2014-2015学年上海市实验学校高一(下)期中数学试卷(Word版含解析)
2014-2015年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷和答案
13． （3 分）方程 x2﹣cosx=0 的解可视为函数 y=cosx 的图象与函数 y=x2 的图象交 点的横坐标．方程 14． （3 分）某同学对函数 实数解的个数为 ．
进行研究后，得出以下五个结论：
①函数 y=f（x）的图象是轴对称图形； ②函数 y=f（x）对任意定义域中 x 值，恒有|f（x）|＜1 成立； ③函数 y=f（x）的图象与 x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等； ④当常数 k 满足 k≠0 时， 函数 y=f （x） 的图象与直线 y=kx 有且仅有一个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ．
， 则下列不等式恒成立的是 （ B．a2+b2≥1 D．
，cosC= ．
，求 BC 的长． ）+2sin（x﹣ 上的值域． sin（x+
20． （10 分）已知函数 f（x）=cos（2x﹣ ，求函数 f（x）在区间
21． （12 分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平 铺设污水净化管道（Rt△FHE，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水 净化效果越好． 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点， E， F 分别落在线段 BC， AD 上．已知 AB=20 米， 米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数，并写出定义域； （2）若 ，求此时管道的长度 L；
（3）当 θ 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
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22． （12 分） 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f （x） 的全体， 存在非零常数 T， 对任意 x∈R，有 f（x+T）=Tf（x）成立． （1）函数 f（x）=x 是否属于集合 M？说明理由； （2）设 f（x）∈M，且 T=2，已知当 1＜x＜2 时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜ ﹣2 时，f（x）的解析式； （3）若函数 f（x）=sinkx，f（x）∈M，求实数 k 的取值范围．
2014-2015学年上海市实验学校高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市实验学校高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝ ． 2．化简：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)= ．3．一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 ． 4．已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，且β是第三象限的角，则sin β＝ ．5．已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ ． 6．若1+tanα1−tanα=3+2√2，则sin2α＝ ．7．已知1−cos2αsinαcosα=1，tan （β﹣α）=−13，则tan （β﹣2α）＝ ．8．若2sin θ+3cos θ＝2，则sin θ+cos θ＝ ．9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为 ．10．已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ ． 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分） 11．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，则A ∩（B ∪C ）＝（ ） A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z} B ．{x|x =kπ−π3，k ∈z}C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z}13．已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin αB ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ） A ．2√2B ．2√5C ．2D ．23√3三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 15．在△ABC 中，√3tanC −1=tanB+tanC tanA，（1）求角B 的值；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值． 16．已知函数f （x ）＝2sin （13x −π6），x ∈R（1）求f(5π4)的值；（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f （3β+2π）=65，求cos （α+β）的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)．（1）求t 的值；（2）求cos α和sin α的值；（3）设f(x)=cos(πx2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值． 18．已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }， （1）求集合A ∩B ；（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．四、附加题（本大题共2小题，满分20分） 19．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA +1cosC =−√2cosB ，求cos A−C 2的值．20．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足tan B =cos(C−B)sinA+sin(C−B)，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1bc表示成当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．2014-2015学年上海市实验学校高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝ π2．【分析】写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β＝α+2k π，k ∈Z }．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α＝α+2k π，α∈（0，π），∴α=kπ2，可得k ＝1，α=π2．故答案为：π2．【点评】本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型． 2．化简：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)= 1 ．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 解：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)=−−cosα⋅cotα⋅tanαsinα⋅cotα=1．故答案为：1．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 2π﹣2 ． 【分析】设圆心角为θ，弧长为l ，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可． 解：设圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得4+l ＝4π，解得l ＝4π﹣4 ∴圆心角θ=l r=2π﹣2 故答案为：2π﹣2．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，且β是第三象限的角，则sin β＝ −35 ．【分析】由两角差的余弦公式可得cos β，进而由同角三角函数的基本关系可得． 解：∵cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，∴cos[（α﹣β）﹣α]=−45，即cos β=−45， ∵β是第三象限的角， ∴sin β=−√1−cos 2β=−35， 故答案为：−35．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 5．已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ 3或5． ．【分析】利用余弦定理得出a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，把已知a ，b 及A 的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c 的一元二次方程，求出方程的解即可得到c 的值． 解：∵在△ABC ，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，∴根据余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A 得：72＝82+c 2﹣16c •cos60°， 整理得：c 2﹣8c +15＝0， 解得：c ＝3或c ＝5， 则c 的值为3或5． 故答案为：3或5．【点评】此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 6．若1+tanα1−tanα=3+2√2sin2α＝√23． 【分析】根据已知等式可求tan α，由万能公式即可求值． 解：∵1+tanα1−tanα=3+2√2∴整理可得：1+tan α＝3﹣3tan α+2√2−2√2tan α，可得：tan α=√22+2=√22， ∴sin2α=2tanα1+tan 2α=2×√221+12=2√23． 故答案为：2√23． 【点评】本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查． 7．已知1−cos2αsinαcosα=1，tan （β﹣α）=−13，则tan （β﹣2α）＝ ﹣1 ．【分析】把已知条件1−cos2αsinαcosα=1利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：由1−cos2αsinαcosα=1−(1−2sin2α)sinαcosα=2tanα＝1，得到tanα=12，又tan(β−α)=−13，则tan（β﹣2α）＝tan[（β﹣α）﹣α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)tanα=−13−121−16=−1．故答案为：﹣1【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．若2sinθ+3cosθ＝2，则sinθ+cosθ＝713或1．【分析】将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，从而解得cosθ＝0，或者12sinθ+5cosθ＝0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解：∵2sinθ+3cosθ＝2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ＝4，（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，所以有：cosθ＝0，代入原式，得sinθ＝1，或者12sinθ+5cosθ＝0，解得：sinθ=−512cosθ，代入原式，有：sinθ=−513，cosθ=1213．所以可得：sinθ+cosθ＝1，或者sinθ+cosθ=7 13．故答案为：713或1．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为2√2+2．【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×12×1×1×sinα＝2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：√1+1−2×1×1×cosα=√2−2cosα，故正方形面积为：2﹣2cos α，所以所求八边形的面积为：2sin α﹣2cos α+2＝2√2sin （α−π4）+2， 所以该八边形的面积的最大值为2√2+2． 故答案为：2√2+2．【点评】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ x 2﹣5x +4 ．【分析】由f （sin α）≥0知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，同样可得x ∈[1，3]时，f （x ）≤0，从而得到f （1）＝0，从而可得到f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f （﹣1）＝10，这样便可得到不等式组{1+b +c =01−b +c =10，解出b ，c 即可得出f （x ）．解：由已知条件知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，x ∈[1，3]时，f （x ）≤0； ∴f （1）＝0，f （x ）在[﹣1，1]上单调递减； f （sin α）的最大值为10； ∴f （﹣1）＝10；∴解{1+b +c =01−b +c =10得，{b =−5c =4；∴f （x ）＝x 2﹣5x +4． 故答案为：x 2﹣5x +4．【点评】考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f （x ）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分） 11．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】由正弦定理知 a sinA=b sinB，由sin A ＞sin B ，知a ＞b ，所以A ＞B ，反之亦然，故可得结论．解：若sin A ＞sin B 成立， 由正弦定理a sinA=b sinB=2R ，所以a ＞b ， 所以A ＞B ．反之，若A ＞B 成立， 所以a ＞b ，因为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin A ＞sin B ，所以sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件． 故选：C ．【点评】本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，则A ∩（B ∪C ）＝（ ） A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z} B ．{x|x =kπ−π3，k ∈z}C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z}【分析】求出B 与C 的并集，找出A 与并集的交集即可． 解：∵A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈Z }，∴A ∩（B ∪C ）＝{x |x ＝2k π±π3，k ∈Z }， 故选：C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 13．已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ） A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin α B ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α） C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）【分析】由α∈(0，π4)，得到0＜sin α＜α＜tan α＜1，利用三角函数的单调性解答． 解：因为α∈(0，π4)，所以0＜sin α＜α＜tan α＜1，所以sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）； 故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性． 14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ） A ．2√2B ．2√5C ．2D ．23√3【分析】设BC ＝a ，则AC =√2a ，利用余弦定理可求得cos 2B =1a 2+a 216−12，再利用三角形的面积公式可求得S △ABC ＝a sin B ，继而可求S △ABC 2=−116（a 2﹣12）2+8，从而可得△ABC 面积的最大值．解：依题意，设BC ＝a ，则AC =√2a ，又AB ＝2， 由余弦定理得：（√2a ）2＝a 2+AB 2﹣2a •AB cos B ， 即a 2+4a cos B ﹣4＝0， ∴cos B =4−a 24a=1a−a 4，∴cos 2B =12+a 216−12，∴sin 2B ＝1﹣cos 2B =32−a 216−1a2．∵S △ABC =12AB •BC sin B =12×2a sin B ＝a sin B ，∴S 2△ABC ＝a 2sin 2B ＝a 2（32−a 216−1a2）=−a 416+32a 2﹣1=−116（a 4﹣24a 2）﹣1=−116（a 2﹣12）2+8，当a 2＝12，即a ＝2√3时，2、2√3、2√6能组成三角形， ∴S 2max ＝8， ∴S max ＝2√2． 故选：A ．【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S 2△ABC =−116（a 2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题． 三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 15．在△ABC 中，√3tanC −1=tanB+tanCtanA，（1）求角B 的值；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值．【分析】（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tan B ，可得B 值；（2）由正弦定理和已知可得c＝2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解：（1）∵在△ABC中，√3tanC−1=tanB+tanCtanA，∴tan B+tan C＝tan A（√3tan C﹣1），∴tan B=√3tan A tan C﹣（tan A+tan C）=√3tan A tan C﹣tan（A+C）（1﹣tan A tan C），∴tan B=√3tan A tan C+tan B（1﹣tan A tan C），∴tan B﹣tan B（1﹣tan A tan C）=√3tan A tan C，∴tan B tan A tan C=√3tan A tan C，∴tan B=√3，∴B=π3，（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入数据可得9=a2+4a2−2a⋅2acos π3，解得a=√3，∴c=2a=2√3．【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．已知函数f（x）＝2sin（13x−π6），x∈R（1）求f(5π4)的值；（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f（3β+2π）=65，求cos（α+β）的值．【分析】（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解：（1）由题意可得f(5π4)=2sin（13×5π4−π6）＝2sinπ4=√2；（2）∵0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f（3β+2π）=65，∴f（3α+π2）＝2sin（α+π6−π6）＝2sinα=1013，∴sinα=513，f（3β+2π）＝2sin（β+2π3−π6）＝2cosβ=65，∴cosβ=35，∴cosα=−√1−sin2α=−1213，sinβ=45，∴cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β =−1213×35−513×45=−5665．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 17．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)．（1）求t 的值；（2）求cos α和sin α的值；（3）设f(x)=cos(πx2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值．【分析】（1）根据题意和三角函数的定义求出cos （α+π4）的值，再由平方关系求出t 的值； （2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cos α和sin α的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f （x ）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解：（1）∵钝角α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)，∴根据三角函数的定义，cos （α+π4）=−35，∴t ＝sin （α+π4）=√1−cos 2(α+π4)=45；（2）由sin （α+π4）=45、cos （α+π4）=−35得，√22（sin α+cos α）=45，① √22（cosα﹣sin α）=−35，②由①②解得，cos α=√210，sin α=7√210；（3）∵f （x ）＝cos （πx 2+α），∴函数f （x ）的周期T =2ππ2=4，∴f （1）＝cos （π2+α）＝﹣sin α=−7√210，f （2）＝cos （π+α）＝﹣cos α=−√210，f （3）＝cos （32π+α）＝sin α=7√210，f （4）＝cos （2π+α）＝cos α=√210，f （5）＝cos （5π2+α）＝﹣sin α，…，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝0；∴f （1）+f （2）+…+f （2015）＝f （1）+f （2）+f （3） =−7√210−√210+7√210=−√210．【点评】本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }， （1）求集合A ∩B ；（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）分别求出关于A 、B 中的α的范围，从而求出A ∩B ，（2）问题转化为对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32−12（cos x −12）2恒成立，求出即可． 