中考数学构造法解题技巧
构造法的解题策略
构造法的解题策略构造法的解题什么是构造法？构造法是一种解题方法，通过构造具体的场景、模型或对象来帮助解决问题。
它可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。
构造法的解题策略•定义问题：首先要明确问题的具体内容和要求，这将有助于我们更好地进行构造。
•分析问题：通过分析问题的特点和限制条件，可以帮助我们更好地选择构造的方法和对象。
•构造场景：根据问题的特点，构造具体的场景或模型，这将有助于我们更好地理解问题并找到解决方案。
•调整参数：在构造场景或模型时，我们可以通过调整参数来模拟不同的情况，以便更全面地考虑问题和解决方案。
•验证解决方案：通过构造的场景或模型，我们可以验证解决方案的可行性和有效性，以确保我们的解决方案是正确的。
•优化解决方案：在验证解决方案的过程中，我们可能会发现一些问题或可以改进的地方，这时我们可以对解决方案进行优化，以获得更好的结果。
构造法的应用举例•在数学中，通过构造具体的数学模型或示例，我们可以更好地理解抽象的数学概念和定理，并找到解决问题的方法。
•在计算机科学中，通过构造具体的算法模型或场景，我们可以更好地分析和解决复杂的计算问题。
•在物理学中，通过构造具体的实验场景或模型，我们可以更好地理解物理规律，并验证和推导出新的物理理论。
•在工程学中，通过构造具体的工程实例或模型，我们可以更好地分析和解决复杂的工程问题。
总结构造法是一种解题方法，通过构造具体的场景、模型或对象来帮助解决问题。
它可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。
在应用构造法时，我们需要定义问题、分析问题、构造场景、调整参数、验证解决方案和优化解决方案。
通过构造法，我们可以在不同领域中找到有效的解决方案。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
专题 构造法求数列通项的八种技巧
专题 构造法求数列通项的八种技巧【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n na b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解. ◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2nnna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列{}n a 满足:1n n n ba a ka b+=+,则有111n n n n b ka ka ba ab ++==+. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,kb 为公差的等差数列,即111(1)n k n a a b =+-.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列{}n a 满足:1112n n n n na a a a a -+-=-,则有11111211111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+--=⇔-=-. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.类型三:若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足10n n n a kS S -+=,则有110n n n n S S kS S ---+=,两边同除以1n n S S -得:111n n k S S --=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,k 为公差的等差数列,即111(1)n n k S a =+-,再用1n n n a S S -=-,求{}n a .◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .此方法可以解决大多数的11n n n a Aa Ba +-=+,1A B +=模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造{}1n n a a +-成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.秒杀求法:21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠类通项公式暴力秒杀求法21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠对应的特征方程为:2x px q =+,设其两根为12,x x当12x x ≠时, 2212n n n a Ax Bx --=+，当12x x =时, 21()n n a An B x -=+其中A ,B 的值的求法,用12,a a 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对1n n n ax bx cx d++=+这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数()f x ,若存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x x =是函数()f x 的不动点. 在几何上，曲线()y f x =与曲线y x =的交点的横坐标即为函数()f x 的不动点.一般地,数列{}n x 的递推式可以由公式()1n n x f x +=给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列{}n x ,若其递推式为()1n n x f x +=,且存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x 是数列{}n x 的不动点。
