[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版6
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版2
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课题：1.2 特殊的三角函数值教学目标：1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值得过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义；2．能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算；3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.教学重点与难点：重点：能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算.难点：记住30°，45°，60°角的三角函数值.课前准备：多媒体课件.教学过程:一、复习旧知，导入新课活动内容1：通过如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）a，b，c三者之间的关系是什么？∠A＋∠B等于多少？（2）如何表示sin A，cos A，tan A；sin B，cos B，tan B？(此时学生已明确正切、正弦、余弦是比值，与直角三角形的大小无关，抓住学生的探索心理,提出特殊角的三角函数值有何特点，揭示课题）处理方式：此处学生讲，教师听，在听的过程中，适时引导，抓住学生的好奇心理，引出新课内，揭示课题.设计意图：通过复习正切、正弦、余弦定义加深掌握，复习的同时也拉近与学生之间的距离.也适合学生胃口，引入新课，揭示课题.活动内容2:观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？处理方式:学生很容易找到四个锐角，分别是30°，60°，45°,45°，学生总结，内容简单.设计意图:创设情境从学生理解的内容入手，发现三角尺中的锐角.a二、探究学习，感悟新知活动内容1：通过如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么a ，b ，c 三者之间又有什么样的关系？处理方式：利用勾股定理得到a 2＋b 2＝c 2，紧接着学生很容易联想到在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可以得到c ＝2a ，b ＝3a .设计意图: 检测学生的预习情况，让学生寻找特殊角，与课题呼应.同时运用相关知识解决a ，b ，c 三者之间的关系，为下一步的学习埋下伏笔.活动内容2：刚才大家能够快速地得出了相关结果,现在我们继续思考以下问题:（多媒体出示）（1）sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流 （2）cos 30°等于多少？tan 30°呢？处理方式：给学生2分钟思考的时间，然后找学生回答.在学生的回答的过程中，既要求学生说出结果，同时也要说明如何得到的.有学生可以说出21230sin ==︒a a ，，顺着学生思路得到232330cos ==︒a a ，3331330tan ===︒a a ，最后留两分钟时间快速记忆.用一分钟时间集体提问，活跃课堂气氛.设计意图: 通过对sin 30°，cos 30°，tan 30°值确定，既求出了值,又能根据产生的新问题为引导学生进行下一步自学埋下铺垫.活动内容3：接着思考：sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？处理方式：接着上题的图让学生先思考，后交流，最后回答.在学生的回答的过程中，既要求学生说出结果，同时也要说明如何得到的.有学生可以说出232360sin ==︒a a ，21260cos ==︒a a ，3360tan ==︒aa，最后留两分钟时间快速记忆.再用一分钟时间，把30°，60°的三角函数值全部提问，再次活跃课堂气氛.设计意图: 通过对sin 60°，cos 60°，tan 60°值确定，既求出了值，有增加了对概念的理解.活动内容3：接着求45°角的三角函数值.工具：含45°角的直角三角形是等腰直角三角形三角板. 利用工具探究tan 45°，sin 45°，cos 45°（已知是等腰直角三角形，我们不妨设直角边为a ,则用勾股定理求出斜边） 处理方式：接着拿出工具，学生先思考，后交流，最后回答.让学生讲解，设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边为a 2.由此可求2221245sin ===︒aa ，2221245cos ===︒aa ，145tan ==︒a a .设计意图: 通过对sin 45°，cos 45°，tan 45°值确定，加强对概念的理解，又提高了学生探究总结的能力.小结：填写表格处理方式：为了帮助学生们记忆，我们观察表格中函数值的特点，按列找规律，看分子，看分母，三分钟时间记忆.提示学生，你会选择横向记忆，还是纵向记忆呢？说出你的理由.比如30°，45°，60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大.那么30°，45°，60°角的余弦值和正切值怎么记忆，学生自己总结.三分钟后同组同学互相检查.设计意图: 通过经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力，同时找到规律，方便记忆.三、例题解析，应用新知 活动内容1：基础应用（根据刚才推理的函数值计算下面例题，多媒体出示例1） 例1 计算:（1）︒+︒45cos 30sin ；（2）︒-︒+︒45tan 60cos 60sin 22.处理方式：先让学生观察思考，然后根据学生做题，实在不会的看表格，同时记忆一遍后做题，然后选两名同学到黑板上板书.最后多媒体出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错.(下附解题过程)解：（1）221222145cos 30sin +=+=︒+︒； （2）01414345tan 60cos 60sin 22=-+=︒-︒+︒. 设计意图: 例题的解答，即检测了学生对特殊三角函数值掌握情况，又让学生感受到特殊角的三角函数值应用的乐趣！活动内容2：巩固训练 （1）︒-︒45tan 60sin ； （2）︒+︒60tan 60cos ； （3）︒-︒+︒45cos 260sin 45sin 22. 处理方式：让学生做，同组内互相检查，说出体会，然后选三名同学到黑板上板书.最后找学生在黑板出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错.设计意图: 加深对特殊三角函数值的记忆，并且规范完整解题过程. 活动内容3：变式训练（根据刚才推理的函数值发展思维计算下面例题，多媒体出示例2）例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差. （结果精确到0.01 m ）处理方式：先让学生读题思考,比如学生不理解题意，就帮着学生对照图形理解，在图形中找到边，角，然后根据学生讨论情况，确定高度之差，适时辅导，最后集体，由老师板书再板书到黑板上.解：如图，根据题意可知，︒=÷︒=∠30260AOD ，m 5.2=OD ，Am 165.2215.230 cos ≈⨯=︒⋅=∴OD OC ， m 34.0165.25.2≈-=∴AC .所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.设计意图：例题的解通过变式练习，帮助学生巩固特殊角的三角函数值，引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.四、回顾反思，提炼升华师：一节高效的数学课不仅要有有趣的开头，还要有完美的结尾，正如一个成语所说的：“善始善终”！只有不断反思自我，充实自我，才能取得更大的进步！所以每一节课大家都要用心反思，查缺补漏，保证自己的小船稳稳前进！现在谁愿意先来反思一下自己本节课学习的体会？学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充.设计意图：学生在学习的过程中会有遗忘，因此必要的反复至关重要，每节课的小结更是必不可少.良好的课堂小结能产生“课伊始，趣亦生”的作用，那么巧妙的课堂小结能达到 “课虽终，趣犹存”的境界.能使一堂课所讲的知识体现出的数学思想、数学方法系统化.五、达标检测，反馈提高师：听了大家刚才的反思，老师倍感欣慰，说的好不如做的好，现在我们一起完成下面的达标检测题，检测一下自己的学习效果.（同时多媒体出示达标测试）基础题组：1.计算：（1）︒-︒30sin 45tan ；（2）︒-︒+︒30tan 45sin 60cos ； （3）︒-︒-︒45cos 260sin 330tan 62.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7 m.扶梯的长度是多少？ 提高题组：在△ABC 中，若0)21(cos |21sin |2=-+-B A ，求∠C 的度数. 处理方式：学生先独立完成，教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后,根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.设计意图：让学生独立完成，有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批，有利于查缺补漏，因材施教.最后留给学生反思，将错题真正改正，落实到实处.让学生最大程度地获得新知.六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第10页，习题1.3第1题，第2题，第3题；选做题：课本第10页，习题1.3 第4题，第5题；思考题：课本第10页，习题1.3 第6题.结束语：同学们，通过本节课的学习，我们已经熟练掌握了特殊角的三角函数值，并且会把简单的实际问题转化为数学问题，那么不是30°，45°，60°的三角函数值，我们怎么得到呢？要知真相如何，且听下回分解.板书设计：。
北师大版九年级下册数学全册教案设计
北师大版九年级下册数学全册教案设计北师大版数学九年级下册全册教案设计清风染绿叶第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数第1课时正切与坡度 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系． 2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等． 3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度 (1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？ (2)分别求出每组图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2.如下图，小明想通过测量B1C1及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？ (2)和有什么关系？ (3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？ 4．梯子的倾斜程度与tan A的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？三、举例分析^p 例如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲乙(1)tan α和tan β 的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β 的大小吗？ (3)根据tan A的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？四、练习巩固 1．在△ABC中，∠C＝90°，则tan A等于( ) A. B. C. D.2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，若tan A＝，则AC＝________.3．如图，Rt△ACB中，∠B＝90°，BC＝10，tan A＝，求AB，AC.五、课堂小结 1．易错点：(1) tan A中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC或tan ∠1，tan ∠2 等；(2) tan A没有单位，它表示一个比值；(3) tan A是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A”． 2．归纳小结：(1)tan A＝；(2)tan A的值越大，梯子越陡． 3．方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．六、课外作业 1．教材第4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4页习题1.1第1、2题．本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时正弦和余弦 1．理解正弦、余弦及三角函数的意义． 2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比． 3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．难点正弦、余弦的理解及应用．一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝10，求BC，AB的长． 2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tan A的值越大，梯子越________． 3．当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，其他边之间的比值也确定吗？可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知 1．正弦、余弦及三角函数的定义课件出示：(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是什么？ (2)和的关系是什么？ (3)如果改变B2在斜边上的位置，则和的关系是什么？思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？ 2．梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A和cos A之间有什么关系？如图，AB，A1B1表示梯子，CE表示支撑梯子的墙，AC在地面上． (1)梯子AB，A1B1哪个更陡？ (2)梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？三、举例分析^p 例如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20__，sin A＝0.6，求BC的长． (1)sin A等于图中哪两条边的比？ (2)你能根据sin A＝0.6写出等量关系吗？ (3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固 1．在Rt△ABC 中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值( ) A．缩小4倍B．缩小2倍 C．保持不变D．不能确定 2．已知∠A，∠B为锐角． (1)若∠A＝∠B，则sinA________sin B；(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B.3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．五、课堂小结 1．易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系． 2．归纳小结：(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡；cos A越小，梯子越陡． 3．方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．六、课外作业 1．教材第6页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题．本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．重点能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°.(1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B等于多少度？ (2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°.(1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？(5)45°角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值sin A cos A tan A 30° 45° 60°三、举例分析^p 例1 计算：(1) sin 30°＋cos 45°；(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°.处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．例2 (课件出示教材第9页例2) 引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？ (2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？ (4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固 1．下列式子中成立的是 () A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46° B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72° C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35° D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35° 2．已知等腰△ABC的腰长为4 ，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________． 3．若(tan A－3)2＋＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结 1．易错点：(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小． 2．归纳小结：sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝.3．方法规律：在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：sin A＝cos (90°－A)；cos A＝sin (90°－A) ；sin B＝cos (90°－B)；cos B＝sin (90°－B)．六、课外作业 1．教材第9页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第10页习题1.3第1～4题．