中国数学奥林匹克(第二十三届全国中学生数学冬令营)

2008年中国数学奥林匹克

（第二十三届全国中学生数学冬令营）

第一天

哈尔滨 1月19日 上午8：00~12：30 每题21分

1．设锐角△ABC 的三边长互不相等，O 为其外心，点A`在线段AO 的延长线上，使得∠BA`A=∠CA`A ，过A`分别作A` A 1⊥AC ，A` A 2⊥AB ，垂足分别为A 1，A 2，作AH A ⊥BC ，垂足H A ，记△H A A 1A 2的外接圆半径为R A ，类似地可得R B ，R C ，求证：

R

R R R C B A 2111=++ 其中R 为△ABC 的外接圆半径。

2．给定整数3≥n ，证明X={1，2，3，……，n n -2}能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子集均不包含n 个元素,,,,21,21n n a a a a a a <<< 满足

1,,2,2

11-=+≤+-n k a a a k k k 3．给定正整数n ，及实数n n y y y x x x ≥≥≤≤≤2121,，满足

证明：对任意实数a ，有

这里[β]表示不超过实数β的最大整数。

2008年中国数学奥林匹克

（第二十三届全国中学生数学冬令营）

第二天

哈尔滨 1月20日 上午8：00~12：30 每题21分

4．设A 是正整数集的无限子集，1>n 是给定的整数，已知：对任意一个不整除n 的素数p ，集合A 中均有无穷多个元素不被P 整除

证明：对任意整数m>1,(m,n)=1，集合A 中均存在有限个互不相同的元素，其和S 满足S≡1（modm ）,且S≡0（modn ）

5.求具有如下性质的最小正整数n ，将正n 边形的每一个顶点任意染上红，黄，蓝三种颜色之一，那么这n 个顶点中一定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）。

6．试确定所有同时满足

)(mod 3),(mod 32222n n n n n n q p p q ++++≡≡

的三无数组（p,q,n ）,其中p,q 为奇素数，n 为大于1的整数。