高等数学(A)下2010级期中试卷[1]
-2010高数下期中答案
彭晓华授课班 高等数学（下）期中考试试卷本次考试 90 分钟， 25 道小题，共计 4 页，总分 100 分订装（装订线内不准做 1.平面0122=-++z y x 和0322=+++z y x 之间的距离为（A ）4 （B ）2 （C ）34 （D ）32 2.曲面 3=+-xy z e z 在点（0,1,2）处的切平面方程为（A ）042=-+y x （B ）062=-+y x （C ）062=-+y x （D ）042=-+y x 3.计算dV z I ⎰⎰⎰Ω=的值，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）4π （B ）0 （C ）2π（D ）π 4.将dV z y x f ⎰⎰⎰Ω++)(222化为球面坐标系下的三次积分，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）⎰⎰⎰1224020sin )(rdr r r f d d φφθππ（B ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10222020sin )(dr r r f d d（C ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10224020sin )(dr r r f d d （D ）⎰⎰⎰φππφφθcos 0224020sin )(dr r r f d d5.已知x x x f =)2,(，且2)2,(1='x x f ，则=')2,(2x x f（A ）1 （B ）2 （C ）21 （D ）21- 6.设 D 由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，确定以下积分大小的顺序 dxdy y x I D⎰⎰+=71)( ,dxdy y x I D⎰⎰+=72)][sin(，dxdy y x I D⎰⎰+=73)][ln(（A ）132I I I << （B ）123I I I << （C ）213I I I << （D ）无法确定 7.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为8.函数 32--=yz xyz u 在点 )1,1,1( 处沿方向 k 2j 2i l ++= 的方向导数为（A ）31- （B ） 31（C ）1- （D ）19、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪200222222在点(0,0)处：(A)连续且偏导数存在 (B)不连续且偏导数不存在(C)连续但偏导数不存在 (D) 偏导数存在但不连续10.过点M )1,1,1(且同时垂直于{}1,3,21=s 和{}2,1,32=s 的直线方程为（A ）611151--=--=-z y x （B ）710151--=-=-z y x （C ）712151--=-=-z y x （D ）711151--=--=-z y x 11.设xy y x z arcsin )1(4-+=，那么(1,1)zx∂∂=（ ）。
2010级高等数学(下)期中试卷参考解答
2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级 姓名 学号 成绩 一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。
二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。
三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。
四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。
七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。
八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。
十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问： （1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。
（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。
2010-2011 第二学期 高等数学 期中考试 答案
中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、 填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或 设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。
2010(秋)《高等数学A1》期中考试题及参考答案.
