第四章 平面向量与复数第4课时 复数
平面向量的极坐标和复数形式
平面向量的极坐标和复数形式平面向量是数学中重要的概念之一，在解决各种几何和物理问题时都起着重要作用。
为了更方便地描述和计算平面向量，人们引入了极坐标和复数形式的表示方法。
本文将探讨平面向量的极坐标和复数形式，分析它们的特点和应用。
一、极坐标表示法1. 极坐标系简介在平面直角坐标系中，我们通常用x轴和y轴来表示平面上的点。
然而，在描述向量时，使用极坐标表示法更为方便。
极坐标系由极轴和极径组成，其中极轴是一条过原点的直线，极径则是从原点到点P 的有向线段。
2. 极坐标的表示方式对于点P(x, y)的极坐标表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为极轴与OP的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：x = rcosθy = rsinθ根据这些关系，我们可以将给定的平面向量转换为极坐标形式。
3. 平面向量的极坐标形式对于平面向量AB，它的起点为原点O，终点为点B(x, y)。
我们可以得到以下关系：→→→AB = x i + y j = r(cosθ i + sinθ j) = r∠θ其中r为向量AB的模长，θ为向量AB与x轴的夹角。
这就是平面向量的极坐标形式。
二、复数表示法1. 复数的定义复数是由实数部分和虚数部分组成的数，一般可以表示为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数可以看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
2. 平面向量与复数的关系在平面上，向量可以表示为由原点出发的有向线段，而复数也可以看作是由原点出发的有向线段。
因此，我们可以将平面向量与复数进行对应。
3. 平面向量的复数形式对于平面向量AB，通过将其坐标表示为复数形式，我们可以得到：→→AB = x i + y j = x + yi其中x为向量AB的x坐标，y为向量AB的y坐标。
这就是平面向量的复数形式。
三、应用案例1. 极坐标和复数形式的互相转换通过极坐标和复数形式的转换，可以简化向量的运算和描述。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( ) A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； [解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B ．－126C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例sin α)，b ＝(cos ，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0. [试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2. 3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：选D 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二 节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组 基底 ．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表 示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现， 难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。
通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。
本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。
比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。
它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。
3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。
5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。
6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。
复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。
3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。
如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。
人教版高中数学新教材详细目录
人教版高中数学新教材详细目录本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2019年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）第三章函数概念与性质（12课时）第四章指数函数与对数函数（16课时）第五章三角函数（23课时）必修（第二册）（共计69课时）第六章平面向量及其应用（18课时）第七章复数（8课时）第八章立体几何初步（19课时）第九章统计（13课时）第十章概率（9课时）选择性必修（第一册）（共计43课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）第二章直线和圆的方程（16课时）第三章圆锥曲线的方程（12课时）选择性必修（第二册）（共计30课时）第四章数列（14课时）第五章一元函数的导数及其应用（16课时）选择性必修（第三册）（共计35课时）第六章计数原理（11课时）第七章随机变量及其分布（10课时）第八章成对数据的统计分析（9课时）详细章节内容高中数学新教材目录高中第一册第一章集合与常用逻辑用语 (4)集合的概念 (5)集合间的基本关系 (10)集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)充分条件与必要条件 (20)全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)等式性质与不等式性质 (40)基本不等式 (47)二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)指数 (107)指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)任意角和弧度制 (171)三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)诱导公式 (191)三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)函数y=Asin(ωx+φ) (234)三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)高中第二册第六章平面向量及其应用 (4)平面向量的概念 (5)平面向量的运算 (10)平面向量基本定理及坐标表示 (28)平面向量的应用 (41)复习参考题6 (62)数学探究用向量法研究三角形的性质 (66)第七章复数 (70)复数的概念 (71)复数的四则运算 (78)*复数的三角表示 (86)复习参考题7 (97)第八章立体几何初步 (99)基本立体图形 (100)立体图形的直观图 (110)简单几何体的表面积与体积 (117)空间点、直线、平面之间的位置关系 (127)空间直线、平面的平行 (136)空间直线、平面的垂直 (149)复习参考题8 (172)第九章统计 (175)随机抽样 (176)用样本估计总体 (195)阅读与思考大数据 (220)统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (221)复习参考题9 (225)第十章概率 (228)随机事件与概率 (229)事件的相互独立性 (249)频率与概率 (254)复习参考题10 (266)新旧教材的异同普通高中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。
数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)
1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？ 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． 跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)， 则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 A解析 由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求参数 答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5， 所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4， 又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求复数 答案 D解析 设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模答案 2解析 由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)， 因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0， 解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点 复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。
复数与平面向量的应用知识点总结
复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。
一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。
2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。
共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。
3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。
4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。
欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。
二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。
平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。
减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。
2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。
数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。
3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。
4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。
备战2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)第4讲 平面向量与复数
