(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(三)理

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2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析

2020 年江苏高考数学第二轮复习精典试题
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：专题3 数列第1部分专题3 第2讲

7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________. 解析因为 Sn＝3＋2n，所以 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而 n＝1 时，a1＝S1＝5 不适
合上式，所以 an＝Error!
答案 an＝Error!
1
1
8．(2019·广东深圳适应性考试)在数列{an}中，a1＝2 019，an＋1＝an＋nn＋1(n∈N*)，
2n ＝n2＋1－2n.故选 A
项．
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝( )
nn＋1 A． 2
nn＋1 B．－ 2
nn＋1 C．(－1)n＋1 2
D．以上均不正确
C 解析当 n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－
n 3＋2n－1 2
nn＋1
2 ＝－ 2 ；当 n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)
n－1 [3＋2n－1－1]
2
nn＋1
n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－
2
＋n2＝ 2 .综上可得，原
nn＋1 式＝(－1)n＋1 2 .故选 C 项．
4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a≠0)，则{an}( )
2×3 3 4
n n＋1
则 3Tn＝ 30 ＋30＋31＋…＋3n－3＋3n－2，②
1 1－
3n－1
( ) 1 1
1 n＋1
1 n＋1 15
1＋＋＋…＋
1－
②－①得 2Tn＝6＋ 3 32
3n－2 －3n－1＝6＋ 3 －3n－1＝ 2 －
2n＋5
2·3n－1.

高考数学二轮复习专题检测(三)不等式理解析版

专题检测（三）不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3. 4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x－1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)，因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0， y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3， 52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n 12，因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x ≥1的解集为________．解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x ≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧4x －3x －2≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b＋a ＜0化为－12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0，即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y2＋2x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x， ∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16yx＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16yx，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。

2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题(带答案解析)

………外…………○………学校:_______………内…………○………绝密★启用前2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，………线…………○……………线…………○……5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.6．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x∈时，()3af x x=+，则()f a的值为___________________．7．若将函数()sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x的图象关于x轴对称，则ϕ的最小值为________________.8．在ABCV中，AB=AC=90BAC∠=︒，则ABCV绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.9．已知数列{}n a为等差数列，数列{}n b为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a ab b b a b==-，其中0a>，0b>，则+a b的值为_______________．10．已知点P是抛物线24x y=上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．11．已知x，y为正实数，且2441xy x y++=，则x y+的最小值为________________.12．在平面直角坐标系xOy中，圆()()222:0C x m y r m-+=>.已知过原点O且相互垂直的两条直线1l和2l，其中1l与圆C相交于A，B两点，2l与圆C相切于点D.若AB OD=，则直线1l的斜率为_____________.13．在ABCV中，BC为定长，23AB AC BC+=u u u r u u u r u u u r，若ABCV的面积的最大值为2，则边BC的长为____________．…………订…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.…………外…………………○…………订…………○…………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………………○…………订…………○…………线…………○……()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值. 19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 22．已知a ＞01a a+-2． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.参考答案1．{}1,3 【解析】【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题. 2．5 【解析】【分析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题. 3．14-【解析】【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．325 【解析】【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题. 5．12【解析】【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．0 【解析】【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．2π【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8．【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得. 【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC V 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9．5 【解析】【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可. 【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10【解析】【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==，求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠==.. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 11．8 【解析】【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12．【解析】【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题. 13．2 【解析】【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r ，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 14．11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1xf x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ，由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 15．()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可； ()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题. 16．()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 17．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．()122143x y +=；()2①7；②2. 【解析】【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u r u u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =；综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．()1[]10,28；()24；()312. 【解析】【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()a g x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+，整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=，且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x -=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-，即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-. 【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题. 21．16 【解析】【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 22．证明见解析【解析】【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可．【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2，只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．()135；()29. 【解析】【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24．()14；()2证明见解析. 【解析】【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=，且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=，综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(四)理

综合仿真练(四)(理独)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1. 解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y . 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0. (2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 . 设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －120 14 . B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cosθ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.C ．[选修4－5：不等式选讲](2019·南师附中等四校联考)(基本不等式)已知x >0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y .证明：因为x >0，所以x 3＋2＝x 3＋1＋1≥33x 3×1×1＝3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”．因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”．所以(x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝”．2．(2019·南京三模)平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)及点M (2,0)，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.(1)求p 的值；(2)如图，若l 与x 轴不垂直，设线段AB 的中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上．解：(1)因为直线l 过M (2,0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2,2)，将(2,2)代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1.(2)证明：由(1)知，抛物线的方程为y 2＝2x .易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝k x －2，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则Δ＝4＋16k 2>0，y 1,2＝1±1＋4k 2k，所以y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4. 因为C 为AB 的中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1的方程为y ＝1k. 因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2的方程为y ＝－1k(x －2)(k ≠0)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1k ，y ＝－1k x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1k ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1k ，所以点P 在定直线x ＝1上．3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立； f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

