定弦定角问题及求最值的应用研究

线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值

线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为“定弦定角”问题。

该线段称“定弦”，该运动的定值角称“定角”。

先复习两个基础知识点知识点1、如下图，（1）以AB为直径的⊙O上有一动点，则∠APB恒为90°，反之，当∠APB=90°时，点P一定在以AB为直径的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点C，则点C到⊙O上点的最小距离和最大距离的确定：过点C与圆心O的线与圆的两个交点，如图，即CP长为最小值，CE长为最大值。

知识点2、如下图，（1）在⊙O中，弦CD一定时，则该弦所对劣弧（或优弧）上的圆周角∠CTD就一定；反之，当∠CTD为一定值时，点T一定在以CD为弦的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点A，射线AO与圆的交点分别为点T和点E，则点A到圆的最小距离是AT的长，最大距离是AE的长。

下面，以两道典型例题来说明定弦定角在解一类线段最值题目中的应用。

例1：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4, BC=6 ,P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC , 则线段CP的长度的最小值是 .(您的点赞，就是给予作者一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)下面还有，继续……变式练习：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4,BC=6, P是△ABC所在平面上的一个动点，且满足∠APB=90° , 则线段CP长度的取值范围是 .例2：如图，已知点E , F为等边△ABC边AB 、AC上的两动点，且AF=BE ,:连接CE , BF交于点T, 若等边△ABC的边长为6 ，则AT的长度的最小值是 .。

定隐圆之弦定角最值问题

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1.(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC 于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-42.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213-B．213+C．5 D．93.(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．34-24.如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．436.如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________7.如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________。

定弦定角问题及求最值的应用研究

课程篇在定弦定角问题中，一般的题目设置多以某个动点到一个定点的线段的长度的最大值或最小值问题为主，解决这类题型首先要熟知定弦定角的含义及性质，掌握原理解题才会更加清晰简洁。

首先我们需要掌握圆的各种性质，并能够进行熟练的转化和应用，其次是观察动点的运动轨迹，一般轨迹是一段弧，然后寻找不变的张角，并找出它的补角，以此为解决问题的突破口。

之后根据张角找出他所对应的定弦，三点确定一个圆，确定好圆心，以此为基础再进一步求最值。

下面我们将根据例题，对问题进行具体的分析，总结相关的应用方法。

一、认真分析题目给出的条件在解决定弦定角及求最值问题时，首先要认真分析题目给出的条件，需要掌握圆的相关概念和性质，这是解决问题的前提。

将题目给出的条件与圆的性质对应起来，与定弦定角的内涵对应起来，然后再解决下一步的问题。

【例1】如图，△ABC 中，AC =3，BC =42√，∠ACB =45°，D 为△ABC 内一动点，圆O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交圆O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE=CP ，则AD 的最小值为（）A.1B.2C.2√ D.41√-42√A P CO EBD解：因为∠CDP=∠ACB=45°所以∠BDC °=135°（定弦定角的最值）如图，当AD 过O 时，AD 有最小值因为∠BDC =135°所以∠BOC =90°所以△BOC 为等腰直角三角形所以∠ACO =45°+45°=90°所以AO =5又因为OB =OC =4所以AD =5-4=1二、有效运用数形结合思想解决这类问题必须要学会数形结合，利用图形解决问题会起到事半功倍的效果。

将题目中的条件在图形上表现出来，这样解题时会更加直观明了。

此外很多题目之间可以互相转化，大家在练习中要注意总结相同点与不同点。

【例2】如图，A （1，0）、B （3，0），以AB 为直径作圆M ，射线OF 交圆O 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点，当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为（）OAE F C D BMxy解：连接DM因为D 是弦EF 的中点所以DM ⊥EF所以点D 在以A 为圆心、OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM因为C 为弧AB 的中点所以CM ⊥AB所以CD 的最小值为2√-1三、做出圆外一点与圆心的连线在圆的定弦定角及求最值问题中，有一类题型是求圆外的一点到圆上的点的最值问题，这类问题其实是画出圆外一点与圆心的连线，延长与圆相交于两点，这两点与圆外一点的距离实际上就是最大值和最小值。

