第二讲 函数及其表示

第二讲函数及其表示时间：年月日老师学生：一、兴趣导入（Topic-in)清朝名士纪晓岚,有一天和朋友一起上街.走在街上,看见前面有一家小店,店里的老板娘正忙着.纪晓岚就和他的朋友打赌,"我会一句话,让老板娘笑,再一句话,让老板娘闹."朋友们不相信,决定以一桌酒席为赌.只见纪晓岚走向小店,向店门前的看门狗鞠了一躬,叫道"爹!",老板娘"噗"地一声乐了.纪晓岚转过身又冲老板娘叫了一声"娘!".顿时,老板娘勃然大怒,直骂纪晓岚.于是,纪晓岚赢得了一桌酒席........ 思考：由此你得到什么启示？二、学前测试（Testing)1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在f x和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作集合B中都有的数()f x,x∈A.y=()(2)函数的定义域、值域f x,x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的；与x的值相对应的y值叫在函数y=()f x|x∈A}叫做函数的 .显然，值域是集合B的子集.做函数值，函数值的集合{()(3)函数的三要素：、和 .(4)相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：、、 .3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是 .三、知识讲解 (Teaching )☆考点一：函数与映射概念考查特点：函数只有一对一、多对一，切记没有一对多或者多对多。

【例1】：判断下列图象能表示函数图象的是（ ）【变式1-1】：函数()y f x =的图象与直线x = a 的交点个数 （ ）A.只有一个B.至多有一个C.至少有一个D.0个☆考点二:求有解析式的函数的定义域【例2】：函数()13f x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]22+∞-∞-，，B ．[)()2,33+∞，C ．(][)()22,33-∞-+∞，， D ．(]2-∞-，【变式2-1】：函数xx x x f -+=0)1()(的定义域是（ ）A.{}0|<x xB. {}0|>x xC. {}10|-≠<x x x 且D. {}10|-≠≠x x x 且(A)☆考点三:求复合函数和抽象函数的定义域复合函数的定义：如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。

例如：函数212xy += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。

【例3】：（1）已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域.（2）已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域.【变式3-1】：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．☆考点四:求函数的值域【例4】：求下列函数的值域 （1）()()2log 31x f x =+ （2）2()1x f x x -=+（3）()f x x =（4）()f x x =（5）221x x y x x -=-+ （6）241()(),[0,5)3x x f x x -=∈【变式4-1】：求下列函数的值域（1）y （2）221()1x f x x-=+(3)2286()3xx f x -+= （4）211()()2f x x x x =+≤-（5）22y x x =+（用不同的方法求） （6）11()()()142xxf x =-+，[]3,2x ∈-☆考点五:函数解析式的求法【例5】：（1）已知2(1)53f x x x +=++，求()f x 的表达式；（2）已知函数()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 的表达式；（3）已知函数()f x 定义域为(1,)+∞，且1()2(1f x f x=，求()f x 的表达式；【变式5-1】：（1）、已知x x x f 24)12(2-=+，求f(x)；（2）、已知函数()f x 是一次函数，且[()]21f f x x =-，求()f x 的表达式； （3）、已知函数()f x 满足()2()3,f x f x x -+=+求()f x 的表达式；四、强化练习 (Training )一．选择题1. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是 （ ）2．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关3. 已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(-D ．)2,2[-4．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +5.下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．2(),()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．()()()()t t g x x x x x f =⎩⎨⎧<-≥=,00 D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=- 6 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A 10B 11C 12D 13 二．填空题1. 函数1(0)y x x x=+>的值域为 2.（2008山东）已知()234log 3233,xf x =+则()()()()82482f f f f ++++的值等于3．（2010杭州模拟）已知2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数值()3f = 4. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a三、解答题1 设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时,22αβ+有最小值?求出这个最小值2 求下列函数的值域（1）x xy -+=43 （2）152222++++=x x x x y3.已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ，0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值.五、训练辅导 (Tutor )1.（2009海口模拟）已知函数()()2113,f x x x =+≤≤则 （ ）A ．()()12202f x x x -=+≤≤B ．()()12124f x x x -=-+≤≤C ．()()12202f x x x -=-≤≤D ．()()12104f x x x -=-≤≤2.（2009江西理）函数ln 1x y +=的定义域为 （ ）A ．()4,1--B ．)4,1-C ．()1,1-D ．(1,1]-３.（２０１１山东）设函数()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 （ ） A ．1516 B ．2716- C ．89 D.18４.（2008陕西) 定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于（ ）A. 2B. 3C. 6 D ．9５.（2010天津理数）若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是( )（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）六、反思总结 (Thinking )附件：堂堂清落地训练（坚持堂堂清，学习很爽心）学生： 完成时间： 得分： 家长签字： 1.集合M={a,b,c},N ={-1,0,1},映射N M f →:满足0)()()(=++c f b f a f ，那么映射N M f →:的个数是（ ）A.4B.5C.6D.72.若)1(2-x f 的定义域为[-1，2），则f(x)的定义域为__________________.3.函数321sin lg 232x x x y ++-=的定义域是____________________________。

4.设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 。

5 函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A 3 B 3- C 33-或 D 35-或6. 已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A 15 B 1 C 3 D 307． 函数2y =的值域是（ ）A [2,2]-B [1,2]C [0,2]D []8 已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A21x x + B 212x x +- C 212x x + D 21xx+- 9.⑴已知函数法（x ）的定义域为[a,b]，其中a<0<b ，|a|>b.求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。

⑵已知函数y=f(x)的定义域为[0,1].试求函数y=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域。