二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x

①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

>=>-=+>-=∆>>00040,0212

1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<

c

x x ，则

③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x

即时应用：

(1)若一元二次方程

0)1(2)1(2

=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。

(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332

=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

二、一元二次方程的非零分布——k分布

设一元二次方程20(0)

ax bx c a

++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方

k1x2x k

根

的

分

布

①

12

x x k②

12

k x x③

12

x k x

图

象

充

要

条

件

2

b

k

a

f k

2

b

k

a

f k

f k

根

的

分

布

④

1122

k x x k⑤

11223

k x k x k⑥两根有且仅有一根在

12

,k k内

图

象

充

要

条

件

1

2

12

2

f k

f k

b

k k

a

1

2

3

()0

()0

()0

f k

f k

f k

12

f k f k

或

1

12

1

()0

22

f k

k k

b

k

a

或

2

12

2

()0

22

f k

k k b

k

a

k

k

k

2

k

1

k

2

k

1

k

3

k

2

k

1

k

即时应用：

(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.

(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.

二、典型例题

例1 若一元二次方程03)12(2

=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？

例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.

例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围

例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.

例5.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围

拓展提升：

已知集合}{

2(2)10A x x a x =+-+=，若{}0A x R x ⊆∈>，求a 的取值范围

一元二次方程根的分布巩固作业

1．对于二次函数x x y 822

+-=，下列结论正确的是（ ）

Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8-

2．二次函数12

--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）

A ．－2

B ．4

C ．3

10-

D ．2

3．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ）

A ．

3

4 B ．

4

3 C ．

9

8 D ．

8

9 4．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[－3，0]

B ．(]3,-∞-

C ．[)0,3-

D ．[－2，0]

5．设二次函数)1(,0)(,)(2

+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正、负不定，与m 有关 D ．正、负不定，与a 有关

6．已知0)53()2(,2

2

21=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两实数根，则2

22

1x x +的最大值为（ ）

A ．19

B ．18

C ．9

55

D ．不存在

7．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值

)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）

A ．f (－1)

B ．f (1)

C ．f (2)

D ．f (5)

8．一元二次方程0)2()1(2

2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是

9．函数1)(2

-+=ax ax x f ，若0)(

11．(1)方程2

240x

ax 的两根均大于1，求实数a 的范围．

(2)方程2

240x ax 的两根一者大于1，一者小于1求实数a 的范围．

(3)方程2

24

0x ax

的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a 的范围．

探究创新：

已知}{

2220A x x x p =++-=，且{}0A

x R x ∈>=∅，求p 的取值范围