【解答】解（1）A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R } ＝{α|（2cos α﹣1）（cos α﹣1）≤0，α∈R } ＝{α|12≤cos α≤1，α∈R }＝{α|2k π−π3≤α≤2k π+π3，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }＝{α|sin α＞0}＝{α|2k π＜α＜2k π+π}， ∴A ∩B ＝{α|2k π＜α≤2k π+π3，k ∈Z }， （2）由cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0 ⇒cos2x ﹣4sin （π4+x2）cos （π4+x2）+m ＞0⇒cos2x ﹣2sin （π2+x ）+m ＞0 ⇒cos2x ﹣2cos x +m ＞0 ⇒2cos 2x ﹣1﹣2cos x +m ＞0⇒m ＞32−2（cos x −12）2∴若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x 2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，即对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32−2（cos x −12）2恒成立，∵x ∈（2k π，2k π+π3]，∴cos x ∈[12，1），∴0≤2（cos x −12）2≤12，∴m ＞32．【点评】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分） 19．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA+1cosC=−√2cosB，求cos A−C 2的值．【分析】先根据A ，B ，C 的关系求出B 的值，再代入到1cosA +1cosC =−√2cosB中得到cos A ，cos C 的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos A+C2，cos （A +C ）的值代入整理后因式分解，即可求出cos A−C2的值． 解：A +C ＝π﹣B ＝2B ， ∴B ＝60°，A +C ＝120°． ∵−√2cos60°=−2√2，∴1cosA+1cosC=−2√2将上式化为cosA +cosC =−2√2cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A+C 2cos A−C2=−√2[cos(A +C)+cos(A −C)] 将cosA+C 2=cos60°=12，cos(A +C)=−12代入上式得cos(A−C 2)=√22−√2cos(A −C) 将cos(A −C)=2cos 2(A−C 2)−1代入上式并整理得4√2cos 2(A−C 2)+2cos(A−C2)−3√2=0(2cosA−C 2−√2)(2√2cos A−C2+3)=0， ∵2√2cos A−C2+3≠0， ∴2cos A−C2−√2=0． 从而得cos A−C 2=√22．【点评】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tan B=cos(C−B) sinA+sin(C−B)，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1bc表示成y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．【分析】（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=π2，由正弦定理可解得b＝2sin x，c＝2cos x，从而可得y=b+c+1bc=2(sinx+cosx)+14sinxcosx，(0＜x＜π2)．设sin x+cos x＝t，y=2t+12t2−2，设u＝2t+1，t=u−12，y=2uu2−2u−3=2u−3u−2，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：sinBcosB =cos(C−B) sinA+sin(C−B)，∴sin A sin B+sin B sin（C﹣B）＝cos B cos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sin A sin B＝cos C，∵在△ABC中，cos C＝﹣cos（A+B），∴sin A sin B＝﹣cos（A+B），∴cos A cos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0（舍去），∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a＝2，∠B＝x时，由（1）可得：A=π2，由正弦定理可得：2=bsinx=c sinC，sin C＝cos x．∴解得：b＝2sin x，c＝2cos x，∴y=b+c+1bc=2(sinx+cosx)+14sinxcosx，(0＜x＜π2)．设sin x+cos x＝t，y=2t+12t2−2，设u＝2t+1，t=u−12，y=2u2=2u−3u−2，∵x∈(0，π2)，t∈(1，√2]，u∈(3，1+2√2]，当u=1+2√2时，ymin=1+2√22．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。
2014-2015年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷含参考答案
2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
2014-2015年上海市位育中学高一(下)期中数学试卷含参考答案
2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．3．（3分）若cotx=2，则=．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为．6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是．8．（3分）函数的值域为．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是．11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为．（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（co sα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=±4．【解答】解：∵P（3，y）是角α终边上的一个点，若=，则y=±4，故答案为：±4．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．【解答】解：S==，故答案为：．3．（3分）若cotx=2，则=．【解答】解：∵cotx=2，∴tanx=，∴===，故答案为：．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．【解答】解：∵tana=，∴sin2α===．故答案为：．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为π．【解答】解：∵f（x）=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴T==π．故答案为：π6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是﹣1≤ω＜0．【解答】解：由已知条件ω＜0，又≥π，∴﹣1≤ω＜0．故答案为﹣1≤ω＜08．（3分）函数的值域为．【解答】解：==，∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣2≤2cosx≤2，则1≤2cosx+3≤5，则，∴≤5，故答案为：．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=θ=kπ+，k∈Z．【解答】解：∵函数=2[sin（x+θ）+cos（x+θ）]=2sin（x+θ+）的图象关于y轴对称，∴θ+=kπ+，即θ=kπ+，k∈Z，故答案为：θ=kπ+，k∈Z．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，，∴b2tanC=c2tanB，∴由正弦定理可得sin2B•=sin2C•，约掉sinBsinC变形可得sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，故2B=2C或2B+2C=π，故B=C或B+C=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为（，3）．【解答】解：由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2 ab•cosC，C为钝角．∴cosC=＜0，∴c＞．再由三角形任意两边之和大于第三边可得c＜3．故答案为（，3）．12．（3分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是1个．【解答】解：∵sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ∵sinx＜cosx，∴﹣+2kπ＜x＜+2kπ∴f（x）=，∴f（x）的值域为[﹣，1]当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．∵f（x+π）=≠f（x）∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）综上所述，正确的个数是1个，故答案为1个．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【解答】解：在三角形中，若A＞B，则边a＞b，由正弦定理，得sinA ＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根据大边对大角，可知A＞B．所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故选：A．15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ【解答】解：A，当α=β=2kπ（k∈Z）时，sinα=sinβ=0，cosα=cosβ=1，sin（α+β）=0，所以sin（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误；B，当α=β=0时，cos（0+0）=cos0cos0+sin0sin0=1正确，故B正确；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ，正确．故选：A．16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．【解答】解：（1）==，由题意得：，解得：；（2）由（1）得：，∵，∴，故当，即时，函数f（x）的最大值为；当，即时，函数f（x）的最小值为．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；（2）∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，则△ABC为正三角形时，S max=．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由广义周期的定义可得f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2Tx+T2=M对x∈R恒成立，比较系数可得，解得T=M=0，这与M，T均为非零常数矛盾，故f（x）=x2不是广义周期函数；（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且．证明如下：∵=（非零常数），由广义周期的定义可得．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
2014-2015学年上海市复旦附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= ．4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= ． 5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 ． 6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 ．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 ． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 ．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝ ．10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ ．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 ．二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件．A ．1B ．2C ．3D ．415．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)； （2）sin2α﹣2cos 2α．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k＝{a|f（x）＝ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= 13． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵cos α=−13，则sin(3π2−α)=−cos α=13， 故答案为：13．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= −√210．【分析】由题意和同角三角函数的基本关系可得sin α，代入两角差的余弦公式计算可得． 解：∵cos α=−45，α∈(π2，π)，∴sin α=2α=35， ∴cos(α−π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=−45×√22+35×√22=−√210 故答案为：−√210．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 34．【分析】设等腰三角形顶角为α，由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos α2的值，可得sin α2和tan α2的值，从而求得这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）的值．解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为π−α2=π2−α2，且cos α=−725，∴α为钝角． 再根据cos α=−725=2cos 2α2−1，求得cos α2=35，∴sin α2=45，tan α2=43， ∴这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）＝cot α2=1tanα2=34，故答案为：34．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 [k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ． 【分析】先根据正弦函数的单调性求得函数y ＝sin （2x −π3）的单调增区间，进而求得函数 y ＝sin （π3−2x ）的单调递减区间．解：由题意可得：y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3），由正弦函数的单调性可知y ＝sin （2x −π3）的单调增区间为[2k π−π2，2k π+π2]，k ∈Z即[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z所以y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3）的减区间为[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ，故答案为：[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了学生对正弦函数基本性质的理解，属于基本知识的考查．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 [﹣4，﹣π）∪（0，π） ．【分析】根据函数y =√16−x 2−lgsinx ，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 解：∵函数y =√16−x 2−lgsinx ， ∴{16−x 2≥0sinx ＞0， 解得{−4≤x ≤42kπ＜x ＜π+2kπ，k ∈Z ，即﹣4≤x ＜﹣π或0＜x ＜π；∴y 的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）． 故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【点评】本题考查了根据觳觫的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 （﹣∞，13]∪[3，+∞） ．【分析】此为y =acosx+bccosx−d型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解．或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解． 【解答】解法一：原函数变形为y =1+22cosx−1，∵|cos x |≤1，可直接得到：y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为cosx =y+12(y−1)， ∵|cos x |≤1，∴|y+12(y−1)|≤1，∴y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，13]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，考查分式函数含三角函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝π3．【分析】利用正弦定理将2a−c b转化为2sinA−sinCsinB，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角B ．解：∵在△ABC ，cosC cosB=2a−c b，由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2R 得：2a−c b=2sinA−sinCsinB ，∴cosCcosB=2sinA−sinCsinB，∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，又在△ABC ，B +C ＝π﹣A ， ∴sin （B +C ）＝sin A ≠0，∴cos B =12，又B ∈（0，π），∴B =π3． 故答案为：π3．【点评】本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 √2 ．【分析】设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1），x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2），求出|MN |的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 解：设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1）， x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2）， 则|MN |＝|y 1﹣y 2|＝|sin a ﹣cos a | =√2|sin （a −π4）|≤√2． 故答案为：√2．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ 4sin （π6x −2π3） ．【分析】根据三角函数的图象确定A ，ω和φ的值即可得到结论． 解：由图象知A ＝4，T ＝2[4﹣（﹣2）]＝12， 则T =2πω=12，即ω=π6， 则f （x ）＝4sin （π6x +φ）， 由五点对应法得π6×4+φ＝0，即φ=−2π3， 故f （x ）＝4sin （π6x −2π3），故答案为：f （x ）＝4sin （π6x −2π3）．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 [37π2，41π2） ．【分析】根据正弦函数的周期性和最大值的性质，建立不等式关系进行求解即可． 解：若函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值， 则满足9T +T 4≤1，且10T +T4＞1， 即T ≤437且T ＞441， 即441＜T ≤437，441＜2πω≤437，解得37π2≤ω＜41π2， 故答案为：[37π2，41π2），【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．注意对三角函数基础知识如周期相，对称性，单调性等知识的点熟练掌握． 二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |【分析】由条件利用二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．解：由于y ＝x 3tan x 为偶函数，故排除A ；由于y ＝|sin x |是偶函数，故排除B ； 由于y ＝﹣2sin x cos x ＝﹣sin2x 是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件； 由于y ＝tan|x |是偶函数，故排除D ， 故选：C ．【点评】本题主要考查二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题． 14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：①∠A ＞∠B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，故①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件成立，故①正确，；②y ＝cos x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cos A ＜cos B ，反之也成立，故②正确； ③若∠A ＝120°，∠B ＝45°，满足∠A ＞∠B ，但tan A ＞tan B 不成立，即充分性不成立，故③错误；④y ＝cot x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cot A ＜cot B ，反之也成立，故④正确； 故真命题的个数为3， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 15．