高中数学人教a版选修2-22.1.2类比推理【练习】(教师版)

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高中数学第二章推理与证明 2.1.2 类比推理教案新人教A版选修2-2(2021年整理)

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类比推理一、本课数学内容的本质、地位、作用分析数学发现的过程往往包含合情推理的成分,在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要的角色。

高中生的学习生活中也有很多合情推理的实例，物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理.因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的。

本节课是归纳推理基础上对合情推理学习的继续，类比和归纳一样是合情推理常用的思维方法，从学生熟悉并感兴趣的具体例子入手，分析它们所反映的思维过程，从中挖掘、提炼出类比推理的一般过程，并概括其含义.在练习和应用中加深对类比推理的认识.通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用，有助于学生形成类比推理的思维方式，培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础；有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯。

二、教学目标分析：本节课教学目标确立如下：知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理．过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究,提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．情感、态度与价值观:体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用,提高学习数学的兴趣,增强创新意识．三、教学问题诊断学生在学习本节内容时主要有以下两个困难:1。

数学人教A版选修2-2教材习题点拨：2.1 合情推理与演绎推理含解析

教材习题点拨
教材习题解答
（探究）
类比圆的特征，填写表2－1中球的相关特征，并说说推理的过程．
表2－1
解:特征(如都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合），而已经知道圆的一些已知特征，由此可以推测球的类似特征．由于圆是平面内的基本图形，而球是空间中的基本图形,所以在将圆的基本特征推广为球的类似特征时,要将涉及的平面元素推广为相应的空间元素．
例如，平面内长度（周长)、面积、角等平面元素推广到空间一般为面积(表面积)、体积、二面角等空间元素．
解答如下（表2－1）：
表2－1。

人教版高中数学选修(2-2)-2.1高考新题型：类比题

高考新题型--类比题类比型试题能考查学生的数学学习能力、应用能力、探究能力、创新能力，它像一朵耀眼的奇葩频频出现在高考中，现采撷几类与大家共享. 1与已知概念类比例12004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5．那么18a 的值为，这个数列前n 项和n S 的计算公式为．分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法.解：∵{}n a 是等和数列，12a =，公和是5，23a =∴，则3423a a ==，，知23n a =，212()n a n *-=∈N ． 183a =∴，数列{}n a 形如：232323，，，，，，．5()251()22n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，∴为奇数．评述：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n 为奇数时，15512(1)2222n n S S n n -=+=-+=-． 2．与已知数学方法类比例2 （2003年上海春招）设()f x =利用推导等差数列前n 项和的方法――倒序相加法，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++的值为．解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决．由()(1)f x f x +-=．设(5)(4)(0)(5)(6)S f f f f f =-+-+++++，又(6)(5)(0)(4)(5)S f f f f f =+++++-+-，212[(5)(6)]S f f =-+=∴，S =∴3．与已知结论类比例3 （2005年湖南）函数()y f x =的图象与直线x a x b ==，及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n *∈N ，则（1）函数sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为；（2）函数sin(3π)1y x =-+在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为．解析：（1）令3n =，则sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，又∵sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积相等，所以sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为43；（2）由sin(3π)1y x =-+，设33πx ϕ=-，sin31y ϕ=+∴．又π4π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵， []303πϕ∈，∴，[0π]ϕ∈，∴．由（1）sin3y ϕ=在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，sin31y ϕ=+∴在[0π]，上的面积为1233324233S S S S S ++=⨯+=+，3421(π0)π3S S =⨯--=-∵，sin(3π)1y x =-+∴在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2π3+．。

2.1.1.2类比推理

人教新课标A版数学选修2-2
乐
——类比推理
人教新课标A版数学选修2-2
乐
学习目标：
1.理解类比推理的特点； 2.学习并掌握类比推理的一般步骤；
举例：
1.鲁班发明锯.
2.仿照鱼类发明了潜水艇. 3、火星上是否存在生命？
以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(简称:类比法)
向量无限不等
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
探究：试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
在四面体P-ABC中有
.
小结：
1.类比推理的特点：（1）以旧的认识为基础，类比出新的结果；
（2）从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；
2.类比推理的一般步骤
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题（猜想）
周长
表面积
面积
体积
表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
球的表面积
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,
距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半径的圆的方程为x x0 2 y y0 2 r2.

