m以内质数
素数公式
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
合数与质数
合数与质数郭占祥著其1,0是原始自然数基本符号；用无进位关系的“1111……1”表示数量。
消耗的数量用0圈上“○1111……1”，完全消耗的数量用0表示。
其2,3,4,5,6,7,8,9是11,111,1111,11111,111111,1111111,11111111,111111111的简约数字符号；按照十进制用n+1方法创造了无限自然数列1,2,3,…,n,n+1,…．在非1自然数中，其≥2个数相乘的积，或相同数相加的和简称合数，记作“C”。
合数以外的数称质数，记作“P”。
在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中，其1,…,n是(n+1)的小于数；是小于数1,…,n 相乘积的(n+1)是合数；不是小于数1,…,n相乘积的(n+1)是质数。
在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中，不大于P n的质数2,…,P n称有限质数；不是2,…,P n倍数的(n+1)是P n的第一后继质数“P n+1”。
在奇数列1,3,5,…,d,d+2,…中，不大于P d的奇质数3,…,P d称有限奇质数；不是3,…,P d倍数的(d+2)是P d的第一后继奇质数“P d+1”。
在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…的区间[P n+1，2P-1]里，不是有限质数2,…,P nn1+倍数的数都是P n的后继质数“P n+1,…,P n+s”。
在奇数列1,3,5,…,d,d+2,…的区间[P d+2，2P-2]里，不是有限奇质数3,…,P d倍数的奇数都是P d的后继奇质数1+d“P d+1,…,P d+s”。
有限质数2,…,P n的乘积，称有限质数公倍数，记作“m”；有限奇质数,3,…,P d 的乘积，称有限奇质数公倍数，记作“M”。
在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…的区间[2，m+1]里，不是有限质数2,…,P n倍数的数{N0|n01,…,n0z}有(2-1)…(P n-1)个,它们的质因数都是P n的后继质数“P n+1,…,P n+z”；在奇数列1,3,5,…,d,d+2,…的区间[3，2M+1]里，不是有限奇质数3,…,P d倍数的奇数{N1|n11,…,n1z}有(3-1)…(P d-1)个, 它们的质因数都是P d的后继奇质数“P d+1,…,P d+z”。
质数
• 例3、在乘积100×99×98×‥‥‥×3×2×1 中，末尾有多少个零？
• 分析：因10=2×5，所以某数的末尾有几个零， 就表示此数含有的质因数2和5至少有几个。
• 思考： • 1、在下面括号内填上15以内适当的质数 使算式成立，10=()+()=()×()=()-() 2、把质数填在括号内使算式成立，
（1）对于正整数a，若a无质因数2和5，a的末 尾是否有零？
（2）若a有质因数2或5，a的末尾是否有零？
（3）若a= 23 510 7 ，a的末尾有多少个零？
一般地可以得到什么结论？
分析：12 22 3, 13 13 15 3 5 25 52 20 22 5
第一次相乘后所得的两个数中含有质因数2，
由于1706末位数字为6,所以b,c应为两个奇质 数且一个末位为1,另一个末位为5,又末位为 5的质数只有5,所以令b=5,所以C=41
这个正整数为2×5×41=410
• 作业：
• 1、写出小于20的三个自然数，使它们最大公约数 是1，但两两不互质。
• 2、在一个两位质数之间添上6以后，所得的三位 数比原数大870，原数是多少？
• (3)当m末位数字为4时,即44,54,64,……,那么m=9+5k(k为大 于5的奇数),9,5k均为奇合数
• (4)当m末位数字为6时,即46,56,66,……,那么m=21+5k(k为 大于3的奇数),21,5k均为奇合数
• (5)当m末位数字为8时,即48,58,68,……,那么m=33+5k(k为 大于1的奇数),33,5k均为奇合数
小学奥数-质数与合数A基础版
质数与合数A知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑴ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲例题1 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山例题2 著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
质数
上面我们已经提及了几类猜想， 如梅森素数无限的猜想， 费马素数有限的猜想等等。以下列举其他一些重要猜想。 （1）黎曼猜想。 黎曼通过研究发现， 素数分布的绝大部分猜想都取决于黎曼zeta函数ζ（s）的零点位置。他猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上， 这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想， 是解析数论的重要课题。 （2）孪生素数猜想。 如果p和p+2都是素数， 那么就称他们为孪生素数。一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数？这一问题至今没有突破性进展。 （3）哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。 （b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。 问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已被证明。 真正困难的是第一部分。
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想
英文解释
筛法
孪生素数普遍公式
C语言打印100以内的质数
JAVA质数升成简介
入门
基本定理
基本特点
判断质数的技巧
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想英文解释筛法孪生素数普遍公式C语言打印100以内的质数JAVA质数升成展开 编辑本段简介
就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？ 质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。 有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部Байду номын сангаас是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！ 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。 还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 还有一种质数叫费马数。形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想。 如F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明) 后来欧拉算出F5=641*6700417. 目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数. 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
质数的一系列知识很全
最小的素数是2， 他也是唯一的偶素数。 最前面的素数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，...... 不是质数且大于1的正整数称为合数。 质数表上的质数请见素数表。 依据定义得公式： 设A=n2+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。故有： y=（b+nx)/(n-x) (x<N-1)无正整数，则A为素数。 因为x<N-1,而且N-X必为奇数，所以计算量比常规少很多。 100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）
编辑本段基本定理
算术基本定理： 任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≦p_2 ≦...≦p_s是素数。 这一表达式也称为n的标准分解式。 算术基本定理是初等数论中最基本的定理。由此定理， 我们可以重新定义两个整数的最大公因子和最小公倍数等等概念。 1不能称作素数，是因为要确保算术基本定理所要求的唯一性成立。这一解释可参看华罗庚《数论导引》
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质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。
1000” |168 |16.8% “10000” |1229 |12.29% “100000” |9592 |9.592% “1000000” |78498 |7.8498% “2000000” |148933 |7.44665% “10000000” |664579 |6.64579% “100000000” |5761455 |5.761455% “200000000” |11078937 |5.5394685% “300000000” |16252325 |5.41744167% “400000000” |21336336 |5.334084% “500000000” |26355877 |5.2711754% “600000000” |31324713 |5.2207855 % “700000000” |36252941 |5.17899157% “800000000” |41146189 |5.143273625% “900000000” |46009225 |5.1121361% “1000000000” |50847544 |5.0847544% 可以看出，越往后质数比例愈小，但总数却是增多， 可以看出素数的个数是无限的，这一结论已经被古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中用反证法证明。
