2019年高考数学复习68离散型随机变量及其分布列理北师大版_4218
高三数学北师大版(理)复习课件第10章 第4节 离散型随机变量及其分布列
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[解] (1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝CC25C37 12＝47.
课
真
前
(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，
题
知
自
识 全 通 关
P(X＝0)＝CC7433＝345，
主 验 效 果
P(X＝1)＝CC42C37 31＝1385，
课 堂 题 型
X
2
5
课
P
0.3
0.7
堂
题 型
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何
全
突 破
分布．(
)
课 后 限 时 集 训
返
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
首
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2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是
课
前( )
真 题
知
自
识
A．一颗是3点，一颗是1点
果
(2)求PX≥35；
课
堂 题 型
(3)求P110＜X≤170.
全
突
课 后 限 时 集 训
破
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课 前
[解]
(1)由分布列的性质，得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X
真 题
知
自
识 ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
堂 题 型 全 突
课 后 限 时 集 训
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求离散型随机变量的分布列
课
【例1】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区
真
前
题
知 识
【助力高考】2019年高考数学专题复习第68讲《离散型随机变量及其分布列》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而 叫做随机变量．所有取值可以 的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为 ① ； ② .离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 ． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量服从 ． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质例1： 离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56.1．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列．2．设离散型随机变量X 的分布列为求随机变量η＝|X －1|3. 设离散型随机变量X 的分布列为求随机变量η＝X 2知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法例2： (2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知，X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法例3： 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4： 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为4．(2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列． 考点三、超几何分布例5： (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的分布列为5． PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．6． 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14D.112 2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数3．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1<x <24．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )A.15B.25C.35D.455．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336D.32＋336 6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)7．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.363438．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23二、填空题9．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 10．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________.11．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________.12．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______．13．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________．14.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 15．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 16．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________________________________________________________________． 17．(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为____________．18．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 三、解答题19.(2017·长春模拟)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列．20.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列．21．(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列．22．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质♦♦♦跟踪训练♦♦♦1．解由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的分布列为2．解由题2知m∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为3. 解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦4．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝⎛⎭⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝⎛⎭⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫162＋2×C 12×16×16＝536， P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为考点三、超几何分布 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦5．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为6． 解 由题意知ξP (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1. ∴ξ的分布列为★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2. 3．答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2. 4．答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.5．答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 6．答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n . 7．答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.8．答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.二、填空题 9．答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 10．答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 11．答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n ＝3n ＝0.3， 得n ＝10. 12．答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.13．答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为14.答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.15．答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.16．答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为17．答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为18．答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2. P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.三、解答题19.解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12. 化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的分布列为20.解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以，随机变量X 的分布列为21．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名，∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2.∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的分布列为22．解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3. 故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的分布列为♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质例1： 离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56.1．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列． 解 由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 列表为从而2X＋1的分布列为2求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由题2知m＝0.3，列表为∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为3. 设离散型随机变量X的分布列为求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法例2： (2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知，X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法例3： 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4： 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为4．