2019-2020年高二下学期模块考试题数学理
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）。
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）。
若（x ，y ），…，（x ，y ）为样本点，=+为回归直线，则 =，==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221，=－。
K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数f （x ）=3x －x 的单调增区间是A. （0，+）B. （－，－1）C. （－1，1）D. （1，+）2. （x+1）的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i ，－2+3i 对应的点分别为A ，B 。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e －1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （0，1），若P （≥1）=p ，则P （－1<<0）=A. 1－pB. pC. +pD. －P8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。
学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1. 已知集合，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2. 命题：，的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断结果．【详解】由特称命题的否定可知：命题的否定是“，，故选：C．【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题．3. 已知向量，，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，可得：，解得，即可判断出结论.【详解】解：由，可得：，解得，“”是“”成立的充分不必要条件．故选：．【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.5. 设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】C【解析】∵随机变量，∴，解得，∴，∴，故选C.6. 已知随机变量，且，若，则（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】根据正态分布密度曲线特征即可求得对称轴.【详解】由题：，若，所以.故选：C【点睛】此题考查正态分布密度曲线辨析，根据概率的等量关系求曲线的对称轴，需要熟练掌握曲线的基本特征.7. 命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( ) A. p∧q B. p∨q C. p∧(q) D. q【答案】B【解析】【分析】先判断命题p,q的真假，再得到命题的真假，最后逐一判断选项的真假.【详解】由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(q)为假命题，q为假命题．故选B.【点睛】(1)本题主要考查命题真假和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.8. 甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】根据平均数相同求出x的值，再根据方差的定义计算即可．【详解】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=2，所以平均数为=90；根据茎叶图中数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩方差为s2=×[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．故选A．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．9. 已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】【分析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.【详解】结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称，当时，单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足,则要求,解得,故选C.【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等.10. 已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有( )附:若，则，.A. 件B. 件C. 件D. 件【解析】【分析】产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得μ＝90，＝8，P（82≤X＜106）＝P（μ﹣≤X＜μ+2），代入计算即可．【详解】依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得，，质量在区间内的产品估计有件.故选A.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，属于基础题．11. 2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.12. 已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数是R上的减函数，所以解得故选C.点睛：本题考查分段函数的单调性，涉及一次函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.解题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是减函数，则左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值，反之，左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值.【详解】因为，当且仅当时等号成立，即时等号成立，故的最小值为6.故答案为：6【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题.14. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.【详解】的展开式中的通项公式，而分别令，，解得，或．∴的展开式中的常数项．故答案为：180．【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15. 在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= _________ ．【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．16. 记：，且，：，且，若是的充分条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先求出，根据两者的条件可得，从而可得满足的不等式，故可得实数的取值范围.【详解】，因为是的充分条件，故是的充分条件，所以，故或，所以，故答案为：.【点睛】本题考查充分条件、函数的定义域以及含参数的集合的包含关系，注意如果是的充分条件，那么前者对应的集合是后者对应集合的子集，本题属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再根据包含关系可得关于的不等式组，从而求实数的取值范围，注意对是否为空集分类讨论；（2）先求出，再根据得到关于的不等式，从而求实数的取值范围.【详解】（1），，，①若，则，∴；②若，则，∴，综上.（2），∴，∴.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.18. 已知函数（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；（2）若成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由二次不等式恒成立可得，于是可求得的取值范围；（2）分离参数得在区间上有解，转化为求在区间上的最大值求解即可．【详解】（1）由题意得在R上恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为．（2）由题意得成立，∴成立．令，则在区间上单调递增，∴，∴，解得，∴实数的取值范围为．【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）恒成立等价于，有解等价于（2）若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．19. 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为，求的分布列、期望及方差.【答案】（1）3，4，2，1人；（2）；（3）分布列见解析，，方差.【解析】【分析】（1）按分层比可求甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数.（2）先求出每位幸运之星获得纪念品的概率，再利用二项分布可得所求的概率.（3）的所有可能取值2，3，4，且服从超几何分布，故可求的分布列、期望及方差.【详解】（1）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为，，，.（2）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为.（3）由题意，知的所有可能取值2，3，4，服从超几何分布，，，.所以的分布列为2期望，方差.【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列、数学期望和数学方差的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）.20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于,两点，求.