第4讲 平面向量与复数一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n - B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n +【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ．3．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠， ∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.6．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（ ）A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +. 【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D8．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1-C ．13-+D ．13-【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+-故选 ：C 10．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z + 故选：D.11．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A 【解析】 【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A12．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A.13．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.14．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.15．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【解析】【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z . 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.16．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】 由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 二、多选题17．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α==，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 三、双空题18．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【答案】 1 1120【解析】 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.19．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】 0 3【解析】 【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=. 故答案为：0；3. 四、填空题20．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．21．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________． 【答案】34-##0.75-【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.22．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP⋅的最小值为________ 【答案】78【解析】【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()22,,0,222M C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0P x ，22x -≤≤，则(2,11MP CP x x x x x ⎛⎛⋅=⋅=+=+ ⎝⎭⎝⎭，当x =时，()2min718MP CP ⋅=+=⎝⎭故答案为：78.23．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 【答案】92- 【解析】 【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-.24．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==， 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．25．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=∴32b =.故答案为： 26．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-. 【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】 ()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+, (),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 27．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=. 故答案为：85.。
高中数学-平面向量与复数课时训练
第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算一、 填空题1. 下列命题中正确的是________．(填序号) ① 单位向量的模都相等;② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; ③ 若a ,b 满足|a|＞|b|且a 与b 同向,则a ＞b ; ④ 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ⑤ 对任意非零向量a ,b ,必有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 答案：①④⑤解析：单位向量的模均为1,故①正确;共线包括同向和反向,故②不正确;向量不能比较大小,故③不正确;根据向量的表示,知④正确;由向量加法的三角形法则知⑤正确．2. 若菱形ABCD 的边长为2,则|AB →－CB →＋CD →|＝________． 答案：2解析：|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.3. 已知AB →＝2e 1＋k e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2.若A,B,D 三点共线,则k ＝________. 答案：－8解析：若A,B,D 三点共线,则AB →∥BD →,设AB →＝λBD →.因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2,所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2,所以λ＝2,k ＝－4λ,所以k ＝－8.4. 在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB ＝3DC,设AB →＝a ,AD →＝b ,E 为BC 的中点,则AE →＝________．(用a ,b 表示)答案：23a ＋12b解析：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →,AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →＝23a ＋12b .5. 如图,在正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝________．答案：CF →解析：由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.6. (泰州模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点,AD →＝－13AB →＋43AC →,若BC →＝λDC →(λ∈R ),则λ＝________．答案：－3解析：由AD →＝－13AB →＋43AC →,可得3AD →＝－AB →＋4AC →,即4AD →－4AC →＝AD →－AB →,则4CD →＝BD →,即BD →＝－4DC →,可得BD→＋DC →＝－3DC →,故BC →＝－3DC →,则λ＝－3.7. 若两个非零向量a ,b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|,则向量a ＋b 与a －b 的夹角为__________．答案：2π3解析：由|a ＋b|＝|a －b|可知a⊥b .设AB →＝b ,AD →＝a ,作矩形ABCD,可知AC →＝a ＋b ,BD →＝a －b .设AC 与BD的交点为O,结合题意可知OA ＝OD ＝AD,∴ ∠AOD ＝π3,∴ ∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD→的夹角,故所求夹角为2π3.8. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,且CD →＝13CA →＋λCB →,则实数λ＝__________．答案：23解析：如图,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F, 则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →,所以CE →＝13CA →,CF →＝λCB →.由△ADE∽△ABC ,得DE BC ＝AE AC ＝23,所以ED →＝CF →＝23CB →,故λ＝23.9. 在▱ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ,BD →＝b ,则AF →＝____________．(用a ,b 表示)答案：23a ＋13b解析：如图,∵ △DEF ∽△BEA,∴ DF ∶BA ＝DE∶BE＝1∶3,过点F 作FG∥BD 交AC 于点G,∴ FG ∶DO ＝2∶3,CG ∶CO ＝2∶3,∴ GF →＝13b .∵ AG →＝AO →＋OG →＝23AC →＝23a ,∴ AF →＝AG →＋GF →＝23a ＋13b .10. 向量e 1,e 2不共线,AB →＝3(e 1＋e 2),CB →＝e 2－e 1,CD →＝2e 1＋e 2,给出下列结论：① A ,B,C 共线;② A ,B,D 共线;③ B ,C,D 共线;④ A ,C,D 共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)答案：④解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →,e 1＋e 2不共线,得AB →与CB →不共线,A,C,D 共线,且B 不在此直线上．11. 已知O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|,λ∈[0,＋∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)答案：内心解析：作∠BAC 的平分线AD.∵ OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴ AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0,＋∞)),∴ AP →＝λ′|AD →|·AD →,∴ AP →∥AD →.∴ P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 二、 解答题12. 如图,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线MN 与边AB,AC 分别交于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,求x ＋y 的最小值．