(2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝⎛⎭⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝⎛⎭⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫162＋2×C 12×16×16＝536，P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为考点三、超几何分布例5： (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X的分布列为♦♦♦跟踪训练♦♦♦5． PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为6． 某射手有5用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．解 由题意知ξ的取值为1,2,3,4,5， P (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1. ∴ξ的分布列为★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数 答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.3．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.4．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 7．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.8．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.二、填空题9．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 10．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________. 答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 11．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n ＝3n ＝0.3， 得n ＝10.12．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.13．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为14.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.15．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.16．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________________________________________________________________． 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为17．(2017·石家庄调研)x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为____________． 答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为18．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 答案。
近年高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列作业本理(
（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列作业本理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列作业本理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六节离散型随机变量及其分布列A组基础题组1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)=（）A.0B.C.D.2.设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=a，k=1,2,3,则a的值为( ）A.1 B。
C. D。
3。
某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如下(单位：cm）.应聘者获知：男性身高在区间［174，182],女性身高在区间［164,172]的才能进入招聘的下一环节。
（1）求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；（2）现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X为抽到的男生人数,求X的分布列.4.某中学有初中学生1 800人,高中学生1 200人。
为了解学生本学期课外阅读时间的情况,现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组：[0,10)，［10，20），［20,30),[30，40)，[40,50］，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1）试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数；（2）从阅读时间不足10个小时的学生样本中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列。
(word版)高中理科数学离散型随机变量及分布列
理科数学复习专题统计与概率离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量， 常用字母， X,Yx,hggg 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列及其性质：〔1〕定义：一般的，假设离散型随机变量 X 可能取的不同值为x 1,x 2,ggg,x i ,ggg,x n ,X 取 每一个值x i ( i= gggn ) 的概率为P(X =x i )= p i ，那么表 1,2,,X x 1 x 2 ggg x i ggg x npp 1p 2gggp igggp n称为离散型随机变量离散型随机变量 X ，简称X 的分布列。
〔2〕分布列的性质：①p i?ingggn ；②?p i =10,1,2,,i=1〔3〕常见离散型随机变量的分布列：x 0 1 ①两点分布：假设随机变量X 的分布列为,pp1-p那么称X 服从两点分布，并称p=P(x=1)为成功概率②超几何分布：一般的，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，那么 k n-k 其中，且 P(X=k)= C N n(k= 0,1,2,gggm, m= min{M,n} CMgCN-M n ＃N,MN,n,M,N?N *),称分布列为超几何分布列。
如果随机变量 X 的分布列具有下表的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布X1gggm0 n-01 n-1m n-m P CMgCN-M CM gCN-MgggCM gCN-MnnnC NC NC N3、随机变量的数学期望〔均值〕与方差题型一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】一随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝，那么a值为()ξ4a9P bA.5B.6C.7D.8【变式1】某公司有5万元资金用于投资开发工程，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似工程开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次那么该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列〔超几何分布〕【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外8杯饮料中选出44杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从杯A饮料．假设4杯都选对，那么月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元；否那么月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性于两个事件A和B，在事件B生的条件下，事件A生的概率叫做条件概率，用PAB符号P(A|B)来表示，其公式P(A|B)＝PB(P(B)>0)．nAB在古典概型中，假设用n(B)表示事件B中根本领件的个数，P(A|B)＝.nB2．相互独立事件(1)于事件A、B，假设事件A的生与事件B的生互不影响，称A、B是相互独立事件．(2)假设A与B相互独立，P(AB)＝P(A)P(B)．假设A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也都相互独立．假设P(AB)＝P(A)P(B)，A与B相互独立．3．二分布独立重复是指在相同条件下可重复行的，各次之相互独立的一种，在种中每一次只有__两__种果，即要么生，要么不生，且任何一次中生的概率都是一的．(2)在n次独立重复中，用X表示事件A生的次数，每次中事件A生的概率p，P(X＝k)＝C n k p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，⋯，n)，此称随机量X服从二分布，X～B(n，p)，并称p成功概率．题型三条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数〞，事件B为“取到的2个数均为偶数〞，那么P(B|A)＝________.(2)如下图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，那么P(B|A)＝________.练：某地空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列〔二项分布〕例1在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X≥2〞的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为1 2 .(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布．玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：〔≥98分为优秀〕〔1〕10人中选3人，求至多1人优秀的概率〔2〕用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X表示优秀人数的个数，求X的分布列练：18、某市在“国际禁毒日〞期间，连续假设干天发布了“珍爱生命，远离毒品〞的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这那么广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在10,20，20,30，30,40，40,50，50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如下图.〔Ⅰ〕求随机抽取的市民中年龄在30,40的人数；〔Ⅱ〕从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求50,60年龄段抽取的人数；〔Ⅲ〕从〔Ⅱ〕中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在50,60年龄段的人数，求X的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量〔单位：克〕，重量分组区间为〔5，15]，〔15，25]〔25，35]，〔35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；〔Ⅲ〕从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在〔5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。
6.2.2离散型随机变量的分布列(课件)-高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
2、求出各取值的概率
3、列成表格。
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2 …
Pi
…
例6：设随机变量X的分布列为p(x=i)=（1）ia ,(i=1,2,3)
3
求实数a的值。
P 3
解：因为
i 1
1
i
，所以
1 a （1）2a (1）3a 1
33
3
解得 a 27 13
故实数a的值为 27 13
例7： 已知随机变量 的分布列如下：
巩固提升 在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
=
1,
针尖向上;
0, 针尖向下.
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布
列.