本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算 1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义． 2．能用计算器由已知三角函数值求角度． 3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．难点非整数度的角的三角函数值的求法．一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了20__m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m) 引导学生思考以下问题：(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？ (2)你知道sin 16°是多少吗？ (3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知 1．已知角求三角函数值 (1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？ (2)课件出示：当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了20__m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：①缆车从点B到点D通过的路程是多少？②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？ 2．已知三角函数值求角 (1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m 长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：①在Rt△ABC中，sin A如何表示？②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？③你能根据sin A的数值求出∠A吗？ (2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：①利用计算器求角用到哪些按键？②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？④你能利用计算器求出∠A的度数吗？三、练习巩固 1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( ) A．0.90B．0.72C．0.69 D．0.66 2.用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________． 3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．四、课堂小结 1．易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的． 2．归纳小结：(1)用计算器求三角函数值；(2)用计算器求角． 3．方法规律：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．五、课外作业 1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第15页习题1.4第1～6题．本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形 1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系． 2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形．重点直角三角形的解法．难点灵活运用三角函数解直角三角形．一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．课件出示：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间有什么关系？ (2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．二、探究新知 1．已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？ (2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？ (3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？ (4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据． 2．已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第16～17页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？ (2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？ (3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？ (4)你能仿照例1独立完成求解吗？ 3．总结 (1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？ (2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？ (3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．三、练习巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝5，则边AC的长是( ) A．3 B．4C.D.2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AB＝________.3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．四、课堂小结 1．易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形． 2．归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余． 3．方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．五、课外作业 1．教材第17页“随堂练习”． 2．教材第17～18页习题1.5第1～4题．本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析^p 问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步． 5 三角函数的应用 1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？ (2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？ (3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.(3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝，即AC＝.在Rt△BDC中，tan 60°＝，即BC＝，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴－＝50.解得CD≈43 m.三、举例分析^p 例(课件出示教材第19页“做一做”) 引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？ (2)你能根据题意画出示意图吗？ (3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40°和35°的角分别是哪个角？ (5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？(6)Rt△ABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝，则AD＝＝，楼梯占地长DB＝.∴调整后楼梯加长AD－AC＝－4≈0.48(m)．楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝－4cos 40°≈0.61(m)．四、练习巩固 1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为() A．500sin α B.C．500cos α D.2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________m．(结果保留根号) 3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号) 五、课堂小结 1．易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化． 2．归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析^p 题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；(4)确定合适的边角关系，细心推理计算． 3．方法规律：(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：① 若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；② 若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．六、课外作业 1．教材第20页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第21页习题1.6第1～4题．本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率． 6 利用三角函数测高 1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析^p ，从而得出符合实际的结果． 2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．重点设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．难点运用直角三角形的边角关系求物体的高．一、情境导入问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？二、探究新知 1．设计活动方案，自制仪器 (1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？ (2)制作测角仪时应注意什么？处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤． 2．测量倾斜角 (1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置． (2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．师：这样做的依据是什么？ 3．测量底部可以到达的物体的高度要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图) (1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.(3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)．师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，∴tan α＝，即ME＝EC·tan a＝l·tan α.∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a.4．测量底部不可以到达的物体的高度要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β.(3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？分析^p ：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度．解：∵在Rt△MDE中，ED＝，在Rt△MCE中，EC ＝，∴EC －ED＝b.∴ ＝b.∴ ME＝.∴ MN＝＋a.三、练习巩固 1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( ) A．2 000 mB．2 000 m C．4 000 mD．4 000 m 2．20__年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 ________米(精确到1米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°≈0.93，tan 22.3°≈0.41) 3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树顶点D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01)(参考数据：sin37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，≈1.732) 四、课堂小结 1．易错点：(1)支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确；(2)测量底部不可以到达的物体的高度公式的推导． 2．归纳小结：(1)侧倾器的构成；(2)测量倾斜角；(3)测量底部可以到达的物体的高度；(4)测量底部不可以到达的物体的高度． 3．方法规律：(1)测量底部可以到达的物体的高度MN＝l·tan α＋a；(2) 测量底部不可以到达的物体的高度MN＝＋a.五、课外作业 1．教材第23页“议一议”． 2．教材第23页习题1.7第1、2、3题．本节课是一节活动课，课前应做好活动课的各项准备，提前预判活动课所需要的各种知识与能力上的、动手操作环节上等相关经验储备．不能把本节课当作简单的应用题讲解课．课堂是生命绽放的场所，由于不同学生有着不同的已有经验、不同的情感表达、不同的认知方式，因此老师在组织活动时要放弃齐步走、一刀切的观念，对结果也不要急于求成，应重视过程，让每个学生都参与方案。
北师大版九年级下册数学全册教学设计
北师大版九年级下册数学全册教学设计一. 教材分析北师大版九年级下册数学教材内容包括：反比例函数、二次函数、圆、概率、相似三角形、锐角三角函数、解三角形、三角恒等式、初等函数、导数、极限等。
这些内容是整个中学数学的基础，对于学生来说，既是重点，也是难点。
教材内容环环相扣，前后联系密切，需要学生扎实的基本功和良好的学习习惯。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念、公式、定理等有了一定的了解。
但同时，他们面临着中考的压力，学习任务较重，学习时间紧张。
因此，在教学过程中，要注重启发学生思维，提高学习效率，培养学生的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握反比例函数、二次函数、圆、概率、相似三角形、锐角三角函数、解三角形、三角恒等式、初等函数、导数、极限等基本概念、性质、公式和应用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作探讨、实践操作等方式，培养学生的数学思维能力、问题解决能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，树立信心，培养严谨治学的态度，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数、二次函数的图像与性质。
2.圆的方程、相似三角形的判定与性质。
3.概率的基本概念、计算公式及应用。
4.锐角三角函数的定义、解三角形的方法。
5.三角恒等式的证明与变换。
6.初等函数的图像与性质。
7.导数的定义、计算公式及应用。
8.极限的概念及计算。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、讨论等方式，激发学生的思维，引导学生主动探究。
2.案例教学：结合生活实例，让学生体会数学的应用价值。
3.小组合作：鼓励学生相互讨论、交流，培养团队合作精神。
4.实践操作：让学生动手实践，提高操作能力和解决问题的能力。
5.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励优点，指出不足，促进学生全面发展。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：收集相关的生活实例、案例，用于教学实践。
北师大版九年级下册数学全册教案设计