(完整word版)定弦定角最值问题

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】（2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC 中，AC = 3 , BC = 4J2，/ ACB = 45° D 为△ ABC 内一动点，O O 为厶ACD 的外接圆，直线 BD 交O O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE = CP , 则AD 的最小值为（）•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD 过O 时，AD 有最小值 •••/ BDC = 135 ° •••/ BO'C = 90 °• △ BO C 为等腰直角三角形:丄 ACO = 45 °+ 45 °= 90 °• AO = 5又 OB = O 'C = 4 •- AD = 5 — 4 = 1【例 2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D BD 交圆于E 点，连CE ,贝U CE 的最小值为（A . 1B . 2解：•••/ CDP = Z ACB = 45 D . . 41 4.2B .13 2C . 5169•••/ AEB = Z AED = 90 °• E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O 时，CE 有最小值为-132解：连接AE•/ AD 为O O 的直径【练】（2015 •江汉中考模拟1）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4： 2，/ ACB = 45° AM II BC ，）:丄 BDC = 135 °如图，当AD 过圆心0时，AD 有最小值 •••/ BDC = 135° •••/ BO 'C = 90° 二 O 'B = O C = 4 又/ ACO = 90°• AO = 5• AD 的最小值为 5 — 4= 1【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 鞋学早呵H 權®L TU 】如图，◎◎的平栓为b 范屈的凰育2再'点尸为优那M 上一玫钛丄ULAP 交宜线刊干点:G 刖用I 面理的舉丈值杲：划:占臼二.y*AGG = — E .宴匣乙肋i •川匚*扎怡离最九叮抽=7N/U 片3W 代蛊（？在①財丄.且£月血二抄,当点＜?划次胡眄中点时.自E 利肋餡夏咼烧大.此01卫肿（?两梅三肃希CW ・2希+玄皿尸据XQJJ+为・6+3的，【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，OO 的半径为1, 则△ ABC 的最大面积是（22■■；■ 34C . 12 3.3D . 6 4. 3A. I2+6J3C L2+3 7JD. 6+4^/3PB 于点C ， AC 丄AP 交直线【例5】如图，A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB为直径作O M,射线OF交O M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点•当射线绕O点旋转时，CD的最小值为 _________________J4'01//解：连接DM••• D是弦EF的中点• DM 丄EF1•点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动C当CD过圆心A时，CD有最小值连接CM x__ ••• C为弧AB的中点0'、A\阿• CM 丄AB\ V /『/••• CD的最小值为.2 1【练】如图，AB是O O的直径，AB = 2,/ ABC = 60° P是上一动点,CD，贝U CD的最小值为__________•/ D为弦AP的中点• OD 丄AP•••点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心O时，CD有最小值过点C作CM丄AB于M •/ OB = OC，/ ABC = 60°• △ OBC为等边三角形1•OM = -，CM2•O，c= —74练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ ABC中，AB= 6 ,D是AP的中点，连接• CD的最小值为■■ 7 1解：连接ODAD丄BC于点D , BE丄AC于点E , 连接DE •当点C在运动过程中，始终有匹至，则点C到AB的距离的最大值是________________________________________________________________________________AB 22.如图，已知以BC为直径的。

定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________解：连接DM∵D是弦EF的中点∴DM⊥EF∴点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动当CD过圆心A时，CD有最小值连接CM∵C为弧AB的中点∴CM⊥AB2∴CD的最小值为1【练】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________解：连接OD∵D为弦AP的中点∴OD⊥AP∴点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心O′时，CD有最小值过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147。

定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆, 因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

