高中数学第1章1.1知能优化训练新人教B版选修12

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2012年人教B数学选修2-3：第1章1.1知能优化训练

1．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是()A．3＋2＋4＝9B．1C．3×2×4＝24D．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A地到B地需过C、D两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面的个数是()A．40B．13C．10D．16解析：选B．直线a与b上的8个点可分别确定8个不同的平面；直线b与a上的5个点可分别确定5个不同的平面．故可确定5＋8＝13个不同的平面．3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示成不同的值的个数是() A．1＋1＝2B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6D．3×3＝9解析：选D．因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理有3×3＝9个不同的值．4．在一块并排共10垄的田地上，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植1垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答)．解析：把空的6垄看作一个整体，A、B两种作物可在其余4垄上种值，不同的选垄方法为(3×2×1)×2＝12(种)．答案：125．椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y轴上，所以n＞m.当n＝2时，m＝1；当n＝3时，m＝1,2；当n＝4时，m＝1,2,3；当n＝5时，m＝1,2,3,4；当n＝6时，m＝1,2,3,4,5；当n＝7时，m＝1,2,3,4,5.所以，共有椭圆1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)．答案：20一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B ．要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．某电话局的电话号码为168×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )A ．20个B ．25个C ．32个D ．60个解析：选C.五位数字是由6或8组成的，可分五步完成，每一步都有两种方法，根据分步乘法计数原理，共有25＝32个．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B ．12C.23 D ．34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.5．(2011年北京模拟)用0到9这10个数字可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A ．324B ．328C ．360D ．684解析：选B ．分两类：(1)个位是0的，有9×8个；(2)个位不是0的，个位只能是2,4,6,8中的任意一个有4×8×8个，总共有9×8＋4×8×8＝328(个)．6．如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2，且a 3＜a 2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为()A．240B．204C．729D．920解析：选A.分8类．当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．二、填空题7．一个学习小组有4名男生，5名女生，任选1名当组长，共有________种选法；选男、女生各1名当组长，共有________种选法．解析：选1名当组长分为两类：第一类，从4名男生中选1名共有4种选法，第二类，从5名女生中选1名共有5种选法，一共有4＋5＝9种选法；选男、女生各1名当组长可分为两步：第1步是选1名男同学，有4种选法，第二步是选1名女同学，有5种选法，则有4×5＝20种选法．答案：9208．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1209．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．若直线方程为ax＋by＝0，其中a，b可在0,1,2,3,4中任取两个不同的数，共得到直线多少条？解：(1)a＝0时，b可取1,2,3,4中的任一个数，但总得到直线y＝0，即1条；(2)b＝0时，a可取1,2,3,4中的任一个数，但总得到直线x＝0，也是1条；(3)a，b都不为0时，由分步乘法计数原理共可得到直线4×3＝12(条)．直线x＋2y＝0与2x＋4y＝0重合，直线2x＋y＝0与直线4x＋2y＝0重合，因此a，b 不为0时有10条直线．因此由分类加法计数原理得共有N＝1＋1＋10＝12(条)．11．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．12．电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑．分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400种结果．因此共有不同结果17400＋11400＝28800种．。

优化方案高中数学必修一教学课件汇编-第1章1.1.1第一课时

课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
第1章
集合与函数概念
问题探究 1．你班里“数学成绩好的同学”能组成集合吗？提示：不能组成集合，“成绩好”没有确定的标准，即集合中的元素是不确定的． 2．你班里“第一组的同学”能组成集合吗？提示：能组成集合，集合中的元素就是第一组的全体同学． 3．如果集合A中有两个元素a和a2 ，那么对于a有什么限制？提示：两个元素，根据集合中元素的确定性，互异性，得a≠a2，所以a≠0且a≠1.
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
第1章
集合与函数概念
2．集合中元素的特性 (1) 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的 ___________． (2) 互异性：一个给定集合中的元素是互异的 _________．无序的 (3)无序性：集合中的元素是________，如{a，b， c}与{c，b，a}是同一集合． 3．元素与集合之间的关系 a属于集合A (1)如果a是集合A的元素，就说______________， a∈A 记作_________. (2) 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a∉A a不属于集合A _______________，记作________.
知能优化训练
第1章
集合与函数概念
互动探究 2 在本例中，将“集合 B＝{x∈ 6 6 N| ∈N}”改为“集合 M＝{x∈N| ∈ 2＋x 1＋x Z}”，怎样求 M?
课前自主学案
6 解：∵x∈N，且 ∈Z， 1＋x ∴1＋x＝1,2,3,6， ∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．

年高中数学第1章1.1.1正弦定理和余弦定理正弦定理知能优化训练

【优化方案】2014年高中数学第1章1.1.1正弦定理和余弦定理正弦定理知能优化训练新人教A版必修5 1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则( )A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45° D．以上答案都不对解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C⇒sin C＝12，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝ 2.3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，则根据正弦定理知AB＝BC·sin Csin A＝102.答案：1024．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：BDsinA2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①在△ACD中，CDsinA2＝ACsinπ－θ，∴CDAC＝sinA2sin θ.②由①②得BD AB ＝CDAC ，∴BD DC ＝AB AC.一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝ac ，又由正弦定理a c ＝sin Asin C.∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63. 4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c＝( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°. 故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A ．两解 B ．一解 C ．无解 D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.答案：2 58．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 答案：1 三、解答题10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a . 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c2R ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状．解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．。