2020届江苏省高考数学二轮复习综合仿真练(三)

32
因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2k2＋1，(xM－xN)2＝4x2＝2k2＋1.
AT·BT 7 2k2＋1 7
所以 MN2 ＝2k2＋1× 32 ＝32.
(3)在 y＝k(x－1)中，令 x＝0，则 y＝－k，所以 P(0，－k)，
―AP→
―TB→
从而＝(－x1，－k－y1)，＝(x2－1，y2)，
{ } n
∴数列 n＋2 019 具有性质 P;
(3)设正项等比数列{bn}的公比为 q，q>0 且 q≠1，则 bn＝b1·qn－1.
∵数列{bn}具有性质 P
1 ∴存在不相等的正整数 i，j(i<j)，i≠n，j≠n，使得 b1＝b1·qi－1·b1·qj－1，即 b1＝qi＋j－2，且 m≥3
311 所以 m·n＝4－4＝2.
( ) 3
1
1
π1
2x－
(2)m·n＝ 3cos xsin x－cos2x＝ 2 sin 2x－2cos 2x－2＝sin
6 －2，
( ) 3 1
π 1 31
2x－
若 m·n＝ 3 －2，则 sin
6 －2＝ 3 －2，
( )π 3
2x－即 sin 6 ＝ 3 ，
1m
即2≤x2＋ln x≤e 在[1，e]上恒成立，
x2
即 2 －x2ln x≤m≤x2(e－ln x)在[1，e]上恒成立．
x2
设 p(x)＝ 2 －x2ln x，
则 p′(x)＝－2xln x≤0 在[1，e]上恒成立，
1 所以 p(x)在[1，e]上单调递减，所以 m≥p(1)＝2.
x2 y2 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C： 8 ＋b2＝1 经过点(b,2e)，其中 e 为

(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(一)