人教A版高中数学高二版选修2-2学案合情推理(2) 类比推理、合情推理

高二数学科学案§2.1.1 合情推理（2）——类比推理、合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1.试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格提示：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：对应的类比圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。

并叙述合情推理在数学中的作用。

【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()bc ac c b a -=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“cb c a c b a +=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）3.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=. 4.判断下列推理那些是合情推理，那些是不合情推理：（1）c b b a //,//，则c a //；（2）c b c a ⊥⊥,，则c a ⊥（3）三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形的内角和为540°；（4）今天星期日，七天之后也是星期日5.在等差数列{}n a 中，若010=a 有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 ()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有什么等式成立？注意阅读导学方案中的“点拨”体会推理的特征。

人教A版高二数学选修2-2：1.2类比推理课件 (共19张PPT)

圆的性质
球的性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大
4
圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的以点(x0,y0,z0)为球心, r为半圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
议 3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
所以A类事物具有P
导
3、归纳推理的步骤:
实验观察
大胆猜想
检验猜想
思情景引入：
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象
构成几何体的元素数目：三角形平面图形（二维）点
四面体
立体图形（三维）点或线
线
平面直角坐标系
线或面
空间直角坐标系
议
合作探究
A
探究一：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

高中数学人教A版选修2-2 第二章2.1.2 类比推理教案精

2.1.2 类比推理一、教学目标1．通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

三、教学方法：教具准备：与教材内容相关的资料。

课时安排：1课时四、教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc;(2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

高二数学(新人教A版选修2-2)考点清单《2.1.2 类比推理》

类比推理
考点一：事物相似性与一致性的理解
.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．
[解析] ()两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．
()从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即＋＝＋；＋＝＋.
(＋)＋＝＋(＋)；(＋)＋＝＋(＋)．
()从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算．＋＝与＋＝都有唯一解，＝－与＝－.
()在实数加法中，任意实数与相加都不改变大小，即＋＝.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即＋＝.
.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
弦 ↔ 截面圆，
直径 ↔ 大圆，
周长 ↔ 表面积，
圆面积 ↔ 球体积，
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
考点二：类比推理
.如图，已知是△内任意一点，连结、、并延长交对边分别于′、′、′，则＋＋＝.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．
＋＋＝＋＋＝＝.
请运用类比思想，对于空间中的四面体－，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
[解析]在四面体－中，任取一点，连结，，，并延长分别交四个面于，，，点，则＋＋＋＝.
证明：在四面体－与－中，
＝＝＝＝.
同理有：＝；＝；＝，。