CD OBEC A259EBC）B 2 ■_wCD DB . 2A . 1A . 1 D . .414.2D .16【例1】（2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC 中，AC = 3 , BC = 4^2，/ ACB = 45° D 为△ ABC 内一动点，O O ACD 的外接圆，直线 BD 交O O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE = CP , 则AD 的最小值为（） AD = 5 — 4= 1 \丿【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D 为AC 上一动点，以为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ,则CE 的最小值为（） ----- "解：连接AE•/ AD 为O O 的直径•••/ AEB = / AED = 90 .E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O 时，CE 有最小值为-132【练】（2015 •江汉中考模拟1）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 .. 2，/ ACB = 45° AM II BC ，点P 在射线AM 上运动，连严 ----------- ------解：•••/ CDP = / ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD 过O 时，AD 有最小值•••/ BDC = 135• / BO'C = 90• △ BO C 为等腰直角三角形:丄 ACO = 45 °+ 45 °= 90 • AO = 5 又 O B = O 'C =4BP 交厶APC 的外接圆于 D ，贝0 AD 的最小值为（4 23O6.2 B 223 *0CD244 ..3B . 6 3 73 A . 12 6,3C . 12 3.3D . 6 A.- ••• AD 的最小值为 5 — 4= 1%/【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 救学早呵H 權®L Tl^l, 00的平栓肖3花初的民育2再，点尸为优那M 上一歐钛啕诂目隹丹呂it 按丿E ・宴罠厶乂肚的叢丸丽希则点芒駆腼閉壯MfiA- \ AB=2^, ^ACB=KT,・当点C 朗烦胡旳中屯肘* 点闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三肃惑CV^l^+3> |X 2M 5 XpJJ+5）-6+5^,放说3,【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点, 又/ ACO = 90°• AO = 5AC± AP 交宜线PB 干桓U 刚色仙匚用I 面理的審丈：A. )2+6 J!R 什 C 口+3 唐 D. 6+4n/3解：连接CD•••/ FAC = Z PDC = Z ACB = 45 •••/ BDC = 135如图，当AD 过圆心O 时，AD 有最小值 •••/ BDC = 135° •••/ BO C = 90° • O 'B = O C = 4AC 丄AF 交直线 FB 于点C , 则△ ABC 的最大面积是（【例5】如图，A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB 为直径作O M ,射线OF 交O M 于E 、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为EF 的中点•当射线绕 O 点旋转时，CD 的最小值为 _________________4'1//解：连接DM••• D 是弦EF 的中点• DM 丄 EF1•点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动C当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CMx ••• C 为弧AB 的中点 0 '、A\ 阿• CM 丄 AB\ V /『/••• CD 的最小值为 .2 1【练】如图，AB 是O O 的直径，AB = 2,/ ABC = 60° P 是上一动点,D 是AP 的中点，连接解：连接OD •/ D 为弦AP 的中点CD ，贝U CD 的最小值为• OD 丄AP•••点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心O 时，CD有最小值过点C作CM丄AB于M•/ OB = OC，/ ABC = 60°• △ OBC为等边三角形1 J3•OM = -，CM =2•O'C= —74• CD的最小值为。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题(含答案)(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23 D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147。

