湖南省重点高中2013届高三自主招生测评数学试题
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理
数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:z=i +i 2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B .2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法答案:D解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样. 3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b.若2a sin B=√3b ,则角A 等于( ).A.π12 B.π6C.π4D.π3答案:D解析:由2a sin B=√3b 得2sin A sin B=√3sin B ,故sin A=√32,故A=π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形,故A=π3.4.(2013湖南,理4)若变量x ,y 满足约束条件{y ≤2x ,x +y ≤1,y ≥-1.则x+2y 的最大值是( ).A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d ,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得最优点为(13,23),所以d max =13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f (x )=2ln x 的图象与函数g (x )=x 2-4x+5的图象的交点个数为( ). A.3 B.2C.1D.0答案:B解析:设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ,y ),则y=2ln x ,y=x 2-4x+5,联立得2ln x=x 2-4x+5,令h (x )=x 2-4x+5-2ln x (x>0), 由h'(x )=2x-4-2x =0得x 1=1+√2,x 2=1-√2(舍). 当h'(x )<0时,即x ∈(0,1+√2)时,h (x )单调递减; 当h'(x )>0,即x ∈(1+√2,+∞)时,h (x )单调递增. 又∵h (1)=2>0,h (2)=1-2ln 2<0,h (4)=5-2ln 4>0, ∴h (x )与x 轴必有两个交点,故答案为B .6.(2013湖南,理6)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0,若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ). A.[√2-1,√2+1] B.[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]答案:A解析:由题意,不妨令a =(0,1),b =(1,0),c =(x,y),由|c-a-b |=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c |=√x 2+y 2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P 时到原点的距离最近,在位置P'时最远,而PO=√2-1,P'O=√2+1,故选A .7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ). A.1 B.√2C.√2-12D.√2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为√2cos θ,如图所示.故正视图的面积为S=√2cos θ(0≤θ≤π4),∴1≤S ≤√2, 而√2-12<1,故面积不可能等于√2-12.8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 为边AB 上异于A,B 的一点,光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( ).A.2B.1C.83D.43答案:D解析:以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC 的重心为D,则D 点坐标为(43,43).设P 点坐标为(m,0),则P 点关于y 轴的对称点P 1为(-m,0),因为直线BC 方程为x+y-4=0,所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4-m),根据光线反射原理,P 1,P 2均在QR 所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合,故舍去. ∴m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案:3解析:由题意知在直角坐标系下,直线l 的方程为y=x-a,椭圆的方程为x 29+y 24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.10.(2013湖南,理10)已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 . 答案:12解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c)2,即a 2+4b 2+9c 2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 11.(2013湖南,理11)如图,在半径为√7的☉O 中,弦AB,CD 相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O 到弦CD 的距离为 . 答案:√32解析:如图所示,取CD 中点E,连结OE,OC.由圆内相交弦定理知PD ·PC=PA ·PB, 所以PC=4,CD=5,则CE=52,OC=√7.所以O 到CD 距离为OE=√(√7)2-(52)2=√32.(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若∫ T0x 2d x=9,则常数T 的值为 . 答案:3解析:∵(13x 3)'=x 2,∴∫ T 0x 2d x=13x3|T=13T 3-0=9,∴T=3.13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 . 答案:9解析:输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;a=3不满足a>8,故a=5; a=5不满足a>8,故a=7;a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9. 14.(2013湖南,理14)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点.若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2的最小内角为30°,则C 的离心率为 . 答案:√3 解析:不妨设|PF 1|>|PF 2|,由{|PF 1|+|PF 2|=6a ,|PF 1|-|PF 2|=2a可得{|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .∵2a<2c,∴∠PF 1F 2=30°,∴cos 30°=(2c )2+(4a )2-(2a )22×2c×4a ,整理得,c 2+3a 2-2√3ac=0,即e 2-2√3e+3=0,∴e=√3.15.(2013湖南,理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则 (1)a 3= ;(2)S 1+S 2+…+S 100= . 答案:(1)-116 (2)13(12100-1)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x +b x -c x ,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为 ;(2)若a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x ∈R ,使a x ,b x ,c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则∃x ∈(1,2),使f(x)=0. 答案:(1){x|0<x ≤1} (2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=3√35,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合. 解:f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x =√3sin x,g(x)=2sin 2x2=1-cos x. (1)由f(α)=3√35得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0. 从而g(α)=1-cos α=1-√1-sin 2α =1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于√3sin x ≥1-cos x,即√3sin x+cos x ≥1. 于是sin (x +π6)≥12.从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为 {x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg )与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 31C 121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3.由P(X=k)=nkN 得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15. 故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46. 19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,∠BAD=90°,AC ⊥BD,BC=1,AD=AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为BB 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD,所以AC ⊥平面BB 1D. 而B 1D ⊂平面BB 1D,所以AC ⊥B 1D.(2)因为B 1C 1∥AD,所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ). 如图,连结A 1D,因为棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD=90°,所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD=AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形,于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D,于是AD 1⊥B 1D.由(1)知,AC ⊥B 1D,所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1=90°-θ.在直角梯形ABCD 中,因为AC ⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而Rt △ABC ∽Rt △DAB, 故AB DA =BCAB .即AB=√DA ·BC =√3. 连结AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 12+BD 2=BB 12+AB 2+AD 2=21,即B 1D=√21.在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=ADB 1D=3√21=√217,即cos (90°-θ)=√217.从而sin θ=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.