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，
于是，随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1-p
p
例4 连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试 求X的分布列. 解 ：我们用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点 数，j表示第二次掷出的点数.例如,(3,4)表示第一次掷出的点 数为3,第二次掷出的点数为4.于是,连续抛掷一枚均匀的骰子两 次,共有36种结果,结果如表6-6:
表6-7
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PX 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
例5：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、
5、6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最大
号码，求 的分布列．
6
北师大版数学-选择性必修第一册-第六章概率-§2离散型随机变量及其分布列
的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用.
例4
连续抛掷一枚均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的
分布列.
解 我们用（i,j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数,j表
示第二次掷出的点数.例如，（3,4）表示第一次掷出的点数为3,第二
次掷岀的点数为4.于是,连续抛掷一枚 均匀的骰子两次，共有36种结
不要等待机会,而要创造机会。
若离散型随机变量X的取值为x1，x2…，xn,…，随机变量X取
概率为 pi (i 1, 2, , n, ) ，记作
P( X x i ) pi (i 1, 2, , n, )
①
①式也可以列成表，如表
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X=xi)
p1
p2
…
pn
…
x i的
表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列。
按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：
y f ( x), x A.
随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.
1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学
(2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数，则X所有
可能的取值为0，1，2，对应着任取3件产品所有可能的结果.即
{X=0}表示“没有不合格品”；
{X=l}表示“恰有1件不合格品”；
{X=2}表示“恰有2件不合格品”.
例2
6.2离散型随机变量及其分布列课件高二上学期数学北师大版2019)选择性
两点分布（0－1分布）
如果P（A）＝p，则P（ A ）＝⑥___1_－__p__，那么X的分布列如表所示．
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． （ ）
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 2．在离散型随机变量分布列中，每个随机变量的取值所对应的
离散型随机变量X的分布列
离散型随机变量分布列具有的两个性质：
➢ pi④___≥_____0，i＝1，2，…，n； ➢ p1＋p2＋…＋pn＝⑤____1____．
随机变量与离散型随机变量
求离散型随机变量X的分布列的步骤（其中i＝1，2，…，n）：
第一步
确定随机变量X的可能取值x
第二步 第三步
求出相应的概率P（X＝xi）＝pi 列分布列
概率都可以为任意的实数． （ ）
在离散型随机变量分布列中，每个随机变量的取值对应的概率均在[0，1]范围内．
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1．（ ）
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 4．离散型随机变量的可能取值表示的事件是彼此互斥的． （ ）
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 5．离散型随机变量分布列中，每个随机变量的取值对应概率都相等． （ ）
分布列中的每个随机变量代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．
知识辨析
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
6．若随机变量X的分布列如表所示，则X服从两点分布． （ ）
2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第11章 第4节
第四节 离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y来表示．随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.2．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)．或把上式列成表称为离散型随机变量X (2)离散型随机变量分布列的性质 ①p i ＞0(i ＝1,2，…)；②p 1＋p 2＋…＝1. 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 提醒： 辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ＞0(i ＝1,2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (4)如果随机变量X 的分布列如下表给出：则它服从两点分布．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．(教材例题改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的基本事件是( )A ．一颗是3点，一颗是1点B ．两颗都是2点C ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点解析：选D 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D ．3．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A ．16B ．13C ．14D ．112答案：C离散型随机变量分布列的性质 [明技法]要充分注意到分布列的两条重要性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n . (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性． [提能力]【典例】 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________；P (x ≤解析：由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤52q －1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝⎛⎭⎫52q －1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎫q －12(q ＋2)＝0， 解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12.由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12＝34. 答案：12 34(2)随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13，此即公差d 的取值范围．答案：23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [刷好题]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A ．316B ．14C ．116D ．516解析：选A P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.2．设随机变量X 的概率分布为则P (|X －3|＝1)＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1得m ＝14，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512.答案：512离散型随机变量分布列的求法 [析考情]与离散型随机变量分布列有关的问题在高考中经常出现，多以解答题形式考查，常与概率知识相结合，难度中档．[提能力]【典例】 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是[悟技法]求离散型随机变量分布列的步骤[刷好题]为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)(2)当产品中微量元素x ，y 满足x ≥175，y ≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列． 解：(1)设乙厂生产的产品为m 件，依题意得1498＝5m ，∴m ＝35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件， ∴估计乙厂生产的优质品为35×25＝14(件)．(3)依题意，ξ可取0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝610，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴ξ的分布列为：超几何分布 [析考情]超几何分布问题是高考重点考查的内容之一，多以解答题形式出现，难度中档． [提能力]【典例】 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为[悟技法]超几何分布的2个特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．[刷好题]1．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列．解：(1)依题意，设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 事件，“选取一等品通过检测或者是选取二等品通过检测”P (A )＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知：X 可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 34C 06C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 04C 36C 310＝16.所以X 的分布列为2．一袋中装有102个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得1个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布为。
【创新设计】高三数学一轮复习 离散型随机变量的分布列课件 北师大版
(理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对 于刻画随机现象的重要性/理解两点分布和超几何分布的意义，并能进 行简单的应用)