定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43 【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M ∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60° ∴△OBC 为等边三角形 ∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级道义：定弦定角最值问题之阳早格格创做【定弦定角题型的辨别】有一个定弦，一个主动面，一个从动面，定弦所对于的弛角牢固没有变.【题目典型】图形中普遍供一个从动面到一个定面线段少度最值问题，普遍波及定弦定角最值问题【解题本理】共弧所对于的圆周角相等，定弦的共侧二个圆周角相等，则四面共圆，果此动面的轨迹是圆.（线段共侧的二面对于线段的弛角相等，则那二面以及线段的二个端面共圆.）【普遍解题步调】①让主动面动一下，瞅察从动面的疏通轨迹，创造从动面的疏通轨迹是一段弧.②觅找没有变的弛角（那个时间普遍是找出弛角的补角，那个补角普遍为45°、60°大概者一个决定的三角函数的对于角等）③找弛角所对于的定弦，根据三面决定隐形圆.④决定圆心位子，估计隐形圆半径.⑤供出隐形圆圆心至所供线段定面的距离.⑥估计最值：正在此前提上，根据面到圆的距离供最值（最大值大概最小值）.【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动面，⊙O为△ACD的中接圆，曲线BD接⊙O于P面，接BC于E面，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC 上一动面，以AD为曲径做圆，对接BD接圆于E面，连CE，则CE的最小值为（）A．B．C．5D．【练】如图，正在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，面P正在射线AM上疏通，连BP接△APC的中接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的少为，面P为劣弧AB上一动面，AC⊥AP接曲线PB于面C，则△ABC 的里积的最大值是（）A．B．C．D．【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，面P为劣弧AB 上一动面，AC⊥AP接曲线PB于面C，则△ABC的最大里积是（）A．B．C．D．【例4】如图，边少为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的面，且BD＝CE，AD、BE接于P面，则CP 的最小值为_________例题4 例题5 图8 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为曲径做⊙M，射线OF接⊙M于E、F二面，C为弧AB的中面，D为EF 的中面．当射线绕O面转动时，CD的最小值为__________【练】如图8，AB是⊙O的曲径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动面，D是AP的中面，对接CD，则CD的最小值为__________针对于训练：1．如图，正在动面C取定少线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于面D，BE⊥AC于面E，对接DE．当面C正在疏通历程中，末究有，则面C到AB的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC为曲径的⊙O，A为弧BC中面，P为弧AC上任性一面，AD⊥AP接BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________。

5-14-1-定弦定角周长最大值的原理

定弦定角周长最大值的原理1. 你知道定弦定角周长最大值的原理吗？就好比放风筝，线的长度固定，风的方向一定，那风筝能飞多远不就是有个极限嘛！比如在一个三角形里，定了一条边和它所对的角，那周长什么时候最大呢？2. 哎呀呀，定弦定角周长最大值的原理很神奇的哟！就像跑步比赛，跑道固定，速度一定，那怎么跑才能在固定条件下跑出最长距离呢？像给定一个扇形，弧所对的弦和角确定了，那周长啥时候最大呀？3. 嘿，定弦定角周长最大值的原理不难理解呀！好比搭积木，有特定的积木块和搭建规则，那怎么搭能让整个结构最稳固且周长最大呢？比如一个圆形场地里，有一条固定的弦和对应的角，那整个场地的周长要怎么达到最大呢？4. 哇塞，定弦定角周长最大值的原理超有意思的呢！像走迷宫一样，有固定的路线和出口，那怎么找到最长的路径出去呢？比如在一个特定图形里，弦和角定了，那周长的最大值在哪呢？5. 定弦定角周长最大值的原理，你还没搞懂吗？这就如同划船，船的大小固定，水流方向固定，那怎么划能划出最远的距离呢？就像一个四边形，给定一边和它所对的角，那周长何时能最大呀？6. 嘿嘿，定弦定角周长最大值的原理真的很值得探究呢！好比骑自行车，路就那么长，速度有限制，那怎么骑能骑出最长的路程呢？例如给定一个五边形中的一条弦和角，那周长怎么达到最大值？7. 哇哦，定弦定角周长最大值的原理其实不难嘛！就像投篮，篮筐位置固定，你要怎么投才能投进最多呢？比如在一个几何图形中，定了弦和角，那周长最大的情况是怎样的呢？8. 定弦定角周长最大值的原理，是不是很神奇呀？这就好像拼图，有固定的板块和形状，那怎么拼能拼出最大的图形呢？像是在一个特定形状里，弦和角确定了，那周长的最大值怎么找呢？9. 嘿呀，定弦定角周长最大值的原理可别小瞧哦！好比解谜题，有特定的线索和规则，那怎么解能找到最终答案呢？例如给定一个六边形的一条边和对应的角，那周长最大能到多少呢？10. 定弦定角周长最大值的原理，真的超级重要呢！就像一场比赛，赛道和规则定了，怎么才能跑出最好成绩呢？比如在一个复杂图形中，定了弦和角，那周长的最大值到底是多少呀？我的观点结论：定弦定角周长最大值的原理其实并不复杂，通过各种形象的例子可以更好地理解和掌握，只要多思考多探究，就能明白其中的奥秘。