2010（秋）《高等数学A1》期中考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．若时，与是等价无穷小，则__________.（答案：1）2．若是可导的奇函数，且，则__________.（答案：）3．设，且存在，，则微分__________.（答案：）4．曲线的凸区间为__________.（答案：）5．抛物线在点(2, 4处的曲率半径＝.（答案：）二、选择题（每小题3分，共15分．每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，请将你认为正确的代号填在题中横线上）1．1．设在开区间内连续，则（D）.(A 在内有界； (B 在内能取得最大值与最小值；(C 在内有零点； (D 当单调时，存在反函数2．曲线的渐近线情况是____C_____.（A）有且仅有水平渐近线；（B）有且仅有铅直渐近线；（C）既有水平渐近线又有铅直渐近线；（D）既无水平渐近线又无铅直渐近线．3．设函数在的某邻域内有连续的二阶导数，且，则D ．（A）是的零点；（B）为极小值点；（C）当时，为拐点；（D）当时，为拐点．4．设满足，若且，则函数在点A ．（A）取极大值；（B）取极小值；（C）在某邻域内单调增；（D）在某邻域内单调减.5．设，则（Ｂ）.(A ；(B ； (C ；(D三、求解下列各题（每小题5分，共20分．要求有解题过程）1．解：= 1.2．设求．解：，．3．设函数是由方程所确定的隐函数，求曲线在点处的切线方程.解：，将点代入得．4．设，求．解：，，．．．．．．．．．．．．．．．．或者，，．四、（本题满分10分）已知在处有二阶导数，试确定常数．解：（1）由在处连续得，．（2），，由得．（3），由得．五、（本题满分10分）设具有二阶导数，且，求．解：．因为，所以，而连续，故，于是，所以，故原式＝．六、设都在区间上可导，证明：在的任意两个零点之间，必有方程的实根.证: 设……………3分则在的两个零点间满足罗尔中值定理条件,使，……………5分即即为所求.七、（本题满分10分）过曲线任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为，求的最小长度以及的长度达到最小时的切点坐标．解：曲线上任一点的切线斜率为，．曲线上任一点处的切线方程为，可化为．令，令，故，，，，得到，此时，故．因此的最小长度为，的长度达到最小时的切点坐标为．八、（本题满分10分）设在[0，]上连续，在（0，）内可导，且证明，使得.证: 设，……………3分由于在[0，]上满足罗尔中值定理条件使，………………5分即，所以有.。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
2010年秋季高一数学期中考试参考答案(打印版)
参考答案
一、选择题:
1．C解析:①中 ，两个函数的值域不同；②中 与 解析式不同；③④中函数的定义域、对应关系都相同；
2．D解析:A※B= ，子集个数为 ；
3．C解析:
4．A解析: 在 上是递增函数，而 是奇函数，均不符合；
5．D解析:当 ， ，设 且 ；由题知:
；又由 为奇函数，可得: ，所以 ；由奇函数图象特征，易知 在 上为增函数；
∴
②当 ＞0时， ＜0，由已知得 ＞1，
又 ， ，
∴0＜ = ＜1，即 ＞0时，0＜ ＜1.
③任取 ＜ ，则 ，
∵ ＜0，∴ ＞1，又由(1)(2)及已知条件知 ＞0，
∴ ＞ ，∴ 在定义域 上为减函数.
(2) =
又 ， 在 上单调递减.
∴原不等式等价于 ≤0不等式可化为 ≤0
当2＜ ，即 ＞ 时，不等式的解集为 ≤ ≤ ；
(3)易知 是 上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为 ，则 ；故 是 的两个不等根，即方程组为:
有两个不等非负实根；
设 为方程 的二根，则 ，
解得: 的取值范围
10．A解析:设 则 ，因为 在 上单调递增，由图象可知函数 也是单调递增，由复合函数的单调性可知 在定义域上递增，故 ；又 ，由图象可知: ，则 ，解得
二、填空题:
11．4
12．-1解析:由 ， 知 ，所以只能 ，所以 ，此时 ， ，所以 ，又 ，所以 ；代入即可得；
13． 解析:令 ，即 ；设 ，则 ， ；所以 ，
，即 ，此式对于任意 都成立等价于 ，因为 ，所以 ，所以 ；代入(2)式得: ，即 对于任意 都成立，相当于 ，从而 的取值范围为 ；
(2)对于任意 ，且 ，由 ，得 ，所以 ， ，从而
2010级第二学期高等数学A期中试卷答案 2
1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积.解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程. 2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分 于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
高等数学下册期中考试题(答案)
K b
= 19 ，
K a
+
K b
= 24 ，则
K a
−K b=． Nhomakorabea2、设 x2 + 2xy + y + zez = 1，则 dz =
.
(0,1)
∫ ∫ e
ln x
3、设 f (x, y) 为连续函数，交换积分次序： dx f (x, y)dy =
1
0
.
y
4、函数 f (x, y, z) = x z 的梯度为 grad f (x, y, z) =
所求的最大值为 f (1, 0) = 4 ，最小值为 f (−1, 0) = −4 ……………….………..….【12】
2
2009－2010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准
3
六、【9 分】解：由 ∂z = x , ∂z = y 得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 = 2 ….….….….….【3】
.
∫∫ 5、设 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 } ，则 ( x2 + y2 )dxdy =
D2 3
.
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号。
二． 试解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
1、【7
分】已知直线
2
５、解： lim (x, y)→(0,0)
xy 2 − exy
= lim xy( −1 (x,y)→(0,0)
2 − exy 1− exy
+ 1)
……………….....
