复数的运算法则(二)
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数的概念及其运算法则
复数的概念及其运算法则复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分构成。
在本文中，我们将介绍复数的概念、表示方法以及复数的运算法则。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
虚数单位 i 是定义为√-1，虚数部分b 可以是任意实数。
复数的实部和虚部分别表示为 Re(z) 和 Im(z)，其中 z 是一个复数。
如果复数 z=a+bi 中实数部分 a=0，则该复数被称为纯虚数；如果虚数部分 b=0，则该复数被称为实数。
复数的模表示为 |z|，即复数 z 的绝对值。
复数的表示方法有多种形式，常见的包括代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即复数的标准表示形式 a+bi；三角形式通过模和幅角来表示复数，形如|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ 是复数的辐角；指数形式则是使用指数函数表示复数，形如|z|e^(iθ)。
二、复数的运算法则1. 复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算。
设z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的加法和减法如下：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i2. 复数的乘法复数的乘法可以通过实部和虚部进行计算。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的乘法运算如下：z1*z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的形式来实现。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，z2 ≠ 0，则它们的除法运算如下：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i需要注意的是，对于复数的运算，虚数单位 i 具有如下性质：- i^2=-1- i^3=-i- i^4=1这些性质在复数运算过程中应用广泛。
复 数 的 运 算 法 则
复数基础——复数的基本运算_2回顾复数复数的基本运算回顾复数将下列数字写成复数形式：简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。
如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。
a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。
为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。
我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。
复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。
复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。
现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。
回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。
怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。
可以写成：-21 = -21+0i0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。
同样的：7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。
复数的基本运算很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i，为什么，想想3i平方是多少？这是指数性质。
所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况：3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。
任何数乘以虚数单位i都是虚数。
解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一种概念，用于表示包含实部和虚部的数值。
它是实数的一种扩展，能够更灵活地描述和计算复杂的数值问题。
本文将从复数的定义、复数的表示形式，以及复数的运算法则三个方面来详细介绍复数。
一、复数的定义复数定义为具有真实部分和虚拟部分的数，可表示为a + bi 的形式。
其中，a 表示实部，是一个实数，bi 表示虚部，是一个实数乘以单位虚数 i。
实部和虚部的运算是独立的，虚部的系数 b 可以为正、负或零。
二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式表示，常见的有直角坐标形式和极坐标形式。
1. 直角坐标形式直角坐标形式是复数较为常用的表示形式，形式为 a + bi，其中 a表示实部，bi 表示虚部。
2. 极坐标形式复数也可以用极坐标形式表示，形式为r(cosθ + isinθ)。
其中，r 表示复数的模，θ 表示幅角。
三、复数的运算法则复数可以进行加、减、乘、除等运算，下面分别介绍每一种运算法则。
1. 复数的加法复数的加法遵循下列法则：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法复数的减法遵循下列法则：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 复数的乘法复数的乘法遵循下列法则：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