人教版高中数学选修2-22.1.1第2课时类比推理练习

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.1.1 第 2 课时类比推理练习新人教 A 版选修 2-2一、选择题1．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，概括出全部三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N*，且n≥3)A ．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案 ] [分析 ]C①是类比推理；②④是概括推理，∴①②④都是合情推理．2．平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为 a 的正四周体内任一点到四个面的距离之和为()A.43 a6B. 3aC.54a6D. 4a[答案 ]B[分析 ]将正三角形一边上的高32a 类比到正四周体一个面上的高63 a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四周体切割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四周体的体积”证明．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则此中正确的结论是()A ．①②B．②③C．③④D．①④[答案 ]B[分析 ]依据立体几何中线面之间的地点关系知，②③是正确的结论．4． (2015 海·南文昌中学高二期中)设△ ABC 的三边长分别为a、b、 c，△ ABC 的面积为2S；类比这个结论可知：四周体P－ ABC 的四个面的面积S，内切圆半径为 r ，则 r ＝a＋b＋c分别为 S1、 S2、 S3、S4，内切球的半径为 r，四周体 P－ ABC 的体积为 V，则 r＝()V2VA.S1＋ S2＋ S3＋ S4B．S1＋ S2＋ S3＋ S43V4VC.S1＋S2＋S3＋ S4D．S1＋ S2＋ S3＋ S4[答案 ]C[分析 ]将△ ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四周体 P－ ABC 的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.23证明以下：以四周体各面为底，内切球心 O 为极点的各三棱锥体积的和为1V，∴ V＝ S1r31113V＋3S2r ＋3S3r ＋3S4r ，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．给出下边类比推理命题(此中Q为有理数集，R 为实数集， C 为复数集)：① “若 a， b∈R，则 a－b>0? a>b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b>0? a>b”；② “若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi ＝c＋ di? a＝ c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋ b 2＝ c＋ d 2? a＝ c， b＝d”；③若“a，b∈R，则 a－ b＝0? a＝ b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝ 0? a＝ b”．此中类比结论正确的个数是()A ． 0B． 1C．2D． 3[答案 ]C[分析 ]在实数集中，a>b? a－ b>0，但在复数集中，不全为实数的两个数不可以比较大小，如a＝ 2＋ i， b＝ 1＋ i ，有 a－b＝ 1>0 ，但 a>b 不建立；∵ a、 b、c、 d∈Q，∴ a－ c， b－d∈Q，∵ a＋ b 2＝ c＋d2，∴ (a－ c)＋ (b－ d)a－ c＝ 0，∴a＝ c2＝ 0，∴，故②正b－ d＝ 0b＝ d确；由复数相等的定义知，若a＝ x1＋ y1i( x1、y1∈R)，b＝ x2＋ y2i(x2、y2∈R)，则由 a－ b＝( x1 x1－ x2＝ 0x1＝ x2－x2)＋ (y1－ y2)i ＝ 0?，∴，∴ a＝b，故③正确．y1－ y2＝ 0y1＝ y26．由代数式的乘法法例类比获得向量的数目积的运算法例：① “mn＝ nm”类比获得“a·b＝b·a”；② “(m＋ n)t＝mt＋ nt”类比获得“(a＋b) ·c＝a·c＋b·c”；③ “(m ·n)t ＝ m( n ·t) ” 比获得 “(a ·b ) ·c ＝ a ·(b ·c ) ”；④ “t ≠0，mt ＝ xt? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0， a ·p ＝x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| |n|· ” 比获得 “|a ·b |＝ |a | ·|b | ”；ac aa ·c a⑥ “ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b 此中比正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ] 由向量的有关运算法知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故B.二、填空7．能够运用下边的原理解决一些有关形的面：假如与一固定直平行的直被甲、乙两个封的形所截得的段的比都k ，那么甲的面是乙的面的k 倍．你可以从出的形①、②中领会个原理．在 ③中的两个曲的方程分是x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a>b>0) 与 x 2＋ y 2＝ a 2，运用上边的原理， ③中的面________________ ．[答案 ] πab[分析 ]因为与截y 所得段之比b b 2b a，即 k ＝，∴ 面S ＝ πa ·＝ πab.aa8．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0，有等式 a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a 19－ n (n<19 ， n ∈ N * ) 成立，比上述性，相地：在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝ 1 ，有等式__________________ 建立．[答案 ] b 1b 2⋯ b n ＝ b 1b 2⋯ b 17－ n (n ＜ 17， n ∈ N * )[分析 ]解法 1：从剖析所供给的性下手：由 a 10＝ 0，可得 a k ＋ a 20－ k ＝ 0，因此当 n<19－n ，有 a 1＋a 2＋ ⋯ ＋ a 19－n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n ＋ a n ＋1＋ a n ＋2＋ ⋯ ＋ a 19－ n ，－ 2na n ＋ 1＋ a 19－ n ＝ 0，∴等式建立．同理可得 n>19而 a n ＋ 1＋ a n ＋ 2＋ ⋯＋ a 19－n ＝2－n 的情况．由此可知：等差数列 { a n } 之因此有等式建立的性，关在于在等差数列中有性：a n＋1＋ a 19－n ＝ 2a 10＝ 0，似地，在等比数列 { b n } 中，也有性： b n ＋ 1·b 17－ n ＝ b 92＝ 1，因此获得答案： b 1 2⋯ b n ＝ b 1 2⋯ b 17－n *)． b b (n<17， n ∈ N解法 2：因在等差数列中有“和”的性 a1＋ a2＋⋯＋ a n＝a1＋a2＋⋯＋ a19－n(n＜19， n ∈N*n9＝ 1，可知有“ ”的性 b12n＝b1217－n(n )建立，故在等比数列{ b } 中，由 b b ⋯b b ⋯ b＜17， n∈N* )建立 . (1)明以下：当 n＜ 8 ，等式 (1) b1b2⋯ b n＝ b1b2⋯ b n b n＋1⋯b17－n，即： b n＋1·b n＋2⋯ b17－n＝ 1.(2)∵b9＝ 1，∴ b k＋1·b17－k＝ b29＝1.∴ b n＋1b n＋2⋯ b17－n＝ b179－2n＝1.∴ (2)式建立，即 (1)式建立；当 n＝8 ， (1)式即： b9＝ 1 然建立；当 8＜n＜ 17 ， (1) 式即：b1b2⋯ b17－n·b18－n·⋯b n＝ b1b2⋯ b17－n，即： b18－n·b19－n⋯b n＝ 1(3)∵b9＝ 1，∴ b18－k·b k＝ b29＝ 1，∴b18－n b19－n·⋯·b n＝ b2n9－17＝ 1，∴ (3)式建立，即 (1)式建立．上可知，当等比数列{ b n} 足 b9＝ 1 ，有：b1b2⋯ b n＝ b1b2⋯ b17－n(n＜ 17， n∈N* )建立．9．(2014 ～ 2015 ·湖南沙中学、沙城一中考 )在平面几何里有射影定理：△ ABC 的两 AB⊥ AC，D 是 A 点在 BC 上的射影， AB2＝ BD ·BC.拓展到空，在四周体 A－BCD中， DA ⊥平面 ABC，点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影，比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC 、△ BDC 三者面之关系 ________________ ．[答案 ]2＝ S△△△S ABC OBC·S DBC[分析 ]将直角三角形的一条直角比到有一棱AD 与一面 ABC 垂直的四棱的面 ABC 的面，将此直角 AB 在斜上的射影及斜的，比到△ABC 在底面的2射影△ OBC 及底面△ BCD 的面可得 S△ABC＝ S△OBC·S△DBC.