高等数学第二学期期中考试试卷及答案
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a ϖϖ且,),(3π=∠b a ϖϖ则_______)()(=+⋅-b a b a ρϖϖϖ32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。
根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。
2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。
3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。
y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。
上海交通大学 2010-2中 高数试卷(A)
2010级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数21,0(,)0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(,)f x y 在(0,0)点 【 】(A ) 连续，且可偏导. (B ) 沿任何方向的方向导数都存在. (C ) 可微，且(0,0)d 0.f= (D ) (,)x f x y 和(,)y f x y 在(0,0)点连续.2. 设有三元方程ln e 1xy xy z y -+=. 由多元隐函数存在性定理，在(0,1,1)的某邻域内，该方程 【 】 (A ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =. (B ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =. (C ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =. (D ) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =.3. 设函数()f u 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f u f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是 【 】(A )(0)1,(0)0f f ''<<. (B )(0)1,(0)0f f ''>>. (C )(0)1,(0)0f f ''<>. (D )(0)1,f f ''>4. 如图，单位圆域221x y +≤被直线y x =±四个区域k D (k =1,2,3,4)，记cos d d kk D I x y x =⎰⎰则14max{}k k I ≤≤等于 【 (A )1I . (B )2I . (C )3I . (D )4I .5. 设D 是由曲线22(231)(43)1x y x y ++++-=围成的平面闭区域，则二重积分22[(231)(43)]d d Dx y x y x y ++++-⎰⎰之值为 【 】(A )π. (B )1π5. (C )1π10. (D )2π5.二、填空题（每小题3分，共15分）6. 极限22200sin()lim x y x y x y →→+＝ .7. 设函数()f t 可导，且2(e )1f '=. 又(,)()y u x y f x =，则(e,2)d u =_________.8. 曲线2221224x y z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点(1,1,2)-处的切线方程为: .9. 交换二次积分的次序：122(1)1d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.10. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由直线1,0x y ==和y x =所围成的有界闭区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ .三、（本共题8分）11. 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(1,1)1f =，(1,1)x f a =，(1,1)y f b =， 又()(,(,))x f x f x x ϕ=，求(1)ϕ及(1)ϕ'. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） 12.计算}221min)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D ：224x y +≤.13. 计算()22d d d I ax by cz x y z Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω为椭球体2222221x y z a b c ++≤.五、应用题（每小题8分，共16分）14.设物体位于1z Ω≤≤，其体密度函数为||e z ，求此物体的质量. 15. 求柱面122=+z x 介于平面0=y 和2=+y x 之间部分曲面的面积. 六、（每小题10分，共20分）16.设r =(,)()u x y f r =，其中()f r 具有二阶连续导数.(1) 把u ∆=2222u ux y∂∂+∂∂表示成r 的函数；(2) 若u 满足方程223/2()u x y -∆=+，求函数()f r . 17. 在曲线412y x =上求一点P ，使P 到直线220x y --=的距离最短，并求此最短距离.七、证明题（本题共6分）18. 设函数(,)f x y 在圆域D ：224x y +≤上可微，且|(,)|1f x y ≤. 证明：存在D 的内点00(,)x y ，使得()()220000(,)(,)1x y f x y f x y +<.。