解：由点G 是△ABC 的重心,知GA →＋GB →＋GC →＝0,得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0,则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M,N,G 三点共线(A 不在直线MN 上),于是存在λ,μ∈R ,使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1),则AG →＝λx AB →＋μyAC →＝13(AB →＋AC →),所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy＝13，于是得1x ＋1y ＝3.又由题意x ＞0,y ＞0,所以x ＋y ＝13(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥43(当且仅当y x ＝x y ,即x ＝y 时,等号成立),即x ＋y 的最小值为43.13. 如图,已知△OCB 中,点C 是点B 关于点A 的对称点,D 是将OB →分为2∶1的一个内分点,DC 和OA 交于点E.设OA →＝a ,OB →＝b .(1) 用a 和b 表示向量OC →,DC →;(2) 若OE →＝λOA →,求实数λ的值．解：(1) 由题意知,A 是BC 的中点,且OD →＝23OB →.由平行四边形法则,得OB →＋OC →＝2OA →. ∴ OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ,∴ DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b.(2) 如题图,EC →∥DC →.∵ EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ,DC →＝2a －53b ,∴ 2－λ2＝－1－53,∴ λ＝45.第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示一、 填空题1. 已知在▱ABCD 中,AD →＝(2,8),AB →＝(－3,4),则AC →＝____________. 答案：(－1,12)解析：因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)．2. 若e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能看作基底的是________．(填序号)① e 1＋e 2和e 1－e 2;② 3e 1－2e 2和4e 2－6e 1;③ e 1＋3e 2和e 2＋3e 1;④ e 2和e 1＋e 2. 答案：②解析：∵ 3e 1－2e 2＝－12(4e 2－6e 1), ∴ 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线．3. (苏北四市联考)已知点A(1,3),B(4,－1),则与AB →同方向的单位向量是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4,－1)－(1,3)＝(3,－4),∴ 与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4. 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案：(3,3)解析：(解法1)由O,P,B 三点共线,可设OP →＝λOB →＝(4λ,4λ),则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC→－OA →＝(－2,6),由AP →与AC →共线,得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0,解得λ＝34,所以OP →＝34OB →＝(3,3),所以点P的坐标为(3,3)．(解法2)设点P(x,y),则OP →＝(x,y),因为OB →＝(4,4),且OP →与OB →共线,所以x 4＝y 4,即x ＝y.又AP →＝(x －4,y),AC →＝(－2,6),且AP →与AC →共线,所以(x －4)×6－y×(－2)＝0,解得x ＝y ＝3,所以点P 的坐标为(3,3)．5. 若三点A(1,－5),B(a,－2),C(－2,－1)共线,则实数a 的值为________．答案：－54解析：∵ AB →＝(a －1,3),AC →＝(－3,4),根据题意AB →∥AC →,∴ 4(a －1)－3×(－3)＝0,即4a ＝－5,∴ a ＝－54.6. (衡水中学月考)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD →＝2DB →,CD →＝rAB →＋sAC →,则r ＋s ＝________． 答案：0解析：因为CD →＝2DB →,所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →,则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0.7. 设向量a ＝(1,－3),b ＝(－2,4),c ＝(－1,－2)．若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d ＝____________．答案：(－2,－6) 解析：设d ＝(x,y),由题意知4a ＝(4,－12),4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4,－2),又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0,解得x ＝－2,y ＝－6,所以d ＝(－2,－6)．8. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 交AF 于H.记AB →,BC →分别为a ,b ,则AH →＝__________．(用a ,b 表示)答案：25a ＋45b解析：设AH →＝λAF →,DH →＝μDE →.而DH ＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此μ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ,b 不共线,因此由平面向量的基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝λ－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b . 9. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b )(ab≠0)共线,则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2,－2),AC →＝(－2,b －2),依题意,有(a －2)(b －2)－4＝0,即ab －2a －2b ＝0,所以1a ＋1b ＝12. 10. 如图,|OA →|＝|OB →|＝1,OA →与OB →的夹角为120°,OC →与OA →的夹角为30°.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ,μ∈R ),则λμ＝____________.答案：2解析：过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D.由题意可知,∠COD ＝30°,∠OCD ＝90°,∴ OD ＝2CD.∵ OD →＝λOA →,DC →＝μOB →,∴ λ|OA →|＝2μ|OB →|,即λ＝2μ,故λμ＝2.11. 在平面直角坐标系中,若O 为坐标原点,则A,B,C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ,使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立,此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1),P 2(－1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1,－1)共线,则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为________．答案：－1解析：设P 3(x,y),由条件易得P 1P 2→＝(－4,2),P 2P 3→＝(x ＋1,y －3);由P 1,P 2,P 3三点共线,得12－4y ＝2x ＋2;由OP 3→与向量a ＝(1,－1)共线,得x ＋y ＝0.联立方程组解得x ＝－5,y ＝5. 由OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→,解得λ＝－1.12. (苏北四市期末)已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m),m ∈R ,则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m),由a∥(a ＋b ),得－1×(2＋m)＝2×2,所以m ＝－6,则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件．二、 解答题13. 如图,已知△ABC 的面积为14,D,E 分别为边AB,BC 上的点,且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1,AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →,PD →＝μCD →,AB →＝a ,BC →＝b .(1) 求λ及μ;(2) 用a ,b 表示BP →; (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ,BC →＝b ,则AE →＝a ＋23b ,DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ,DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ,AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →,即23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b . ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3) ∵ S △PAB ：S △CAB ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47,∴ S △PAB ＝47S △ABC ＝8.∵ S △PBC ：S △ABC ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17,S △PBC ＝17S △ABC ＝2,∴ S △PAC ＝4.第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、 填空题1. 已知向量a ＝(3,1),b ＝(0,1),c ＝(k,3)．若a ＋2b 与c 垂直,则k ＝________． 答案：－3解析：由已知得a ＋2b ＝(3,3),故(a ＋2b )·c ＝(3,3)·(k ,3)＝3k ＋33＝0,解得k ＝－3. 2. (南京、盐城模拟)已知向量a ,b ,其中|a |＝3,|b |＝2,且(a －b )⊥a ,则向量a 和b 的夹角是________．答案：π6解析：因为(a －b )⊥a ,所以(a －b )·a ＝|a|2－|a||b|·cos 〈a ,b 〉＝3－23×cos 〈a ,b 〉＝0,解得cos 〈a ,b 〉＝32.由〈a ,b 〉∈[0,π],则向量a ,b 的夹角为π6.3. (南京模拟)设向量|a ＋b |＝20,a ·b ＝4,则|a －b |＝________.答案：2解析：|a －b|＝|a ＋b|2－4a·b ＝20－4×4＝2.4. 在四边形ABCD 中,AC →＝(1,2),BD →＝(－4,2),则该四边形的面积为____________． 答案：55. 在Rt △ABC 中,∠C ＝π2,AC ＝3,取点D 使BD →＝2DA →,那么CD →·CA →＝________．答案：6解析：如图,CD →＝CB →＋BD →.