明以下：如，直OD 与 BC 订交于点 E，∵AD⊥平面 ABE，∴ AD⊥ AE， AD ⊥BC，又∵ AO⊥平面 BCD，∴ AO⊥ DE ，AO⊥ BC.∵AD∩AO＝ A，∴BC⊥平面 AED ，∴BC⊥ AE， BC⊥ DE.1∴ S △ ABC ＝ 2BC ·AE ，1S△BOC ＝2BC ·OE ，1S△BCD＝2BC ·DE.在 Rt △ADE 中，由射影定理知 22AE ＝ OE ·DE ，∴ S △ ABC ＝ S △ BOC ·S △ BCD .三、解答10．先解答 (1) ，再依据构比解答(2)．(1)已知 a 、 b 数，且 |a|<1， |b|<1，求： ab ＋1> a ＋ b.(2)已知 a 、 b 、 c 均数，且|a|<1， |b|<1， |c|<1，求： abc ＋ 2>a ＋ b ＋ c.[分析 ](1)ab ＋ 1－( a ＋b)＝ (a － 1)(b － 1)>0.(2)∵ |a|<1， |b|<1， |c|<1，据 (1) 得(ab) ·c ＋ 1>ab ＋ c ，∴ abc ＋ 2＝ [( ab) ·c ＋ 1]＋1>(ab ＋ c)＋ 1＝ (ab ＋1)＋ c>a ＋ b ＋c.[点 ] (1)与 (2) 的条件与有着同样的构，通剖析(1) 的推程及的组成行比推行得出： (ab) ·c ＋ 1＞ab ＋ c 是关．用推理可推出更一般的：a i 数， |a i |＜ 1，i ＝ 1、 2、⋯ 、 n ，有： a 1 a 2⋯ a n＋( n － 1)＞ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n .一、11．以下比推理适合的是()A ．把 a(b ＋ c)与 log a (x ＋ y) 比，有log a (x ＋y) ＝log a x ＋log a yB ．把 a(b ＋ c)与 sin(x ＋ y) 比，有 sin(x ＋ y)＝ sinx ＋sinyC ．把 (ab)n 与 (a ＋ b)n 比，有 (a ＋ b) n ＝ a n ＋ b nD ．把 a(b ＋ c)与 a ·(b ＋ c ) 比，有a ·(b ＋c )＝ a ·b ＋a ·c[答案 ] D[分析 ] A ，B ， C 没有从本属性上比，是比，进而出． 12．如所示，中心在座原点，→ →F 左焦点，当 FB ⊥ AB ，其离心率5－ 1，此被称 “黄金 ”．比 “黄金 ”，可推2算出 “黄金双曲 ”的离心率 e 等于 ()5＋ 15－ 1 A.B ．22C. 5－1 D ． 5＋1[答案 ] Ax2y2[分析 ]以下图，设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则 F(－c,0) ，B(0， b)， A(a,0)，→→∴ FB＝ (c， b)， AB＝ (－ a，b)，→→→→2又∵ FB⊥ AB，∴ FB ·AB＝ b － ac＝0，∴c2－ a2－ ac＝0，∴e2－ e－ 1＝0，∴ e＝1＋5或 e＝1－5(舍去 )，22故应选 A.13． (2013 ·师大附中期中辽)类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角均分线交于一点可得四周体的对应性质：(1)随意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四周体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于该极点所对的面面积的(3)四周体的六个二面角的均分面交于一点此中类比推理方法正确的有()A ． (1)B． (1)(2)C．(1)(2)(3)D．都不对[答案] C 1 4[分析 ]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理获得的结论能否正确与类比推理方法能否正确其实不等价，方法正确结论也不必定正确．二、填空题14． (2014 ·阳一中模拟阜 )若等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，则 S2n－1＝(2n－ 1)a n.由类比推理可得：在等比数列{ b n} 中，若其前n 项的积为P n，则 P2n－1＝ ________________.[答案 ]b n2n－ 1[分析 ]将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，则 S2n－1＝(2n－ 1)a n.因此类比可得：2n－ 1在等比数列 { b n} 中，若其前n 项的积为P n，则 P2n－1＝ b n.15．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P(x0， y0)，则圆的面积 S 圆＝πr2，过点 P2x2y2的圆的切线方程为x0x＋ y0y＝ r.