北师大版九年级下册数学全册教案设计北师大版数学九年级下册全册教案设计清风染绿叶第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系． 2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等． 3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？(2)分别求出每组图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt△AB1C1和 Rt△AB2C2有什么关系？(2)和有什么关系？(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？ 4．梯子的倾斜程度与tan A的值有什么关系？5．坡度是如何定义的？三、举例分析例如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲乙(1)tan α和tan β的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β的大小吗？ (3)根据tan A的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？四、练习巩固1．在△ABC中，∠C＝90°，则tan A等于() A. B. C. D. 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，若tan A＝，则AC＝________. 3．如图，Rt△ACB中，∠B ＝90°，BC＝10，tan A＝，求AB，AC. 五、课堂小结 1．易错点：(1) tan A中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC或tan ∠1，tan ∠2 等；(2) tan A没有单位，它表示一个比值；(3) tan A是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A”． 2．归纳小结：(1)tan A＝；(2)tan A的值越大，梯子越陡． 3．方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．六、课外作业 1．教材第4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4页习题第1、2题．本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时正弦和余弦1．理解正弦、余弦及三角函数的意义． 2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比． 3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．难点正弦、余弦的理解及应用．一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝10，求BC，AB的长． 2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tan A的值越大，梯子越________．3．当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，其他边之间的比值也确定吗？可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知1．正弦、余弦及三角函数的定义课件出示：(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是什么？(2)和的关系是什么？(3)如果改变B2在斜边上的位置，则和的关系是什么？思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？ 2．梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A和cos A之间有什么关系？如图，AB，A1B1表示梯子，CE表示支撑梯子的墙，AC在地面上． (1)梯子AB，A1B1哪个更陡？ (2)梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？三、举例分析例如图，在Rt △ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝，求BC的长．(1)sin A 等于图中哪两条边的比？(2)你能根据sin A＝写出等量关系吗？(3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值( ) A．缩小4倍B．缩小2倍C．保持不变D．不能确定 2．已知∠A，∠B为锐角．(1)若∠A＝∠B，则sin A________ sin B；(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．五、课堂小结 1．易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系． 2．归纳小结：(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡；cos A越小，梯子越陡． 3．方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．六、课外作业1．教材第6页“随堂练习”第1、2题．2．教材第6～7页习题第1、3、4、5题．本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．重点能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．一、复习导入 1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°. (1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠A＋∠B等于多少度？(2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°. (1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？ (5)45°角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值 sin A cos A tan A 30°45°60°三、举例分析例1 计算：(1) sin 30°＋cos 45°；(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°. 处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．例2 (课件出示教材第9页例2) 引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固1．下列式子中成立的是 () A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46° B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72° C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35° D．tan 46°＜cos40°＜sin 35°2．已知等腰△ABC的腰长为4 ，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________． 3．若(tan A－3)2＋＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结 1．易错点：(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小． 2．归纳小结：sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝. 3．方法规律：在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：sin A＝cos (90°－A)；cos A＝ sin (90°－A) ；sin B＝cos (90°－B)；cos B＝sin (90°－B)．六、课外作业 1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第10页习题第1～4题．本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义． 2．能用计算器由已知三角函数值求角度． 3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．难点非整数度的角的三角函数值的求法．一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到) 引导学生思考以下问题：(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？(2)你知道sin 16°是多少吗？ (3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知1．已知角求三角函数值(1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？(2)课件出示：当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B 到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：①缆车从点B到点D通过的路程是多少？②缆车从点B到点D 水平通过的路程是多少？③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？2．已知三角函数值求角 (1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：①在Rt△ABC中，sin A如何表示？②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？③你能根据sin A的数值求出∠A吗？(2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：①利用计算器求角用到哪些按键？②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？④你能利用计算器求出∠A的度数吗？三、练习巩固1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到)是( ) A．B．C．D． 2. 用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________． 3．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝，求两个锐角的度数(精确到1°)．四、课堂小结 1．易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的． 2．归纳小结：(1)用计算器求三角函数值；(2)用计算器求角． 3．方法规律：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．五、课外作业 1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题． 2．教材第15页习题第1～6题．本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系． 2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形．重点直角三角形的解法．难点灵活运用三角函数解直角三角形．一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．课件出示：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. (1)直角三角形的三边之间有什么关系？(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．二、探究新知1．已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据． 2．已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第16～17页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能仿照例1独立完成求解吗？3．总结(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？ (2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．三、练习巩固 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝5，则边AC的长是( ) A．3B．4C. D. 2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A ＝，那么AB＝________. 3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．四、课堂小结 1．易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形． 2．归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．3．方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．五、课外作业 1．教材第17页“随堂练习”． 2．教材第17～18页习题第1～4题．本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步． 5 三角函数的应用 1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？ (2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？(3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC. (3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝，即AC＝.在Rt△BDC中，tan 60°＝，即BC＝，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴－＝50.解得CD≈43 m. 三、举例分析例(课件出示教材第19页“做一做”) 引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？(2)你能根据题意画出示意图吗？(3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40°和35°的角分别是哪个角？(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？ (6)Rt△ABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝，则AD＝＝，楼梯占地长DB＝. ∴调整后楼梯加长AD－AC＝－4≈(m)．楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝－4cos 40°≈(m)．四、练习巩固 1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为() A．500sin α B.C．500cos α D. 2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号) 3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号) 五、课堂小结 1．易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化． 2．归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；(4)确定合适的边角关系，细心推理计算． 3．方法规律：(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．六、课外作业 1．教材第20页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第21页习题第1～4题．本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率． 6 利用三角函数测高1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而得出符合实际的结果．2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．重点设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．难点运用直角三角形的边角关系求物体的高．一、情境导入问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？二、探究新知 1．设计活动方案，自制仪器 (1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？(2)制作测角仪时应注意什么？处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤． 2．测量倾斜角 (1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．师：这样做的依据是什么？ 3．测量底部可以到达的物体的高度要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图) (1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α. (2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l. (3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)．师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，∴tan α＝，即ME＝EC·tan a＝l·tan α. ∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a. 4．测量底部不可以到达的物体的高度要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α. (2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N 都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β. (3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b. 师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？分析：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度．解：∵在Rt△MDE中，ED＝，在Rt△MCE中，EC ＝，∴EC－ED＝b. ∴＝b. ∴ ME＝. ∴ MN＝＋a. 三、练习巩固 1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( ) A．2 000 m B．2 000 m C．4 000 m D．4 000 m 2．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为________米(精确到1米)．(参考数据：sin °≈，cos °≈，tan °≈) 3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情。