2012年人教B数学选修1-2：第1章1.1知能优化训练

1．对于分类变量A 与B 的统计量χ2，下列说法正确的是( )A ．χ2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越小B ．χ2越大，说明“A 与B 无关”的程度越大C ．χ2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小D ．χ2接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小解析：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C 正确．2．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：( )A ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝6，n 22＝5B ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝8，n 22＝6C ．n 11＝8，n 12＝7，n 21＝5，n 22＝6D ．n 11＝7，n 12＝6，n 21＝5，n 22＝7解析：选B.对于同一样本，|n 11n 22－n 12n 21|越小，说明X 与Y 之间的关系越弱；|n 11n 22－n 12n 21|越大，说明X 与Y 之间的关系越强．3．事件A 、B 是相互独立的，下列四个式子：①P (AB )＝P (A )P (B )；②P (A B )＝P (A )P (B )；③P (A B )＝P (A )P (B )；④P (A B )＝P (A )P (B )．其中正确的有________．解析：事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．答案：①②③④4．用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________，要求表中的四个数据均大于等于________．解析：在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5.在选取样本容量时一定要注意这一点．答案：2×2列联表 55．若两个分类变量X 和求X 与Y 解：由表可知χ2＝70×(5×10－40×15)220×50×45×25≈18.8＞6.635.故有99%的把握认为X 与Y 有关．一、选择题1．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( )A ．A 与B 相互独立B ．P (AB )＝P (A )P (B )C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：选C.事件A 对事件B 发生的概率有影响，故不相互独立．2．经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.下列说法正确的是( )A ．当根据具体的数据算出的χ2＜3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关B ．当χ2＜6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．当χ2≥3.841时，认为事件A 与B 是无关的D ．当χ2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的解析：选D.由χ2值与临界值的大小关系来判断两个事件的关系．3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)解析：选B.设甲、乙解决这个问题分别为事件A 、B ，则P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )，即P 1(1－P 2)＋(1－P 1)P 2.4．下面是一个2×2则表中a ，b 的值分别为A ．94,96B ．52,50C ．52,54D ．54,52解析：选C.∵a ＋21＝73，∴a ＝73－21＝52.又∵a ＋2＝b ，∴b ＝52＋2＝54.5A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的解析：选B.χ2＝407×(32×213－61×101)293×314×133×274≈0.1641＜3.841，故种子是否经过处理与生病无关．6．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是n 11＝15，n 12＝21，n 21＋n 22＝40，若有99%的把握认为X 与Y 有关系，则n 21等于( )A ．5B ．7C ．9D．10解析：选A.若有99%的把握认为X与Y有关系，则计算的卡方统计量χ2＞6.635，可以根据四个选项的值，分别计算出卡方统计量的值，再与6.635比较，当n21＝5时，χ2的值大于6.635，故选A.二、填空题7．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：列出2×2所以随机变量χ2χ2＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067＞3.841.所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．答案：95%8．(2011年青岛模拟)调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：)解析：χ2＝72×(16×8－28×20)236×36×44×28≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．答案：有9．如果元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图所示的线路，正常工作的概率为________．解析：A、B、C至少有一个元件正常工作即可．答案：1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)三、解答题10．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率是多少？解：设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A、B、C，则P(A)＝810，P(B)＝610，P(C)＝710，设三人各答题一次且只有一人及格为事件D，则D的情况为：A B C、A B C、A B C.所以P(D)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝810(1－610)(1－710)＋(1－810)610(1－710)＋(1－810)·(1－610)710＝47250.11．某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6.(1)求两次都遇到红灯的概率；(2)求至少遇到一次红灯的概率．解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，第二次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次红灯”的对立事件为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.12．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表和独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．解：(1)2×211222112认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，由公式计算得到χ2的值为χ2＝1500×(982×17－493×8)2990×510×1475×25≈13.097＞6.635，所以有99%的把握认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．。

人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.1知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2知能优化训练第1章1.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2第一课时知能优化训练第2章2.1.2第二课时知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.1.3知能优化训练第3章3.2知能优化训练第3章3.3.1知能优化训练第3章3.3.2知能优化训练第3章3.3.3知能优化训练第3章3.4知能优化训练1．下列语句是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗答案：A2．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．P 1，p 3C ．P 2，p 3D ．P 2，p 4解析：选A.|a ＋b |>1⇔1＋1＋2cos θ>1⇔θ∈[0，2π3)． |a －b |>1⇔1＋1－2cos θ>1⇔θ∈(π3，π]． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p 和结论q .解：条件p ：一个函数的图象是一条直线；结论q ：这个函数为一次函数．一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D4．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．6．下列命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．若x2＋x＋1<0，则x∈R⊆/解析：选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解，x∈∅.二、填空题7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根真8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝12. (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．1．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真⊆/解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：②③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2，综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c ＝0，b 不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立；反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0，因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10，解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．解：“p∧q”：6既是12的约数又是24的约数．“p∨q”：6是12或24的约数．“綈p”：6不是12的约数．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．綈p D．(綈p)∧(綈q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．綈p为真D．綈q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：选D.p为真，q为假，所以綈q为真，(綈p)∨(綈q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3. 答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________．解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则 2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”．答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b 三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题： (1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，綈p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈p 且綈q 綈q .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”． 3．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”．解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( ) A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数 D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数答案：C2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A. 5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是()①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3) 答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝14．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)．由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．椭圆x 29＋y225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6 解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y216＋x 2＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4 三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|，∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上答案：D2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3 答案：B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案：(－2，2)4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB之长．解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43) ＝823.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225，由弦长公式易求|AB |＝9017.4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－5,5)B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ， ∴c a ＝12. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l 的方程为y ＝x －1.。

【优化方案】2012高中数学_第1章1.1.1构成空间几何体的基本元素课件_新人教B版必修2

下列关于长方体的说法中，下列关于长方体的说法中，正确的是 ________． ________．长方体中有3组对面互相平行； ①长方体中有3组对面互相平行； ② 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，与 AB 垂直的只有棱 AD，BC和AA1；长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ③长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ④ 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，棱 AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1平行且相等．平行且相等．分析】可利用长方体的特点进行判断．【分析】可利用长方体的特点进行判断．
例1
解析】如图，【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面 ABCD ∥ 平面 A1B1C1D1 ，平面 ADD1A1 ∥ 平面 BCC1B1 ，正确；平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1 错误；和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，正确；形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1 的距离，的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④ ①③④. 此它们平行且相等，故答案是①③④.
课前自主学案
1．1.1 1．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
初中学习过的几何体有：长方体、正方体、初中学习过的几何体有：长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等.
知新益能 1．长方体的有关概念．
矩形如图，长方体由六个_______ 包括它的内部) 如图，长方体由六个_______ (包括它的内部)围围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 面等均为长方体的面) (如图中矩形 ABCD－ A1B1BA等均为长方体的面)；棱相邻两个面的公共边，叫做长方体的____ 相邻两个面的公共边，叫做长方体的 ____ ( 如 A1A、AB、BC等均为长方体的棱)；棱和棱的公共等均为长方体的棱) 顶点叫做长方体的________ 点，叫做长方体的________ (如点A、B、C、D、 A1等均为长方体的顶点)．由图可知长方体有6个等均为长方体的顶点) 由图可知长方体有6 _______条棱 _____个顶点条棱， 8 个顶点．面，_______条棱，_____个顶点． 12

