2012届高三步步高大一轮复习课件：13.4直接证明与间接证明
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高考理科数学一轮复习课件直接证明与间接证明
精确理解概念
在证明之前，确保对涉及的所 有概念有清晰、准确的理解。
偷换概念
在证明过程中，学生可能会不 自觉地改变某个概念的定义或 范围，导致逻辑不严密。
以偏概全
仅根据部分情况就推断整体情 况，缺乏充分的理由和证据支 持。
理顺逻辑关系
在证明过程中，保持清晰的逻 辑链条，确保每一步推理都有 充分的依据。
规范书写，条理清晰
严格按照逻辑顺序进行书写，先 写已知条件，再写推理过程，最
后得出结论。
使用规范的数学符号和术语，避 免使用模糊或歧义的表达方式。
保持证明的连贯性和完整性，确 保每一步推理都有明确的范措施
逻辑错误
循环论证
使用待证明的结论作为证明的 依据，这种逻辑上的“套娃” 现象是无效的。
讨论
本题主要考察综合法的运用，通过变形、代入和基本不等式等方法进行证明。在解题过程中，需要注意对不等式 的变形和已知条件的利用。
例题二：分析法证明等式
解析
本题主要考察分析法证明等式。首先， 我们将原等式进行变形，得到(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - 2(a^2 + b^2 + c^2) = 0。然后，利用已知条件 a+b+c=0进行代入，得到-2ab - 2bc 2ca = 0。最后，通过因式分解等方法进 行证明，得到结论。
讨论
本题主要考察反证法的运用，通过假 设、推理和矛盾等方法进行证明。在 解题过程中，需要注意对假设的设定 和推理过程的严密性。
例题四：同一法证明唯一性问题
解析
本题主要考察同一法证明唯一性问题。首先 ，由前面例题的结论可知，存在c∈(a,b)， 使得f(c) = 0。然后，假设存在另一个 d∈(a,b)，且d≠c，使得f(d) = 0。但是， 由已知条件f(x)在[a,b]上单调增加可知，f(x) 在[a,b]上至多有一个零点，与假设矛盾。因 此，存在唯一c∈(a,b)，使得f(c) = 0。
高考数学一轮总复习 第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明课件 理 湘教版
证明 步骤
(3)归谬：由“_反__设__”出发，通过正确的推理， 导出矛盾——与_已__知__条__件__，_已__知__公__理__、__定__义__、__ __定__理__、__反__设___及明显的事实矛盾或自相矛盾；
(4)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于 “_反__设__”的谬误，既然结论的反面不成立，从
•
B．三个内角都大于60°
•
C．三个内角至多有一个大于60°
•
D．三个内角至多有两个大于60°
•
解析 “至少有一个不大于”的否定是“都大于”．
•
答案 B
• 3．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是
( )．
•
A．b－a＞0
B．a3＋b3＜0
•
C．a2－b2＜0
D．b＋a＞0
•
解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.
• 答案 B
5．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，
其中能使ba＋ab≥2 成立的条件的个数是________． 解析 要使ba＋ab≥2，只要ba>0 且ab>0，即 a，b 不为 0 且同 号即可，故有 3 个．
• 答案 3
•
考向一 分析法的应用
【例 1】►用分析法证明：若 a>0，则
2 2a＋1a，
只需证
a2＋a12≥ 22a＋1a，
只需证 a2＋a12≥12a2＋a12＋2，
即证 a2＋a12≥2，显然成立，
∴原不等式成立．
•
分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，
高考数学一轮总复习 12.4 直接证明与间接证明精品课件 理 新人教版
2
关闭
为锐角.
即需证 a2+c2-b2>0.
由于 a2+c2-b2≥2ac-b2,
要证 a2+c2-b2>0.
只需证 2ac-b2>0.
∵a,b,c 的倒数成等差数列,
1
1
2
∴ + = ,即 2ac=b(a+c).
∴要证 2ac-b2>0,
只需证 b(a+c)-b2>0,
即证 b(a+c-b)>0.