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1:如果关于x的方程ax+b=2 （2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b•••此方程有无数多解，•—-4=0且15-b=0分别解得a=4, b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
4 _ 2g 住W+4 例匕己知实数鮎b 分别满足卩『 〜 和bfm ■求代数式 / 的值*4 _ 2 * * 解析’由于实数2、b 分别满足孑一匚17丿I 和存F+酹7 = 0,于是可知。
从而.我们可以将/和戸看成是方程尸11的两个不等的实根。
不妨设方程（I 啲两个不尊的实根分别为％与耳,_ 2 風、4且7 .也=于是由一无二茨方程韦达定理.可知—1 妁=3.所以 胪3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
初中数学构造法的归纳整理(保证精品)
构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34+的值？1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，1633=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=b a u 的最小值.2．2构造矩形例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2)1(3)1(3+-=+b b ,则 ba a ab b+的值为.例11．已知a<0，b>0，且15152=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
用构造法解题
用构造法解题构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋于几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，若在解题时能灵活运用，可收到事半功倍的效果.本文将结合几个典型的例题谈一谈用构造法解题的规律，以此抛砖引玉.一、数形结合，构造几何意义 例１．求函数xx y cos 2sin 1--=的值域. 分析：联想斜率公式为 1212x x y y k --= ，不妨把函数y 理解为过定点Ｐ( 2 , １ )和动点Ｑ(cos x, sin x )的直线Ｌ的斜率k 的取值范围.而点Ｑ又在圆Ｃ：x 2 + y 2 = 1上，设直线Ｌ的方程为：y －１= k (x －2)，直线Ｌ与圆Ｃ有公共点，由 ⎩⎨⎧-=-=+)2(1122x k y y x 消去y 得：0)44()42()1(2222=-+-++k k x k k x k ，再由 △＝ 0)44)(1(4)42(2222≥-+--k k k k k解得: 340≤≤k ，所以函数的值域为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 例２．求函数1365222+-++-=x x x x y 的最小值. 分析：联想两点间距离公式，可将函数变形为：222)20()3()20()1(++-+-+-=x x y ，理解为Ｍ(x ，0)与Ａ(1，2)和Ｂ(3，－2)的距离之和. 又点Ｍ是x 轴上一动点，也即在x 轴上找一点Ｍ使Ｍ与Ａ的距离和Ｍ与Ｂ的距离之和最小值。
点Ａ和Ｂ分别在x 轴的上、下两侧，连ＡＢ与x 轴交点即为Ｍ，ＡＢ间距离就是函数的最小值，为 ()()52223122=++-注1、要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握. 敢于联想，善于联想是构造法的关键.二、构造平均值不等式例3．求函数y=sin2x cosx 的最大值分析：是乘积的形式，不难想到用基本不等式，可变形为y=2sinx cos 2x ＝2(1－sin 2x)sin x ，式中两个x 的余弦项一个是二次，另一个是一次，其和不是定值，再变形y=2934]sin )sin 1([2sin )sin 1(33222222=-=-x x x x 例4．已知a 、b ∈Ｒ＋，且a+b=1，求2121+++b a 的最大值. 分析：可将21+a 理解为 n m ⋅ ，其中m= a + 21 ，n =1，所以有 21+a 2121++≤a ；同理21+b 2121++≤b ，两式相加得 2121+++b a 223=++≤b a (等号成立的条件是a=b=1/2).若有兴趣，不妨再求 3121+++b a 的最大值. 注2：正确使用不等式求最值的关健是构造即凑定值（各项的和或积是定值），所用技巧一般有乘以一个常数、开平方（或开立方）再平方（或再立方），例3便是一典型例子；等号成立，既是正确解题的基础，也是分析问题的突破口（仔细体会例４及其思考题）.三、构造方程与函数例5． 已知(z －x)2－4(x －y)(y －z)=0，求证x ，y ，z 成等差数列.分析：由已知可知，关于t 的方程(x －y)t 2 + (z －x) t +(y －z)=0有两个相等的实根，易验证t １= t 2 =1是方程的根. 由韦达定理 1=t 1 ·t 2 = yx z y -- ，即x －y ＝y －z ，也即x ，y ，z 成等差数列. 例6．已知：(x+2y)5 + x 5 + 2x+2y=0，求x+y 的值。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。
