3，g x =-5x -4ln 1x，若函数f x 与g x x ∈1e ,4的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是．【答案】8ln2-12,-92【解析】函数f x 与g x x ∈1e ,4的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，等价于f x +g x 在1e ,4上有零点，令h x =f x +g x=12x 2-m -5x -4ln 1x =12x 2-m -5x +4ln x 则h x =x -5+4x =x -1 x -4 x，所以在1e ,1上，h x ≥0，h x 单调递增，在1,4 上，h x ≤0，h x 单调递减，则h x ≤h 1 ，又h 1 =-m -92，h 1e=12e2-m -5e -4，h 4 =8ln2-m -12，因h 4 -h 1e =8ln2-8+5e -12e 2<0，又h 4 <h 1e，则h x ≥h 4 ，所以h 4 =8ln2-m -12≤0①h 1 =-m -92≥0②解得8ln2-12≤m ≤-92．故答案为:8ln2-12,-9225.(2024·四川攀枝花·高一统考期末)已知函数f (x )=e x -2(x <0)与g (x )=ln (x +a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是．【答案】-∞,1e 【解析】函数f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴有对称的点，就是f (-x )=g (x )有解，也就是函数y =f (-x )与函数y =g (x )有交点，在同一坐标系内画函数y =f (-x )=e -x -2=1ex-2(x >0)与函数y =g (x )=ln (x +a )的图象：∴函数y =g (x )=ln (x +a )的图象是把由函数y =ln x 的图象向左平移且平移到过点(0，-1)后开始，两函数的图象没有有交点，把点(0，-1)代入y =ln (x +a )得，-1=ln a ，∴a =1e，∴a <1e，故答案为：-∞,1e ．26.(2024·全国·高三专题练习)曲线y =ln x 绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线的方程为．【答案】y =e -x【解析】设曲线y=ln x上一点(a,b)，绕坐标原点逆时针旋转90°后对应点的坐标为(x,y)，则x=-by=a，即a=yb=-x，即-x=ln y，即y=e-x.故答案为：y=e-x.27.(2024·宁夏银川·高三校考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f x ，存在一个点x0，使得f x0= x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有(填写序号)①f x =x+1②f x =1x-x,x>0③f x =x2-x+3④f x =log12x【答案】②④【解析】对于①，f x0=x0+1=x0，显然无解，对于②，f x0=1x0-x0=x0,x0>0，易得2x0=1x0⇒x0=22，符合题意，对于③，f x0=x20-x0+3=x0⇒x0-12+2=0，显然无实数解， 对于④，f x0=log12x0=x0，如下图所示，作出两函数y=log12x，y=x，显然两函数有交点，即存在一个点x0，使得f x0=x0，故答案为：②④.。
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十六) Word版含解析
课时巩固过关练(十六) 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，62 B ．(2，＋∞)C ．(1，2) D.⎝⎛⎭⎫62，＋∞解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝b ax ，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0>1知b 2a 2<1，即c 2－a2a2<1，故e 2<2，又e >1，所以1<e <2，故选C. 答案：C2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点F 1(－c,0)、F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A 、D 两点，交渐近线于B 、C 两点，设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0解析：如图，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)，C (x 4，y 4)，则F 1B →＋F 1C →＝(x 3＋x 4＋2c ，y 3＋y 4)， F 1A →＋F 1D →＝(x 1＋x 2＋2c ，y 1＋y 2)，∴m ＝(x 3＋x 4＋2c ，y 3＋y 4)，n ＝(x 1＋x 2＋2c ，y 1＋y 2)． 设直线l 的方程x ＝my ＋c 代入b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2， 得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 2(c 2－a 2)＝0，故y 1＋y 2＝2b 2mca 2－b 2m 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x ＝my ＋c 得y 3＝bc a －bm；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x ＝my ＋c 得y 4＝－bc a ＋bm，∴y 3＋y 4＝2b 2mc a 2－b 2m2，∴y 1＋y 2＝y 3＋y 4，又x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2c ，x 3＋x 4＝m (y 3＋y 4)＋2c ， ∴x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴m ＝n ， ∴|m －n |＝0，故选C. 答案：C3．