求异面直线间的距离

求异面直线间的距离直接法直接作出或在已知图形中找出两条异面直线间的公垂线，则夹在两异面直线间的公垂线段的长即为两条异面直线间的距离．【例1】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求BD1与AC的距离．分析：要求BD1与AC的距离，首先要确定它们的公垂线，再求出公垂线段的长．易知AC⊥平面DBD1，则AC垂直平面DBD1内的任一直线，过AC中点O作OE⊥BD1，可知AC⊥OE，则OE即为公垂线．解：如图6－135．连结BD交AC于O，则O为AC中点．过O作OE⊥BD1于E∵AC⊥BDAC⊥BD1 BD1∩DB＝B∴AC⊥面BDD1OE BDD又面1∴ AC⊥OE∴ OE为异面直线BD1和AC的公垂线段．在Rt△D1DB如图6－136中D D a DB a D B a OB a11＝，＝，＝，＝2322∴ OE ＝OB ·sin ∠OBE===222236611a DD D B a a a a ·· 答：与的距离为．BD AC a 166【例2】 正方形ABCD 的边长为1，取BC ，CD 的中点E ，F ，连结AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕，折叠这个正方形，使点B ，C ，D 重合于一点P ，如图6－137，求证：AP 与EF 的距离是．24证明：如图6－137，选取EF 的中点H ，连结PH ． ∵AB ⊥BE ，AD ⊥DF(翻折前) ∴AP ⊥PE ，AP ⊥PF(翻折后)又面，面， PE PEF PF PEF ⊂⊂ PE ∩PF ＝P ∴AP ⊥面PEF又面 PH PEF ⊂∴ AP ⊥PH又 E ，F 分别是BC ，CD 中点 ∴ BE ＝DF ＝PE ＝PF 即△PEF 为等腰三角形 ∴ PH ⊥EF∴ PH 为AP 与EF 的公重线 在△PEF 中EF PE a PH ＝＝＝＝∴＝CE CF PE EF 2222221212221212++-()()()＝＝()()12242422-辅助平面法过两条异面直线中的一条直线作平行于第二条直线的一个平面，则第二条直线到这个平面的距离即为这两条异面直线间的距离．已知：如图－，，是两条异面直线，α，∥α，6138a b a b b ⊂ 与α的距离为h ．求证：a ，b 的距离为h ．证明：因a ，b 一定存在惟一的一条公垂线，不妨设a 与b 的公垂线为AO ，O ∈α．又b ∥α∴过作′∥且′α O b b b ⊂ 又 AO ⊥b ∴ AO ⊥b ′ ∴ AO ⊥α即AO 为直线b 到α的距离 ∴ AO ＝h ．【例3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝8，BB1＝6，求AB与DB1之间的距离．分析：如图6－139，要求异面直线AB与DB1间的距离，可先证出AB与DB1所在的某个平面平等，再求出AB与该平面的距离即可．易从图中看出AB∥平面DCB1．解：∵ AB∥CD∴ AB∥平面CDB1过B作BE⊥CB1∵ CD⊥平面BB1C∴平面BB1C⊥平面DB1C，∴ BE是AB到平面DB1C的距离过E作EF∥DC交B1D于F，又DC∥AB，则EF∥AB．所以EF与AB确定一个平面．于是过F可作FH∥BE交AB于H，∵ BE ⊥B 1D ∴ FH ⊥B 1D 又 EB ⊥AB ∴ FH ⊥AB又 FH 与B 1D ，AB 都相交 ∴ FH 为B 1D 与AB 的公垂线， ∵ ∠B 1BC ＝90°，BE ⊥B 1C ∴ BE ·B 1C ＝BB 1·BC而＝＝＝， B C 101BB BC 1222268++∴ BE ×10＝6×8，∴＝ BE 245则 FH ＝4.8即 AB 与BD 1之间的距离为4.8． 注：此题用直接法也可，而且更简单．【例4】 ABC 42PC ABC PC 等边三角形的边长为，⊥平面且 ＝2，D ，E 分别为AB ，BC 中点，求异面直线PE 与CD 间的距离． 解：如图6－140．过E 作EF ∥CD 交AB 于F ． ∵ △ABC 为等边三角形 ∴ CD ⊥DB ∴ EF ⊥DB作CH ∥DF 交FE 的延长线于点H ． ∴ CH ⊥HF由三垂线定理知 PH ⊥HF ∴ FH ⊥平面PCH ，∴ 平面PEH ⊥平面PCH 过C 作CG ⊥PH 于点G ∴ CG ⊥平面PHE ∵ CD ∥HF ，∴ CD ∥平面PEH ，∴ CG 是CD 到平面PEH 的距离，又平面， PE PEH ⊂∴ CG 是CD 和PE 间的距离． 在Rt △CEH 中， EH ＝CEsin ∠ECH＝°＝226sin60 在Rt △PCE 中，PE ＝＝＝PC CE 222222223++()在Rt △PHE 中，PH CH DF AB ＝＝＝，又＝＝＝，PE EH 22222366142--()() 在Rt △PCH 中， CG ·PH ＝PC ·CH ∴·×即异面直线与的距离为． CG =PC CH =226=233 PE CD PH 233等体积法利用同一立体的体积相等，转换求体积时所用的底面来求高，进而求出异面直线间的距离．