在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0) 中，当离心率 e 趋近于 0 时，短半b 就近于半a ，此就近于．比的面公式得面S 椭圆＝2 2P(x 0， y 0)的的切方程， x y________________. 比上一点 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)上一点 P(x 1， y 1)的的切方程________________ ．[答案 ]πabx 1 y 12·x ＋ 2·y ＝ 1ab[分析 ] 当的离心率 e 近于 0 ，近于，此 a ，b 都近于的半径r ，故由的面 S ＝ πr 2＝ π·rr ，猜想面 S 椭＝ π·a ·b ，其格明可用定分理．而由2x 0y 0切方程 x 0·x ＋ y 0·y ＝ r 形得 r 2·x ＋ r2·y ＝ 1，上一点P(x 1，y 1)的的切方程x 1 y 12·x ＋ 2·y ＝ 1，其格明可用数求切理．ab三、解答16．我知道：12＝ 1，2 222 ＝ (1＋ 1) ＝ 1 ＋ 2×1＋1，2224 ＝ (3＋ 1) ＝ 3 ＋ 2×3＋1， ⋯⋯n 2＝ (n － 1)2＋ 2(n － 1)＋ 1，左右两分相加，得n 2＝ 2×[1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋(n －1)] ＋n∴ 1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ n ＝nn ＋ .2比上述推理方法写出求 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋n 2 的表达式的程．[分析 ]我 S 1( n) ＝1＋ 2＋ 3＋⋯ ＋ n ，S 2(n) ＝1 2＋22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2，⋯ ， S k (n)＝ 1 k ＋ 2k ＋ 3k ＋ ⋯ ＋ n k (k ∈N *)．已知13＝ 1，23＝ (1＋ 1)3＝ 13＋ 3×12＋ 3×1＋ 1， 33＝ (2＋ 1)3＝ 23＋ 3×22＋ 3×2＋ 1，33324 ＝(3＋1) ＝3 ＋ 3×3 ＋ 3×3＋ 1，⋯⋯n 3＝ (n － 1)3＋ 3(n － 1)2＋ 3(n － 1)＋ 1.将左右两分相加，得S 3(n) ＝[S 3(n)－ n 3]＋ 3[S 2(n)－ n 2] ＋3[ S 1(n)－ n] ＋ n.由此知 S 2( n)＝n 3 ＋ 3n 2＋ 2n － 3S 1 n＝ 2n 3＋ 3n 2 ＋n n n ＋n ＋3＝6 .617．(2015 隆·化县高二期中 )在 Rt △ABC 中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC 于 D ，求证： 1 2＝12 AD AB1＋ AC 2，那么在四周体 A －BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明原因．[剖析 ]利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，获得类比性质．经过作协助线将空间的证明问题转变为三角形中的性质．[分析 ]如图 (1)所示，由射影定理AD 2＝ BD ·DC ， AB 2＝ BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，11BC 2∴AD2＝BD ·DC ＝BD ·BC ·DC ·BC又 BC 2＝ AB 2＋ AC 2 ，221 1∴ AD 2＝ AB 2·AC 2 ＝AB 2＋ AC 2.111∴ AD 2＝ AB 2＋ AC 2.AB ＋AC1类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥BC 猜想：四周体 ABCD 中， AB 、 AC 、 ADBC 2＝AB 2·AC 2.两两垂直，1111AE ⊥平面 BCD.则 AE 2＝ AB 2＋ AC 2＋AD 2.如图 (2)，连结 BE 延伸交 CD 于 F ，连结 AF.∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ， ∴ AB ⊥平面 ACD .而 AF? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF .在 Rt △ABF 中， AE ⊥ BF ，11 1∴ AE 2＝ AB 2＋ AF 2. 在 Rt △ACD 中， AF ⊥CD ，1 1 1∴ AF 2＝ AC 2＋ AD 2∴121 21 21 2，故猜想正确．AE＝AB＋AC＋AD。