即实部相乘减虚部相乘，实部与虚部相乘后再相加。
4. 复数的除法复数的除法遵循下列法则：(a + bi)/(c + di) = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
即实部的计算为分子分母同时乘以除数的共轭，虚部的计算为分子分母同时乘以除数的共轭后取负。
综上所述，复数的定义、表示形式和运算法则都具有其独特的特点和规律。
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数的运算法则及公式
复数的运算法则及公式假设互联网的发展的短短的数十年，已经完成了一个重要的转折，迅速发展成为我们日常必不可少的一部分。
然而，互联网的运行在很大程度上取决于运算法则及公式，以便更好地辅助人们处理和解决网络上的各种问题，这就是复数的运算法则及公式。
对于复数的运算法则及公式的定义是指一种加法，减法，乘法和除法的规则，用于处理复数的运算。
正如那些熟悉数学的人都知道的，复数是在实数的基础上增加了虚数的概念的一种数字。
这使得复数的运算变得更加复杂，因为虚数部分就像实数的虚幻一样，涉及许多复杂的定义。
掌握复数的运算法则及公式最基本的法则规则之一就是几何体中复数的乘法。
在几何体中，一个复数由它的实部（x）和虚部（y）唯一确定。
因此，由除以乘法法则，两个复数相乘可以表示为：（x1 * x2 - y1 * y2） + （x1 * y2 + y1 * x2）i。
另一个重要的复数运算法则及公式是对复数的偏导数的运算。
其定义为，当复数的自变量发生变化时，由复数的实部和虚部自动求出一个实数或虚数。
例如，如果给定一个复数，z = x + iy，则偏导数可以表示为：dz/dx = 1; dz/dy = i。
最后，不可空运算法则及公式也是复数的运算法则及公式中重要的一部分，也是互联网中应用最广泛的一类数学运算法则及公式。
其定义为，在不变点运算中，如果把发生变化的复数实部和虚部传递给复数的另一个实部和虚部，则之间的关系也不会改变。
例如，如果一个复数的实部发生变化，则虚部也会如此，这样可以避免复数在发生变化时出现混乱的情况。
另外，不可空运算法则及公式在许多计算机编程语言中也有广泛的应用。
总之，复数的运算法则及公式是保持互联网正常运行的基础。
复数的运算法则及公式有助于处理复数，如几何体中复数的乘法，偏导数运算和不可空运算以及许多计算机编程语言中的应用，都是为了保证。
复数的概念与运算法则
复数的概念与运算法则复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数组成。
实数是我们日常生活中常见的数，而虚数则是实数无法解决的问题所引入的一种数。
复数的引入为解决实数范围内无解的问题提供了新的数学工具。
在本文中，我们将探讨复数的概念以及它们的运算法则。
首先，我们来了解一下复数的定义。
复数是由实部和虚部组成的数，通常用z 来表示。
实部和虚部分别用x和y表示，其中x和y都是实数。
一个复数z可以表示为z = x + yi，其中i是虚数单位，满足i² = -1。
虚部y乘以虚数单位i就得到了虚数部分。
复数的概念引入之后，我们需要了解复数的运算法则。
复数的加法和减法与实数的运算类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，给定两个复数z₁= x₁ + y₁i和z₂ = x₂ + y₂i，它们的和z = z₁ + z₂可以表示为z = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i。
同样地，它们的差可以表示为z = (x₁ - x₂) + (y₁ - y₂)i。
复数的乘法是复数运算中的另一个重要法则。
两个复数z₁ = x₁ + y₁i和z₂ = x₂ + y₂i的乘积可以表示为z = z₁ × z₂ = (x₁ + y₁i) × (x₂ + y₂i)。
根据乘法分配律和虚数单位i的性质，我们可以展开这个乘法运算，得到z = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i。
这个结果也是一个复数，其中实部是x₁x₂ - y₁y₂，虚部是x₁y₂ + y₁x₂。
除了加法和乘法，复数还有一种特殊的运算法则，即求模运算。
复数的模表示复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
对于一个复数z = x + yi，它的模可以表示为|z| = √(x² + y²)。
求模运算是复数运算中的一种重要操作，它可以用来计算复数的大小。
在复数的运算中，除法运算是一种相对复杂的运算法则。
复数的四则运算
练习、计算
• 1.
(1).(3 4i)( 2 3i) (2).(7 6i)( 3i) (3).(1 2i)(3 4 i)( 2 i) (4).( 3 2i)( 3 2 i) (5).(1 i)
2
• 2
1 i (1). 1 i 1 (2). i 7i (3). 3 4i ( 1 i )(2 i ) (4). i
复数除法的法则是: ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c di 0. c d c d
由此可见 , 两个复数相除 除数不为 0 , 所得的商 是一个确定的复数 .
在进行复数除法运算时通常先把 a bi c di , a bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c di 共轭复数 c di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".
例2 计算1 2i3 4i 2 i.
解
例3
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i. 2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 , 公式计算.
例4 计算 1 2i 3 4i.