高中数学 4.1知能优化训练新人教B版选修12

高中数学 4.1知能优化训练新人教B 版选修1-21．下列说法正确的是( )A ．流程图只有1个起点和1个终点B ．程序框图只有1个起点和1个终点C ．工序图只有1个起点和1个终点D ．以上都不对解析：选B.程序框图只有一个起点“开始”和一个终点“结束”． 2．表示旅客搭乘火车的流程图正确的是( ) A ．买票→候车→上车→检票 B ．候车→买票→上车→检票 C ．买票→候车→检票→上车 D ．候车→买票→检票→上车解析：选C.按照时间的先后顺序，显然是选C.3．某一算法流程图如图，输入x ＝1得结果是________．解析：本题是一个分段函数求值问题y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋3 x ＜00 x ＝012x －5 x ＞0∴当x ＝1时，y ＝12－5＝－92.答案：－924．已知函数f (x )＝|x －3|，将下面的流程图补充完整． ①处填________，②处填________．解析：f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x ＜3.答案：x ＜3 y ＝x －35．画出求方程ax ＋b ＝0根的算法流程图．解：一、选择题1．下列框图中，是流程图的是( )解析：选C.流程图是一个动态过程，有先后顺序，只有C 项符合要求． 2．读下面程序框图，说明输出结果( )A ．6B ．4C．3D．1解析：选B.∵a＝1，b＝a＋3，∴b＝4.3．(2011年高考天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．6解析：选B.由a＝1，i＝0→i＝0＋1＝1，a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65>50，∴输出4.4．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，从下列选项中选出最好的一种流程( ) A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶解析：选C.流程图如下：共用时2＋8＋3＋10＝23分钟．5．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )A．a→b→c→d→e→fB．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→fD．b→a→c→d→f→e解析：选C.考虑各道工序先后顺序及相互联系，可知C正确．6．(2011年高考辽宁卷)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是( )A．8B．5C．3D．2解析：选C.n＝4，s＝0，t＝1，k＝1，p＝1,1<4，p＝0＋1＝1，s＝1，t＝1；k＝2,2<4，p＝1＋1＝2，s＝1，t＝2；k＝3,3<4，p＝1＋2＝3，s＝2，t＝3；k＝4,4<4不成立，输出p ＝3.二、填空题7．某工程的工序流程图如图(工时单位：天)，现已知工程总时数为10天，则工序c 所需工时数为________天．解析：设工序c所需工时数为x天，由题设知关键路线是a→c→e→g，需工时1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4，即工序c所需工时数为4天．答案：48．观察如图所示的程序框图的运行情况：若输入－4，则输出结果为________．解析：由－4＜0知输出结果为“是负数”．答案：是负数9．某地联通公司推出10010电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，其操作为___________________________________．解析：因为是查询本机余额，应先按1号键，再按2号键．答案：拨通10010电话，按1号键，再按2号键三、解答题10．在下列框图中，输入f0(x)＝cos x，求输出的结果．解：∵f i(x)＝－f i－1(x)，∴f2010(x)＝－f2009(x)＝－[－f2008(x)]＝(－1)2f2008(x)＝…＝(－1)2010f0(x)＝cos x.11．某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”．然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时，另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现．第三步，按照亲子活动方案进行活动．第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时，家长填写亲子活动反馈卡．最后，启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：由于上述活动包含同时进行的两个步骤，所以在画流程图时，需要从同一个基本单元出发，引出两条流程线．按照活动所确定的步骤，可以设计流程图如下：12．公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年，其他的年份都不是闰年．将这个规则用程序框图表示．解：这个规则用程序框图表示如图所示．。

人教B版高中数学选修知能优化训练(4)

高中数学第2章2.1.1知能优化训练新人教B版选修1-21．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( )A．n2－1B．(n－1)2＋1C．2n－1D．2n－1＋1解析：选C.a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶84．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当n≥2时，有__________．解析：通过观察归纳可得f(2n)>n＋22.答案：f(2n)>n＋225.如图为一串白黑相间排列的珠子：按此规律，求第36颗珠子的颜色．解：第1颗黑珠子位于第2个位置，第2颗黑珠子位于第5个位置2＋3，第3颗黑珠子位于第9个位置2＋3＋4，归纳第n颗黑珠子位于第f(n)＝2＋3＋…＋(n＋1n个＝n＋3n2个位置．当n＝8时f(8)＝8＋3×82＝44，n＝7时，f(7)＝7＋3×72＝35.故第36颗珠子的颜色是白色．一、选择题1．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2kD ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2解析：选D.利用归纳推理可知，第k 项中第一个数为a k －1，且第k 项中有k 项，且次数连续，故第k 项为a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2，故选D.2．10条直线最多可以有交点( ) A ．45个 B ．50个 C ．49个 D ．72个解析：选A.当n ＝2时，有1个交点，当n ＝3时，最多有3个交点，当n ＝4时，最多有6个交点，当n ＝5时最多有10个交点．归纳可知a n ＝a n －1＋(n －1)(n ≥2)，所以a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…， a n －a n －1＝n －1.把以上等式相加，得a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋a 1＝n －1n2，所以a 10＝9×102＝45.3．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；….则观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系是( )A ．等于n 2B ．等于n 3C ．等于n 4D ．等于n (n ＋1)解析：选B.1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33.13＋15＋17＋19＝64＝43，…猜想第n 组各数之和等于n 3.4．如果对象A ，B 都具有相同的性质P ，Q ，R 等，此外，对象A 还有一个属性S ，而对象B 带有一个未知属性x ，由类比推理，可以得出下列结论中可能正确的是( )A ．x 就是PB ．x 就是QC ．x 就是RD ．x 就是S解析：选D.由类比推理知A 、B 应具有一系列相同的性质．5．在如图所示的四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3解析：选A.着色三角形的个数依次是1,3,9,27，…，归纳可知a n ＝3n －1，故选A. 6．(2011年高考江西卷)观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125解析：选D.55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可得59与55的后四位相同，…，由此可归纳出5m ＋4k ＝5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)，又2011＝4×501＋7，所以52011与57后四位数字相同为8125，故选D.二、填空题7．(2011年高考山东卷)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x7x ＋8，f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝__________. 解析：由f (x )＝xx ＋2(x >0)得，f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4＝x22－1x ＋22，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8＝x23－1x ＋23，f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x 15x ＋16＝x24－1x ＋24，……∴当n ≥2且n ∈N *时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝x2n －1x ＋2n.答案：x2n －1x ＋2n8．设f (x )＝12x ＋2，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝__________.解析：等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，即利用a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，据此类比可解本题．∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×22＝3 2.答案：3 29．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．解析：在等差数列{a n }中，由a 10＝0得， a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1.又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1 ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ，若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n . 相应地等比数列{b n }中，则可得： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋) 三、解答题10．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形的三边上的高，P 为三角形内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到P a h a ＋P b h b ＋P c h c＝1，试通过类比，写出在四面体中的类似结论．解：在空间，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是四面体各顶点到四个对面上的高，P 为四面体内任意12一点，P 到相应四个面的距离为P a ，P b ，P c ，P d ，通过类比有类似的结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1. 11．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并加以证明．解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.其证明如下：左边＝1－cos 2α2＋1－cos 2α＋120°2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2α·sin120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos2α＋32sin 2α＝32＝右边．∴原式得证．12．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出计算公式．解：b 1＝a ×r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]， b 3＝ab 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]，∴归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]．。