2010年秋季高一数学期中考试参考答案
2010年秋季高一数学期中考试参考答案一、选择题：1． C 解析：①中，两个函数的值域不同；②中与解析式()0,()0f x g x ≥≤()g x x =()f x 不同；③ ④中函数的定义域、对应关系都相同；2． D 解析：A ※B=，子集个数为；{1,2}224=3． C 解析：01p m n <<<<4． A 解析：在上是递增函数，而是奇函数，均不符合；,B C (0,1)D 5． D 解析：当，，设且；由题知： ]7,3x ⎡∈--⎣]3,7x ⎡-∈⎣]03,7x ⎡-∈⎣0()5f x -=；又由为奇函数，可得：，所以0()()5f x f x -≥-=()f x 0()()5f x f x -≥-=；由奇函数图象特征，易知在上为增函数；0()()5f x f x ≤=-)(x f ]3,7[--6． B 解析：集合表示的值域，；集合表示的定义M 21y x =-[)1,y ∈-+∞N 21y x =-域，，； 230x -≥x ⎡∈⎣7． B 解析：二次函数的对称轴为，图象开口向下；由与在区间 ()f x x a =()f x ()g x ]2,1[上都是减函数，则应满足：且，解得：1,a ≤11a +>01a <≤8． C 解析：，得，解得：;又，所以123222x -≤<123x ≤-<11x -<≤x ∈Z ；{0,1}A =，得或，且，解得：或，所以 2log 1x >2log 1x >2log 1x <-0x >2x >102x <<，，= ()10,2,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭ 1(,0],22B ⎡⎤=-∞⎢⎥⎣⎦R ð()A B R ð{0,1}9． D 解析：由题可得：，，令12()log f x x =2212(4)log (4)f x x -=-24,u x =-12log y u =在定义域上是减函数，由复合函数单调性可知：的单调增区间应为的2(4)f x -24u x =-单调减区间，且在该区间上；故0u >[0,2)x ∈10．A 解析：设则，因为在上单调递增，由图21,x t b =+-()log a f x t =21x t b =+-R象可知函数也是单调递增，由复合函数的单调性可知在定义域上递增，故()f x log a y t =；又，由图象可知：，则1a >0(0)log (21)log a a f b b =+-=1(0)0f -<<，解得1log 0a b -<<101a b -<<<二、填空题：11．412．-1 解析：由，知，所以只能，所以，此时M N =1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0b ≠0a b =0a =，，所以，又，所以；代入即可得；}{1,0,M b =}{20,,N b b =21b =2b b ≠1b =-13． 解析：令，即；设，则，；所132,x y ==P ()f x x α=2α=12α=-以， 12()f x x -=()193f =14． 解析：, 即所以,即11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭0x A ∈010,2x ≤<001()2f x x =+0111,22x ≤+<即，所以，即01()1,2f x ≤<0()f x B ∈000[()]2[1()]12f f x f x x A =-=-∈，解得：又由，所以 010122x ≤-<011,4x <≤010,2x ≤<01142x <<15． 解析：因为为偶函数，且当时为增函数，(,0)(4,)-∞+∞ ()f x 0x ≥8)(3-=x x f 则时，为减函数；，所以可得：，解得：0x ≤)(x f (2)0(2)f x f ->=22x ->0,x <或4x >三、解答题：16．证明：（1）由题知的定义域为 ()f x R 所以为奇函数； 31(31)313()()31(31)313x x x xx x x x f x f x --------====-+++A A ()f x （2）在定义域上是单调增函数；任取，且12,x x ∈R 12x x < 2121212112212(33)313122()()(1(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++A12x x < 2112330,310,310x x x x ->+>+>∴21()()f x f x ∴>为上的单调增函数；()f x ∴R 17．解：（1）解||≥1得：或或；1x -0x ≤2x ≥{0,A x x ∴=≤}2x ≥函数的自变量应满足，即 ()f x x 3201x x +-≥+(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨+≠⎩或或；∴1x <-1x ≥{1,B x x ∴=<-}1x ≥或，或，{1,A B x x =<- }2x ≥{0,A B x x =≤ }1x ≥()U C A B ⋃{}01x x =<<（2）函数的自变量应满足不等式。
大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案