北师大版九年级数学下全册详细教案(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数 第1课时 正切1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2.tanA 的值越大，梯子越陡.3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.513 B.1213 C.512 D.1252.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35.活动1 小组讨论例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，tan α＝5132－52＝512.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.活动2 跟踪训练1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 为格点，则tan ∠AOB ＝(A) A.12 B.23 C.105 D.533.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB ＝724.4.如图，某人从山脚下的点A 走了300 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为70 m ，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)活动3 课堂小结 1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA 的关系(∠A 和tanA 之间的关系).3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.第2课时 锐角三角函数1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.阅读教材P5～6，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝a c .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc.2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数.3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.锐角三角函数是在直角三角形的前提下.(二)自学反馈1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是(A) A.513 B.1213 C.512 D.1352.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A.4B.2 5C.181313D.1213133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3、b ＝4，则sinB ＝45，cosB ＝35，tanB ＝43.活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sinA ＝0.6，求BC 的长.解：在Rt △ABC 中， ∵sinA ＝BC AC ，即BC200＝0.6，∴BC ＝200×0.6＝120.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，cosA ＝1213，求AB 的长及sinB.解：在Rt △ABC 中， ∵cosA ＝ACAB ，即10AB ＝1213，∴AB ＝656. ∴sinB ＝AC AB ＝cosA ＝1213.这里需要注意cosA ＝sinB.活动2 跟踪训练1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC ＝8，DB ＝43，CD ⊥AB 于点D ，求sinB 的值.解：∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝AC ＝8. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴CD ＝BC 2－BD 2＝82－（43）2＝4， ∴sinB ＝CD BC ＝48＝12.2.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB的值.解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝6，tanA ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝75.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)阅读教材P8～9，完成预习内容. 自学反馈完成下面的表格：sin α cos α tan α 30°12323345° 22 22 1 60°32123活动1 小组讨论 例1 计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan45°. 解：(1)原式＝12＋22＝1＋22.(2)原式＝34＋14－1＝0.sin 230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)解：根据题意可知，∠AOD ＝12∠AOB ＝30°，AO ＝2.5 m.∴OD ＝OAcos30°＝2.5×32＝2.165(m). ∴CD ＝2.5－2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m. 活动2 跟踪训练 1.计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°.解：(1)原式＝2＋ 3. (2)原式＝2. 2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为5 m ，则旗杆AB 的高度大约是多少米？(精确到1 m ，3取1.73)解：由已知可得四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝DB ＝5 m ，BE ＝CD ＝1.5 m. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝5·tan60°＝53，∴AB ＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)， 即旗杆AB 的高度大约是10 m. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.阅读教材P12～14，完成预习内容. 自学反馈1.已知tan α＝0.324 9，则α约为(B)A.17°B.18°C.19°D.20°2.已知tan β＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)活动1 小组讨论例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴BC ＝ABsin α＝200×sin16°≈55.13(m).例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥两端修建了40 m 长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？解：在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AC ＝1040＝14.∴∠A ≈14°28′.答：这条斜道的坡角α是14°28′.在直角三角形ABC 中，直接用正弦函数描述∠CBA 的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1) (1)sin36°； (2)cos30.7°；(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.2.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°). 解：∵∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5， ∴tanB ＝AC BC ＝12.520＝0.625，用计算器计算，得∠B ≈32°，∴∠A ＝90°－32°＝58°. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.1.4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)阅读教材P16～17，完成预习内容. (一)知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°；边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，sinB ＝b c ，cosB ＝a c ，tanB ＝ba .3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B ＝90°－∠A ，求出∠B ，用关系式sinA ＝ac求出a.(二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则BC ∶AC ＝(A)A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为(B)A.5cos αB.5cos αC.5sin αD.5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝15，b ＝5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，a ＝15，b ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝（15）2＋（5）2＝2 5.在Rt △ABC 中，sinB ＝b c ＝525＝12.∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝30，∠B ＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，∴∠A ＝65°.∵sinB ＝b c ，b ＝30，∴c ＝bsinB≈71.∵tanB ＝b a ，b ＝30，∴a ＝b tanB ＝30tan25°≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°. 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sinA ＝a c ，∴a ＝c ·sinA ＝43·sin60°＝43×32＝6，∴b ＝c 2－a 2＝（43）2－62＝2 3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2 3.解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝62＋（23）2＝4 3. ∵tanA ＝a b ＝623＝3，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长.解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝8，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝4，BD ＝3AD ＝4 3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题能运用解直角三角形解决航行问题.阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容. 自学反馈1.如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向.2.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是250米.活动1 小组讨论例 如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D. 在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CDAD ，∴CD ＝AD ·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD ·tan25°. ∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为(A)A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里2.如图所示，A 、B 两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足. 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝100， 即33PC ＋PC ＝100，(33＋1)PC ＝100， ∴PC ＝33＋3×100＝50×(3－1.732)≈63.40>50.∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第2课时仰角、俯角问题1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P19想一想，完成预习内容.(一)知识探究1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.(二)自学反馈1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC ＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 mB.1 200 2 mC.1 200 3 mD.2 400 m2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)A.200米B.2003米C.2203米D.100(3＋1)米活动1 小组讨论例如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)解：∵∠DAB ＝30°，∠DBC ＝60°， ∴BD ＝AB ＝50 m.∴DC ＝BD ·sin60°＝50×32＝253≈43(m). 答：该塔高约为43 m. 活动2 跟踪训练1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险，理由如下： 在△AEC 中，∵∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60， ∴AE ＝203≈34.64(米).又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64(米).∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险.2.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米， 在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x ，在直角△ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，在直角△ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米.∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米).答：树高AB 是33＋122米.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.第3课时 坡度问题1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.2.理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝tan 坡角.阅读教材P19做一做，完成预习内容. 自学反馈1.如图所示，斜坡AB 和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡AB 的坡角为α B.斜坡AB 的坡度为BCABC.斜坡AB 的坡度为tan αD.斜坡AB 的坡度为BCAC2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s ＝10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)A.72 mB.36 3 mC.36 mD.18 3 m活动1 小组讨论例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)解：根据题意可得图形，如图所示： 在Rt △ABD 中，sin40°＝AD AB ＝AD4，∴AD ＝4sin40°＝4×0.64＝2.56， 在Rt △ACD 中，tan35°＝AD CD ＝2.56CD ，CD ＝ 2.56tan35°＝3.66，tan40°＝AD BD ＝2.56BD ，BD ＝ 2.56tan40°≈3.055 m.∴CB ＝CD －BD ＝3.66－3.055≈0.61(m). ∴楼梯多占了0.61 m 长一段地面. AC ＝ADsin35°≈4.46 m.∴AC －AB ＝4.46－4＝0.46(m). ∴调整后的楼梯会加长0.46 m. 活动2 跟踪训练1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是210cm.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长.(精确到0.1 m)解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝13≈0.333 3，∴BEAE ＝0.333 3，即tan α＝0.333 3.∴α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α≈230.316 2≈72.7(m). 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.6 利用三角函数测高会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)阅读教材P22～23，完成预习内容. 自学反馈1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.活动1 小组讨论例1 测量底部可以到达的物体的高度下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.课题测量旗杆高测量示 意图测得 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19 m 23.97 m 24.08 m 测倾器的高 CD ＝1.23 m CD ＝1.19 m 1.21 m 倾斜角α＝31°15′α＝30°45′α＝31°计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)AB ＝AE ＋BE ＝CEtan31°＋CD＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m) 例2 测量底部不可以到达的物体的高度.如图，小山上有一座铁塔AB ，在D 处测得点A 的仰角为∠ADC ＝60°，点B 的仰角为∠BDC ＝45°；在E 处测得A 的仰角为∠E ＝30°，并测得DE ＝90米，求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).解：在△ADE 中，∠E ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠E ＝∠DAE ＝30°. ∴AD ＝DE ＝90米.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，则CD ＝12AD ＝45米，AC ＝AD ·sin ∠ADC ＝AD ·sin60°＝453米.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，则△BCD 是等腰直角三角形. BC ＝CD ＝45米，∴AB ＝AC －BC ＝453－45≈32.9米.答：小山高BC 为45米，铁塔高AB 约为32.9米. 活动2 跟踪训练为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算树A B 的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a ，b ，c ，α，β等表示测得的数据a ·tan α＋1.5.(4)写出求树高的算式：AB ＝AB ＝a ·tan α＋1.5.解：实践一：∵∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥DB ，AB ⊥BD ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴CD AB ＝DE BE. ∵CD ＝1.6米，DE ＝2.7米，BE ＝8.7米， ∴AB ＝1.6×8.72.7≈5.2(m).实践二：(1)在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE ，求得树高出测角仪的高度AE ，则树高为AE ＋BE.(2)如图.