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y ＝cos （2x −π4）＝sin （2x +π4），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．解：∵y ＝cos （2x −π4）＝sin[（2x −π4）+π2]＝sin （2x +π4），∴若函数y ＝sin2x ＝f （x ），则函数g （x ）＝sin （2x +π4）＝sin[2（x +π8）]＝f （x +π8）． 因此，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得y ＝sin （2x +π4）的图象，即函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos （2x −π4）的图象．故选：A ．【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题． 16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a |，周期为2π|a|，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象． 解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T =2π|a|，∵|a |＞1，∴T ＜2π， 而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π． 对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选：D ．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键． 三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【分析】由题意作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，从而由图象写出函数的单调区间．解：作函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象如下，结合图象可知，函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |在（π2，π）上单调递增，在（π，3π2）上单调递减．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了函数图象的应用，属于中档题．18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．【分析】由tan(α+π4)=3可求得tanα=12，（1）利用诱导公式化简cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=cosα+sinαcosα−sinα，再“弦”化“切”即可；（2）利用二倍角的正弦将sin2α﹣2cos2α化为2sinαcosα﹣2cos2α，再将分母除以1＝sin2α+cos2α，“弦”化“切”即可．解：∵由tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=3得tanα=12，于是：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=−cosα−sinαsinα−cosα=cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3；（2）sin2α﹣2cos2α＝2sinαcosα﹣2cos2α=2sinαcosα−2cos2αsin2α+cos2α=2tanα−2tan2α+1=−45．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，利用诱导公式及sin2α+cos2α＝1实现角α的正弦、余弦的互化、利用tanα可以实现角α的弦切互化是关键，属于中档题．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．【分析】（1）利用三角函数对称轴的性质确定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函数h（x）＝f（x）+g（x）的解析式，由x∈(−π2，0)，可得2x+π3的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．解：（1）f（x）＝cos2（x+π12）=12+12cos(2x+π6)，由2x+π6=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=kπ2−π12，k∈Z．因为x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以x0=kπ2−π12，k∈Z．所以g（x0）＝1+12sin2（kπ2−π12）＝1+12sin（kπ−π6），若k 是偶数，则g （x 0）＝1+12sin （−π6）=34，若k 是奇数，则g （x 0）＝1+12sin （5π6）=54．（2）h （x ）＝f （x ）+g （x ）=12+12cos （2x +π6）+1+12sin2x =32+12sin （2x +π3）． 因为x ∈(−π2，0)，所以：2x +π3∈（−2π3，π3），sin （2x +π3）∈[﹣1，√32），所以：h （x ）∈[1，6+√34）．【点评】本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强，属于中档题．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C =π3．（1）若△ABC 的面积为√3，求a ，b ； （2）若sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，求a ，b ．【分析】（1）由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①，由△ABC 的面积公式可得：√3=12ab sin C ，解得：ab ＝4，②，②代入①可解得：a +b ＝4，③，由②③可解得b ，a 的值． （2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cos A （sin B ﹣sin A ）＝0，可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，当cos A ＝0时，结合0＜A ＜π，可得A 为直角，结合已知即可求得a ，b 的值，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得a ＝b ，由余弦定理即可得解． 解：（1）∵c ＝2，C =π3．∴由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①∵△ABC 的面积为√3=12ab sin C =12×√32ab ，解得：ab ＝4，②∴②代入①可得：a 2+b 2＝8，从而（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝16，解得：a +b ＝4，③ ∴由②③可解得：b ＝2，a ＝2．（2）∵sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，sin C ＝sin （A +B ）∴sin A cos B +cos A sin B +sin B cos A ﹣cos B sin A ＝2sin A cos A ，整理可得：cos A （sin B ﹣sin A ）＝0， ∴可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴当cos A ＝0时，由0＜A ＜π，可得A =π2，又c ＝2，C =π3，可得：b =ctanC =3=2√33，a =c sinC =232=4√33，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得：a ＝b ，又c ＝2，C =π3，由余弦定理可得：4＝2a 2﹣a 2，解得：a ＝b ＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．21．设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意的x ∈R 恒成立，且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．（1）求证：f （x ）是以2为周期的函数（不需要证明2是f （x ）的最小正周期）； （2）对于整数k ，当x ∈[2k ﹣1，2k +1]时，求函数f （x ）的解析式；（3）对于整数k ，记M k ＝{a |f （x ）＝ax 在x ∈[2k ﹣1，2x +1]有两个不等的实数根}，求集合M 2015．【分析】（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）可得结论． （2）先求出x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]，根据f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ）可求解．（3）将方程f （x ）＝ax 转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a 的取值集合． 解：（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ） 所以：f （x ）是以2为周期的函数；（2）∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数 ∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝x 2， ∴x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，∵f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ），k ∈Z 设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]， ∴f （x ﹣2k ）＝（x ﹣2k ）2，即f （x ）＝（x ﹣2k ）2，x ∈[2k ﹣1，2k +1]（k ∈Z ），（3）当k ∈N *，且x ∈I k 时，方程f （x ）＝ax 化简为x 2﹣（4k +a ）x +k 2＝0， 设g （x ）＝x 2﹣（4k +a ）x +k 2，使方程f （x ）＝ax 在I k 上有两个不相等的实数根， 则{△=a(a +8k)＞02k −1＜k+a 2≤2k +1g(2k −1)=1−2ak +a ＞0g(2k +1)=1−2ak −a ≥0，解得0＜a≤12k+1，当k＝2015时，∴集合M2015＝（0，14031]【点评】本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强，属于中档题．。
2014-2015年上海市位育中学高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．3．（3分）若cotx=2，则=．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为．6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是．8．（3分）函数的值域为．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是．11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为．12．（3分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（co sα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=±4．【解答】解：∵P（3，y）是角α终边上的一个点，若=，则y=±4，故答案为：±4．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．【解答】解：S==，故答案为：．3．（3分）若cotx=2，则=．【解答】解：∵cotx=2，∴tanx=，∴===，故答案为：．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．【解答】解：∵tana=，∴sin2α===．故答案为：．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为π．【解答】解：∵f（x）=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴T==π．故答案为：π6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是﹣1≤ω＜0．【解答】解：由已知条件ω＜0，又≥π，∴﹣1≤ω＜0．故答案为﹣1≤ω＜08．（3分）函数的值域为．【解答】解：==，∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣2≤2cosx≤2，则1≤2cosx+3≤5，∴2≤2（2cosx+3）≤10，则，∴≤5，故答案为：．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=θ=kπ+，k∈Z．【解答】解：∵函数=2[sin（x+θ）+cos（x+θ）]=2sin（x+θ+）的图象关于y轴对称，∴θ+=kπ+，即θ=kπ+，k∈Z，故答案为：θ=kπ+，k∈Z．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，，∴b2tanC=c2tanB，∴由正弦定理可得sin2B•=sin2C•，约掉sinBsinC变形可得sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，故2B=2C或2B+2C=π，故B=C或B+C=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为（，3）．【解答】解：由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2 ab•cosC，C为钝角．∴cosC=＜0，∴c＞．再由三角形任意两边之和大于第三边可得c＜3．综上可得＜c＜3，故答案为（，3）．12．（3分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是1个．【解答】解：∵sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ∵sinx＜cosx，∴﹣+2kπ＜x＜+2kπ∴f（x）=，∴f（x）的值域为[﹣，1]当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．∵f（x+π）=≠f（x）∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）综上所述，正确的个数是1个，故答案为1个．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【解答】解：在三角形中，若A＞B，则边a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根据大边对大角，可知A＞B．所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故选：A．15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ【解答】解：A，当α=β=2kπ（k∈Z）时，sinα=sinβ=0，cosα=cosβ=1，sin（α+β）=0，所以sin（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误；B，当α=β=0时，cos（0+0）=cos0cos0+sin0sin0=1正确，故B正确；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ，正确．故选：A．16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．【解答】解：（1）==，由题意得：，解得：；（2）由（1）得：，∵，∴，故当，即时，函数f（x）的最大值为；当，即时，函数f（x）的最小值为．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；（2）∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，则△ABC为正三角形时，S max=．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由广义周期的定义可得f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2Tx+T2=M对x∈R恒成立，比较系数可得，解得T=M=0，这与M，T均为非零常数矛盾，故f（x）=x2不是广义周期函数；（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且．证明如下：∵=（非零常数），由广义周期的定义可得．。
2014-2015学年上海市杨浦高中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市杨浦高中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．角α的终边经过点P （﹣4，3），则2sin α﹣cos α＝ ．2．扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3 cm ，则此扇形的面积为 cm 2．3．已知α是第三象限角，且sin(α−72π)=−15，则sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)= ．4．如果sinα=23，cosβ=−14，α与β为同一象限角，则cos （α﹣β）＝ ． 5．已知θ是第二象限角，且sin 4θ+cos 4θ=59，则sin2θ＝ ．6．sin 2(α−π6)+sin 2(α+π6)−sin 2α= ．7．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，sinA =√33，则△ABC 的面积是 ．8．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos C 的值为 ． 9．若tan α2=12，则sin α+cos α＝ ．10．已知tan α，t αn β是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个根，求sin 2（α+β）﹣3sin （α+β）cos （α+β）﹣3cos 2（α+β）的值．11．方程sin x ＝lgx 的解的个数为 ． 12．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f(x)={cosx ，sinx ≤cosx sinx ，sinx ＞cosx，给出以下结论：①f （x ）是周期函数； ②f （x ）的最小值为﹣1；③当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值； ④当且仅当2kπ−π2＜x ＜(2k +1)π，k ∈Z 时，f （x ）＞0； ⑤f （x ）的图象上相邻两个最低点的距离是2π， 其中正确的结论序号是 ． 二、选择题（每题4分共16分） 13．有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=−x √，其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．下列命题中不正确的是（ ）A ．存在这样的α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的α和β值，使得cos （α+β）≠cos αcos β﹣sin αsin β15．已知sin （π3+a ）=513，且a ∈（π6，2π3），则sin （π12+a ）的值是（ ）A ．17√226B ．−7√226C ．−17√226D ．7√22616．函数y ＝sin x ﹣sin|x |的值域是（ ） A ．[﹣1，1] B ．[0，2] C ．[﹣2，2] D ．[﹣2，0]三、解答题（共48分）17．已知θ是第四象限角，且sinθ+cosθ=15，求值：（1）sin θ﹣cos θ； （2）tan θ．18．已知α∈(π4，π2)，化简√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα．19．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5√6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以 （米/秒）的速度匀速升旗．20．已知函数f(x)=√3sin(2x−π6)+cos(2x−π6)，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及此时x的集合．21．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x）．（1）求证：tan（α+β）＝2tanα；（2）求f（x）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．2014-2015学年上海市杨浦高中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．角α的终边经过点P （﹣4，3），则2sin α﹣cos α＝ 2 ．【分析】由题意可得x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，继而求出cos α=x r=−45，sin α=y r=35，问题得以解决．解：∵角α的终边上有一点P （4，﹣3）， ∴x ＝4，y ＝﹣3，r =√(−4)2+32=5，∴cos α=x r=−45，sin α=y r=35，∴2sin α﹣cos α＝2×35−（−45）＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2．扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3 cm ，则此扇形的面积为3π2cm 2．【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．解：∵扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3 cm ，∴圆的半径r ＝3．∴则此扇形的面积=12×3×π3×3=3π2cm 2． 故答案为：3π2．【点评】本题考查了扇形面积计算公式、弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知α是第三象限角，且sin(α−72π)=−15，则sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)= √65 ．【分析】利用诱导公式求得cos α的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sin α，再利用三角函数的诱导公式化简sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)，代入sin α的值即可得答案．解：∵sin(α−72π)=−15，∴cosα=−15． ∵a 是第三象限角，∴sinα=−√1−cos 2α=−2√65．则sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)=sinα⋅cosα⋅cotα(−cotα)⋅(−cosα)=sin α=−2√65． 故答案为：−2√65．【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负，是中档题．4．如果sinα=23，cosβ=−14，α与β为同一象限角，则cos （α﹣β）＝ √5+2√1512．【分析】根据所给的角的范围和角的函数值，利用同角的三角函数之间的关系，写出角的函数值，用两角差的余弦公式求出结果．解：∵sinα=23，cosβ=−14，α与β为同一象限角， ∴α与β为同为第二象限角，∴cos α=−√53，sin β=√154，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−√53×（−14）+23×√154=√5+2√1512，故答案为：√5+2√1512． 【点评】本题考查两角差的余弦公式，在解题过程中关键是根据所给的角的范围求出要用的函数值，本题是一个角的变换问题．5．已知θ是第二象限角，且sin 4θ+cos 4θ=59，则sin2θ＝ −√23．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin2θ的值．解：∵θ是第二象限角，∴sin2θ＝sin θcos θ＜0，且sin 4θ+cos 4θ=59=（sin 2θ+cos 2θ）2﹣2sin 2θ•cos 2θ＝1−12•sin 22θ，即59=1−12•sin 22θ，∴sin2θ=−2√23， 故答案为：−2√23．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 6．sin 2(α−π6)+sin 2(α+π6)−sin 2α= 12．【分析】直接利用sin 2α=1−cos2α2以及特殊角的三角函数值化简即可． 解：原式=1−cos(2α−π3)2+1−cos(2α+π3)2−1−cos2α2＝1﹣cos2α−12+cos2α =12 故答案为12【点评】本题考查了二倍角的余弦以及半角公式，只要熟练掌握公式就可以很容易的解答出来，属于基础题．7．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，sinA =√33，则△ABC 的面积是 √2±√32．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos A 的值，利用余弦定理可得：c 2﹣2√6c +5＝0，解得c 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．解：∵a ＝2＜b ＝3，sinA =√33，∴A 为锐角，cos A =√1−sin 2A =√63，∴由余弦定理可得：22＝32+c 2﹣2×3×c ×√63，整理可得：c 2﹣2√6c +5＝0，∴解得：c =√6±1，∴S △ABC =12bc sin A =3√2±√32．故答案为：3√2±√32．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos C 的值为 −14．【分析】由正弦定理化简已知的比例式，得到a ，b 及c 的比值，根据比例设出a ，b 及c ，再利用余弦定理表示出cos C ，将表示出的三边长代入，即可求出cos C 的值． 解：∵在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4， ∴根据正弦定理得：a ：b ：c ＝3：2：4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，则由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab =9k 2+4k 2−16k 212k2=−14． 故答案为：−14【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 9．若tanα2=12，则sin α+cos α＝ 75． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的三角公式，求得所给式子的值．解：若tan α2=12，则sin α+cos α=2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2+cos 2α2−sin 2α2sin 2α2+cos 2α2=2tan α2tan 2α2+1+1−tan 2α2tan 2α2+1=2⋅1214+1+1−1414+1=45+35=75， 故答案为：75．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的三角公式的应用，属于基础题． 10．已知tan α，t αn β是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个根，求sin 2（α+β）﹣3sin （α+β）cos （α+β）﹣3cos 2（α+β）的值．【分析】利用韦达定理求出tan α+t αn β，tan αt αn β，推出tan （α+β），然后化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．解：tan α，t αn β是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个根， ∴tan α+t αn β＝3，tan αt αn β＝﹣3， ∴tan （α+β）=tanα+tαnβ1−tanαtαnβ=34．则sin 2（α+β）﹣3sin （α+β）cos （α+β）﹣3cos 2（α+β） =sin 2(α+β)−3sin(α+β)cos(α+β)−3cos 2(α+β)sin 2(α+β)+cos 2(α+β)=tan 2(α+β)−3tan(α+β)−3tan 2(α+β)+1=916−3×34−3916+1＝﹣3．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，韦达定理的应用，考查计算能力．11．方程sin x＝lgx的解的个数为3．【分析】此题关键在于画出函数的图象，特别要注意y＝lgx过点（10，1）与y＝sin x的最大值为1；结合图象易知答案．解：画出函数y＝sin x和y＝lgx的图象，结合图象易知这两个函数的图象有3交点．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及数形结合的思想，属于基础题．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f(x)={cosx，sinx≤cosxsinx，sinx＞cosx，给出以下结论：①f（x）是周期函数；②f（x）的最小值为﹣1；③当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值；④当且仅当2kπ−π2＜x＜(2k+1)π，k∈Z时，f（x）＞0；⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，其中正确的结论序号是①④⑤．【分析】f（x）的含义是取y＝sin x和y＝cos x的较大者，所以先在同一坐标系内画出y＝sin x 和y＝cos x的图象，然后取上方的部分，就得到f（x）的图象．画出图象来之后，就很容易的找出单调区间，最大最小值，同时也容易得出周期来．解：作出函数f（x）的图象，实线即为f（x）的图象．由图象可知，f（x）为周期函数，T＝2π，所以①正确．函数f（x）的最大值为1，最小值为−√22，所以②错误．当且仅当x ＝2k π+54π，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值，所以③错误； ④当且仅当2kπ−π2＜x ＜(2k +1)π，k ∈Z 时，f （x ）＞0，正确； ⑤f （x ）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，正确， 故答案为：①④⑤．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，作出函数的图象，利用数形结合的思想去研究，是解决本题的关键． 二、选择题（每题4分共16分） 13．有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=√，其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①根据三角函数的定义，终边相同的角所有的三角函数的值均相等；②终边不同的角，如果终边关于X 轴对称，则余弦值相等，终边关于Y 轴对称，则正弦值相等，终边关于原点对称，则正切值相等；③若sin α＞0，则α的终边落在第I 、II 象限或y 轴的非负半轴上；④由任意角三角函数的定义，cos α=xr 即可判断． 解：①由三角函数的定义得，①正确；②π6与−π6的终边不同，但cos π6=cos （−π6），故②错误； ③若α=π2，则sin α＝1＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误； ④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=xr =√，故④错．故选：A ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，主要考查任意角三角函数的定义及运用，终边相同的角及象限角等的概念，属于基础题． 14．下列命题中不正确的是（ ）A ．存在这样的α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的α和β值，使得cos （α+β）≠cos αcos β﹣sin αsin β 【分析】A ，取α＝β＝0，可判断A 的正误；B ，当α＝β＝2k π（k ∈Z ）时，利用正弦函数与余弦函数的性质可判断B 之正误；C ，利用两角和的余弦公式可判断C 之正误；D ，利用两角和的余弦公式可判断D 之正误．解：A ，当α＝β＝0时，cos （0+0）＝cos0cos0+sin0sin0＝1正确，故A 正确； B ，当α＝β＝2k π（k ∈Z ）时，sin α＝sin β＝0，cos α＝cos β＝1，cos （α+β）＝1， 所以cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin β，故B 错误；C ，对于任意的α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β，这是两角和的余弦公式，显然正确；D ，由两角和的余弦公式cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β可知，不存在这样的α和β值，使得cos （α+β）≠cos αcos β﹣sin αsin β，正确． 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查两角和的余弦公式，考查特值法在判断、选择中的应用，属于中档题．15．已知sin （π3+a ）=513，且a ∈（π6，2π3），则sin （π12+a ）的值是（ ）A ．17√226B ．−7√226C ．−17√226D ．7√226【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos （a +π3）的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．解：∵sin （π3+a ）=513，且a ∈（π6，2π3），∴cos （a +π3）=−√1−sin 2(a +π3)=−1213，则sin （π12+a ）＝sin[（a +π3）−π4]＝sin （π3+a ）cos π4−cos （π3+a ）sin π4=513⋅√22+1213⋅√22=17√226，故选：A ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．16．函数y ＝sin x ﹣sin|x |的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[0，2]C ．[﹣2，2]D ．[﹣2，0]【分析】当x ≥0时，函数y ＝2sin x ，值域为[﹣2，2]；当x ＜0时，函数y ＝0，由此求得函数y ＝sin x +sin|x |的值域．解：当x ≥0时，函数y ＝sin x ﹣sin|x |＝0，值域为{0}．当x ＜0时，函数y ＝sin x ﹣sin|x |＝sin x +sin x ＝2sin x ∈[﹣2，2]，综上可得，函数y ＝sin x +sin|x |的值域是[﹣2，2]，故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．三、解答题（共48分）17．已知θ是第四象限角，且sinθ+cosθ=15，求值：（1）sin θ﹣cos θ；（2）tan θ．【分析】（1）由题意可得sin θ＜0，cos θ＞0，利用同角三角函数的基本关系求得2sin θcos θ的值，可得sin θ﹣cos θ=−√(sinθ−cosθ)2的值．（2）根据sin θ+cos θ和sin θ﹣cos θ的值，求得sin θ和cos θ的值，可得tan θ的值． 解：∵θ是第四象限角，∴sin θ＜0，cos θ＞0，∵sinθ+cosθ=15①，∴1+2sin θcos θ=125，∴2sin θcos θ=−2425， （1）∴sin θ﹣cos θ=−√(sinθ−cosθ)2=−√1−2sinθcosθ=−√1+2425=−75②．（2）由①②求得sin θ=−35，cos θ=45，∴tan θ=sinθcosθ=−34． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．18．已知α∈(π4，π2)，化简√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα．【分析】根据α的取值范围，得出cos α2＞sin α2＞0， 再利用半角公式化简√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα即可．解：α∈(π4，π2)，∴α2∈（π8，π4）， ∴cos α2＞sin α2＞0， ∴√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα=√(sin α2+cos α2)2+√(sin α2−cos α2)2−√2⋅2cos 2α2＝（sin α2+cos α2）+（cos α2−sin α2）﹣2cos α2 ＝0．【点评】本题考查了半角公式的应用问题，是基础题．19．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5√6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以 0.3 （米/秒）的速度匀速升旗．【分析】先画出示意图，根据题意可求得∠AEC 和∠ACE ，则∠EAC 可求，然后利用正弦定理求得AC ，最后在Rt △ABC 中利用AB ＝AC •sin ∠ACB 求得答案．解：如图所示，依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理可知CE sin∠EAC =AC sin∠CEA ， ∴AC =CE sin∠EACsin ∠CEA ＝10√3米， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝10√3×√32=15米， ∵国歌长度约为50秒，∴1550=0.3．故答案为：0.3．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．20．已知函数f(x)=√3sin(2x −π6)+cos(2x −π6)，x ∈R ， （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的最大值及此时x 的集合．【分析】（1）利用辅助角公式、化简函数为一个角的三角函数的形式，由周期公式即可得解．（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数的最大值，以及x 的值．解：f(x)=√3sin(2x −π6)+cos(2x −π6)=2sin[（2x −π6）+π6]＝2sin2x ．（1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π， （2）当2x ＝2k π+π2，k ∈Z 时，函数f （x ）取最大值．即函数f （x ）的最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π+π4，k ∈Z }．【点评】题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，牢记三角函数的公式，在解题时才能灵活应用，属于中档题．21．已知sin （2α+β）＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，y ＝f （x ）．（1）求证：tan （α+β）＝2tan α；（2）求f （x ）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f （x ）的值域．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简条件可得4cos （α+β）sin α＝2sin （α+β）cos α，从而证得要证得等式成立．（2）由条件根据tan β＝tan[（α+β）﹣α]，利用两角差的正切公式，求得函数f （x ）的解析式．（3）利用条件可得0＜α＜π3，tan α∈（0，√3），即x ∈（0，√3），由此求得函数f （x ）=x 1+2x 2=11x +2x ，利用基本不等式以及函数的单调性，求得函数f （x ）的值域．解：（1）证明：∵sin （2α+β）＝3sin β，∴sin[（α+β）+α]＝3sin[（α+β）﹣α]， 展开可得sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α＝3sin （α+β）cos α﹣3cos （α+β）sin α， 4cos （α+β）sin α＝2sin （α+β）cos α，∴tan （α+β）＝2tan α．（2）∵tan α＝x ，tan β＝y ，y ＝f （x ），又tan β＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2tanα−tanα1+2tanα⋅tanα=x 1+2x 2， 即函数f （x ）的解析式y ＝f （x ）=x 1+2x 2． （3）若角α是一个三角形的最小内角，则0＜α＜π3，tan α∈（0，√3），即x ∈（0，√3），则函数f （x ）=x 1+2x 2=11x +2x≤22=√24，当且仅当x =√22时，取等号． 函数f （x ）在（0，√22）上单调递增，在（√22，√3）上单调递减， 当x 趋于零时，f （x ））=x 1+2x 2 趋于0，当x 趋于√3时，f （x ））=x 1+2x 2 趋于√37， 故函数f （x ）的值域为（0，√24]．【点评】本题主要考查两角和差的正弦、正切公式的应用，求函数的解析式，基本不等式的应用，求函数的值域，属于中档题．。
2014-2015年上海市位育中学高一(下)期中数学试卷含解析
2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．3．（3分）若cotx=2，则=．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为．6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是．8．（3分）函数的值域为．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是．11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为．12．（3分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（co sα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=±4．【解答】解：∵P（3，y）是角α终边上的一个点，若=，则y=±4，故答案为：±4．2．（3分）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是．【解答】解：S==，故答案为：．3．（3分）若cotx=2，则=．【解答】解：∵cotx=2，∴tanx=，∴===，故答案为：．4．（3分）已知tana=，则sin2a=．【解答】解：∵tana=，∴sin2α===．故答案为：．5．（3分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为π．【解答】解：∵f（x）=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴T==π．故答案为：π6．（3分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．7．（3分）已知函数y=tanωx在（﹣，）内是减函数，则ω的取值范围是﹣1≤ω＜0．【解答】解：由已知条件ω＜0，又≥π，∴﹣1≤ω＜0．故答案为﹣1≤ω＜08．（3分）函数的值域为．【解答】解：==，∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣2≤2cosx≤2，则1≤2cosx+3≤5，∴2≤2（2cosx+3）≤10，则，∴≤5，故答案为：．9．（3分）若函数的图象关于y轴对称，则θ=θ=kπ+，k∈Z．【解答】解：∵函数=2[sin（x+θ）+cos（x+θ）]=2sin（x+θ+）的图象关于y轴对称，∴θ+=kπ+，即θ=kπ+，k∈Z，故答案为：θ=kπ+，k∈Z．10．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，，∴b2tanC=c2tanB，∴由正弦定理可得sin2B•=sin2C•，约掉sinBsinC变形可得sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，故2B=2C或2B+2C=π，故B=C或B+C=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形11．（3分）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围为（，3）．【解答】解：由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2 ab•cosC，C为钝角．∴cosC=＜0，∴c＞．再由三角形任意两边之和大于第三边可得c＜3．综上可得＜c＜3，故答案为（，3）．12．（3分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是1个．【解答】解：∵sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ∵sinx＜cosx，∴﹣+2kπ＜x＜+2kπ∴f（x）=，∴f（x）的值域为[﹣，1]当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．∵f（x+π）=≠f（x）∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）综上所述，正确的个数是1个，故答案为1个．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．14．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【解答】解：在三角形中，若A＞B，则边a＞b，由正弦定理，得sinA ＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根据大边对大角，可知A＞B．所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故选：A．15．（3分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ【解答】解：A，当α=β=2kπ（k∈Z）时，sinα=sinβ=0，cosα=cosβ=1，sin（α+β）=0，所以sin（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误；B，当α=β=0时，cos（0+0）=cos0cos0+sin0sin0=1正确，故B正确；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ，正确．故选：A．16．（3分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．三、解答题：（共52分）17．（8分）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．18．（10分）设实数a＜0，定义域为R的函数的最大值是，且，（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）在上的最值．【解答】解：（1）==，由题意得：，解得：；（2）由（1）得：，∵，∴，故当，即时，函数f（x）的最大值为；当，即时，函数f（x）的最小值为．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；（2）∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，则△ABC为正三角形时，S max=．20．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．21．（10分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由广义周期的定义可得f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2Tx+T2=M对x∈R恒成立，比较系数可得，解得T=M=0，这与M，T均为非零常数矛盾，故f（x）=x2不是广义周期函数；（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且．证明如下：∵=（非零常数），由广义周期的定义可得．。