高中数学人教a版选修2-22.1.2类比推理【练习】(学生版).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作选修2-2 2.1.2类比推理一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径) B ．V ＝13Sh C ．V ＝13abc D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)D ．都不对6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于________．13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．。

高三复习测试题数学选修2-22.1.1合情推理---类比推理Word版含答案

§2.1.1 合情推理-----类比推理学习目标：1. 了解类比推理是从“特殊到特殊”的推理；2. 掌握类比推理重点是“方法的模仿借鉴”.一．选择题：1.在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个三角形的高的31”.类比上述结论，可得正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A.31B.41 C.51 D.61 2.设244)(+=x xx f ，类比等差数列求和公式n S 的推导的方法，可求得+++-+-)0(...)5()6(f f f)7(...)1(f f ++=( )A.5B.6C.7D.83.在等差数列}{n a 中，公差0>d ，则有>⋅64a a73a a ⋅，类比上述性质，在等比数列}{n b 中，若n b0>，公比1>q ，则可得关于8475.,,b b b b 的一个不等式为（）A.7584b b b b +<+B.7584b b b b +>+C.7584b b b b ⋅<⋅D.以上都不对4.若等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d，类比上述结论有：若各项均为正数的等比数列}{n b 的公比为q ，前n 项积为n T ，则数列}{n n T 为等比数列，公比为( ) A.2qB.2qC.qD.n q5.先阅读下面的文字：“求...111+++的值”，可采用如下的方法：令x =+++...111，则有x x +=1，两边同时平方，得21x x =++，解得(251+=x 负值已舍去），利用类比的方法，可求...2111211++++=( )A.213+B.213- C.216+ D.216-二．填空题：6.与直线0532=-+y x 平行且过点)2,1(-P 的直线l 可写成0)2(3)1(2:=-++y x l ，运用类比推理，与直线0125=+-y x 垂直且过点)2,4(-的直线可写成：7.由图(1)可得：PB PA PBPA S SPAB B PA ⋅⋅=∆∆////，类比，由图（2）可得：8.平面内直角三角形两条直角边b a ,与斜边上高h 的关系为：222111bah+=，将上述结论类比到空间，可得：已知c b a ,,为两两垂直的三条侧棱的长，h 为底面上的高，则9.已知数列}{n a 是正项等差数列，设 nna a a a b nn ++++++++=...321 (32321)则数列}{n b 也为等差数列.类比上述结论：写出正项等比数列}{n c ，若=n d 则数列}{n d 也为等比数列.三．解答题：10.在ABC Rt ∆中，⋅=∠ 90A ，BC AD ⊥于D ，则222111ACABAD+=.类比上述结论，给出四面体ABCD 的一个结论，并给予证明.11.请阅读下列不等式的证明过程：已知R a a ∈21,，12221=+a a ，求证：≤+21a a 2.证明：构造函数2221)()()(a x a x x f -+-=，则2221212)(22)(a a x a a x x f +++-=1(222a x -=1)2++x a因R x ∈∀，恒有0)(≥x f ，所以-+=∆221)(4a a08≤，所以≤+21a a 2请回答下列问题：（1）若R a a a n ∈,...,,21，1 (2)2221=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，请证明你的推广式.。

人教A版高中数学选修2-2第《类比推理》说

人教A版高中数学选修2-2第《类比推理》说课稿一、【教材分析】类比推理是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第一小节的内容，是合情推理的一个重要内容。

对整个高中阶段类比推理思维形式进行高度概括与总结，也将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前，起到点睛作用。

让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳类比的科学，数学是结论的体系，其结论的发现过程也是数学，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步向高等数学学习作准备。

二、【学情分析】类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。

在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。

所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。

三、【教学目标】（一）知识与技能：1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去；2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。

（二）过程与方法：本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法—类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围（三）情感态度与价值观：1．正确认识类比推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的了解的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

四、【教学重点、难点】教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。

人教A版选修2-22.1.2演绎推理基础达标(含答案解析)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1．(2013·杭州高二检测)“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提为( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B.根据“三段论”的形式知，S ——四边形ABCD ，P ——对角线相等，M ——矩形．∴大前提“M 是P ”是指矩形都是对角线相等的四边形．2．(2013·黄冈高二检测)用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( )A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)D ．若x 1＞x 2，则f (x 1)＞f (x 2)解析：选B.“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足增函数的定义，结论是y ＝x 3是增函数，故选B.3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此推出{a n }的通项公式解析：选A.选项B 为类比推理，选项C ，D 为归纳推理，选项A 为演绎推理，符合三段论．4．(2013·黄冈高二检测)已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c 的关系是( )A ．成等差数列但不成等比数列B ．成等差数列且成等比数列C ．成等比数列但不成等差数列D ．不成等比数列也不成等差数列解析：选A.由条件可知a ＝log 23，b ＝log 26，c ＝log 212.∵a ＋c ＝log 23＋log 212＝log 236＝2log 26＝2b ，∴a ，b ，c 成等差数列．又∵ac ＝log 23log 212≠(log 26)2＝b 2，∴a ，b ，c 不成等比数列．故选A.5．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)是偶函数，则θ＝( )A.k π2＋π4(k ∈Z )B.k π2(k ∈Z ) C ．k π＋π2(k ∈Z ) D ．k π(k ∈Z ) 解析：选D.∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )即f (－x )－f (x )＝0.由于f (x )＝cos(2x ＋θ)是偶函数，∴cos(－2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)＝0，－2sin θsin(－2x )＝0即sin θsin 2x ＝0.又x ∈R ，∴sin θ＝0，∴θ＝k π(k ∈Z )．6．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0. ∴(a 2＋a ＋1)x >3⇒x >3a 2＋a ＋1. 其前提依据为不等式的乘法法则：a >0，b >c ⇒ab >ac .答案：a >0，b >c ⇒ab >ac7．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：当0<a <1时，函数f (x )＝a x 为减函数，a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 为减函数．故由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n8．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 解析：因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义则f (0)＝0，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，所以f (0)＝a －120＋1＝0. 解得a ＝12. 答案：129．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )． (1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解：(1)对∀x ∈R 有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2，10．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x 2)＝2f (x )；(2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围．解：(1)证明：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )．∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(2)∵f (1)＝f (12)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x ＋3＞0，x (x ＋3)≤4，解得0＜x ≤1.。