定弦定角原理证明

定弦定角原理证明
嘿，朋友们！今天咱们要来聊聊超有趣的定弦定角原理啦！
你们想想看，一根弦被固定在两点之间，那角度是不是就被限定住啦？比如说，就像你的滑板被放在特定的位置，你只能在那个范围内活动一样。

定弦定角原理说的就是这么回事！
咱来具体说说哈，当一个动点在一个定圆上运动，而这个动点与圆上某个固定点的连线所形成的角度是一定的，嘿嘿，这不就很神奇嘛！这就好像你每天上学都走同一条路，路线基本是固定的。

那怎么证明呢？我们可以通过一些巧妙的方法呀！比如说，我们可以通过圆心角和圆周角的关系来证明呀！就像在玩拼图游戏，找到关键的那块，整个画面就清晰啦！比如在一个圆里，有个动点总是和圆心形成一个固定的角度，那我们不就能确定它的运动轨迹了嘛，是不是超级酷呀！
哇塞，你们不觉得这个原理超有意思吗？简直让人惊叹不已呀！大家赶紧自己去感受感受吧，相信你们一定会被它深深吸引的！。

定弦对定角另两边之和的最大值_概述说明以及解释

定弦对定角另两边之和的最大值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文旨在探讨定弦对定角另两边之和的最大值。

我们将研究这一数学问题的定义、相关背景以及解释定弦和定角之间的关系。

通过分析定弦与另两边之和的影响因素，我们希望得出一套推导公式并进行数学证明，最终总结出最大值的性质，并进一步探讨其在实际应用中的相关情况。

1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。

首先是引言部分，概述了全文的主要内容和目标。

随后，在第二部分中，我们将详细介绍定弦对定角另两边之和问题的定义和背景，并解释了这两者之间的关系。

第三部分将对该问题进行分析和讨论，包括推导公式表达式、数学证明与解释、以及实例分析与讨论。

在第四部分中，我们将总结研究结果，并提出相关性实际应用方面的探讨。

最后，在第五部分中给出结论。

1.3 目的研究此问题有以下几个目的：首先，揭示定弦对于一角两边之和最大值行为的规律和特点，拓展数学领域中的相关知识；其次，通过推导公式和数学证明，对于该问题的解答提供一套理论体系。

最后，结合实例分析和讨论探索定弦对定角另两边之和最大值在实际应用中的潜在价值，为可能的应用领域提供指导，并为进一步研究打下基础。

以上是第一部分“引言”内容，请根据需要进行修改或扩展。

2. 定弦对定角另两边之和的最大值：2.1 定义和背景：在几何学中，当两条线段（即两边）与一个定点（即顶点）之间的夹角保持不变时，我们称这个夹角为定角。

而当一条线段连接两个固定点，并与一个已知半径的圆交于该圆上另一点时，我们称这条线段为定弦。

现在我们需要研究的是，在一个给定大小的圆内，如何选择合适长度的定弦，使得它与圆内某一定角形成的两边之和达到最大值。

2.2 解释定弦和定角关系：为了解释针对固定圆内形成的夹角而言，选取何种长度的弦可使得另两边之和达到最大值这一问题，我们需要先明确以下关系。

首先，根据数学性质以及几何图形规律，同样以某个顶点为起始点、终止点不同的所有弦都会有相等长度。

定弦定角解题技巧

定弦定角解题技巧定弦定角问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到在给定条件下找出满足特定条件的弦和角。

这类问题通常需要运用几何和代数知识来解决。

解决定弦定角问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，要明确题目给出的条件和要求，理解弦和角之间的关系。

2. 作图：根据题目的描述，画出相应的几何图形。

作图要准确，标出必要的角度和长度。

3. 应用定理：根据题目要求，选择适当的定理或公式来解决问题。

可能用到的定理包括弦长公式、角度和差公式、余弦定理等。

4. 计算：进行必要的代数运算，求解方程或不等式。

5. 验证答案：最后，要验证所得答案是否符合题目的条件和要求，确保解题过程无误。

下面是一个具体的例子：题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = 2, AC = 4, \angle BAC =120^{\circ}$，点D是边BC上的一个动点，求$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}$的最大值。