【答案】（1）的极坐标方程为，直线极坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得解；（2）将代入中得，结合韦达定理即可得解【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为，则的极坐标方程为，由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为.（2）由得，设,对应的极径分别为，则，，.【点睛】本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的应用，属于常考题.21. [选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【详解】（1）不等式，即等价于或或解得，所以原不等式的解集为；（2）当时，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题. 22. 2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．（1）请填写以下列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？（2）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望．（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（）线性相关，得到回归直线为，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．附：，其中．0.0255.024【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 百万小时【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求数据填入对应表格，再根据卡方公式求，最后对照数据作判断，（2）先确定随机变量取法，再判断从M城市中任选的2名用户中活跃用户数服从二项分布，从N城市中任选的1名用户中活跃用户数服从两点分布，进而求得对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望，（3）先求均值，解得，再估计对应函数值.【详解】（1）由已知可得以下列联表：计算，所以有99．5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关．（2）由统计数据可知，城市M中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从M城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则设从N城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，其中．故，；；；．故所求的分布列为．（3）由已知可得，又，可得，所以，所以．以代入可得（百万小时），即2019年第一季度该读书APP用户使用时长约为百万小时．【点睛】本题考查频率分布直方图、回归直线方程以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1. 已知集合，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2. 命题：，的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断结果．【详解】由特称命题的否定可知：命题的否定是“，，故选：C．【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题．3. 已知向量，，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，可得：，解得，即可判断出结论.【详解】解：由，可得：，解得，“”是“”成立的充分不必要条件．故选：．【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.5. 设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】C【解析】∵随机变量，∴，解得，∴，∴，故选C.6. 已知随机变量，且，若，则（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】根据正态分布密度曲线特征即可求得对称轴.【详解】由题：，若，所以.故选：C【点睛】此题考查正态分布密度曲线辨析，根据概率的等量关系求曲线的对称轴，需要熟练掌握曲线的基本特征.7. 命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( )A. p∧qB. p∨qC. p∧(q)D. q【答案】B【解析】【分析】先判断命题p,q的真假，再得到命题的真假，最后逐一判断选项的真假.【详解】由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(q)为假命题，q为假命题．故选B.【点睛】(1)本题主要考查命题真假和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.8. 甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据平均数相同求出x的值，再根据方差的定义计算即可．【详解】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=2，所以平均数为=90；根据茎叶图中数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩方差为s2=×[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．故选A．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．9. 已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.【详解】结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称，当时，单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足,则要求,解得,故选C.【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等.10. 已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有( )附:若，则，. A. 件 B. 件 C. 件 D. 件【答案】A【解析】【分析】产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得μ＝90，＝8，P（82≤X＜106）＝P（μ﹣≤X＜μ+2），代入计算即可．【详解】依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得，，质量在区间内的产品估计有件.故选A.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，属于基础题．11. 2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.12. 已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数是R上的减函数，所以解得故选C.点睛：本题考查分段函数的单调性，涉及一次函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.解题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是减函数，则左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值，反之，左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值.【详解】因为，当且仅当时等号成立，即时等号成立，故的最小值为6.故答案为：6【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题.14. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.【详解】的展开式中的通项公式，而分别令，，解得，或．∴的展开式中的常数项．故答案为：180．【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15. 在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= _________ ．【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．16. 记：，且，：，且，若是的充分条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先求出，根据两者的条件可得，从而可得满足的不等式，故可得实数的取值范围.【详解】，因为是的充分条件，故是的充分条件，所以，故或，所以，故答案为：.【点睛】本题考查充分条件、函数的定义域以及含参数的集合的包含关系，注意如果是的充分条件，那么前者对应的集合是后者对应集合的子集，本题属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再根据包含关系可得关于的不等式组，从而求实数的取值范围，注意对是否为空集分类讨论；（2）先求出，再根据得到关于的不等式，从而求实数的取值范围.【详解】（1），，，①若，则，∴；②若，则，∴，综上.（2），∴，∴.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.18. 已知函数（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；（2）若成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由二次不等式恒成立可得，于是可求得的取值范围；（2）分离参数得在区间上有解，转化为求在区间上的最大值求解即可．【详解】（1）由题意得在R上恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为．（2）由题意得成立，∴成立．令，则在区间上单调递增，∴，∴，解得，∴实数的取值范围为．【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）恒成立等价于，有解等价于（2）若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．19. 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为，求的分布列、期望及方差.【答案】（1）3，4，2，1人；（2）；（3）分布列见解析，，方差.【解析】【分析】（1）按分层比可求甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数.（2）先求出每位幸运之星获得纪念品的概率，再利用二项分布可得所求的概率.（3）的所有可能取值2，3，4，且服从超几何分布，故可求的分布列、期望及方差.【详解】（1）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为，，，.（2）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为.（3）由题意，知的所有可能取值2，3，4，服从超几何分布，，。