综合仿真练(一)1.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .2．(2019·南通市一中模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，部分自变量、函数值如下表.xπ3 7π12 ωx ＋φ 0 π2 π3π22π f (x )24求：(1)函数f (x )的单调增区间．(2)函数f (x )在(0，π]内的所有零点．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π3ω＋φ＝3π2，7π12ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝5π6.又⎩⎪⎨⎪⎧A sin 0＋B ＝2，A sin π2＋B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝2.∴ f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2由－π2＋2k π≤2x ＋5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π (k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝－1.∵x ∈(0，π]，∴5π6<2x ＋5π6≤2π＋5π6，∴2x ＋5π6＝3π2，解得：x ＝π3.∴函数f (x )在(0，π]内的零点为π3.3．(2019·扬州四模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M 的圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－78，0，半径为r ，点P 为椭圆上的一点，若圆M 与直线PA ，PF 都相切，求此时圆M 的半径r .解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝14，a ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝1.∴b 2＝15，∴椭圆C 的方程为：x 216＋y 215＝1.(2)由题意得：A (－4,0)，F (1,0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 2016＋y 2015＝1①当x 0＝1时，直线PF ：x ＝1，与圆M 相切，则R ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＝158，不妨取P ⎝⎛⎭⎪⎫1，154，直线PA ：y ＝1541－－4(x ＋4)，即3x －4y ＋12＝0，∴点M 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＋1232＋42＝158＝r ∴直线PF 与圆M 相切∴当r ＝158时，圆M 与直线PA ，PF 都相切．②当x 0＝－4时，点P 与点A 重合，不符合题意； ③当x 0≠1且x 0≠－4时，直线PA ：y ＝y 0x 0＋4(x ＋4)，PF ：y ＝y 0x 0－1(x －1)化简得：PA ：y 0x －(x 0＋4)y ＋4y 0＝0，PF ：y 0x －(x 0－1)y －y 0＝0∵圆M 与直线PA ，PF 都相切∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0＋4y 0y 20＋x 0＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0－y 0y 20＋x 0－12＝r∵y 0≠0，又y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016代入化简得：x 20－122x 0＋121＝0，解得：x 0＝1或x 0＝121∵－4<x 0<4且x 0≠1 ∴无解．综上：r ＝158.4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即y ＝kIx2(k 为比例系数)．经测量，在弧AB 的中点C 处的照度为130.(C 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P 安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点，所以OC ⊥AB ，AC ＝BC ＝10 2. 所以C 处的照度为y ＝4k 1022＋9k 1022＝130，解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ，则PA ⊥PB ，由AB ＝20，得PB ＝400－x 2(0＜x ＜20)．所以点P 处的照度为y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2(0＜x ＜20)．所以y ′＝－16 000x3＋36 000x400－x22＝4 000×9x 4－4400－x22x 3400－x 22＝20 000×x 2－160x 2＋800x 3400－x 22.由y ′＝0，解得x ＝410. 当0＜x ＜410时，y ′＜0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x2为减函数；当410＜x ＜20时，y ′＞0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2为增函数．所以x ＝410时，y 取得极小值，也是最小值.所以新增光源P 安装在半圆弧AB 上且距A 为410(距B 为415)的位置． 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围．解：(1)法一：因为f ′(x )＝a －3－2x(x >0),当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞3时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2a －3， f (x )在0，2a －3上单调递减，由f ′(x )＞0，得x ＞2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞上单调递增. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，所以a ＞3且2a －3≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，所以f ′(x )＝a －3－2x≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥3＋2x在(1，＋∞)上恒成立，又当x ＞1时，3＋2x＜5, 所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]，所以g ′(x )＝a －2x.①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2x≥2，所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0，即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减；由g ′(x )＞0，得x ＞2a，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1上单调递增．所以，存在2a∈(0,1)，使得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)．因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)由已知可得λ≤n n ＋12n －1，令f (n )＝n n ＋12n －1，则f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝52，f (5)＝158，下面研究f (n )＝n n ＋12n －1的单调性，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋1n ＋22n－n n ＋12n －1＝n ＋12－n2n，所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )，即f (n )单调递减.因为M 中有3个元素，所以不等式λ≤n n ＋12n －1解的个数为3，所以2＜λ≤52，即λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.(3)设存在等差数列{b n }使得条件成立，则当n ＝1时，有a 1b 1＝22－1－2＝1，所以b 1＝1. 当n ＝2时，有a 1b 2＋a 2b 1＝23－2－2＝4，所以b 2＝2. 所以等差数列{b n }的公差d ＝1，所以b n ＝n . 设S ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1，S ＝1·n ＋2(n －1)＋22(n －2)＋…＋2n －2·2＋2n －1·1，③所以2S ＝2·n ＋22(n －1)＋23(n －2)＋…＋2n －1·2＋2n·1，④④－③，得S ＝－n ＋2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋21－2n1－2＝2n ＋1－n －2，所以存在等差数列{b n }，且b n ＝n 满足题意．。

2020版高考数学二轮复习教程仿真模拟卷三理

仿真模拟卷三本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{（x，y）｜x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为( ）A．1 B．5 C．6 D．无数个答案C解析由题得A＝｛（0,0)，(0,1），（0，2)，（1，0),（1，1)，（2,0）｝，所以A中元素的个数为6。

2．已知i是虚数单位，错误!是z的共轭复数，若z（1＋i）＝错误!，则错误!的虚部为( ）A.错误!B．－错误!C。

错误!i D．－错误!i答案A解析由题意可得z＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝－错误!i－错误!，则错误!＝－错误!＋错误!i,据此可得错误!的虚部为错误!。

3．“0<m<2”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆"的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析方程错误!＋错误!＝1表示椭圆，即错误!⇒0〈m<2且m≠1，所以“0<m<2"是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．若a〉b,则（）A．ln （a－b）>0 B．3a<3bC．a3－b3〉0 D．｜a|〉|b|答案C解析取a＝2,b＝1，满足a〉b，但ln （a－b）＝0,则A错误;由9＝32〉31＝3，知B错误;取a＝1，b＝－2,满足a〉b，但｜1｜〈｜－2｜，则D错误；因为幂函数y＝x3是增函数，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正确．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．30 B．31 C．62 D．63答案B解析由流程图可知该算法的功能为计算S＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S＝1＋21＋22＋23＋24＝1×1－251－2＝31.6.错误!8的展开式的常数项为( ）A．－56 B．－28 C．56 D．28答案D解析错误!8展开式的通项公式为T r＋1＝C错误!·x8－r·错误!r＝C 错误!·（－1）r·x错误!，令8－错误!r＝0，得r＝6，∴所求常数项为C错误!·（－1)6＝28。