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变 量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量．
二项分布是常见的离散型随机变量的分布．一般地，如果能考虑的试验可 以看做是一个只有两个可能结果A和 的独立重复试验，则n次试验中 A发生的次数ξ服从二项分布．注意在实际应用中往往出现数量“较大”、 “很大”、“非常多”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验．
【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ， 乙每次击中目标的概率为 . (1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
1
2
P
解析：由题意“任意连续取出2件”可认为两次独立重复试验，则次品数 ξ服从二项分布．即ξ～B(2,0.05)∴P(ξ＝0)＝ 0.952＝0.902 5； P(ξ＝1)＝ 0.95×0.05＝0.095；P(ξ＝2)＝ 0.052＝0.002 5. 则ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
P
0.902 5
0.095
读者是否注意到本题中标有两个同样数字的球是否有“区别”，标准答案 中是按有“区别”进行计算的．如标有同样数字的球没有“区别”比如第 一问的正确解法应该是： P(A)＝ 孰是孰非读者自有公论，本人认为这是高考题的一大败笔.
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2019届高考数学复习概率随机变量及其分布12.4离散型随机变量及其分布列学案理北师大版
§12.4离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，或把上式列表：称为离散型随机变量X的分布列．(4)性质：①p i>0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋ (1)2．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (5)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) 题组二 教材改编2．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 4．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________. 答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512. 题组三 易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.6．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的分布列的性质1．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56. 2．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列． 解 由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 列表为从而2X ＋1的分布列为引申探究1．若题2中条件不变，求随机变量η＝|X －1|的分布列． 解 由题2知m ＝0.3，列表为∴P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3.故η＝|X －1|的分布列为2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．题型二离散型随机变量的分布列的求法命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法典例(2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝5 18.(2)由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法典例 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法典例 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49.(2)X 的所有可能值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝1081， P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝881. 故X 的分布列为思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．跟踪训练 (2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4.A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋2×C 12×16×16＝536， P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554. 故ξ的分布列为题型三 超几何分布典例 (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语， 则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，C 735P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的分布列为思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．跟踪训练 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，C 1040(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)． ∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740， P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为离散型随机变量的分布列典例 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 错解展示：现场纠错解 由题意知ξ的取值为1,2,3,4,5，P (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.∴ξ的分布列为纠错心得 (1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．(2)验证随机变量的概率和是否为1.1．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.2．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 4．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为8.袋中有4只红球，31分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.9．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________． 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为11.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以，随机变量X 的分布列为12．(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名， ∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2.∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的分布列为13．(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________． 答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为14.(2017·长春模拟)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N ＋)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列． 解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12. 化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的分布列为15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2.P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.16．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以 P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的分布列为。
离散型随机变量及其分布列教学课件(共34张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
（1）
(1)式也可以列成表，如表：
表或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列，简称为 X 的分布列.
显然：
（1） pi 0 i 1, 2, , n, ；
（2） p2
pn
1.
如果随机变量 X 的分布列为表或(1)式，我们称随机变量 X 服从这一分布列，记作
X x1, x2 , , xn , p1, p2 , , pn ,
随机变量 X的分布列完全描述了随机现象的规律: 了解了随机变量X的分布列, 就解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率.
例3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分, 不中得 0 分. 已知某运动员 罚球命中的概率为 0.7 , 求他罚球一次得分的分布列.
解：
用随机变量X表示每次训球所得的分值. 根据题意, 的可能取值为 1,0 , 且取这 两个值的概率分别为 , 因此所求的分布列如表:
当 X 4 时，取出球的最大编号为 4，另两个球从 1，2，3 号球中取得，因此
PX 4
C11C32 C36
3； 20
当 X 5 时，取出球的最大编号为 5，另两个球从 1，2，3，4 号球中取得， 因
此
PX 5
C11C24 C36
3； 10
当 X 6 时，取出球的最大编号为 6，另两个球从 1，2，3，4，5 号球中取得， 因 此
上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定 的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系．
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用 一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取 值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母 X ,Y,, 等来 表示.