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.等价条件
)
关闭
A
答案
第六页，共22页。
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
2.用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设
(
)
A.三个内角都不大于 60°
B.三个内角都大于 60°
C.三个内角至多有一个大于 60°
D.三个内角至多有两个大于 60°
答案
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
4.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)
(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ 过程应用了(
A.分析法
C.综合法、分析法综合应用
)
B.综合法
D.间接证明法
,若
x
,x
∈
0,
+ x ≠x2,求
,且
1
+
1 2
关闭
为锐角.
即需证 a2+c2-b2>0.
由于 a2+c2-b2≥2ac-b2,
要证 a2+c2-b2>0.
只需证 2ac-b2>0.
∵a,b,c 的倒数成等差数列,
1
1
2
∴ + = ,即 2ac=b(a+c).
∴要证 2ac-b2>0,
只需证 b(a+c)-b2>0,
即证 b(a+c-b)>0.
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.等价条件
)
关闭
A
答案
第六页，共22页。
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
2.用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设
(
)
A.三个内角都不大于 60°
B.三个内角都大于 60°
C.三个内角至多有一个大于 60°
D.三个内角至多有两个大于 60°
答案
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
4.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)
(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ 过程应用了(
A.分析法
C.综合法、分析法综合应用
)
B.综合法
D.间接证明法
,若
x
,x
∈
0,
+ x ≠x2,求
,且
1
+
1 2
人教版高三数学一轮复习精品课件1：13.2 直接证明与间接证明
即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证：cos(x1－x2)<1.
由 x1，x2∈0，π2，x1≠x2 知上式显然成立，
因此，12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
若本例中 f(x)变为 f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的 x1，
答案：a2>b2＋c2
1.(2013·江苏高考节选)设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数列 (d≠0)，Sn 是其前 n 项的和．记 bn＝nn2＋Snc，n∈N*，其中 c 为实数．若 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Sn k＝ n2Sk(k，n∈N*)．
证明：由题意得，Sn＝na＋n
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
(2)分析法： 从要证明的 结论 出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直
至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知
条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 2．间接证明 反证法：假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得
出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样
n－1 2
d.
由 c＝0，得 bn＝Snn＝a＋n－2 1d.又因为 b1，b2，b4 成等比数列，
所以 b22＝b1b4，即a＋d22＝aa＋32d，化简得 d2－2ad＝0.因为
d≠0，所以 d＝2a.
因此，对于所有的 m∈N*，有 Sm＝m2a. 从而对于所有的 k，n∈N*，有 Sn k＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
3.反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主 要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A， 或者是非 A.即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个是正 确的，不能有第三种情况出现．
人教版高三数学一轮复习精品课件：§13.2 直接证明与间接证明(1)
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没 有实根，故选A.
123456
解析 答案
6.(2017·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是_钝__角__三角形.
123456
解析 答案
题型分类 深度剖析
逐步推理，实际上是要寻 实际上是要寻找它的_充__分__条__件_
找它的_必__要__条__件__
步骤的符 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4 号表示 (结论)
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)
2.间接证明 (1)反证法的定义： 一般地，由证明p⇒q转向证明_綈__q_⇒__r_⇒__…__⇒_t__ t与假__设__矛盾，或与某__个__真__命__题__矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法， 叫做反证法. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条__件__和_结__论__； ②做出_与__命__题__结__论__相__矛__盾__的假定； ③由假__定__出发，应用正确的推理方法，推出矛__盾__的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立， 从而间接地证明命题为真.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
基础知识 自主学习
1.直接证明
知识梳理
内容
综合法
分析法
从_待__证__结__论__出发，一步一步地寻
从_已__知__条__件__出发，经过逐步
求结论成立的_充__分__条__件__，最后达
的推理，最后达到_待__证__结__论__
定义
到题设的已知条件或已被证明的事
A.1
√B.2
C.4
123456
解析 答案
6.(2017·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是_钝__角__三角形.
