《实际问题的函数建模》

9 y max ab 即该商品的价格 当 x = 50时， 8 上涨50%时，销售总金额最大。
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2.∵二次函数 ab 2 y [kx 100 (1 k ) x 10000 ] 10000
50(1 k ) ] 上递增， 在 ( , k
50(1 k ) , ) 上递减 在 [ k
取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b, 0 . 812 56 . 6 a b , 得方程: 2.86 189.0a b.
解得： a=0.015 47,
b=-0.06350 ，
这条直线是 ：
y=0.015 47x-0.063 50 .
注：取不同的的点代入会得到直线不同，要注意检验 是否符合实际问题。
0.404
4.076
7.332
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定两者关系
现在需要提出一个既科学又简便的方法来 确定磁钢面积与用胶量的关系. 解 磁钢面积x为横坐标,用胶量y为纵坐标, 建立直角坐标系.根据上表数据描点.
8 y/g
根据图的分 布特点,用 y=ax+b表示 其关系
7
6
5 4 3 2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 x/cm2
1 8000 F 2 x 500 C 2 x
2 2 4 16 500 n C 500 8 n 4000 C n n 2 4 500 n 4000 C ≥4000+C n
50(1 k ) 0 ∴适当地涨价，即 x>0 , 即 k
就是
0<k<1,能使销售总金额增加.
例3 电器材厂在生产扬声 器的过程中，有一道重要 的工序：使用AB胶粘合 扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题： 长期以来,由于对AB胶的 （1）磁钢面积与用胶量间 用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,脱水外 是否具有函数关系？用什 溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验, 么方法可以确定是什么函 已有一些恰当用胶量的具体数据 . 数关系？
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当 的函数模型,使它能近似地反映这个地区一 体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关 系?试写出这个函数模型的关系式；
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐 标,画出散点图
60
根据图的分布 特点,设y=a· bx 这一函数来近 似刻画其关系;
归纳为：
根据收集到的 数据的特点 ，通过 建立函数模型解决 实际问题的基本过 程，可简化为如下 程序过程：
实际数据 画出散点图 选择函数模型 求出函数模型 检验
不合乎实际
例子
合乎实际
用函数模型解释实际问题
例4 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如下表：
身高/cm 体重/kg 身高/cm 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 12.15 150 100 15.02 160 110 17.50 170
思考：我们应该怎么入手？
解：1.设商品现定价a元,卖出数量为b个. 由题设：当价格上涨x%时,销售总额为 y a(1 x%) b(1 kx%)
ab y [kx 2 100 (1 k ) x 10000 ] 10000 ab 2 1 [( x 50 ) 22500 ] 取k 得 y 20000 2
北师大版高中数学必修1 第四章函数应用
2.2 用函数模型解决 实际问题
函数模型是应用最广泛的数 学模型之一,许多实际问题一旦认 定是函数关系,就可以通过研究函 数的性质把握问题,使问题得到解 决.
例1 某公司一年需要一种计 算机元件8 000个,每天需同 样多的元件用于组装整机. 该元件每年分n次进货,每次 购买元件的数量均为x,购一 次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要 付库存费,可以认为平均库存量为0.5x件,每个 元件的库存费是一年2元.请核算一下,每年进货 几次花费最小?
这样就得到函数模型： y=21.02x
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值 的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个 地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校 男生的体重是否正常?
解 (2)将x=175代入y=21.02x，得 y=21.02175 用计算器得：y63.98 由于 7863.981.22>1.2, 所以这个男生偏胖。
序号
1 11.0 2 19.4 3 26.2 4 46.6 5 56.6 6 67.2 7 125.2 8 189.0 9 247.1 10 443.4
磁钢面积 /cm2
（2）确定函数类型后，如
0.664 0.812 0.972 1.688
用胶量/g
何求出具体的函数解析式？
2.86
0.164
0.396
思考如下问题：（1）总费用由哪些部分组成？ （2）每一部分费用的表达式是什么？
分析： １、每次进货量x与进货次数n有什么 8000 关系： x
8000 2、进货次数为： n x 8000 3、全年的手续费是： 500 x n
1 4、一年的总库存费为： 2 x 2
5、其它费用： Ｃ
令总费用为F
思考： 例3给我们带来了什么 启示？把这种处理数据方法 叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过 绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些 点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入 这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达 式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以 确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。 在自然科学和社会科学中，很多规律、定 律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟 合得到的。
50 40 30 20 10 0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx
7.9 a.b 得： 160 47.25 a.b
70
用计算器得：a2, b1.02
这节课你学习到了什 么？
解决应用问题的基本步骤
实 际 应用题
明确题意,找出 题设与结论的 数学关系 —— 数量关系和空 间位置关系
在分析联想的基 础上,转化为数 学问题,抽象构 建成一个或几个 数学模型来解
阅读 ,分析 , 联 想 , 转化 ,抽象
Байду номын сангаас
再翻译成具 体应用问题 的 结 论 解答数 学问题 运用数学知 识作为工具
8000 500 n C n

4 当 n n
，即n=4时,总费用最少。
例2 已知某商品的价格每上涨x%,销 售的数量就减少kx%,其中k为正常数.
1 1. 当 k 时，该商品的价格上涨多 2
少，就能使销售的总金额最大？
2. 如果适当的涨价，能使销售总金 额增加，求k的取值范围。 进入
建立数 学模型
练习Ｐ125 作业P130：A组：2； B组：1
小结：掌握解决应用题的步骤及 思维方式。