解法2:(1)易知,AB,AD,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B 1(t,0,3),C(t,1,0),C 1(t,1,3),D(0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,0). 因为AC ⊥BD,所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-t 2+3+0=0.解得t=√3或t=-√3(舍去). 于是B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+3+0=0,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量,则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x +y =0,3y +3z =0.令x=1,则n =(1,-√3,√3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos <n ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =√3√7=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,x ∈R ,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区, 所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ <2p 2; (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为7√55,求抛物线E 的方程.解:(1)由题意,抛物线E 的焦点为F (0,p2),直线l 1的方程为y=k 1x+p2, 由{y =k 1x +p2,x 2=2py 得x 2-2pk 1x-p 2=0. 设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根. 从而x 1+x 2=2pk 1,y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p k 12+p.所以点M 的坐标为(pk 1,pk 12+p 2),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 1,p k 12).同理可得点N 的坐标为(pk 2,pk 22+p 2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 2,p k 22).于是FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =p 2(k 1k 2+k 12k 22).由题设,k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<(k 1+k 22)2=1. 故FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗ <p 2(1+12)=2p 2. (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+p 2,|FB|=y 2+p2,所以|AB|=y 1+y 2+p=2p k 12+2p. 从而圆M 的半径r 1=p k 12+p,故圆M 的方程为 (x-pk 1)2+(y -pk 12-p 2)2=(p k 12+p)2.化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(2k 12+1)y-34p 2=0.同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(2k 22+1)y-34p 2=0.于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(k 22−k 12)y=0.又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2,则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离d=121√5=121√5=p [2(k 1+14)2+78]√5.故当k 1=-14时,d 取最小值85. ,8√5=7√55,解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=|x -ax+2a|. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当0≤x ≤a 时,f(x)=a -xx+2a ;当x>a 时,f(x)=x -ax+2a . 因此,当x ∈(0,a)时,f'(x)=-3a (x+2a )2<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x ∈(a,+∞)时,f'(x)=3a (x+2a )2>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a ≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=12. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max {f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=12−4-a4+2a =a -12+a , 故当0<a ≤1时,g(a)=f(4)=4-a4+2a ;当1<a<4时,g(a)=f(0)=12.综上所述,g(a)={4-a 4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.(2)由(1)知,当a ≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x 1,x 2∈(0,4)(x 1<x 2),使曲线y=f(x)在(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2))两点处的切线互相垂直,则x 1∈(0,a),x 2∈(a,4),且f'(x 1)·f'(x 2)=-1,即-3a(x 1+2a )2·3a(x 2+2a )2=-1.亦即x 1+2a=3a x 2+2a.(*) 由x 1∈(0,a),x 2∈(a,4)得x 1+2a ∈(2a,3a),3ax 2+2a ∈(3a 4+2a ,1).故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B={x |3a 4+2a <x <1}的交集非空. 因为3a 4+2a <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<12时,A ∩B ≠⌀.综上所述,存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值范围是(0,12).。
2013高中自主招生考试选拔试题(含答案)
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为 （得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合 不是好的集合， 是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合 、 、 、 等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： ，且 为 三等分点， 为 中点
我们观察操作，将某次操作前的三个数记为 ．因为 对称，不妨设操作 ．则操作后的三个数为 ， ， ．不难发现
也就是说，操作前后平方和不改变，所以经过有限此操作后，三个数的平方和为10不为2014．（得4分）
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数 的图象如何移动就得到 的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔 盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数-含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若A ．B ．C ．D ． 4.若变量满足约束条件，A ．B ．C ．D ．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知是单位向量，.若向量满足A ．B ．C ．D ． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ． BC ．D ．()()1z ii i =+g 为虚数单位ABC ∆,A B ,a b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3π,x y 211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2x y +则的最大值是5-205352()2ln f x x =()245g x x x =-+,a b 0a b •=c 1,c a b c --=则的取值范围是⎤⎦⎤⎦1⎡⎤⎣⎦1⎡⎤⎣⎦1228.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若直线右顶点，则常数 .10.已知 .11.如图2，在半径为的中,弦.（一） 必做题（12-16题） 12.若 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若且的最小内角为，则C 的离心率为___。
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。
2013年湖南省数学试卷及答案
（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N = ，则x 的值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15B ．14C ．49D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A ．3kmB ．2kmC ．1.5kmD ．2kmyxo(3,2)(1,2)(1,0)（第8题图）1km120°CBA开始 输入x0?x >21y x =-输出y y x=结束是否 （第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a = ，且4a b = ，则b =.三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分） 已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.频率组距早餐日平均费用（元）a 0.100.0512*******（第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ABCABDCDCA二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14、2 ； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴> ，从而23cos 1sin 2αα=-=（2）231sin 2cos 22sin cos 12sin 2ααααα++=+-= 17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2） 频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n === ，(1)1232n n n S n +∴=++++= 20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=- ，(1,2)C ∴- （2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+= 即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。
2013学年湖南高考理科数学年卷答案
3x
6
，解得：
x
2
，将
x
2
代入①可得：
y
1
，
故方程组的解为
x
y
2 1
．