123456
解析 答案
题型分类 深度剖析
逐步推理，实际上是要寻 实际上是要寻找它的_充__分__条__件_
找它的_必__要__条__件__
步骤的符 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4 号表示 (结论)
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)
2.间接证明 (1)反证法的定义： 一般地，由证明p⇒q转向证明_綈__q_⇒__r_⇒__…__⇒_t__ t与假__设__矛盾，或与某__个__真__命__题__矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法， 叫做反证法. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条__件__和_结__论__； ②做出_与__命__题__结__论__相__矛__盾__的假定； ③由假__定__出发，应用正确的推理方法，推出矛__盾__的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立， 从而间接地证明命题为真.
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基础知识 自主学习
1.直接证明
知识梳理
内容
综合法
分析法
从_待__证__结__论__出发，一步一步地寻
从_已__知__条__件__出发，经过逐步
求结论成立的_充__分__条__件__，最后达
的推理，最后达到_待__证__结__论__
定义
到题设的已知条件或已被证明的事
A.1
√B.2
C.4
人教版高三数学一轮复习精品课件4：13.2 直接证明与间接证明
(2)采用反证法思想，假设存在 am，ap，an(m，p，n∈N*) 成等差数列，借助于数列{an}为递增数列推得矛盾，从而说 明假设错误，原命题得证．
【解答】(1)由 an＝6an＋1－12×4n， 可得 an－4n＝6(an－1－4n－1)． 又 a1＝10，a1－4＝6≠0， 所以数列{an－4n}是以 6 为首项，公比为 6 的等比数列， 所以 an－4n＝6·6n－1，即 an＝6n＋4n；
b2＝a2
＋c2－ac.进而利用余弦定理求得 cosB 的值，进而求得 B，
进而根据三角形内角和可知 A＋C＝2B 判断出 A、B、C 成
等差数列．
【解答】A，B，C 成等差数列，下面用综合法给出证明． 因为a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，所以a＋c b＋b＋a c＝1， 所以 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 所以 b2＝a2＋c2－ac.
A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个 也没有，直接写出命题的否定．方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一 个实根的反面是方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根．
反证法在证明中的应用 应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论 难以用直接法证明时可考虑用反证法．在利用反证法证明命 题要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2) 必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且 必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多 样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛 盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
【解答】(1)由 an＝6an＋1－12×4n， 可得 an－4n＝6(an－1－4n－1)． 又 a1＝10，a1－4＝6≠0， 所以数列{an－4n}是以 6 为首项，公比为 6 的等比数列， 所以 an－4n＝6·6n－1，即 an＝6n＋4n；
b2＝a2
＋c2－ac.进而利用余弦定理求得 cosB 的值，进而求得 B，
进而根据三角形内角和可知 A＋C＝2B 判断出 A、B、C 成
等差数列．
【解答】A，B，C 成等差数列，下面用综合法给出证明． 因为a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，所以a＋c b＋b＋a c＝1， 所以 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 所以 b2＝a2＋c2－ac.
A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个 也没有，直接写出命题的否定．方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一 个实根的反面是方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根．
反证法在证明中的应用 应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论 难以用直接法证明时可考虑用反证法．在利用反证法证明命 题要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2) 必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且 必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多 样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛 盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
高考数学第一轮总复习知识点课件 第二节 直接证明与间接证明
a2 b2 c2
题型四 利用分析综合法证明题目 【例4】（12分）设f(x)=ax2 +bx+c(a≠0)，若函数f(x+1)与 f(x)的图象关于y轴对称.求证：fx+12为偶函数.
分析 证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对 称轴是x=0.