2014-2015学年上海市闵行区七宝中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分30分）本大题共有10题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知点M （tan α，cos α）在第二象限，则角α的终边在第 象限． 2．sin(π−α)cos(4π−α)tan(−α+5π2)cos(−α−π)sin(−α−π)的值为．3．化简sinacosa cos a−sin a−tana 1−tan a= ．4．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ．5．三角形的三条高的长度分别为113，110，15，则此三角形的形状是 ．6．设函数f （x ）＝sin3x ，若y ＝f （x +t ）是偶函数，则t 的一个可能值是 ． 7．已知f(n)=cosnπ4(n ∈N ∗)，则f （1）+f （2）+…+f （2015）的值为 ． 8．若函数f(x)=√3sin2x +acos2x 的图象关于直线x =−π8对称，则实数a ＝ ． 9．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A 走过的路程是 ．10．函数y ＝3cos （x +10°）+5sin （x +40°）的最大值是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分． 11．k ∈Z ，下列各组角的表示中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6D ．kπ3与kπ+π312．方程cos x ＝lg |x |的实数根的个数是（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．7个13．在下列四个命题中，①函数y =tan(x +π4)的定义域是{x|x ≠kπ+π4，k ∈Z}； ②已知sinα=12，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{π6}；③函数y =sin(2x +π3)+sin(2x −π3)的最小正周期是π； ④△ABC 中，若cos A ＞cos B ，则A ＜B ． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[﹣2，1]，则b ﹣a 的值不可能是（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．3π2三、解答题（本大题满分54分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．15．已知−π2＜x ＜0，sinx +cosx =15．（1）求sin x ﹣cos x 的值； （2）求tan2x 的值．16．为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为π3的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD ．试用图中α表出内接矩形ABCD 的面积S ．17．如图，已知△ABC ，a 、b 分别为角A 、B 的对边，设A （b cos α，b sin α），∠AOB ＝β，D 为线段AB 的中点．定义：M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的中点坐标为(x 1+x 22，y 1+y 22)． 若a ＝2，b ＝1，且点D 在单位圆上，求cos β的值．18．已知△ABC 中，A ＜B ＜C ，a ＝cos B ，b ＝cos A ，c ＝sin C （1）求△ABC 的外接圆半径和角C 的值； （2）求a +b +c 的取值范围．19．已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若关于x 的方程f （x ）＝a 在x ∈[π4，π2]上时有两个相异实数解，求这两实数解的和； （3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 第二卷20．填空题：方程√x 3|sinπx|=x −3√x 3的解的个数为 个．21．已知a ＝cos40°cos37°﹣cos50°sin37°，b =√22(sin56°−cos56°)，c =1−tan 239°1+tan 239°，d =12(cos80°−2cos 250°+1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．a ＞c ＞b ＞dD ．c ＞a ＞b ＞d22．解答题：x ，y ∈[−π4，π4]，a ∈R ，且{x 5+sinx −4a =08y 5+14sin2y +a =0，求cos(x +2y +π4)的值．2014-2015学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（本大题满分30分）本大题共有10题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知点M （tan α，cos α）在第二象限，则角α的终边在第 四 象限． 【分析】由点M （tan α，cos α）在第二象限，可得{tanα＜0cosα＞0，即可得出．解：∵点M （tan α，cos α）在第二象限， ∴{tanα＜0cosα＞0 ∴α在第四象限． 故答案为：四【点评】本题考查了角所在象限的符号、点在各个象限的坐标符号，属于基础题． 2．sin(π−α)cos(4π−α)tan(−α+5π2)cos(−α−π)sin(−α−π)的值为−1tanα． 【分析】利用诱导公式化简所给的式子，可得结果． 解：sin(π−α)cos(4π−α)tan(−α+5π2)cos(−α−π)sin(−α−π)=sina⋅cosa⋅1tana−cosa⋅sina=−1tanα，故答案为：−1tanα．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 3．化简sinacosa cos a−sin a−tana 1−tan a= 0 ．【分析】把被减式的分子利用二倍角的正弦函数公式变形，分母利用二倍角的余弦函数变形，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，减式利用二倍角的正切函数公式变形，相减即可得到最简结果． 解：sinacosa cos 2a−sin 2a−tana 1−tan 2a=12×2sinacosa cos 2a−sin 2a −12×2tana 1−tan 2a=12sin2αcos2α−12tan2α=12tan2α−12tan2α ＝0． 故答案为：0【点评】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 4．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝322．【分析】由条件利用两角差的正切公式求得tan （α+π4）的值．解：∵tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，∴tan （α+π4）=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)⋅tan(β−π4)=25−141+25×14=322， 【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 5．三角形的三条高的长度分别为113，110，15，则此三角形的形状是 钝角三角形 ．【分析】根据题意，设三条高线对应的边长分别为13t ，10t ，5t ，最大边对应的角为 θ，由余弦定理计算可得cos θ＜0，由（0，π）上余弦值的符号，分析可得答案． 解：根据题意，设三条高线对应的边长分别为13t ，10t ，5t ，最大边对应的角为θ， 由余弦定理可得cos θ=(10t)2+(5t)2−(13t)22×(10t)×(5t)=−1125＜0，则θ 为钝角，故三角形为钝角三角形， 故答案为：钝角三角形．【点评】本题考查余弦定理的应用，在（0，π）上余弦值的符号，设出边长分别为13t ，10t ，5t ，是解题的关键．6．设函数f （x ）＝sin3x ，若y ＝f （x +t ）是偶函数，则t 的一个可能值是π6．【分析】由函数的解析式求出f （x +t ）的解析式，根据题意和余弦函数的奇偶性，利用诱导公式求出t 的所有取值的集合，再求出其中一个值即可． 解：∵f （x ）＝sin3x ，∴f （x +t ）＝sin3（x +t ）＝sin （3x +3t ），∵f （x +t ）是偶函数，∴3t =π2+k π，（k ∈z ），即t =π6+k3π，（k ∈z ），则t 的一个可能值是π6．故答案为：π6．【点评】本题考查了余弦函数的奇偶性的应用，先由根据题意对函数解析式进行化简后，再诱导公式和函数的奇偶性求出解集，在解集中任取一个值即可，本题是一个开放性的题目只要答案符合题意就可以．7．已知f(n)=cos nπ4(n ∈N ∗)，则f （1）+f （2）+…+f （2015）的值为 ﹣1 ． 【分析】利用余弦函数的周期性，求得f （1）+f （2）+…+f （2015）的值． 解：∵已知f(n)=cos nπ4(n ∈N ∗) 的周期为2ππ4=8，f （1）+f （2）+…+f （8）=√22+0−√22−1−√22+0+√22+1＝0，f （1）+f （2）+…+f （2015）＝251•[f （1）+f （2）+…+f （8）]+f （1）+f （2）+…+f （7） ＝0+（﹣1）＝﹣1， 故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．8．若函数f(x)=√3sin2x +acos2x 的图象关于直线x =−π8对称，则实数a ＝ −√3 ． 【分析】由题意可得f （−π4）＝f （0），由此求得实数a 的值． 解：∵函数f(x)=√3sin2x +acos2x 的图象关于直线x =−π8对称， ∴f （−π4）＝f （0）， 即−√3+0＝0+a ，∴a =−√3， 故答案为：−√3．【点评】本题主要考查三角函数的图象的对称性，属于基础题．9．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A 走过的路程是6π+√52π ．【分析】由弧长公式计算各段弧长，相加可得答案．解：第一次是以B 为旋转中心，以BA =√22+1=√5为半径旋转90°，此次点A 走过的路径是π2×√5=√52π． 第二次是以C 为旋转中心， 以CA 1＝1为半径旋转90°， 此次点A 走过的路径是π2×1=π2．第三次是以D 为旋转中心， 以DA 2＝2为半径旋转60°， 此次点A 走过的路径是π3×2=23π，∴点A 三次共走过的路径是√5π2+π2+2π3=76π+√52π． 故答案为：76π+√52π．【点评】本题考查弧长公式，求出各段弧长的圆心角和半径是解决问题的关键，属基础题． 10．函数y ＝3cos （x +10°）+5sin （x +40°）的最大值是 7 ．【分析】将x +40°化成x +10°+30°，使用差角公式展开，合并再用辅助角公式化简，得出最值即可．解：y ＝3cos （x +10°）+5sin （x +40°）＝3cos （x +10°）+5sin[（x +10°）+30°] ＝3cos （x +10°）+5[sin （x +10°）cos30°+cos （x +10°）sin30°]＝3cos （x +10°）+5√32sin （x +10°）+52cos （x +10°）=112cos(x +10°)+5√32sin(x +10°)＝7cos （x +10°+θ）．∴函数y ＝3cos （x +10°）+5sin （x +40°）的最大值是7． 故答案为：7．【点评】本题考查了三角函数恒等变换及求值，发现两个角的特殊关系是关键，是中档题． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分．11．k ∈Z ，下列各组角的表示中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6D ．kπ3与kπ+π3【分析】直接由终边相同角的概念逐一核对四个选项得答案． 解：kπ2，k ∈Z 表示终边在坐标轴上的角的集合，k π±π2表示终边在y 轴上的角的集合，两组角终边不同；（2k +1）π与（4k ±π）（k ∈Z ）都表示终边在x 轴负半轴上的角，两组角终边相同； k π+π6表示终边与π6和7π6终边相同的角的集合，2k π±π6表示终边与π6与−π6终边相同的角的集合，两组角终边不同； k π±π3不含0，而kπ3含有0，两组角终边不同．故选：B ．【点评】本题考查了终边相同角的概念，是基础题． 12．方程cos x ＝lg |x |的实数根的个数是（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．7个【分析】作出y ＝cos x 和y ＝lg |x |的函数图象，根据函数的对称性和交点个数得出方程解的个数．解：做出y ＝cos x 和y ＝lgx 的函数图象如图所示：由图象可知y ＝cos x 和y ＝lgx 的图象有3个交点， ∵y ＝cos x 和y ＝lg |x |都是偶函数， ∴y ＝cos x 和y ＝|lgx |的图象有6个交点， ∴方程cos x ＝lg |x |有6个根．故选：C ．【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题． 13．在下列四个命题中，①函数y =tan(x +π4)的定义域是{x|x ≠kπ+π4，k ∈Z}； ②已知sinα=12，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{π6}；③函数y =sin(2x +π3)+sin(2x −π3)的最小正周期是π； ④△ABC 中，若cos A ＞cos B ，则A ＜B ． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据正切函数的定义域求出y 的定义域即可判断①正确； 求出sinα=12在α∈[0，2π]内的取值集合即可判断②错误；化函数y 为正弦型函数，求出它的最小正周期，判断③正确； 根据△ABC 中A 、B ∈（0，π），结合余弦函数的单调性判断④正确． 解：对于①，令x +π4≠k π+π2，k ∈Z ，解得x ≠k π+π4，k ∈Z ， ∴函数y =tan(x +π4)的定义域是{x|x ≠kπ+π4，k ∈Z}，①正确； 对于②，已知sinα=12，且α∈[0，2π]， 则α的取值集合是{π6，5π6}，∴②错误；对于③，函数y =sin(2x +π3)+sin(2x −π3)＝（12sin2x +√32cos2x ）+（12sin2x −√32cos2x ）＝sin2x ，它的最小正周期是π，③正确； 对于④，△ABC 中，A 、B ∈（0，π），根据余弦函数的单调性知，若cos A ＞cos B ，则A ＜B ，④正确． 以上真命题是①③④，共3个． 故选：C ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合题．14．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[﹣2，1]，则b ﹣a 的值不可能是（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．3π2【分析】由题意得，x ∈[a ，b ]时，﹣1≤sin x ≤12，定义域的区间长度b ﹣a 最小为2π3，最大为4π3，由此选出符合条件的选项．解：函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[﹣2，1]，∴x ∈[a ，b ]时，﹣1≤sin x ≤12， 故sin x 能取到最小值﹣1，最大值只能取到12，例如当a =−π2，b =π6时，区间长度b ﹣a 最小为2π3；当a =−7π6，b =π6时，区间长度b ﹣a 取得最大为4π3，即2π3≤b ﹣a ≤4π3， 故b ﹣a 一定取不到3π2，故选：D ．【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，判断定义域的区间长度b ﹣a 最小为2π3，最大为4π3，是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题满分54分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．15．已知−π2＜x ＜0，sinx +cosx =15．（1）求sin x ﹣cos x 的值； （2）求tan2x 的值．【分析】（1）通过方程平方，求出sin x cos x ，然后求sin x ﹣cos x 的平方，结合角的范围求解即可；（2）利用二倍角公式化简tan2x ，结合（1）的解答，求出所求tan2x 的值．解：（1）(sinx +cosx)2=1+2sinxcosx =125，∴(sinx −cosx)2=1−2sinxcosx =4925． ∵−π2＜x ＜0，∴sinx −cosx =−75．（2）tan2x =2tanx 1−tan 2x =2sinxcosx cos 2x−sin 2x =2sinxcosx (cosx+sinx)(cosx−sinx)=−247 【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围，考查计算能力．16．为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为π3的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD ．试用图中α表出内接矩形ABCD 的面积S ．【分析】先用所给的角表示AB ，BC ，即可将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型． 解：如图，在Rt △OBC 中，OB ＝2cos α，BC ＝2sin α，在Rt △OAD 中，OA =√33DA =2√33sin α．所以AB ＝OB ﹣OA ＝2cos α−2√33sin α．设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB •BC ＝（2cos α−2√33sin α）•2sin α＝4sin αcos α−4√33sin 2α＝2sin2α+2√33cos2α−2√33=4√33（√32sin2α+12cos2α）−2√33=4√33sin （2α+π6）−2√33（0＜α＜π3）．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．17．如图，已知△ABC ，a 、b 分别为角A 、B 的对边，设A （b cos α，b sin α），∠AOB ＝β，D 为线段AB 的中点．定义：M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的中点坐标为(x 1+x 22，y 1+y 22)． 若a ＝2，b ＝1，且点D 在单位圆上，求cos β的值．【分析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出AB ，利用余弦定理，求cos β的值．解：由题意，（2OD ）2+AB 2＝2（12+22），∴AB =√6， ∴cos β=4+1−62×2×1=−14． 【点评】本题考查三角函数值的计算，考查余弦定理，考查学生的计算能力，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出AB 是关键． 18．已知△ABC 中，A ＜B ＜C ，a ＝cos B ，b ＝cos A ，c ＝sin C （1）求△ABC 的外接圆半径和角C 的值； （2）求a +b +c 的取值范围．【分析】（1）由正弦定理求得外接圆半径R ．再由a ＝cos B ，b ＝cos A ，可得cosB sinA=cosA sinB，化简得sin2A ＝sin2B ．再由A ＜B ＜C ，可得2A +2B ＝π，由此可得C 的值．（2）由于a +b +c ＝cos B +cos A +sin C =√2sin （A +π4）+1．再由O ＜A ＜π4，利用正弦函数的定义域和值域求得sin （A +π4）+1＜√2+1的范围，即可求得a +b +c 的取值范围． 解：（1）由正弦定理c sinC=2R ＝1，∴R =12．再由a ＝cos B ，b ＝cos A ，可得cosB sinA=cosA sinB，故有sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ．再由A ＜B ＜C ，可得2A +2B ＝π，∴C =π2．（2）由于a +b +c ＝cos B +cos A +sin C ＝sin A +cos A +1=√2sin （A +π4）+1． 再由O ＜A ＜π4，可得π4＜A +π4＜π2，∴√22＜sin （A +π4）＜1， ∴2＜√2sin （A +π4）+1＜√2+1， 即a +b +c 的取值范围为（2，√2+1）．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 19．已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若关于x 的方程f （x ）＝a 在x ∈[π4，π2]上时有两个相异实数解，求这两实数解的和；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）先化简函数，再由正弦函数的性质可求出函数f （x ）的单调递减区间； （2）x ∈[π4，π2]，2x −π3∈[π6，2π3]，即可求这两实数解的和；（3）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可．