2019-2020年高二下学期期末考试试卷 数学(理) 含答案
俯视图侧（左）视图正（主）视图秘密★启用前2019-2020年高二下学期期末考试试卷 数学（理） 含答案第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，,则（ ）A ．B ．C ．D ． 2. “”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件3. 下列说法中正确的是 （ ）A ．“” 是“函数是奇函数” 的充要条件B ．若，则C ．若为假命题，则均为假命题D ．“若，则” 的否命题是“若，则” 4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D.5.二项式的展开式中的系数为，则（ ）A. B. C. D.26. 已知是周期为4的偶函数，当时，则（ ）A.0B.1C.2D.37. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ） A. B. 3 C. D.8. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（ ）A. B. C. D.参考公式：121()()()nii i nii xx y y b x x ==--=-∑∑，；参考数据：，；9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B. 120C. 144D. 16810. 已知椭圆与双曲线222222222:1(0,0)y x C a b a b -=>>有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．911.设函数21228()log (1)31f x x x =+++，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.12.（原创）已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，2()(),()1(1)5x f f x f x f x ==--，则290291()()2016201314315()()201620166f f f f +-+-+-+-=（ ）A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019-2020年高二下学期第三次模拟考试数学(理)试题
2019-2020年高二下学期第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（xx•北京）设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．解答：解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度．2．（5分）（xx•黑龙江）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．解答：解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错考点：演绎推理的基本方法．专题：常规题型．分析：对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论解答：解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．4．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：对f（x）进行求导，再将x=代入f′（x），进行求解，从而求出；解答：解：∵，∴f′（x）=﹣×cosx+，∴f′（）=﹣×cos+=﹣，∵f（π）==﹣，∴=﹣﹣=﹣，故选D；点评：此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；5．（5分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为（）A．﹣2 B．2C．D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值．解答：解：f′（x）=，g′（x）=ax a﹣1，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=﹣1，即a=﹣1，所以a=﹣2．故选A．点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大．该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然．6．（5分）（理科做）设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y=f（x）上点（1，f（1））处的切线率为（）A．2B．﹣1 C．1D．﹣2考点：极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；规律型．分析：由导数的几何意义，求出在曲线y=f（x）上点（1，f（1））处的导数，即求得在此点处切线的斜率．解答：解：∵，即y'|x=1=﹣1，∴y═f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，故选B．点评：本题考查导数及其运算，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线y=f（x）上点（1，f（1））处的切线率．7．（5分）如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（）A．导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值B．导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值C．函数y=f（x）在x=x3处有极小值D．函数y=f（x）在x=x4处有极小值考点：函数的单调性与导数的关系．专题：应用题．分析：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值解答：解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值故选C点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了识别函数图形的能力，属基础题．8．（5分）（xx•临沂一模）=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1C．﹣D．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a 的方程，从而求解．解答：解：∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．点评：此题考查定积分的定义及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．9．（5分）函数y=xlnx在（0，5）上是（）A．单调增函数B．在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减C．单调减函数D．在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由y=xlnx，知y'=lnx+1，由y'=lnx+1=0，得极值点x=，由此能判断函数y=xlnx在（0，5）上的单调性．解答：解：∵y=xlnx，∴y'=lnx+1，由y'=lnx+1=0，得极值点x=，∵x∈（0，5），∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，函数是单调递减函数．当x∈（，5）时，f'（x）＞0，函数是单调递增函数．故选D．点评：本题考查函数的单调的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．10．（5分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由“k推导k+1”时，不等式的左边增加了（）A．B．C．D．以上都不对考点：数学归纳法．分析：准确写出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化．解答：解：当n=k时，左边的代数式为，（共k项）当n=k+1时，左边的代数式为+（共k+1项）故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即为不等式的左边增加的项故选B点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．11．（5分）（xx•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[0，||]D．[0，||]考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：压轴题．分析：先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．解答：解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．