第六章弯曲应力1
工程力学B(二)第11讲第六章弯曲应力-强度条件
τ σ
4 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。尽量 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。 使用圆角过渡。 使用圆角过渡。
局部考虑
1.截面的放置 截面的放置 与 2.同样面积下 最大 同样面积下W最大 同样面积下
〉
〉
〉
为什么？ 为什么？
〉
〉
常见梁截面的 Wz /A 值 Wz /A 的值 大与小，哪个好？为什么？ 大与小，哪个好？为什么？
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
二、变截面梁与等强度梁
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F
x
F
b
h(x )
z
y
l
h1
hmax
σ max =
M ( x) = [σ ] W ( x)
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
bh 2 6 Fx M ( x ) = Fx, h = 常数，由 Wz = 知h ( x ) = 6 b[σ ]
由τ max =
hmax =
6 Fl b[σ ]
3 Fs 3F 知h1 = 2 bh 2b[τ ]
三、梁的合理受力 梁的合理受力
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 支座位置 合理布置支座位置，
q L
qL2 40
M
2 qL 8
x
q L/5 L/5
M
2 −qL 50
x
2.加载方式 加载方式——合理布置外力作用，使 M max 尽可能小 合理布置外力作用， 加载方式 合理布置外力作用
Fl 当载荷位于梁跨度中间时， 当载荷位于梁跨度中间时，弯矩最大 Wz ≥ = 3.0 × 10 − 4 m 3 4[σ ]
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
第六章__弯曲应力及剪力流的知识点
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
Page
27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
Page 28
第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
Page 19
3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
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例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号
理论力学 第六章 弯曲应力
Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
从上面例题的计算过程，可以总结出如下 规律： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力；反之，则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面： 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左＝ F Fl 3 3 9 对于C右截面：
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
M2
FS2
FB
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
•
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第06章第1节 梁的计算简图
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受 到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线 会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。
梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。
直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。
平面弯曲：若梁的外 力及支座反力都作用 在纵向对称面内，则 梁弯曲时轴线将变成 此平面内的一条平面 曲线，该弯曲变形称 为平面弯曲。
第 1 节 梁的计算简图
第六章 梁弯曲时内力和应力
二、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内， 可近似简化为作用于一点，如图所示的力 F。单位 为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
2）分布载荷：沿梁轴线方 向、在一定长度上连续分布 的力系，如图所示的均布载
荷 q。其大小用载荷集度表
示，单位为牛顿/米（N/m） 或千牛/米（kN/m）。
3）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似 简化为作用于一点，如图所示的力偶 M。单位为牛 顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
第 1 节 梁的计算简图 三、静定梁的基本形式
第六章 梁弯曲时内力和应力
静定梁：在平面弯曲情况下，作用在梁上的外力 （包括载荷和支反力）是一个平面力系。当梁上 只有三个支反力时，可由平面力系的三个静力平 衡方程将它们求出，这种梁称为静定梁。
1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
第 1 节 梁的计算简图
材料力学第6章弯曲应力习题答案
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为：1115230(M -=-⨯=-⋅kN m)（3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。
1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。
3111111max2301011.1110.1800.36a a zzzM M M y y I I W σ---⨯=⋅=⋅===⨯⨯Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa0c σ= 31133010(0.1500.050)7.4110.1800.312d d zM y I σ-⨯=-⋅=-⨯-=-⨯⨯Pa MPa37M kN V 图(kN)(a)(c)(b)(c)(e)(d)2+q l /8MkN ·m)(f)(b)180q题6-3图 题6-5图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。
梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。
若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。
如图所示。
（2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。
材料力学第六章弯曲应力1
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
q
y1 y2
y
z
b
解：1）画弯矩图
| M |max 0.5ql2 3 kNm
№10槽钢
2）查型钢表：
M
y1
y2
y
b 4.8cm, I z 25.6cm4 , y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
M 3000 1.52 178 MPa t max y1 6 25 .6 10 Iz
中间层与横截面的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律：
A1 B1 AB AB
a
c
( y )d d d
A1 B1 OO1 OO1
y
y
...... (1)
Mycmax cmax Iz
几种简单截面的抗弯截面系数 b ⑴ 矩形截面
h
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
材料力学第六章
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
第六章 弯曲应力
• 第三级
O
– 第四O级y o
a
»a第五级 a
dx
o y
a
Conclusion：
the longitudinal
normal strain varies
( y)d d y linearly with the distance y
Compare with :
x
y
max
My
Iz
Aanxdiaclotmenpsrioenssion: max
FN ,max A
Study method
式
• 单观– 第击察• 二第此变–三级处形第级»四编第级G五辑级eo母m几版e何trP文i关chry本系esliac样atilo式rnelat应ion变分物 理 关 系布
应力表达式
静力学关系
应力分布
Static relation
Chapter 6
1. Geomet单ric r击elat此ion处编辑 —母Btheef版orraed标diuesf题oorfma样artcioOnO： 式 aa dx d
对横截面上单的击内力此系处,有:编M辑e 母版标题样
z
Fx
dA 0
A
式 E y
M• 单y击A此(处dA编)辑z 母0版文本样式
x
σdA
M z–第•A二第(三级d级A) y M
y
static moment w.r.t. z-axis
–
dA
A
第A»四第级E五y级dA
E
A
ydA
E
S
z
0
材料力学教案 第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。
掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。
弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。
教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。
教学学时：6学时。
教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。
若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。
④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
第六章 弯曲剪应力
所 以 d m in 1 3 7m m
[例6-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
L
FQ
P
-PL
M
P
解：叠梁承载时，每
梁都有自己的中性层
§6-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
My
Iz
q(x) x dx
P
bh
z
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
y
FQ
FQ dFQ
在hb的情况下
假设 1)的 ：方向F都 Q平与 行
2)沿宽度均布。
y
NI
N II
NI A*ⅠdA
M ydA M
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平 面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面 内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将 会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大
，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二. 开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性 平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将 发生扭转变形。
b(x)
3P
4[]h
即： b(x)min4[3P]h
P/2
P
A
C
xL
P/2 同理：若b为常量，高度h=h(x)
B W(x)1bh2(x) Px
6
2[]
h(x) 3Px 半抛物线
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D d
y
Iz πD 3 Wz 1 4 Wy D/2 32
(4) 型钢截面：参见型钢表
横力弯曲时的正应力
My 纯弯曲时梁横截面上 s Iz 正应力的计算公式
横力弯曲时
1、由于切应力的存在， 梁的横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线 之间发生挤压。
A 1m B
Z
（三）、静力平衡条件 M
由横截面上的弯矩和正应力的关系
z sdA y
dA
x → 正应力的计算公式。
(1)
FN sdA E y dA E ydA E S z 0 S z 0 A A A （中性轴 z 过形心）
( 2)
M y sdAz A E
1
——弯曲变形计算的基本公式
反映梁变形的剧烈程度
EI z 梁的抗弯刚度。
Ey
My s Iz
纯弯曲时梁横截面上 正应力的计算公式。
) 得：
M符号由变形来判断。 当 M > 0 时，下拉上压； 当 M < 0 时，上拉下压。
纯弯曲时梁横截面上 正应力的计算公式
a
c
b
M a
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
0.25 F
M
M max s max ≤[s ], WZ
Fmax 46.1 (kN)
x
0.5F s 1 2 bh 6