【2020最新】数学高考江苏专版二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(三)-含解析

教学资料范本【2020最新】数学高考江苏专版二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练（三）-含解析编辑：__________________时间：__________________1．已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．(1)当x＝时，求m·n的值；(2)若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值．解：(1)当x＝时，m＝，n＝，所以m·n＝－＝. (2)m·n＝cos xsin x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，若m·n＝－，则sin－＝－，即sin＝，因为x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝，则cos 2x＝cos＝cos×cos－sinsin＝×－×＝.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.证明：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD.又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又AF ⊂平面PAD ，所以AB⊥AF. 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，AB ＝1米，如图所示．小球从A 点出发以大小为5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A 到F 所需时间为T.(1)试将T 表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)求时间T 最短时cos θ的值．解：(1)如图，过O 作OG⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝＝，EF ＝1＋，＝θ，所以T(θ)＝＋＝＋＋，θ∈.(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈，T′(θ)＝－＝6sin2 θ－5cos θ30vsin2 θ＝－，记cos θ0＝，θ0∈，则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：θ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，θ0θ0 ⎝⎛⎦⎥⎤θ0，3π4T ′(θ) － 0 ＋T (θ)极小值故当cos θ＝时，时间T 最短．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：＋＝1经过点(b,2e)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，所以＋＝1.因为e2＝＝，所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，＋＝1，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.因为MN∥l，所以＝，因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝.所以＝×＝. (3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而＝(－x1，－k－y1)，＝(x2－1，y2)，∵＝，∴－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝，①由(2)知x1＋x2＝，②联立①②得x1＝，x2＝.又x1x2＝，∴50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍去)．又因为k＞0，所以k＝. 5．定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．(1)求数列1，，，，的等比子列；(2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1.①试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；②若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．解：(1)显然从数列中抽取四项或五项时，不存在等比子列，当抽取三项时，设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k(1≤k≤3，k∈N*)，当k＝2时，①设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋＋2,当且仅当n＝1时，m∈N*，此时m＝4，所求等比子数列为1，，；②设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋1＋－2∉N*;当k＝3时，数列1，，；，，；，，均不成等比数列；当k＝1时，显然数列1，，不成等比数列．综上，所求等比子数列为1，，. (2)①形如：a1，－a1，a1，－a1，a1，－a1，…(a1≠0，q＝－1)均存在无穷项，等差子数列： a1，a1，a1，… 或－a1，－a1，－a1.②设{ank}(k∈N*，nk∈N*)为{an}的等差子数列，公差为d，当|q|>1时，|q|n>1，取nk>1＋log|q|，从而|q|nk－1>，故|ank＋1－ank|＝|a1qnk＋1－1－a1qnk－1|＝|a1||q|nk－1·|qnk＋1－nk－1|≥|a1||q|nk－1(|q|－1)>|d|，这与|ank＋1－ank|＝|d|矛盾，故舍去．当|q|<1时，|q|n<1，取nk>1＋log|q|，从而|q|nk－1<，故|ank＋1－ank|＝|a1||q|nk－1|qnk＋1－nk－1|≤|a1||q|nk－1||q|nk＋1－nk＋1|<2|a1||q|nk－1<|d|，这与|ank＋1－ank|＝|d|矛盾，故舍去．又q≠1，故只可能q＝－1，结合①知，q的所有可能值为－1.6．已知函数f(x)＝＋xln x(m>0)，g(x)＝ln x－2.(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)设函数h(x)＝f(x)－xg(x)－，x>0.若函数y＝h(h(x))的最小值是，求m的值；(3)若函数f(x)，g(x)的定义域都是[1，e]，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点．求m的取值范围．解：(1)当m＝1时，f(x)＝＋xln x，f′(x)＝－＋ln x＋1.因为f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝0，所以当x>1时，f′(x)>0；当0<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．(2)h(x)＝＋2x－，则h′(x)＝2－＝，令h′(x)＝0，得x＝，当0<x< 时，h′(x)<0，函数h(x)在上单调递减；当x> 时，h′(x)>0，函数h(x)在上单调递增．所以h(x)min＝h＝2－.①当(2－1)≥，即m≥时，函数y＝h(h(x))的最小值h(2－)＝＝，即17m－26＋9＝0，解得＝1或＝(舍去)，所以m＝1.②当0<(2－1)< ，即<m<时，函数y＝h(h(x))的最小值h＝(2－1)＝，解得＝(舍去)．综上所述，m的值为1.(3)由题意知，kOA＝＋ln x，kOB＝.考虑函数y＝，因为y′＝>0在[1，e]上恒成立，所以函数y＝在[1，e]上单调递增，故kOB∈，所以kOA∈，即≤＋ln x≤e在[1，e]上恒成立，即－x2ln x≤m≤x2(e－ln x)在[1，e]上恒成立．设p(x)＝－x2ln x，则p′(x)＝－2xln x≤0在[1，e]上恒成立，所以p(x)在[1，e]上单调递减，所以m≥p(1)＝.设q(x)＝x2(e－ln x)，则q′(x)＝x(2e－1－2ln x)≥x(2e－1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立，所以q(x)在[1，e]上单调递增，所以m≤q(1)＝e.综上所述，m的取值范围为.。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(六)理