质数单词表
质数单词表我们可以使用36进制将所有的单词转化为数字。
比如，(ADD)36 =(10x36^2+13x36+13)10 = (13,441)10。
而13441是一个质数，因此我们说ADD 是一个质数单词。
下面列出了几乎所有的质数单词。
AAAH AB ANDON ABDOMEN ABDUCTED ABE RRATION ABJURE D ABLE ST ABLUTION ABOLISH ABOMINATE D ABORT ABORTIONIST ABOUNDED ABRIDGED ABRUP T ABSORB ABSTENTION ABSTRACT ABUTTED ACCEP T ACCEPTE D ACCE SSED ACCIDENT ACCLIMATIZATION ACCOMMODATION ACCREDITED ACID ACORN ACOUSTICIAN ACT ACTED ACUTE ST AD ADAMANT ADD ADDUCTION ADJOINE D ADMIXED ADORN ADULTHOOD ADVOCATE D ADZ AERATED AFFORDED AFORESAID AFTERTHOUGHT AGNIZE D AGRONOMIST AHE AD AIRED AIRIE ST AIRMEN AKRON ALBEIT ALDE RMEN ALE VIN ALLAYE D ALLE GATION ALLE GE D ALLERTON ALSIP ALVIN AMAH AMAZE D AMENDED AMERINDIAN AMOEBOID AMP HIP LOID AN ANAP E ST ANE ROID ANGERED ANGOLAN ANIMATE D ANIMATION ANNISTON ANNUALIZE D ANODIZATION ANOINT ANTEED ANTICIP ATED ANTITOXIN ANTITRUST AORIST AP OGE AN APP ALLE D A PP OSED AQUEDUCT ARCH ARGUMENT ARIGHT AROUND ARRAIGN ARROWHE AD ARTICLE D ARYAN ASAPASS ASSIN ASSERT ASSERTED ASSE SSED ASSE V E RATED ASSN ASSUAGED ASSUMPTION ASTE ROID ASTOUND AT ATHIRST ATOP ATT ATTE NUATED ATTITUDINIZED ATTRACT ATTRIBUTION ATTRITED AUCTION AUDIENT AUDITED AUTOSUGGE STION AVANT AVIARIST AVIATION AVOCATION AVOIDED AVOUCH AVOWE D AWED AWKWARDBB BABOONISH BACKDrop BAD BADINAGE D BAGGIE ST BAH BAIT BALANCED BALLOONIST BAN BANED BANGLADE SH BANTERED BARB BARD BARE BACKED BAROGRAPH BARONE T BASALT BASE BOARD BASILICAN BASINED BASSOON BATH BATON BATTEMENT BATTEN BATTENED BE ACHHE AD BE A MIE STBE ATEN BE ATIFIED BECKON BECLOUDED BEETLED BEFUDDLEME NT BE GGARE D BEGOT BE GUILED BEHOLDEN BEHOOVED BE LAYE D BE LLIGERE NT BEMUSEMENT BEN BENE ATH BENNINGTONBEQUE ATHED BE RRIED BERWYN BE SEECHED BE TAKE N BETH BE TTERED BE WITCHMENT BIBBED BIDDEFORD BIFURCATED BIGHE ARTE D BIKE D BILKED BILLET BIP ARTITION BIPED BIRTH BISCUIT BISECTION BITCH BITTED BITTERE ST BIVOUACKE D BLAB BLACKBIRD BLADE D BLAH BLAIN BLIND BLINDED BLINDFOLDED BLITHE ST BLONDEST BLOODIED BLOODSHOT BLOODSTAIN BLOWOUT BLOWZIE ST BLUED BLUE FIE LD BLUEPRINT BOB BOLD BOND BONNET BOOBE D BOOED BOOKSHOP BOOST BOOT BOOZE D BORON BORROWED BORSCHT BOSOMED BOTCH BOUNDE D BOUT BOWE D BRAGGED BRAN BRASH BRASHE ST BRAWN BRE AKFAST BREED BRIDLED BRIGHT BROADCASTED BROOD BROODIE ST BROOKLYN BROTH BROWN BROWNED BUCKE T BUD BUDDHIST BUILDUP BUILT BULKHE AD BULLE TIN BULLHE AD BULLISH BULRUSH BUMP BUMPIE ST BUN BUNION BURBLED BURIE N BURP BURRED BURT BUSHE LED BUSIED BUSSED BUTTERFLIE DCCAB CABARE T CABIN CABINET CACHED CAE SARE AN CAJOLEMENT CAKE D CALME ST CALUMET CANAAN CANDID CANE D CANON CA P CA PPE D CARD CARET CARNATION CARP CARROLTON CARTLOAD CASEMENTED CATALOGED CATALOGUE D CATALYST CATCHWORD CATECHIST CATECHIZED CATENATION CELLIST CERE BRATION CHA INED CHAMP CHAMP AIGN CHAMPION CHANSON CHA P LE T CHATTE D CHAUFFE URED CHE A P CHE APENED CHE A PE ST CHE APIST CHECKED CHE VRON CHE WIE ST CHICKWEED CHIFFON CHILD CHILDBIRTH CHINTZ CHIRRUP CHISE LLE D CHLORINATION CHOP CHOPPIE ST CHORTLED CHRONOLOGIST CHUNKIE ST CHURCHMANSHIP CHURNED CIRCUITED CIT CLACKED CLAMPED CLAP CLE ARE D CLE AT CLENCH CLERGYMEN CLINCH CLINGIEST CLOSEMOUTHED CLOTHE SPIN CLOUDED CLUMPIEST CLUTCH CLUTCHED COAGULATED COALITION COARSEST COAXE D COB COBWEB COBWE BBE D COFFEEPOT COGNITION COIL-START COITION COLLATERALIZED COLLIMATED COMB COMMANDANT COMMENCED COMME NT COMMISSION COMMITTEEME N COMMUNION COMP ANION COMPENSATE D COMP LAISANT COMP LIME NTED COMP OSITION CONCERNMENT CONCERT CONCE SSION CONCOCTED CONCUSSION CONDEMNED CONDITIONED CONDUCT CONE D CONFECTION CONFIDANT CONFINED CONFLICTION CONFOUNDE D CONFUCIAN CONGE ALMENT CONGE ST CONGE STED CONGRATULATION CONGREGATED CONJOIN CONJURE D CONNED CONSECRATION CONSENT CONSOLIDATED CONSTITUTED CONSUMED CONTEMPLATED CONTE ST CONTE XT CONTINUATION CONTRIVED CONVOLVE D COOKOUT COON COOPERATE D COPENHAGE N COPILOT CORDON CORE LATED CORINTHIAN CORNISH CORP CORRE LATION COSMONAUT COSTUMED COUGH COULDN'T COUNCILMEN COUNTERFEITED COUNTE RMAND COVENANT COVERT COWBIRD COWMAN COZ CP CRAWFISH CREMATION CREPT CRIB CRIMPED CRITE RION CROTCH CROWD CRT CRUCIFIE D CRUD CRUMPET CRUSHED CT CULT CUMQUAT CUP CURATORSHIP CURBED CURED CUSHIONED CUT CUTEST CYAN CYST CZDD DAFFIEST DAMN DAMOCLE AN DAMPEN DAN DANDIFICATION DANDIFIED DANISH DANKE ST DARTED DARWINIST DAUB DAVIT DAWN DAZZLE D DB DE ADBE ST DE BAUCH DE BAUCHE D DECADENT DECAP OD DECEIVED DECOMPRE SSED DECOYED DE FERRED DEFIED DEFLATE D DEFLECT DE FORESTDE GENERATE D DEIST DE LTOID DEMANDED DEMOLISHE D DEMON DEMONSTRATION DENOMINATION DENT DENTED DE ODORANT DEP ARTMENT DEPEND DEPICT DEP OLARIZATION DEP ORTATION DERE LICT DERVISH DE SICCATED DE SOLATED DESP ONDE NT DE STINATION