(2016·吉林长春二模)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P 分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)·(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13，故选B.答案：B 4．(2016·江西南昌调研)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1、圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e 1、e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值是( )A.3＋224B.32C. 2D.38解析：①当动圆M 与圆O 1、O 2都相内切时， |MO 2|＋|MO 1|＝4－r ＝2a ，∴e 1＝24－r.②当动圆M 与圆O 1相内切，与圆O 2相外切时， |MO 1|＋|MO 2|＝4＋r ＝2a ′，∴e 2＝24＋r，∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24－2r 16－r 2，令12－r ＝t (10<t <12)，∴e 1＋2e 2＝2×124－t －128t ≥2×124－162＝112－82＝3＋224，故选A. 答案：A 5．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为( )A.33B.233 C ．1 D. 3解析：如图，过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ，垂足分别是Q 、P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，知|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |.在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ， 在△ABF 中，由余弦定理得， |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ，因为a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2，所以|AB |2|MN |2≥34(a ＋b )214(a ＋b )2＝3，则|AB ||MN |≥3， 所以|AB ||MN |的最小值是3，故选D.答案：D 二、填空题6．(2016·浙江温州二模)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于x 轴上方的不同两点A 、B ，记直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1＋k 2的取值范围是__________．解析：设直线l 的方程为y ＝12x ＋b (b >0)，即x ＝2y －2b ，代入抛物线方程y 2＝2px ， 可得y 2－4py ＋4pb ＝0，由Δ＝16p 2－16pb >0，得p >b ，即pb>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 得y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝4pb ，∴k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝y 1x 2＋x 1y 2x 1x 2＝y 1(2y 2－2b )＋(2y 1－2b )y 2(2y 1－2b )(2y 2－2b )＝16pb －8pb 16pb －16pb ＋4b 2 ＝2p b>2. 答案：(2，＋∞) 7．(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为__________．解析：如图，FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)， 易知，抛物线的顶点到准线的距离最短， ∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 答案：38．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝__________.解析：由题易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 由F A →＋FB →＋FC →＝0知，⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＋⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2＋⎝⎛⎭⎫x 3－p 2，y 3＝(0,0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0，∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 21)y 2－y 1＝y 1＋y 22p ， 同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p，1k CA ＝y 1＋y 32p ， ∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2(y 1＋y 2＋y 3)2p ＝0. 答案：0 三、解答题9.如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)证明：依题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 1x 2x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)解：依题设知，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0， 由Δ＝0得 (4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为 N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2、N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.10．