【提示】（1）分别进行平方，绝对值，二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值，继而合并可得出答 案． （2）①+②可得出 x 的值，将 x 的值代入①可得 y 的值，继而得出方程组的解． 【考点】解二元一次方程组，实数的运算，特殊角的三角函数值．
6 / 16
11 个，7 个偶数，4 个奇数，所以， P （抽到偶数） 7 ． 11
【提示】先确定出所有大于 0 且小于 100 的“本位数”，再根据概率公式计算即可得解．
【考点】概率公式．
23.【答案】1 或 0
【解析】解：不等式组的解为： a t 3 ，∵不等式组恰有 3 个整数解，∴ 2 a 1. 2
（2）（ⅰ）过点 Q 作 QF BC 于 F ，根据 △BFQ∽△BCE 可得 BF QF ，然后求3
△ADP∽△FPQ
可得
AD PF
AP QF
，然后整理得到
5
3 AP
BF
AP QF
，从而求出
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科) word解析版
⎨ ⎩绝 密 ★ 启 用 前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 z = i (1+ i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选 B2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【答案】 D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选 D3.在锐角中∆ABC ，角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角A 等于A ． πB ． πC ． πD ． π12 6 4 3【答案】 Dπ π 【解析】 由2asinB = 3b 得 : 2sinA ⋅ sinB = ⋅ sinB ⇒ sinA =，A < 2 ⇒ A = 2 。
选 D 3⎧ y ≤ 2x4.若变量 x , y 满足约束条件⎪x + y ≤ 1， 则x + 2 y 的最大值是⎪ y ≥ -1 A ． - 5 2 【答案】 C B ． 0 C ． 5 3 D ． 521 2 5【解析】 区域为三角形，直线 u = x + 2y 经过三角形顶点( , 3 )时，u = 3 最大。
选 C35.函数 f (x ) = 2 ln x 的图像与函数 g (x ) = x 2 - 4x + 5的图像的交点个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 B【解析】 二次函数 g (x ) = x 2- 4x + 5的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为 x=2，g(2) = 1；f(2) =2ln2=ln4>1.所以 g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为 2 。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(三)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（三）一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）现有五张分别写有“长”“郡”“欢”“迎”“您”的卡片，从这五张卡片中任取一张，取出印有“您”的卡片的概率是（）A．B．C．D．12．（4分）化简（﹣）•（x﹣3）的结果是（）A．2 B． C． D．3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB等于（）A．B．C．D．4．（4分）下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形5．（4分）如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为（）A．x=3 B．x=1 C．x=﹣3 D．无解6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2 B．2+C．2 D．2+7．（4分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a48．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共32分）9．（4分）计算：tan30°﹣（π﹣2011）0+﹣|1﹣|=．10．（4分）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，弦AB、CD 之间的距离为．11．（4分）关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是为．12．（4分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=．13．（4分）若，则=．14．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2．15．（4分）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是．16．（4分）对于自然数n，将其各位数字之和记为a n，如a2009=2+0+0+9=11，a2010=2+0+1+0=3，则a1+a2+a3+…+a2009+a2010=．三、解答题（每题18分，共36分）17．（18分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中：1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？18．（18分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）现有五张分别写有“长”“郡”“欢”“迎”“您”的卡片，从这五张卡片中任取一张，取出印有“您”的卡片的概率是（）A．B．C．D．1【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵总共有5个字，符合情况的有1个，∴取出印有“您”的卡片的概率=．故选：A．【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=．2．（4分）化简（﹣）•（x﹣3）的结果是（）A．2 B． C． D．【分析】利用分式的性质即可求出答案．【解答】解：原式=×（x﹣3）﹣=1﹣=故选：D．【点评】本题考查分式的混合运算，涉及因式分解，属于基础题型．3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】设BC=4x，AB=5x，由勾股定理求出AC=3x，代入tanB=求出即可．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，由勾股定理得：AC==3x，∴tanB===，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，关键是掌握正弦和正切的定义．4．（4分）下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；B、错误，不能确定；C、正确，符合矩形的判定定理；D、错误，两边相等的平行四边形是平行四边形．故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（4分）如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为（）A．x=3 B．x=1 C．x=﹣3 D．无解【分析】先求出P点坐标，再把方程的解转化为求两函数的交点问题，进而可得出结论．【解答】解：∵函数y=﹣经过点P，点P的纵坐标为1，∴1=﹣，解得x=﹣3．∵ax2+bx+=0可化为方程ax2+bx=﹣，∴此方程的解即为两函数的交点，∴x=﹣3．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是把求方程的解转化为求函数交点的问题是解答此题的关键．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2 B．2+C．2 D．2+【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，根据勾股定理得：PE==1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+．故选：B．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．7．（4分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．8．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0．①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．二、填空题（每题4分，共32分）9．（4分）计算：tan30°﹣（π﹣2011）0+﹣|1﹣|=1+．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=×﹣1+2﹣+1=1+．故答案为：1+【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，弦AB、CD 之间的距离为1cm或7cm．【分析】作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5cm，根据平行线的性质得OF⊥CD，再根据垂径定理得AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，于是可根据勾股定理分别计算出OE、OF，然后分类讨论求EF即可．【解答】解：如图，作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5cm，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，在Rt△AOE中，OE==4cm，在Rt△COF中，OF==3cm，当圆心O在平行弦AB与CD之间，EF=OE+OF=4cm+3cm=7cm；当圆心O在平行弦AB与CD之外，EF=OE﹣OF=4cm﹣3cm=1cm；∴弦AB、CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1cm或7cm．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．11．（4分）关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是为m＞2．【分析】先把m当作已知条件表示出x的值，再根据x为正实数列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵mx﹣1=2x，∴x=，∵x为正实数，∴＞0，解得m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，先根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．12．（4分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=3．【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC ∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．13．（4分）若，则=6．【分析】根据非负数的性质先求出a2+、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵，∴+（b+1）2=0，∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴a+=3，∴（a+）2=32，∴a2+=7；b=﹣1．∴=7﹣1=6．故答案为：6．【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出a2+的值．14．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是 5.1cm2．【分析】根据折叠的性质知：AE=A′E，AB=A′D；可设AE为x，用x表示出A′E和DE的长，进而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的长；进而可求出△A′ED 和梯形A′EFD的面积，两者的面积差即为所求的△DEF的面积．