∵ BD →＝2DA →, ∴ CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →),即CD →＝23CA →＋13CB →.∵ ∠C ＝π2,∴ CA →·CB →＝0,∴ CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA → 2＋13CB →·CA →＝6.(本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)6. (扬州中学质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →,则∠BAC＝________．答案：60°解析：取BC 的中点D,连结AD,则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →,∴ AD 为BC 的中线,且O 为重心．又O 为外心,∴ △ABC 为正三角形,∴ ∠BAC ＝60°.7. (苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ,sin θ),向量b ＝(3,－1),则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6,则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4],所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.8. 如图,平行四边形ABCD 中,AB ＝2,AD ＝1,∠A ＝60°,点M 在AB 边上,且AM ＝13AB,则DM →·DB →＝________．答案：1解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →,DB →＝DA →＋AB →,所以DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos60°＝73－43×1×2×12＝1.9. (第二次全国大联考江苏卷)A,B,C 为单位圆上三个不同的点,若∠ABC＝π4,OB →＝mOA →＋nOC →(m,n ∈R ),则m ＋n 的最小值为________．答案：－ 2解析：因为∠ABC＝π4,所以∠AOC ＝π2.不妨设A(1,0),C(0,1),B(cos θ,sin θ),θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π,则cos θ＝m,sin θ＝n ⇒m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≥－2,当且仅当θ＝5π4时取等号． 10. (苏州调研)在梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,|BC →|＝6,P 为梯形ABCD 所在平面上一点,且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0,DA →·CB →＝|DA →||DP →|,Q 为边AD 上的一个动点,则|PQ →|的最小值为________．答案：423解析：设AB 中点为E,则四边形BCDE 为平行四边形,且AP →＋BP →＝2EP →,所以PE →＝2DP →,D,E,P 三点共线,|DE→|＝6,|DP →|＝2.又DA →·CB →＝DA →·DE →＝3DA →·DP →＝3|DA →||DP →|cos ∠ADE ＝|DA →||DP →|,所以cos ∠ADE ＝13,sin ∠ADE＝232. 要使|PQ →|最小,即PQ⊥AD.此时|PQ →|＝|DP →|sin ∠ADE ＝423.二、 解答题11. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ; (2) 求|a ＋b|;(3) 若AB →＝a ,BC →＝b ,求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61,∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.又|a|＝4,|b|＝3,∴ 64－4a·b －27＝61,∴ a ·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π,∴ θ＝2π3.(2) |a ＋b|2＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13,∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3,∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4,|BC →|＝|b |＝3,∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.12. 如图,在平面直角坐标系xOy 上,点A(1,0),点B 在单位圆上,∠AOB ＝θ(0＜θ＜π)．(1) 若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,求tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值; (2) 若OA →＋OB →＝OC →,OB →·OC →＝1813,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.解：(1) 由于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,∠AOB ＝θ,所以cos θ＝－35,sin θ＝45,所以tan θ＝－43,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－17. (2) 由于OA →＝(1,0),OB →＝(cos θ,sin θ),所以OC →＝OA →＋OB →＝(1＋cos θ,sin θ),OC →·OB →＝cos θ×(1＋cos θ)＋sin 2 θ＝cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝1813.所以cos θ＝513,所以sin θ＝1213,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝cos π3cos θ＋sin π3sin θ＝5＋12326.13. (如皋中学调研)如图所示,矩形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动,其中AD ＝4,AB ＝2.(1) 若∠DAO＝π4,求|OC →＋OD →|;(2) 求OB →·OC →的最大值．解：(1) 由题意可知,点A(22,0),D(0,22),B(32,2),C(2,32),所以|OC →＋OD →|＝|(2,52)|＝213.(2) 过点B 作BM⊥AO ,垂足为M,过点C 作CN⊥OD ,垂足为N,设∠DAO＝θ,则∠CDN＝θ,∠ABM ＝θ, 所以点A(4cos θ,0),D(0,4sin θ),B(4cos θ＋2sin θ,2cos θ),C(2sin θ,4sin θ＋2cos θ), 则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ,2cos θ)·(2sin θ,4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ.∵ θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,∴( OB →·OC →)max ＝12.第4课时 复 数一、 填空题 1. (第二次全国大联考江苏卷)已知复数z ＝(1－2i)(2＋i),其中i 为虚数单位,则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．答案：四解析：因为z ＝(1－2i)(2＋i)＝4－3i,对应点为(4,－3),位于第四象限．2. 已知2＋3ii＝a ＋bi(a,b ∈R ,i 为虚数单位),则a ＋b ＝__________．答案：1解析：2＋3i ＝ai －b,则a ＝3,b ＝－2,a ＋b ＝1.3. (2016·苏北三市二模)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数是________．答案：1－3i解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i,z 的共轭复数是1－3i.4. 记复数z ＝a ＋bi(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －bi(a,b ∈R )．已知z ＝2＋i,则z 2＝________．答案：3－4i解析：z 2＝3＋4i,则z 2＝3－4i.5. (镇江一模)已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i),其中i 为虚数单位,则|z|＝________． 答案：5 2解析：z ＝(1－2i)(3＋i)⇒|z|＝5·10＝5 2.6. 设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位),则2z＋z 2＝________．答案：1＋i解析：∵ z＝1＋i,∴ 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.7. (第三次全国大联考江苏卷)已知复数z 1＝2＋ai(a>0),z 2＝3－i,其中i 为虚数单位．若|z 1|＝|z 2|,则z 1＝________．答案：2－6i解析：∵ 4＋a 2＝9＋1,∴ a 2＝6.∵ a>0,∴ a ＝6,z 1＝2－6i.8. 已知复数z ＝ai1＋2i(a ＜0),其中i 为虚数单位,|z|＝5,则a 的值为________．答案：－5解析：z ＝2a 5＋a 5i,|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52＝5,则a ＝－5.9. (南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知复数z ＝3－i1＋i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的模是________．答案： 5解析：因为z ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i 2＝1－2i,所以|z|＝12＋（－2）2＝ 5.10. 若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ,则|z|的最大值为________． 答案：2解析：∵ z－1＝cos θ＋isin θ,∴ z ＝(1＋cos θ)＋isin θ,∴ |z|＝（1＋cos θ）2＋sin 2θ＝2（1＋cos θ）≤2×2＝2.11. 复数z 1,z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i,z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m,λ,θ∈R ),并且z 1＝z 2,则λ的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ,由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1],所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.二、 解答题12. 设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ.(1) 当θ＝4π3时,求|z|的值;(2) 若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上,求2cos 2θ2－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解：(1) ∵ θ＝4π3,∴ z ＝－3cos 4π3＋2isin 4π3＝32－3i,∴ |z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（－3）2＝212. (2) 由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0,∴ tan θ＝12.∴原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23.13. 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根． (1) 试求b,c 的值;(2) 1－2i 是否是所给方程的根,试给出判断．解：(1) 由于1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根,则(1＋2i)2＋b(1＋2i)＋c＝0,整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b)i ＝0,则⎩⎨⎧22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3，即b ＝－2,c ＝3.(2) 由(1)得方程为x 2－2x ＋3＝0,把1－2i 代入方程左边得(1－2i)2－2(1－2i)＋3＝1－22i ＋2i 2－2＋22i ＋3＝1－2－2＋3＝0,即1－2i 满足方程x 2－2x ＋3＝0,所以1－2i 是所给方程的根．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节