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第三章圆3.1 圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1 小组讨论例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D 为所求；图1 图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2 跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0<r<5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3<r<5.(2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3 课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2 圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容.(一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.(二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦.(1)如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵.活动1 小组讨论例 如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由是：∵∠AOD ＝∠BOE ，∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，则∠BAC ＝30°.2.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. ∴AB ＝AC ＝BC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，求∠AOB 的度数.解：∵AB ︵＝DC ︵， ∴∠AOB ＝∠DOC. ∵∠AOD ＝80°，∴∠AOB ＝∠DOC ＝12(180°－80°)＝50°.活动3 课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A 、B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ；那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈1.如图，弦AB ⊥直径CD 于E ，相等的线段有：AE ＝EB ，CO ＝DO ；相等的弧有：AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵，CAD ︵＝CBD ︵.2.在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离OC 为3 cm ，则弦AB 的长为8_cm.活动1 小组讨论例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m).在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即 R 2＝3002＋(R －90)2. 解得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，弦AB ＝4 cm ，点O 到AB 的距离OC 的长是2 3 cm ，则⊙O 的半径是4_cm.2.CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，且AB ⊥CD ，垂足是E ，如果CE ＝2、AB ＝8，那么ED ＝8，⊙O 的半径r ＝5.3.已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE.∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3 课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则∠BAC ＝50°.2.如图所示，点A 、B 、C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D ＝65°.活动1 小组讨论例1 如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝65°.例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，则∠B ＝70°.2.OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC. ∴∠ACB ＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时 圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是55°.活动1 小组讨论例1 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75°例2 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的外角，若∠D ＝120°，则∠CBE 的度数是120°.例3 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD.证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A.1B. 2C. 3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A 的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.。
北师大版数学九年级下册全册教案
§第一章直角三角形的边角关系教学方法分析1、从梯子的倾斜程度谈起教学内容：P1 ~ P7教学目标：1）经历探索直角三角形中边角关系的过程2）理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3）能够运用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比4）能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义难点：根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学建议✧本节共分两课时，第一课时由梯子的倾斜程度问题引入正切，第二课时类比正切的概念引入正弦和余弦✧由梯子的倾斜程度问题引出正切的概念✧问题是开放性的问题，学生的回答可能多样✧这样设计意在引导学生用边之比进行比较✧想一想：通过对前面问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
✧在此基础上，想一想旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，面与直角三角形的大小无关。
这是用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义正切的基础✧由于直角三角形中的锐角A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们这样定义tanA是合理的✧议一议：在得出正切的定义之后，引导学生进一步思考正切的值与梯子倾斜程度。
这是上述结论的直接应用✧工程上，斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切。
因此要注意坡度与坡角的区别和联系。
显然，坡度越大，坡面越陡✧做一做：这是余弦、正弦定义的进一步应用，同时渗透了sin（90-A）= cosA2、30°、45°、60°角的三角函数值教学内容：P10 ~ P13教学目标：1）经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义2）能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算3）能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算难点：根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小教学建议✧本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算✧含有30°、45°、60°角的直角三角形具有一些特殊性质，因而可以计算出这些特殊角的三角函数的准确值✧三角尺是学生非常熟悉的学习工具，书本由此引入求30°、45°、60°角的三角函数值的问题✧求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的特性✧做一做：求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边✧求45°角的三角函数值，关键是利用“含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征✧例1旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，另外，可以向学生说明，今后若没有特别说明，用特殊角的三角函数值进行求值时，一般不取近似值✧例2可以引导学生画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力3、三角函数的有关计算教学内容：P14 ~ P20教学目标：1）经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义2）能够运用计算器进行有关三角函数值计算的实际问题3）能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题教学重点和难点重点：运用计算器进行有关三角函数值计算的实际问题难点：运用计算器进行有关三角函数值计算的实际问题教学建议✧本节共分两课时，第一课时主要利用计算求一般锐角的三角函数值，第二课时主要利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小✧计算缆车的上升高度，需要求16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数值的计算问题✧不同计算器的按键方式可能不同，教学时可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤✧想一想：如上升的高度、移动的距离等✧教学时要引导学生根据自己使用的计算器探索具体操作步骤✧例1、例2：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度、而且角度又不易测量。
初中数学教案北师大版九下
初中数学教案北师大版九下教学目标：1. 让学生了解概率的定义和意义，理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
2. 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
教学重点：1. 概率的定义和意义。
2. 必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
教学难点：1. 概率的计算方法。
2. 运用概率知识解决实际问题。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学卡片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示一幅彩票图片，引导学生思考：中奖的可能性有多大？2. 学生分享自己的看法，教师总结：这就是我们今天要学习的概率。
二、新课导入（15分钟）1. 教师讲解概率的定义：概率是反映事件发生可能性大小的量。
2. 学生跟随教师一起总结必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
三、实例分析（15分钟）1. 教师出示教学卡片，让学生举例说明必然事件、不可能事件、随机事件。
2. 学生分组讨论，分享自己的例子，教师点评并总结。
四、概率计算（15分钟）1. 教师引导学生用树状图或列表法展示所有可能的结果，找出符合条件的结果数。
2. 学生根据公式：概率 = 符合条件的结果数 / 所有可能的结果数，计算事件的概率。
五、练习与应用（15分钟）1. 教师出示练习题，让学生独立完成，检验自己的学习效果。
2. 学生分享自己的解题过程，教师点评并解答疑问。
六、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
2. 学生分享自己的学习感受，教师给予鼓励和指导。
教学反思：本节课通过实例分析和练习，让学生掌握了概率的定义和计算方法，能够运用概率知识解决实际问题。
在教学过程中，教师注重引导学生主动探究，培养学生的合作精神和数学思维能力。
同时，通过课堂互动和练习，及时发现学生的问题并进行解答，提高学生的学习效果。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版24
![[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版24](https://img.taocdn.com/s3/m/5256c5f580eb6294dd886c6f.png)
课题：3.1圆教学目标：1．知道圆的有关定义，及表示方法；2．掌握点和圆的位置关系；3．会根据要求画出图形。
教学重点与难点:重点：点和圆的三种位置关系．难点：用集合的观点研究圆的概念．教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课同学们，春节期间中央电视台举办的《中央谜语大会》很受观众们的关注，也让我们积极的参与进来吧？出示谜题，学生自由讨论发挥，随着谜底的解开引入课题.（引入新课，板书课题）活动一：1.让学生举例说明生活中存在的圆的图案.2.出示老师搜集的图片让学生感受圆.活动二：（1）请大家用自己的方式在草稿纸上画一个圆.要求：①尝试用多种方法；②观察、思考圆的形成过程.（2）教师演示用圆规和绳子画圆.活动三：出示图片一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.思考：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？设计意图：增加对圆的感性认知，为抽象出圆的定义做准备.二、师生合作，探究新知活动一：圆的定义[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的?[生]圆形．[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢?能否做成长方形或正方形?老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点?大家讨论．讨论如下图：[生]圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看几，图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系?用什么方法可以判断，大家动手做一做．[生]……[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么?[生]OA=OB．[师)刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系?[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(centreofacircle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．活动二：介绍弦、弧、直径、半径、半圆、等圆的相关概念.以教师介绍、学生认知为主.设计意图：通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版30
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课题：3.4.1圆周角与圆心角的关系教学目标：1．掌握圆周角的概念和圆周角定理的证明．2．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.3．学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点与难点：重点：圆周角定理的证明及应用．难点：圆周角定理的证明和分类讨论问题的应用．课前准备：多媒体课件、圆规、三角板．教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容1：视频欣赏(多媒体播放足球射门视频)活动内容2：设疑导入如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？今天就让我们一起来共同学习圆周角和圆心角的关系．【板书课题：3.4圆周角和圆心角的关系（1）】处理方式：学生观看视频后思考、分析并进行交流.设计意图：通过视频欣赏，充分调动学生的课堂热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处体现着数学的艺术.通过设疑，激发学生的求知欲，培养学习兴趣．二、探究学习，感悟新知活动内容1：圆周角的概念问题1：观察右图中的∠BAC，∠BAC，∠BAC，你有什么发现？与同伴交流．问题2：∠BAC，∠BAC，∠BAC是圆心角吗？它们与圆心角的区别是什么？与同伴交流．处理方式：学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己发现，引导学生与圆心角进行对比，重点引导学生说出∠BAC、∠BAC、∠BAC的共同特特征，把握两点特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．接着给出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．巩固练习：火眼金睛1．判断下列各图形中的角是不是圆周角.（第1题图）（第2题图）2．指出图中的圆周角．处理方式：教师先引导学生回顾圆周角定义中的两个条件：①顶点在圆上；②两边分别与圆还有另一个交点．对于第2题，因为半径AO没有延长，所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．两题可采用抢答的形式来完成．设计意图：通过让学生经历“观察--发现—对比--交流---总结”这一数学活动过程，一方面积累数学活动的经验，另一方面也加深了学生对圆周角的理解．类比圆心角来学习圆周角，学生会感觉自然，易于接受；通过两个练习，让学生加深了对圆周角定义的理解和直观感受. 让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动内容2：圆周角与圆心角的关系1．直观感受：做一做如图，∠AOB=80°．（1）请你画几个AB所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．处理方式：对于问题（1）应先让学生明确问题的要求，找到特定的弧，然后再画圆周角．学生所画的圆周角的位置会有不同，教师可以从中找出典型的图形进行展示，同时引导学生观察所画的圆周角与圆心角∠AOB有几种位置关系，然后通过对比猜测这几个圆周角的关系，与同伴交流自己的想法．学生所画圆周角展示：对于问题（2），教师可引导学生通过度量来进行猜测验证这些圆周角和圆心角∠AOB 的大小有什么关系．并启发学生思考：为什么不同位置的圆周角度数相同？