【解答】解：设AE=A′E=x，则DE=5﹣x；在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=3c m，ED=AD﹣AE=5﹣x；由勾股定理得：x2+9=（5﹣x）2，解得x=1.6；=S梯形A′DFE﹣S△A′DE=（A′E+DF）•A′D﹣A′E•A′D∴①S△DEF=×（5﹣x+x）×3﹣×x×3=×5×3﹣×1.6×3=5.1（cm2）；=ED•AB÷2=（5﹣1.6）×3÷2=5.1（cm2）．或②S△DEF故答案为：5.1【点评】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AE、A′E的长是解答此题的关键．15．（4分）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是π．【分析】设两直角边为a、b，根据根与系数的关系得出a+b=3（m+），ab=9m，根据勾股定理得出a2+b2=7.52，求出m，即可直角三角形的内切圆的半径，求出面积即可．【解答】解：设两直角边为a、b，∵两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，∴a+b=3（m+），ab=9m，∵直角三角形的斜边为7.5，∴a2+b2=7.52，∴（a+b）2﹣2ab=，∴9（m+）2﹣18m=，解得：m=﹣2或3，经检验m=﹣2不合题意，即m只能为3，∴a+b=，∵直角三角形的内切圆的半径r=（a+b+c），∴r=，∴△ABC的内切圆的面积为π，故答案为：π．【点评】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，根与系数的关系的应用，能求出m的值是解此题的关键．16．（4分）对于自然数n，将其各位数字之和记为a n，如a2009=2+0+0+9=11，a2010=2+0+1+0=3，则a1+a2+a3+…+a2009+a2010=28068．【分析】分别求出自然数1到2010中1到9出现的总次数，则a1+a2+a3+...+a2009+a2010=1×数字1出现的总次数+2×数字2出现的总次数+ (9)数字9出现的总次数，从而求解．【解答】解：把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变a n的值）．1在千位上出现的次数为103，1在百位上出现的次数为2×102，1在十位和个位上出现的次数均为2×102+1，因此，1出现的总次数为103+2×102×3+1=1601．2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2×102，2在个位上出现的次数为2×102+1，因此，2出现的总次数为11+2×102×3+1=612．类似的，可求得k（k=3，4，5，6，7，8，9）出现的总次数均为2×102×3+1=601．因此a1+a2+a3+…+a2009+a2010=1062×1+612×2+601×（3+4+5+6+7+8+9），=28068．故答案为：28068．【点评】本题考查了数字的变化规律，得出自然数1到2010中1到9出现的总次数是解题的关键，注意分类顺序的应用．三、解答题（每题18分，共36分）17．（18分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中：1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？【分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可；（3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可．【解答】解：（1）当1≤x≤7时，设y=kx+m将点（1，8）、（7，26）分别代入y=kx+m得：，解之得：，∴函数的解析式为：y=3x+5，当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c，将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入y=ax2+bx+c，得，解之得：，∴函数的解析式为y=x2﹣22x+131；（2）当1≤x≤7时，y=3x+5为增函数，当x=1时，y有最小值8．当7≤x≤12时，y=x2﹣22x+131=（x﹣11）2+10，当x=11时，y有最小值为10．所以，该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克．（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴x=4时的月平均价格17是前7个月的平均值．将x=8，x=10和x=11代入y=x2﹣22x+131得y=19和y=11，y=10∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11，∴年平均价格为≈15.3元/千克，当x=3时，y=14＜15.3，∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．18．（18分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A 点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6∵S△PAC=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．。
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(一)
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每小题4分，满分32分）1．（4分）函数y=﹣的图象是（）A．B．C．D．2．（4分）同时抛掷两枚硬币，每次出现正面都向上的概率为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．4．（4分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米 C．7.2米D．8米5．（4分）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间6．（4分）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，…，这样一直下去，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）若x﹣1=2（y+1）=3（z+2），则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．6 B．C．D．8．（4分）将一个无盖的正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②），则所剪得直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比是（）A．1：2 B．：3 C．1：3 D．不能确定二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为．10．（4分）已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值为．11．（4分）已知x=sin60°，则=．12．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是．13．（4分）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在利用长度为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么所构成的木架的三边长度（单位：cm）分别为．14．（4分）如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为．15．（4分）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值等于．16．（4分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？18．（6分）如图，⊙O1与⊙O2经过A，B两点，过A点的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．证明：CE ∥DF．19．（6分）（北师大版）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？20．（12分）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A （﹣1，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，将△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，满分32分）1．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）函数y=﹣的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=﹣可知，x可以取正数，也可以取负数，但函数值只能是负数，所以函数图象应该是在x轴的下方，并且x、y均不为零．故选：C．2．（4分）（2006•邵阳）同时抛掷两枚硬币，每次出现正面都向上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有出现机会均等的情况有四种：正正，正反，反正，反反，正正只有一种，所以每次出现正面都向上的概率为．故选A．3．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：对角线长为a的正方形桌面的边长EF=a，又∵四边形AEFD为矩形，∴AD=EF=a，又BC=a，∴AB==，则桌布下垂的最大长度为．故选C．4．（4分）（2006•深圳）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米 C．7.2米D．8米【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．5．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）=4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）=5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．6．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，…，这样一直下去，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为2008÷4=502，即第2008次交换位置后，小鼠所在的号位应和第一次交换位置相同，即图2中1号位．故选：A．7．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）若x﹣1=2（y+1）=3（z+2），则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．6 B．C．D．【解答】解：设x﹣1=2（y+1）=3（z+2）=k，则x=k+1，y=﹣1，z=﹣2，所以，x2+y2+z2=（k+1）2+（﹣1）2+（﹣2）2，=k2﹣k+6，=（k﹣）2+，所以，当k=时，x2+y2+z2可取得的最小值为．故选D．8．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）将一个无盖的正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②），则所剪得直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比是（）A．1：2 B．：3 C．1：3 D．不能确定【解答】解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．故选：A．二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为40°．【解答】解：∵AC=AE，BC=BD，∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，∴x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故答案为40°．