高中数学 3.2.2第一课时知能优化训练新人教B版选修12

1．(2011年高考大纲全国卷)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i解析：选B.z ＝1＋i ，z ＝1－i ，z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i ，故选B.2．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.(a ＋i)2i ＝[(a 2－1)＋2a i]i ＝(a 2－1)i －2a ，因为(a ＋i)2i 是正实数，所以a 2－1＝0且2a ＜0，所以a ＝－1.3．复数(1－i)3的虚部是__________．解析：∵(1－i)3＝13－3i ＋3(－i)2－i 3＝－2－2i ，∴虚部为－2.答案：－24．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________．解析：法一：∵i(z ＋1)＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i－1＝－(－3i －2)－1＝1＋3i ，故z 的实部是1.法二：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i 得i[(a ＋1)＋b i]＝－3＋2i ，－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴b ＝3，a ＝1，故z 的实部是1.答案：15．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，求实数t .解：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.∵z 1·z 2是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.一、选择题1．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．2解析：选D.(1－i)2·i＝(1－2i ＋i 2)·i＝－2i 2＝2.2．设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴的负半轴上，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1C. 2D ．－ 3解析：选A.z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，2a <0，∴a ＝－1.3．2＋23i 的平方根是( )A.3＋iB.3±iC ．±3＋iD ．±(3＋i)解析：选D.设其平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )，则x 2－y 2＋2xy i ＝2＋23i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝2，2xy ＝23，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－1，∴其平方根为3＋i 或－3－i.4．设f (n )＝i n ＋i －n (n ∈N ＋)，则f (n )值域中元素的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个解析：选B.当n ＝4k (k ∈N ＋)时，f (n )＝2；当n ＝4k ＋1或n ＝4k ＋3时，f (n )＝0；当n ＝4k ＋2时，f (n )＝－2.5．已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C.由m 1＋i＝1－n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)，即m ＝1＋n ＋(1－n )i.由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1，故m ＋n i ＝2＋i.故正确答案为C. 6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析：选C.∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，它为实数的等价条件是m 2＝n 2，又m ，n 均为正整数，∴m ＝n .故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，∴复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为636＝16. 二、填空题7．(1＋i)6＋(1－i)6＝____________.解析：(1＋i)6＋(1－i)6＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3＝(2i)3＋(－2i)3＝0.答案：08．复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝__________.解析：设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝z 2＋4z ＋4－8i ＝(－a 2＋4)＋(4a －8)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4＝04a －8≠0解得a ＝－2，∴z ＝－2i答案：－2i9．若关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根是2＋i ，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵2＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴2－i 也是该方程的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝2＋i ＋2－i b ＝2＋i 2－i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝5.答案：－4 5三、解答题10．已知z 是复数，z ＋z －3z ·z i ＝1－3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )则z ＝a －b i ， ∵z ＋z －3z ·z i ＝2a －3(a 2＋b 2)i ＝1－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1－3a 2＋b 2＝－3，∴a ＝12，b ＝±32. 因此，z ＝12±32i. 11．是否存在虚数z 1、z 2满足|z 1－z 2|＝|1－z 1z 2|？若存在，求出z 1、z 2或z 1、z 2满足的条件；若不存在，说明理由．解：∵|z 1－z 2|2＝|1－z 1z 2|2，即(z 1－z 2)(z 1－z 2)＝(1－z 1z 2)(1－z 1·z 2)，化简得(|z 1|2－1)(|z 2|2－1)＝0.∴存在这样的虚数z 1、z 2满足条件，且只要|z 1|＝1，|z 2|＝1中，至少有一个成立即可．12．设△ABC 中的两个内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋cosB ．若复数z 1z 2为纯虚数，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：∵z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋icos B ，∴z 1z 2＝(a cos A －bcos B )＋i(a cos B ＋b cos A )．又∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a cos A ＝b cos B ，a cos B ＋b cos A ≠0，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2A ＝sin 2B ，sin A ＋B ≠0.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

高中数学 3.1.2第一课时知能优化训练新人教B版选修12

1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数是a ＝0的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a ＋b i 为纯虚数，则必有a ＝0，故为充分条件；但若a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i ＝0为实数，故不是必要条件．2．有下列五个数：2＋3i ，－4i,5－3，73，－2，其中实数有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：选B.由复数的定义可知：5－3，73，－2是实数，所以实数有3个，选B. 3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．解析：2i －5的虚部是2，5i ＋2i 2＝5i －2的实部是－2，由题意知新复数是2－2i.答案：2－2i4．复数1－i 的虚部的平方是__________．解析：1－i 的虚部是－1，故(－1)2＝1.答案：15．求适合等式：(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x 、y 值，其中x ，y ∈R .解：∵x ，y ∈R ，根据复数相等的条件，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝y －3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝4.一、选择题1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0得x ＝－1，故选A. 2．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a ＜0且a ＝－bC ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D.∵z 为实数，∴|a |＋a ＝0，∴|a |＝－a ，∴a ≤0.3．复数⎝⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2B ．－32C ．2－32 D ．0解析：选C.由复数定义知选C.4．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.α(i)表示i n ＝1的最小正整数n ，因为i 2＝－1(n ∈N *)，所以i 4＝(i 2)2＝1，即最小正整数n ＝4，所以α(i)＝4.故正确答案为B.5．若方程x 2＋(k ＋3i)x ＋4＋k i ＝0有实根，则实数k 等于( )A ．－3 2B ．3 2C ．－32或3 2D ．3 3解析：选C.设x 0∈R 为方程的实根，则x 20＋(k ＋3i)x 0＋4＋k i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋4＝0，3x 0＋k ＝0， ∴k ＝±3 2.6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：选C.∵M ∩N ＝{3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1. 二、填空题7．已知x ，y ∈R ，若x 2＋2x ＋(2y ＋x )i ＝3x ＋(y ＋1)i ，则复数x ＋y i ＝__________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＝3x 2y ＋x ＝y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0. ∴x ＋y i ＝i 或1.答案：i 或18．复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 为纯虚数，则x ＝__________. 解析：当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．答案：－2或39．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)，且θ∈(0，π)，若z 是实数，则θ的值为__________，若z 为纯虚数，则θ的值为__________．解析：若z 为实数，则1－2cos θ＝0，即cos θ＝12.因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－1＝0，1－2cos θ≠0，所以sin θ＝1且cos θ≠12.因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2. 答案：π3 π2三、解答题10．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．解：∵x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，∴y ＝－1，x <1－5或x >1＋5，即x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．11．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值．解：由复数相等的定义，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0， ①2xy ＝2. ② 由①y ＝±x .由②xy ＝1.∴x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.12．设m ∈R ，复数z ＝2m 2－3m －2＋(m 2－3m ＋2)i.试求m 为何值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则有m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或2.即m 为1或2时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1且m ≠2.即m ≠1且m ≠2时，z 为纯虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．。