(2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值；②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解：设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明：设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )．所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.②解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m ，则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0. 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0＋m .同理x 2＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m .所以x 2－x 1＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， y 2－y 1＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0－m＝－8k (6k 2＋1)(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k . 由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m 4－8m 2＝66，即m ＝147，符合题意．所以直线AB 的斜率的最小值为62.11．(2015·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.。
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(三) Word版含解析
课时巩固过关练(三) 不等式、线性规划组一、选择题．(·上海浦东期末)如果>>，那么下列不等式中不正确的是( )>>．>．>解析：∵>>，∴>，>，>，>，故选.答案：．(·福建宁德期中)已知集合＝{－－ >}，＝{＋＋≤}，若∪＝，∩＝( ]，则( )．＝，＝－．＝－，＝．＝，＝．＝－，＝－解析：化简得＝{<－或> }，由∪＝，∩＝( ，]可知＝{－≤≤ }，即－是方程＋＋＝的两个根．∴＝－×＝－，－＝－＋，即＝－.答案：．若不等式＋＋>的解集是(－)，则不等式(－)＋(＋)＋>的解集是( )．(－∞，)∪．(－)．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：由不等式＋＋>的解集为(－)知<，－和是方程＋＋＝的两根，∴－＋＝－，－×＝，即＝，＝－，故所求解的不等式为(－)＋(＋)－>，即＋－<，解得－<<.答案：．(·山东淄博期中)若实数，满足不等式组(\\(－≤，－≤，＋－≥，))则目标函数＝－的最大值是( )．．．．解析：由约束条件(\\(－≤，－≤，＋－≥))作出可行域如图，化目标函数＝－为＝－，由图可知，当直线＝－过时，直线在轴上的截距最小，最大．∴＝－×＝.故选.答案：．(·贵州遵义二联)过平面区域(\\(－＋≥，＋≥，＋＋≤，))若＝＋的最小值为－，则实数等于( )．－．－．－．解析：由约束条件(\\(－＋≥，＋≥，＋＋≤))作出可行域如图，联立(\\(＋＝，－＝－，))解得(－－，－)，化＝＋，得＝－＋.由图可知，当直线＝－＋过时，有最小值为－，即－－－＝－，解得＝.故选.答案：．(·北京西城期末)设，满足约束条件(\\(－≤，＋≤，≥，))若＝＋的最大值与最小值的差为，则实数等于( )．－．－解析：由约束条件(\\(－≤，＋≤，≥))作出可行域如图，联立(\\(－＝，＋＝，))解得()，联立(\\(＝，－＝，))解得(－，)，化＝＋，得＝－＋.由图可知，当直线＝－＋过点时，有最大值为，当直线＝－＋过点时，有最小值为－，由题意，得－(－)＝，解得＝.故选.答案：．(·广东惠州二调)已知变量，满足(\\(－＋≥，≤，＋－≥，))则的取值范围是( )解析：作出(\\(－＋≥，≤，＋－≥))所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得＝＝＋，表示可行域内的点与(－，－)连线的斜率与的和，由图象可知当直线经过点()时，目标函数取最小值为＋＝；当直线经过点()时，目标函数取最大值为＋＝，故答案为答案：．(·云南师大附中月考)设实数，满足(\\(－－≤，＋－≥，－≤，))，则＝＋的取值范围是( )解析：设＝，则＝＋＝＋，作出不等式组对应的平面区域如图．的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知的斜率最大，的斜率最小，由(\\(－－＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝，))即()．由(\\(－＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝，))即()，则＝，＝，则≤≤，＝＋＝＋在≤≤上为减函数，在≤≤上为增函数，则最小值为＝＋＝，当＝时，＝＋＝，当＝时，＝＋＝<，则＝＋＝＋的最大值为，则≤≤.。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 十四 1.5.3 Word版含解析
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课时巩固过关练 十四
用空间向量的方法解立体几何问题
(分钟 分)
一、选择题(每小题分，共分)
.(·兰州一模)如图所示，在正方体中，棱长为，，分别为，上的点，
，则与平面的位置关系是( )
.相交 .平行
.垂直 .不能确定
【解析】选.因为正方体的棱长为，，
所以，，
所以
()()
，
又是平面的一个法向量，
且··，
所以⊥，又⊄平面，
所以∥平面.
.(·银川二模)如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为( )
.