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 离散型随机变量的均值与方差正态分布
§１２．6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布１．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P（X＝a i）＝p i（i＝１,２，…）．（１）均值EX＝a１p１＋a２p２＋…＋x r p r，EX刻画的是X取值的“中心位置”．（２）方差DX＝E（X—EX）２为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．２．二项分布的均值、方差若X～B（n，p），则EX＝__np__，DX＝np（１—p）．３．正态分布（１）X～N（μ，σ２），表示X服从参数为μ和σ２的正态分布．（２）正态分布密度函数的性质１函数图像关于直线x＝μ对称；２σ（σ>0）的大小决定图像的“胖”“瘦”；３P（μ—σ<X<μ＋σ）＝68．３%；P（μ—２σ<X<μ＋２σ）＝9５．４%；P（μ—３σ<X<μ＋３σ）＝99．7%.１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．（√）（２）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．（√）（３）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．（√）（４）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（√）２．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝错误!（k＝２,４,6,8,１0），则DX等于（）Ａ．５Ｂ．8 Ｃ．１0 Ｄ．１6答案B解析∵EX＝错误!（２＋４＋6＋8＋１0）＝6，∴DX＝错误![（—４）２＋（—２）２＋0２＋２２＋４２]＝8．３．设随机变量X服从正态分布N（２,9），若P（X>c＋１）＝P（X<c—１），则c等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案B解析∵μ＝２，由正态分布的定义知其图像关于直线x＝２对称，于是错误!＝２，∴c＝２．４．有一批产品，其中有１２件正品和４件次品，有放回地任取３件，若X表示取到次品的件数，则DX ＝________.答案错误!解析由题意知取到次品的概率为错误!，∴X～B（３，错误!），∴DX＝３×错误!×（１—错误!）＝错误!.５．在篮球比赛中，罚球命中１次得１分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0．7，那么他罚球１次的得分X的均值是________．答案0．7解析EX＝１×0．7＋0×0．３＝0．7．题型一离散型随机变量的均值、方差例１（２0１３·浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得１分，取出一个黄球得２分，取出一个蓝球得３分．（１）当a＝３，b＝２，c＝１时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）２个球，记随机变量ξ为取出此２球所得分数之和，求ξ的分布列；（２）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）１个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝错误!，Dη＝错误!，求a∶b∶c.思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．解（１）由题意得ξ＝２,３,４,５,6．故P（ξ＝２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!＝错误!，P（ξ＝４）＝错误!＝错误!，P（ξ＝５）＝错误!＝错误!，P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.所以ξ的分布列为ξ２３４５6P错误!错误!错误!错误!错误!（２）由题意知ηη１２３P错误!错误!错误!所以Eη＝错误!＋错误!Dη＝错误!２·错误!＋错误!２·错误!＋错误!２·错误!＝错误!.化简得错误!解得a＝３c，b＝２c，故a∶b∶c＝３∶２∶１．思维升华（１）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．（２）注意性质的应用：若随机变量X的期望为EX，则对应随机变量aX＋b的期望是aEX＋b，方差为a２DX.袋中有２0个大小相同的球，其中记上0号的有１0个，记上n号的有n个（n＝１,２,３,４）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．（１）求ξ的分布列、期望和方差；（２）若η＝aξ＋b，Eη＝１，Dη＝１１，试求a，b的值．解（１）ξ的分布列为ξ0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!∴Eξ＝0×错误!＋１×错误Dξ＝（0—１．５）２×错误!＋（１—１．５）２×错误!＋（２—１．５）２×错误!＋（３—１．５）２×错误!＋（４—１．５）２×错误!＝２．7５．（２）由Dη＝a２Dξ，得a２×２．7５＝１１，即a＝±２．又Eη＝aEξ＋b，所以当a＝２时，由１＝２×１．５＋b，得b＝—２．当a＝—２时，由１＝—２×１．５＋b，得b＝４．∴错误!或错误!题型二二项分布的均值、方差例２（２0１２·四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为错误!和p.（１）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为错误!，求p的值；（２）设系统A在３次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.思维启迪利用对立事件的概率公式表示（１）中概率可求p.解（１）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么１—P（错误!）＝１—错误!·p＝错误!，解得p＝错误!.（２）由题意，得P（ξ＝0）＝C错误!错误!３＝错误!，P（ξ＝１）＝C错误!错误!２×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝C错误!×错误!×错误!２＝错误!，P（ξ＝３）＝C错误!错误!３＝错误!.所以，随机变量ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!故随机变量ξEξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.（或∵ξ～B（３，错误!），∴Eξ＝３×错误!＝错误!.）思维升华求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B（n，p），则用公式EX＝np；DX＝np（１—p）求解，可大大减少计算量．假设某班级教室共有４扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0．５．记此时教室里敞开的窗户个数为X.（１）求X的分布列；（２）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解（１）∵X的所有可能取值为0,１,２,３,４，X～B（４,0．