解 1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 3 8 6i 4i 2 2 3 4
1 2i3 4i 3 4i3 4i
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
复数的四则运算
5.有关正整数指数幂的运算结论： （1）i1 =i (2)i4k = 1 i2 = −1 i4k+1 = i i3 = −i i4k+2 = −1 i4 = 1 i4k+3 = −i (k ∈ N) 1+i = i 1−i 1−i = −i 1+i
(3)(1 + i)2 = 2i
6. 复数的除法：
2.复数的乘法： 设z 1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d ∈ R) z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc) i 两个复数的积仍然是一个复数； 复数的乘法与多项式的乘法是类似的（即两个二项式相乘） 其中i2 = −1，要把i2换成-1。
(1 − i)2 = −2i
令z1 = a + bi, z2 = c + di.(a,b,c,d ∈ R) z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) + (bc − ad) i = = = z2 c + di (c + di)(c − di) c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 + 2 i (其中c,d不全为0） 2 2 c +d c +d 分式中的分子、分母都乘上分母的共轭复数，使分母实数化， 分子上就成了两复数的相乘。
7. 模与共轭复数的相关性质： （1）zz = z
2
= z
2
≠ z2;
(2) z = z ; (3) z1z2 = z1 z2 ; z1 n z1 n = (z2 ≠ 0); z = z ； z2 z2
复数运算法则
复数运算法则复数可以定义为一种数学概念，它由实数和虚数组成，比如：a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，它有着独特的运算法则。
一、关于复数的加减乘除1、加法：复数的加法运算比较简单，该法则定义的是，实部之和的和虚部之和的和即为两个复数的总和，如(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,其中a,b,c,d都为实数。
2、减法：在减法运算中，该法则定义为，第一个复数减去第二个复数，实部之差和虚部之差即为差，如(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3、乘法：在乘法运算中，该法则定义为，复数的乘积的实部为实部的乘积之差，虚部的乘积之和，如(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4、除法：在除法运算中，该法则定义为，复数的商的实部为复数实部和虚部的乘积之和除以实部和虚部的乘积之差，虚部的商为复数虚部和实部的乘积之和除以实部和虚部的乘积之差，如(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c+d)]+[(bc-ad)/(c+d)]i。
二、关于复数的指数和根1、指数：在幂运算中，该法则定义为，复数的n次幂为实部的n次幂乘以虚部的n次幂的复数，如(a+bi)=(a+ bi).2、根：在开k次根运算中，该法则定义为，复数的k次根为实部的k次根和虚部的k次根的加权平均，如(a+bi)/k=[(a+bn)/k]+[(an+b)/k]i.三、关于复数的联立方程解联立方程解是复数运算法则的另一重要组成部分，当一个复数问题时，可以将其分解为多组联立方程，然后逐步解决，比如：若要求解复数ax+bx+c=0，其中a,b,c皆为实数，则其输出结果为：x=[-b±√(b-4ac)]/(2a)以上就是复数运算法则的简要介绍，可以看出，复数运算法则既丰富又复杂，同时它在解决复杂问题时显得尤为重要。
复数的运算不仅可以增加我们处理复数问题的准确性，而且可以加深我们对复数的理解，这也是其存在的价值所在。
复数运算规则
复数的乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.复数的除法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i ②利用(c+di)(c－di)=c^2+d^2.于是将的分母有理化得：原式= c^2-cdi+cdi-d^2×i^2 =c^2+d^2 ∴(a+bi)÷(c+di)= (ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法复数的除法法则。
复数的运算法则
复数的运算法则复数是数学中一个非常有趣而且重要的概念。
它由实数和虚数构成，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
在实际应用中，复数的运算法则起着至关重要的作用。
本文将探讨复数的基本运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
加法是复数运算中最基本的操作之一。
两个复数相加，只需将它们的实部和虚部分别相加即可。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
这个运算法则与我们熟悉的实数相加的法则相似，使得复数的加法变得简单而直观。
减法也是复数运算中的一个重要操作。
两个复数相减，只需将被减数的实部和虚部分别减去减数的实部和虚部即可。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
减法的运算法则与加法类似，使得复数的减法变得简单明了。
乘法是复数运算中的另一个关键操作。
两个复数相乘，可以使用分配律和虚数单位的性质来计算。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
这个运算法则在实际应用中非常有用，特别是在电路分析和信号处理等领域。
除法是复数运算中最复杂的操作之一。
两个复数相除，可以使用分数的乘法逆元和复数的乘法法则来计算。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的商为[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
这个运算法则在复数的除法运算中起着至关重要的作用。
除了基本的复数运算法则，还有一些其他的运算法则可以进一步扩展复数的运算能力。
例如，幂运算是复数运算中的一个重要操作。
复数的幂可以通过将复数展开为极坐标形式来计算。
例如，对于复数a+bi，它的幂可以表示为r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r是复数的模，θ是复数的辐角，n是幂的指数。
这个运算法则在复数的幂运算中起着重要的作用，使得我们能够更加灵活地处理复数的运算问题。
此外，还有一些复数的运算性质值得我们深入探讨。
例如，复数的共轭是指将复数的虚部取负号得到的新复数。
复数的运算法则
复数的运算法则1.复数的表示形式（1）代数形式共轭复数F*=a-jb在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