【解析】选.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则(，，)，(，，)，，，
所以，，。
高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十五) Word版含解析
课时巩固过关练(十五) 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题一、选择题．已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，其中(－，)，为上一点，满足＝且＝，则椭圆的方程为()＋＝＋＝＋＝＋＝解析：设椭圆的焦距为，连接，如图所示．由(－，)，得＝，又由＝＝，知⊥，在△中，由勾股定理，得＝＝＝.由椭圆定义，得＋＝＝＋＝，从而＝，得＝，于是＝－＝－()＝，∴椭圆的方程为＋＝.故选.答案：．“≤<”是“方程＋＝表示双曲线”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件解析：∵≤<，∴(\\(＋>，－<，))∴方程＋＝表示双曲线；反之，∵方程＋＝表示双曲线，∴(＋)(－)<，解得－<<.∴“≤<”是“方程＋＝表示双曲线”的充分不必要条件．故选.答案：．(·浙江瑞安高三上学期四校联考)已知直线＝(＋)(>)与抛物线：＝相交于，两点，为的焦点．若＝，则＝( )解析：抛物线＝的准线为＝－，设(，)，(，)，由抛物线的定义可知＝＋，＝＋，∵＝，∴＋＝(＋)，∴＝＋.将＝(＋)(>)代入＝，消去并整理可得＋(－)＋＝.由韦达定理可得＋＝－，＝.解(\\(＝＋，＝，))得(\\(＝，＝.))∴＋＝－＝＋，∵>，解得＝.故选.答案：．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为，，若曲线Γ上存在点满足＝，则曲线Γ的离心率等于( )或或或或解析：∵＝，∴设＝，＝，＝(>)，若圆锥曲线为椭圆，则＝＋＝＝＝，则离心率＝＝＝；若圆锥曲线为双曲线，则＝－＝＝＝，则离心率＝＝＝，故选.答案：．设为抛物线：＝的焦点，过且倾斜角为°的直线交于，两点，为坐标原点，则△的面积为( )解析：由题意可知直线的方程为＝，代入抛物线的方程得－－＝，设(，)，(，)，则＋＝，＝－，△＝－＝××＝.故选.答案：．过点()作斜率为－的直线与椭圆：＋＝(>>)相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于( )解析：设(，)，(，)，则∴＋＝，∴＝－·.∵＝－，＋＝，＋＝，∴－＝－，∴＝.又＝－，∴＝(－)，∴＝，∴＝.故选.答案：．(·上海嘉定一模)已知圆过定点()，圆心在抛物线＝上运动，若轴截圆所得的弦为，则等于( )．．．．解析：如图，圆心在抛物线＝上，∴设，＝，∴圆的方程为＋(－)＝＋.令＝，得＋(－)＝－＋＋，∴(－)＝，∴＝±.∴＝＋－(－)＝.故选.答案：．经过椭圆＋＝的一个焦点作倾斜角为°的直线，交椭圆于、两点．设为坐标原点，则·等于( )．－．－．－或－．±解析：由＋＝，得＝，＝，＝－＝，焦点为(±)．不妨设直线过右焦点，倾斜角为°，则直线的方程为＝－.代入＋＝得＋(－)－＝，即－＝.设(，)，(，)，则·＝，＋＝，＝(－)(－)＝－(＋)＋＝－＝－，·＝＋＝－＝－.同理，可得直线过左焦点时，·＝－.故选.答案：二、填空题．(·山东高考)平面直角坐标系中，双曲线：－＝(>，>)的渐近线与抛物线：＝(>)交于点，，，若△的垂心为的焦点，则的离心率为．解析：设所在的直线方程为＝，则所在的直线方程为＝－，解方程组(\\(＝()，＝，))得(\\(＝()，＝()，))所以点的坐标为，抛物线的焦点的坐标为.因为是△的垂心，所以·＝－.所以－·＝－⇒＝.所以＝＝＋＝⇒＝.答案：三、解答题．(·江苏高考)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝(>>)的离心率为，且右焦点到左准线的距离为.()求椭圆的标准方程；()过的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若＝，求直线的方程．解：()由题意，得＝，且＋＝，解得＝，＝，则＝，所以椭圆的标准方程为＋＝.()当⊥轴时，＝，又＝，不符合题意．当与轴不垂直时，设直线的方程为＝(－)，(，)，(，)，将直线的方程代入椭圆方程，得(＋)－＋(－)＝，则＝，且＋＝，＝，又＋＝(＋)－＝·－＝，∴点的坐标为，∴＝＝.若＝，则线段的垂直平分线为轴、与左准线平行，不符合题意．从而≠，故直线的方程为＋＝－，则点的坐标为，从而＝，因为＝，所以＝，解得＝±.此时直线的方程为＝－或＝－＋.．已知椭圆：＋＝，过点()作圆＋＝的切线交椭圆于，两点．()求椭圆的焦点坐标和离心率；()将表示为的函数，并求的最大值．解：()由已知得＝，＝，所以＝＝，所以椭圆的焦点坐标为(－，)，(，)，离心率＝＝.()由题意知≥，当＝时，切线的方程为＝，点、的坐标分别为，.此时＝，当＝－时，同。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 十 1.4.1 Word版含解析
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课时巩固过关练十
等差数列、等比数列
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.(·太原二模)已知等差数列{}的公差为,若成等比数列,则等于( )
【解析】选.由题意()(),
解得,所以×.
【加固训练】(·承德二模)在等比数列{}中,若公比,则该数列的通项公式( )
【解析】选.设等比数列{}的首项为,
由公比得,
所以,则.
.(·襄阳一模)在等差数列{}中,则此数列前项的和等于( )
【解析】选.由得,
,所以.
.(·湛江一模)已知数列{}是公比为的等比数列,数列{}是公差为且各
项均为正整数的等差数列,则数列{}是( )
.公差为的等差数列 .公差为的等差数列
.公比为的等比数列 .公比为的等比数列
【解析】选.由数列{}是公比为的等比数列,
可得·.
由数列{}是公差为且各项均为正整数的等差数列,
所以,
所以数列{}是公比为的等比数列.
.(·福州一模)若是函数()(>>)的两个不同的零点,且这三个数可适当
排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于
( )
【解析】选.由题可得所以>>,不妨设>,所以等比数列为或从而得到,等差数列为或从而得到,两式联立解出,所以,所以.