从而初步得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．设计意图：通过画图加深对圆周角的理解，同时在画图的过程中让学生感受所画的圆周角与圆心角∠AOB所对的弧是同一段弧．为下面的对比或度量猜测结论做好铺垫．2．猜想：议一议在上图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流．处理方式：学生猜想结论是否成立，并尝试进行说理．3．证明已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：12C AOB ∠=∠．分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在圆周角∠C的一边上，如图（1）；（2）圆心O 在圆周角∠C 的内部，如图（2）；（3）圆心O 在圆周角∠C 的外部，如图（3）．处理方式：先引导学生明确题意，再根据圆周角和圆心角的位置关系，进行分析--讨论--证明．证明时先让学生证明圆心O 在圆周角∠C 的一边上的情况，对于另外两种情况教师应适时进行引导，分析如何添加辅助线，将其转化为（1）的情况进行证明．情况（1）可让学生到黑板板演，适时点拨强调，规范学生的解题步骤．情况（2）（3）如果时间充足可让学生板演证明过程，也可借助实物投影展示学生的证明过程．注意要及时给予肯定的评价，帮助学生树立信心．证明：（1）当圆心O 在圆周角∠C 的一边上时，如图（1）．∵∠AOB 是△ACO 的外角，∴∠AOB =∠C +∠A ．∵OA=OC ，∴∠A =∠C ．∴∠AOB =2∠C ，12C AOB ∠=∠即． （2）当过点C 作直径CD .证明过程略．（3）当过点C 作直径CD . 证明过程略．（2） （3）4．总结归纳通过以上证明过程你能得出什么结论？圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.5．应用 （1）如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C ，D 为半圆上的两点，∠COD =50°， 则∠CAD =_______．第（1）题第（2）题（2）如图，A、B、C为⊙O上三点，∠ABO=65°，求∠BCA的度数．处理方式：学生在说出答案的同时，请学生说出理由．教师总结：求圆周角时，要想到它所对的弧对的圆心角．设计意图：通过学生画圆周角，并测量出来，就能直观地感受它们之间的关系,然后就会很努力的去验证这个目标.两个巩固练习，是为了让学生活学活用.三、拓展延伸，提高认识想一想：（1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？（2）如图，在⊙O中AB=EF，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?处理方式：（1）引导学生观察∠BAC，∠BAC，∠BAC是同弧（AC）所对的圆周角，根据圆心角定理，它们都等于AC所对圆心角的一半，所以这几个圆周角相等．（2）引导学生结合圆心角定理和圆周角定理得出∠C 和∠G．根据以上学生的回答教师及时提出问题：由以上两题你能得出什么结论？学生思考总结后给出圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等巩固训练：1．判断题：（1）在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等. （）（2）相等的圆周角所对的弧也相等. （ ）（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）2．在如图所示的8个角中，哪些是相等的角？你能从图中找出几对相似三角形吗？处理方式：训练习题由学生独立思考，然后采用抢答的形式完成．对于第1题中的第（3）题，要留给学生更多的思考空间．第（2）个问题由学生来处理，最后总结：由同一条弧去找圆周角，相似三角形也是去找相等的角．设计意图：学生掌握圆周角定理的基础上，应用圆周角定理得出推论，让学生更能深刻的体会到圆心角和圆周角的关系和联系．即时训练就是加深对知识的理解和应用.四、回顾反思，提炼升华通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再与大家一起分享.学生畅谈自己的收获!设计意图：通过学生对本节课所学进行梳理，理清本节课的主要内容，并且养成反思与总结的习惯，培养学生自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高1．如图，点B ，C 在⊙O 上，且BO =BC ，则圆周角∠BAC 等于 ．（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD =60°，则∠DBC 的度数为 ．3．（选做）如图，弦AB 与CD 相交于点P ，求证：PA •PB =PC •PD处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，尽可能地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所提高，明确哪些学生需要加强辅导，达到全面提高的目的．OABC六、布置作业，课堂延伸必做题：课本80页，习题3.4第1、2题．选做题：课本81页，习题3.4第4题．板书设计：学生活动区域。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版16
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课题：2.3.2确定二次函数的表达式教学目标：1.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.2.会用待定系数法求二次函数的表达式.3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.教学重点与难点：重点：用待定系数法求二次函数的解析式.难点：建立适当的直角坐标系,求出函数解析式,与环保知识相结合解决实际问题.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：多媒体课件教学过程：一、创设情境，导入新课生命在于运动，保持健康的身体，离不开运动.生命在于运动，运动在于锻炼，锻炼贵在坚持，坚持就是胜利.同学们,让我们行动起来吧.活动内容:你能求出在投篮的过程中得到的抛物线的解析式吗?(温馨提示：建立适当的直角坐标系，求出这段抛物线所对应的二次函数表达式)处理方式：1.学生自主解决;2.小组合作,质疑解惑;3.集体交流,展示成果.二次函数解析式有哪几种表达方式？【设计意图】创设愉悦宽松的学习氛围，让学生在完全放松的情绪下感知生活，增加新鲜感，激发学生兴趣，锻炼学生的反应能力，体会二次函数的重要意义.产生学习函数的兴趣，激发学习数学的热情，同时也进行了思想及责任感教育.教育家霍姆林斯曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲惫.二、探究学习，感悟新知活动内容：三个不同类型的典型例题【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式,并写出它的对称轴和顶点坐标.解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.将(-1,10) ,（1，4），（2，7）的坐标分别代人表达式,得a-b+c=10，学生讨论交流，小组代表回答：设--代--解--还原议一议：已知抛物线经过三点A（0，1），B（1，2），C（2，1），求二次函数的解析式，你有几种方法？与同伴进行交流.处理方式：学生自己尝试完成，然后教师通过屏幕演示，加深做题印象，强化做题步骤.【设计意图】做题过程中，鼓励学生采用多种方法去解题，然后对各种方法进行比较，从而得出用顶点式的表达式的方法更为简单；也让学生明确了什么时候该用顶点式的表达式.三、慧眼识珠,感悟新知：活动内容：试判断下列各题分别用哪种方法来求表达式，并说明理由.1.已知抛物线经过三点A（0，3），B（－1，0）C（1，－5），求二次函数的表达式.2.已知抛物线其顶点坐标为（1，4），且该图像经过点A（4，6），求二次函数的表达式.3.已知抛物线顶点在坐标原点，且图像经过（2，8），求二次函数的表达式.处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评.【设计意图】通过几个不同形式的练习题，让学生明确什么时候用一般式，什么时候该用顶点式；采用顶点式的表达式时，它的主要标志有：顶点坐标、最值、对称轴、增减性等.从而达到灵活应用不同形式的抛物线表达式去解题的目的.四、提升运用、回归生活活动内容：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2m.(1)建立适当的平面直角坐标系?(2)求出抛物线的函数解析式?处理方式：1.学生自主解决;2.小组合作,质疑解惑;3.集体交流,展示成果.相信自己，推荐自我!【设计意图】抛物线这部分的知识是非常抽象又枯燥的，所以与生活实际相联系可以提高学生学习数学的兴趣，达到学以致用的目的；同时通过学生自己动手建立坐标系，求表达式，让学生感受到不同的坐标系对应不同的表达式，使学生根据不同的条件灵活的掌握如何确定二次函数的表达式的方法.五、回顾反思，提炼升华活动内容：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！六、达标检测，反馈提高1．已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________.2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________.3.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.4.链接中考：（2014•宁波）如图，已知二次函数y=a x2+bx+c的图象过A（2，0），B （0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．答案提示：（1）∵二次函数y=a x2+b x+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．【设计意图】学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本45页，习题2.7第1题、第2题、第3题．选做题：要求：自编一道求二次函数表达式的问题（谜底自己要知道哟）．考考同学们，看谁编的题巧妙!【设计意图】由于学生在知识、技能、能力等方面的发展不尽相同，所以分层次布置课外作业，兼顾学习有困难的和学有余力的学生，使他们都能达到数学标准中规定的基本要求并使部分学生能发展他们的数学才能.。
九年级数学下册全一册教案(45份)北师大版35(美教案)
课题：直线和圆的地点关系教课目的：.使学生理解直线和圆的三种地点关系；并会判断.．掌握切线的定义和性质；能判断一条直线能否为圆的切线.教课要点与难点：要点：直线和圆的三种地点关系；切线的定义和性质.难点：判断直线和圆的地点关系.教法与学法指导：本节课采纳小组合作学习模式，以教案为载体，实行目标导学法，进行五环节教课：复习导入，提出问题→自主合作，解决问题→展现报告，反响点拨→牢固训练，拓展提升→小结收获，讲堂检测；突出学生的主体作用，培育学生自主研究，合作议论等完本钱节学习任务.利用察看、着手、猜想、概括、类比、试试等方法，由生活情境引出知识，对比点和圆地点关系得出直线和圆的地点关系及其数目关系，同时联想对称知识得出圆的切线性质，培养学生发现问题、解决问题，应用知识的能力.课前准备：多媒体课件、导教案、圆规、直尺.教课过程：一、复习导入，提出问题活动内容:回复以下问题〔展现投影〕.问题.如图：平面内，点与圆的地点关系有：、、.问题．如上图，设圆的半径为，点到圆心的距离为，达成下边填空:()点在<>；()点在<>；()点在<>.办理方式：、小题比较简单，直接找根基较弱的学生口答达成，学生相互沟通增补，教师直接展现答案并赐予踊跃评论.设计企图：一图两用，复习旧知加深学生的印象.经过两个问题，让学生回想点和圆的三种地点关系，起到温故知新的作用，同时为后边类比得出直线和圆的地点关系埋下伏笔，起到设置悬念，承前启后的作用.师：假如把点换成直线，那么直线和圆又会有哪些地点关系呢？〔教师板书课题〕,思虑下问题：同学们在海边看过日出吗？请你用数学的目光来赏识“海上日出〞图列问题：〔多媒体出示〕．〔〕假如把太阳看作圆，地平线看作直线，你能用图形表示出上边地平线与圆之间的地点关系吗？〔〕察看以下列图中地平线与太阳的地点关系，谈谈直线与圆的公共点个数如何变化？由此你能得出直线和圆的地点关系分为几种状况？地平线办理方式：留给学生适合的时间思虑和着手，经过小组合作沟通一同达成，教师进行巡视和展现学生成就，鼓舞学生着手作图解答，教师赐予合时点拨和鼓舞.设计企图：经过现真相境的展现，调换学生的情绪，激发学习和研究的热忱，吸引学生的注意力，培育学生察看、思虑和着手能力，感觉生活中的知识同时获取成功的体验，培育学生剖析思虑，把生活问题转变成数学识题来解决的方法.二、自主合作，解决问题．展现目标〔投影出示〕：学习目标：.理解直线和圆的三种地点关系；并会判断.．掌握切线的定义和性质；能判断一条直线能否为圆的切线.要点：直线和圆的三种地点关系；切线的定义和性质.难点：判断直线和圆的地点关系.办理方式：经过多媒体展现，让学生默读明标，明确本节课的目标和重难点.设计企图：经过目标展现，使学生明确本节课的任务，为后边的研究引导方向.(实行目标任务〕.活动内容：请大家自学课本页,独立达成下边问题〔分钟〕.(出示投影)()直线和圆有三种地点关系〔如以下列图〕，分别为：、、.()直线和圆有〔即直线和圆〕时，这条直线叫做圆的切线.叫做切点.()如图：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，①直线和圆订交<>；②直线和圆相切<>；③直线和圆相离 <>.办理方式：经过多媒体展现，让学生默读明标，明确本节课的目标和重难点，同时用自学指导的方式引导学生去自学解决目标中的问题，给学生足够的时间去独立学习解决问题.设计企图：为学生搭建一个自主学习的平台，尽兴发挥自我的空间，培育学生的自学和研究精神.进而感觉和经历知识产生的过程，充足理解直线和圆的三种地点关系，同时培育自学能力和创新精神，充足表达学生的主体性地位，为下一环节的小组合作与议论做准备.师：请同学们依照屏幕要求达成下边的问题.三、展现报告，反响点拨活动内容:请各小组议论沟通自学指导中的问题答案，并作好展现准备.〔分钟〕办理方式：个小题，先利用小组的任务分工，学友互帮，经过议论沟通一致答案.最后分别找后进生代表进行展现回复，教师赐予小组加分鼓舞.错误的答案，经过优异生进一步纠偏标准结果.在学生回复的根基上，教师重申：〔〕与的关系与直线和圆的地点关系是互逆的.〔〕判断直线和圆的地点关系的方法有两种(如图)：依据定义中公共点的个数、或依据与的关系.地点关系根本图形公共点个数数目关系订交个<相切个相离个<设计企图：充足利用学习小组的职能作用，实行兵教兵式的互帮合作，让程度较勤学生给后进生做解说，起到帮带和示范作用，让每个学生都踊跃参加，获取成功的体验，进而加深印象，达成目标任务..同时展开小组间的加分竞争，起到夯实根基知识，激发学生的学习热忱，同时展开团队精神.活动内容：〔实行任务目标〕问题：你能举出生活中直线与圆订交、相切、相离的实例吗?问题：试依据图中提示画出知足条件的直线.订交相切相离问题：思虑：上边的图形是轴对称图形吗？假定是，请画出其对称轴.办理方式：第题在小组议论沟通的根基上，选代表回复展现结果，教老师赐予踊跃的评价和鼓舞；如：自行车的车轮在地面上转动，能够看做圆与直线相切；把筷子放在碗上，可看做直线与圆订交；摩天轮与地面是相离关系、两题由学生着手试试达成，教师进行巡视指导，选派小组代表到黑板展现，同时教师重申在初中阶段只研究直线与圆相切这一地点关系生〔和〕：.订交相切相离设计企图：题经过学生举例，牢固所学知识，并感觉知识与生活的联系，培育学致使用的精神，激发学习数学的兴趣、题对知识起到上挂下联的作用，既加强了学生的着手能力又巧为后边研究新知做铺垫，一题两用，一箭双雕，使知识螺旋上涨，切合学生的学习和认知规律.问题：如图,直线与⊙相切于点,直径与直线有如何的地点关系?谈谈你的原因.〔投影展示〕生：直径垂直于直线.原因:∵右图是轴对称图形是对称轴,∴沿直线对折图形时与重合,所以,∠∠°.概括结论：圆的切线垂直于过切点的半径.引导生书写符号语言：∵是⊙的切线是切点,是⊙的半径,∴⊥.办理方式：经过投影展现问题后，再次利用小组合作议论解决问题，教师进行巡视指导，进行点拨鼓舞，最后由学生口答达成，教师实时重申并做好板书.设计企图：在老师实时的引导下，学生知识不停向前推动，轻松达成目标任务的学习，同时感觉收获知识的快乐.着重学生的语言表达以及数学概括能力的培育，展开合作精神.四、牢固训练，拓展提升例.△的斜边8cm，直角边4cm.1〕以点为圆心作圆，当半径为多长时，与⊙相切？2〕以点为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与分别有如何的地点关系？办理方式：例由教师引导学生先进行剖析，依据与间的数目关系可知：＝时，相切；＜时，订交；＞时，相离．再依据与间的数目关系判断结论．由学生到黑板板书出其答题过程，教师投影给出参照答案修正，鼓舞多种方法计算.生解：()如上图，过点作的垂线段．∵＝4cm，＝8cm；∴＝AC1，AB2∴∠＝°．∴＝＝°＝3()．所以，当半径长为23cm时，与⊙相切．()由()可知，圆心到的距离＝23，所以，当＝2cm时，＞，⊙与相离；当＝4cm时，＜，⊙与订交．设计企图：经过例题，提升学生运用知识的能力，进而牢固学生对切线性质的理解；同时培育学生的语言表达能力，标准解题格式，加强学生间的互帮与合作，培育一题多解的发散思想能力，激发学生学习数学的成就感和兴趣.牢固练习：〔投影展现〕.⊙的直径为12cm．〔〕假定圆心到直线的距离为3cm，那么直线与⊙的地点关系为；〔〕假定圆心到直线的距离为6cm，那么直线与⊙的地点关系为；．假定直线和圆订交，圆的半径为,且直线到圆心的距离为５，那么有〔〕.<.>..≥.假定直线与⊙起码有一个公共点,那么此直线与⊙的地点关系是().订交或相切.订交或相离.相切或相离.上三种状况都有可能办理方式：此三个题目由学生先独立达成，教师进行巡视指导；而后经过小组合作与交流一致答案，由学生相互纠错更正.设计企图：经过三个小题牢固本节课所学内容，生对本节知识的理解，抵达活学活用的目的.再一次回扣本节课的学习目标，深入学师：同学们，因反省才进步，有总结才提升，就让我们就象虚心的竹子相同，节节进步，共同成长吧！五、讲堂检测，小结收获讲堂小结：请大家谈谈本节课你有什么收获？与同学一同分享.当堂达标：．如图，直线与．43⊙相切于点，．．23⊙的半径为，假定．∠°，那么的长为〔〕.(年天津市)如图，是⊙的弦，是⊙的切线，为切点，经过圆心．假定∠°，那么∠的大小等于.〔?邵阳〕如图，△的边与⊙订交于、两点，且经过圆心，边与⊙相切，切点为．∠°，那么∠的大小是.设计企图:学生经过小组互评和自评，使学生全面认识自己的学习结果，感觉自己的成长和进步，同时促使对学习实时进行反省，为教师全面认识学生的学习状况，改进教课，实施因材施教供给重要依照.部署作业：必做：课本习题、；选做：如图，为⊙的直径延伸线上的一点，与⊙相切，切点为，点是⊙上一点，连结．已知．以下结论：〔〕与⊙相切；〔〕四边形是菱形；〔〕；〔〕∠°．此中正确的个数为〔〕．个．个．个．个办理方式：讲堂小结松手给学生达成，学生相互增补足享收获；当堂达标由学生独立达成，师生一同批阅.设计企图：讲堂总结是知识积淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反省的习惯，培育自我反响，自主展开的意识．六、板书设计§．．直线和圆的地点关系一回想：点与圆的地点关系.研究直线与圆的三种地点关系()从公共点个数来判断()从点到直线的距离与半径间的数目关系来判断．.切线的定义与性质：三例题四小结收获，部署作业天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版31