DETACHED DETE RMINANT DETE RRED DE TONATION DE VE ST DE V E STED DE VOTION DE VOURED DE VOUT DID DILAPIDATION DILATED DILATION DIMMEST DIMOUT DIMWIT DIN DINED DINT DIP LOMAT DIRTIE ST DISALLOWED DISASSOCIATION DISCIPLE SHIP DISCOMFORT DISENCHANT DISENTANGLEMENT DISFRANCHISED DISFRANCHISEME NT DISGUST DISHE ARTENMENT DISINTERE ST DISINTERME NT DISMOUNTED DISOBLIGED DISP ATCHED DISPUTATION DISRE SPECT DISSIP ATION DISTAIN DISTRAIN DISTRICTED DIVED DIVVIED DIXIE LAND DJ DOBERMAN DOCKETED DOCUMENTATION DODGED DOE SN'T DOGFISH DOGSLED DOLLIED DOLPHIN DOMINATION DON'T DOORSTEP DOTHAN DOUBTE D DOWDIE ST DOWNIE ST DOWNRIGHT DOWNWARD DOYEN DOZ DOZEN DRAB DRABBED DRAFT DRAFTSMAN DRAMATIST DRAT DRIE ST DRIFT DROWSED DRUID DRUNKARD DUB DUCAT DUCKE D DUET DUMONT DUMPED DURST DWARFED DWE LT DYED DYNAST DYSFUNCTION DZEE AGLE T E ARTH E ASE D E AST ECLAT E COLOGIST EDE N EERIEST EFFERENT EFFORT EFT EH EIGHTH EIGHTIE TH E JECTION E LAN E LE CTROP LATE D E LE VATION E LIZABETHAN E LOQUENT EMASCULATION EMBALMED EMBALMMENT EMBOLDENED EMBRACE MENT EMIGRANT EMIT EMITTE D EMP ATHIZED EMPTIE ST ENAME LED ENCODE D ENCORED E NCRYPT E NDICOTT ENERGIZE D ENFIE LD ENGE NDERED ENGROSSED ENHANCEMENT E NID ENLIVENME NT ENNOBLED E NROLMENT E NSCONCED E NSHRINED ENTOMB E NTRAP ENTRE AT E NTRENCHED ENWIND ENWRAPPED E ON EPITOMIZED ERSATZ E SCHE ATE SCROWED E ST E TCHE D E VACUANT E VALUATED E VANE SCENT E V E NT E VICT E VICTION E VOLUTIONE VOLVEME NT E XCLAIMED E XCLAMATION E XCUSED E XECRATED E XEMP LIFIE D EXEMP T E XHILARATE DE XHILARATION E XILED E XISTED E XIT E XITED E XPECTORATION EXPE NDED E XPIRED E XP LOIT E XP ORTE XPORTATION EXPRE SSION E XPURGATE D EXTERMINATION E XTINCTION E XTOLMENT E XTORTE XTROVERSION E XTRUSION E YE WASHFFABRICATED FACT FACTIONALIST FAD FAIR-TRADED FAIRYLAND FAITH FAKED FALSIFIED FASCINATED FASTED FASTEST FAUN FEINT FE LON FERGUSON FERMAT FERMENTED FE RRIED FERVID FETID FETISH FE Z FICKLEST FID FIERIE ST FILL-IN FILLIP FINNED FIORD FIRE BOAT FIRE FIGHT FIREPROOFED FIRMED FISTED FIT FIXED FLAB FLATBED FLATBOAT FLATTE D FLATTOP FLE SHED FLIED FLIP FLIPP ANT FLIT FLITTED FLOCCULENT FLOODLIGHT FLOWERPOT FLOYD FLUID FLUORIDATED FOCALIZATION FOLD FONDANT FOOD FOOTSTEP FORECAST FOREMEN FORE STED FORE WARN FORE WARNED FORFEITED FORMALIZATION FORMAT FORNICATION FORSOOTH FORTIETH FOURFOLD FOXED FRAGMENTED FRANKLIN FRAUGHT FRAYE D FRENCHMAN FRE ON FREQUENT FRE SH FRE SHE ST FRINGIE ST FRIZZIE ST FROGMAN FROGMEN FRONT FROTHIEST FROWNED FRUCTIFIED FT FUD FUE LLED FUN FUNDED FUNNE D FUNNE LLE D FUSSED FUSTIESTGGAB GADSDE N GALLIVANT GALLOP GALVANIZATION GAMIE ST GAMUT GANGED GANGLAND GAP GARAGE D GARISH GARMENT GARRET GASIFIED GASP GAUD GAUGE D GAUNTE ST GE LATIN GE LD GENT GEORGIAN GERALD GE RARD GERRYMANDERED GERUND GET GETUP GHE TTOIZED GHZ GIGGED GIGGLED GILBERT GIMP GIN GIRTH GLARE D GLE N GLOP GLUT GNAT GNAWN GNP GOAT GOB GOD GONAD GOODHE ARTED GORDON GOUT GP GRAD GRAINED GRANDILOQUENT GRANDSON GRAPHED GRAVE LED GRAVE N GRE AT GREEN GRID GRIDDED GRIND GRISTLIEST GROOVED GROSSE ST GROT GROTON GROUPED GROWNUP GRUDGED GUARANTEED GUARD GUARDSMEN GUDGE ON GUE ST GUIDED GUIDON GUMMIEST GUMPTION GUN GUNMAN GUNSMITH GUTTE DHH HACKLED HADN'T HAGGISH HAH HAIRED HALLOWEEN HALOED HAMMERHE AD HAMPERED HANDGUN HAND-ME-DOWN HANDOUT HANDWOV E N HANDYME N HARD HARDHE ADE D HARP SICHORD HART HARTFORD HARVE ST HASN'T HASTED HATBAND HAUNCH HAVE RFORD HAWAIIAN HAWKWEE D HAYW ARDHE ARKENE D HE ART HE ARTBURN HE ARTEN HE AVE NWARD HE BRON HE CATOMB HE'D HE DGED HEFTED HEIGHT HE LEN HE LLBROTH HE LLCAT HE LMETED HEMME D HEMOSTAT HENCE FORTH HERBERT HERD HEREIN HICCUP HIGH HIGHEST HIGHHANDED HIGH-PRE SSURED HIGHT HILLCRE ST HILLIE ST HIND HINDERED HINDSIGHT HINGED HINT HIT HOARSEN HOB HOCKSHOP HOED HOGSHE AD HOGWASH HOISTE D HOLDOUT HOLLAND HOLLOWED HOME BOUND HOMEGROW N HOMESTRETCH HOMIE STHONE YCOMBED HONIED HOOCH HOP HOPPED HORSED HORTICULTURIST HOTCHP OT HOTHE AD HOUNDED HOUSE BOAT HOUSE BROKEN HT HUDDLED HUFFED HUFFIEST HUGGED HULLED HUMANKIND HUMBLEST HUMPH HUNCHBACKED HUNT HURLED HURRAH HURT HUSH HUSTLED HUTCHINSON HYPED HYPERTROPHIED HYPNOTIST HZIIAMB IB ICE LAND ICONOCLAST ID IDIOT ILLUMINATE D ILLUSION IMITATED IMMOLATION IMMUREDIMP AIRME NT IMP ALED IMP ART IMPERSONATE D IMP LEMENT IMPORTANT IMPOTENT IMPRINT INACTIVATED INCRUST INCUBATION INDEMNIFIED INDIRECTION INDUCED INE DITED INEXISTENT INFANT INFLECT INFLE CTED INFRACT INFRACTION INGROWN INHERIT INHIBIT INKBLOT INKSTAND INMOST INN INNERVATED INPUTTED INSCRIBED INSECT INSIST INSTRUMENTALIST INSULTED INTERACT INTERBRED INTERCEP T INTE RCEPTED INTERCONNECTION INTE RDEPENDENT INTERE STED INTERFERON INTERLARDED INTERLOCUTION INTE RRUP T