二、填空题(每小题分,共分)
.(·衡阳一模)数列{}是公差不为零的等差数列,并且是等比数列{}
的相邻三项.若,则.。
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课时巩固过关练(十五) 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题一、选择题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中F 1(－25，0)，P为C 上一点，满足|OP |＝|OF 1|且|PF 1|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 230＋y 210＝1C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，连接PF 2，如图所示．由F 1(－25，0)，得c ＝25，又由|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，知PF 1⊥PF 2，在△PF 1F 2中，由勾股定理，得|PF 2|＝|F 1F 2|2－|PF 1|2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，∴椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.故选C.答案：C2．“0≤k <3”是“方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵0≤k <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k －5<0，∴方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线；反之，∵方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线，∴(k ＋1)(k －5)<0，解得－1<k <5.∴“0≤k <3”是“方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 3．(2016·浙江瑞安高三上学期四校联考)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，∵|F A |＝2|FB |，∴x 1＋2＝2(x 2＋2)，∴x 1＝2x 2＋2.将y ＝k (x ＋2)(k >0)代入y 2＝8x ，消去y 并整理可得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.由韦达定理可得x 1＋x 2＝8k2－4，x 1x 2＝4.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x 2＋2，x 1x 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4，x 2＝1.∴x 1＋x 2＝8k 2－4＝1＋4，∵k >0，解得k ＝223.故选D.答案：D4．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：∵|PF 1F 1F 2PF 2|＝，∴设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k (k >0)，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6k,2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 6k ＝12；若圆锥曲线为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2k,2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 2k ＝32，故选A.答案：A5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：由题意可知直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线的方程得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 1＝94.故选D.答案：D6．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于( )A.23B.22C.53D.12解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.故选B.答案：B 7．(2016·上海嘉定一模)已知圆M 过定点E (2,0)，圆心M 在抛物线y 2＝4x 上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则|AB |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：如图，圆心M 在抛物线y 2＝4x 上，∴设M ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，r ＝⎝⎛⎭⎫y 204－22＋y 20，∴圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝⎝⎛⎭⎫y 204－22＋y 20.令x ＝0，得y 4016＋(y －y 0)2＝y 4016－y 20＋4＋y 20，∴(y －y 0)2＝4，∴y ＝y 0±2.∴|AB |＝y 0＋2－(y 0－2)＝4.故选A.答案：A8．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：由x22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)．不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，则直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.同理，可得直线l 过左焦点时，OA →·OB →＝－13.故选B.答案：B 二、填空题9．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________．解析：设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，则OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得⎩⎨⎧x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a2，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2，抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2.因为F 是△ABC 的垂心，所以k OB ·k AF ＝－1.所以－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb 2a 2－p 22pb a＝－1⇒b 2a 2＝54.所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝94⇒e ＝32. 答案：32三、解答题10．(2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝|2AB |，求直线AB 的方程．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不符合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，且x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·4k 21＋2k 2－2k ＝－2k 1＋2k 2，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，∴|AB |＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴、与左准线平行，不符合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而|PC |＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)，因为|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.11．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝3，所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率e ＝c a ＝32.(2)由题意知|m |≥1，当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32.此时|AB |＝3，当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由切线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±3时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.。
2021年高三4月巩固性训练 文科数学 含答案