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课题：3.4.2圆周角和圆心角的关系教学目标：1. 掌握圆周角定理的2个推论的内容.2. 会熟练运用推论解决问题. 教学重点与难点：重点：圆周角定理的几个推论的应用. 难点：理解2个推论的“题设”和“结论”. 课前准备：教师准备多媒体课件. 教学过程:一、创设情境 导入新课 活动内容：前面，我们学习了圆周角定理及推论，请完成下列问题. 1.求图中∠x 的度数：2.求图中∠x 的度数：∠ABF=20°，∠FDE =30°处理方式：引导学生自行探究，然后集体交流，根据学生回答情况，设问：还有哪些推论？下面我们共同探究.设计意图：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习2是复习定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.二、自主学习 合作探究 活动内容1：（1）观察图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？第1题第2题处理方式：首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC ） 然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC 是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.（多媒体展示）解：直径BC 所对的圆周角∠BAC =90°． 证明：∵BC 为直径， ∴∠BOC =180°．∴12BAC BOC ∠=∠．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）（2）观察图，圆周角∠BAC =90°，弦BC 是直径吗？为什么？处理方式：首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.（多媒体展示） 解：弦BC 是直径. 连接OC 、OB ． ∵∠BAC =90°，∴∠BOC=2∠BAC =180°．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B 、O 、C 三点在同一直线上． ∴BC 是⊙O 的一条直径．（3）从上面的两个议一议，得出什么推论？处理方式：引导学生结合上面两题归纳，并用多媒体展示.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.几何表达为：直径所对的圆周角是直角； ∵BC 为直径，∴∠BAC =90°.（90°的圆周角所对的弦是直径） ∵∠BAC =90°， ∴BC 为直径．设计意图：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.活动内容2：（1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？（2）如图，⊙O 的直径AB =10cm ，C 为⊙O 上的一点，∠B =30°，求AC 的长．解：∵AB 为直径， ∴∠BCA=90°． 在Rt △ABC 中， ∠ABC =30°，AB =10， ∴152AC AB ==． 处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再集体交流，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.活动内容3：1.如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，2.请问∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？为什么？处理方式：首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.接着多媒体展示过程.解：∠BAD 与∠BCD 互补．∵AC 为直径，∴∠ABC =90°,∠ABC =90°． ∵∠ABC +∠BCD +∠ABC +∠BAD =360°， ∴∠BAD +∠BCD =180°．∴∠BAD与∠BCD互补．3.如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？处理方式：首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 接着多媒体展示过程.解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.连接OB，OD，∵122BAD∠=∠,112BCD∠=∠．（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补4.圆内接四边形概念与性质探索如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？∠BAD与∠BCD之间有什么关系？处理方式：通过得出定义,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，得出推论：圆内接四边形的对角互补.多媒体展示几何语言.∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）设计意图：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.活动内容4：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？处理方式：让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节，多媒体展示过程.解：∠A=∠CDE．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°．（圆内角四边形的对角互补）∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE．设计意图：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.三、引导反思总结归纳活动内容：通过本节学习，你有哪些收获？在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.处理方式：让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.设计意图：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.四、练习巩固，交流提高活动内容：1.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°．（圆内角四边形的对角互补）∵∠A:∠C=4:5，∴51801009C∠=⨯︒=︒．即∠C的度数为100°.2.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数. 解：∵∠BOD=80°，∴1402DAB BOD∠=∠=︒．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°．∴∠BCD=180°-40°=140°．（圆内接四边形的对角互补）处理方式：引导学生独立完成，然后有学生到黑板展示.第2题设计意图：通过这两道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．五、达标检测，评价反馈1．如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC =35°，则∠ADC =（ ） A 、35° B 、55° C 、70° D 、110°2．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =55º， 则∠BCD 的度数为（ ）A 、35ºB 、45ºC 、55ºD 、75º 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC =10,求AE 的长.4．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB =8，BC =6，AC =10，CD =4.求AD 的长.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错．设计意图：在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.六、布置作业，落实目标课本 习题P 84 习题3.5 第2，3题． 板书设计：2题图3题图CDAB4题图1题图。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版38
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课题： 3.6.2直线和圆的位置关系教学目标：1．探索切线的判定方法，归纳总结出切线的判定方法．2．能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质等解决有关问题．3、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重、难点：重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理.难点：探索三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆.课前准备：教师: 多媒体、导学案、直尺、圆规.学生：直尺、圆规.教学过程：一、知识回顾，开辟道路上节课我们学习直线和圆的位置关系，你知道怎么判定直线和圆位置关系吗？（多媒体出示）方法1：看直线与圆交点的个数(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 .(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 . 这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 .方法2：看直线到圆的距离d与圆的半径r的大小关系(1)d＜r直线l与⊙O相交(2) d=r直线l与⊙O相切(3) d＞r直线l与⊙O相离处理方法：利用多媒体展示直线与圆的位置关系，让学生口答判定直线与圆的位置关系的两种方法，教师要特别强调直线与圆相切的判断。
设计意图：用多媒体的形式展示直线与圆的位置关系，帮助学生识记直线与圆的三种位置关系，教师强调直线与圆相切的判断为为本节课圆的切线的判定学习作好铺垫．二、创设情境，提出问题同学们，请欣赏下面的两幅图片：（1）当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？（2）砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？本节课我们来继续探究直线和圆的位置关系．【教师板书课题：3.6直线与圆的位置关系（2）】处理方式：通过图片的展示引发学生学习的兴趣，学生利用生活经验描述情境1中的水流痕迹是一条直线并且与雨伞的边缘相切，情境2中飞出火星是一条直线与砂轮相切，进一步引出对直线与圆相切判断的思考，从而引出本节课的学习。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版23
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课题：2.5.2二次函数与一元二次方程教学目标：1．复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解．2．让学生体验一元二次方程ax2+bx+c =h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h 的近似根．3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想.教学重点与难点：重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程.难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算.教学过程：一、复习回顾，开辟道路二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?1．若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能说明3．不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.处理方式：以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．设计意图：这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1）（2）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确.问题（3）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫.二、尝试成功，探究创新活动内容：上节课我们学习了二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标，就是y =0时的一元二次方程的根．于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x 轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x -10=0的根吗？（精确到0.1）程ax 2+bx +c =0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系.三、例题讲解，学以致用 活动内容：1.利用二次函数的图象求一元二次方程x 2＋2x －13＝0的近似根2.你能利用函数y ＝x 2＋2x －13的图象求方程x 2＋2x －10＝3的近似根吗？ 3.你能利用二次函数的图象求一元二次方程x 2+2x -10=3的近似根吗？处理方式：(1)用描点法作二次函数y =x 2+2x -13的图象. 由图可知，图象与x 轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．因此x ＝－4.7，x ＝2.7是方程的近似根． （2）用描点法作二次函数y =x 2+2x -13的图象(3) 作直线y =3；(4)观察估计抛物线y =x 2+2x -10和直线y =3的交点的横坐标；由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间，分别约为-4.7和2.7.(5) 确定方程x 2+2x -10=3的解；由此可知，方程x 2+2x -10=3的近似根为:x 1≈-4.7，x 2≈2.7．设计意图：让学生理解一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力.由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识.四、巩固提升 展示自我 活动内容：你能利用二次函数的图象求一元二次方程3x 2-x=1的近似根吗？处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．五、总结概括，整理知识通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？ 处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法.六、达标测试，反馈纠正1．一元二次方程x 2+7x +9=1的根与二次函数y =x 2+7x +9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出来．2．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A 、－3B 、3C 、-6D 、93.若x 1，x 2是方程(x －a )(x －b )= 1（a ＜b ）的两个根， 则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 2处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：本环节是考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决.七、布置作业，落实目标 课本习题P 55 随堂练习 板书设计：。
九年级数学下册全一册教案(45份)北师大版23优教案
课题：二次函数与一元二次方程教课目的：．复习牢固用函数＝的图象求方程＝的解．．让学生体验一元二次方程的根就是二次函数与直线〔是实数〕图象交点的横坐标的研究过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程的近似根．．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形联合思想.教课要点与难点：要点：.经历研究二次函数与一元二次方程的关系的过程，领会方程与函数之间的联系.．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程.难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根而且估量.教课过程：一、复习回想，开拓道路二次函数的图象和轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系?．假定方程的根为和，那么二次函数的图象与轴交点坐标是.．抛物线与轴的交点状况是〔〕、两个交点、一个交点、没有交点、画出图象后才能说明．不绘图象，求抛物线与轴交点坐标.办理方式：以问题的形式指引学生思虑，让学生思虑并回复以上问题，在集体沟通时，关于学生给出的正确答案赐予必定，缺少之处赐予纠正．设计企图：这一环节属于课前热身训练准备利用分钟时间让学生赶快进入到学习新知识的准备中来.问题〔〕〔〕是对上节课知识内容的复习，观察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解能否正确.问题〔〕即作为对上节课内容的回想，又为引入本节新课作好了铺垫.二、试试成功，研究创新活动内容：上节课我们学习了二次函数(≠)的图象与轴的交点坐标和一元二次方程(≠)的根的关系，懂得了二次函数象与交点的横坐，就是的一元二次方程的根．于是，我在不解方程的状况下，只需知道二次函数与交点的横坐即可．可是在象上我很正确地求出方程的解，所以要行估量．你能利用二次函数的象估一元二次方程的根？〔精准到〕－－－－－－－－－－理方式：引学生回画二次函数(≠)的象步方法,察估二次函数的象与的交点的横坐,由象可知，象与有两个交点，其横坐一个在与之，另一个在与之．所以方程的两个根一个在与之，另一个在与之．既然一个根在与之，那个根必定是点几，所以个位数就确立下来了，接着确立十分位上的数，能够用一的方法，即分把，，⋯，代入方程行算，哪一个能使等式建立(或哪一个能使等式近似建立)，个就是方程的根(或近似根).从上表可知，当取或，的由正，可在和之必定有一个得使，即有方程的一个根.因为当，比〔〕更靠近.所以.所以，方程在和之精准到的根.意：本是本新的要点内容，目的意一是学生牢固二次函数象抛物的形成的，其二主假如他运用二次函数象与交点的横坐就是方程的根的原理，一元二次方程根的近似研究程，一步领会二次函数与方程之的系.三、例解，学致使用活内容：.利用二次函数的象求一元二次方程＋－＝的近似根－－－－－－－－－－－.你能利用函数＝＋－的图象求方程＋－＝的近似根吗？.你能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根吗？办理方式：()用描点法作二次函数的图象.由图可知，图象与轴的两个交点的横坐标中，一个在－与－之间，一个在与之间，因此两个根分别为负点几和点几，下边用计算器进行研究．所以＝－，＝是方程的近似根．〔〕用描点法作二次函数的图象()作直线；()察看预计抛物线和直线的交点的横坐标；由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在与之间，另一个在与之间，分别约为和.()确立方程的解；由此可知，方程的近似根为≈，≈．设计企图：让学生理解一元二次方程的根就是二次函数与直线〔是实数〕图象交点的横坐标这一代数原理，培育学生娴熟画函数图象的能力，提高运算的正确性和娴熟使用计算器的能力.因为要列表、取值计算、描点的工作量较大，教课中我组织了学生在学习小组内合作、分工来达成，借此培育学生合作意识.四、牢固提高展现自我活动内容：你能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根吗？办理方式：学先让学生思虑，达成练习后，再用课件展现图例,并统计学生答题状况．学生依据答案进行纠错．设计企图：经过这道题目对学生的掌握状况进行反响，发现学生在解决这种问题是存在的缺少之处，假如学生感觉到困难，能够进行小组议论或许教师加以指引点拨．五、总结归纳，整理知识经过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思虑的还有是什么？办理方式：由学生进行讲堂小结，要给学生充分的时间进行思虑，得出结论后，再进行集体沟通和课件展现.设计企图：鼓舞学生联合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，经过学生的讲话，察看他们能否理解了一元二次方程的根就是二次函数与直线〔是实数〕图象交点的横坐标，能否掌握了用绘图象的方法来研究方程根的方法.六、达标测试，反响纠正．一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来．．二次函数y ax2bx的图象如图，假定一元二次方程ax2bx m0有实数根，那么的最大值为〔〕、－、3C、、.假定，是方程(－)(－)〔＜〕的两个根，那么实数，，，的大小关系为、＜＜＜、＜＜＜、＜＜＜、＜＜＜办理方式：学生在教案上做完后，教师出示答案，指导学生校正，并统计学生答题状况．学生依据答案进行纠错．设计企图：本环节是观察同学们能否理解了用图象法求方程根的方法，可否迅速正确的利用图象研究方程根的近似值，察看他们能否能自觉利用化归思想把复杂问题转变简单状况解决.七、部署作业，落实目标课本习题随堂练习板书设计：§二次函数与一元二次方程〔〕引例例：学生板演区生活不是等候风暴过去，而是学会在雨中载歌载舞,不要去考虑自己能够走多快，只需知道自己在不停努力向前就行，路对了，成功就不远了。