解：（1）f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x =sin2x −√3cos2x +1＝2sin （2x −π3）+1，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，可得k π+512π≤x ≤k π+11π12，∴函数f （x ）的单调递减区间是[k π+512π，k π+11π12]（k ∈Z ）； （2）x ∈[π4，π2]，2x −π3∈[π6，2π3]，∵关于x 的方程f （x ）＝a 在x ∈[π4，π2]上时有两个相异实数解， ∴两根关于2x −π3=π2对称， ∴这两实数解的和为56π；（3）由条件可知m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2 又当x ∈[π4，π2]上时，f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2 ∴1＜m ＜4，即：m 的取值范围是（1，4）．【点评】本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题． 第二卷20．填空题：方程√x 3|sinπx|=x −3√x 3的解的个数为 11 个．【分析】x ＝0时，方程成立，当x ≠0时，做出y ＝|sin πx |和y =√x 23−3的函数图象，根据函数图象交点个数判断解的个数．解：显然x ＝0是方程√x 3|sinπx|=x −3√x 3的解，当x ≠0时，由√x 3|sinπx|=x −3√x 3得|sin πx |=x−3√x 3√x3=√x 23−3，做出y ＝|sin πx |和y =√x 23−3在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（0，+∞）上有5个交点， 又y ＝|sin πx |和y =√x 23−3都是偶函数， ∴两函数图象在（﹣∞，0）上也有5个交点，综上，方程√x 3|sinπx|=x −3√x 3共有11个解．故答案为：11．【点评】本题考查了方程的根的个数与函数图象的关系，属于中档题．21．已知a ＝cos40°cos37°﹣cos50°sin37°，b =√22(sin56°−cos56°)，c =1−tan 239°1+tan 239°，d =12(cos80°−2cos 250°+1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．a ＞c ＞b ＞dD ．c ＞a ＞b ＞d【分析】利用两角和公式和倍角公式对a ，b ，c ，d 分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．解：a ＝cos40°cos37°﹣cos50°sin37°＝sin50°cos37°﹣cos50°sin37°＝sin13°，b =√22(sin56°−cos56°)=sin56°cos45°﹣cos56°sin45°＝sin11°，c =1−tan 239°1+tan 239°=cos78°＝sin12°， d =12cos80°−12cos100°=12cos80°+12cos80°＝cos80°＝sin10°∵sin10°＜sin11°＜sin12°＜sin13， ∴d ＜b ＜c ＜a ． 故选：C ．【点评】本题主要考查了两角和公式，二倍角角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性．为了便于比较，应把每一项转化成同名函数，且在一个单调区间．22．解答题：x ，y ∈[−π4，π4]，a ∈R ，且{x 5+sinx −4a =08y 5+14sin2y +a =0，求cos(x +2y +π4)的值． 【分析】设f （u ）＝u 5+sin u ．根据题设等式可知f （x ）＝4a ，f （2y ）＝﹣4a ，进而根据函数的奇偶性，求得f （x ）＝﹣f （2y ）＝f （﹣2y ）．进而推断出x +2y ＝0．进而求得cos （x +2y +π4）的值． 解：设f （u ）＝u 5+sin u ．∵{x 5+sinx −4a =08y 5+14sin2y +a =0，由①式得f （x ）＝2a ，由②式得f （2y ）＝﹣2a ．因为f （u ）在区间[−π2，π2]上是单调增函数，并且是奇函数，∴f （x ）＝﹣f （2y ）＝f （﹣2y ）． ∴x ＝﹣2y ，即x +2y ＝0．∴cos （x +2y +π4）=√22故答案为：√22．【点评】本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．属于中档题。
2014-2015学年上海中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝ ．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ ．3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝ ． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 ． 5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ． 6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 ．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 ．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 ．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ ．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 ．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 ． 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2|C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值； （2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．17．已知函数f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设x ∈[−π3，π3]，求f （x ）的单调区间．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．20．已知函数f（x）＝a（|sin x|+|cos x|）+4sin2x+9，若f(9π4)=13−9√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n，使得f（x）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝45．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值．解：∵角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），∴x ＝3t ，y ＝4t ，r ＝|OP |＝5t ， 则sin θ=y r =45， 故答案为：45．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ 65° ．【分析】连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ，即可得出结论．解：连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∴∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ， ∵BĈ，CF ̂的度数分别为62°，68°， ∴∠BDF =12(62°+68°)=65°，故答案为65°．【点评】本题考查圆周角定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础， 3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝π6．【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ，由此求得φ的值． 解：∵函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，∴−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ， 结合0＜φ＜π，则φ=π6， 故答案为：π6．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 {x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z } ．【分析】先利用两角和公式对 sin x +cos x 化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集．解：sin x +cos x =√2（ √22sin x +√22cos x ）=√2sin （x +π4）＝﹣1∴sin （x +π4）=−√22∴x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z故答案为：{x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z }．【点评】本题主要考查了终边相同的角、正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= cos θ2 ．【分析】利用二倍角余弦公式的变形进行转化去根号是解决本题的关键，即将被开方数进行升幂转化，结合角所在的象限进行开方化简． 解：由于π＜θ＜3π2，则π2＜θ2＜3π4， ∴cos θ＜0，sin θ2＞0，cos θ2＜0，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ=√12+12√cos 2θ−√1−2sin θ2cos θ2=√1−cosθ2−√(sin θ2−cos θ2)2=sin θ2−|sin θ2−cos θ2| ＝sin θ2−sin θ2+cosθ2=cos θ2．故答案为：cos θ2．【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形公式的运用，考查三角函数的基本关系式的应用，诱导公式带根号问题的处理方法，考查学生的转化与化归思想和方法，注意角所在象限对三角函数正负的影响，是中档题．6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x 2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 （0，5） ．【分析】利用倍角公式、诱导公式化简f （x ），利用其单调性可得f （x ）的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出．解：函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ＝4sin x •1−cos(π2+x)2+cos2x ＝2sin x （1+sin x ）+1﹣2sin 2x ＝2sin x +1，∵π6≤x ≤2π3，∴sin x ∈[12，1]，∴f （x ）∈[2，3]．∵|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，即0＜m ＜5． 则实数m 的取值范围为（0，5）． 故答案为：（0，5）．【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性、绝对值不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 √3 ．【分析】设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0），化简|MN |为|sin （x 0+π6）|，利用正弦函数的有界性求得它的最最大値．解：直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点， 设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0）， 则|MN |＝|2cos x 0﹣sin （x 0+π6）|＝|√32sin x 0−32cos x 0|=√3•|12sin x 0 −√32cos x 0|=√3|sin （x 0−π3）|≤√3，当且仅当x 0−π3=k π+π2，k ∈z 时，即x 0 ＝k π+5π6，k ∈z 时，等号成立，则|MN |的最大值为√3，故答案为：√3．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，考查两点间的距离公式与辅助角公式的应用，正弦函数的有界性，属于中档题．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ． 【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，由此求得x 和y 的取值范围，即为所求．解：∵cos （x +y ）＝cos x cos y ﹣sin x sin y ，若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立， 则sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，故x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ， 故答案为：x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ．【点评】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ 2k π±2π3，k ∈Z ．【分析】化函数y 为y ＝A sin （ωx +φ）后，振幅为1，得出（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝1，求出cos （α﹣β）=−12，得α﹣β的值．解：函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）＝（sin x cos α+cos x sin α）+（sin x cos β+cos x sin β） ＝sin x （cos α+cos β）+cos x （sin α+sin β），化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）后，振幅为1， ∴（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝cos 2α+2cos αcos β+cos 2β+sin 2α+2sin αsin β+sin 2β ＝2+2cos （α﹣β）＝1，∴cos （α﹣β）=−12，α﹣β＝2k π±2π3，k ∈Z ．故答案为：2k π±2π3，k ∈Z ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数应用问题，是基础题．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 1≤k ＜√2 ．【分析】根据x 的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简|sin x |，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x 的范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，根据题意并且结合正弦图象可得出k 的范围．解：当x ∈[0，π]时，|sin x |＝sin x ， 所以y ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4）， 当x ∈（π，2π）时，|sin x |＝﹣sin x ， 所以y ＝﹣sin x +cos x =√2sin （π4−x ），根据解析式画出分段函数图象，分析可得k 的范围为：1≤k ＜√2． 故答案为：1≤k ＜√2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象，利用了数形结合的思想．根据x 的范围化简|sin x |，再利用三角函数的恒等变换得到一个角的正弦函数，从而确定出分段函数的解析式，在坐标系中画出相应的分段函数图象是解本题的关键．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 ．【分析】法一：先利用二倍角公式将函数f （x ）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x ，通过对二次齐次式分子分母同除以cos 2x 的办法，转化为关于x 的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x ，利用数形结合求函数的最值解：解法一：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x 2sinx⋅cosx∵0＜x ＜π2，∴cos x ＞0，tan x ＞0， ∴将f （x ）的分子分母同除以cos 2x∴f （x ）=2+6tan 2x 2tanx =1tanx +3tanx ≥2√1tanx×3tanx =2√3（当且仅当tan x =√33，即x =π6时取等号）∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 故答案为2√3解法二：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =1+cos2x+6×1−cos2x2sin2x=−2(cos2x−2)sin2x∴设x ＝sin2x ，y ＝cos2x ，∵0＜x ＜π2，∴0＜x ≤1，﹣1＜y ＜1， 且x 2+y 2＝1∴点P （x ，y ）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图 此时y−2x表示点P 与点（0，2）连线的斜率数形结合可得：OP ＝r ＝1，OM ＝2，∠MAO ＝60° ∴y−2x≤−√3∴−2(cos2x−2)sin2x=−2(y−2)x≥2√3∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3故答案为2√3【点评】本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）【分析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断． 解：由于kπ2表示π2的整数倍，而 kπ+π2=（2k +1）π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件． 由于k π±π3=（3k ±1）π3表示π3的非3的整数倍，而kπ3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．（2k +1）π 表示π的奇数倍，（4k ±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）是终边相同的角，故C 满足条件． k π+π6=(6k+1)π6，表示π6 的(6k+1)6倍，而 k π±π6=表示π6的(6k±1)6倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件． 故选：C ．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2| C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx【分析】判断这四个函数的最小正周期，需要逐一分析．A 、D 选项用三角函数对应的公式化为y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0）的形式．C 与B 选项用函数的图象的性质，求出四个函数的周期，得到结果．解：对于A ，f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），其最小正周期T ＝2π；对于B ，f （x ）=f(x)=|tan x2|，先去掉绝对值，利用正切的周期公式得到f （x ）＝tan x2，其最小正周期T ＝2π； 加上绝对值后周期仍然是2π；对于C ，y ＝|sin2x |，y ＝sin2x 的周期是π，加上绝对值以后周期为π2对于D ，f(x)=sin(x +π3)cosx =（12sin x +√32cos x ）cos x =12sin2x +√32×cos2x+12=14sin2x +√34cos2x +√34=12sin （2x +π3）+π4，∴函数的周期是T =2π2=π 综上可知只有D 选项的函数的周期是π 故选：D ．【点评】本题考查三角函数最小正周期的求法．根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T =2πω，正切型最小正周期为T =πω，初次之外可以用图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换，得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式，本题是一个中档题目．14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z【分析】利用反三角函数的本质概念及性质，求出a 、b 即可．解：令arcsin a ＝θ，∵cos(arcsina)=√32，∴cos θ=√32，则sin θ＝a =12令arccos b ＝β，∵tan(arccosb)=−√3，∴tan β=−√3，则cos β＝b =−12． ∴sinx1−cosx=a +b =0，则sin x ＝0且cos x ≠1，∴x ＝2k π+π，（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查了反三角函数的本质概念及性质，及解三角方程、三角函数的性质，属于中档题．15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q ，利用充要条件的定义判断出p 是q 的充要条件． 解：q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α即α﹣β＞sin （β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β 故选：A ．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断． 三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值；（2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．解：（1）∵169x2﹣bx+60＝0的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ=b169，sinθcosθ=60169＞0，∵θ∈(π4，3π4)，∴θ+π4∈（π2，π），即sinθ+cosθ=√2sin（θ+π4）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×60169=（b169）2，解得：b＝±221（负值舍去），则b＝221；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×60169=49 169，∴sinθ﹣cosθ=7 13，∵sinθ+cosθ=17 13，∴sinθ=1213，cosθ=513，则原式=sin2θ+1−cos2θsinθ(1−cosθ)=2sinθ1−cosθ=3．