５），∴P（X＝0）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝１）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝２）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝３）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝４）＝C错误!（错误!）４＝错误!，∴X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!（２）YP（Y＝３）＝P（X＝３）＝错误!，P（Y＝４）＝１—P（Y＝３）＝错误!，∴Y的期望值EY＝３×错误!＋４×错误!＝错误!.题型三正态分布的应用例３在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80,５２），现已知该班同学中成绩在80～8５分的有１7人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．思维启迪本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间（μ—σ，μ＋σ），（μ—２σ，μ＋２σ），（μ—３σ，μ＋３σ）内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．解依题意，由80～8５分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N（80,５２），∴μ＝80，σ＝５，μ—σ＝7５，μ＋σ＝8５．于是成绩在（7５,8５）内的同学占全班同学的68．３%.由正态曲线的对称性知，成绩在（80,8５）内的同学占全班同学的错误!×68．３%＝３４．１５%.设该班有x名同学，则x×３４．１５%＝１7，解得x≈５0．又μ—２σ＝80—１0＝70，μ＋２σ＝80＋１0＝90，∴成绩在（70,90）内的同学占全班同学的9５．４%.∴成绩在（80,90）内的同学占全班同学的４7．7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的５0%—４7．7%＝２．３%.即有５0×２．３%≈１（人），即成绩在90分以上的同学仅有１人．思维升华解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（１00,１00），已知满分为１５0分．（１）试求考试成绩ξ位于区间（80,１２0）内的概率；（２）若这次考试共有２000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．解（１）由ξ～N（１00,１00）知μ＝１00，σ＝１0．∴P（80<ξ<１２0）＝P（１00—２0<ξ<１00＋２0）＝0．9５４，即考试成绩位于区间（80,１２0）内的概率为0．9５４．（２）P（90<ξ<１１0）＝P（１00—１0<ξ<１00＋１0）＝0．68３，∴P（ξ≥１１0）＝错误!（１—0．68３）＝0．１５8 ５，∴P（ξ≥90）＝0．68３＋0．１５8 ５＝0．8４１５．∴及格人数为２000×0．8４１５≈１68３（人）．离散型随机变量的均值与方差问题典例：（１２分）甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有２m个球，从甲袋中摸出１个球为红球的概率为错误!，从乙袋中摸出１个球为红球的概率为P２.（１）若m＝１0，求甲袋中红球的个数；（２）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出１个红球的概率是错误!，求P２的值；（３）设P２＝错误!，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出１个球，并且从甲袋中摸１次，从乙袋中摸２次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪（１）概率的应用，知甲袋中总球数为１0和摸１个为红球的概率，求红球．（２）利用方程的思想，列方程求解．（３）求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．规范解答解（１）设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝１0×错误!＝４．[３分]（２）由已知，得错误!＝错误!，解得P２＝错误!. [6分]（３）ξ的所有可能值为0,１,２,３．P（ξ＝0）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×C错误!×错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!×C错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!２＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!×错误!２＝错误!. [8分]所以ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误![１0分]所以Eξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!. [１２分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒（１）本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．（２）本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第（３）问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.方法与技巧１．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：（１）E（aξ＋b）＝aEξ＋b；E（ξ＋η）＝Eξ＋Eη；D（aξ＋b）＝a２Dξ；（２）若ξ～B（n，p），则Eξ＝np，Dξ＝np（１—p）．２．基本方法（１）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；（２）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；（３）如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如二项分布），可直接利用它们的均值、方差公式求解．３．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法（１）熟记P（μ—σ<X<μ＋σ），P（μ—２σ<X<μ＋２σ），P（μ—３σ<X<μ＋３σ）的值．（２）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为１．１正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．２P（X<a）＝１—P（X≥a），P（x<μ—a）＝P（X≥μ＋a）．（３）３σ原则：在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ２）的随机变量只取（μ—３σ，μ＋３σ）之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范１．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．２．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．