10．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值为11．【解答】解：∵解方程：x2+2x﹣9=0得：∴ab=﹣9②，a+b=﹣2，∴b=﹣2﹣a③，把③代入②得：a2+2a﹣9=0∴a1=，a2=，∴b1=，b2=，∴当a1=，b1=时，∴a2+a﹣b=（）2+（）﹣（）=11．当a2=，b2=，∴a2+a﹣b=（﹣）2+（﹣）﹣（）=11故答案为11．11．（4分）（2003•黄冈）已知x=sin60°，则=．【解答】解：===2x，∵x=sin60°=，∴原式=．12．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．Rt△ACD中，AD=2r=3，AC=2．根据勾股定理，得：CD===．∴cosD==．∵∠B=∠D，∴cosB=cosD=．13．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在利用长度为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么所构成的木架的三边长度（单位：cm）分别为10cm，25cm，30cm 或12cm，30cm，36cm．【解答】解：因为所作的三角形与△ABC相似，可设所作三角形的三边长为2a，5a，6a，①当2a=30cm时，a=15cm，∴所作三角形的另外两边长为90cm和75cm，∵75＞60，因此这种情况不成立；②当5a=30cm时，a=6cm，∴所作三角形的另外两边长为12cm和36cm，12+36＜60，因此这种情况成立；③当6a=30cm时，a=5cm，∴所作三角形的另外两边长为10cm和25cm，10+25＜60，因此这种情况成立．综合三种情况可知：所作三角形的三边长为10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm．故答案为：10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm．14．（4分）（2006•遂宁）如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为30．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意，BF=CD==7，AF=AB﹣BF=25﹣7=18，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===30．15．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值等于8．【解答】解：∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2=0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=0，①∵a2+b2+c2=4，②把②代入①，得4+2（ab+bc+ca）=0，解得，ab+bc+ca=﹣2；∵a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，ab+bc+ca=﹣2，a+b+c=0，∴a4+b4+c4=16﹣2×[（﹣2）2﹣0]=8．故答案为：8．16．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为2π．【解答】解：阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积=﹣==2π．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分）（2006•无锡）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？【解答】解：设购买A型计算器x只，B型计算器y只，则化简得解得设所需资金为P元，则P=2[100×50+（x﹣100）×50×（1﹣20%）]=80x+2000因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x=222时，P的最小值为19760．答：该商场至少需要准备资金19760元．18．（6分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，⊙O1与⊙O2经过A，B两点，过A点的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．证明：CE∥DF．【解答】解：连接AE、AB，由圆周角定理得，∠ACE=∠ABE，∵四边形ABFD是圆内接四边形，∴∠ABF+∠D=180°，∴∠ACE+∠D=180°，∴CE∥DF．19．（6分）（2006•武汉）（北师大版）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）m 与x之间的关系式为：m==75﹣2.5x．（2）生产1吨甲产品获利：4600﹣（10×200+4×400+400）=600；生产1吨乙产品获利：5500﹣（4×200+8×400+500）=1000．y与x的函数表达式为：y=600x+×1000=﹣1900x+75000；（3）根据题意列出不等式解得30≥x≥25．∴y与x的函数表达式为：y═﹣1900x+75000，∴y随x的增大而减小，∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大．y最大=﹣1900×25+75000=27500（元）．20．（12分）（2013•雨花区校级自主招生）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，将△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把（0，﹣2）代入得：﹣2=a（0+1）（0﹣2），a=1，∴y=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣x﹣2，顶点M的坐标为（，﹣）；（2）如图1，设线段BM的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、M（，﹣）代入得：，解得：，∴线段BM所在的直线解析式为：y=x﹣3，设N（h，﹣t），把点N（h，﹣t）代入y=x﹣3得：h﹣3=﹣t，h=2﹣t，其中＜h＜2，∴S=×1×2+（2+t）（2﹣t）=﹣+t+3，则S与t之间的函数关系式为：S=﹣+t+3，∵顶点M的坐标为（，﹣），∴QN的最大值为，∴自变量t的取值范围为0＜t＜；（3）存在，设点P（m，n），则n=m2﹣m﹣2，PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，若△PAC为直角三角形时，分以下三种情况：①当∠ACP=90°时，如图2，则PA2=AC2+PC2，得（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5，解得：m1=0（舍去），m2=，当m=时，n=（）2﹣﹣2=﹣，∴P（，﹣），②当∠PAC=90°时，如图3，则PC2=PA2+AC2，得：m2+（n+2）2=（m+1）2+n2+5，解得：m1=，m2=﹣1（舍去），当m=时，n=（）2﹣﹣2=，∴P（，），③由图象观察得，当点P在对称轴的右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC 不可能为90°，综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，）；（4）如图4，矩形ADCO，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2）∴D（﹣1，﹣2）如图5，矩形ACED，过D作DF⊥x轴于F，过E作EM⊥y轴于M，过O作ON⊥AC于N，sin∠OAC=，∴，∴ON=，∴AD=ON=，cos∠ADF=cos∠OAC=，∴=，∴DF=，由勾股定理得：AF===，∴OF=1﹣=，∴D（﹣，），同理得：E（，﹣），综上所述，矩形的未知的顶点坐标是（﹣1，﹣2）或（﹣，）或（，﹣）．参与本试卷答题和审题的老师有：dbz1018；lanyan；137﹣hui；1987483819；Linaliu；leikun；郝老师；sjzx；星期八；gbl210；HJJ；ZHAOJJ；Liuzhx；lf2﹣9；MMCH；wdxwzk；王学峰；lanchong；开心；蓝月梦；知足长乐；zxw；399462；tcm123（排名不分先后）菁优网2017年4月5日。
高三数学试题湖南省湘中名校2013届高三第一次联考(理)试题
湘中名校2013届高三9月联考理科数学试题命题学校：XX 三中 命题人：X 兆平 审题人：陈中东、周雄一、选择题〔本大题8小题，每小题5分，共40分〕 1、设集合}0212|{≤-+=x x x A ,集合B 是()ln(1x )f x =-｜｜的定义域， 则A U B. A 、[1,21]B 、(-1,2］Ｃ、〔-1，1〕U 〔1，2〕D 、〔-1，2〕２、已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为。
A 、3B 、2C 、1D 、213、已知定义在R 上的函数)(x f y =和)(x g y =，则“)()(x g y x f y ==和都是奇函数〞是“)()(x g x f y +=是奇函数〞的条件。
A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要4、函数)6cos()2(23x x Sin y -++=ππ的最大值为。
A 、413 B 、413 C 、213D 、135、四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD 如下列结论中不正确的是 。
A 、AB ⊥SA B 、BC//平面SADC 、BC 与SA 所成的角等于AD 与 SC 所成的角D 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 6、已知数列｛a n ｝的通项公式为1n 1)32()94(---=n n a ,则数列｛a n ｝ A 、有最大项，没有最小项 B 、有最小项，没有最大项C 、既有最大项又有最小项D 、既没有最大项也没有最小项7、若0<x<4π,则4x 与3sin2x 的大小关系。
A 、4x>3sin2xB 、4x<3sin2xC 、4x=3sin2xD 、与x 的取值有关8、ω是正实数，设ωS =｛θ｜f 〔x 〕=cos[ω〔x+θ〕]是奇函数｝，若对每个实数a ，ωS 〔a ，a+1〕的元素不超过4个，则ω的取值X 围是。
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2013年高中自主招生数学模拟试卷(一)