实部(real part)：Re[F] = a；虚部(imaginary part)：Im[F] = b。
复数可用复平面上的向量表示(如图所示)。
（2）三角形式F=|F|(cosθ+jsinθ)|F|为复数的模，θ为复数的幅角，θ=argF。
则|F|=θ=arctan(b/a)。
且a=|F|cosθ，b=|F|sinθ 。
（3）指数形式(exponential form)（4）极坐标形式(polar form)F=|F|<θ2.复数的基本运算（1）加减运算复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面中使用平行四边形法则。
设F1 = a1 + jb1，F2 = a2 + jb2，有平行四边形法则：（2）乘除运算复数的乘除运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
①指数形式即复数乘积的模等于各复数模的积；辐角等于各复数辐角的和。
②极坐标形式（3）旋转因子复数ejθ = cosθ + jsinθ = 1∠θFejθ →复数F逆时针旋转一个角度θ ，模不变+j ，–j，-1 都可以看成旋转因子。
若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。
若一个复数除以j ，等于把该复数乘以-j ，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2。
（4）相等运算两个复数相等必须满足：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。
若F1 = F2，则必须有或。
复数的乘法与除法
例6计算
( 1 3i ) 3 6 (1 i )
( 1 3i ) 3 解： (1 i ) 6
1 3 3 2 ( i) 2 2 3 ( 2i )
3
8 1 i. 3 8i i
4 例7 求复数 z，使 z 为实数，且 | z 2 | 2. z 解：设 z a bi , ( a , b R , a 2 b 2 0) 4 4 z a bi z a bi 4( a bi ) a bi 2 2 a b 4a 4b a 2 (b 2 )i 2 2 a b a b
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
(4 3i )( 1 7i ) 例4：已知z ，求 z 2 i
(4 3i )( 1 7i ) 解： z 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
i的乘方规律
i i, i 1, i i i i, i 1
1 2 3 2 4
从而对任意
n N
4n2
，
4 n3
i
4 n 1
i, i
1, i
i , i
复数的运算
复数的运算加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
在极坐标下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)。
对于复数a+bi,r=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)。
此时，复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。
所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c2+d2) y=(bc-ad)/(c2+d2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2) +((bc-ad)/(c2+d2))i②利用共轭复数将分母实数化得（见图1）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化。
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3、复数的乘方：
对任何 z , z1 , z2 C 及 m , n N ，有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z 2
mn
特殊的有：i
3 2
1
i i 1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
例2.计算
(1 2i) (3 4i)
i 2i (1-i)2= -2 练习1 .计算: (1+i)2= ___; ___;
1 i 1 i i -i ____; ____; 1 i 1 i
1 i 2000 1 ( ) ______. 1 i
练习
2.计算 ( 2 2i ) . 5 (1 3i )
4
1 3i
i i i i
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
例1 设 1 3 i ，求证：
2 2 2 3 1 0 1. （1） ；（2）
1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 1 1 ( i ) ( i) 证明： （ （2 1） ） ( i) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3i 2( 1 1)2 2 3 1 3 i ( 3 i )2 ( 2 2 i ) ( 2 i )2 2 2 2 2 2 2 1 3 11 33 3 1 3 ( ii )( i i) 2 2 4 2 2 2 2 2 4 0; 1 2 3 2 ( ) ( i ) 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
__
__
(1 i ) 2i;
2
③
1 i; i
1 i i; 1 i
1 i i. 1 i
复数的除法法则
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
4 1 4 2 4 4 2 2
注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
a bi 记做(a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i2002-2003i+2004) =501(2-2i) =1002-1002i. 3.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值.
解:
x1, 2 1 i ,
x x (1 i ) (1 i ) (2i ) (2i ) 8.
3.(2003年高考题)
1 3 3 i)
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
__ 1 3 3 2 2 i ②设 ,则有: 1; ;1 0. 2 2
1 3 1 4 4
结论：
1 ;
3
1 3 设 i ,则 2 2
__
; 2 1 0 .
2
__
__
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
练习
1 3 6 1.计算 ( i) . 2 2
1
2.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;