INTIMIDATED INVEIGH INVERSION INVIGORATED INVIGORATION INVOKED IRAN IRRELIGION IRRIGATED IRRITATION IRRUPTED IT IVANJJ JABBED JABOT JACKETED JANGLED JAUNDICED JAUNT JAUNTED JAVE LIN JAWE D JAZZ JE EP JE RKIN JILT JINN JOAN JOCUND JOHNSON JOLT JOSTLE D JOYPOP JUDGME NT JUICE D JUKE D JULIAN JUMP JUNCTION JUTKKAP H KAPUT KAT KEE LBOAT KEE LSON KEEN KENTWOOD KENYON KETCH KE YPUNCHED KIBBLED KILOBIT KIN KIND KINDLE D KINGBOLT KINGLET KINGPIN KINSHIP KIRKLA ND KIT KITED KLATCH KLUDGE D KNE LT KNISH KNOBBIEST KNOWN KNUCKLEHE ADED KOBOLD KOLITSCH KRUGERRAND KUMQUAT KURTLLAGOON LAID LAIN LAKED LAMBASTED LANDED LASED LASERJET LASHE D LATIN LAURE ATION LAYTON LE AFIE ST LE AFLET LE AP T LE AST LED LEE BOARD LEERED LEE WARD LEGALIZATION LE GGIEST LEGION LE GITIMIZED LEND-LE ASED LENGTHIE ST LENSED LE NTEN LE OTARD LEPRECHAUN LE SSEN LE ST LET LE V LE VERED LIAISON LIBBED LIBYAN LIE D LIEN LIFE-SIZED LIKE NED LILT LIMB LIMIT LIMPET LINDENWOLD LINE AMENT LINEMAN LINEN LINEUP LINNAE AN LIONIZED LIPPED LISP LIST LIT LIVID LOBATE D LOCATED LOGAN LOLLE D LOMBARD LONGED LONGWOOD LORDSHIP LOST LOT LOTION LOUD LOUSIE ST LUCKIE ST LUGLUGGED LUMBE RTON LURID LUST LYNNWOODMMAIDENHOOD MAIMED MAJORED MALLARD MANDATED MANIFE ST MANSION MARKED MARKE T MARMOSET MARRIED MARSH MARSHIE ST MASHED MAT MATURATION MAUDLIN MAXIMALIST MAYWOOD MAZE D MAZIE ST ME ADOWSWEET ME LIORATED ME LTED MENTION MERCHANTMAN MERCURATED MERGED ME SHE D MESMERIST ME SSIAH ME SSIE ST ME TED MICHIGAN MICROFILMED MID MIDMOST MIGHT MIGRATION MILBURN MILEP OST MILKMAID MILKMAN MILQUE TOAST MILTON MISANTHROPIST MISCE GENATION MISCONDUCT MISCONSTRUE D MISCRE ANT MISDIRECT MISFILED MISGUIDE D MISQUOTED MISTRUST MISTYPED MISUSED MOAN MOB MOD MODE LED MOIST MOISTE N MOLDED MON MONETIZED MONGOLIAN MONIST MONITION MONITORED MONKE YED MONOVALE NT MOOED MOON MOONLIGHT MOONLIGHTED MOP MORTON MOTH MOTTLED MOUNT MOUSIE ST MOUTHED MOUTHWASH MOWN MPH MT MULCT MULISH MULLION MULTIMILLION MULTIP LICAND MULTIPRONGED MUNCH MURED MUSHED MUSHIE ST MUSTE RED MUTANT MYCOLOGIST MYE LIN MYOSINNN NAT NATION NAUGHTIE ST NE AP NE AP OLITAN NEED NEGLIGENT NE ST NET NEUROLOGIST NIB NIGGARD NIGH NIGHTSHIRT NIMCOMPOOP NOBBIEST NOBBLED NOBE LWOMAN NOBLE WOMAN NONACID NONACQUISITION NONCITIZE N NONCONSIDERATION NONDESCRIPT NONFAT NONMEMBERSHIP NONRESISTANT NONSLIP NORMALIZATION NORMAN NOSH NOURISH NOV NOVEMDECILLION NTH NUDIST NUN NURTURED NVOOARED OBEISANT OBFUSCATED OBJECT OBSCURANTIST OBSOLE SCENT OBSTETRICIAN OBTRUSION OCCULT OCCULTATION OCHERED OCTANT OCTET OCTODECILLIONTH OD ODIN OFFERED OFFHAND OFFPRINT OH OILBIRD OLD OLDE ST OLDISH OME LET OMIT ON ONRUSH ONSET ONSLAUGHT OPENED OPPRE SSE D OP TION OP ULENT orBITED orCHESTRATE D or CHID orDAINED orDERE D or E GON orLAND OTHE RWORLD OUCH OUST OUT OUTCROP OUTFITTED OUTLAST OUTLASTED OUTPUT OUTSHOUT OUTSIT OUTSMARTED OUTSPEND OVEN OVERCONFIDENT OVERDRIVEN OVERINDULGED OV E RMATCHED OVE RRAN OVERSKIRT OVERSOFT OV E RTRUMP OXE N OXYHEMOGLOBINPP ACED P ACKE D P AGED P AGINATED P AIN P AINED P AIRED P ALE ONTOLOGIST P ALLED P ALMIST P ALTRIE ST P AMPHLET P AN P ANNED P ARATROOP P ARCELLE D P ARCHMENT P ARKLAND P ARRED P ARRIED P ARROT P ARROTED P ARTED P AST P ASTE LIST P AT P ATCH P ATIENT P ATRON P ATRONIZED P AWTUCKET P AYE DP AYLOAD PE ALE D PE A NUT PE AT PE BBLED PECTIN PECULATION PEDANT PEDE STALLED PEDIATRIST PEE LED PEEN PEERED PEE V E D PE LLET PE LLETE D PELT PELTED PENDED PENETRATION PE OP LED PEPPERED PERAMBULATION PERFORMED PE RILED PEROXIDED PERSIST PERSON PERSUASION PERVERT PET PETULANT PHONE D PHONETICIAN PHYSIOGNOMIST PIGGED PIN PINED PINFISH PINIONED PINKE ST PINNACLED PINNED PINP OINTED PIP PISTOLLED PITCHOUT PITH P LAID P LAIT P LANCHETP LANET P LANTAIN P LANTATION P LASTID P LATTED P LAYFIE LD P LAYP EN P LOD P LUMB P LURALIZED P LUSH P OET P OINTE D POLAND POLAROID POLLINATION P OLYGAMIST POMADE D POMP P OMP ON P OMPTONP OOCH POP P ORIFERAN P ORTENT P OSED POSIT POSTP AID P OSTULATION POTION POTTSTOWNP OULTICED P OWE RED PREDICAMENT PRE DICATION PRE DISPOSED PRE DOMINATED PREE XISTPREE XISTENT PREFE CT PRE FERRED P REFIGURED P REHE AT PRE SERVED PRE TTIE ST PRE VAILE DPRE VARICATION PRE VIE WED PRIED PRIMETE ST PRIMMED PROCTOLOGIST PROCURED PROD PROHIBIT PROMOTION P RONOUN PROSED P ROSPECT PROSTRATED PROTON PROTRACT P ROVOKED PROWLED PT PUBE SCENT PULLED PULLMAN PULP PULVERIZED PUMP KIN PUN PUNISH PUNNED PURDAH PURIST PUTOUT PUTT P YTHONQQED QUIE SCENT QUIET QUIE TEST QUINTUP LED QUIP QUOIN QUOITRRABBET RACIST RADICALIZE D RADIOCARBON RADIOLOGIST RADON RAFT RAGGED RAGOUT RA ID RAIN RAINSP OUT RAMBLED RAMJE T RAMMED RANKE D RAPPED RAT RATION RATLIN RATTRAP RAUNCHIE ST RAVE LMENT RAVISH RE ACT RE