综合仿真练(六)(理独)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．C ．[选修4－5：不等式选讲](2019·南师附中、天一中学四月联考)已知a ，b ，c 是正实数，且a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求证：a ＋b ＋c ≤11.证明：(a 2＋2b 2＋3c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝[a 2＋(2b )2＋(3c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332，由柯西不等式得[a 2＋(2b )2＋(3c )2]·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332≥(a ＋b ＋c )2，即11≥(a ＋b ＋c )2，因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋b ＋c ≤11，当且仅当a 1＝2b 22＝3c 33，即a ＝2b ＝3c ，即a ＝61111，b ＝31111，c ＝21111时等号成立．2.(2019·南师附中等四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，过点P (m,0)(m ≠0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点Q ，设PA ―→＝λQA ―→，PB ―→＝μQB ―→(λ，μ∈R )．(1)当Q 为抛物线C 的焦点时，直线l 的方程为y ＝13x ＋1，求抛物线C 的标准方程；(2)求证：λ＋μ为定值．解：(1)当Q 为抛物线C 的焦点时，直线l 的方程为y ＝13x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，即Q (0,1)，∴p2＝1，p ＝2， ∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由PA ―→＝λQA ―→，PB ―→＝μQB ―→(λ，μ∈R )，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－m ＝λx 1，x 2－m ＝μx 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x 1－mx 1，μ＝x 2－mx2，∴λ＋μ＝x 1－m x 1＋x 2－m x 2＝2x 1x 2－m x 1＋x 2x 1x 2，易知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y ＝k (x －m )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py p >0，y ＝k x －m ，得x 2－2pkx ＋2pkm ＝0，Δ>0，解得x ＝pk ±p 2k 2－2pkm ，x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝2pkm ，故λ＋μ＝2x 1x 2－mx 1＋x 2x 1x 2＝4pkm －2pkm2pkm＝1，故λ＋μ为定值1.3．(2019.南师附中模拟)已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)对任意正整数n ，a n 小数点后第一位数字是多少？请说明理由．解：(1)a 1＝12，a 2＝712，a 3＝3760(2)a 1，a 2小数点后第一位数字均为5，a 3小数点后第一位数字为6 下证：对任意正整数n (n ≥3)，均有0.6<a n <0.7，注意到a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋12n ＋2>0故对任意正整数n (n ≥3)，有a n ≥a 3>0.6下用数学归纳法证明：对任意正整数n (n ≥3)，有a n ≤0.7－14n①当n ＝3时，有a 3＝3760＝0.7－112＝0.7－14×3≤0.7－14×3，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，命题成立，即a k ≤0.7－14k则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12k ＋12k ＋2≤0.7－14k ＋12k ＋12k ＋2∵14k －12k ＋12k ＋2－14k ＋1＝14k k ＋1－14kk ＋1＋2k ＋2>0∴14k－12k ＋12k ＋2>14k ＋1∴a k ＋1≤0.7－14k＋12k ＋12k ＋2≤0.7－14k ＋1∴n ＝k ＋1时，命题也成立；综合①②，任意正整数n (n ≥3)，a n ≤0.7－14n.由此，对正整数n(n≥3)，0.6<a n<0.7，此时a n小数点后第一位数字均为6.所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，a n小数点后第一位数字均为6.。