2013年高中自主招生数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，单项选择）（．=是最简二次根式，错误．2．（4分）如图，点A在数轴上表示的实数为a，则|a﹣2|等于（）3．（4分）甲、乙两名运动员在10次的百米跑练习中，平均成绩分别为=10.7秒，=10.7秒，方差分别为S甲2=0.054，S乙2=0.103，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的4．（4分）如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）（6．（4分）如图，点A在函数（x＜0）的图象上，过点A作AE垂直X轴，垂足为E，过点A作AF垂直y轴，垂足为F，则矩形AEOF的面积是（）中7．（4分）用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（）r=9．（4分）若n为整数，则能使也为整数的n的个数有（）=1+10．（4分）已知a为实数，则代数式的最小值为（）的值最小，为二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上）11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．解：根据题意得：12．（4分）分解因式：﹣3x3y+27xy=﹣3xy（x+3）（x﹣3）．13．（4分）把2007个边长为1的正方形排成如图所示的图形，则这个图形的周长是4016．14．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为3cm．﹣=315．（4分）若规定：①{m}表示大于m的最小整数，例如：{3}=4，{﹣2.4}=﹣2；②[m]表示不大于m的最大整数，例如：[5]=5，[﹣3.6]=﹣4，则使等式2{x}﹣[x]=4成立的整数x=2．16．（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF 与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为40cm2．三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上）17．（8分）计算：．|×﹣（﹣18．（10分）先化简，再求值：÷，其中．19．（12分）（2007•兰州）将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．==20．（12分）为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数．依题意得：321．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若sin∠ABM=，求证：∠NMB=∠MBC．，由，所以，中，，22．（14分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A（8，14）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．﹣﹣﹣，（）（或得﹣23．（16分）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．中，由正弦的概念知得到，可知，则，所以有====，．。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(一)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣32．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠B的（）倍．A．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为=．半径的圆，则S阴影10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）如图，已知梯形ABCD的面积为S，AD∥BC，BC=b，AD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O．若△COD的面积为S，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠B的（）倍．A．6 B．4 C．3 D．2【分析】由AC=CD=DA=BC=DE，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】由题意可知∠BEF=∠FEB′=∠EFB′，推出EB′=EF=AF=FB′，即∠AEB′=60°，通过解直角三角形，即可推出AE的长度．【解答】解：∵FG是直角梯形AECD的中位线，∠B=∠AB′E=90°，∴FG∥BC∥AD，∴∠BEF=∠FEB′=∠EFB′，∴EB′=EF=AF=FB′，∴∠AEB′=60°，∵AB=AB′=，∴AE==．故选：D．【点评】本题主要考查翻折变换的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键在于证出等边三角形，再解直角三角形即可．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个，故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S=2π．阴影【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．=π×22=2π．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．11．（5分）如图，已知梯形ABCD的面积为S，AD∥BC，BC=b，AD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O．若△COD的面积为S，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△AOD 的面积为S1，S△COB的面积为S2，由题中条件建立关于S1•S2的方程，解方程得出S1•S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△AOD 的面积为S1，S△COB的面积为S2，由S四边形ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABC=S△DBC，∴S△ABC ﹣S△BOC=S△BCD﹣S△COB，∴S△AOB=S△DOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1•S2=S△DOC•S△AOB=S2，②联立①、②，∵△AOD∽△COB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(二)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题（每小题6分，满分36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．2．（6分）如图所示，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，则等于（）A．B．C．D．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．24 B．20 C．15 D．不确定4．（6分）如图所示，不含阴影部分的矩形（含正方形）的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．265．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）10813A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=396．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5π cm C．4.5π cm D．2.5π cm二、填空题（每小题5分，满分30分）7．（5分）方程组的解是．8．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|=．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是．11．（5分）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．12．（5分）若p=，q=，则=．三、解答题(本大题共3小题，13、14题11分，15题每题12分共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．15．（12分）如图，已知直线y=﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB 上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，满分36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【分析】先根据轴对称的性质分别求出5种图象中是轴对称图形的个数，除以总数5即为一次过关的概率．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选：D．【点评】本题考查概率公式及轴对称图形的特点，有一定的综合性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．（6分）如图所示，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，则等于（）A．B．C．D．【分析】先利用平行四边形的性质得到CD∥AB=6，再证明∠2=∠3得到BE=BC=4，接着证明△BEO∽△DCO，则利用相似比得到==，然后利用比例性质得到得值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB=6，∵∠1=∠2，∵CE是∠DCB的平分线，即∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BE=BC=4，∵BE∥CD，∴△BEO∽△DCO，∴===，∴==，即=．故选：B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．24 B．20 C．15 D．不确定【分析】先根据M是AB的中点，MC=MA=5，得出∠ACB=90°，再根据2×AC×BC=（AC+BC）2﹣（AC2+BC2），求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°，∵周长为24，AB=10，∴AC+BC=14，AC2+BC2=102，∴2×AC×BC=（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）=142﹣102=4×24，∴S=AC×BC=24．△ABC故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的面积问题，解决问题的关键是：根据所给条件判定△ABC是直角三角形．4．（6分）如图所示，不含阴影部分的矩形（含正方形）的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．26【分析】分一个小正方形组成的矩形，两个小正方形组成的矩形，三个小正方形组成的矩形，四个小正方形组成的矩形四种情况分别查出个数，然后相加计算即可得解．【解答】解：图形中不含阴影的一个小正方形组成的矩形有10个，两个小正方形组成的矩形有10个，三个小正方形组成的矩形有4个，四个小正方形组成的矩形有1个，所以，共有10+10+4+1=25个．故选：C．【点评】本题考查了认识平面图形，解决此题的关键在于从矩形的组成所需要的小正方形的个数分情况讨论．5．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）10813A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=39【分析】如图，b x a108y13因为要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，则得到x+10+y=8+y+13且b+11+a=8+10+a，即可得到S．【解答】解：如图，b x a108y13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y=8+y+13，∴x=11，∵b+11+a=8+10+a，∴b=7，∴S=b+10+13=30．故选：B．【点评】这是一道关于发散性思维的典型题例，可从设未知数入手，找题目里的等量关系，层层深入，进而求解．6．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5π cm C．4.5π cm D．2.5π cm【分析】点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长，第一次的旋转是以B为圆心，AB为半径，旋转的角度是90度，第二次是以C为圆心，AC 为半径，旋转的角度是60度，所以根据弧长公式可得．【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB=5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是=π（cm），第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是=π（cm），∴点A两次共走过的路径是+π=π（cm）．故选：B．【点评】本题考查的是轨迹，弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数，有一定的难度，注意仔细观察．二、填空题（每小题5分，满分30分）7．（5分）方程组的解是．【分析】先把两方程相加，再把两方程相减组成方程组，求出x、y的值即可．【解答】解：，∵①+②得，x﹣y=1③；①﹣②得，x﹣3y=﹣1④，∴③④联立得，，解得．故答案为：．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．8．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|=．