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)−2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[−π3，π3]，求f（x）的单调区间．【分析】根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω＝2，可得f（x）的最小正周期；x∈[−π3，π3]，⇒−π3≤2x+π3≤π，当−π3≤2x+π3≤π2，即−π3≤x≤π12时f（x）递减，同理求得递增区间．解：f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx =−（sin2x +√3cos2x ）＝﹣2sin （2x +π3）．（1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π．（2）∵x ∈[−π3，π3]，∴−π3≤2x +π3≤π， 当−π3≤2x +π3≤π2，即−π3≤x ≤π12， 故f （x ）的递减区间为[−π3，π12]．增区间为[π12，π3]．【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．【分析】（1）将f （sin x ），f （cos x ）代入g （x ），分子分母分别乘以（1﹣sin x ），（1﹣cos x ）去掉根号，再由x 的范围去绝对值可得答案．（2）先由x 的范围求出x +π4的范围，再由三角函数的单调性可得答案． 解：（Ⅰ）g(x)=cosx ⋅√1−sinx 1+sinx+sinx ⋅√1−cosx 1+cosx=cosx ⋅√(1−sinx)2cos 2x+sinx ⋅√(1−cosx)2sin 2x∵x ∈(π，17π12]，∴|cosx|=−cosx ，|sinx|=−sinx ， ∴g(x)=cosx ⋅1−sinx −cosx +sinx ⋅1−cosx−sinx＝sin x +cos x ﹣2=√2sin(x +π4)−2． （Ⅱ）由π＜x ≤17π12，得5π4＜x +π4≤5π3． ∵sin t 在(5π4，3π2]上为减函数，在(3π2，5π3]上为增函数，又sin 5π3＜sin 5π4，∴sin 3π2≤sin(x +π4)＜sin 5π4（当x ∈(π，17π2]），即−1≤sin(x +π4)＜−√22，∴−√2−2≤√2sin(x +π4)−2＜−3，故g （x ）的值域为[−√2−2，−3)．【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．【分析】（1）由图1及对称性知，CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ，又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ，得AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ，由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，利用导数求解（2）当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合，当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线，AD ≥BC 解：（1）由图1及对称性知， CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ， 又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ， ∴AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ， 由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，即L 关于θ的函数关系式 L =1sinθ+sinθcos2θ，θ∈（0，π2），L ′=2cosθ(2sin 2θ−cos 2θ)4sin 2θcos 4θ=0， 可得tan θ=√22，即有arctan √22＜θ＜π2，L ′＞0，函数L 递增；0＜θ＜arctan √22，L ′＜0，函数L 递减．可得L =133+33×(1−2×13)=3√34， 此时L 取得最小值为3√34；（2）如下图，当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合， 当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线， AD ≥BC ，∴AD 的范围是[1，+∞）【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，若f(9π4)=13−9√2． （1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）计算x =9π4时f （x ）的值，从而解得a 的值； （2）根据f （x +π）＝f （x ），求得f （x ）的最小正周期为π；（3）讨论f （x ）在一个周期内的函数性质，即x ∈[0，π2]和x ∈（π2，π）时，f （x ）零点的情况，从而得出正确的结论．解：（1）函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9， 令x =9π4，得√2a +4+9＝13﹣9√2，解得a ＝﹣9； （2）f （x +π）＝﹣9[|sin （x +π）|+|cos （x +π）|]+4sin2（x +π）+9 ＝﹣9（|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9＝f （x ） 所以，f （x ）的最小正周期为π．（3）存在n ＝1007满足题意； 当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9； 设t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），t ∈[1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝t 2﹣1，于是f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9＝4t 2﹣9t +5，令4t 2﹣9t +5＝0，得t ＝1或t =54∈[1，√2]，于是x ＝0，π2，或x ＝x 0（0＜x 0＜π4）或x =π2−x 0，其中sin （x 0+π4）=5√28，当x ∈（π2，π）时，f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9．设t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），t ∈（1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝1﹣t 2，于是f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9＝﹣4t 2﹣9t +13， 令﹣4t 2﹣9t +13＝0，解得t ＝1或t =−134∉（1，√2]， 故f （x ）在x ∈（π2，π）没有实根．综上讨论可得，f （x ）＝0在[0，π）上有4根， 当n ＝1006时恰好是503个周期 有2012个根，当n ＝1007时，相当于又往下走了前半个周期，前半个周期有四个根（之前证过的）， 所以为2016个根；故不存在n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2）内恰有2015个根．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根，任意角的三角函数图象与性质的应用问题，是综合题．。
2014-2015年上海市杨浦高中高一(下)期中数学试卷含解析
2014-2015学年上海市杨浦高中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）角α的终边经过点P（﹣4，3），则2sinα﹣cosα=．2．（3分）扇形的圆心角为，它所对的弦长是 3 cm，则此扇形的面积为cm2．3．（3分）已知α是第三象限角，且，则=．4．（3分）如果，，α与β为同一象限角，则cos（α﹣β）=．5．（3分）已知θ是第二象限角，且，则sin2θ=．6．（3分）=．7．（3分）在△ABC中，a=2，b=3，，则△ABC的面积是．8．（3分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为．9．（3分）若，则sinα+cosα=．10．（3分）已知tanα，tαnβ是方程x2﹣3x﹣3=0的两个根，求sin2（α+β）﹣3sin （α+β）cos（α+β）﹣3cos2（α+β）的值．11．（3分）方程sinx=lgx的解的个数为．12．（3分）已知定义在R上的函数f（x）满足，给出以下结论：①f（x）是周期函数；②f（x）的最小值为﹣1；③当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值；④当且仅当，k∈Z时，f（x）＞0；⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，其中正确的结论序号是．二、选择题（每题4分共16分）13．（4分）有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sinα＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα=，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．414．（4分）下列命题中不正确的是（）A．存在这样的α和β的值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB．不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的α和β值，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ15．（4分）已知sin（+a）=，且a∈（，），则sin（+a）的值是（）A．B．C．﹣D．16．（4分）函数y=sinx﹣sin|x|的值域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，0]三、解答题（共48分）17．（8分）已知θ是第四象限角，且，求值：（1）sinθ﹣cosθ；（2）tanθ．18．（8分）已知，化简．19．（10分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以（米/秒）的速度匀速升旗．20．（10分）已知函数，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及此时x的集合．21．（12分）已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，y=f（x）．（1）求证：tan（α+β）=2tanα；（2）求f（x）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．2014-2015学年上海市杨浦高中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）角α的终边经过点P（﹣4，3），则2sinα﹣cosα=2．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，r==5，∴cosα==﹣，sinα==，∴2sinα﹣cosα=2×﹣（﹣）=2，故答案为：22．（3分）扇形的圆心角为，它所对的弦长是3 cm，则此扇形的面积为cm2．【解答】解：∵扇形的圆心角为，它所对的弦长是3 cm，∴圆的半径r=3．∴则此扇形的面积==cm2．故答案为：．3．（3分）已知α是第三象限角，且，则=．【解答】解：∵，∴．∵a是第三象限角，∴．则==sinα=．故答案为：．4．（3分）如果，，α与β为同一象限角，则cos（α﹣β）=．【解答】解：∵，，α与β为同一象限角，∴α与β为同为第二象限角，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×（﹣）+×=，故答案为：．5．（3分）已知θ是第二象限角，且，则sin2θ=﹣．【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sin2θ=sinθcosθ＜0，且=（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θ•cos2θ=1﹣•sin22θ，即=1﹣•sin22θ，∴sin2θ=﹣，故答案为：﹣．6．（3分）=．【解答】解：原式=+﹣=1﹣cos2α﹣+cos2α=故答案为7．（3分）在△ABC中，a=2，b=3，，则△ABC的面积是．【解答】解：∵a=2＜b=3，，∴A为锐角，cosA==，∴由余弦定理可得：22=32+c2﹣2×3×c×，整理可得：c2﹣2c+5=0，∴解得：c=±1，=bcsinA=．∴S△ABC故答案为：．8．（3分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得cosC===﹣．故答案为：﹣9．（3分）若，则sinα+cosα=．【解答】解：若，则sinα+cosα=+=+=+=+=，故答案为：．10．（3分）已知tanα，tαnβ是方程x2﹣3x﹣3=0的两个根，求sin2（α+β）﹣3sin （α+β）cos（α+β）﹣3cos2（α+β）的值．【解答】解：tanα，tαnβ是方程x2﹣3x﹣3=0的两个根，∴tanα+tαnβ=3，tanαtαnβ=﹣3，∴tan（α+β）==．则sin2（α+β）﹣3sin（α+β）cos（α+β）﹣3cos2（α+β）====﹣3．11．（3分）方程sinx=lgx的解的个数为3．【解答】解：画出函数y=sinx和y=lgx的图象，结合图象易知这两个函数的图象有3交点．12．（3分）已知定义在R上的函数f（x）满足，给出以下结论：①f（x）是周期函数；②f（x）的最小值为﹣1；③当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值；④当且仅当，k∈Z时，f（x）＞0；⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，其中正确的结论序号是①④⑤．【解答】解：作出函数f（x）的图象，实线即为f（x）的图象．由图象可知，f（x）为周期函数，T=2π，所以①正确．函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣，所以②错误．当且仅当x=2kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值，所以③错误；④当且仅当，k∈Z时，f（x）＞0，正确；⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，正确，故答案为：①④⑤．二、选择题（每题4分共16分）13．（4分）有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sinα＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα=，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①由三角函数的定义得，①正确；②与﹣的终边不同，但cos=cos（﹣），故②错误；③若α=，则sinα=1＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误；④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα==，故④错．故选：A．14．（4分）下列命题中不正确的是（）A．存在这样的α和β的值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB．不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的α和β值，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ【解答】解：A，当α=β=0时，cos（0+0）=cos0cos0+sin0sin0=1正确，故A正确；B，当α=β=2kπ（k∈Z）时，sinα=sinβ=0，cosα=cosβ=1，cos（α+β）=1，所以cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，故B错误；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ，正确．故选：B．15．（4分）已知sin（+a）=，且a∈（，），则sin（+a）的值是（）A．B．C．﹣D．【解答】解：∵sin（+a）=，且a∈（，），∴cos（a+）=﹣=﹣，则sin（+a）=sin[（a+）﹣]=sin（+a）cos﹣cos（+a）sin=+=，故选：A．16．（4分）函数y=sinx﹣sin|x|的值域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，0]【解答】解：当x≥0时，函数y=sinx﹣sin|x|=0，值域为{0}．当x＜0时，函数y=sinx﹣sin|x|=sinx+sinx=2sinx∈[﹣2，2]，综上可得，函数y=sinx+sin|x|的值域是[﹣2，2]，故选：C．三、解答题（共48分）17．（8分）已知θ是第四象限角，且，求值：（1）sinθ﹣cosθ；（2）tanθ．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，cosθ＞0，∵①，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=﹣，（1）∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣=﹣②．（2）由①②求得sinθ=﹣，cosθ=，∴tanθ==﹣．18．（8分）已知，化简．【解答】解：，∴∈（，），∴cos＞sin＞0，∴=+﹣=（sin+cos）+（cos﹣sin）﹣2cos=0．19．（10分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以0.3（米/秒）的速度匀速升旗．【解答】解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理可知，∴AC=sin∠CEA=10米，∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=10×=15米，∵国歌长度约为50秒，∴=0.3．故答案为：0.3．20．（10分）已知函数，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及此时x的集合．【解答】解：=2sin[（2x﹣）+]=2sin2x．（1）f（x）的最小正周期T=，（2）当2x=2kπ+，k∈Z时，函数f（x）取最大值．即函数f（x）的最大值为2，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．21．（12分）已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，y=f（x）．（1）求证：tan（α+β）=2tanα；（2）求f（x）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）证明：∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）﹣α]，展开可得sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα，4cos（α+β）s inα=2sin（α+β）cosα，∴tan（α+β）=2tanα．（2）∵tanα=x，tanβ=y，y=f（x），又tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，即函数f（x）的解析式y=f（x）=．（3）若角α是一个三角形的最小内角，则0＜α＜，tanα∈（0，），即x ∈（0，），则函数f（x）==≤=，当且仅当x=时，取等号．函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，当x趋于零时，f（x））=趋于0，当x趋于时，f（x））=趋于，故函数f（x）的值域为（0，]．。