[初中数学]九年级数学下册全一册教案(45份) 北师大版25
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课题：3.1圆教学目标：1.掌握圆的定义及有关概念．2.掌握点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．3.经历自主学习点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，进一步感悟“数与形”之间的对应关系．重点与难点：重点：点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．难点：会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．课前准备：多媒体课件教学过程：一、创设情境，导入新课问题：看下图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶.他们呈一字排开，你若是其中一员，想站在哪里？为什么？对其他同伴公平吗？你认为排成什么样的队形才公平？处理方式：由学生口答完成.设计意图：结合学生熟悉的生活实例提出问题，学生调动自己的现实生活经验，以及以往学过的知识，回答出问题：排成圆形对大家都公平.从而引入出新课.二、出示目标，确定学习内容多媒体出示：今天需要掌握两个内容和一个应用两个内容分别是：1．圆的定义和相关概念：圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧.2．点与圆的位置关系及与之相对应的数量关系.一个应用则是应用所学知识解决有关的实际问题.处理方式:给学生一分钟时间，各自了解本课时所要学习的内容.设计意图：直接明确目标，利于学生集中精力学习重点内容，学会抓住关键，提高自主学习效果，培养自学能力．三、自主学习，掌握新知活动内容1：请用五分钟时间看课本P65—66的内容，1．掌握圆的定义，与圆相关的概念：圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧. 2．掌握点与圆的三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.3．理解与位置关系相对应的数量关系.处理方式:留给学生五分钟看课本，学生各自静静地看书、标注、思考；教师只是巡视，也不出声，看到没有集中精力看书的学生，也是悄悄地提醒一下.设计意图：本课时的概念比较多，适于学生自己学习总结，因而留出时间，让学生自己学习知识，教师只是给出具体的自学要求，让学生在自学要求的引导下，少浪费时间，迅速总结出所要掌握的本课时知识点.活动内容2：判断对错：1．直径的长是半径的长的2倍.2．两个半径就是一条直径.3．圆上的弧不是优弧就是劣弧.4．圆心定圆的大小，半径定圆的位置.5．直径是弦，弦也是直径.6．半径也是弦.处理方式:学生看完书后，立刻用多媒体出示问题组，让学生先独立思考得出自己的答案，然后再出示正确答案，让学生比较、思考，并说出解决问题的依据.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主学习后，对定义、概念从感性认识上升到理性认识，帮助学生加深理解基本概念，而不是浮于表面文字的机械记忆，引导学生掌握圆的定义及相关的概念：1．圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2．圆心定圆的位置；半径定圆的大小3．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 4．圆心为O 的圆的表示法：⊙5．弧的表示法：优弧ACD 记作 ACD ；劣弧ABD 记作 AD 或 ABD ；参考答案：1．直径的长是半径的长的2倍.（ √ ）2．两个半径就是一条直径.（ × ）3．圆上的弧不是优弧就是劣弧.（× ）4．圆心定圆的大小，半径定圆的位置.（× ）5．直径是弦，弦也是直径.（× ）6．半径也是弦.（× ）活动内容2：在自己的练习本上用圆规画一个圆，回答下列问题：1．此圆把纸张分成了几部分？2．请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系.3．设此圆的半径为r ， 请写出与位置关系相对应的数量关系.处理方式:问题1由学生口答，问题2、3由一名学生在黑板上板书，其余学生在本子上完成.注意纠正出现的问题：先由学生相互纠正，再集体纠正.设计意图：学生在动手实践的过程中形成、比较、总结位置与数量的对应关系，自主探究、合作交流，感受数与形结合的关系.参考答案：1．有三种位置关系，如下所示若点A 在⊙O 内，则OA ＜r .若点B 在⊙O 上，则OB ＝r .若点C 在⊙O 外，则OC ＞r .D C活动内容3：练习题1．已知⊙O 的面积为25π，（1）若PO =5.5，则点P 在________.（2）若PO =4，则点P 在________.（3）若PO =______，则点P 在⊙O 上处理方式:学生通过独立计算、比较，完成填空内容.设计意图：通过此题的练习，使学生学习到解决此类问题的方法：找到两个关键的数量进行比较，即点到圆心的距离和半径的大小.参考答案：1．已知⊙O 的面积为25π，（1）若PO =5.5，则点P 在__⊙O 外 .（2）若PO =4，则点P 在___⊙O 内___.（3）若PO =__5__，则点P 在⊙O 上四、例题解析，应用新知 例题1 已知如图△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB∠A=30°，AC=3cm以C 为半径画⊙C（1）指出点A,B,D 与⊙C 的位置关系.（2）若⊙C 经过点D ,求这个圆的半径.处理方式:模仿活动内容3的方法，学生先读题找思路，然后写出过程，不会的就近找援助相互商量，最后由一名学生在黑板上板书自己的思路，其余学生在本子上完成.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：加强训练本课时的重点与难点，帮助学生强化解题方法技能，同时强调解题过程的规范性、逻辑性.参考答案：解：（1）在△ABC 中∵∠ACB=90°∠A=30°∴BC AB =CD =32∵CB ∴点B 在⊙C 上∵CD =32DB A DB A∴点D在⊙C内∵CA=3∴点A在⊙C外（2）当⊙C经过点D时，半径CD=32错误！未找到引用源。
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课题：1.6利用三角函数测高教学目标：1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．3．能够设计方案测量物体的高度，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，提高解决问题的能力.4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题、解决问题.教学重点与难点：重点：经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程..难点：设计活动方案、自制仪器,综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．课前准备：自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具，多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案?问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？处理方式：问题1、2先让学生思考、讨论交流，然后再回答，对于问题1可能有以下结果：（1）利用太阳光下的影子测量；（2）利用标杆测量；（3）利用镜子的反射测量．…………对于问题2学生回答：“三角形相似，根据相似比求其高度”．对于问题3学生一脸迷茫，充满疑惑。
教师及时引导：看来这个问题暂时有点儿难，今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高.（板书：1.6 利用三角函数测高），学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了． 设计意图：通过创设情境，既复习巩固了三角形相似的内容，又极大地激发了学生学习兴趣，为下面的学习作铺垫，效果非常好.二、动手实践、感悟新知今天我们活动的课题:利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式:分组活动或全班交流研讨.活动工具:测倾器(或测角仪等),皮尺等测量工具.我们先来了解两个概念：仰角、俯角．(1) 如左图，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.(2) 如图所示 在 Rt△ABC 中，∠C =90°. tan A = ,a= ,b = .那么如何测量倾斜角（仰角或俯角）？活动一：测量倾斜角（多媒体课件展示）测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）．铅垂线P支杆AB使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线,铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M ,记下此时铅垂线所指的度数.根据刚才测量数据,你能求出目标M 的仰角或俯角吗?说说你的理由 处理方式：学生分组讨论后回答. ∵∠3=30°，∠3+∠2=90°， ∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3=30°∴目标M 的仰角为30°（依据是同角的余角相等）.也就是说，测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数． 下面我们来看看怎样利用测倾器测量物体的高度.设计意图：通过演示如何使用测倾器并讲解注意事项，培养学生的使用工具的能力. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如图,要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：1.在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE ＝α．2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l ．3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离)． 根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗?说说你的理由. 处理方式：解：在Rt △MEC 中，因为tan α=ECME，所以ME =tana ·EC ＝l ·tan α. 所以MN ＝ME +EN ＝l ·tan α+a. 例1 （多媒体课件展示）MN=Ltan α+ aL ＝20.06mL ＝19.97mL ＝20.15mAN 的长La ＝1.22ma ＝1.21 ma ＝1.23m测倾器高a α＝30°2 ′α＝19°49 ′α＝30°15′倾斜角α平均值第二次第一次测量项目测量学校旗杆MN 的高度(底部可以到达)课题测量示意图测得数据计算过程活动感受C a ANE MαL在Rt MCE 中，ME = ECtan α= ANtan α=20.6×tan30°2′20.6×0.578=11.60m,MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m≈处理方式：同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不可以到达的物体.它们的高度如何测量呢?设计意图：让学生先“热热身”进行简单的测量，初步掌握测量的步骤并推导出一般性的公式，为测量底部不可以直接到达的物体的高度做好铺垫.活动三:测量底部不可以直接到达的物体的高度所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.如图,要测量物体MN 的高度，使用侧倾器测一次仰角够吗？（学生回答：要测量物体MN 的高度,测一次仰角是不够的）.还需哪些条件，测量哪些数据？（学生在各小组内讨论后回答）如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行:1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.提问：根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.处理方式：学生根据测量数据,写出计算物体MN的高度过程：解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ在Rt△MCE中，EC =ME/tanα∴EC-ED=b∴baaMEME=-ββtantantantan∴aabMEtantantantan-=ββ∴atantantantan+-=aabMNββ设计意图：这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以，在教学中要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要深入小组内讨论，帮助有困难的小组.这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要在理，就应该肯定和鼓励.教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决实际应用问题的意识.议一议：1.到目前为止,你有哪些测量物体高度的方法?2.如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？ 处理方式：学生先独立思考、讨论交流，然后再回答，对于问题1可能有以下结果： （1）利用三角函数的知识可以测量物体的高度. （2）利用三角形相似的知识也可以．（3）还有利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.对于问题2可以利用今天所学的三角函数知识解决.教师对学生的回答予以鼓励和肯定． 设计意图：通过及时总结测量物体高度的方法，培养学生的概括归纳能力． 三、联系实际、应用新知 例2：（多媒体课件展示）平均值59.89m45°25’29°44’第二次60.11m 44°35’30°16’第一次CD 的长∠β∠α测量项目测得数据测量示意图在平面上测量某大厦的高AB课题下表是小明所填实习报告的部分内容：C E DF AG B αβ加油，你是最棒的！1.请根据小明测得的数据,填表中的空格.2. 已知测倾器的高CE =DF =1m ，通过计算求得该大厦的高为______米 (精确到1米). 处理方式：解：1. 30° 45° 60m 2. 在Rt △AEG 中，EG =AG /tan 30°=1.732AG .在Rt △AFG 中，FG =AG /tan 45°=AG ， EG - FG =CD ， 1.732AG -AG =60，AG =60÷0.732≈81.96(m) . AB =AG +1≈83(m) .注意事项：在测量当中误差的处理办法.设计意图：通过两道例题的讲解，进一步培养了学生运用数形结合思想分析和解决问题的能力，帮助学生树立学好数学的信心. 四、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1.如图1-16，在高20米的建筑物CD 的顶部C 测得塔顶A 的仰角为60°，测得塔底B 的俯角为30°，则塔高AB = 米；2.如图1-17，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC 和斜坡的坡面CD 上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米.3.如图1-18，测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D 处，在D 处测得山顶B 的仰角为60°，则山高BC 大约是（精确到0.1米）（ ）； A. 1 366.0米 B. 1 482.1米 C. 1 295.9米 D. 1 508.2米4.如图1-19，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β. 则较低建筑物CD 的高度为（ ）.A.a 米B.C.D. a (tan β- tan α)图1-19BD CA图1-18DBE ACB ADC 图1-16βtan a αtan aB组：5.如图，为庆祝元旦节日，阴平中学在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求：学校主楼的高度(精确到0.01m).处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：通过小结，，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．对个别学困生来说是进一步强调和落实，最终力争让每位学生都能达到本节课的活动目标六、布置作业，课堂延伸必做题：1．完成本节数学助学P199第8题第9题.选做题：习题1.7 问题解决第1题第2题第3题．设计意图：旨在帮助学生巩固所学知识，题目间有层次的递进.板书设计：。