点评：本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a={4}f4，b=f（）设c=（lg），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b考点：导数的运算；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：我们可以令函数F（x）=xf（x），证明其为偶函数，再研究其单调性，分别求出a，b，c，再利用F（x）的单调性进行判断；解答：解：令函数F（x）=xf（x），则函数f（﹣x）=﹣f（x）∴F（﹣x）=F（x），F（x）=xf（x）为偶函数．当x＞0时，F′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，此时函数递增，则，，，因为，所以a＞b＞c，故选C．点评：此题主要考查对数函数的性质及其图象，以及利用函数的单调性进行比较数的大小关系，是一道基础题；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）若z为复数，且（1﹣i）z=1+i，则|z|=1．考点：复数求模．专题：计算题．分析：由（1﹣i）z=1+i可得z==i，由此求得|z|的值．解答：解：由（1﹣i）z=1+i可得z====i，故|z|=1，故答案为1．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．14．（4分）由曲线围成区域面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．解答：解：如图，曲线围成区域面积为：=sinxdx=﹣cosx=﹣（﹣）=．故答案为：．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．15．（4分）德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前5行的规律，写出第6行第3个数是．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：认真观察图形的组成，规律：任意一个小三角形里，底角两数相加=顶角的数，整个三角形的两条侧边是自然数的倒数列解答：解：第6行第一个数和最后一个数都是，第2个数加要等于，所以求出第二个数是，同理第三个数加等于，求出第三个数是故答案为：点评：此题考查的知识点是数字的变化类问题，也考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．16．（4分）已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4﹣x2在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大为．考点：抛物线的简单性质．专题：导数的概念及应用．分析：先设点B的坐标，将面积S表达为变量的函数，再利用导数法求出函数的最大值．解答：解：设点B（x，4﹣x2）（O＜x≤2），则S=2x（4﹣x2）=2x3+8x∴S′=﹣6x2+8，令S′=﹣6x2+8=0，可得x=∵O＜x≤2，∴由S′＞0，可得0＜x＜；由S′＜0，可得∴x=时，S=2x3+8x取得最大值为故答案为点评：本题解题的关键是利用点在抛物线上设点，从而构建函数，由于函数是单峰函数，所以在导数为0处一定取最值．三、解答题：本大题共6个小题，共74分.17．（12分）（Ⅰ）已知z∈C，且|z|﹣i=+2+3i（i为虚数单位），求复数的虚部．（Ⅱ）已知z1=a+2i，z2=3﹣4i（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数a的值．考点：复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设z=x+yi，代入方程|z|﹣i=+2+3i，整理后利用复数相等的概念求出引入的参数x，y的值，即可求得复数z，再求出复数确定其虚部．（Ⅱ）将化为代数形式，再令其实部为0，虚部不为0即可解答：解：（Ⅰ）设z=x+yi，代入方程|z|﹣i=+2+3i，得出﹣i=x﹣yi+2+3i=（x+2）+（3﹣y）i，故有，解得，∴z=3+4i，复数==2+i，虚部为1（Ⅱ）==，且为纯虚数则3a﹣8=0，且4a+6≠0，解得a=点评：本题考查了复数中的基本知识和计算：纯虚数、实部、虚部的概念，复数的加减乘除混合运算．属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值．（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据切线的斜率为1，得到f'（2）=1，解之得a=2；从而得到f（x）=x2﹣2lnx，算出切点坐标为（2，2﹣2ln2），再代入直线y=x+b，即可求出实数b的值．（2）根据题意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到关于x的不等式a≤x2在（1，+∞）上恒成立，再讨论x2的取值范围，即可得到a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x2﹣alnx，∴f'（x）=x﹣，其中（x＞0）∵f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b∴f'（2）=2﹣=1，解之得a=2，由此可得函数表达式为f（x）=x2﹣2lnx，得f（2）=2﹣2ln2∴切点（2，2﹣2ln2）在直线y=x+b上，可得2﹣2ln2=2+b，解之得b=﹣2ln2综上所述，a=2且b=﹣2ln2；（2）∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，∴f'（x）≥0，即x﹣≥0在（1，+∞）上恒成立结合x为正数，可得a≤x2在（1，+∞）上恒成立而在区间（1，+∞）上x2＞1，故a≤1∴满足条件的实数a的取值范围为（﹣∞，1]．点评：本题给出含有二次式和对数式的基本函数，求函数图象的切线并讨论不等式恒成立，着重考查了运用导数研究函数的单调性和导数的几何意义等知识，属于中档题．19．（12分）已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：假设要证的结论的反面成立，即三个方程中都没有两个相异实根，则他们的判别式都小于0，利用不等式的性质可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，由于a、b、c互不相等，进而可得矛盾，原命题得到证明．解答：证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则△1=4b2﹣4ac≤0，△2=4c2﹣4ab≤0，△3=4a2﹣4bc≤0．相加有a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2≤0，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0．①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点评：本题考查反证法证题的方法和步骤，假设结论的反面成立，依据定义、定理和性质推出矛盾，说明假设不对，从而要证的结论成立．20．（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，a1=b1=2，a2=b2=4．（I）求a n、b n；（Ⅱ）对于∀n∈N*，试比较a n、b n的大小并用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；等比数列的性质．专题：证明题．分析：（I）利用等差数列，等比数列定义求出d，q，得出通项公式a n=2n，b n=2n即可（Ⅱ）直接作差或作商不易比较，考虑到与自然数n有关，可先比较几组，进行大小关系的猜想，用数学归纳法证明．解答：解：（I）∵a1=b1=2，a2=b2=4．∴等差数列{a n}的公差d=2，等比数列{b n}的公比q=2 所以a n=2+（n﹣1）×2=2n，b n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）由已知，当n=1，2时，a n=b n，当n=3时，a3=6，b=8，a n＜b n当n=4时，a3=8，b=16，a n＜b n当n=5时，a3=10，b=25，a n＜b n猜测当n≥3时，a n＜b n下面用数学归纳法证明．（1）当n=3时，a3=6，b=8，a n＜b n成立（2）假设当n=k（k≥3）时成立，即2k＜2k，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a n+1＜b n+1，所以当n=k+1时也成立由（1）（2）可知当n≥3时，a n＜b n都成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．21．（12分）设函数f（x）=4lnx﹣（x﹣1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x2﹣4x﹣a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（I）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x）＞0的x的取值区间；（II）利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．解答：解：（I）∵函数f（x）=4lnx﹣（x﹣1）2．∴f′（x）=﹣2x+2==（x＞0）．令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）（II）关于x的方程f（x）+x2﹣4x﹣a=0可化为4lnx﹣（x﹣1）2+x2﹣4x﹣a=4lnx﹣2x﹣1﹣a=0令g（x）=4lnx﹣2x﹣1﹣a则g′（x）=﹣2令g′（x）=0，则x=2，则当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数故当方程f（x）+x2﹣4x﹣a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根时解得3﹣2e≤a＜4ln2﹣5故实数a的取值范围为[3﹣2e，4ln2﹣5）点评：本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．22．（14分）函数f（x）=x2﹣mln+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（﹣，]至少存在一点x0，使f （x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有＜．