上海市实验学校高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015春•上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α= ．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解答：解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=，可得k=1，α=．故答案为：．点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．2．（4分）（2015春•上海校级期中）化简：= ﹣1 ．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求解即可．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（4分）（2015春•上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是2π﹣2 ．考点：弧长公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．解答：解：设圆心角为θ，弧长为l，由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4∴圆心角θ==2π﹣2故答案为：2π﹣2．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．（4分）（2015春•上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ= ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得．解答：解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣，∵β是第三象限的角，∴sinβ=﹣=﹣，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c= 3或5．．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理得出a2=b2+c2﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得：72=82+c2﹣16c•cos60°，整理得：c2﹣8c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5．故答案为：3或5．点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2015春•上海校级期中）若，则sin2α= ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值．解答：解：∵，∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2﹣2tanα，可得：tanα==，∴sin2α===．故答案为：．点评：本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．7．（4分）（2013•黄埔区一模）已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（4分）（2015春•上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ= 或1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ=4，（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，所以有：cosθ=0，代入原式，得 sinθ=1，或者 12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣cosθ，代入原式，有：sinθ=﹣，cosθ=．所以可得：sinθ+cosθ=1，或者 sinθ+cosθ=．故答案为：或1．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．（4分）（2015春•上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：2﹣2cosα，所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2sin（α﹣）+2，所以该八边形的面积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．（4分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意α，β∈R都有f （sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）= x2﹣5x+4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）．解答：解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；f（sinα）的最大值为10；∴f（﹣1）=10；∴解得，；∴f（x）=x2﹣5x+4．故答案为：x2﹣5x+4．点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11．（4分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．解答：解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选C．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．（4分）（2015春•上海校级期中）设集合A={x|x=π+，k∈z}，B={x|x=kπ+，k∈z}，C={x|x=kπ+，k∈z}，则A∩（B∪C）=（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可．解答：解：∵A={x|x=π+，k∈Z}，B={x|x=kπ+，k∈Z}，C={x|x=kπ+，k∈Z}，∴A∩（B∪C）={x|x=2kπ±，k∈Z}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（4分）（2015春•上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）A．sin（sinα）＜sin（tanα）＜sinαB．s in（sinα）＜sinα＜sin（tanα）C．sin（tanα）＜sinα＜sin（sinα）D．s inα＜sin（sinα）＜sin（tanα）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由，得到0＜sinα＜α＜tanα＜1，利用三角函数的单调性解答．解答：解：因为，所以0＜sinα＜α＜tanα＜1，所以sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）；故选：B．点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．14．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的面积的最大值为（）A．2B．2C．2 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+﹣，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=﹣（a2﹣12）2+8，从而可得△ABC面积的最大值．解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB2﹣2a•ABcosB，即a2+4acosB﹣4=0，∴cosB==﹣，∴cos2B=+﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣．∵S△ABC=AB•BCsinB=×2asinB=asinB，∴S2△ABC=a2sin2B=a2（﹣﹣）=﹣+a2﹣1=﹣（a4﹣24a2）﹣1=﹣（a2﹣12）2+8，当a2=12，即a=2时，2、2、2能组成三角形，∴S2max=8，∴S max=2．故选：A．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2△ABC=﹣（a2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解答：解：（1）∵在△ABC中，，∴tanB+tanC=tanA（tanC﹣1），∴tanB=tanAtanC﹣（tanA+tanC）=tanAtanC﹣tan（A+C）（1﹣tanAtanC），∴tanB=tanAtanC+tanB（1﹣tanAtanC），∴tanB﹣tanB（1﹣tanAtanC）=tanAtanC，∴tanBtanAtanC=tanAtanC，∴tanB=，∴B=，（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得，解得，∴．点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．（10分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求的值；（2）设0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解答：解：（1）由题意可得=2sin（×﹣）=2sin=；（2）∵0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，∴f（3α+）=2sin（α+﹣）=2sinα=，∴sinα=，f（3β+2π）=2sin（β+﹣）=2cosβ=，∴cosβ=，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（12分）（2015春•上海校级期中）在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．（1）求t的值；（2）求cosα和sinα的值；（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解答：解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，∴t=sin（α+）==；（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，（sinα+cosα）=，①（cosα﹣sinα）=，②由①②解得，cosα=，sinα=；（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣﹣+=﹣．点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．（12分）（2015春•上海校级期中）已知A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}，（1）求集合A∩B；（2）若对任意x∈A∩B，都有恒成立，求m 的取值范围．考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：集合．分析：（1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞﹣（cosx﹣）2恒成立，求出即可．解答：解（1）A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}={α|（2cosα﹣1）（cosα﹣1）≤0，α∈R}={α|≤cosα≤1，α∈R}={α|2kπ﹣≤α≤2kπ+，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+，k∈Z}，（2）由⇒cos2x﹣4sin（+）cos（+）+m＞0⇒cos2x﹣2sin（+x）+m＞0⇒cos2x﹣2cosx+m＞0⇒2cos2x﹣1﹣2cosx+m＞0⇒m＞﹣2（cosx﹣）2∴若对任意x∈A∩B，都有恒成立，即对任意x∈A∩B，都有m＞﹣2（cosx﹣）2恒成立，∵x∈（2kπ，2kπ+]，∴cosx∈[，1），∴0≤2（cosx﹣）2≤，∴m＞．点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a=2，∠B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解答：解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：=，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，∴cosA=0或 cosB=0，∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2==，sinC=cosx．∴解得：b=2sinx，c=2cosx，∴，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，∵，当时，．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。
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2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015春•上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α=．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解答：解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=，可得k=1，α=．故答案为：．点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．2．（4分）（2015春•上海校级期中）化简：=﹣1．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求解即可．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（4分）（2015春•上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是2π﹣2．考点：弧长公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．解答：解：设圆心角为θ，弧长为l，由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4∴圆心角θ==2π﹣2故答案为：2π﹣2．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．（4分）（2015春•上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得．解答：解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣，∵β是第三象限的角，∴sinβ=﹣=﹣，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c=3或5．．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理得出a2=b2+c2﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得：72=82+c2﹣16c•cos60°，整理得：c2﹣8c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5．故答案为：3或5．点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2015春•上海校级期中）若，则sin2α=．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值．解答：解：∵，∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2﹣2tanα，可得：tanα==，∴sin2α===．故答案为：．点评：本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．7．（4分）（2013•黄埔区一模）已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（4分）（2015春•上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ=或1．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ=4，（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，所以有：cosθ=0，代入原式，得sinθ=1，或者12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣cosθ，代入原式，有：sinθ=﹣，cosθ=．所以可得：sinθ+cosθ=1，或者sinθ+cosθ=．故答案为：或1．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．（4分）（2015春•上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：2﹣2cosα，所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2sin（α﹣）+2，所以该八边形的面积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．（4分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意α，β∈R都有f （sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）=x2﹣5x+4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）．解答：解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；f（sinα）的最大值为10；∴f（﹣1）=10；∴解得，；∴f（x）=x2﹣5x+4．故答案为：x2﹣5x+4．点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11．（4分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．解答：解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选C．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．（4分）（2015春•上海校级期中）设集合A={x|x=π+，k∈z}，B={x|x=kπ+，k∈z}，C={x|x=kπ+，k∈z}，则A∩（B∪C）=（）A．B．C． D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可．解答：解：∵A={x|x=π+，k∈Z}，B={x|x=kπ+，k∈Z}，C={x|x=kπ+，k∈Z}，∴A∩（B∪C）={x|x=2kπ±，k∈Z}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（4分）（2015春•上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）A．sin（sinα）＜sin（tanα）＜sinαB． sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）C．sin（tanα）＜sinα＜sin（sinα）D． sinα＜sin（sinα）＜sin（tanα）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由，得到0＜sinα＜α＜tanα＜1，利用三角函数的单调性解答．解答：解：因为，所以0＜sinα＜α＜tanα＜1，所以sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）；故选：B．点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．14．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的面积的最大值为（）A．2B．2C．2D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+﹣，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=﹣（a2﹣12）2+8，从而可得△ABC面积的最大值．解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB2﹣2a•ABcosB，即a2+4acosB﹣4=0，∴cosB==﹣，∴cos2B=+﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣．∵S△ABC=AB•BCsinB=×2asinB=asinB，∴S2△ABC=a2sin2B=a2（﹣﹣）=﹣+a2﹣1=﹣（a4﹣24a2）﹣1=﹣（a2﹣12）2+8，当a2=12，即a=2时，2、2、2能组成三角形，∴S2max=8，∴S max=2．故选：A．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2△ABC=﹣（a2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解答：解：（1）∵在△ABC中，，∴tanB+tanC=tanA（tanC﹣1），∴tanB=tanAtanC﹣（tanA+tanC）=tanAtanC﹣tan（A+C）（1﹣tanAtanC），∴tanB=tanAtanC+tanB（1﹣tanAtanC），∴tanB﹣tanB（1﹣tanAtanC）=tanAtanC，∴tanBtanAtanC=tanAtanC，∴tanB=，∴B=，（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得，解得，∴．点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．（10分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求的值；（2）设0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解答：解：（1）由题意可得=2sin（×﹣）=2sin=；（2）∵0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，∴f（3α+）=2sin（α+﹣）=2sinα=，∴sinα=，f（3β+2π）=2sin（β+﹣）=2cosβ=，∴cosβ=，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（12分）（2015春•上海校级期中）在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．（1）求t的值；（2）求cosα和sinα的值；（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解答：解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，∴t=sin（α+）==；（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，（sinα+cosα）=，①（cosα﹣sinα）=，②由①②解得，cosα=，sinα=；（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣﹣+=﹣．点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．（12分）（2015春•上海校级期中）已知A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}，（1）求集合A∩B；（2）若对任意x∈A∩B，都有恒成立，求m的取值范围．考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：集合．分析：（1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞﹣（cosx﹣）2恒成立，求出即可．解答：解（1）A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}={α|（2cosα﹣1）（cosα﹣1）≤0，α∈R}={α|≤cosα≤1，α∈R}={α|2kπ﹣≤α≤2kπ+，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+，k∈Z}，（2）由⇒cos2x﹣4sin（+）cos（+）+m＞0⇒cos2x﹣2sin（+x）+m＞0⇒cos2x﹣2cosx+m＞0⇒2cos2x﹣1﹣2cosx+m＞0⇒m＞﹣2（cosx﹣）2∴若对任意x∈A∩B，都有恒成立，即对任意x∈A∩B，都有m＞﹣2（cosx﹣）2恒成立，∵x∈（2kπ，2kπ+]，∴cosx∈[，1），∴0≤2（cosx﹣）2≤，∴m＞．点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a=2，∠B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x 为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解答：解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：=，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，∴cosA=0或cosB=0，∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2==，sinC=cosx．∴解得：b=2sinx，c=2cosx，∴，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，∵，当时，．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。