妙用构造法,巧解数学题
妙用构造法,巧解数学题有时我们在学习数学时会遇到很多棘手的数学题目，很容易把时间浪费在攻克难题上。
因此，我们应该学会妙用构造法巧解数学题。
1. 了解数学考试的核心知识在运用构造法来巧解数学题之前，我们应该要特别注意，自己了解数学考试的核心知识。
我们要掌握一定的基本理论及其它的配套知识，甚至是一些联系因果的定理，以便能够更好的构造出符合要求的模型。
2.明确目标在开始运用构造法解数学题之前，我们首先要明确目标，具体地说，对要求给出的数学问题要进行分析，弄清楚问题，把握关键点，以及大致方法，有了问题的清晰认识之后，就可以采取进一步的措施来实现目标了。
3.分析数学题并寻找对应的构造法我们需要根据问题的性质，判断出问题的类型，比如：几何中的角度判断、三角形求边长和角度等等。
然后再从问题的特点出发，寻求构造法来实现目的，要做到这一点，我们可以先画出图形，根据图形来分析问题，并寻找对应的解决办法。
4.利用构造法注意事项在采用构造法来解决数学问题时，我们特别要引起注意，避免出现构造出来的图形出现错误，因为很多时候，只是因为图形的错误，会导致整个问题的结果出错。
此外，我们在构造出正确的图形后，要根据理论知识，对构造出来的图形进行精确分析，以便得到最终结果。
总结起来，妙用构造法巧解数学题，需要注意以下几点：1. 了解数学考试的核心知识；2. 明确目标；3. 分析数学题并寻找对应的构造法；4. 利用构造法时注意事项。
只有在了解了数学考试的核心知识之后，明确了目标，分析出数学题的性质，寻求出对应的构造法，并且在构造出正确的图形后精确分析，根据考试的要求来及时解决问题，才能妙用构造法巧解数学题。
构造全等三角形的四种技巧
THANKS
感谢您的观看
构造方法二：两角和一边成比例
构造步骤
首先确定两个角和一条包含的边，然后通过作图或拼接的方式构造出两个三角形，使得这两个三角形满足ASA全 等条件，同时保证两角和一边成比例。
示例
假设已知三角形ABC和三角形DEF，其中$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$，$AB/DE = BC/EF$ ，可以通过作图或拼接的方式构造出两个三角形，使得它们满足ASA全等条件，同时保证两角和一边成比例。
构造全等三角形的四 种技巧
汇报人：
202X-12-21
目录
CONTENTS
• 构造SSS全等三角形 • 构造SAS全等三角形 • 构造ASA全等三角形 • 构造AAS全等三角形
01
构造SSS全等三角 形
定义与性质
定义
如果两个三角形的三边分别相等 ，则这两个三角形全等。
性质
SSS全等三角形具有全等三角形的 所有性质，如对应角相等、对应 边相等、面积相等等。
பைடு நூலகம்4
构造AAS全等三角 形
定义与性质
定义
两个三角形中，如果两个角和其中一个角的 对边分别相等，则这两个三角形全等。
性质
AAS全等三角形的性质包括对应角相等、对 应边相等、面积相等等。
构造方法一：两角和一对边相等
描述
在两个三角形中，如果两个角和一个边分别 相等，则可以通过AAS全等条件证明两个三 角形全等。
构造方法一：三边相等
步骤
首先确定两个三角形的三边长度，然 后通过测量或计算确保三边长度分别 相等。
说明
这种方法需要先确定三边的长度，因 此适用于已知三边长度的情况。
构造法解题要义
构造法是一种解题方法，通过构造合适的例子或具体情况来解决问题。
它在数学、物理、工程等领域中广泛应用，并可以帮助理解问题的本质、找到规律和得出结论。
以下是构造法解题的要义：
充分理解问题：首先要充分理解问题陈述，明确问题的要求和限制条件。
了解问题的背景、目标和具体细节，确保对问题的理解正确和完整。
设定假设和条件：在构造法中，需要设定合适的假设和条件。
这些假设和条件应该与问题的要求和限制相一致，同时也需要合理且具有代表性，以便构造出合适的例子或情况。
构造具体例子：根据设定的假设和条件，开始构造具体的例子或情况。
通过选择合适的数值、参数或实际情况，构造出符合问题要求的具体案例。
这些例子可以是简化的特殊情况，也可以是一般性的典型情况。
探索规律和特征：通过对构造的例子进行观察和分析，探索其中的规律和特征。
注意观察变量之间的关系、数值的变化趋势、模式的出现等。
尝试推测可能的规律并进行验证。
归纳总结结论：根据观察和分析的结果，归纳总结出问题的结论。
将观察到的规律和特征推广到一般情况，并给出适用于所有情况的结论。
检验和验证：完成构造法解题后，需要对得出的结论进行检验和验证。
通过运用逻辑推理、数学证明或实验数据验证所得结论的正确性和适用性。
构造法解题的关键在于通过构造具体例子或情况，帮助我们理解问题、找到规律，并得出一般性的结论。
它可以激发创造性思维、培养问题解决能力，并在解决复杂问题时提供有力的思路和方法。
2019-2020年中考数学复习方法技巧专题四：构造法训练含分类汇编解析
三、解答题
பைடு நூலகம்
9．如图 F4－ 6，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
BC，CD，测得 BC＝ 6 m，
CD＝ 4 m，∠ BCD＝ 150°，在 D处测得电线杆顶端 A的仰角为 30°，试求电线杆的高度． ( 结果保留根号 )
图 F4－6
参考答案
1． C [ 解析 ] 以点 O为圆心，以 OA为半径作⊙ O. ∵ OA＝ OB＝ OC，∴点 B， C在⊙ O上．∴∠ AOB＝ 2∠ ACB＝ 60° . 故选 C. 注：此题构造了圆．