ADIE D RE ADOPT RE ADORN RE APPE ARED RE ARMED RE ARRANGEMENT RE ATTACH RE ATTEMPT RE BIND RE BOUNDED RE BUILD REBUTTED RECALCITRANT RECALCULATION RECALLE D RECLAIMED RECOIN RECOLORED RECONFIRMATION RECONSIDERATION RECOUNTED RECRUDE SCE NT RE D REDD REDEMANDED REDE SCEND REDIRE CTION RE DOUBLE D REDSKIN REED REEDIE ST REE KED REENACT RE FITTED REFLOURISH RE FORMED RE FRACTION REFRA IN REFROZENRE FURNISH REFUSED REFUTATION RE GENERATED REGIME NT RE GIMENTATION REGRANT RE GRE TTED REHE ATED REIMP LANTED REIN REInsertED REINSTALLED REINVITED RE LA P SE D RE LICT RE LIGHTRE LOCATION RE LUCTATE D REMANDED RENT REP REP AINTE D REP AIRMAN REP ASSED REP LANTATION REP LENISH REPOLISH REPORT REP ROACH REPROBATION REPUBLISH REPUTATION REPUTED RERUN RE SECTED RE SH RESINATED RESONANT RE SORTED RE SOWE D RE SPECT RESPECTED RE SPIRE DRE START RESTAURANT RE STRICTION RE SURGENT RETAIN RETCH RETE ST RETOOLED RE TRACEDRE TRIE VED RE TURNE D REUNIFICATION RE V RE VALUATION RE VAMPE D RE VE LED RE VERT RE VIVEDRE VOLT RHEUMATOID RHOMB RHYME D RICHLAND RICHMOND RIDERSHIP RIDGEFIE LD RIND RIVED RIVEN RIVE TED ROD ROILED ROILIEST RON RONALD ROOKED ROOSTED ROOTED ROUGH ROUGHENROUNDE ST ROUNDLET ROUTED ROVE D ROWE LLE D RUB RUBICUND RUDIMENT RUDOLPH RUFFED RUGGED RUNAROUND RUNDOWN RUNT RUSHIE ST RUSSET RUTH RUTHANN RUTTEDSSACRE D SADDEN SAFE GUARD SAGGED SAILED SALAD SALE SWOMAN SALT SAMOAN SAN SANDBLAST SANDE D SANDWORT SAPPIE ST SASH SAT SAUNTERE D SAWFISH SAXHORN SB SCABBED SCAFFOLD SCALLION SCALP SCAN SCARFPIN SCATTERED SCHMALTZ SCHMALTZIE ST SCHOOLE D SCOOP SCOOTED SCORECARD SCOT SCOTSMAN SCRAGGIEST SCRAMME D SCRAPED SCREECHIE ST SCREED SCRUBBED SCRUNCH SCULLED SCULPTE D SCULPTURED SCUMBLED SCUMMED SCUTCH SD SE ABIRD SE ALSKIN SECTARIAN SEDATE D SEE DED SENSATIONALIST SE NTIENT SEQUE NCED SERIALIST SE RIALIZED SERVICED SE SAMOID SET SE VENTY-SIXTH SEXAGENARIAN SE XTANT SE XTILLION SEXTUP LED SHAH SHAN SHA PEUP SHARED SHEEN SHE LVED SHIP SHIRTWAIST S HOD SHOED SHOPPED SHOREDSHORE FRONT SHORTEN SHORTHAND SHOTTEN SHOVE LLED SHOWN SHRE WD SHRIVE LLED SHUDDERED SHUNNED SHUNT SHUT SIB SIDEBOARD SIDEMAN SIDE SPIN SIE GED SIE V E D SIGNALMAN SIGNETSIGNPOST SILKEN SILKIE ST SILUROID SILVERSMITH SINE WED SIPPED SIRRAH S IZZLE D SKEIN SKID SKILLET SKIN SKINTIGHT SKULKED SKYLIGHT SLAGGED SLANDERED SLAVISH SLED SLE DDED SLEE KEN SLENDE REST SLIP KNOT SLIPPED SLITHERED SLOPPIEST SLOT SLOVEN SLUBBED SLUGGED SLUICE D SLUMPED SLURP SMART SME ARED SMIDGEN SMILED SMIRCH SMITH SMOKED SMUT SNAP SNATHSNE AKED SNIGGERED SNITCH SNOUT SNUB SOAPED SOA PIE ST SOARE D SOBERED SOBERIZE D SOCIALIZE D SOFT SOLARIZATION SOLATION SOLD SOLEMN SOLEMNIZE D SONANT SONNE TIZED SORPTION SORT SOT SOWN SP ACEBAND SP ACKLED SP ARKIE ST SP ARTAN SP AT SPE ARMAN SPECIATE D SPECTATED SPE LTZ SPE ND SPHEROID SPIKE LET SPILT SPLINTERE D SPOKED SP OOLE D SPOONED SPORRAN SP OT SP OUSED SPRE AD SPRINGIE ST SPURT SQUALID SQUAT SQUE ALED SQUEEGEEDSQUE LCH SQUIB SQUIBBED SQUIFFED SQUIRISH SQUIRRE LED STABBE D STALINIST STALLED STALLION STALWART STAMPED STANCHION STANDARD STANDPOINT STA P HYLINID STE ADFAST STE ADIE ST STEPCHILDRE N STERILANT STERN STICKMAN STICKUP STIMULATED STIRRED STOCKIST STODGIE ST STOLEN STOMATILOGIST STONE WALLED STOUTE NED STOUTE ST STP STRAGGLIEST STRAIT STRANGE ST STRA PPED STRAWBOARD STRE AMWOOD STREET STRE WN STRIDENT STRIKE BOUND STRINGBOARD STRIPT STROLLE D STRONGMAN STROWN STUDENTSHIP STUFFIE ST STULTIFICATION STUMPIE ST STY E D SUB SUBEDIT SUBINFEUDATE D SUBJACENT SUBLATION SUBRE GION SUBSCRIBE D SUBSTANDARD SUBTENANT SUBTITLE D SUCKED SUDSIEST SUET SUFFRAGIST SUGARED SULFONATED SULFURETED SUMMARIZED SUMMED SUNDERED SUNKE N SUNLAMP SUPERADDITION SUPERCONDUCT SUPERINTEND SUPERMARKE T SUPERVENTION SUPINATION SUPPOSED SUPPRE SSED SUPPURATION SURROUNDED SUSPECT SUSPECTED SWAB SWAGMAN SWAIN SWAMP SWAN SWANNED SWASHBUCKLED SWATH SWAYE D SWEETE ST SWERVED SWIRLE D SWITCH SWOT SYMBOLED SYNCH SYNCOP ATED SYNODTT TABBED TABLE SP OON TACH TAD TAGSTART TAINT TAJ TALKATHON TALLISH TAMP TAMPION TAN TANKE D TANTALIZATION TANZANIAN TARBUSH TARGETED TARN TARP AULIN TARTLET TAUNTE D TAUTENED TAVE RN TAXE D TAXICAB TAXIDERMIST TE ARDrop TECHED TE CHNICALIZATION TEENIE STTE GUME NT TE LEGRAP H TE LE OSTE AN TE LE TYPED TENANT TENET TENSION TENTED TEPID TERREP LEIN TE RRORIZE D TE SSERACT TEUTON TH THE GN THE ORIST THEURGIST THE Y'D THIE VED THIEVISH THIN THINCLAD THIRDHAND THISTLEDOWN THOUGHT THOUSAND THRE ADIE ST THRIVEN THRUMMED THYROCALCITONIN THYROID TICKETED TICKLED TIDBIT TIFFED TIGE RISH TILT TILTH TIMBERED TIMEOUT TIMIDE ST TINCT TINGE D TINIE ST TINKLE D TIT TOAD TOADIE D TOASTIE ST TOBOGGANIST T OD TODDLE D TOEHOLD TOFT