江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析

江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____．【答案】3﹣4i 【解析】【分析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-．故答案为：3﹣4i ．【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2.已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】易得A∪B＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A∪B)＝{5}．3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．【答案】30 【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30．故答案为：30．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【答案】25【解析】【分析】计算si nα255y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=，∴sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．【答案】28 【解析】【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈是 4 4+2 第二圈是 7 4+2+8 第三圈是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28故答案为：28．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β；其中正确命题的序号为_____．【答案】④ 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8.已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____．【答案】-2 【解析】【分析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣()4a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0，故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣()4a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭4，当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为102F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、202F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【答案】5【解析】【分析】根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到12PF PF ==算得到答案.【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═5，sin ∠PF 1F 2═5，∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得12PF PF ==，可得12PF PF -=∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____．【答案】14【解析】【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=．故答案为：14．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】2a ≤ 【解析】试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 考点：函数单调性12.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3π，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．【答案】22⎣⎦，【解析】【分析】计算得到|a b +|=27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2c=，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（a c -）•（b c -）＝0 可得 2c =（a b +）•c a b -⋅=|a b +|•|c |cosα﹣1×2cos3π=|a b +|•|c |cosα﹣1，α为a b +与c 的夹角．再由 ()222a ba b +=++2a •b =1+4+2×1×2cos3π=7 可得|a b +|=∴27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2c=．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα2c≤1，即27c -|c |+1≤0，解得2≤|c |72≤，故答案为⎣⎦．【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____．【答案】3 【解析】【分析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0），联立方程得到B（22221a k a k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0）由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+），因此AB ==22221a k a k+，同理可得：AC =22221a kak+.∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC =•44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+. ∵t 1k k =+≥2，∴S △ABC442(1)a a a ≤=-.2=，即t 21a a-=时，△ABC 的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =-. 解之得a ＝3或a 316=.∵a 3297+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.设f （x ）＝e tx（t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．【答案】2e【解析】【分析】计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2te t =，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e te t r-==-，∴r ＝t 1t -，即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t），∴△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t -=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2e ．故答案为：2e ．【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值；（2）求边c 的长. 【答案】（1）10sin 10B = （2）13c = 【解析】【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 310a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sin 1010A B A B -=-= ，所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010=⨯-⨯= . (2)因为sin 310sin a A b B ==，且5b = ，所以310a = ，又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+=-，则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以 13c = .16.如图，四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：VA ∥平面BDE ；（2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE ，证明VA ∥OE 得到答案.（2）证明VO ⊥BD ，BD ⊥AC ，得到BD ⊥平面VAC ，得到证明. 【详解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE ，又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊄平面BDE ，所以VA ∥平面BDE ；（2）因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO ⊥BD ，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a=【解析】【分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m-=，计算得到答案.（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.（3）l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以42955m-=，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a512＞，所以实数a的取值范围是（512+∞，）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为1a -，l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得34a=．由于35412⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，，故存在实数34a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？【答案】（1）3m；（2）当BP为202103t=时，α+β取得最小值．【解析】【分析】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据()2tan CAD tan CAE∠=∠232010030x x--=，解得答案.（2）设BP＝t，则(1030103CP t t=＜＜，故()210103103200ttant tαβ+=-+-()2103103200tf tt t+=-+-，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x --=，解之得，x =x =（舍），（2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-，令f '（t ）＝0，因为0t ＜＜t =当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值，因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当t =-时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2na 的前n 项和为T n，且()243n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2xa n +1，2ya n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”．【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明. （3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2xa n +1，2ya n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-，而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2；（2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④， ④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N *），又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1，故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证．【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.20.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<．（1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间；（2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<< 【解析】【详解】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(1-+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<< 试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(1-+；（2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，22321()()()0f x x x x x -'=-<，()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减，所以231222x x x x αβ++<<<．考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦．【答案】y ＝2sin 2x ．【解析】【分析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ．【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力. [选修4-4：极坐标与参数方程] 22.已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16 【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为222r d -得到答案. 【详解】（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13sin cos 62ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1362y x -=，即3120x y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为22216r d -=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度．【答案】（1）23015．（22．【解析】【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =（﹣1，0，2），CP =（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1）， BE =（﹣1，0，2），CP =（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ155BE CP BE CP⋅===⋅，∴异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15．（2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ）， AP =（0，2λ，2﹣2λ），AC =（2，2，0），设平面APC 的法向量n =（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取x ＝1，得n =（1，﹣1，222λλ-），平面ADP 的法向量m =（1，0，0）， ∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为， ∴|cos m n ＜，＞|2(m n m n⋅===⋅+ 解得12λ=，∴P （0，1，1），∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）412a +，ξ的分布列为 ξ123P12(1－a)212(1－a 2)12(2a －a 2)22a（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P (ξ＝1)＝11C ·122C (1－a)2＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)；P(ξ＝3)＝11C·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a ＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a -；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a -.由2(1)0,12{0,21202a a a a-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.。

江苏地区南京市,盐城市2020年度高三学年第二次模拟考试数学试题含附加题(纯word解析版)