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义；不等式的证明．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）在x∈（﹣，]至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范围．所以在根据第一问函数的增减性得到在x∈（﹣，]区间f（x）的最大值即可；（Ⅲ）把m=﹣1代入求出f（x），然后构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求出g′（x）并讨论得到g（x）在（0，1）为减函数，对任意0＜x1＜x2＜1，都有g（x1）＞g（x2）成立，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2．即f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）解出即可得证．解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（﹣，+∞）．f′（x）=x﹣+m==．由f′（x）=0得：x=0或x=﹣m﹣．∵m＜0，∴﹣m﹣∈（﹣，+∞）．∴（1）当﹣≤m＜0时，则x∈（﹣，﹣m﹣）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（﹣m﹣，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（2）当m＜﹣时，则x∈（﹣，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（0，﹣m﹣）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（﹣m﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（Ⅱ）在x∈（﹣，]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g+1成立，等价于当x∈（﹣，]时，f（x）max＞g+1．∵m≤﹣，∴≤﹣m﹣．由（Ⅰ）知，x∈（﹣，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，）时，f（x）为减函数．∴在x∈（﹣，]时，f（x）max=f（0）=﹣2m．∴﹣2m＞g+1，即m＜．检验，上式满足m≤﹣，所以m＜是所求范围．（Ⅲ）当m=﹣1时，函数f（x）=x2+ln ﹣x+2．构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，并求导得g′（x）=x+﹣==显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．∴对任意0＜x1＜x2＜1，都有g（x1）＞g（x2）成立，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2．即f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）即．又∵x2﹣x1＞0，∴．点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数的最值及几何意义，掌握利用函数增减性证明不等式的方法．四、附加题：（本小题满分0分）23．定义在R+上的函数f（x），g（x）满足函数f（x）=x2﹣alnx在[1，2]上为增函数，g（x）=x﹣a在（0，1）为减函数．（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=x2﹣alnx在[1，2]上为增函数，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，得出2x2﹣a≥0在[1，2]上恒成立，a≤2，同理g（x）=x﹣a在（0，1）为减函数．得出a≥2，所以a=2（Ⅱ）f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，即即x2﹣2lnx≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，分离b得出b≤，令h（x）=，需b≤h（x）min，利用导数工具求最小值后，便可求得范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣=，由已知，函数f（x）在[1，2]上为增函数，则f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，即2x2﹣a≥0在[1，2]上恒成立，即只要a≤2x2在[1，2]上恒成立，（2x2）min=2，∴a≤2 g′（x）=1﹣=，g（x）在（0，1）为减函数．则g′（x）≤0在（0，1）恒成立，即，恒成立．，∴a≥2，所以a=2所以f（x）=x2﹣2lnx，g（x）=x﹣2．（Ⅱ）f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，即x2﹣2lnx≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，分离b得出b≤，令h（x）=，需b≤h（x）min求导得出h′（x）=﹣﹣由于x∈（0，1]，所以，，从而h′（x）=﹣﹣＜0，h（x）在（0，1]上单调递减，h（x）≥h（1）=，所以b≤1，又b＞﹣1，所以1＞b＞﹣1．点评：本题考查单调性与导数的关系，分离参数求取值范围，求函数最值及应用．其中（2）题中导数符号不易同分后再判断．考查转化计算，估算能力与实数的性质．。
2019-2020年高二下学期摸底考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期摸底考试数学（理）试题含答案数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.1. 若命题“”为真，“”为真，则( )A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真2.已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是，则A等于（）A．45°B．30°C．45°或135° D．30°或150°3.设为等比数列的前项和，，则( )A.11B.5C.D.4.△ABC中，若cos(2B＋C)＋2sinAsinB＝0，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x| －< x <}，则a + b的值为( )A.－10B.－14C.10D.146.双曲线的离心率为，则的值是（）A. B. 2 C. D.7.已知数列，则其前是( )A．B．C．D．8.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )A．(, -) B.(-, ) C．(, -) D．(-, )9.以正方体的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )A．B．C．D．10.已知数列{a n}，如果.....是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n +111.已知变量满足，则的最大值为( )A. B. C.16 D.6412.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若=则双曲线的离心率是( )A．B．C．D．数学第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或中性笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写好.题号二三总分复核人17 18 19 20 21 22得分线上）13．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .14.正方体-中，与平面所成角的余弦值为 .15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为 .16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在△中，角的对边分别为，已知.（I）求边的长；（II）求的值.18.（本小题满分12分）已知命题：关于的不等式的解集为空集；命题：函数没有零点，若命题为假命题，为真命题.求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）数列的前项和记为,,点在直线上,．（I）当实数为何值时,数列是等比数列？（II）在(1)的结论下,设,是数列的前项和,求的值．20.（本小题满分12分）某公司计划投入适当的广告费，对新开发的生产的产品进行促销. 在一年内，据测算销售量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系是. 已知该产品生产的固定投入为6万元，每生产1万件仍需再投入25万元.（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）.（I）将新产品年利润（万元）表示为年广告费(万元)的函数；（II）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入年生产成本年广告费）.（结果保留两位小数）（参考数据：）21.（本小题满分13分）四棱锥中，面,为菱形，且有，,∠,为中点.（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.P C BE D A22. （本小题满分13分）在直角坐标系中，O为坐标原点，直线经过点双曲线的右焦点.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果一个椭圆经过点,且以点为它的一个焦点,求椭圆的标准方程；（Ⅲ）若在（Ⅰ）、（Ⅱ）情形下，设直线与椭圆的另一个交点为，且=λ，当|| 最小时，求的值.高二（理）数学答案一．DADCB ABBCB BC 二．13.；14. 15. 4 16.三．17. 解：（I）在△中，由正弦定理得. 由及得. …………………2分所以. ……………………………………5分（II）在△中，由余弦定理得222222(25)(5)25 cos252325a c bBac+-===⨯⨯. ……………………………………………8分所以………………………………………………10分因此，πππ253512155 cos()cos cos sin sin666525210B B B+=-=-=.