大学高等数学统考卷下（10届）期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. f'(0)存在B. f'(0)不存在C. f(x)在x=0处连续D. f(x)在x=0处不可导2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个极值点B. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个拐点C. f(x)在区间(a, b)内恒为常数D. f(x)在区间(a, b)内单调递增3. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to +∞) n^2B. ∑(n=1 to +∞) (1)^n / nC. ∑(n=1 to +∞) 1 / nD. ∑(n=1 to +∞) n / 2^n4. 设函数f(x)在区间(0, +∞)上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(0, +∞)上单调递增B. f(x)在区间(0, +∞)上单调递减C. f(x)在区间(0, +∞)上存在极值点D. f(x)在区间(0, +∞)上恒为常数5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，下列积分中正确的是（）A. ∫(a to b) f(x) dx = 0B. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) + f(b)C. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) f(b)D. ∫(a to b) f(x) dx = (b a) f(a)二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ______。
2. 设函数f(x) = e^x，求f''(x) = ______。
3. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f'(x) = ______。
2010年秋季高一数学期中考试试题
2010年秋季高一数学期中考试试题2010.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与()g x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A. ① ② B. ① ③ C. ③ ④ D. ① ④2．设集合A={1，2}, B={0，1}，定义运算A ※B={z|z=,,}x x A y B y∈∈,则集合A ※B 的子集个数为（ ） A.1 B.2C.3D.43．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则m 、n 、p 的大小关系（ ）A.p n m <<.B.n p m <<C.n m p << D ．m n p << 4．下列函数中，在(0,1)上为单调递减的偶函数是（ ） A. 2-=xy B. 4x y = C. 21x y = D ．13y x =-5．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A. 减函数且最小值是5- B.. 减函数且最大值是5- C . 增函数且最小值是5- D . 增函数且最大值是5-．6．已知集合2{|1,}M y y x x ==-∈R ,{|N x y =∈=R ，则M N = （ ）A.)}1,2(),1,2{(-B.]3,1[-C.]3,0[D.∅7．若ax x x f 2)(2+-=与x a x g -+=1)1()((1a >-且0)a ≠在区间]2,1[上都是减函数,则a 的取值范围是（ ）A.)0,1(-B.]1,0(C.)1,0(D.(1,0)(0,1)- 8．若{}2228xA x -=∈≤<Z ，{}2log 1B x x =∈>R ，则()A B R ð的元素个数为（ ）A.0B.1C. 2D. 39．函数()f x 与的图像与1()()2xg x =图像关于直线y x =对称，则的2(4)f x -的单调增区间是（ ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (2,0]-D. [0,2) 10．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C.101ba -<<<D ．1101ab --<<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算11(lg9lg 2)229416()100log 8log 9--++ =_______． 12．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______． 13．函数()log 23a y x =-的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f = _______．14．设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数()f x =()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若0x A ∈, 且0[()]f f x ∈A,则0x 的取值范围是_______．15．已知偶函数()f x 满足()08)(3≥-=x x x f ，则(2)0f x ->的解集为_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《高等数学A下》期中模拟自测答案