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A ∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。

5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3af x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(an}为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a ，a2，a 3}={b 1,b2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PFPA的最小值为______.111.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C: (x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC +=，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB. (1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B在线段AC上,且BD,BE 均与圆C相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧(圆DE记∠CBD为θ.C上实线部分)上再修建栈道.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长; ②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点 (1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值; (2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n ≥2),使得2nnT a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=若直线1交曲线C于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X的数学期望不超过150元,求m的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合An={1,2,…n},n∈N*,n≥2,将A n的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M1,M2,…,M m),其中m=2n.记集合Mk中元素的个数为ak,k∈N*,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n ≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A B ＝．答案：{1，3} 考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为．答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意，当0x >时，21x=-，该等式无解．故14x =-．4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生个．答案：325考点：频率分布直方图解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为．答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+， ∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13af f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=．7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ(ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为．答案：2π考点：三角函数的图像与性质解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为．答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5． 10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠，当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小，令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为．答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．答案：考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=，tan ∠COB ＝tan ∠OCD∴直线l 1的斜率为5±．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +＝3BC ．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=， ∴AB 2AC +＝3BC 可转化为33AE BC 22a ==，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =，a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2．方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减，当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点；当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ，则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减，∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0， ∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝4π．（2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA 2425sinC ＝sin(A ＋B)＝50∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)，∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α) 在△ADC 中，由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE ．记∠CBD 为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，DE (2)12πθπθ=+⋅=+12()32sin tan f θπθθθ=-+++当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：2213x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN ，则有00001y y x x ⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN ＝7，设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心，则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1，II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=，则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d =，综上，当k ＝0时，min 2d =．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增，所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-，∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()a g x x'=，可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上，可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aa a x--=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩；（2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n in i n n naT a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=，故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．。

江苏专用2020高考化学二轮复习第三板块考前巧训特训第二类非选择题专练“5+1”增分练四

“5＋1”增分练(四)16．(12分)(2019·南京、盐城一模)NaH2PO2(次磷酸钠)易溶于水，水溶液近中性，具有强还原性，可用于化学镀银、镍、铬等。

一种利用泥磷(含P4和少量CaO、Fe2O3、Al2O3、CaCl2等)为原料制备NaH2PO2·H2O的工艺流程如下：已知P4与两种碱的反应主要有：Ⅰ.2Ca(OH)2＋P4＋4H2O===2Ca(H2PO2)2＋2H2↑Ⅱ.4NaOH＋P4＋8H2O===4NaH2PO2·H2O＋2H2↑Ⅲ.4NaOH＋P4＋2H2O===2Na2HPO3＋2PH3↑Ⅳ.NaH 2PO2＋NaOH===Na2HPO3＋H2↑(1)尾气中的PH3被NaClO溶液吸收生成NaH2PO2和NaCl的离子方程式为___________________________________。

(2)“反应”阶段，在温度和水量一定时，混合碱总物质的量与P4的物质的量之比[n(碱)/n(磷)]与NaH2PO2产率的关系如图所示。

当n(碱)/n(磷)>2.6时，NaH2PO2的产率随n(碱)/n(磷)的增大而降低的可能原因是__________________________________________。

(3)常温下通CO2“调pH”应至溶液的pH约为________，滤渣2主要成分为____________(填化学式)。

(4)“过滤2”的滤液须用Ag2SO4、Ba(OH)2及Na2S溶液除去其中Cl－及Fe2＋等，其中加入的Ag2SO4溶液不宜过量太多，其主要原因__________________。

(5)用NiCl2与NaH2PO2溶液化学镀Ni，同时生成H3PO4和氯化物的化学方程式为______________________________________________。