[课堂练通考点]1．(2014·石家庄模拟)复数z ＝1－i ，则1z ＋z 对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝32－i 2， ∴1z ＋z 对应的点所在的象限是第四象限，故选D.2．(2014·浙江名校联考)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0D.16解析：选A ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋(6－b )i 5，当6－b 5＝0时，z 1z 2是实数，∴b＝6.3．(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D 依题意得－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴⎩⎨⎧ －y ＝3，x ＝4，即⎩⎨⎧y ＝－3，x ＝4， ∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.4．(2013·河北教学质量监测)已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：12[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·东城区统一检测)已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 2D ．－ 2解析：选B a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i 2，当a ＋i 1－i为纯虚数时，a －12＝0，即a ＝1.2．(2013·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z －＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z ＝2－i ，∴z －＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋10(2＋i )(2－i )(2＋i )＝6＋3i.3．(2014·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52 C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 4．(2014·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C．1个D．0个解析：选B由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析：选D对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C 易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ 3 i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．6．(2013·重庆高考)已知复数z＝5i1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.解析：5i1＋2i＝5i(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝2＋i，所以|z|＝ 5.答案： 57．若3＋b i1－i＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析：由3＋b i1－i＝(3＋b i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝3－b＋(3＋b)i2＝a＋b i，得a＝3－b2，b＝3＋b2，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝________.解析：z2－2zz－1＝(z－1)2－1z－1＝z－1－1z－1＝(－i)－1－i＝－i－i－i·i＝－2i.答案：－2i9．计算：(1)(－1＋i)(2＋i)i3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i(1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.10．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)． 第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎨⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.答案： 3。
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
平面向量、复数
从一道高考题谈平面向量与复数的关系
沈联 晖 ： 从 一道高考题谈平 面向量 与复数的关 系
・ ４ ５・
从 一 道 高 考 题 谈 平 面 向 量 与 复 数 的 关 系
●沈联 晖 （ 兰溪市教研室 浙江兰溪 ３ ２ １ １ ０ ２ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在 高 中数学 中 ， “ 平 面 向量 ” 和“ 复数 ” 是 看 似无关 的 ２块 知识 ， 前者 出现 在必 修 ４， 后 者 在 选修 ２ － ２中．
图１
面 向景
的点 Ｚ（ 口， ｂ ） 表示 ， 它实 际上是 一 有序 实 数对 ． 在ｆ 和－ ｊ 『 是 单 位正 交基 底 的前 提 下 ， 向量 口 ｆ ＋ 可用 平 面直 角坐 标 系 中 的点 （ 口 ， ｂ ） 表示 ， 因 此复数 ｚ 也 可 用 向 量表 示 ， 只要 以 ｏ＋６ ｉ 对 应 的点 Ｚ （ 口 ， ｂ ） 为终点 ， 以原 点 ０为起 点 画 向量 即可 ， 于是 有 如 图 １ 所 示 的关 系 ．
小， 具 体 可参 考文 献 ［ １ ］ ； ２个 复数 相 等充 要条 件为 ： 口＋ｂ ｉ ＝ Ｃ ＋ｄ ｉ ｃ ： ， ａ＝ｃ ， ｂ＝ｄ （ ｎ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ∈Ｒ） ． 利 用 复数 相 等 的充 要 条件 ， 可 以得到关 于实数 的方程 （ 组） ， 通过 解方 程 （ 组） ， 求 出待定 系数 的值 ． 向量 是 近代 数学 中重 要 和基 本 的数 学 概 念 之 一 ， 有深刻的几何背景 ， 是 解决 几 何 问题 的有 力工 具 ， 运用 向量方 法 可将 几 何 性 质 的研 究 转化 为 向 量 的运 算 ， 使 几 何 问 题 通 过 向量 运 算 得 到 解 决 Ｊ ． 人 教 Ａ版 《 数学 （ 必 修
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
提 升 学 科 素 养
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回 扣 主 干 知 识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
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突 破 热 点 题 型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
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演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错 误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
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答案：B
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第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量 CD
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突 破 热 点 题 型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任 意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题．
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(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第4课时 复数
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章 平面向量与复数第4课时 复数1. (课本改编题)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________． 答案：2－i解析：∵ z＝2＋i ，∴ z －＝2－i. 2. (课本改编题)已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________．答案：1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. (课本改编题)已知i 是虚数单位，则（2＋i ）23－4i ＝________．答案：－725＋2425i解析：（2＋i ）23－4i ＝（3＋4i ）（3＋4i ）25＝－7＋24i 25＝－725＋2425i.4. (课本改编题)设(1＋2i)z －＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案： 5解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，即5|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝ 5.5. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)，平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部． 2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b∈R )中，z 是实数Û b ＝0，z 是虚数 b ≠0， z 是纯虚数Û a ＝0，b≠0．