【例5】 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 的距离．分析：如图6－141，要求A 1D 与AC 的距离，只需求出A 1D 与平面AB 1C 的距离；要求A 1D 与平面AB 1C 的距离，只需求出点A 1到平面AB 1C 的距离或点D 到平面AB 1C 的距离．由于点D 与平面AB 1C 构成一个三棱锥，若以△为底面，求出，就可求出与AB C V A D 11D AB 1C -AC 的距离．解：∵ A 1D ∥B 1C ∴ A 1D ∥平面AB 1C∴ A 1D 与AC 间的距离就是A 1D 与平面AB 1C 间的距离 ∴ D 到平面AB 1C 的距离即为所求． 设 D 到平面AB 1C 的距离为h ，则＝·△ V h S D AB 1C AB 1C -13在△AB 1C 中，AB B C AC a 11＝＝＝2∴＝＝，△ S AB 1C 3423222()a a 又 B 1B ⊥面DABC∴＝··＝··＝△ V B B S a a a B1DAC ADC123-13131216又＝∴·＝∴＝ V V h 2a a h aD AB 1C B1DAC23--1331633答：异面直线与的距离为．A D AC a 133【例6】 正四面体A －BCD 的棱长为a ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，求AF 与DE 间的距离．解：如图6－142过A 作AO ⊥平面DCB 于O ，则O 为△BCD 的中心，故O 在DE上，且＝．即＝＝．DO 2OE DO DE a 2333连结OF ，过F 作FG ∥DE 交BC 于G ，连结OG ，AG 因F 为OC 中点，故G 为CE 中点．∴ DE ∥平面AFG ．AE a ＝32∵＝＝＝ AO AB BO a a a22223363--() 又 S △OFG ＝S △CFG＝＝＝∴＝××△△△1418332132S S V AO S CDE BCDA OGF OFGa - ＝××＝136333229622a a a在Rt △AEG 中AG FG DE a＝＝＝又＝＝AE EG a a a 22223241341234++()() AF a cos AFG ＝∴∠＝·＝××322323413423234222222AF FG AG AF FGa a a a a+-+-()()()＝∴∠＝∠＝＝16111635622 sin AFG --cos ()AFG∴＝··∠＝×××＝△ S AF FG sin AFGAFG 12123234356353222a a a a设O 到面AFG 的距离为h∴＝×又＝∴×＝ V V V 13O AFG O AFG A OFG ---1335323532296222a ha h a∴＝． h 7035a极值法前面我们已经谈到异面直线间的距离就是公垂线段的长，而公垂线段是两条异面直线上各取一点连线中最短的一条，因此，可以用求函数极值的方法来求两条异面直线的距离．【例7】 设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为a ．AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝90°，求异面直线A 1B 1与AC 1之间的距离．解：如图6－143．在A 1B 1上任选一点M ，过M 作MN ⊥C 1A 1于N ，过N 作NF ⊥C 1A 于F ，连结MF ．设 MN ＝x∵ B 1C 1＝A 1C 1，∠B 1C 1A 1＝90° ∴ ∠MA 1N ＝45° ∴ MN ＝NA 1＝x ∴ C 1N ＝a －x又 C 1C ＝CA ＝a ，∠C 1CA ＝90° ∴ ∠NC 1F ＝45°∴＝＝＝ NF C F 1C N a x 122- 又 B 1C 1⊥面AA 1C 1CMN ∥C 1B 1∴ MN ⊥NF在Rt △MNF 中，MF MN NF x x x ax a 2222222＝＋＝＋＝＋－＋＝()()a x x a a --+2121232133222 ∴＝∴＝答：异面直线与之间的距离为．最小最小 MF MF A B AC a 2111a a 233333【例8】 设正三棱锥A －BCD 底面边长为3，侧棱长为2，求对棱间的距离．解：如图6－144．不妨求AB 与CD 间的距离．过A 过AO ⊥平面BCD 于O ，在AB 上任选一点M ，过M 作MN ∥AO 交面DBC 于N ．连结AO 交CD 于P ，则N ∈BP连MP ，设MN ＝x由＝，得＝·＝·＝××××·BN BO MN AOBO AO MN BO AB BOMN x BN 222232323232323--() ＝∴＝－＝·332xx NP BP BN3-3在Rt △MNP 中MP 2＝MN 2＋NP 2＝＋＝－＋＝x 4x 9x 22()()323327429481161081622---+x x ＝()29427162x -+ ∴＝∴＝即与间的距离为．最小最小 MP MP AB CD 22716334334。