解析：(1)根据题意可知，PH3与NaClO反应生成NaH2PO2和NaCl，即PH3被 ClO－氧化生成H2PO－2和Cl－，PH3中P为－3价，H2PO－2中P为＋1价，化合价升高了4，ClO－中Cl为＋1价，氯元素化合价降低了2，且NaClO溶液呈碱性，根据氧化还原反应的配平原则，得到：PH3＋2ClO－＋OH－===H2PO－2＋2Cl－＋H2O；(2)由反应4NaOH＋P4＋8H2O===4NaH2PO2·H2O＋2H2↑、NaH2PO2＋NaOH===Na2HPO3＋H2↑可知，过量的碱与NaH2PO2继续反应生成Na2HPO3，因此当n(碱)/n(磷)>2.6时，NaH2PO2的产率随n(碱)/n(磷)的增大而降低，可能的原因是过量的碱将NaH2PO2转化为Na2HPO3；(3)常温下通CO2“调pH”，CO2与过量的Ca(OH)2反应生成CaCO3，与NaAlO2溶液反应生成Al(OH)3和NaHCO3，因此溶液pH应调节至约为7，滤渣2主要成分为 CaCO3和Al(OH)3；(4)过滤后的滤液用Ag2SO4除去其中Cl－、Ba(OH)2除去SO24－、Na2S溶液除去Fe2＋等，其中加入的Ag2SO4溶液不宜过量太多，即Ag＋过量，其主要原因是过量的Ag＋会氧化H2PO－2；(5)NiCl2与NaH2PO2反应生成Ni、H3PO4和氯化物，NiCl2中Ni为＋2价降低到0价，化合价降低了2，NaH2PO2中P为＋1价，H3PO4中P为＋5价，化合价升高了4，根据氧化还原反应的配平原则，得到：2NiCl2＋NaH2PO2＋2H2O===2Ni↓＋H3PO4＋NaCl＋3HCl。

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综合仿真练(三)(理独)
1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]
设a ，b ∈R .若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直
线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．
解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3 b 7－a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，
由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
7b －91＝0，27＋b 7－a
－1－91＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝13，
∴实数a ，b 的值分别为2,13.
法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′， ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，
由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0， ∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.
∴实数a ，b 的值分别为2,13. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4，曲线C 的方程为
ρ＝r (r >0)．
(1)求直线AB 的直角坐标方程；
(2)若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．
解：(1)分别将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4转化为直角坐标为A (0,4)，B (－2，－2)，
所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.
(2)曲线C 的方程为ρ＝r (r >0)，其直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)．因为直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，所以直线与圆相切，因为圆心到直线AB 的距离为4
32＋－1
2
＝210
5，所以r 的值为210
5.
C ．[选修4－5：不等式选讲]
已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a
>a b
. 证明：∵b a
>0，a b
>0，∴要证b a
>a b
，只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a
，
构造函数f (x )＝ln x
x
，x ∈(e ，＋∞)．
则f ′(x )＝1－ln x x
2
，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的，所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln a a
，故b a >a b 得证．
2．(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A ，B ，C 三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A ，B ，C 三处投中的概率均分别为12，13，14
.
(1)设X 表示甲运动员投中的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率．解：(1)根据题意可知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14
＝14；
P (X ＝1)＝12×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－12×13×⎝
⎛⎭⎪⎫
1－14＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－13
×14＝1124
；
P (X ＝2)＝12×1
3
×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－12×13×14
＋12×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－13
×14＝14
；
P (X ＝3)＝12×13×14＝124
.
所以X 的分布列为
所以E (X )＝0×14＋1×24＋2×4＋3×24＝12.
(2)设Y 表示乙运动员投中的个数，
由(1)可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14，P (Y ＝3)＝1
24.
所以P (X ＝2，Y ＝3)
＝P (X ＝3，Y ＝2)＝14×124＝1
96
，
P (X ＝3，Y ＝3)＝124×124＝
1
576
，
所以P (X ＋Y ≥5)＝P (X ＝2，Y ＝3)＋P (X ＝3，Y ＝2)＋P (X ＝3，Y ＝3)＝13
576.
所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为13
576
.
3．设P (n ，m )＝∑k ＝0
n
(－1)k C k
n
m
m ＋k
，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *
.
(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；
(2)对∀m ∈N *
，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．
解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0
n
(－1)k C k
n
11＋k
＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1
n ＋1＝1n ＋1
，又Q (n,1)＝C 1
n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.
(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0
n
(－1)k C k
n
m
m ＋k
＝1＋∑k ＝1
n －1
(－1)k
(C k
n －1＋C k －1
n －1)
m
m ＋k
＋(－1)
n
m
m ＋n
＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋∑k ＝1n －1
－1k C k n －1
m m ＋k ＋⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤∑k ＝1
n
－1k C
k －1
n －1
m m ＋k ＝∑k ＝0
n －1
(－1)k C
k n －1
m
m ＋k
＋∑i ＝1
n
(－1)k C k －1
n －1
m
m ＋k
＝P (n －1，m )＋∑k ＝1
n
(－1)k C k －1
n －1
m
m ＋k
＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k
＝P (n －1，m )－m n
P (n ，m ) 即P (n ，m )＝
n
m ＋n
P (n －1，m )，由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1
C n n ＋m
，
又Q (n ，m )＝C n
n ＋m ，
所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1为定值．。