【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据对称轴为直线x=﹣＞0得到b ＜0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，再根据二次根式的性质得到原式=﹣|b+c|﹣|a﹣c|=|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|，然后去绝对值、合并即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，∴原式=﹣|b+c|﹣|a﹣c|=|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|=a﹣b+b+c﹣（a﹣c）=a﹣b+b+c﹣a+c=2c．故答案为2c．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次根式的性质与化简．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为576．【分析】将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，则小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6=24，并且恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个，则这样的小正方体表面积的和是24×24=576．【解答】解：根据以上分析：小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6=24，恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个．则这样的小正方体表面积的和是24×24=576．故答案为576．【点评】解决本题的关键是能够分析出恰有2面涂有颜色的小正方体的个数，本题主要训练了空间想象能力．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是（8，0）．【分析】根据题意，设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），则P1坐标为（，），P2坐标为（，），然后把P1，P2的坐标依次代入到反比例函数表达式，即可依次求出a、b的值，即可推出结论．【解答】解：设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），∵△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，∴P1坐标为（，），P2坐标为（，），∵点P1在函数y=的图象上，∴，∴a1=8，a2=﹣8（不合题意，舍去），∴P2坐标为（，）∵点P2在函数y=的图象上，∴=，∴b1=8，b2=﹣8（不合题意，舍去），∴A2为（8，0）．故答案为（8，0）．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，关键在于设出A1点和A2点的坐标，表示出P1坐标，P2坐标，根据函数表达式求出a、b即可．11．（5分）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为7或25秒．【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD 的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD==3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．【点评】本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解．12．（5分）若p=，q=，则=．【分析】根据p与q求出平方和及之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵p=﹣，q=+，∴p2+q2=（﹣）2+（+）2=16，pq=（﹣）（+）=2，则+===．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，利用了完全平方公式及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题(本大题共3小题，13、14题11分，15题每题12分共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．【分析】求支付费用最少，要先考虑各种有可能的购买方案，然后进行对比．解题规律：实际问题中的包数应为整数．【解答】解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y=480．因为x、y为非负整数，所以方程的解为或或或．当x=0，y=16时，所付费用为：0×30+16×20=320（元）；当x=3，y=11时，所付费用为：3×30+11×20=310（元）；当x=6，y=6时，所付费用为：6×30+6×20=300（元）；当x=9，y=1 时，所付费用为：9×30+1×20=290（元）．所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元．【点评】本题考查的是二元一次方程的应用，关键注意用多种方案考虑问题，将现实生活中的事件与数学思想联系，读懂题目不等式之间的关系即可解．要注意：实际问题中的包数应为整数．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．【分析】（1）因为原平行四边形的面积可以根据题中已知条件求出，而除未知三角形外，其余三个的高和底都是比较特殊，可利用面积的割补法公式求出所求面积．（2）和（1）区别之处在于已知和未知调换了顺序，应该在（1）的基础上反过来，即需要找出AB、CD的长，以及它二者之间的距离，从而进行解答．【解答】解：（1）∵AB=10，AB与CD间距离为8，∴S▱ABCD=80，∵AE=BE，BF=CF．=S▱ABCD，S△BEF=S▱ABCD，S△DCF=S▱ABCD，∴S△AED=S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF=S▱ABCD=30；∴S△DEF（2）设AB=x，AB与CD间距离为y，由S=4，知F到CD的距离为，△DCF则F到AB的距离为y﹣，=BE（y﹣）=3，∴S△BEF∴BE=，AE=x﹣=，S△AED=AE×y=××y=5，得（xy）2﹣24 xy+80=0，xy=20或4，∵S▱ABCD=xy＞S△AED=5，∴xy=4不合，∴xy=20，S△DEF=S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF=20﹣5﹣3﹣4=8．【点评】此题考查内容比较多，比较全面，难易程度适中，综合性比较强．15．（12分）如图，已知直线y=﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB 上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．【分析】（1）如图推出AT，OM是⊙C的切线．得出∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，根据∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；（2）由1推出∠1=∠3，证明Rt△MOC∽Rt△CAN，利用线段比求出点A的坐标，从而求出y关于x的函数解析式；（3）因为直线AB平分梯形ANMO的面积推出FG的长．求出直线MN的解析式后因为点F在直线MN上，易求点F的坐标．然后又因为点F在直线y=﹣m（x ﹣4）求出m值．【解答】证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线，又∵MN切⊙C于点P，∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，∵OM∥AN，∴∠ANM+∠OMN=180°，∴∠CMN+∠CNM=∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM）=90°，∴∠MCN=90°；解：（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN，∴=，∵直线y=﹣m（x﹣4）交x轴于点A，交y轴于点B，∴0=﹣m（x﹣4），∴x=4，∴A（4，0），∴AC=CO=2，∵OM=x，AN=y，∵=，∴y=；（3）∵OM=1，=10，∴AN=y=4，此时S四边形ANMO∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN=5，∴FG=，∴点F的横坐标为4﹣=，∵M（0，1），N（4，4），∴直线MN的解析式为y=x+1，∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y=，∴F（，），∵点F又在直线y=﹣m（x﹣4）上，∴=﹣m（﹣4），∴m=．【点评】本题考查的是一次函数的综合应用以及三角形的面积计算公式，难度中等．。
湖南省重点高中2013届高三自主招生测评数学试题(无答案)
2013年省重点高中自主招生测评数学试题卷时间：4月8日 时量：100分钟 满分：120分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号码写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的准考证号码。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
3．考生在答题卡上作答的要求如下：⑴选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时不留痕迹；⑵非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； ⑶请勿折叠答题卡，并保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。
4．本试题卷共6页。
如缺页、漏印、字迹模糊，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
一．单项选择题（每小题4分，共32分）1.当0k >，0b <时，y kx b =+的图象经过 ( )(A) 第1、2、3象限 (B) 第2、3、4象限 (C) 第1、2、4象限 (D) 第1、3、4象限2. 某星球的体积约为66354213km ，用科学计数法（保留三个有效数字）表示为6.6410n ⨯3km ，则n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 73.将长方体截去一个几何体，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为( )4. 下列图形不一定相似的是（ ）A ．所有的矩形B ．所有的等腰直角三角形C ．所有的等边三角形D ．所有边数相等的正多边形5. 如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与194个面积相等的小正方形。
根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为10：9，则:AD AB =（ ）A ．10：9B ．8：7C ．12：11D ．52：476. 如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A.43π23π-C.432π-D. 232π- 7. 一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图像可能是（ ）A B C D8. 如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）A ．(4， 23)B ．(23，4)C ．(3，3)D ．(23，23)二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 若α＞０且＝２，＝３，则的值为10. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．∠AOC ＝50，则∠ACD= 。
2013年湖南省五校联考自主招生数学试卷_20200625145105
则 a﹣b＜0，a＞0，
∴b＞0，a+b＞0， ∴
=2
﹣（a+b+2）+（a﹣b﹣3）
=2（b+1）﹣a﹣b﹣2+a﹣b﹣3
=﹣3．
11.