正态总体N（１,9）在区间（２,３）和（—１,0）上取值的概率分别为m，n，则（）Ａ．m>nＢ．m<nＣ．m＝nＤ．不确定答案C解析正态总体N（１,9）的曲线关于x＝１对称，区间（２,３）与（—１,0）到对称轴距离相等，故m＝n.２．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6．３，则a的值为（）X４a9P0．５0．１bＡ．５Ｂ．6答案C解析由分布列性质知：0．５＋0．１＋b＝１，∴b＝0．４．∴EX＝４×0．５＋a×0．１＋9×0．４＝6．３，∴a＝7．３．（２0１３·湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为１２５个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析１２５个小正方体中8个三面涂漆，３6个两面涂漆，５４个一面涂漆，２7个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值EX＝错误!×１＋错误!×２＋错误!×３＝错误!＝错误!.４．某种种子每粒发芽的概率都为0．9，现播种了１000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种２粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）Ａ．１00 Ｂ．２00 Ｃ．３00 Ｄ．４00答案B解析记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B（１000,0．１），所以Eξ＝１000×0．１＝１00，而X＝２ξ，故EX＝E（２ξ）＝２Eξ＝２00．５．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0．6，现有４颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为（）Ａ．２．４４Ｂ．３．３76 Ｃ．２．３76 Ｄ．２．４答案C解析X的所有可能取值为３,２,１,0，其分布列为∴EX＝３×0．6．二、填空题6．从装有３个红球、２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为答案0．１0．6 0．３解析P（X＝0）＝错误!＝0．１，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝0．6，P（X＝２）＝错误!＝0．３．7．已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝错误!，k＝１,２,３，…，n，则P（２<ξ≤５）＝________.答案错误!解析P（２<ξ≤５）＝P（ξ＝３）＋P（ξ＝４）＋P（ξ＝５）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!. 8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N（１１6,6４），则１0 000名考生中成绩在１４0分及以上的人数为________．答案１５解析由已知得μ＝１１6，σ＝8．∴P（9２<X<１４0）＝P（μ—３σ<X≤μ＋３σ）＝0．997，∴P（X≥１４0）＝错误!（１—0．997）＝0．00１５，∴成绩在１４0分以上的人数为１５．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9．6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为３6人，其中有１２位顾客自己带了购物袋，现从这３6人中随机抽取两人．（１）求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（２）设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解（１）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!.因为事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是错误!.（２）据题意，得ξ的可能取值为0,１,２．其中P（ξ＝0）＝P（B）＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝P（A）＝错误!.所以ξ的分布列为所以Eξ＝0×错误!＋１×错误!１0．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有４名武警战士（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为错误!，错误!，错误!.这三项测试能否通过相互之间没有影响．（１）求A能够入选的概率；（２）规定：按入选人数得训练经费（每入选１人，则相应的训练基地得到３000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．解（１）设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN错误!，M错误!P，错误!NP，MNP.∴P（A）＝P（MN错误!）＋P（M错误!P）＋P（错误!NP）＋P（MNP）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!.所以，A能够入选的概率为错误!.（２）记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,３000,6 000,9 000,１２000．P（ξ＝0）＝错误!４＝错误!，P（ξ＝３000）＝C错误!错误!错误!３＝错误!，P（ξ＝6 000）＝C错误!错误!２错误!２＝错误!，P（ξ＝9 000）＝C错误!错误!３错误!＝错误!，P（ξ＝１２000）＝C错误!错误!４＝错误!，ξ的分布列为Eξ＝３000×错误!＝8 000（元）．所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．一个篮球运动员投篮一次得３分的概率为a，得２分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0,１）），已知他投篮一次得分的均值为２，则错误!＋错误!的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知得，３a＋２b＋0×c＝２，即３a＋２b＝２，其中0<a<错误!，0<b<１．又错误!＋错误!＝错误!错误!＝３＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋２错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即a＝２b时取“等号”，又３a＋２b＝２，即当a＝错误!，b＝错误!时，错误!＋错误!的最小值为错误!，故选Ｄ．２．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.答案错误!１解析Eξ＝p＋１≤错误!（0≤p≤错误!）；Dξ＝—p２—p＋１≤１．３．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为错误!，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝错误!，则随机变量X的数学期望EX＝________.答案错误!解析由题意知P（X＝0）＝错误!（１—p）２＝错误!，∴p＝错误!.随机变量X的分布列为EX＝0×错误!＋１×错误!４．