………………………………………………………12分18.解：对于命题：∵的解集为空集∴，解得……………4分对于命题：没有零点等价于方程没有实数根①当时，方程无实根符合题意②当时，解得∴…………………………8分由命题为假命题，为真命题可知，命题与命题有且只有一个为真如图所示所以的取值范围为 ………………………… 12分19.解：(1)由题意得， ………………1分两式相减得， ………………4分所以当时，是等比数列，要使时，是等比数列，则只需，从而． …………6分(2)由(1)得知，， ………………8分…………10分201112201120121111111(1)()()22320112012T b b b b =+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- …12分 20.解：（I ）由题意知，羊皮手套的年生产成本为（）万元，年销售收入为，年利润为(256)120%50%(256)L S x S x =+⨯+⋅-+-，即. …………………………………………………………4分又， 所以6126113110155(5)(0)525252L S x x x x x x =+-=-+-=-->. ………………6分 （II ）由 ………………8分26.226.22 2.23621.72821.73=-=-⨯=≈. ………………………9分当且仅当，即时，有最大值21.73. ……11分因此，当年广告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元.…………………………………12分21.解：（Ⅰ）∵为菱形，∴设为的中心，连结,则有∥又∵面，∴,∴∴垂直于面内的两条相交直线∴ …………… …………… ……………6分 (Ⅱ)建立如图所示坐标系，则有111(0,0,0)(,0),(,0)()2222442A B C E -，，，，，， 3131231(,0)(,),(,0)242AB AE AC =-==，，，，…………………………8分 设分别是面ABE 和面ABC 的法向量由解得，同理可得……………11分所以二面角的平面角的余弦值为. …………………………13分22.解：(1)由题意双曲线的右焦点为∵直线 ……………………2分根据两点式得，所求直线的方程为即 .直线的方程是 ……………………4分（2）设所求椭圆的标准方程为∵一个焦点为 即 ①∵点在椭圆上，- 11 - / 11文档可自由编辑打印 ②由①②解得所以所求椭圆的标准方程为 ……………………8分（3）由题意得方程组解得 或……………………10分222258()(22)27301127()93λλλλλ∴+=-+=-+OM =3-3-3当时，最小。
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案(I)
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题含答案(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i2．3名学生参加同时举行的5项体育活动，若每名学生可以自由选择参加其中的一项，则不同的参赛方法共有（）种．A．35B．53C．D．5×33．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4 4．函数y=在区间[，2]上的最小值为（）A．2 B．C．D．e5．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查对下面的临界值表，我们（）P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．至少有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．至少有99%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”C．至少有97.5%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”D．没有充分理由说明“这种血清能起到预防感冒的作用”6．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列说法错误的是（）A．﹣2是函数y=f（x）的极小值点B．1是函数y=f（x）的极值点C．y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零D．y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．7．现有男生3人，女生5人，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有1人参加，每名学生只参加一科竞赛，则不同的参赛方法共有（）种．A．15 B．30 C．90 D．1808．已知=21，则（2﹣）n的二项展开式中的常数项为（）A．160 B．﹣160 C．960 D．﹣9609．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得：x i=52，y i=228，x i2=478，x i y i=1849，则y与x之间的回归直线方程是（）A．=11.47+2.62x B．=﹣11.47+2.62x C．=2.62+11.47x D．=11.47﹣2.62x10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．已知a1=3，a n+1=，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，推测出a n=_________．12．一个箱子中装有6个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是_________．13．已知t＞0，若（2x﹣1）dx=6，则t=_________14．已知函数f（x）=﹣x3+2ax，x∈[0，1]，若f（x）在[0，1]上是增函数，则实数a的取值范围为_________．15．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得﹣1分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为_________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知i是虚数单位，m∈R，z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i．（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；（Ⅱ）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围；（Ⅲ）当m=2时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．17．（12分）学校运动队有男运动员5名，女运动员3名，其中男女队长各1名．（Ⅰ）8人站成一排，其中队长不站在两端，有多少种不同的站法？（Ⅱ）要从8名运动员中，选派3人外出比赛，若男队长因故不能参加、且必须有女运动员参加，有多少种不同的选派方法？18．（12分）已知式子（2x2+）5．（Ⅰ）求展开式中含的项；（Ⅱ）若（2x2+）5的展开式中各二项式系数的和比（+）n的展开式中的第三项的系数少28，求n的值．19．（12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则：每人从备选的10道题中一次性抽取3道题独立作答，至少答对2道题即闯关成功．已知10道备选题中，甲只能答对其中的6道题，乙答对每道题的概率都是．（Ⅰ）求甲闯关成功的概率；（Ⅱ）设乙答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知函数f（x）=2lnx+x2，g（x）=3x+b﹣1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），（ⅰ）求函数y=F（x）的单调区间；（ⅱ）若方程F（x）=0有3个不同的实数根，求实数b的取值范围．天津市五区县xx ～xx 第二学期期末考试高二数学(理科)试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11． 12． 13．3 14． 15．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分） 解：（Ⅰ）∵是纯虚数∴……………………………………………………………2分解得：；……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵所对应的点在第四象限 ∴…………………………………………………6分解得：； ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）当时，∵是关于的方程的一个根 ∴2(25)(25)0i p i q ++++=即：(221)(520)0p q p i +-++= ……………………………………………10分 根据复数相等的充要条件得解得，．………………………………………………………………12分17．（12分）解：（Ⅰ）先在中间的6个位置中选两个，排上队长，方法有种；……………2分其余的人任意排，方法数有种，………………4分 再根据分步计数原理，共有种不同的站法．………………………………………6分（Ⅱ）法一：（直接法）：“男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”包括以下几种情况，1女2男，共有种不同的选派方法，2女1男，共有种不同的选派方法，3女，共有种不同的选派方法。