人教A版数学高二选修2-2课时合情推理

课时达标训练1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D项,结论“(a+b)n=a n+b n”错误,故D项不符合题意.2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量,+可类比成++,故结论为=++.答案:=++3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:a n=1+2+3+…+(n-1) +n+(n-1)+…+3+2+1的结果.【解析】1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42.从而猜想:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC 和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在一个三角形中,各边长和它所对角的正弦的比相等,即==,类比三角形,我们可以猜想在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.。

高中数学第二章推理与证明2.1.2类比推理课件新人教A版选修22

一个特例,推广的命题为----设-圆--的--方--程-------------(--x-----a--)--2--+(--y-----b--)--2-=-r-2-与--②-(-x---c-)-2-(+-f(-āyn--g-dc)-h2-=é-rn-2g-（)-为a-≠-①-c-或-----b-≠-d-),-则-由--①-式-减--去-②--式-可--得-上--述-(s-h-àngshù)两圆的对称轴
出新的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功
能.
第五页，共20页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的一
般步骤：
观察 (guānchá)、比较
联想
猜测新的结论
(liánxiǎng)、
类推
第六页，共20页。
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体(OA、OB 、OC两两垂直）性质 (xìngzhì)的猜想．
pa
SPBC
,
ha
1 2 BC • ha
SABC
同理有
pb SPAC , pc SPAB , hb SABC hc SABC
A
B
pbPppac
C
法
SPBC SPAC SPAB SABC ,
pa pb pc SPBC SPAC SPAB 1
ha hb hc
SABC
第十六页，共20页。
面积
球
截面圆
大圆表面积
体积
第十页，共20页。
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念(gàiniàn) 和圆的性周质长 S = 2πR

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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
选修2-2 2.1.2 类比推理
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．由合情推理得出的结论一定是正确的
B ．合情推理必须有前提有结论
C ．合情推理不能猜想
D ．合情推理得出的结论无法判定正误
【答案】B
【解析】由合情推理得出的结论不一定正确，A 不正确；B 正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D 也不正确，故应选B.
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －
2)·180°
A ．①②
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
【答案】C
【解析】①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．
3．三角形的面积为S ＝12
(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )
A ．V ＝13
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径) B ．V ＝13
Sh C ．V ＝13
abc
D ．V ＝13
(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 【答案】A
【解析】边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选A.
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．③
【答案】C
【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
5．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( )
A ．(1)
B ．(1)(2)(3)
C ．(1)(2)
D ．都不对
【答案】B
【解析】以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；
③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；
⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b
”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
二、填空题
11．设f (x )＝12x ＋2
，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．
【答案】32
【解析】本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝12112222
x x +++ ()()()
12121212222222222222222x x x x x x x x +++=+++++ ＝12＝22
，故所求答案为6×22＝3 2. 12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2
＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于________．
【答案】4AA 21＋4AB 2＋4AD 2
【解析】
AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21)
＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2)
＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)
＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2.
13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．
【答案】π·a ·b ；x 1a
2·x ＋y 1b
2·y ＝1
【解析】当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S
＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．
【答案】b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)
【解析】从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，
而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2
＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．。