TOLERANT TOLERATE D TOMCOD TONED TONSURED TOOTHBRUSH TOPNOTCH TORRENT TORRID TOTALITARIAN TOTIPOTENT TOURE D TOWBOAT TOWHE ADED TOWN TOWNSWOMAN TOXICANT TOYON TRACTION TRADE SMAN TRAINBAND TRAIP SED TRA MME LED TRANSECT TRANSFIXION TRANSHIP TRANSPORT TRANSP OSED TRAUMATIZED TRAVAILE D TRE NCHANT TRESP ASSED TRICKISH TRICORNE RED TRIDENT TRIFLURALIN TRIGGERMAN TRIGLYPH TRIJET TRILLED TRIP LICATEDTRIP LICATION TRISTE ARIN TRIVET TROLLE Y E D TROLLOP TROOP TROOPED TROUBLED TRUCKLED TRUCKMAN TRUDGED TRUEST TRUMPE T TRUST TUBIFICID TUCKERED TUCKE T TUFT TUGBOAT TURBINATED TURBORAMJE T TURD TURNED TURNOUT TURRET TURRETED TUSCAN TUSSAH TUTTWE NTY-FIRST TWIGGE D TWILLED TWIN TWIXT TY PE SET TYROCIDIN TYROTHRICINUUCB UGLIFICATION UMBILICATION UMLAUT UMPTEEN UN UNABBRE VIATED UNABSORBED UNACCOMMODATE D UNACCOMP LISHED UNACCUSTOMED UNAMAZE D UNAMBIVALE NT UNAMP LIFIED UNANE LED UNANIMATED UNAPPRECIATION UNASSUAGED UNATTE STED UNAVOWE D UNAWE D UNBAKED UNBARBE D UNBE KNOWNST UNBE LT UNBIGOTED UNBLOWN UNBLUNTED UNBOLT UNBURNISHED UNBURNT UNCAGED UNCILIATED UNCOFFINED UNCOMP LETED UNCONCERN UNCOUP LED UNCRE ASED UNCRITICIZE D UNCROSSE D UNCROWDED UNCURDLED UNDE AD UNDEEDED UNDEFACE D UNDEFENDE D UNDE LIVERED UNDERACT UNDERBRED UNDERFED UNDERVALUED UNDERWEIGHT UNDIAGNOSED UNDIGESTED UNDIGNIFIED UNDILATED UNDISTRACTED UNDIV E RSIFIED UNDOCKED UNDOCUMENTED UNDULATE D UNE NGAGED UNENTANGLED UNENVIED UNE SCORTE D UNE XAGGERATED UNEXPIRED UNFANNED UNFATHE RED UNFEDERATED UNFETTERED UNFLAWED UNFLE XED UNFRIEND UNFROZEN UNFUSED UNGIRD UNGIRT UNGLAMORIZE D UNGLAZED UNGRASPED UNHANGED UNHARMED UNHE ARD UNHIRED UNHUNTED UNIMAGINED UNIMFLE CTED UNIMP LEMENTED UNIMPROVED UNINTERESTED UNION UNIONIZED UNIONTOWN UNISON UNITIZATION UNIV UNJADED UNJOINT UNJUST UNLADED UNLE VIE D UNLICKED UNLINED UNLIST UNLIT UNLOAD UNLOOSENED UNMAN UNMARRE D UNME NTIONEDUNMONE Y E D UNMOVED UNNOTED UNOBLITERATED UNP ADDED UNP ARALYZE D UNP ARDONEDUNP ARTED UNP ARTITIONED UNPERVERTE D UNP LASTE RED UNP RACTICED UNPRE SSED UNPRINCIP LED UNPROSTITUTED UNPURGED UNQUE STIONED UNRATE D UNRECLAIMED UNREDEEMED UNREE L ED UNREE V E D UNRESE RV E D UNRE V E ALED UNRIVALE D UNROASTED UNSCATHED UNSE TTLEMENTUNSHE LLED UNSNAP UNSOPHISTICATED UNSP LIT UNSPOKEN UNSTAINE D UNSTUDIED UNSWEPT UNTAMED UNTAPPED UNTHATCHED UNTORN UNTRE AD UNUSED UNUTTE RED UNWE ARIE D UNWEDDED UNWISH UNWOVEN UNWROUGHT UPPED UP SHIFT UP SHOT URINATION UROCHORD UROP OD USURPED UT UTAH UTMOST UTOPIANVV VACUOLATE D VACUUME D VALANCED VALUATE D VAN VAP ID VAP ORIZATION VAP ORIZE D VASOTOCIN VAULT VAULTED VAW ARD VD VE HEMENT V E LD VENDITION V E NERATION VENTED VERSIFICATION VERT VE SICATION VE STIBULED VET VE TERINARIAN VE XILLOLOGIST VICED VIDICON VILLAIN VINE GARISHVINE LAND VIP V ISAED VISED VISION VISITANT VITIATED VIVANT VIVE RRID VIVID VOLANT VOMITED VOTED WWAFTED WAILED WAIN WAISTCOATED WALKOUT WAMBLED WANGLED WANT WANTON WARED WA RIE ST WARRANT WASH WASHBOARD WASHWOMAN WATCHBAND WATCHED WATERIE ST WATE RWORN WEEN WE LKIN WE LT WE N WEND WE SLE YAN WESTERN WE STFIE LD WE STPORT WETLAND WHALED WHATWHE ATE N WHE LP WHINED WHIP WHIRRED WHIST WHITEHE AD WHITE THROAT WHOLE SALED WIDE ST WIDTH WIEFE RICH WIENE RWURST WIFEHOOD WIGE ON WIGGED WILDWOOD WINCH WIND WINDBURNED WINDSCREEN WINE SHOP WIREMAN WITCH WITHOUT WITTIE ST WOAD WOLCOTT WOMAN WOMB WON WONDERME NT WONT WOODENHE AD WOODLOT WOOLSHED WORKME N WORKUP WORRYWART WORSEN WORSTED WORTHINGTON WOULDN'T WOULDST WRESTED WRE TCH WRIT WT WYLIE COAT WYNDXXENOLITH XYLOGRAPHYYACKED YAMEN YAP YARDMAN YARN YD YE ASTIE ST YE LLE D YIDDISH YIE LDED YOGHURT YOU'D ZZE N ZENITH ZEST ZONATED ZOOP LANKTON参见：/notes/words.html。
素数判断条件
素数判断条件素数是指除了1和它本身之外没有其他因数的自然数。
判断一个数是否为素数有许多方法和定理，本文将介绍一些常见的素数判断条件。
一、试除法试除法是最常见也是最简单的一种判断素数的方法。
其基本思想是，对于一个待判断的数n，如果存在一个比1大且小于n的整数m，使得n能够整除m，则n不是素数，否则n是素数。
这种方法的时间复杂度较高，为O(n)。
二、质数判定定理质数判定定理是一种更高效的素数判断方法。
其中较简单的定理是：如果一个数n大于1且小于等于平方根n的整数都不能整除n，则n是素数。
这是因为如果存在一个比平方根n大的整数m，使得n 能够整除m，那么必定存在一个比平方根n小的整数k，使得n能够整除k。
因此，只需要判断2到平方根n之间的整数是否能够整除n即可。
这种方法的时间复杂度为O(√n)。
三、费马素性测试费马素性测试是一种基于费马小定理的素数判断方法。
费马小定理是指：对于任意素数p和整数a，如果a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
也就是说，如果一个数n不满足a^(n-1) ≡ 1(mod n)的条件，则n不是素数。
这种方法的时间复杂度较低，但存在一定的误判概率。
四、米勒-拉宾素性测试米勒-拉宾素性测试是一种更加精确的素数判断方法。
它基于米勒-拉宾定理，该定理表明：如果一个数n是素数，则对于任意正整数a，都有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
相比于费马素性测试，米勒-拉宾素性测试的误判概率更低。
这种方法的时间复杂度为O(klogn)，其中k为测试的次数。
素数判断条件有试除法、质数判定定理、费马素性测试和米勒-拉宾素性测试等多种方法。
每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，可以根据需要选择适合的方法进行素数判断。
对于小范围的数，试除法和质数判定定理是比较常用的方法；对于大范围的数，费马素性测试和米勒-拉宾素性测试则更加高效和精确。
素数的研究在数论中有着重要的地位，其应用广泛。
一个自然数有多少小于它的数与它互质
一个自然数有多少小于它的数与它互质河北省平乡县大刘庄小学李明亮一个自然数有多少个比它小的数与它互质呢？Ⅰ.自然数M是质数如果自然数M是质数，则比它小的所有自然数都与M互质，即小于M、且与M互质的自然数有M－1个。