2021年高三4月巩固性训练文科数学含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：1.锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高;2.统计中的公式：，其中，，，，.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 复数A. B. 1 C. D.2. 设集合，则集合M，N的关系为A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为A.5B.6C.7D.84. 已知圆上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为A．9 B．3 C．2 D．25.一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为第3题图6. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列中，，，则A．64 B．32 C．16 D．1288. 为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A不患疾病A合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50下面的临界值表供参考：0.05 0.010 0.005 0.0013.841 6.635 7.879 10.828A.9. 函数是A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数10. 设是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是A．当时，“”是“”的必要不充分条件B．当时，“”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“∥”成立的充要条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件11. 函数的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数，若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13.若向量，，，则实数 .14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为.15. 在中，，，，则.16. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. (本小题满分12分)设函数()sin()sin()3cos33f x x x xππωωω=++-+(其中＞0)，且函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为.（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列满足，且.（1）求数列,的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．(本小题满分13分)已知函数的图象如右图所示．（1）求函数的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．ABFCC1EA1B1第19题图22. (本小题满分13分)已知点F1和F2是椭圆M:的两个焦点，且椭圆M经过点.（1）求椭圆M的方程；（2）过点P(0,2)的直线l和椭圆M交于A、B两点，且,求直线l的方程；（3）过点P(0,2)的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标.xx 年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C 13. 14.2 15. 1或 16.9 17.解：（1）=. ………………………………3分 ∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴. ………………………………5分∴. ………………………………6分 （2）由（1）得，∴. ………………………………8分 由x 可得， ……………………………10分 ∴当，即x =时，取得最大值;当，即x =时，取得最小值. …………12分 18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为， 再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分 ∴a =100×0.020×10×0.9=18， ………………………………4分 , ………………………………6分 （2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人． ………………………………8分 设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B 3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件， ………………………………10分 其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分 19. 证明：（1） 在平面内，作，O 为垂足． 因为，所以，即O 为AC 的中点，所以.……3分 因而．因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．所以底面ABC . ……6分 （2）F 到平面的距离等于B 点到平面距离BO 的一半，而BO =. ……8分 所以111111113113133232324A EFC F A EC A EC V V S BO A E EC --=====. ……12分20.解：（1）当，； …………………………1分当时， ，∴ . ……………2分∴是等比数列，公比为2，首项， ∴. ………3分 由，得是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项，∴ . ………………………………6分 （2） ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分． ……………………………12分21.解：（1）∵， …………………………………………2分由图可知函数的图象过点，且.得 , 即. ………………………………………………4分 ∴. ………………………………………………5分 （2）∵, ………………………………6分∴ . …………………………………………8分∵ 函数的定义域为, …………………………………………9分 ∴若函数在其定义域内为单调增函数，则函数在上恒成立，即在区间上恒成立. ……………………………10分 即在区间上恒成立. 令，，则（当且仅当时取等号）. …………………12分∴ . …………………………………………………………………………13分 22.解：（1）由条件得：c =，设椭圆的方程，将代入得 ，解得，所以椭圆方程为. --------4分（2）斜率不存在时，不适合条件；----------------------5分 设直线l 的方程，点B (x 1,y 1), 点A (x 2,y 2), 代入椭圆M 的方程并整理得：.0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且. -------------------7分 因为,即，所以.代入上式得，解得，所以所求直线l 的方程：. --------------------9分 （3）设过点P (0,2)的直线AB 方程为：，点B (x 1,y 1), 点 A (x 2,y 2), C (-x 2,y 2). 将直线AB 方程代入椭圆M : ，并整理得： ，0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且.设直线CB 的方程为：， 令x =0得：2221212121122112222++=++=+--=x x x kx x x y x y x x x y x x y y y .----------11分将代入上式得：.所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为. ---------12分当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。