2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知0(1)(1)lim2x f x f x→+-=-，则(1)f '的值是( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-2．二项式()n a b +展开式中，奇数项系数和是32，则n 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．73．一袋中有大小相同的2个白球，4个黑球，从中任意取出2个球，取到颜色不同的球的概率是( )A ．29B ．49C ．415D ．8154．一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；……第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x ，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( ) A ．0.9,35 B ．0.9,45 C ．0.1,35 D ．0.1,455．已知423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值是( ) A ．1 B ．16 C ．41 D ．816．从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是( ) A ．280 B ．240 C ．180 D ．967．已知n a 是多项式23(1)(1)(1)n x x x ++++++(n ≥2，n ∈N*)的展开式中含2x 项的系数，则3limnn a n →∞的值是( )A ．0B ．16C ．13D ．128．当点P 在曲线sin y x =((0,)x ∈π)上移动时，曲线在P 处切线的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0,)2πB ．(,)44ππ-C ．3(,)44ππD ．[0,)4π∪3(,)4ππ 9．暑期学校组织学生参加社会实践活动，语文科目、数目、外语科目小组个数分别占总数的12、13、16，甲、乙、丙三同学独立地参加任意一个小组的活动，则他们选择的科目互不相同的概率是( ) A ．136B ．112C ．16D ．353610．经过点(3,0)的直线l 与抛物线2y x =交于不同两点，抛物线在这两点处的切线互相垂直，则直线l 的斜率是( )A ．112B ．16C ．112-D ．16-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量(,)B n p ξ，若3,2E D ξξ==，则n 的值是________． 12．已知lim(21)1n n n a →∞-=，则lim n n na →∞=________．13．设随机变量(1,1)N ξ，(2)P p ξ>=，则(01)P ξ<<的值是________．14．4名男生和2名女生共6名志愿者和他们帮助的2位老人站成一排合影，摄影师要求两位老人相邻地站，两名女生不相邻地站，则不同的站法种数是________．15．已知函数31(1),()11(1).a x f x x xb x ⎧-≠-⎪=++⎨⎪=-⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，则b 的值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知二项式2(n x (n ∈N*)展开式中，前三项的二项式系数．．．．．和是56，求：(Ⅰ)n 的值；(Ⅱ)展开式中的常数项． 17．(本小题满分12分)某工厂生产两批产品，第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验． (Ⅰ)求从两批产品各抽取的件数；(Ⅱ)记ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．18．(本小题满分12分)已知数列{}n P 满足：(1)123P =，279P =；(2)212133n n n P P P ++=+． (Ⅰ)设1n n n b P P +=-，证明数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求lim n n P →∞．19．(本小题满分12分)已知函数21()1x f x x +=-，其图象在点(0,1)-处的切线为l ．(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)求与l 平行的切线的方程．20．(本小题满分13分)如图，设点00(,)A x y 为抛物线22x y =上位于第一象限内的一动点，点1(0,)B y 在y 轴正半轴上，且||||OA OB =，直线AB 交x 轴于点P 2(,0)x ．(Ⅰ)试用0x 表示1y ；(Ⅱ)试用0x 表示2x ；(Ⅲ)当点A 沿抛物线无限趋近于原点O 时，求点P 的极限坐．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足：(1)13a =；(2)2212(31)2n n n a n n a a +=--++(n ∈N*)．(Ⅰ)求2a 、3a 、4a ；(Ⅱ)猜测数列{}n a 的通项，并证明你的结论； (Ⅲ)试比较n a 与2n 的大小．参考答案一、DCDAD BBDCC 二、11．9 12．12 13．12p - 14．7200 15．1- 三、16．解：(Ⅰ)012C C C 56n n n ++=……………………………………2分2(1)15611002n n n n n -⇒++=⇒+-=………2分10,11n n ⇒==-(舍去)．…………………………1分(Ⅱ)210(x +展开式的第1r +项是520210210101()()2r r r r r rC x C x --=，3分520082rr -=⇒=，………………………………2分故展开式中的常数项是8810145()2256C =．…………………………2分17．解：(Ⅰ)第一批应抽取2件，第二批应抽取1件；………………3分(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=，……………………………1分1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，………………1分 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=，……………………………1分 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==．……1分∴6283110012375757575E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯………………2分 85=．………………………………………………1分 18．解：(Ⅰ)1211111333n n n n n n b P P P P b ++++=-=-+=-，………3分又119b =， (1)分∴数列{}n b 是等比数列．…………………………………1分(Ⅱ)由(Ⅰ)知11111()()933n n n b -+=-=-，即111()3n n n n P P b ++-==-，……………………………2分∴121321()()()n n n P P P P P P P P -=+-+-++- 232111()()()3333n =+-+-++-，……………2分 311()443n =+⋅-．…………………………………1分 ∴3113lim lim[()]4434n n n n P →∞→∞=+⋅-=．……………………2分 19．解：(Ⅰ)22222(1)(1)(1)(1)21()(1)(1)x x x x x x f x x x ''+--+---'==--，…………3分∴(0)1f '=-，…………………………………………………1分直线l 的方程为1y x =--．……………………………………1分(Ⅱ)由2221()1(1)x x f x x --'==--得，0,2x x ==，………………2分又(2)5f =， (1)分所以与l 平行的切线的方程是5(2)y x -=--， (2)分即7y x =-+． (2)分20．解：(Ⅰ)||OA ==，……………………………2分=∴1||y OB ==．…………………………1分 (Ⅱ)100ABy yk x -=-，………………………………………1分=1分=，…………………………………1分直线AB 的方程为y x =+1分 令0y =，得2x =2分(Ⅲ)200lim lim 1x x x ++→→==，……………2分 故当点A 沿抛物线无限趋近于原点O 时，求点P 的极限坐标是(1,0)．…1分21．解：(Ⅰ)25a =，37a =，49a =；…………………………………3分(Ⅱ)猜测21n a n =+，……………………………………………1分证明如下：当1n =时，13211a ==⨯+，结论成立；……………………1分若n k =时，结论成立，即21k a k =+， 则1n k =+时，222212(31)22(62)(21)223k k k a k k a a k k k k k +=--++=-++++=+，……2分于是1n k =+时，结论成立．故对所有的正整数n ，21n a n =+．………………………… 1分(Ⅲ)当1n =时，1132a =>；当2n =时，2252a =>； 当3n =时，3372a =<；当4n =时，4492a =<； (1)分猜想n ≥3(n ∈N*)时，2n n a <． (1)分证明如下：当3n =时，3373a =<，结论成立； (1)分若n k =时，结论成立，即2(k k a k <≥3)，也就是212k k +<，则1n k =+时，123(21)222k k a k k +=+=++<+，而11(22)2220222k k k k k +++-=-<⇒+<， (2)分∴112k k a ++<．于是1n k =+时，结论成立． 从而对任意n ≥3(n ∈N*)，有2n n a <．综上所述，当1,2n =时，2n n a >；当n ≥3时，2n n a <．…………1分。
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2019-2020年高二下学期模块考试题数学理本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.用数学归纳法证明33nn ≥(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A. n =1B. n =2C. n =3D. n =42．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =( )A ．1B ．1-C ．3．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A10 B.20 C.30 D.1205．若抛物线2ay x =的离心率a e 2=，则该抛物线准线方程是 （ ）A ．1-=xB ． 21-=x C ． 41-=x D ． 81-=x 6．如果双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则离心率e 等于（）A 2B 2C 3D 227．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．16种 B ．18种 C ．24种 D ．32种8．已知点(1,0,0),(0,1,1)A B -,向量66OCOA OB =-，则向量OB 与OC 的夹角是（ ） A. 23π B.2π C. 3π D. 6π9.不等式①233x x +>,②2b aa b+≥,其中恒成立的是（ ） A ．① B ．② C ．①② D ．都不对10. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则以,为邻边的平行四边形的面积为12. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 13.=+⎰-11)2(dx x e x ．14.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15222004(1i +16.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X 的概率分布列。