例1.小于3、且与3互质的数有2个；小于11、且与11互质的数有10个。
Ⅱ.自然数M分解质因数的结果是M=a m（a是质数，m是自然数）如果自然数M分解质因数的结果是M=a m（a是质数，m是自然数），则在1～M范围内，与M有1以外的公因数的自然数有a m÷a=a m－1个。
与M互质的自然数有a m－a m－1=a m－1(a－1)个。
即当自然数M分解质因数的结果是M=a m时，小于M、且与M互质的自然数a m－1(a －1)个。
例2.27=33，64=26，在1～27范围内，与27互质的数有33－1×（3－1）=18（个）；在1～64范围内，与64互质的数有26－1×（2－1）=32（个）。
Ⅲ.自然数M分解质因数的结果是M=a1m1a2m2（a1、a2均为质数，且a1≠a；m1、m2均为自然数）例3.在小于72的自然数中，与72互质的数有多少个？解：72=23×3272÷2=36（个）72÷3=24（个）72÷（2×3）=12（个）在1～72的范围内，2的倍数有36个，3的倍数有24个，2和3的公倍数有12个；与72互质的数的个数应该是72减去2的倍数的个数，减去3的倍数的个数，再加上2和3 的公倍数个数，即72－36－24+2=24（个）。
自然数M分解质因数的结果是M=a1m1a2m2（a1、a2均为质数，且a1≠a；m1、m2均为自然数）时，a1m1a2m2÷a1=a1m1－1a2m2a1m1a2m2÷a2=a1m1a2m2－1a1m1a2m2÷（a1a2）=a1m1－1a2m2－1所以，在1～M范围内，a1的倍数、a2的倍数、a1和a2的公倍数分别有a1m1－1a2m2个、a1m1a2m2－1个、a1m1－1a2m2－1个；与M互质的数有a1m1a2m2－a1m1－1a2m2－a1m1a2m2－1＋a1m1－1a2m2－1=a1m1－1a2m2－1（a1a2－a2－a1＋1）=a 1m1－1a 2m2－1[a 2（a 1－1）－（a 1－1）]=a 1m1－1a 2m2－1（a 1－1）（a 2－1） 即，在1～M 范围内，与M =a 1m1a 2m2互质的数有a 1m1－1a 2m2－1（a 1－1）（a 2－1）个。
初中数学重点梳理：质数、合数
质数、合数知识定位质数、合数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答质数、合数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，质数、合数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关质数、合数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的质数、合数问题。
知识梳理1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
5、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和86、两数互质的特殊情况（1）1和任何自然数互质；（2）相邻两个自然数互质；（3）两个质数一定互质；（4）2和所有奇数互质；（5）质数与比它小的合数互质。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
质数和算术基本定理
学院学术论文题目:质数和算术基本定理学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：【摘要】质数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。
除1外任何正整数不是质数即是合数。
判断一个已知的正整数是否是质数可用判别定理去实现。
判别定理又是证明素数无穷的关键。
1既不是质数也不是和数。
1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。
算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，既任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分法是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其他问题的理论保障。
【关键词】质数；算术基本定理；费马数；一质数的定义：指在一个大于1的整数中，如果它的正因数只有1及它本身，就叫作质数（或素数）；否则就叫作合数。
依据定义得公式：设A=2n+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。
故有：y=（b+nx)/(n-x) (x<n-1)无正整数，则A为素数。
因为x<n-1,而且n-x必为奇数，所以计算量比常规少很多。
100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, 61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）二定理的应用:1. 素数的个数无限多（不存在最大的素数）证法一：（一）学过初中的同学都知道n!与n!+1互质。
故n!与1、2、3、…..n-1、n互质那么n!+1有2种可能（1）n!+1为素数。
(2)n!+1为合数（1）设a=n!+1为素数集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x∈N}内至少有b+个素数（2）设a=n!+1为合数则在集合B\A中至少有2个元素可以被a整除易证：c=min{x|x∈B\A 且a/x=h h∈N}为素数。
同（1）设集合A内有b个素数。
则集合B 内至少有b+1个素数综合（1）、（2）可得：设集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x ∈N}内至少有b+个素数。
质数那些事（含答案）
质数那些事（含答案）专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1??单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数． 3．若质数p |ab ，则必有p |a 或p |b ．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N= 1212k a a ak P P P ，其中12k P P P <<<，i P 为质数，i a 为非负数(i =1，2，3，…，k )．正整数N 的正约数的个数为(1＋1a )(1＋1a )...(1＋1a )，所有正约数的和为(1＋1P ＋ (11)P )(1＋2P ＋…＋22a P )…(1＋k P ＋…＋k ak P )．例题与求解【例1】已知三个质数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＋abc =99，那么a b b c c a -+-+-的值等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ，b ，c 的值．【例2】若p为质数，3p＋5仍为质数，则5p＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112x y p+=，求x＋y的值．解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x tp=．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A 级1．若a ，b ，c ，d 为整数，()()2222a bcd ++=1997，则2222a b c d +++=________．2．在1，2，3，…，n 这个n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q －m )＋(p －k )=__________．3．设a ，b 为自然数，满足1176a =3b ，则a 的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p 是质数，并且6p ＋3也是质数，则11p －48的值为____________．(北京市竞赛试题)5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A ．4B ．8C ．12D ．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( ) A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p<q．求p．< p="">9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题) 10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm规格的地砖，恰用n块，若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，y)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________．2．已知p ，q 均为质数，并且存在两个正整数m ，n ，使得p =m ＋n ，q =m ×n ，则p qnmp q m n ++的值为__________．3．自然数a ，b ，c ，d ，e 都大于1，其乘积abcde =2 000，则其和a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若a ，b 均为质数，且满足11a ＋b =2 089，则49b －a =_________． A ．0B ．2 007C ．2 008D ．2 010(“五羊杯”竞赛试题)6．设a 为质数，并且72a ＋8和82a ＋7也都为质数，记x =77a ＋8，y =88a ＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A ．x ，y 都是质数B ．x ，y 都是合数C ．x ，y 一个是质数，一个是合数D ．对不同的a ，以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7．