优化方案2020高中数学第1章1.2知能优化训练新人教A版选修12

1．以下变量中不是分类变量的是()A．近视B．成绩C．性别D．饮酒剖析：选B.分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值是失散的，而且不相同的取值仅表示个体所属的种类．从这个定义上能够看出只有成绩不是分类变量．2．利用独立性检验来察看两个分类变量X和Y可否相关系时，经过查阅下表来确定“X与Y相关系”的可信程度.20P(K≥k)k0P(K2≥k0)k0若是K2≥，那么就有掌握认为“X与Y相关系”的百分比为()A．25%B．75%C．2.5%D．97.5%剖析：选D.k＝对应的是“X与Y相关系”不合理的程度，因此两个分类变量相关系的可信程度约为97.5%.3．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d对同相同本，以下数据能说明X与Y相关的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5剖析：选D.关于同相同本，|ad－bc|越小，说明X与Y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明X 与Y相关性越强，经过计算知，关于A，B，C都有|－bc|＝|10－12|＝2.关于选项adD有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7>2.95%的掌握认为两个变量相关系．那么K2 4．若由一个2×2列联表中的数据计算得有的取值范围为________．剖析：当随机变量K2≥时，有95%的掌握认为两个变量相关系．答案：K2≥一、选择题1．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x282533总计b46则表中a、b处的值分别为()A．94、96B．52、50C．52、60D．54、52剖析：选C.∵a＋21＝73，∴a＝52，∴b＝a＋8＝52＋8＝60.2．以下说法正确的个数是()①对事件A与B的检验没关时，即两个事件互不影响②事件A与B关系越亲近，则K2就越大③K2的大小是判断事件A与B可否相关的唯一依照④若判断两个事件A与B相关，则A发生B必然发生A．1B．2C．3D．4剖析：选 A.两个事件检验没关，可是说明两事件的相互影响较小；而判断两事件可否相关除了公式外，还可以够用等高条形图等方法来判断；两事件相关，也可是说明当一个事件发生时，另一个事件发生的概率较大，但不用然必然发生．因此只有②正确．3．察看棉花种子经过办理跟患病之间的关系获取下表数据：种子办理种子未办理总计患病32101133不患病61213274总计93314407依照以上数据，可得出()A．种子可否经过办理跟可否患病相关B．种子可否经过办理跟可否患病没关C．种子可否经过办理决定可否患病D．以上都是错误的2407×32×213－61×101剖析：选 B.由k＝≈，即不能够必然种子经过93×314×133×274办理跟可否患病相关．4．以下说法中错误的选项是()A．有时能够把分类变量的不相同取值用数字表示，但这时的数字除了分类以外没有其他含义B．在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量可否相关系的一种方法C．在进行独立性检验时，能够先利用三维柱形图和二维条形图大概地判断两个分类变量可否相关系D．经过三维柱形图和二维条形能够精确的给出所得结论的可靠程度剖析：选D.经过三维柱形图和二维条形能够大概地判断两个分类变量可否相关系，但不能够给出所得结论的可靠程度．5．以下关于随机变量K2的说法正确的选项是()A．K2在任何相互独立问题中都能够用来检验相关还是没关2B．K的值越大，说明“两个变量相关系”成立的可能性越大2C．当K的值很小时能够推定两个分类变量不相关D．K2的察看值k的计算公式为k ＝2ad－bca＋b c＋d a＋c b＋d答案：B6．在等高条形图中，以下哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )adcaA.a ＋b与c ＋d B.a ＋b 与c ＋dacac C.a ＋b与c ＋dD.a ＋b与b ＋ca与 c相差越大，关系越强．剖析：选C.＋＋a bc d二、填空题 7．为研究某新药的疗效，给 50名患者服用此药，追踪检查后得下表中的数据：无效有效总计男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50总计 21 79 100设0：服用此药的收效与患者的性别没关，则 2的察看值 k ≈________，从而得出结论： HK服用此药的收效与患者的性别相关，这种判断出错的可能性为 ________．剖析：由公式计算得 K 2的察看值k ≈，∵k ，∴我们有95%的掌握认为服用此药的收效与患者的性别相关，从而有5%的可能性出错．答案：5%8．为了察看高中生学习语文与数学之间的关系，在某中学学生中随机地抽取了610名学生获取以以下表：语文及格不及格总计数学及格 310 142 452不及格 94 64 158总计404206610由表中数据计算知 K 2的察看值 k ≈4.326.有________的掌握认为高中生的语文与数学成绩之间相关系．剖析：在假设“语文与数学成绩没相关系”的前提下，K 2应该很小，而且P (K 2≥3.841)≈，而我们所获取的K 2的察看值k ≈，这就意味着“语文成绩与数学成绩相关系”这一情况错误的可能性为，故有95%的掌握认为“语文成绩与数学成绩相关系”．答案：95%K 2＝，则两个变量相关系的概率为9．若由一个2×2列联表中的数据计算得________．剖析：因随机变量K 2的察看值k ＝，因此在出错误的概率不高出的前提下，认为两个变量相关系．答案：三、解答题 10．某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语，并对文明口号张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，详尽数据以下：损坏餐椅数未损坏餐椅数总计文明口号张贴前39 157196文明口号张贴后29 167196总计68 324392请你判断在餐厅墙壁上张贴文明口号对减少餐椅损坏数可否有收效？解：依照题中的数据计算：2k＝392×39×167－157×29≈1.78.196×196×68×324因为，因此我们没有原由说：在餐厅墙壁上张贴文明口号对减少餐椅损坏数有收效，即收效不显然．11．打鼾不但影响别人休息，而且还可能与患某种疾病相关，在某一次检查中，其中每一晚都打鼾的254人中，患心脏病的有30人，未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中，患心脏病的有24人，未患心脏病的有1355人，利用图形判断打鼾与患心脏病相关吗？解：依照题目所给的数据获取以下2×2列联表：患心脏病未患心脏病总计每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379总计5415791633相应的等高条形图如图：图中两个深色的高分别表示每一晚都打鼾和不打鼾的人中患心脏病的频率，从图中能够看出，每一晚都打鼾样本中患心脏病的频率显然高于不打鼾样本中患心脏病的频率，因此可以认为打鼾与患心脏病相关系．12．(2020年课标全国卷)为检查某地区老年人可否需要志愿者供应帮助，用简单随机抽样方法从该地区检查了500位老年人，结果以下：性别男女可否需要志愿者需要4030不需要160270估计该地区老年人中，需要志愿者供应帮助的老年人的比率；可否有99%的掌握认为该地区的老年人可否需要志愿者供应帮助与性别相关？依照(2)的结论，可否提出更好的检查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者供应帮助的老年人的比率？说明原由．附：P(K2≥k)kK2＝n －bc2a＋badb＋d c＋d a＋c解：(1)检查的500位老年人中有70位需要志愿者供应帮助，因此在该地区老年人中，70需要帮助的老年人的比率的估计值为500＝14%.2500×40×270－30×160(2)K2的察看值k＝200×300×70×430，因为，因此有99%的掌握认为该地区的老年人可否需要志愿者供应帮助与性别相关．(3)依照(2)的结论可知，该地区的老年人可否需要志愿者供应帮助与性别相关，而且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比率有显然差异，因此在检查时，先确定该地区老年人中男女的比率，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．。