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课时巩固过关练(十四) 直线与圆一、选择题 1．(2016·四川巴蜀中学月考)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：由a ×1＋2×1＝0，得a ＝－2，故选D. 答案：D 2．(2016·广东惠州二调)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析：圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，半径r ＝5，所以截得弦长为2r 2－d 2＝2(5)2－12＝4.故选C.答案：C3．(2016·上海青浦一模)“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y－3＝0相互垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0，当a ＝0时，分别化为x ＋1＝0，－x ＋y －3＝0，此时两条直线不垂直，舍去；当a ＝－1时，分别化为－3y ＋1＝0，－2x －3＝0，此时两条直线相互垂直，因此a ＝－1满足条件；当a ≠－1,0时，两条直线的斜率分别为－a ＋13a ，1－a a ＋1，由于两条直线垂直，可得－a ＋13a ×1－aa ＋1＝－1，解得a＝14或－1(舍去)．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为a ＝14或－1.∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分而不必要条件．故选A.答案：A4．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：直线方程可整理为2x ＋1－(y ＋3)m ＝0，∴当m 变化时，直线过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.故选D. 答案：D 5．(2016·安徽安庆期中)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，43B.⎝⎛⎭⎫0，43C.⎣⎡⎭⎫0，43D.⎝⎛⎦⎤0，43解析：设直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆为圆M ，又圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C 的坐标为(4,0)，半径R ＝1，如图，若圆M 与圆C 有公共点，则圆M 与圆C 的临界点为圆M 与圆C 的外切点，即等价为圆心C 到直线y ＝kx －2的距离d ≤R ＋1＝2，即圆心到直线kx －y －2＝0的距离d ＝|4k －2|1＋k 2≤2，即|2k－1|≤1＋k 2，平方得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43，故选A.答案：A 6．(2016·四川绵阳期末)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，如图，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2.由图可知b ＝1＋22舍去，故b ＝1－2 2.当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，故选D.答案：D 7．(2016·湖北一联)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标(3,4)，半径为3.连接AC 2，设直线AC 2与x 轴的交点为P ，可知|AC 2|＝|PC 2|＋|PC 1|.而|PM |＋|PN |＝|PC 2|－3＋|PC 1|－1＝|AC 2|－4，即|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.故选A.答案：A8．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有4条公切线；③直线l ：2(m ＋3)x ＋3(m ＋2)y －(2m ＋5)＝0(m ∈R )与圆C 2一定相交于两个不同的点； ④P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 其中正确命题为( ) A ．①④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②③④解析：对于①结论是正确的，由圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1可知两圆圆心分别为C 1(2cos θ，2sin θ)与C 2(0,0)，半径分别为r 1＝1，r 2＝1，∴圆心距|C 1C 2|＝(2cos θ)2＋(2sin θ)2＝2，|C 1C 2|＝r 1＋r 2，故对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切．对于②结论是不正确的，由①可知两圆外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l ：2(m ＋3)x ＋3(m ＋2)y －(2m ＋5)＝0可化为m (2x ＋3y －2)＋6x ＋6y －5＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝0，6x ＋6y －5＝0，得交点M ⎝⎛⎭⎫12，13，则|MO |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＝136<1，故点M 在圆C 2内，所以直线l 与圆C 2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如图所示，当P ，Q 两点与公切点共线时距离最大，为|PQ |＝2(r 1＋r 2)＝4.综上，正确的结论是①③④.故选B.答案：B 二、填空题 9．(2016·河北邯郸月考)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为__________．解析：方程表示的是以(1,3)为圆心，10为半径的圆．点E 为圆内一点，因此过点E 的最长的弦是直径(长为210)，最短的弦(弦长为25)是与过点E 的直径垂直的弦．所以四边形ABCD 的面积为S ＝12×210×25＝10 2.答案：10 210．(2016·四川绵阳期末)圆C 1的方程是(x －3)2＋y 2＝425，圆C 2的方程是(x －3－cos θ)2＋(y －sin θ)2＝125(θ∈R )，过C 2上任意一点P 作圆C 1的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则∠MPN 的最小正切值是__________．解析：圆C 2：(x －3－cos θ)2＋(y －sin θ)2＝125(θ∈R )，圆心C 2(3＋cos θ，sin θ)，半径等于15.由题意可知∠MPN 最小时，|PC 1|最大，最大为|C 1C 2|＋15＝65，∴PM ＝3625－425＝425，∴tan ∠MPC 1＝24，∴tan ∠MPN ＝2×241－⎝⎛⎭⎫242＝427.答案：42711．(2016·贵州遵义一模)如图，已知圆M ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，四边形ABCD 为圆M的内接正方形，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME →·OF →的最大值是__________．解析：由题意可得OF →＝OM →＋MF →， ∴ME →·OF →＝ME →·(OM →＋MF →)＝ME →·OM →＋ME →·MF →.∵ME ⊥MF ，∴ME →·MF →＝0，∴ME →·OF →＝ME →·OM →.由题意可得，圆M 的半径为2，故正方形ABCD 的边长为22，故ME ＝2，再由OM ＝32，可得ME →·OM →＝2·32·cos 〈ME →，OM →〉＝6cos 〈ME →，OM →〉，即ME →·OF →＝6cos 〈ME →，OM →〉，故ME →·OF →的最大值为6. 答案：6 三、解答题 12．(2016·长沙模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0. (1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求证：1x 1＋1x 2为定值；(3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．解：(1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0，配方得(x ＋1)2＋y 2＝4， 则圆心O 的坐标为(－1,0)，圆的半径长为2； (2)设直线l 的方程为y ＝kx ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －3＝0y ＝kx ，消去y 得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0，则有：x 1＋x 2＝－21＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2；所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23为定值；(3)设直线m 的方程为y ＝kx ＋b ，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|b －1|2，所以|DE |＝2R 2－d 2＝24－d 2，S △CDE ＝12|DE |·d ＝4－d 2·d ≤(4－d 2)＋d 22＝2，当且仅当d ＝4－d 2，即d ＝2时，△CDE 的面积最大，从而|b －1|2＝2，解之得b ＝3或b ＝－1，故所求直线方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0. 13．(2016·安徽模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2y ＝45t (t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN |的最大值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为：ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.所以，曲C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y ＝－43(x －2)．令y ＝0得x ＝2即M 点的坐标为(2,0) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1) 半径r ＝1，则|MC |＝5， ∴|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. ∴|MN |的最大值为5＋1.。