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.答案２解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为１—２x，则Eξ＝１·x＋２×（１—２x）＋３x＝x＋２—４x＋３x＝２．５．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单，在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于错误!，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．答案错误!解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x—a，且P（X＝x）＝１—p，P（X＝x—a）＝p，所以EX＝x（１—p）＋（x—a）p＝错误!，得x＝错误!.6．（２0１３·福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为错误!，中奖可以获得２分；方案乙的中奖率为错误!，中奖可以获得３分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（１）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤３的概率；（２）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解方法一（１）由已知得，小明中奖的概率为错误!，小红中奖的概率为错误!，且两人中奖与否互不影响．记“这２人的累计得分X≤３”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝５”，因为P（X＝５）＝错误!×错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（X＝５）＝错误!，即这２人的累计得分X≤３的概率为错误!.（２）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X１，都选择方案乙抽奖中奖次数为X２，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（２X１），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（３X２）．由已知可得，X１～B（２，错误!），X２～B（２，错误!），所以EX１＝２×错误!＝错误!，EX２＝２×错误!＝错误!，从而E（２X１）＝２EX１＝错误!，E（３X２）＝３EX２＝错误!，因为E（２X１）>E（３X２），所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二（１）由已知得，小明中奖的概率为错误!，小红中奖的概率为错误!，且两人中奖与否互不影响．记“这２人的累计得分X≤３”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝２”，“X＝３”三个两两互斥的事件，因为P（X＝0）＝（１—错误!）×（１—错误!）＝错误!，P（X＝２）＝错误!×（１—错误!）＝错误!，P（X＝３）＝（１—错误!）×错误!＝错误!，所以P（A）＝P（X＝0）＋P（X＝２）＋P（X＝３）＝错误!，即这２人的累计得分X≤３的概率为错误!.（２）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X１，都选择方案乙所获得的累计得分为X２，则X１，X２的分布列如下：所以EX１＝0×错误!＋２×错误!２!＋３×错误!＋6×错误!＝错误!.因为EX１>EX２，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．。
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课时分层训练(六十八) 离散型随机变量及其分布列 A 组 基础达标 一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P(X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13
D.23
C [由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P(X ＝1)＝2P(X ＝0)，
由P(X ＝1)＋P(X ＝0)＝1，得P(X ＝0)＝1
3
.]
2．若离散型随机变量X 的分布列为
则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13
D ．1
C [根据离散型随机变量分布列的性质知
⎩⎨⎧
9c 2－c ≥0，
3－8c ≥0，
9c 2
－c ＋3－8c ＝1，
得c ＝13
.]
3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用
X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68
C 1015
的是( )
【79140369】 A ．P(X ＝2)
B ．P(X ≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
C [X服从超几何分布，故P(X＝k)＝C k
7
C10－k
8
C10
15
，k＝4.]
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝
i
2a
(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)
等于( )
A.
9
10
B.
7
10
C.3
5
D.
1
2 B [由分布列的性质知，
1 2a ＋
2
2a
＋
3
2a
＋
4
2a
＝1，
则a＝5，
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝
3
10
＋
4
10
＝
7
10
.]
5．若随机变量X的分布列为
则当P(X<a)＝
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
C [由随机变量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，
P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
4
5
[设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n
＝3，
则P(X ≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24
C 36＝45
.]
7．已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－13，13 [由已知得p 1＝p 2－d ，p 3＝p 2＋d ，由分布列性质知 (p 2－d)＋p 2＋(p 2＋d)＝1，得p 2＝1
3，
又⎩⎪⎨⎪⎧
13－d ≥0，13＋d ≥0，
得－13≤d ≤1
3
.]
8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．
[X 的可能取值为3,4,5.又P(X ＝3)＝1C 35＝110，P(X ＝4)＝C 23
C 35＝310，P(X
＝5)＝C 24
C 35＝35
.
所以随机变量X 的分布列为
] 三、解答题
9．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．。