设a ，b ，c ，d 是自然数，并且2222a b c d +=+，求证：a ＋b ＋c ＋d 一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴ 6个数中任意两个都互质；⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，试求qpp q 的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34 例2 C例3 3符合要求提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋ (2004)21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n2－1≥7，n2－1、n2、n2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n2，故n2－1与n2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321++++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11++-=n n d d d d ++21=ab ，而a =360=53223??，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413．例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y = 12-t tp为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xy y x +=p 2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ?+21=()21+p p ，∴x ＋y =()2 1+p p ＋21+p =()212+p 。
质数有无穷多个证明
质数有无穷多个证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：质数是自然数中最基本的数，它只能被1和自身整除，而无法被其他数整除。
质数具有很多独特的性质，其中最为著名的就是质数有无穷多个这个性质。
这个性质是由希腊数学家欧几里德在公元前三世纪发现的，被称为欧几里德的证明。
今天我们来了解一下质数有无穷多个的证明方法。
欧几里德的证明方法是通过反证法来证明质数有无穷多个。
反证法是一种非常常用的数学证明方法，通常是假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明所要证明的结论为真。
对于质数有无穷多个这个问题，我们可以假设质数只有有限个，然后推导出矛盾，从而证明质数有无穷多个。
假设质数只有有限个，那么我们可以将这有限个质数依次列出，比如2,3,5,7等等。
我们可以用这些质数来构造一个新的数，这个数是所有这些质数的乘积再加1，即2*3*5*7+1=211。
我们可以发现，这个新构造的数211，在质数列表中并不存在，因为它不能被任何一个质数整除。
接下来，我们考虑这个新构造的数211。
根据质数的定义，任何一个大于1的数，要么是一个质数，要么可以分解成若干个质数的乘积。
而这个新构造的数211不能被任何一个质数整除，说明它本身是一个质数。
这就导致了一个矛盾：我们设定质数有限个，但通过构造，我们却得到了一个新的质数211，这与我们的假设相矛盾。
通过上面的推导，我们可以得出结论：假设质数只有有限个是错误的，质数有无穷多个。
这就是欧几里德的证明方法。
这个证明方法简洁而又巧妙，展示了数学的美妙之处。
还有一些其他的方法可以证明质数有无穷多个。
其中比较著名的是基于素数定理的证明。
素数定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了质数的分布规律，即随着数值的增大，质数的密度越来越小。
根据素数定理，我们可以证明质数有无穷多个。
这个证明方法更加直接和数学化，是数论中的一个重要成果。
质数有无穷多个这个定理是数学中一个重要而又经典的结论。
欧几里德的证明方法通过反证法展示了数学证明的精妙之处，而基于素数定理的证明则更加直接和严谨。
质数的个数公式
质数的个数公式定理 定 理
m
：
所
m
有
不
大
于
Ｎ
的
后
部
质
m
数
的
i
个
数
j(N)
＝
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
632158163com质数的个数公式和素数普遍公式都是在研究哥德巴赫猜想的过程中发现的副产品但是这两个重要的定理的发现却为质数理论打下了坚实的基础其理论价值要远远高出哥德巴赫猜想的本身
质数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者单位：漯河市舞阳县莲花镇仁和小学
E-mail：632158@
i
= N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 m i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
∩A
i =1
m
i
记 A1 ={不大于Ｎ能被质数 P1 整除的数}，A2={不大于Ｎ能被质数 P2 整除的数}……Am ={不大于Ｎ能被质数 Pm 整除的数}, P1、P2、……Pm 表示Ｎ的前部质数，且 P1、P2、…… Pm 为连续质数。｜Ai｜=[N/ Pi]表示 Ai 中能 Pi 整除的个数。 ｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
j≦ N
时，Ｑ1，Ｑ２……Ｑj 表示正整数 N 的后部质数，j 为后部质数的个数。所以 π (N) ＝ 连续质数：由小到大不间断的质数称作连续质数。例如：２、3、5、7、11……还可以
小学数学之质数合数
（3） 质数 合数【知识精读】1 正整数的1种分类： 质数的定义：如果1个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：1个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数,②质数中只有1个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有1个是2, 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有1个是2, 3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。
求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数 ∴必有1个是2所求的两个质数是2和a－2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.例3己知3个质数a,b,c它们的积等于30求适合款件的a,b,c的值解：分解质因数：30＝2×3×5 适合款件的值共有：应注意上述6组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合款件的a,b,c,d值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。
解：（本题答案不是唯1的） 设N是不大于5的所有质数的积,即N＝2×3×5 那么N＋2,N＋3,N＋4,N＋5就是适合款件的4个合数即32,33,34,35就是所求的1组数。
本题可推广到n 个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N＋2,N＋3,N＋4,……N＋（n+1）就是所求的合数。
【实战模拟】,1，小于100的质数共___个,它们是__________________________________2，己知质数P与奇数Q的和是11,则P＝＿＿,Q＝＿＿3，己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4，如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__.6, 3个质数a,b,c它们的积等于1990.那么 7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99,AB＝M。
14.质数与合数
第十四讲质数与合数（一）思考1：爷爷今年已经84岁了。
有人问他：“你的孙子都已经长大成人了吧？”爷爷摸了摸雪白的胡须，笑着说：“多数长大成人了，只是还有三个最小的孙子，他们三个年龄的乘积才只有我的年龄大呢！说来也巧，在这三个最小的孙子中，两个的年龄相加正好等于另外一个的年龄”。
问这三个孙子的年龄各几岁？思考2：641除以一个两位数，余数是46，求这个两位数。
思考3：360与400的约数，哪个多？ 质数与合数概念是数学运算、算式化简以及分析一些数字问题时常用到的。
如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么这个自然数就叫质数。
质数也叫素数。
例如：43＝1×4343只有1和43两个约数，所以43是质数。
100以内的质数是极为常用的，它们是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，6 7，71，73，79，83，89，97 在自然数中，如果除了1和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫合数。
例如：6的约数有1、2、3、6，那么6是合数。
合数也叫复合数或合成数。
应特别注意1既不是素数也不是合数。
例1 377是质数吗？解：我们用从小到大的一个个质数，逐个试除377，看看有没有能整除377的，即用2，3，5，7，11，13，…去试除。
发现13|377而13是1和377以外的约数，所以377不是质数。
两千多年前，埃及亚历山大图书馆的管理员埃托色尼就是用这种方法选出质数的：在全体自然数里，先把1去掉，然后再把2的倍数去掉（保留2），再把3的倍数去掉（保留3），……，依次地做下去，最后剩下的就都是质数了。
这种方法叫“筛选法”。
例2 有一个2n+1位整数（n是整数，n≥1）解法1：我们观察这个数的数字特征，可以看出，它的各个数位数字和是3的倍数。
是 由于n+1是整数，得3|（n+1）×3，所以3是原数的约数，显然3 由上面的解法中，可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处，要想迅速找出一个整数的约数，就要对数的整除特征非常熟练，这对提高筛选的速度大有好处。