【优化方案】2020高中数学第1章122知能优化训练新人教B版选修1-1

1．(2020年高考辽宁卷) 已知命题p：? n∈N, 2n＞1000，则?p 为( )A．? n∈C．? n∈N, 2n≤1000nN, 2 ≤1000B． ?D． ?n∈N, 2n＞1000n答案： A2．命题“一次函数都是单一函数”的否认是()A．一次函数都不是单一函数B．非一次函数都不是单一函数C．有些一次函数是单一函数D．有些一次函数不是单一函数分析：选 D. 命题的否认只对结论进行否认，“都是”的否认是“不都是”，即“有些”．3．A? ( A∪B) 是 ________形式；该命题是________( 填“真”“假” ) 命题．答案：“?p”假4．写出以下命题的否认，并判断真假(1)全部的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解： (1) 存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)全部的实数的绝对值都不是正数；假命题．一、选择题1．假如命题“p∨q”与命题“?p”都是真命题，那么()A．命题p不必定是假命题B．命题q必定为真命题C．命题q不必定是真命题D．命题p与命题q的真假同样分析：选 B. “p∨q”为真，则p、q起码有一个为真．?p为真，则p为假，∴q是真命题．3 22．命题“对随意的x∈R， x － x ＋1≤0”的否认是()3 2B．存在x∈R，使得x－x＋1≤03 2C．存在x∈R，使得x－x＋ 1＞ 03 2D．对随意的x∈R， x －x ＋1＞0分析：选 C.全称命题的否认为存在性命题．3．若p、q是两个简单命题，且“p∨ q”的否认是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真分析：选 B. ∵“p∨q”的否认为真，则p∨ q 为假，即 p、q 均为假．应选 B.4．已知命题p：全部有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则以下命题为真命题的是 ( )A．(? ) ∨q B．∧qp pC．(? p) ∧(? q) D．(? p) ∨(? q)分析：选 D.p为真，q为假，所以?q为真， (? p)∨(? q)为真．5．以下命题的否认是假命题的是( )A．p：能被 3 整除的整数是奇数；?p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个极点共圆；?p：存在一个四边形的四个极点不共圆C．p：有些三角形为正三角形；?p：全部的三角形都不是正三角形D．p： ? x0∈R，x20＋ 2x0＋2≤0；?p：? x∈ R，都有x2＋ 2x＋2>0分析：选 C.p 为真命题，则? p 为假命题．6．给出两个命题：：函数 y ＝ x 2－－ 1 有两个不一样的零点；1x >1，那么在：若 <1，则pxqx以下四个命题中，真命题是()A ．(? p ) ∨ qB ． p ∧qC ．(? ) ∧(? q )D ．(? ) ∨(? )ppq分析：选 D. 关于 p ，函数对应的方程 x 2－ x － 1＝0 的鉴别式＝(－1) 2－4×( － 1) ＝ 5>0.可知函数有两个不一样的零点，故 p 为真．1 当 x <0 时，不等式 x <1 恒建立；当 x >0 时，不等式的解为 x >1.1 故不等式 x <1 的解为 x <0 或 x >1.故命题 q 为假命题．所以只有 (? ) ∨(? q ) 为真．应选 D.p二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否认： ________.分析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，所以否认是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、起码有一个”等，再否认结论．答案：有些函数没有奇偶性 8．命题“存在实数 x ， y ，使得 x ＋ y >1”，用符号表示为 ________ ；此命题的否认是 ________( 用符号表示 ) ，是 ________命题 ( 填“真”或“假” ) ．分析：原命题为真，所以它的否认为假．也能够用线性规划的知识判断．答案： ? x 0， y 0∈ R ， x 0＋ y 0>1 ? x ， y ∈R ， x ＋ y ≤1 假 9．命题“方程 x 2＝ 4 的解是 x ＝2 或 x ＝－ 2”的否认是 ____________________________ ．分析： x 2＝ 4 的解是 x ＝ 2 或 2三、解答题x ＝－ 2，则它的否认：解不是 2 也不是－ 2. 2 也不是－ 2.10．写出以下各命题的否认：(1) x ＝± 3；(2) 圆既是轴对称图形又是中心对称图形；(3) a ， b ， c 都相等．解： (1) x ≠3，且 x ≠－ 3；(2) 圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；(3) a ， b ， c 不都相等，即 a ≠ b 或 b ≠ c 或 c ≠ a ，即 a ， b ， c 中起码有两个不相等． 11．用“ ? ”“ ? ”写出以下命题的否认，并判断真假：(1) 二次函数的图象是抛物线；(2) 直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3) ? a ， b ∈R ，方程 ax ＋ b ＝ 0 恰有一解．解： (1)? p ：? x 0∈ { 二次函数 } ， x 0 的图象不是抛物线．假命题．(2)? p ：在直角坐标系中， ? x 0∈{ 直线 } ，x 0 不是一次函数的图象．真命题．0 0无解或起码有两解．真命题．(3)? p ： ? a，b ∈ R ，方程 a x ＋ b ＝ 012．设 p ：实数 x 知足 x 2 x 2－ x －6≤0，－4ax ＋ 3a 2＜ 0，此中 a ＞ 0，命题 q ：实数 x 知足2x ＋ 2x － 8＞ 0.若?p 则?q 建立，务实数a 的取值范围．22解：由 x － 4ax ＋ 3a ＜ 0 得 ( x － 3a )( x －a ) ＜ 0，又 a ＞ 0，所以 a ＜ x ＜3a ，x2 － x－6≤0，得 2＜≤3，由x2 x＋ 2x－ 8＞ 0若?p 则?q 建立，设 A＝{ x|? p}， B＝{ x|? q}，则 A? B，又 A＝{ x|? p}＝{ x| x≤a 或x≥3a}，B＝{ x|? q}＝{ x≤2或 x＞3}，则 0＜a≤2，且 3a＞ 3，所以实数a的取值范围是 { a|1 ＜a≤2} ．。