证明 要证f(x+ 1)为偶函数，只需证明其对称轴为x=0，
第二节 直接证明与间接证明
基础梳理
1. 证明
（1）证明分为直接证与明 间.直接接证证明明包
括 综合法、 分等析；法间接证明主要是
. 反证法
（2）综合法:一般地，
利用 已知条件和某些数学定义，、经定过理一、系公列理的等推理论证,最后推导
出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
（3）分析法：一般地，
求证：a2 b2 c2
sin (.A - B) sin C
证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,
则
a2 b2 c2
c2
- 2bcos c2
A
.
cБайду номын сангаас2bcos c
A
又由正弦定理,得 c 2bcos A c
sin C -2sin Bcos A
sin C
sin
C -[sin(B A)sin(B- A)]
1 b
a1.b
8
证明：∵a+b=1,
1 a
1 b
1 ab
a
a
b
a
b
b
ab ab
1
b a
1
a b
ab ab
22
ba ab
ab
(
高考数学一轮复习 直接证明与间接证明 理优秀PPT
高考数学一轮复习 直 接证明与间接证明课
件理
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点．
考点探究
证明：3＋ 考点3 用综合分析法证明命题 6＞0，2 2＋ 7＞0，
欲证 3＋ 6＜2 2＋ 7成立，
只需证(3＋ 6)2＜(2 2＋ 7)2 成立．
考点探究
即 15＋2 54＜15＋2 56， 只需证 54＜ 56，即证 54＜56. ∵54＜56 成立，∴原不等式成立． 点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，是逆向思维，即从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性 质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)＝12－21cos
2
α＋21＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos
α－21sin2α＝1
－12cos
2α＋14cos
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α－41(1－cos
2α)＝1－14cos
2α
－14＋14cos 2α＝43.
方，宜用分析法． 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
件理
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点．
考点探究
证明：3＋ 考点3 用综合分析法证明命题 6＞0，2 2＋ 7＞0，
欲证 3＋ 6＜2 2＋ 7成立，
只需证(3＋ 6)2＜(2 2＋ 7)2 成立．
考点探究
即 15＋2 54＜15＋2 56， 只需证 54＜ 56，即证 54＜56. ∵54＜56 成立，∴原不等式成立． 点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，是逆向思维，即从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性 质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)＝12－21cos
2
α＋21＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos
α－21sin2α＝1
－12cos
2α＋14cos
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α－41(1－cos
2α)＝1－14cos
2α
－14＋14cos 2α＝43.
方，宜用分析法． 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
高三数学一轮复习优质课件2：直接证明与间接证明
7分
其次，任取正整数 m，n(m，n≥4，且 m≠n)，假若三角
形△m 与△n 相似，则有：
mn22－ －22nm－－11＝mn22＋＋11＝mn22＋＋22nm－－11
9分
据此例性质有：
mn22＋＋11＝mn22＋＋22nm－－11＝mn22＋＋22mn－－11－－nm2＋2＋11＝mn－－11
an＝n2－2n－1 可得bn＝n2＋1
cn＝n2＋2n－1
(n≥4)
易验证 an，bn，cn 满足①.因此 an，bn，cn 成等差数列. 5
分
当 n≥4 时，有 an＜bn＜cn 且 an＋bn－cn＝n2－4n＋1＞0
因此以 an，bn，cn 为边长可以构成三角形，将此三角形
记为△n(n≥4).
第七章 不等式、推理与证明
7.5 直接证明与间接证明
[考情展望] 1.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程．数列
知识为载体，考查分析法、综合法和反证法的原理. 2.结合具体问题考查学生运用上述三种方法解决问题的
能力．
一、直接证明
内容
综合法
分析法
利用已知条件和某些数 从要证__明__的__结__论__出发，逐步 学定义、公理、定理等，寻求使它成立的充__分__条__件__， 定义 经过一系列的推__理__论__证__，直至最后，把要证明的结论
对点训练 设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝an－an＋1＋an＋2x＋an＋1cos x－an＋2sin x 满足 f′π2＝0.
求证：数列{an}是等差数列．
【证明】 由题设可得 f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x －an＋2cos x.
