绝对值
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【解析】原点两侧各有一个点到原点的距离为3，分别是表示3和－3的点．故选D．【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】 已知a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，则a ，－a ，b ，－b 的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，可以得到a ＞b ＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____. 9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零 一切负数，零 一切正数；两个数，右边的数 左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越 ，即离原点越远，表示的数越 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而 。
绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。
通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。
一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。
对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
例如，|5|=5，|-3|=3。
二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。
2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。
3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。
例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。
综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。
2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。
例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。
当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。
综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。
四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。
例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。
绝对值定义
绝对值几何意义在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．代数意义正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．|a|=a（a>0）|a|=-a（a<0）|a|=0 a= 0思维点击掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值．掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答．注意（1）任何一个数的绝对值均大于或等于0（即非负数）．（2）互为相反数的两数的绝对值相等；反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数1. 如果|a|=4，|b|=3，且a>b，求a，b的值.2.（1）对于式子|x|+13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？（2）对于式子2-|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少3.阅读下列解题过程，然后答题：已知如果两个数互为相反数,则这两个数的和为0,例如,若x和y互为相反数,则必有x+y=0.现已知:｜a｜+a=0，求a的取值范围。
解：因为｜a｜+a=0，所以｜a｜与a互为相反数，所以｜a｜=-a ，所以a的取值范围是a 0 .阅读以上解题过程，解答下题已知：｜a-1｜+（a-1）=0，求a的取值范围.4正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表：+15 -10 +30 -20 -40 哪个排球的质量好一些（重量最接近规定重量）？1. 因为a>b，所以a = 4；b = 3或者-3；2. （1）因为|x|>=0,所以|x|+13>=13,即x = 0时有最小值13；（2）同理，x=0时有最大值2；3. 因为｜a-1｜+（a-1）=0，所以｜a-1｜=1-a >=0 所以a <=14. 由题目的要求可以看出应该找出绝对值最小的那个球，所以应该是-10 的那个球已知a＜c＜0＜b，化简|b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b|由已知,b-c>0,a-c<0,a+c<0,则|b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b|=|b+c|-|a+b|+b-c-a+c+a+c=|b+c|-|a+b|+b+c;若|b|>|c|,|b|>|a|,则原式=2c+b-a;若|b|>|c|,|b|<|a|,则原式=3b+2c+a;若|b|>|c|,则原式=a+b(1):|2x-3|+|3x-5|-|5x+1| 2):||2x-4|-6|+|3x-6|(2)-38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a-2(a＜2)；(6)a-b。
绝对值的概念,去绝对值符号的技巧,绝对值的非负性
绝对值的概念，去绝对值符号的技巧，绝对值的非负性绝对值是初中代数里的一个重要概念。
掌握好绝对值的概念性质和去绝对值的符号的技巧，对于以后的绝对值方程，绝对值不等式的学习也是非常有帮助的。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