例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[st] = 30 M Pa， [sc] = 60 M Pa.其截面形心位于C点，y1= 52 mm， y2= 88 mm， Iz =763 cm4 ，试校核此梁的强度。 解：1)求约束反力 F F1 9kN FAy By F2 4kN
6.3.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“t ”； 弯矩“M”——正应力“s ”
a
F A
F
a
B
１.纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无 力而无切应力的弯曲）。 Fs F F x
x
剪力的弯曲（横截面上只有正应
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有 M 剪力的弯曲（横截面上既有正应 力又有切应力的弯曲）。 Fa
2m
平面假设和纵向线之 间无挤压的假设实际上都 不再成立。
实验和弹性理论的研究结果表明： 对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结 果仍足够精确。 可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面 高度的曲杆)
My 弯曲正应力公式 s IZ
46.2MPa
s c max 46.2 s c
最大拉、压应力不在同一截面上
A 1m
F1 =9kN
C
B
F2 =4kN
D
1m
-4 k N m
1m
M
C
y1
A1 z
2.5 kNm
A3
27.3MPa
y2
46.2MPa 结论—— 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： M max
对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面： M max ; M max
中间层与横截面 的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
a 4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
c
A1 B1 AB AB
A1 B1 OO1 OO1
a o A b
b
d c o1
中性层
Ｂ
d
dx
中 性 层 曲 率 半 径
y
中 性 层 曲 率 半 径
s E
Ey
d
——横截面上各点的正应力与 点到中性轴的距离成正比
y
A1
B1
s E
Ey
——横截面上各点的正应力 沿截面高度按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图：
σmax
M
中性层
Z
y 中性轴的位置？
σmax
梁 形后中性 的曲率
1
？
M y
x
C截面—（下拉上压）:
s tCmax
6 M C y2 2.5 8810 28.2MPa 4 763 10 Iz
M
2.5 kNm
C
y1 y2
A1
z
A3
27.3MPa
sC
c max
M C y1 17.04 MPa Iz
4 ) 强度校核
A2 4 28.2MPa A
s t max 28.2 s t
y 220
24 2203 Iz 24 220 (210 110) 2 12 220 603 60 220 (280 210 30) 2 12 99.2 106 mm4
y2
y1
A
F=80 kN
60 280
例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 [ st ]=30 MPa，许用压应力[ sc ] =90 MPa。试根据截面最为 合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强 度。 d d 24 mm
A 1m
F 1 =9kN
C
B
F 2 = 4kN
D
1m
-4 k N m
1m
B截面—（上拉下压）: 6 M y 4 52 10 s tBmax B 1 27.2MPa, 4 Iz 76310
s
B c max
M B y2 Iz
4 88106 46.2MPa 4 76310
3）求最大拉、压应力应力：
M
y1
y2
y
σtmax
z
b
3000 1.52 10 2 M s t max y1 178 MPa 8 25 .6 10 Iz
σcmax
3000 3.28 10 2 M s c max y2 384 MPa 25 .6 10 8 Iz
My s Iz
s t max s c max
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
ycmax
Mycmax s cmax Iz
M
ytmax
O y
z
Myt max s tmax Iz
几种简单截面的抗弯截面系数 b h
⑴ 矩形截面
Iz Wz ymax
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
[s t]
M max s t max yt max [s t ] Iz M M max s c max yc max [s c ] Iz
Iz M max ycmax s cmax [s c] Iz
s tmax
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
ytmax [s t] ycmax [s c]
1m
C 2m B
O
220
Fl/4
d
60 280
sc,max
O z
y2
梁上的最大弯矩 Fl 80 2 M max 40 kN m 4 4 最大压应力为 M y s c,max max 2 Iz
40 106 N mm 210 mm 99.2 106 mm4 84.7 MP a s c
A C 1m B 1m
-4k N m
D 1m
C
y1 y2
FAY 2.5 kN , FBY 10.5kN.
z
2）画弯矩图 ——定危险截面
M B 4kNm（上拉、下压）
x
M C 2.5kNm(下 拉 、 上 压 )
2.5 kNm
M
3）求应 力 B截面—（上拉下压） C截面—（下拉上压）
z d
y
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
z y
πd 4 Iz Iy 64 Iy Iz πd 3 Wz W y d /2 d /2 32
几种简单截面的抗弯截面系数
⑶ 空心圆截面
Iz Wz ymax
O
π Iz Iy D4 d 4 64 4 πD 4 1 64 z 式中 d / D
A2 4 28.2MPa A
x
例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 [ st ]=30 MPa，许用压应力[ sc ] =90 MPa。试根据截面最 为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁 的强度 。 d F=80 kN
y2
1m
C
2m
y1
O y 220
60 280
y
( y )d d y d y (1)
d
——横截面上各点的纵向线应变与 它到中性轴的距离成正比
y
A1
B1
（二）物理关系： 由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。
在弹性范围内， s