《高等数学A下》期中模拟自测答案《高等数学》期中考试试卷一、填空题( 10 3 30分) (1) 点A(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 2原点O在该平面上，故d OA n n (2,1,0) (3,4,5) 3 4 52 2 2. 2(2) 三角形ABC内一点O满足OA 2OB 3OC 0, 1: 3 则三角形AOC和三角形ABC面积之比为.1 1 S ABC 12 AB AC 2 OB OA OC OA 2 OB OC OA OA OCOB1 21 S ABC 1 OB OC OA OA OC2 23OC OA1 2OA 3OC OC OA OA OC3 2OA OC 3S AOC(3) 过P 1, 2, 1 且与直线x t 2, y 3t 4, z t 1 垂直的平面方程x 3y z 4 0 .直线的方向向量s ( 1,3,1)即是所求平面的法向量 .( x 1) 3( y 2) ( z 1) 0z (4)设z ln( x y ),则x2 2x 1, y 11z x2x 2 2 x y x 1, y 11x 1, y 1(5) 二元函数z z x, y 由方程2 xy 2 xyz ln( xyz ) 0所确定，则z z 2 yz x 2 xyz 1 x.两边对x求偏导( z是x和y的函数)得yz xyz x 2 y 2 y z xz 0 x xyz yz 1 即2 y 2 yz 2 xy z x 0 xyz z 解之即得f t(6) 设f ( x, t ) x at (u )du , (u ) 为连续函数，则x ata ( x at) ( x at).f ( x at )a ( x at )( a ) t(7) 设z ex y,则dz 2,1e dx 2e dy2 2.dz( 2 ,1)( ye xy ) ( 2,1) dx ( xe xy ) ( 2,1) dyx2 y 2 z 2 6 (8) 曲线: 在点1, 2,1 处的法平面方程x y z 0 2 y 2 z 2 x 2 z n , 1 1 1 1 p 2 yy 2 zz 2 x 两边对x求导得n 6 ,0 ,6 y z 1为x z 0 .p2 y 2 x , 1 1p(9) 交换积分次序1 x2dy 02 112 y 2 y2 x 2 0f ( x, y )dxf ( x, y )dydx f ( x, y )dy dx 0 0(10)交换积分顺序1 0dx 2 f ( x, y)dy 0 dy y f ( x, y)dx1 yxx.二、单项选择题( 5 3 15 分)a b c 0, 则a b b c c a ( D ). (11)设向量a, b, c 满足：(A) 0 , (B) a b c, (C)b c,(D) 3 a b .(12)函数f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 连续是f ( x, y) 在该点处存在偏导数的( D ). (A)充分条件,(B)必要条件,(C)充要条件,(D)无关条件. (13)设 f ( x, y) 为连续函数，则积分0 d 0 f (r cos , r sin )rdr 等于( C). (A) (C) /412/202/2dx1 x2x1 y 2f ( x, y)dy,f ( x, y )dx,(B) (D)2/2dx1 x2f ( x, y)dy,dyy2/2dy1 y2f ( x, y)dx.(14)设f(x, y)与( x, y )均为可微函数，且y ( x, y) 0 ,已知( x0 , y0 )是f(x, y)在约束条件( x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(D). (A)若 f x ( x0 , y0 ) 0,则 f y ( x0 , y0 ) 0, (B)若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0, (C)若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0, (D)若f x ( x0 , y0 ) 0 ,则f y ( x0 , y0 ) 0x yf x x 0f y y 0(15)设D 是xOy 平面上以(1,1), ( 1,1), ( 1, 1)为顶点的三角形区域，D1 是 D 在第一象限的部分，则积分xy cos x sin y dxdyD等于( A ). (A) 2 cos x sin ydxdy;D11(B)(C) 4 D xy cos x sin y dxdy , (D) 0.2 xydxdyD1三、计算题( 5 10 50分) x 5y z 0 (16)求过直线且与平面x 4 y 8z 12 0 夹成4 x z 4 0 角的平面方程.解法1 : 过直线L的平面束方程为x 5 y z ( x z 4) 0题中已知平面的法向量为n2 (1, 4, 8)从而即(1 ) x 5 y (1 ) z 4 0 其法向量为n1 (1 , 5,1 )cos 4n1 n2 n1 n234所求平面方程为x 20y 7 z 12 0容易验证，平面x z 4 0也合于要求 .x y b 0 在平面上，而平面与曲面(17)设直线x ay z 3 0z x 2 y 2 相切于点P 1, 2,5 , 试求常数a, b.