下面是最基本的去绝对值符号的法则:|a|=a(a>0)|a|=-a(a<0)|a|=0(a=0)所以去绝对值符号，先确定绝对值符号内的正负。
今天主要介绍一下去绝对值符号的技巧(多层绝对值，多个绝对值)，绝对值的非负性。
多层绝对值符号(例如||x|-1|),通常是从里面开始去绝对值符号。
例题1:方程||2x-1|-x|=3的所有解的和是多少。
由于是双层绝对值，所以先从里面着手。
当x>0.5时|2x-1|=2x-1，原方程化简成|x-1|=3x-1=±3，解得x=4，x=-2(舍)当x=0.5时|2x-1|=0，原方程化简成0.5=3，即无解当x<0.5时|2x-1|=1-2x，原方程化简成|1-3x|=31-3x=±3解得x=4/3(舍)，x=-2/3综上，方程的解为x=4，x=-2/3。
所以所有解的和是10/3。
多个绝对值(零点分段法)例题2:化简|x-1|+|x-5|先把每个绝对值的零点找到，即x=1，x=5然后根据这些零点在数轴上分区间，在各区间内化简即可:x<1时，原式=1-x+5-x =9-3x1≤x<5时，原式=x-1+5-x =4x≥5时，原式=x-1+x-5 =2x-6绝对值的非负性一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，所以任何数的绝对值都是非负数。
例题3:若|x-1|与|y+2|互为相反数，求(x+y)³的值。
根据相反数的定义可知，|x-1|+|y+2|=0根据绝对值的非负性，|x-1|=0，|y+2|=0解得x=1，y=-2所以(x+y)³=(-1)³=-1。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值与绝对值不等式
绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中常见的一个概念，它用来表示一个数离0点的距离。
在数学中，绝对值的定义通常如下：若a是一个实数，那么(|a|)的值满足以下两个条件之一：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|= -a。
绝对值不等式则是对含有绝对值的不等式进行推导和求解。
关于绝对值不等式，我们可以分为以下几个方面进行讨论。
一、绝对值不等式的基本性质在研究绝对值不等式时，我们首先需要了解绝对值不等式的一些基本性质，以便于后续的推导和求解。
1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。
2. 正定性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|a|=0。
3. 反对称性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|-a|=|a|。
4. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
二、绝对值与绝对值不等式的运算接下来，我们来研究绝对值与绝对值不等式的运算规则。
在推导和求解绝对值不等式时，我们经常需要运用到以下两个常用的运算法则：1. 绝对值的开放性质：对于任意实数a和b，有|ab|=|a||b|。
2. 绝对值的分割性质：对于任意实数a和b，如果|a|<b，那么-a<b<a。
三、绝对值不等式的求解方法在实际求解绝对值不等式的过程中，我们可以根据不等式的形式进行分类讨论与推导。
下面，我们举例介绍两种常见的绝对值不等式及其求解方法。
1. 不等式形式：|x-a|<b，其中a和b为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以得到两个方程组。
当a≥0时，得到 -b<x-a<b；当a<0时，得到 -b<a-x<b。
综合以上两种情况，我们可以得到 -b<x-a<b，即|x-a|<b。
所以，不等式|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
2. 不等式形式：|ax+b|≥c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以分别得到两个方程组。
数字的绝对值数字的绝对值计算
数字的绝对值数字的绝对值计算数字的绝对值，是指一个数字与零之间的距离，表示这个数字离零的远近，而与其正负号无关。
计算数字的绝对值可以使用绝对值符号或者通过条件判断的方式进行。
本文将介绍数字的绝对值的计算方法及其在数学和实际生活中的应用。
一、绝对值的符号表示在数学表达中，使用竖线符号“| |”来表示绝对值。
对于一个实数a，其绝对值表示为|a|，读作“A的绝对值”。
无论a的取值是正数、负数还是零，其绝对值均为非负数。
二、计算绝对值的方法1. 利用绝对值符号对于一个实数a，其绝对值可以通过绝对值符号进行计算。
当a为正数时，其绝对值等于a本身，即|a| = a。
当a为负数时，其绝对值等于a取相反数，即|a| = -a。
当a等于零时，其绝对值仍为零，即|0| = 0。
例如：- 绝对值计算：|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。
- 绝对值计算：|-2.5| = 2.5，|(-7)| = 7，|(-0.8)| = 0.8。
2. 利用条件判断除了使用绝对值符号，我们还可以通过条件判断来计算绝对值。
当a为正数时，其绝对值等于a本身。
当a为负数时，其绝对值等于-a。
因此，可以使用条件判断的方式来计算绝对值。
例如：- 当a大于等于零时，|a| = a。
- 当a小于零时，|a| = -a。
三、绝对值在数学中的应用1. 解决数轴上的问题绝对值可以用来帮助解决数轴上的问题。
通过计算数字的绝对值，可以确定一个数在数轴上所对应的位置。
例如，对于一个数a，如果知道|a| = 5，则可以推断出a可能是5或-5，即a可能位于数轴上的5或-5处。
2. 表示距离绝对值可以用来表示两个数之间的距离。
对于两个数a和b，它们之间的距离可以表示为|a - b|。
利用绝对值可以求得两个数之间的距离，无论这两个数是正数、负数还是零。
四、绝对值在实际生活中的应用1. 温度的表示在气象学中，绝对值被广泛用于表示温度。
由于温度可以为正数或负数，为了准确表示温度的大小，通常会使用绝对值符号。
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
绝对值的性质
• 不等式中含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式
• 不等式中的绝对值符号内为单个变量的不等式称为简单
绝对值不等式
• 不等式中的绝对值符号内为多个变量的不等式称为复合
绝对值不等式
绝对值不等式的求解方法