（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.17．已知()(1)(12),(,)m n f x x x m n Z =+++∈展开式中x 的系数为11，求： （1）2x 的系数的最小值；（2）当2x 系数取最小值时，求()f x 展开式中x 的奇数次幂项的系数之和。
第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是 ____．19.将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20. （本小题满分12分）已知命题P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根； 若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明()()mnnm mnnm >．广东实验中学2011—2012下学年高二级模块考试理科 数学参考答案 第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1~10. C B B B B A C A A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11． 12..13m ≥13.1e e- 14.32,12n - 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15222004(1i + 解：原式=i i +-=+-101……………10分16.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X 的概率分布列。
（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.解：（1）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4，其中107)1(==X P ， 30791073)2(=⨯⨯==X P ， 12078910723)3(=⨯⨯⨯⨯==X P ,1201789107123)4(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==X P所以X 的概率分布为(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4，其中107)1(==X P ， 256101083)2(=⨯⨯==X P ， 50027101010923)3(=⨯⨯⨯⨯==X P , 50031010101010123)4(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==X P . 所以X 的概率分布为………………10分17．已知()(1)(12),(,)m n f x x x m n Z =+++∈展开式中x 的系数为11，求： （1）2x 的系数的最小值；（2）当2x 系数取最小值时，求()f x 展开式中x 的奇数次幂项的系数之和。
解：（1）11211m n C C +=，所以211m n +=………………2分 2221213514(1)2(1)()2416m n C C m m n n m ∴+=-+-=-+………………4分 当5,3m n ==时有最小值22；………………5分（2）由（1）5,3m n ==，所以53250125()(1)(12)f x x x a a x a x a x =+++=++++从而53015(1)23f a a a =+=+++，………………7分012345(1)01f a a a a a a -=-=-+-+-，………………9分所以1351[(1)(1)]302a a a f f ++=--=，即奇数次幂项的系数之和为30………………10分第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18 19. 42.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. （本小题满分12分）已知命题P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根； 若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若P 为真，则0a =或2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩解得：04a ≤<。
………………4分 若q 为真，则140a ∆=-≥，解得14a ≤；………………8分 因为“p 或q ”为真命题，所以P 为真或q 为真，………………10分 所以04a ≤<或14a ≤，即4a <………………12分21．（本小题满分14分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．解:（1）由离心率e ==223a b =. ① ……2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b --=+. ② ……4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. ……5分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………6分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =2y =-上，半径为动圆.由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.设G 与直线l 相切于点T=4m =±，………… 10分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，.……………… 12分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =.……… 14分22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明()()mnn m mnnm >．（1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．……………………………1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 所以()e 3f '=，即ln e 13a ++=．所以1a =． (2)分 （2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………………3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， (4)分令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．……………………………………………5分 因为()()31ln30,422ln20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，………………6分所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--． (7)分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．…………………………………………………………………8分 （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x xg x x +=-是[)4,+∞上的增函数， (9)分所以当4n m >≥时，l n ln11n n n m m m n m ++>--．……………………………………………………10分即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+． 整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-． (11)分因为n m >， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+．……………………………12分即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn nn m m n >．…………………………………………………………13分所以()()mnn m mn nm >． (14)分证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，………………………………………9分则()()1ln 1ln f x m x m m m '=-+--．………………………………………………10分因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->．所以函数()f x 在[),m +∞上单调递增．………………………………11分 因为n m >， 所以()()f n f m >． 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=．…12分即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+． 即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn nn m m n >． (13)分所以()()mnn m mn nm >．………………………………………………………………14分。