高中数学第1章1.2知能优化训练新人教B版选修1-2

高中数学第1章1.2知能优化训练新人教B 版选修1-21．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C.题图(1)中的数据y 随着x 的增大而减小，因此变量x 与变量y 负相关；题图(2)中的数据随着u 的增大，v 也增大，因此u 与v 正相关．2．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B ．r ∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越大，反之相关程度越小C ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对解析：选C.由r 的意义可知C 项正确．3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平Y (千元)统计调查，Y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．解析：将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x ≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.答案：83%4．若施化肥量x 与小麦产量Y 之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．解析：把x ＝50代入y ^＝250＋4x ，可求得y ^＝450 (kg)．答案：450 kg5求x 与y 解：x ＝18×36＝4.5，y ＝18×204＝25.5，∑i ＝18x 2i ＝204，∑i ＝18x i y i ＝1296，b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y －∑i ＝18x 2i －8x2＝1296－8×4.5×25.5204－8×4.52＝9.a ^＝y －b ^x ＝25.5－9×4.5＝－15，∴回归直线方程为y ^＝－15＋9x.一、选择题1．若回归直线方程中的回归系数b ＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定解析：选C.b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，r＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2·∑i ＝1ny i －y2，若b ＝0，则r ＝0.2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t .那么下列说法正确的是( )A ．直线l 1和l 2有交点(s ，t )B ．直线l 1和l 2相交，但是交点未必是点(s ，t )C ．直线l 1和l 2由于斜率相等，所以必定平行D ．直线l 1和l 2必定重合解析：选A.回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，而a ^＝y －b ^x ，所以a ^＝t －b ^s ，即t ＝b ^s ＋a ^.所以点(s ，t )在回归直线上．所以直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )．故选A.3．设两个变量x 和Y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，Y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵轴上的截距是a ，那么必有( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的符号相反D ．a 与r 的符号相反解析：选A.因为b ＞0时，两变量正相关，此时r ＞0；b ＜0时，两变量负相关，此时r ＜0.4．工人工资(元)以劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元D ．当月工资210元时，劳动生产率为2000元解析：选B.y ^＝50＋80x 是工人工资(y ^)与劳动生产率(x )的回归方程，所以y ^2－y ^1＝80(x 2－x 1)，当x 2－x 1＝1(千元)时，y ^2－y ^1＝80(元)．5．(2011根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B.∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42.又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．6．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释； ②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ； ③求线性回归方程； ④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x ，y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：选D.由回归分析知识可知D 正确．二、填空题7．回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，若b ^＝0.304，x ＝12，y ^＝46.363，则a ^的值为________．解析：a ^＝y ^－b ^x ＝46.363－0.304×12＝42.715. 答案：42.7158答案：y ^＝0.817x ＋9.59．(2011年高考广东卷)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.设回归直线方程y ^＝a ^＋b x ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ^＝y －b ^x ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：185 三、解答题10．一个工厂在某年里每月产品的总成本y (万元)与该月产量x (万件)之间有如下一(1)(2)求月总成本y 对月产量x 的回归直线方程．解：(1)散点图如图所示．(2)经计算可得x ＝18.512，y ＝34.1712＝2.8475，∑i ＝112x i y i ＝54.244，∑i ＝112x 2i ＝29.808，b ^＝∑i ＝112x i y i －12x －y －∑i ＝112x 2i －12x2＝54.244－12×18.512×2.847529.808－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫18.5122≈1.216，a ^＝y －b ^x ＝2.8475－1.216×18.512≈0.973.故所求的回归直线方程为y ^＝1.216x ＋0.973.11．为研究物体质量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对挂有不同质量的物体的6(1)(2)对x ，y 两个变量进行相关性检验； (3)求y 对x 的回归直线方程．解：(1)散点图如图所示．(2)经计算可得x ＝9，y ≈8.483，∑i ＝16x 2i ＝556，∑i ＝16y 2i ＝466.37，∑i ＝16x i y i ＝490.所以样本相关系数r ＝∑i ＝16x i y i －6x －y－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝16x 2i－6x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝16y 2i －6y 2≈0.9989.因为|r |＞r 0.05且与1非常接近，所以说明y 与x 之间具有很强的线性相关关系．(3)由(1)中散点图及(2)可知，b ^＝∑i ＝16x i y i －6x －y－∑i ＝16x 2i －6x2≈0.456，a ^＝y －b ^x ≈8.483－0.456×9＝4.379.所以y 与x 之间的回归直线方程为y ^＝4.379＋0.456x .12．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)对变量Y 与x 进行相关性检验；(2)如果Y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)x ＝12.5, y ＝8.25，∑i ＝14x i yi ＝438, 4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660, ∑i ＝14y 2i ＝291.所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2∑i ＝14y 2i －4y2＝438－412.5－－＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995. 查临界值表：4－2＝2的r 0.05＝0.950.因为r >r 0.05，所以Y 与x 有线性相关关系． (2)由(1)可知Y 与x 有线性相关关系，所以，b ^＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，a ^＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.所以Y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.7286x －0.8571.(3)要使y ^≤10，即0.7286x －0.8571≤10，所以x ≤14.9013.所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下．。

人教B版高中数学选修知能优化训练(1)(1)