简单绝对值不等式的求解方法
• 可以通过绝对值的性质化简不等式，然后求解
复合绝对值不等式的求解方法
• 可以通过绝对值的性质拆分不等式，然后求解
绝对值不等式的求解技巧
• 可以使用图像法求解绝对值不等式
• 可以使用对数法求解绝对值不等式
绝对值不等式的性质与证明
绝对值不等式的性质
• 绝对值不等式中的等号成立的条件是绝对值内的表达式相等
• 绝对值不等式中的不等号方向由绝对值内的表达式的正负性决定
绝对值不等式的证明
• 可以通过绝对值的性质进行证明
分析绝对值函数的性质
• 例如：分析函数 y = |x| 的奇偶性、单调性等性质，可以通过绝对值的性质进行分
析
利用绝对值函数解决实际问题
• 例如：利用函数 y = |x| 解决实际问题，如计算物体的位移、速度等
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绝对值不等式的求解与性质
绝对值不等式的定义与分类
绝对值不等式的定义
绝对值不等式的分类
• 例如：|a + b| = |a| - |b|，如果 a 和 b 的符号相反
绝对值与值的几何性质
• 数轴上的一个数 a 的绝对值 |a| 表示为 a 到数轴原点的
• |a| = |-a|，因为绝对值不区分正负数
距离
• |a + b| = |a| + |b|，如果 a 和 b 的符号相同
• |a + b| = |a| - |b|，如果 a 和 b 的符号相反
绝对值及性质及化简
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．例题精讲 绝对值的性质及化简一、绝对值的概念【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】 如果2a ＞2b ，则 ( )A．a b< D a＜b>B．a＞b C．a b【例6】（4级）若a b<，则下列说法正确的是（）>且a bA．a一定是正数 B．a一定是负数 C．b一定是正数 D．b一定是负数【巩固】下列式子中正确的是 ( )A．a a≥-≤- D．a a<- C．a a>- B．a am-，下列结论正确的是 ( )【例7】对于1A．1||m m≥ D．1||1≤----m mm m-≥ B．1||m m-≤ C．1||1【例8】已知2332-=-，求x的取值范围x x【例9】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例12】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例13】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
什么是绝对值
什么是绝对值
绝对值就是在数轴上任意一个点到原点的距离，用符号“∥”表示。
比如：数字3在数轴上距离原点为3个单位，那么3的绝对值便为3，用数学符号表示为，3，＝3，数字－6在数轴上距离原点为6个单位，所
以－6的绝对值为6，表示为，－6，＝6，特殊数字0距离原点为0，所
以0的绝对值还是为0，具体表示为，0，＝0。
绝对值有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非
负性。
（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。
（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：
（1），a，b，=，ab，。
（2），a，、，b，=，a、b，（b≠0）。
（3）a^2=，a，^2。
绝对值(教师版)
3．乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．
即对于任意实数a、b， ， ．
4．绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．
例如： ， ．
题模一：非负性
例1.1.1已知一个数的绝对值是4，则这个数是．
【答案】±4
【解析】绝对值是4的数有两个，4或﹣4．
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣3
【答案】B
【解析】当1＜a＜2时，
|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
例1.1.4若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=____或____（按从小到大顺序填写）．
【答案】1；49
【解析】根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算．
∵|m-n|=n-m，∴m-n≤0，即m≤n．
又|m|=4，|n|=3，
∴m=-4，n=3或m=-4，n=-3．
∴当m=-4，n=3时，（m+n）2=（-1）2=1；
当m=-4，n=-3时，（m+n）2=（-7）2=49．
例1.1.5已知 ，求 、 、 的值.
【答案】 ， ， ．
【解析】由绝对值的非负ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知， ．
D．原点或原点右侧
【答案】B
【解析】∵|a|=﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
随练1.2若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2012
【答案】C
绝对值
第三节 绝对值知识点：1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作22+=，-3的绝对值等于3，记作33-=2、绝对值的一般规律：（1）正数的绝对值是它本身； （2）负数的绝对值是它的相反数（3）0的绝对值是0。
（4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
3．绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。
考试要求：1．初步理解绝对值的概念。
2．明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值；会在已知一个数的绝对值条件下求这个数。
3．了解用数形结合思想解决问题，渗透分类讨论的数学思想。
A 类：例1、求下列各数的绝对值：217-，101，―4.75，10.5。
例2、计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|；例3、绝对值不大于5的整数中，最大的整数是_______,最小的正整数是______;一个负数在增大时，它的绝对值在________。
