高二数学教案:9复习讲义(4)
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高二下学期数学第九章复习(4)
空间向量的(坐标 )运算(2)
一、基础训练:
1.已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ,若A 、B 、C 三点共线,
则=p 3 ,=q 2 . 2.在平行六面体1111D C B A ABCD -中, 4=AB ,3=AD ,51=AA ,o BAD 90=∠,
o DAA BAA 6011=∠=∠,则1AC
.
3.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||||
AB AC OP OA AB AC λ=++,
[0,)λ∈+∞,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的
( B )
()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心
4.若(1,1,3)A m n +-,(2,,2)B m n m n -,(3,3,9)C m n +-三点共线,则m n +=0.
5.已知(0,2,3)A ,(2,1,6)B -,(1,1,5)C -,若||3a =且,a AB a AC ⊥⊥,则a 的坐标为
()()1,1,1,1,1,1---.
6.已知,是空间二向量,若||3,||2,||7a b a b ==-=
,则a
与b 的夹角为60.
7.已知向量)3,2,1(-=a ,)1,1,1(=b ,则向量a 在向量b 方向上的射影向量的模为
3
. 二、例题分析:
例1.在平行四边形ABCD 中,1==AC AB ,090=∠ACD ,
将它沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成060角,求B 、D 间的距离.(答案:2,
)
例2.在矩形ABCD 中,已知1=AB ,a BC =,⊥PA 平面ABCD ,2=PA ,若BC 边上存在唯一一点Q ,使得DQ PQ ⊥,M 是AD 上一点,M 在平面PQD 上的射影恰好是
PQD ∆的重心,求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离.
(答案:2
3
) P
A
B
C
D
M
例3.在ABC ∆中2AB BC AC ===,现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到
111A B C ∆的位置,31=BB ,D 是AB 的中点,F 是11C A 的中点,E 在1BB 上,
⑴当13
1
BB BE =时,求直线EC 与DF 所成角的大小; ⑵当E 点在1BB 上变化时,BE 为多长时DF CE ⊥.
答案:⑴2arccos 10;⑵2
3
.
三、课后练习: 班级 学号 姓名
1.四面体SABC 中,SC =AB =1,SA 与BC 中点分别为,P Q ,且2
2
PQ =,则异面直线AB
与SC 所成的角为90.
2.已知CD AB 2=,且点A 、B 、C 、D 不共线,则下列结论正确的是 ( D ) ()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形
()C 四边形ABCD 是梯形 ()D 四边形ABDC 是梯形
3.已知32134e e e a -+=,321245e e e b +-=,其中},,{321e e e 是一组正交基底,b 及a 之
间的夹角的余弦值为
130
65
. 4.从O 点出发的三条射线两两垂直,空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ,则P 到
O 的距离为
222
2
a b c ++. 5.已知平面α内的60BOC ∠=,OA a =,OA 是平面α的斜线段,
且45AOB AOC ∠=∠=,则点A 到平面α的距离为3a
.
6.如图,,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点,
若此四面体的对棱相等, 则EF 与GH 所成的角等于90;
()EF NH MG ⋅+=_0.
E
D
A B C A
B C
1
1F
7.已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -,设a PQ =,b PR =, ⑴求a 与b 的夹角θ(用反三角函数表示); ⑵试确定实数k ,使ka b +与2ka b -互相垂直; ⑶试确定实数k ,使ka b +与a kb +互相平行.
答案:⑴10arccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭;⑵52,2-;⑶1k =±. 8.如图,点P 是矩形ABCD 外一点,⊥PA 平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,
⑴求证:AB MN ⊥;
⑵若PDA θ∠=,能否确定θ使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线?若可以确定θ,试求θ的值?若不能,说明理由. 答案:⑵ 45.
9.已知ABC ∆,将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ∆的位置,11BC AB ⊥,
11BC AC ⊥,求证:11AB AC =.
P
A B
C
D
M N