高中数学第2章2.2.1知能优化训练新人教B 版选修1-21．直接证明中最基本的两种证明方法是( ) A ．类比法与归纳法 B ．综合法与分析法 C ．反证法和二分法 D ．换元法和配方法解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．2．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0解析：选C.∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2≥0，∴ab <0，即a 、b 异号，故选C.3．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，f (x )＝(x ＋1)2－1，则当x >1时，f (x )的解析式为__________．解析：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴有f (x )＝f (2－x )，当x >1时，有2－x <1，则f (2－x )＝[(2－x )＋1]2－1＝(3－x )2－1＝(x －3)2－1＝f (x )．答案：f (x )＝(x －3)2－14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________．解析：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，得sin α＋sin β＝－sin γ， cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.答案：－125．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立，只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立，即证18<20成立．即证18<20成立．由于18<20成立，因此3＋6<4＋ 5.一、选择题1．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>a ＋b 22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大，故选B.2．下面四个不等式：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)a (1－a )≤14；(3)b a ＋a b≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选C.a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋ab≥2不成立．3．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形解析：选D.∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：选C.对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．5．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析：选C.∵a x ＝b y＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1.故选C. 6.函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( ) A ．a >0，b >0，c >0 B ．a >0，b >0，c <0 C ．a <0，b <0，c >0 D ．a <0，b <0，c <0解析：选B.f (0)＝0⇒d ＝0，由f (1)＝0，f (－2)＝0得b ＝a ，c ＝－2a ， ∴f (x )＝ax 3＋ax 2－2ax .＝a (x 3＋x 2－2x )由x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，得a >0，b >0，c <0. 二、填空题7．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．解析：由f (x )＝xx ＋1知，x ≥0.①当x ＝0时，f (x )＝0；②当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x.∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”． ∴0＜1x ＋1x≤12. 即0＜f (x )≤12.故0≤f (x )≤12综上，f (x )max ＝12.答案：128．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．解析：f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)．故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且开口向下，画出图象，显然有f (4)>f (－1)>f (512)．答案：f (4)>f (－1)>f (512)9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝__________.解析：∵∠C ＝60°，∴a 2＋b 2＝c 2＋ab .∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c )(b ＋c )，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc b ＋c c ＋a ＝1. 答案：1三、解答题 10.如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .证明：∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴CF AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .11．已知a >b >0，求证a －b 28a <a ＋b2－ab <a －b28b.证明：要证原不等式成立，只需证a －b 28a <a －b 22<a －b 28b.由已知得a >b >0，即证a ＋b 24a <1<a ＋b 24b，也就是证a＋b2a<1<a＋b2b，即证a＋b<2a且2b<a＋b，即证b<a.因为a>b>0，所以b<a成立．故原不等式成立．12.如图所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA ＝MB.若M为定点，求证直线EF的斜率为定值．证明：设M(y20，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y20)．由⎩⎨⎧y－y0＝k x－y20y2＝x，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得y E＝1－ky0k，∴x E＝1－ky02k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝1＋ky02k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k1－ky02k2－1＋ky02k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。

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高中数学第1章1.1知能优化训练新人教B 版选修1-21．对于分类变量A 与B 的统计量χ2，下列说法正确的是( )A ．χ2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越小B ．χ2越大，说明“A 与B 无关”的程度越大C ．χ2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小D ．χ2接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小解析：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C 正确．2．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下： y 1 y 2 合计x 1 n 11 n 12 n 1＋x 2 n 21 n 22 n 2＋合计 n ＋1 n ＋2 n对于以下数据，对同一样本能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为( )A ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝6，n 22＝5B ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝8，n 22＝6C ．n 11＝8，n 12＝7，n 21＝5，n 22＝6D ．n 11＝7，n 12＝6，n 21＝5，n 22＝7解析：选B.对于同一样本，|n 11n 22－n 12n 21|越小，说明X 与Y 之间的关系越弱；|n 11n 22－n 12n 21|越大，说明X 与Y 之间的关系越强．3．事件A 、B 是相互独立的，下列四个式子： ①P (AB )＝P (A )P (B )；②P (A B )＝P (A )P (B )；③P (A B )＝P (A )P (B )；④P (A B )＝P (A )P (B )．其中正确的有________．解析：事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．答案：①②③④4．用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________，要求表中的四个数据均大于等于________．解析：在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5.在选取样本容量时一定要注意这一点．答案：2×2列联表 55．若两个分类变量X 和Y 的列联表为：y 1 y 2 合计x 1 5 15 20x 2 40 10 50合计 45 25 70求X 与Y 之间有关系的概率是多少？解：由表可知χ2＝70×5×10－40×15220×50×45×25≈18.8＞6.635.故有99%的把握认为X 与Y 有关．一、选择题1．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( )A ．A 与B 相互独立B ．P (AB )＝P (A )P (B )C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14 解析：选C.事件A 对事件B 发生的概率有影响，故不相互独立．2．经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.下列说法正确的是( )A ．当根据具体的数据算出的χ2＜3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关B ．当χ2＜6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．当χ2≥3.841时，认为事件A 与B 是无关的D ．当χ2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的解析：选D.由χ2值与临界值的大小关系来判断两个事件的关系．3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)解析：选B.设甲、乙解决这个问题分别为事件A 、B ，则P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )，即P 1(1－P 2)＋(1－P 1)P 2.4．下面是一个2×2y 1 y 2 合计 x 1a 21 73 x 22 25 27 合计b 46 100则表中a ，b 的值分别为A ．94,96B ．52,50C ．52,54D ．54,52解析：选C.∵a ＋21＝73，∴a ＝73－21＝52.又∵a ＋2＝b ，∴b ＝52＋2＝54.5 种子处理种子未处理合计得病 32 101 133不得病 61 213 274合计 93 314 407A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的解析：选B.χ2＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0.1641＜3.841，故种子是否经过处理与生病无关．6．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是n 11＝15，n 12＝21，n 21＋n 22＝40，若有99%的把握认为X 与Y 有关系，则n 21等于( )A ．5B ．7C ．9D ．10解析：选A.若有99%的把握认为X 与Y 有关系，则计算的卡方统计量χ2＞6.635，可以根据四个选项的值，分别计算出卡方统计量的值，再与6.635比较，当n 21＝5时，χ2的值大于6.635，故选A.二、填空题7．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：列出2×2列联表：发病不发病合计阳性家族史 16 93 109阴性家族史 17 240 257 合计 33 333 366所以随机变量χ2的值为：χ2＝366×16×240－17×932109×257×33×333≈6.067＞3.841. 所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．答案：95%8．(2011年青岛模拟)调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表喜欢文科喜欢理科合计男生 8 28 36女生 20 16 36合计 28 44 72估计中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)解析：χ2＝72×16×8－28×20236×36×44×28≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．答案：有9．如果元件A 、B 、C 正常工作的概率分别为P 1、P 2、P 3，则如图所示的线路，正常工作的概率为________．解析：A 、B 、C 至少有一个元件正常工作即可．答案：1－(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)三、解答题10．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率是多少？解：设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A 、B 、C ，则P (A )＝810，P (B )＝610，P (C )＝710，设三人各答题一次且只有一人及格为事件D ，则D 的情况为：A B C 、A B C 、AB C . 所以P (D )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝810(1－610)(1－710)＋(1－810)610(1－710)＋(1－810)·(1－610)710＝47250. 11．某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6.(1)求两次都遇到红灯的概率；(2)求至少遇到一次红灯的概率．解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，第二次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P 1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次红灯”的对立事件为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P 2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.12．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表和独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．解：(1)2×2 合格品数次品数合计甲在生产现场 982 8 990甲不在生产现场 493 17 510合计 1475 25 150011222112上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，由公式计算得到χ2的值为χ2＝1500×982×17－493×82990×510×1475×25≈13.097＞6.635，所以有99%的把握认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．。