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化简较难处理，因此，可考虑分析法． x ＋x 1 1 2， 证明 要证 [f (x1)＋f (x2)]>f 2 2
x1＋x2 1 即证明 (tan x1＋tan x2)>tan ， 2 2 sin x sin x x1＋x2 1 2 1 ＋ 只需证明 >tan ， 2 cos x cos x 2 1 2
(2)分析法 ① 定 义 ： 从 要证明的结论 出 发 ， 逐 步 寻 求 使 它 成 立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证 明方法叫做分析法． ②框图表示： Q ⇐P 1 → P 1⇐P 2 → P 2⇐P 3 →„→ 得到一个明显成立的条件 . 2．间接证明 反证法： 假设原命题 不成立， 经过正确的推理， 最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫做反证法．
思维启迪： 本题因为有三项分式， 不主张用分析法． 综 合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对 题设条件的运用．这里可从去分母的角度去运用基本 不等式．
证明
∵a，b，c>0，根据基本不等式，
a2 b2 c2 有 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c. b c a a2 b2 c2 三式相加： ＋ ＋ ＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． b c a a＝b＝c 时取等号． a2 b2 c2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a
[难点正本
疑点清源]
证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综 合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可 综合应用． (1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法， 其结合使用的基本格式为：P ⇒P 1⇒P 2„⇒P n⇒Q m ⇐Q m －1⇐„⇐Q 1⇐ Q (P 是已知的条件、公理、定义、公式，Q 则表示要证明的结 论．) (2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定 结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有： ①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显 成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．
§ 13.4
要点梳理 1．直接证明 (1)综合法
直接证明与间接证明 基础知识 自主学习
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这 种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P ⇒Q 1 → Q 1⇒Q 2 → Q 2⇒Q 3 →„→ Q n⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的 结论)．
题型二 例2
分析法
π π x，x∈0， 2 ，若 x1，x2∈0， 2 ，且
已知函数 f (x)＝tan
x1≠x2， x ＋x 1 1 2. 求证： [f (x1)＋f (x2)]>f 2 2 思维启迪：本题若使用综合法进行推演，三角函数式的
只需证明
sinx1＋x2
2cos x1cos x2 1＋cosx1＋x2 π 由于 x1、x2∈0，2 ，故 x1＋x2∈(0，π)． ∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0， 1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2， 即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2， 即证：cos(x1－x2)<1. π 这由 x1、x2∈0，2 ，x1≠x2 知上式是显然成立的． x ＋x 1 1 2. 因此， [f (x1)＋f (x2)]>f 2 2
基础自测 1． 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少 有 一 个 不 大 于 60° ”时，假设应该是 ______________________________________ ． 三角形的三个内角都大于60°
解析 用反证法证明命题时，假设结论不成立， 即否定命题
2．要证明“ 3＋ 7<2 5”可选择的方法有以下几种，其中最
探究提高 综合法往往以分析法为基础，是分析法 的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论 或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．
变式训练 1 若 a、b、c 是不全相等的正数，求证： a＋b b＋c c＋a lg ＋lg ＋lg > lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
证明
∵a，b，c∈(0，＋∞)， b ＋c ab>0， ≥ 2 a ＋c bc>0， ≥ 2 ac>0.
号即可，故有 3 个．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4． 否定“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时， 正确的反设为( D ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
解析
∵a，b，c 恰有一个偶数，即 a，b，c 中只有一个偶数，
其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇 数，故只有 D 正确．
② 合理的是________ ．(填序号) ①反证法，②分析法，③综合法．
3．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0， b a 其中能使 ＋ ≥2 成立的条件的个数是________ ． 3 a b
解析
b a b a 要使 ＋ ≥2，只要 >0 且 >0，即 a，b 不为 0 且同 a b a b
5．设 a、b∈R ，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的 是( D ) A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0
解析
D．b＋a>0
∵a－|b|>0，∴|b|<a.
∴a>0.∴－a<b<a.∴b＋a>0.