例4、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|B 类：例1、如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法中正确的是（ ） A.这个数必须大于另一个数 B. 这个数必须小于另一个数 C.这两个数的符号相反 D.无法确定这两个数的大小 例2、如果0,,a b c a b c ++=>>则下列说法中可能成立的是（ ）A. ,a b 为正数，c 为负数B. ,a c 为正数，b 为负数C. ,b c 为正数，a 为负数D.,a c为负数，b 为正数例3、表示负数的点都在原点的_____侧；绝对值越大的负数，表示它的点离原点越______.因此，两个负数，绝对值大的反而________。
例4、（05天津中考）已知14,2x y ==，且0xy <，则xy 的值等于_______。
绝对值
绝对值复习1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4，|＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2，|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．若用a 表示一个数，当a 是正数时可以表示成a ＞0，当a 是负数时可以表示成a ＜0，这样，上面的绝对值的特点可用用符号语言可表示为：(1) 如果a ＞0，那么|a|＝a ； (2) 如果a ＜0，那么|a|＝－a ； (3) 如果a ＝0，那么|a|＝0。
3、绝对值在本节课中的应用——比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．一、含有一个绝对值符号的化简题1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。
例1． 当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。
拓展： 设 化简 的结果是（ ）。
（A ）（B ）（C ）（D ）思路分析 由 可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解∴ 应选（B ）．归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
例2. 化简||x x -+52（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是x -5，使x -=50的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
绝对值的基础知识
绝对值的基础知识绝对值是数学中的一个概念，用来表示一个数距离零点的远近，而不考虑它的正负。
绝对值的定义非常简单，对于任意实数x，它的绝对值记作| x |，定义如下：当x大于等于零时，| x |等于x本身；当x小于零时，| x |等于-x。
绝对值有着广泛的应用，不仅在数学中常常被用到，而且在物理、经济、计算机等领域也有着重要的作用。
在数学中，绝对值的运算有一些基本的性质。
首先，绝对值永远是非负数，即| x |大于等于零。
其次，绝对值满足一个重要的性质，即对于任意实数x和y，有| x · y |等于| x |乘以| y |。
这个性质在解决一些数学问题时经常被用到。
绝对值的概念在不等式中也起到了重要的作用。
例如，当我们需要解决一个关于x的不等式时，可以通过求出x的绝对值来化简问题。
对于一个不等式| x - a |小于等于b，我们可以将其转化为两个简单的不等式，即x - a小于等于b，以及x - a大于等于-b。
通过求解这两个不等式，我们可以得到原不等式的解集。
绝对值还可以用来表示距离。
例如，当我们要计算两个点在数轴上的距离时，可以通过求它们的坐标的差的绝对值来得到。
这个概念在几何学中有着广泛的应用。
在物理学中，绝对值常常被用来表示物理量的大小。
例如，速度的绝对值表示物体在单位时间内所覆盖的距离，而不考虑其运动的方向。
这在描述物体的运动时非常重要。
在经济学中，绝对值可以表示收入、成本、利润等重要的经济指标。
通过计算这些指标的绝对值，我们可以对经济状况进行评估和比较。
在计算机科学中，绝对值也有着广泛的应用。
例如，在编写程序时，我们经常需要计算两个数之间的差的绝对值，以判断它们的大小关系。
另外，绝对值还可以用来处理图像处理、数据压缩等问题。
绝对值是数学中一个重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、计算机等领域也发挥着重要的作用。
对于任意实数x，它的绝对值表示了它距离零点的远近，而不考虑其正负。
取绝对值方法
在数学中，求绝对值通常是为了得到一个数的非负值。
以下是常见的取绝对值的方法：
1. 符号函数：对于一个实数x，可以使用符号函数来求取绝对值。
符号函数的定义如下：
- 如果x大于0，则绝对值为x。
- 如果x等于0，则绝对值为0。
- 如果x小于0，则绝对值为-x。
2. 使用绝对值符号：绝对值通常用竖线“| |”表示。
对于一个实数x，绝对值可以通过将x放在两个竖线之间来表示，即|x|。
3. 利用数学函数：在一些数学软件或编程语言中，通常会提供求绝对值的相关函数。
例如：
- 在数学中，绝对值也可以表示为|x| = √(x^2)，即数的平方根。
这个表示方法可以用于计算机程序中。
- 在Python编程语言中，可以使用abs()函数来获取一个数的绝对值。
例如，abs(-5)将返回5。
无论选择哪种方法，求绝对值的结果都是一个非负数。
绝对值是什么意思
绝对值是什么意思绝对值是什么意思？它到底代表了什么呢？关于这个问题，我们需要从两方面来看。
首先，它可以引申为事物之间最基本、重要、突出的联系和因果性；其次，它又指一切事物中必然存在而且不可缺少的那一部分，即数学上所谓的“实数”。
如果仅就实数这个角度去考虑，很明显地，1是最小的自然数（这里只讨论正整数）。
但若把这个“绝对值”加进去呢？由此产生的结果却大相径庭。
其区别究竟何在？难道它们并没有什么本质的差异吗？一般情况下，在日常生活中人们谈起绝对值，都认为只能用于量的多少方面。
例如在统计报告中的百分率或万分率等，它的数值与具体数字有着密切的联系，也反映着变化规律，而一旦涉及到纯数量时则往往用具体的数字予以替换。
可见，当它用于量的多少时，反映出的只是一种抽象的概念。
再如“100千克等于多少斤”，当我们用数字去代替它时，自然而然地会想到1000克=1公斤=500克等。
可是如果改成了：500克=10千克呢？毫无疑问，这样得出的答案就更加精确些。