A． 1＜ α ＜ β ＜ 2 B ． 1＜ α＜ 2＜ β
C． α ＜ 1＜ β ＜ 2 D ． α ＜ 1 且 β ＞ 2
二、填空题
4．如图 F4－2，六边形 ABCDE的F 六个内角都相等． 若 AB＝ 1，BC＝ CD＝ 3，DE＝2，则这个六边形的周长等于 ________．
图 F4－2 1
程的解．
注：此题构造了二次函数．
39 7. 2 [ 解析 ] 如图，作直径 AE，连结 CE，则∠ ACE＝ 90° .
∵ AH⊥ BC，∴∠ AHB＝ 90° .
∴∠ ACE＝∠ AHB.
∵∠ B＝∠ E，∴△ ABH∽△ AEC.
AB AH
AE·AH
∴ ＝ . ∴ AB＝
.
AE AC
AC
∵ AC＝ 24， AH＝ 18，AE＝ 2OC＝ 26，
4(2
－
1 )
2－
3＝
6.
故选
A.
2
注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．
3． D [ 解析 ] 一元二次方程 ( x－ 1)( x－ 2) ＝ m( m＞ 0) 的两根实质上是抛物线 y＝ ( x－ 1)( x－ 2) 与直线 y＝ m两个交 点的横坐标．如图所示，显然 α ＜1 且 β ＞ 2. 故选 D.
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的基本概念构造法是指通过建立某种结构或模型来解决问题的方法。
在数学中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到问题的解决方案。
构造法主要包括几何构造法、代数构造法、概率构造法、组合数学构造法和数论构造法等多个领域。
通过构造法，我们可以通过建立模型或结构来逐步推导问题的解，从而达到解决问题的目的。
在使用构造法解题时，我们需要根据问题的特点选择适当的构造方法，比如在解决几何问题时，可以通过画图或建立几何结构来推导问题的解；在解决代数问题时，可以通过代数运算或代数结构来建立问题的模型；在解决概率问题时，可以通过概率模型或事件概率的计算来找到问题的解决方案。
构造法是一种灵活多样的解题方法，它在数学中扮演着重要的角色。
通过掌握构造法，我们可以更好地理解数学问题，提高解题效率，同时也可以培养我们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
在接下来的正文中，我们将具体探讨构造法在各个数学领域的运用方式和效果。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法是数学问题解决的一种方法，通过构造出满足题目条件的对象来解决问题。
在解决数学问题的过程中，构造法可以帮助我们更直观地理解问题的本质，并且能够激发我们思维的活跃性，提高问题解决的效率。
构造法在数学研究中被广泛应用，并在许多数学领域取得了重要的成果。
无论是几何、代数、概率、组合数学还是数论等领域，构造法都发挥着重要的作用，为数学领域的发展提供了重要的思路和方法。
构造法在数学教学中也具有重要意义。
通过引导学生运用构造法解决问题，可以帮助他们培养逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中常见且重要的应用之一。
通过构造法，我们可以通过几何图形的绘制和分析来解决各种几何问题，从而深入理解几何知识并提高解题能力。
在解决几何问题中，构造法可以帮助我们找到几何问题的解决方法。
构造法与待定系数法的初中数学解题技巧
构造法与待定系数法的初中数学解题技巧引言在初中数学的学习过程中，我们常常会遇到一些需要通过构造法或待定系数法解决的问题。
构造法和待定系数法是解决数学问题的两种常见方法。
本文将介绍这两种方法的基本思想和应用技巧。
构造法基本思想构造法是通过构造特殊的对象或者具有特定性质的对象，来解决问题的方法。
构造法的基本思想是从已知条件出发，按照问题的要求构造满足条件的对象，从而得到问题的解。
应用技巧构造法常常用于解决一些几何问题。
在构造几何问题中，我们通过绘制图形和利用图形的性质来解决问题。
下面以一道经典的几何问题为例进行说明。
例题：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，<BAD=<CDA，延长AB交CD于点E，连接AC和BD交于点F，证明：EF∥AD。
解析：我们可以通过构造直角三角形来解决这道问题。
首先，我们延长AD和BC使其交于点P，连接CP和DP，并且延长AB和CD分别交于点Q和R，如下图所示：A/ \\/ \\B-----C| || |D-----E由于AD=BC，所以DP=CP。
又因为∠BAD=∠CDA，所以∠BCA=∠ADC。
因此，三角形BCP与三角形ADP是全等的。
根据全等三角形的性质，我们可以得知∠CPA=∠DPA。
由于DP=CP，所以三角形CDP是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们知道∠DPC=∠CPD。
因此，∠DPC=∠CPD=∠CPA=∠DPA。
由于角度相等，所以四边形DCQP是一个平行四边形。
根据平行四边形的性质，我们知道DP∥CQ。
因此，根据平行线的性质，我们可以得知EF∥AD，即所证明的结论。
通过这个例题，我们可以看到构造法的应用技巧，通过构造直角三角形和平行四边形，我们可以得到所求的结果。
待定系数法基本思想待定系数法是通过设定一些未知数（待定系数），并根据已知条件进行求解的方法。
待定系数法的基本思想是通过列方程组，解方程组得到未知数的值，从而得到问题的解。
应用技巧待定系数法常常用于解决代数问题。
初中数学《构造辅助线》4种常用方法