3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R )互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R ) Ûa ＝c 且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b∈R ) Ûa ＝0且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2) z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(3) z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －ad c ＋d i. [备课札记]题型1 复数的概念例1 已知复数z ＝m 2－7m ＋6m 2－1＋(m 2－5m －6)i (m∈R )，试求实数m 分别取什么值时，z分别为：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．解：(1) 当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6＝0，m 2－1≠0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝6，m ≠±1，所以m ＝6，即m ＝6时，z 为实数．(2) 当z 为虚数时，则有m 2－5m －6≠0且m 2－7m ＋6m 2－1有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3) 当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6≠0，m 2－7m ＋6m －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1且m≠6，m ＝6且m≠±1.故不存在实数m 使z 为纯虚数．变式训练已知m∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时．(1) z∈R ； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数．解：(1) 由z∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2) 由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3) 由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.题型2 复数相等的条件例2 若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，求点P(a ，b)到原点的距离．解：由已知ai ＋2＝b －i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝ 5.备选变式（教师专享）设复数i －11＋i ＝a ＋bi(a 、b∈R )，则a ＋b ＝________．答案：1解析：由i －11＋i ＝－（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，得a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1.题型3 复数代数形式的运算例3 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵ z 1·z 2∈R ，∴ a ＝4.∴ z 2＝4＋2i. 备选变式（教师专享）设i 是虚数单位，若z ＝11＋i＋ai 是实数，则实数a ＝________． 答案：12解析：z ＝11＋i ＋ai ＝1－i 2＋ai ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12i ∈R ，所以a －12＝0，a ＝12.题型4 复数的几何意义例4 已知O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i (a∈R )，若z －1＋z 2是实数．(1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的面积．解：(1) ∵ z －1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i 是实数，∴ a 2＋2a －15＝0. ∴ a ＝3，a ＝－5(舍)．(2) 由(1)知，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，∴ OZ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)，∴ |OZ 1→|＝738，|OZ 2→|＝2，cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝－38＋1738×2＝5146.∴ sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝1－25146＝11146，∴ S ＝|OZ 1→||OZ 2→|sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝738×2×11146＝118.∴ 平行四边形的面积为118.备选变式（教师专享）如图所示，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求： (1) AO →、BC →所表示的复数； (2) 对角线CA →所表示的复数；(3) 求B 点对应的复数．[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解． 解：(1) AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.(2) CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3) OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.1. (2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案：5解析：z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，|z|＝32＋（－4）2＝5.2. 若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为________． 答案：0解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 3. 设a 、b∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．答案：8解析：由a ＋bi ＝11－7i 1－2i ，得a ＋bi ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.4. (2013·南通二模)设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________． 答案：12解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )．∵ 复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，解得a ＝12.∴ 复数z 的实部为12.1. (2013·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．答案： 5解析：z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）5＝2＋i |z|＝ 5.2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________．答案：第四象限解析：(2－i)2＝3－4i 对应的点为(3，－4)位于第四象限．3. (2013·上海卷)设m∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．答案：－2解析：由m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0Þ m ＝－2.4. m 取何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．解：(1) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m ＋3≠0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5或m ＝－3，m ≠－3时， ∴当m ＝5时，z 是实数．(2) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠5且m≠－3，m ≠－3时，∴当m≠5且m≠－3时，z 是虚数．(3) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－2，m ≠－3，m ≠5且m≠－3时，∴当m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．5. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R )．求z 的值和|z －ω|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12， ∴z＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ） ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1，∴0≤2－2sin -6p q （）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．请使用课时训练(B)第4课时(见活页)．。
平面向量与复数
[规律方法]
向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在
解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利 用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．
3．(2012· 潍坊仿真模拟)(本小题满分 12 分)已知向量 a＝(sin x，
－1)，b＝
1 3cos x，－ ，f(x)＝(a＋b)· a－2. 2
三角形与平面向量运算 (2012· 高考浙江卷)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝
→ AC → 3，BC＝10，则AB· ＝________. [思路点拨] 算． → → → → 把AB与AC用AM和BC表示，再按数量积的定义计
[解析] 利用向量数量积的运算求解．
→ → → → → → → → 如图所示，AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC＝AM－MB， → AC → → → (AM → → → ∴AB· ＝(AM＋MB)· → －MB)＝AM2－MB2＝|AM|2－|MB|2 ＝9－25＝－16. [答案] －16
二、平面向量运算的考查 2．(2012· 高考重庆卷)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c ＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( A. 5 C．2 5 B. 10 D．10 )
解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解． ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由 a⊥c 得 a· c＝0， 即 2x－4＝0，∴x＝2. 由 b∥c，得 1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ 32＋－12＝ 10. 答案：B
平面向量与复数
平面向量与复数平面向量是数学中的重要概念，它与复数之间存在着紧密的联系和相互转化的关系。
本文将介绍平面向量和复数的基本概念，并探讨它们之间的关联。
一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用有序数对表示。
设有平面上两个点A和B，用→AB表示从点A指向点B的有向线段，这条有向线段便是平面向量。
2. 平面向量的表示：平面向量的表示通常有三种方式，即坐标表示、模长与方向角表示、分解成单位向量表示。