解法：1. 作图：在$\bigtriangleup ABC$中，作$AD$垂直于$BC$于点D。

2. 应用定理：由于$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据余弦定理有$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(120^{\circ})$。

解得$BC = 2\sqrt{7}$。

3. 计算面积比：由于$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(B) / (1/2 \times AC \times AD \times \sin(C))$，化简得$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{AB}{AC} \times \frac{\sinB}{\sin C} = \frac{1}{2} \times \frac{\sin B}{\sin C}$。

定弦定角有关的知识点总结

定弦定角有关的知识点总结定弦定角是几何学中一个重要的定理，它在解决三角形的相关问题时非常有用。

本文将介绍定弦定角的概念以及与之相关的知识点。

1.定弦定角的定义：定弦定角是指在一个圆上，如果两条弦所对的弧相等，则这两条弦所对的角也相等。

2.弧：弧是指圆上的一段弯曲部分，可以通过两个弦所对的角来确定。

弧是圆的一部分，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。

3.弦：弦是圆上连接两点的线段，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。

4.定弦定角的应用：定弦定角在解决三角形问题时非常有用。

通过利用定弦定角的性质，可以推导出三角形内角和、外角和等相关的结论。

5.三角形内角和：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据定弦定角可知，弦a、b所对的角A、B相等，而弧a、b的弧度数也相等。

因此，根据弧度的定义，可以得出： a/b = sinA/sin B 同理可得： b/c = sin B/sin C a/c = sin A/sin C 根据三角恒等式 sin A + sin B + sin C = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)，可以得到三角形内角和的结论： A + B + C = π6.三角形外角和：在一个三角形ABC中，设角A的外角为D，角B的外角为E，角C的外角为F。

由于一个内角和其相邻的外角之和等于180°，根据定弦定角的性质可知：弦AD = 弦BE = 弦CF 同理可得：弦BD = 弦CE = 弦AF 弦CD = 弦AE = 弦BF 这些等式表明，三角形的外角所对的弦的长度相等。

7.定弦定角的推广：定弦定角的概念可以推广到其他几何图形上。

例如，在一个正多边形内部，连接多边形的任意两个顶点，所得到的弦所对的角相等。

这个性质在解决正多边形的相关问题时也非常有用。

定弦定角是几何学中一个非常重要的定理，它在解决三角形问题以及其他几何图形问题时都有广泛的应用。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题欧阳家百（2021.03.07）【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D 为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O 于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE 的最小值为（）A．B．C．5D．【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．B．C．D．【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．C．D．【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【练】如图8，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC 上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________。

4定弦定角问题专题

隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1.如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．2.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ﹦1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A （4，0）、B （﹣6，0），点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA ﹦45°，点C 的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线36383-2++x x 的顶点为A，抛物线与x 轴正半轴交于点B ，若在y 轴上存在点C ，使得∠ACB ＝30°.则点C 的坐标是。

训练3、如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为．【及时训练】4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 1、如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-42、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．324-3、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．312+6B．36+3C．312+3D．36+4【20203年真题经典拓展】【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O，A 为 BC 中点，P 为 AC 上任意一点，AD⊥AP 交BP 于D，连CD．若BC＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点D，BE⊥AC 于点E，连接DE．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A、B 分别在边OM、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB＝4，BC＝3．（1）当∠OAB＝45°时，OA 的长为；（2）连接AC，当AC∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E，分别求出OA、OB、OC、OD、OE 在运动过程中的长度变化范围．3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD 的顶点A、D 分别是边OM、ON 边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB 长的最大值为．4,如图，点D 和点E 是等腰直角三角形ABC 的边AC 和AB 上的点，且DE=22，以DE 为边向外作正方形DEFG，则AF 的最大值是。