题型分类
题型一 例1 综合法
深度剖析
a2 b2 c2 设 a，b，c>0，证明： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a
a ＋b ∴ ≥ 2
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
a＋b b＋c c＋a ∴ · · >abc 成立． 2 2 2 上式两边同时取常用对数， a＋b b＋c c＋a 得 lg · · >lg abc， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a ∴lg ＋lg ＋lg >l lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
x1＋x2 1 即证明 (tan x1＋tan x2)>tan ， 2 2 sin x sin x x1＋x2 1 2 1 ＋ 只需证明 >tan ， 2 cos x cos x 2 1 2
(2)分析法 ① 定 义 ： 从 要证明的结论 出 发 ， 逐 步 寻 求 使 它 成 立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证 明方法叫做分析法． ②框图表示： Q ⇐P 1 → P 1⇐P 2 → P 2⇐P 3 →„→ 得到一个明显成立的条件 . 2．间接证明 反证法： 假设原命题 不成立， 经过正确的推理， 最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫做反证法．
思维启迪： 本题因为有三项分式， 不主张用分析法． 综 合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对 题设条件的运用．这里可从去分母的角度去运用基本 不等式．
证明
∵a，b，c>0，根据基本不等式，
a2 b2 c2 有 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c. b c a a2 b2 c2 三式相加： ＋ ＋ ＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． b c a a＝b＝c 时取等号． a2 b2 c2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a
[难点正本
疑点清源]
证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综 合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可 综合应用． (1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法， 其结合使用的基本格式为：P ⇒P 1⇒P 2„⇒P n⇒Q m ⇐Q m －1⇐„⇐Q 1⇐ Q (P 是已知的条件、公理、定义、公式，Q 则表示要证明的结 论．) (2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定 结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有： ①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显 成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．
§ 13.4
要点梳理 1．直接证明 (1)综合法
直接证明与间接证明 基础知识 自主学习
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这 种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P ⇒Q 1 → Q 1⇒Q 2 → Q 2⇒Q 3 →„→ Q n⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的 结论)．
题型二 例2
分析法
π π x，x∈0， 2 ，若 x1，x2∈0， 2 ，且
已知函数 f (x)＝tan
x1≠x2， x ＋x 1 1 2. 求证： [f (x1)＋f (x2)]>f 2 2 思维启迪：本题若使用综合法进行推演，三角函数式的
只需证明
sinx1＋x2
2cos x1cos x2 1＋cosx1＋x2 π 由于 x1、x2∈0，2 ，故 x1＋x2∈(0，π)． ∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0， 1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2， 即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2， 即证：cos(x1－x2)<1. π 这由 x1、x2∈0，2 ，x1≠x2 知上式是显然成立的． x ＋x 1 1 2. 因此， [f (x1)＋f (x2)]>f 2 2
基础自测 1． 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少 有 一 个 不 大 于 60° ”时，假设应该是 ______________________________________ ． 三角形的三个内角都大于60°
解析 用反证法证明命题时，假设结论不成立， 即否定命题
2．要证明“ 3＋ 7<2 5”可选择的方法有以下几种，其中最
探究提高 综合法往往以分析法为基础，是分析法 的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论 或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．
变式训练 1 若 a、b、c 是不全相等的正数，求证： a＋b b＋c c＋a lg ＋lg ＋lg > lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
证明
∵a，b，c∈(0，＋∞)， b ＋c ab>0， ≥ 2 a ＋c bc>0， ≥ 2 ac>0.
号即可，故有 3 个．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4． 否定“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时， 正确的反设为( D ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
解析
∵a，b，c 恰有一个偶数，即 a，b，c 中只有一个偶数，
其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇 数，故只有 D 正确．
② 合理的是________ ．(填序号) ①反证法，②分析法，③综合法．
3．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0， b a 其中能使 ＋ ≥2 成立的条件的个数是________ ． 3 a b
解析
b a b a 要使 ＋ ≥2，只要 >0 且 >0，即 a，b 不为 0 且同 a b a b
5．设 a、b∈R ，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的 是( D ) A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0
解析
D．b＋a>0
∵a－|b|>0，∴|b|<a.
∴a>0.∴－a<b<a.∴b＋a>0.
题型分类
题型一 例1 综合法
深度剖析
a2 b2 c2 设 a，b，c>0，证明： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a
a ＋b ∴ ≥ 2
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
a＋b b＋c c＋a ∴ · · >abc 成立． 2 2 2 上式两边同时取常用对数， a＋b b＋c c＋a 得 lg · · >lg abc， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a ∴lg ＋lg ＋lg >l lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2