解: 曲面z x y 上点P(1, 2, 5)处的法向量为2 2n 2 x, 2 y, 1 (1, 2, 5) (2, 4, 1)所以切平面的方程为2( x 1) 4( y 2) ( z 5) 0即2x 4 y z 5 0将直线方程y ( x b), z x a( x b) 3代入平面方程得2 x 4( x b) x a( x b)3 5 0即(5 a) x (4b ab 2) 05 a 0 因而4b ab 2 0即a 5, b 2.x (18)二元函数z xy f ( xy, ),其中f 具有二阶连续的偏导数，y 2 z 求 . x y解:z 1 y yf1 f 2 x y x 1 2 z 2 f 2 1 f1 y xf11 2 f12 x y y y x 1 xf 21 2 f 22 y y 1 x 2 f 22 1 f1 2 f 2 xyf11 y y(19)求函数并研究在点0, 0 处该函数的全微分是否存在？2 2 解：当x y 0时，f ( x, y)有连续的偏导数x2 y 2 2 , x y 0 4 2 f ( x, y ) xy 2 2 0 , x y 0的全微分，2 xy 4 x y f x 4 2 x y x 4 y 2 25f yx 2x y 4 2 x y x 4 y 2 2222由定理可知，当x2 y 2 0时，f ( x, y)有全微分当x2 y2=0时，易知f x (0,0) f y (0,0) 0但是z [ f x ( 0, 0) x f y ( 0, 0) y]此处= ( x) 2 ( y ) 2o,所以在(0,0)处不存在微分。
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南京邮电大学2009/2010学年第二学期
《高等数学A 》(下）期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名
一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）
1、函数z xy u 2
=在点)111(，，M 处沿方向}1,2,1{=的方向导数为( )
(A ) 6 (B ) 6 (C ) 0 (D ) }1,2,1{
2、交换二次积分
⎰
⎰
y y dx y x f dy 220
2
),(的积分次序为 （ ）
(A ) ⎰
⎰
y y dy y x f dx 2202
),( (B )
⎰
⎰
x x dy y x f dx ),(40
(C )
⎰⎰x
x dy y x f dx 220
),( (D )
⎰⎰x
x dy y x f dx 2
40
),(
3、已知1:2
2
=+y x L （按逆时针方向绕行），则
=+--+⎰L y
x dy
y x dx y x 2
2)()( （ ） (A ) π2 (B ) π2- (C ) 0 (D ) 1 4、x y x D 2:2
2
≤+，则
=+⎰⎰
D
dxdy y x f )(22 （ ）
(A )
⎰
⎰
πθρρρθ20
cos 0
)(d f d (B ) ⎰⎰
-22
cos 20
)(π
πθρρθd f d
(C )
⎰⎰
-
22
cos 20
)(π
π
θρρρθd f d (D )
⎰
⎰
π
θρρρθ0
sin 20
)(d f d
5、设),(y x f 在),(00y x P 处两个偏导数存在，则0),(),(0000='='y x f y x f y x 是函数在该点取得极值的 ( ) (A ) 充分条件 (B ) 充要条件 (C ) 必要条件 (D ) 既非充分也非必要条件
装 订 线 内 不 要 答 题
自
觉
遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不
作 弊
二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1、曲面32=+-xy e z z
在点)0,2,1(处的切平面方程
2、设L 为下半圆周21x y --=，则=+⎰
L
ds y x )(22
3、Ω是位于22y x z +=
之上，球面)0(2222>=++a az z y x 之内的区域，在
球面坐标下化三重积分
⎰⎰⎰++Ω
dxdydz z y x f )(222为三次积分为
4、设y
x
e z x
sin
-=，则
=∂∂)
1
,2(π
x z 。
5、
⎰
⎰
π
π
y dx x x
dy sin 0
（填写数值）
三、(本题8分）设),()2(xy x g y x f z +-=，其中函数f (t )二阶可导，g (u ,v )
具有二阶连续偏函数，求y
x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,
四、(本题8分）在八分之一球面20222=++z y x （,0,,≥z y x ）
上求一点，使得函数3
),,(xyz z y x f =达到最大，并求出最大值。
五、(本题8分）计算⎰⎰++--D dxdy y
x y x 222
211，其中D ：0,122≥≤+y y x 。
六、(本题8分）求⎰⎰⎰+Ω
dv y x )(22， 其中Ω是)(2542
22y x z +=及
5=z 所围的区域。
七、(本题8分）求球面4222=++z y x 被曲面z y x 3:22=+∑截下
的位于∑之上的那部分面积。
装 订
线 内
不 要
答 题
自
觉
遵 守
考
试 规
则，诚 信 考
试，绝 不 作 弊
八、(本题8分）计算⎰
+L
ds y x 22，其中L 是圆周ax y x =+2
2
九、（本题9分）、证明曲线积分⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22与路径无
关并计算，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)1,1()0,0(到点的一段弧。
十、（本题8分）设f (x )是[a ,b ]上的连续函数，且单调增加，证明
⎰
⎰⎰-≥b a
D
dx x f a b dxdy y yf )(2)(2
2，其中b x a D ≤≤：，b y a ≤≤。