b≤3 且 b≠2 ．
12.
解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°=1260°，
∴每个内角为 140°，
又∵AB=BC，∠B=140°， ∴∠CAB=（180°﹣140°）÷2=20°， 连接 AH，作 HM，GN 分别垂直 AE 于 M，N． ∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°． ∴∠HAM=140°﹣2×20°﹣40°=60°， ∴∠AHM=30°， 设 AM=EN=x，MN=y， 四边形 HGNM 是矩形，所以 HG=y，即正九边形边长为 y， 在 Rt△AHM 中，∠AHM=30°， ∴AC=AH=2AM=2x， ∴AB+AC=y+2x， ∵AE=AM+MN+EN=2x+y， ∴AE=AB+AC=3． 故答案为：3．
14.
平分 BD，
解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 D，连接 AD，CD，则 AC 垂直
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）若对于所有的实数 x，
A．﹣3
B．3
恒为负数，且 ，则 M 的值为（ ） C．﹣2a+2b﹣3 D．4b+7
二、填空题：（每小题 4 分，共 32 分）
11．（4 分）若关于 x 的方程 =3 的解是非负数，则 b 的取值范围是 _________． 12．（4 分）如图，在正九边形 ABCDEFGHI 中，若 AB+AC=3，则对角线 AE= _________．
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2013年省重点高中自主招生测评
数学试题卷
一．单项选择题（每小题4分，共32分）
1.当0k >，0b <时，y kx b =+的图象经过 ( )
(A) 第1、2、3象限 (B) 第2、3、4象限 (C) 第1、2、4象限 (D) 第1、3、4象限
2. 某星球的体积约为66354213km ，用科学计数法（保留三个有效数字）表示为
6.6410n ⨯3km ，则n =（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
3.将长方体截去一个几何体，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为( )
4. 下列图形不一定相似的是（ ）
A ．所有的矩形
B ．所有的等腰直角三角形
C ．所有的等边三角形
D ．所有边数相等的正多边形
5. 如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与194个面积相等的小正方形。
根据右图，
若灰色长方形之长与宽的比为10：9，则:AD AB =（ ）
A ．10：9
B ．8：7
C ．12：11
D ．52：47
6. 如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 43π-
B. 23
π-
C. 432π-
D. 232
π- 7. 一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A B C D
8. 如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ） A ．(4， 23) B ．(23，4)
C ．(3，3)
D ．(23，23)
二、填空题（每小题4分，共32分）
9. 若α＞０且＝２，＝３，则的值为 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD
于点D ．∠AOC ＝50 ，则∠ACD= 。
12. 如图，已知反比例函数：x k y x k y x k y 321,,=== 在x 轴上方的图象，则321,,k k k 的大小依次排列
为 。
（从大到小排列）
13. 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数是
尾
. 14.当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边
与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），
那么该圆的半径为 cm ．
15. 观察下列各式：
235
23510
23571723926
+=++=+++=+++=
你会发现什么规律？请将你想到的规律，用只含一个字母ｎ的式子表示出来．。
16. 将矩形ABCD 折叠，使得对角线的两个端点A 、C 重合，折痕所在直线交直线AB 于点E ，如果AB = 4，BE = 1，那么∠CAB
三、解答题（共56分）
17．（本小题满分10分）
先化简，再求值：22
282(
)24a a a a a a +-+÷--，其中2sin 602tan 45a =︒-︒．
18．（本小题满分10分）
街头有这样的一个游戏;在不透明的箱子里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外
其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现知从中任意摸出一个是白球的概率为12
. （1）试求袋中蓝球的个数.
（2）游戏规定：第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，两次摸到都是白球的就中特等奖。
请用画树状图法，求中特等奖的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一
点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。
求证：（
1）AC 是⊙D 的切线；
（2）AB+EB=AC 。
20．（本小题满分12分）
轴，一个动点如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，3），B（3，0），过B作直线BC x
N自OA的中点M出发，沿直线先到达x轴上的E点，再到直线BC上的F点，最后到达点A。
（1）求多边形AMEF面积的最小值；
（2）求使N点运动的总路径最短的E点、F点的坐标，并求出这个最短的总路径的长。
21．（本小题满分12分）
某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润W与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润P与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元)
W P表示为投资量x的函数关系式;
(Ⅰ)分别将A、B两产品的利润,
(Ⅱ)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，公司获得的总利润为y万元。
问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？。