当然，你同样可以采取将公斤换算成千克，或者用克去直接乘千克，但不管怎么变，所带来的效果总归比原来复杂一点，稍微麻烦一点罢了。
因为随着你每增减一位单位后，它们各自的比值就发生了改变。
这就是绝对值的本质特征——形式上简约了，内容上丰富了！不是，在我国古代著名的《孙子算经》里早已明确提出过：“一间之数为三，二间之数为五…九间之数为七十有二”。
《孙子算经》中所记述的这个十进制的筹算系统的世界里，虽然出现了高级的筹码和策码，甚至还有代数式，但其中仍然蕴含着绝对值的计算方法。
只不过这时的绝对值已不是单独运用数学符号来标志了，它只作为极端普通的整除性质，在实际运算时才被列入运算之列的。
那么在筹算这个具有浓厚的民族色彩的东西中为什么能包含着绝对值的数学计算呢？是因为它使用的具体单位是汉语中传统的计量词，亦称“文言词”。
众所周知，几乎在所有传统文言词里，“间”字都具有特殊的表义功能，即：一是在古代，“间”常兼有介词和副词双重功能，可译为“在”、“从”、“邻”等；二是“间”还可解释为距离短、空隙多、差错少，故在民间常称间隙或罅隙，喻意有机会的条件，如“走了许久的路程”中的“许久”即为“走了许久的路程”的意思。
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一、填空题1、小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,
-4万元表示________________．
2、一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米．
3、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作_________________________．
4、___________________统称为整数，_____________统称为分数，整数和分数统称为________________，零和负数统称为_________，零和正数统称为_______ 5．把下列各数分别填在相应集合中：
1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004．
负数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}；
7、在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。
8、与原点距离为 2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。
到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。
9、如果a 和b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的数和b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为.
10、.绝对值小于100的所有整数的和是.
11、如果两个异号的有理数的和是负数，那么这两个数中至少有一个数是___数，且它的绝对值较______．
12、五袋大米以每袋50千克为准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下：+4.5，-4，+2.3，-3.5，+2.5，这五袋大米共超过______千克，总重量是________千克．
13、下列括号内应填什么数?
(1)(-2)-(-5)=(-2)+(______)；(2)0-(-4)=0+(______)；
(3)(-6)-3=(-6)+(______)；(4)1-(+37)=1+(______)．
14、温度3℃比-7℃高_______；温度-8℃比-2℃低_______．
15小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是．
-5 0 1 6
二、选择题
1、下列结论中正确的是……………………………………………………………（）
A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数
C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数
2、下列说法中正确的是……………………………………………………………（）
A．有最小的负整数，有最大的正整数B．有最小的负数，没有最大的正数C．有最大的负数，没有最小的正数D．没有最大的有理数和最小的有理数3、点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B 时，点B所表示的实数是（） A 1 B －６Ｃ２或－６
Ｄ不同于以上答案
4、.一个数是7,另一个数比它的相反数大3.则这两个数的和是( )
A －3
B 3
C －10
D 11
5、下列说法中正确的是………………………………………………………………（）
A．一定是负数B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C．若则与互为相反数D．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数6、如果，则的取值范围是…………………………………………（）A．＞O B．≥O C．≤O D．＜O
7、+ = 0, 则y－x－的值是（）A －4 B －2 Ｃ－１Ｄ１
三、应用
出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大道上行驶的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下(单位：千米)：
+15 -3 +14 -11 +l0 -12 +4 -15 +16 -18
(1)最后一名乘客送到目的地时，小李下午距出车地点的距离为多少千米？
(2)若汽车耗油量为公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？
四、提升
1、将―4,―3,―2,―1, 0 , 1, 2, 3 ,4这9个数分别填入图中的方格中,使得横,竖,斜对角的3个数相加都得0.
2、观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-l，____，____，____，…；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____，____，____，…；
(3)- 1，，，，，，，____，____，____，…．。