a. 坐标表示：如果平面向量→AB的起点坐标为A(x₁, y₁)，终点坐标为B(x₂, y₂)，则向量的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
b. 模长与方向角表示：平面向量→AB的模长记作|→AB|，方向角表示为θ，这样，向量的模长与方向角表示为(|→AB|,θ)。
c. 分解成单位向量表示：平面向量→AB可以表示为它在两个单位向量上的投影和，即→AB = |→AB|cosθ·→i + |→AB|sinθ·→j，其中→i和→j分别为横轴和纵轴上单位长度的向量。
二、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，记作a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的表示：复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
3. 复数的运算：复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
具体的运算规则与实数的运算类似，只是需要注意虚数单位i的运算规律。
三、平面向量与复数的关系1. 平面向量的表示与复数的表示：平面向量可以通过复数的模长与方向角表示。
设平面向量→AB的表示为(|→AB|,θ)，则可以将→AB对应的复数记作z=|→AB|cosθ+|→AB|sinθ·i。
2. 复数的运算与平面向量的运算：复数的加法、减法和乘法可以直接对应到平面向量的加法、减法和数量乘法上，这是因为复数运算与平面向量的运算都遵循平行四边形法则和数量乘法的分配律。
2021一轮数学教师用书目录
目录课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1第2课时集合的基本运算4第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词8第二章函数与导数第1课时函数及其表示13第2课时函数的定义域和值域18第3课时函数的单调性22第4课时函数的奇偶性及周期性26第5课时函数的图象31第6课时二次函数36第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)40第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)44第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)48第10课时函数与方程53第11课时导数的概念与运算57第12课时导数在研究函数中的应用61第13课时函数模型及其应用68第14课时函数的综合应用75第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数81第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式86第3课时三角函数的图象和性质90第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式97第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式102第6课时简单的三角恒等变换106第7课时正弦定理和余弦定理110第8课时解三角形应用举例114第9课时三角函数的综合应用120第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算126第2课时平面向量的基本定理及坐标表示131第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例135第4课时复数140第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法144第2课时等差数列148第3课时等比数列152第4课时数列的求和157第5课时数列的简单应用161第6课时数列的综合应用167第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法172第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划177 第3课时基本不等式182第4课时不等式的综合应用186第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理190第2课时直接证明与间接证明195第3课时数学归纳法(理科专用)199第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系204第2课时直线与平面的位置关系(1)208第3课时直线与平面的位置关系(2)213第4课时平面与平面的位置关系218第5课时空间几何体的表面积和体积224第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)228第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率236第2课时直线的方程239第3课时直线与直线的位置关系243第4课时圆的方程247第5课时直线与圆的位置关系252第6课时椭圆(1)258第7课时椭圆(2)263第8课时双曲线269第9课时抛物线273第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)277第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)282第十章算法、统计与概率第1课时算法290第2课时统计初步(1)295第3课时统计初步(2)298第4课时古典概型(1)303第5课时古典概型(2)307第6课时几何概型与互斥事件311第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)316第2课时排列与组合(理科专用)320第3课时二项式定理(理科专用)324第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)328第5课时独立性及二项分布(理科专用)334第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)340选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)346第2课时圆的进一步认识(理科专用)351选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)357第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)362选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)366第2课时参数方程(理科专用)370选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)375第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)379课时训练第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念383第2课时集合的基本运算384第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词385第二章函数与导数第1课时函数及其表示387第2课时函数的定义域和值域388第3课时函数的单调性390第4课时函数的奇偶性及周期性391第5课时函数的图象393第6课时二次函数395第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)396第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)397第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)399第10课时函数与方程400第11课时导数的概念与运算402第12课时导数在研究函数中的应用403第13课时函数模型及其应用405第14课时函数的综合应用407第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数410第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式411第3课时三角函数的图象和性质413第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式415第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式417第6课时简单的三角恒等变换418第7课时正弦定理和余弦定理420第8课时解三角形应用举例421第9课时三角函数的综合应用425第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算428第2课时平面向量的基本定理及坐标表示430第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例431第4课时复数433第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法435第2课时等差数列436第3课时等比数列437第4课时数列的求和439第5课时数列的简单应用441第6课时数列的综合应用442第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法445第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划446第3课时基本不等式448第4课时不等式的综合应用450第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理452第2课时直接证明与间接证明454第3课时数学归纳法(理科专用)455第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系458第2课时直线与平面的位置关系(1)460第3课时直线与平面的位置关系(2)461第4课时平面与平面的位置关系463第5课时空间几何体的表面积和体积465第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)467第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率470第2课时直线的方程471第3课时直线与直线的位置关系474第4课时圆的方程476第5课时直线与圆的位置关系477第6课时椭圆(1)480第7课时椭圆(2)482第8课时双曲线484第9课时抛物线486第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)488第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)490第十章算法、统计与概率第1课时算法493第2课时统计初步(1)495第3课时统计初步(2)496第4课时古典概型(1)498第5课时古典概型(2)500第6课时几何概型与互斥事件501第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)504第2课时排列与组合(理科专用)505第3课时二项式定理(理科专用)507第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)508第5课时独立性及二项分布(理科专用)510第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)512选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)515第2课时圆的进一步认识(理科专用)517选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)520第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)522选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)525第2课时参数方程(理科专用)526选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)529第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)530。