1当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形如图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC 的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。
(4)作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。
②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。
2、由线段和差想到的辅助线(1)遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
截长补短法作辅助线：在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。
(2)对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构造法在初中数学中的应用
所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：
一、构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求
的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形
1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
例4：已知，则x 的取值范围是（）
A 1≤x≤5
B x≤1 C1＜x＜5 D x≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。
如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A。
2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例5：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。
求证：AB＋BD ＝AC
分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。
因此，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即
∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ，△AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。
三、构造函数模型，解数学实际问题
在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。
再利用有关数学知识，解决函数问题。
这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例6：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：
解得：30≤x≤32
∵ x是正整数
∴ x＝30或31或32
∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
（2）由题意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000
∵ y随x的增大而减小
∴当x＝30时，y有最大值，最大值为：＝45000（元）
答：y与x之间的函数关系式为：y＝-500x+60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。
四、构造矛盾法
构造矛盾法即构造反例。
所谓反例就是符合命题条件而又不符合命题结论的例子。
这种例子推倒出命题的矛盾，有力地否定了命题成立的可能性。
例7：设a，b，c都是实数，考虑如下命题：
（1）若a²+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；
（2）若c＞1，且0＜b＜2，则a²+ab+c＞0；
（3）若0＜b＜2，且a²+ab+c＞0，则c＞1；
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确。
对你认为正确的命题给出证明；认为不正确的命题，用反例予以否定。
分析：命题（1）不正确，构造反例如下：
令b=4，c=5，此时a²+ab+c=a²+4a+5=（a+2）² +1＞0且c＞1，满足条件，但结论0＜b＜2不成立。
命题（2）成立。
证明：a²+ab+c=a²+2（0.5b）a+（0.5b）²-（0.5b）²+ c=（a+0.5b）² +(c-0.25b)
因为0＜b＜2，所以 0＜0.25b＜0.5且c＞1，c-0.25b＞0，因此a²+ab+c=（a+0.5b）² +(c-0.25b)＞0. 即命题成立。
命题（3）不成立。
令b=1，c=0.5，此时0＜b＜2，且a²+ab+c=a²+a+0.5=（a+0.5）² +0.25＞0，满足条件，但结论c＞1不成立。
综上所述，构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，，而且也往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙。
在平时教学中，学生在掌握基础知识之余，应加强启发式的教学。
我们可从多角度启发学生思维多变，从而培养学生发散思维。
也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。