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第四章 平面向量与复数第4课时 复 数1. (课本改编题)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________．答案：2－i解析：∵ z ＝2＋i ，∴ z －＝2－i. 2. (课本改编题)已知z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________．答案：1解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. (课本改编题)已知i 是虚数单位，则（2＋i ）23－4i ＝________．答案：－725＋2425i 解析：（2＋i ）23－4i ＝（3＋4i ）（3＋4i ）25＝－7＋24i 25＝－725＋2425i.4. (课本改编题)设(1＋2i)z －＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：5解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，即5|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝ 5.5. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)，平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部．2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R )中， z 是实数Ûb ＝0，z 是虚数b ≠0， z 是纯虚数Ûa ＝0，b ≠0． 3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R )互为共轭复数． 4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R ) Ûa ＝c 且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R ) Ûa ＝0且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ；(2) z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝⎛⎭⎫bc －ad c 2＋d 2i. [备课札记]题型1 复数的概念例1 已知复数z ＝m 2－7m ＋6m 2－1＋(m 2－5m －6)i(m ∈R )，试求实数m 分别取什么值时，z 分别为：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．解：(1) 当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6＝0，m 2－1≠0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝6，m ≠±1，所以m ＝6，即m ＝6时，z 为实数．(2) 当z 为虚数时，则有m 2－5m －6≠0且m 2－7m ＋6m 2－1有意义，所以m ≠－1且m ≠6且m ≠1.∴ m ≠±1且m ≠6.所以当m ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3) 当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6≠0，m 2－7m ＋6m 2－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1且m ≠6，m ＝6且m ≠±1.故不存在实数m 使z 为纯虚数．变式训练已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时．(1) z ∈R ； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数．解：(1) 由z ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2) 由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0， 解得m ≠1且m ≠－3.(3) 由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.题型2 复数相等的条件例2 若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，求点P(a ，b)到原点的距离．解：由已知ai ＋2＝b －i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝ 5.备选变式（教师专享）设复数i －11＋i ＝a ＋bi(a 、b ∈R )，则a ＋b ＝________．答案：1解析：由i －11＋i ＝－（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，得a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1.题型3 复数代数形式的运算例3 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵ z 1·z 2∈R ，∴ a ＝4.∴ z 2＝4＋2i. 备选变式（教师专享） 设i 是虚数单位，若z ＝11＋i＋ai 是实数，则实数a ＝________． 答案：12解析：z ＝11＋i ＋ai ＝1－i 2＋ai ＝12＋⎝⎛⎭⎫a －12i ∈R ，所以a －12＝0，a ＝12. 题型4 复数的几何意义 例4 已知O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R )，若z －1＋z 2是实数．(1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的面积．解：(1) ∵ z －1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋521－a ＋(a 2＋2a －15)i 是实数，∴ a 2＋2a －15＝0.∴ a ＝3，a ＝－5(舍)．(2) 由(1)知，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，∴ OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫381，OZ 2→＝(－1，1)，∴ |OZ 1→|＝738|OZ 2→|＝2，cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝－381738×2＝5146.∴ sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝1－25146＝11146，∴ S＝|OZ 1→||OZ 2→|sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝738×2×11146＝118.∴ 平行四边形的面积为118.备选变式（教师专享）如图所示，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求： (1) AO →、BC →所表示的复数； (2) 对角线CA →所表示的复数； (3) 求B 点对应的复数．[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解． 解：(1) AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.(2) CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3) OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.1. (2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案：5解析：z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，|z|＝32＋（－4）2＝5.2. 若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为________． 答案：0解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 3. 设a 、b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________． 答案：8 解析：由a ＋bi ＝11－7i 1－2i ，得a ＋bi ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.4. (2013·南通二模)设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．答案：12解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )．∵ 复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，∴ ⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，解得a ＝12.∴ 复数z 的实部为12.1. (2013·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________． 答案：5 解析：z ＝5i1＋2i ＝5i （1－2i ）5＝2＋i |z|＝ 5.2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________． 答案：第四象限解析：(2－i)2＝3－4i 对应的点为(3，－4)位于第四象限．3. (2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．答案：－2解析：由m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0Þm ＝－2.4. m 取何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．解：(1) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m ＋3≠0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5或m ＝－3，m ≠－3时， ∴当m ＝5时，z 是实数．(2) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠5且m ≠－3，m ≠－3时，∴当m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数．(3) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－2，m ≠－3，m ≠5且m ≠－3时， ∴当m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．5. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R )．求z 的值和|z －ω|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i.∴解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12，∴z ＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sinθ－icosθ）＝⎝⎛⎭⎫32－sinθ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cosθ2＝2－3sinθ＋cosθ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，∴0≤2－2sin -6p q （）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．。