1.2.2空间两条直线的位置关系教案 (1) 高中数学 必修二 苏教版 Word版
高一数学 1.2.2 空间两条直线的位置关系1教案
1.2.2空间两条直线的位置关系（1）【教学目标】1、了解空间中直线与直线的位置关系；2、理解平行公理4，并会利用平行的传递性证明线线平行；3、掌握等角定理内容并会应用；4、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两直线位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念。
【重点难点】重点：平行公理及等角定理。
难点：平行公理及等角定理的应用。
【课前预习】一．问题情境数学实验：学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆，并观察，空间两直线的位置关系有哪些？教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？二、学生活动归纳小结： 。
三、建构数学1、问题：在平面几何中，同一平面内的三条直线a ，b ，c ，如果a ∥b 且b ∥c ，那么a ∥c ，这个性质在空间是否成立呢？观察下面的长方体和圆柱：归纳小结：公理4： 。
用符号表示：思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？【例题精讲】例1、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点。
求证：EF ∥A 1C 12、问题：在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
这一结论在空间成立吗？引导学生观察上图中的∠BEF 和∠B 1A 1C 1的关系归纳：定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（1） 要求画出图形并写出已知、求证。
A B D A 1 B 1 D 1 1 AA 1 O 1B 1 B O A BCD A 1 B 1 D 1 1F思考：如果∠BAC 和∠B 1A 1C 1的边AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，且AB ，A 1B 1方向相同，而边AD ，A 1D 1方向相反，那么∠BAC 和∠B 1A 1C 1之间有何关系？为什么？例2、已知E ，E 1分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点。
苏教版数学高一《空间两条直线的位置关系》 精品教学设计
* 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
3、等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（证明见书P24）
四、数学应用：
1、P24例1：连接AC 再利用公理4即可
2、P25例2：除了利用等角定理，还可以提供平面几何的证法，即利用CEB B E C ∆≅∆111
3、例3：如下图，空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
证明：连接BD ，∵EH 是△ABD 的中
位线 ∴EH ∥BD, EH=2
1BD 同理，FG //BD,FG=21BD ∵EH ∥FG,且EH=FG ∴四边形EFGH 为平行四边形 4、如图，P 是△ABC 所在平面外一点，
点D,E 分别是△PAB 和△PBC 的重心，求证：
DE ∥AC,DE=3
1AC 证明：连接PD ，PE ，并延长分别交AB,BC
于点M,N ，∵点D,E 分别是△PAB, △PBC 的
重心，∴M,N 分别是AB,BC 的中点
连接MN,则MN ∥AC ，且MN=
21AC ① 在△PMN 中，∵PN
PE PM PD =∴DE ∥MN,且DE=32MN ② 由①②根据公理4，得DE ∥AC,且DE=32MN=3
1AC 五、回顾反思：
1、理解空间两条直线的三种位置关系：相交、平行、异面
2、共面直线：相交直线：同一平面内，只有一个公共点的两条直线 平行直线：同一平面内，没有公共点的两条直线 不共面直线：异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线平行
3、掌握公理4和等角定理
教学反思
G A E
B
F C D
H。
1.2.2 空间两条直线的位置关系 学案1 高中数学 必修二 苏教版 Word版
空间两条直线的位置关系（1） 导学案学习目标（1）了解空间中两条直线的位置关系，培养学生的作图能力和空间想象能力；（2）理解并掌握公理4及等角定理，培养学生将空间问题转化为平面问题的能力和逻辑思维能力． 课堂学习一、重点难点重点：异面直线的概念；公理4及等角定理．难点：公理4及等角定理的应用．二、建构数学问题一：长方体1111ABCD A BC D -的棱1AA ，与棱AB 和1BB 所在直线的位置关系；棱1AA 与棱CD 所在的直线位置关系.异面直线的概念：注意：不要把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.空间两条直线的位置关系：问题二：观察长方体1111ABCD A BC D -，1AA 1BB ，1BB 1CC ，则1AA 1CC .公理4 ：符号表示：公理4即 ，这个性质在平面、空间都适用.公理4作用：观察例1中的BEF ∠和111B AC ∠的两边 ，大小关系是 .猜想： 推导证明：思考：若定理中将“方向相同”这一条件去掉，会有什么样的结论？三、数学应用例1.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知,E F 分别是,AB AC 的中点.求证：11//EF AC变式训练：已知空间四边形ABCD ，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.例 2. 如图. 已知1,E E 分别为正方体1111ABCD A BC D -的棱11,AD A D的中点, 求证: 111C E B CEB ∠=∠.课后复习1. 设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱有 条.2. ①对于不重合的三条直线,,a b c ，若//a b ，//b c ，则,a c 可确定一个平面；②空间中，过直线外一点可作多条直线与这条直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④四条边均相等的四边形是平面图形.上述命题正确的序号有 .3. ①没有公共点的两条直线是平行直线；②两条直线不相交就平行；③两条直线有既不相交又不平行的情况；④一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行.期中正确的是 .4. 如果角α和角β的两边分别平行，50α=，则β= . 5. 如图在一个长方体木块的11AC 面上有一点P ，过P 点画一直线和棱CD 平行，应怎样画？ .若要求过P 点画一直线和BD平行，应怎样画？ .6. 已知：棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别为1111,C D A D 的中点，求证：四边形MNAC 是梯形．7. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为棱1CC ，1BB ，1DD 的中点，证明：1BFC GD E ∠=∠.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 空间两直线的位置关系(1)教案 苏教版必修2(2021
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CD 1B 1C 1A 1AB1。
2.2 空间两直线的位置关系(1)【教学目标】1． 理解空间两条直线的位置关系; 2． 掌握平行公理、等角定理及其应用；3．理解“空间问题化归为平面问题”思维方法。
【教学重点】1． 空间两条直线的位置关系；2．平行公理、等角定理及其应用。
【教学难点】等角定理证明及其应用。
【过程方法】1．过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯;2．通过探究、思考,培养学生空间想象能力、理性思维能力、逻辑思维能力及其辩证唯物主义观点。
【教学过程】一、空间两直线的位置关系如图,在正方体C A 1中，可以找到以上三种直线的位置关系。
二、平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（平行传递)用符号表示为：c //a c //b b //a ⇒⎭⎬⎫。
例1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上点，且32CDCG CBCF ==，求证：四边形EFGH例2、如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心，求证：DE ∥AC 且DE=31AC.三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
1.2.2空间两条直线的位置关系(2) 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.2.2空间两条直线的位置关系(2)从容说课本课主要研究空间异面直线的概念、判定方法以及空间两条异面直线所成角的定义，前面已经学习的空间两条直线的位置关系以及空间平行直线的定义和判定方法，为本节课的学习做了方法上的准备.空间异面直线这种位置关系对于学生来说是比较陌生的，也是比较难以理解的，对于异面直线的概念教学，可组织学生借助于长方体模型，严格遵循由具体例子到抽象概念的顺序，观察、分析、抽象出异面直线的概念.教学中可结合正反两方面的例子，来加深学生对异面直线的概念的理解，说明“不同在任何一个平面内的两条直线”是指两条直线不能同在任何一个平面内，而不能由“l 1⊂α,l 2⊂β”就说l 1、l 2一定是异面直线.两条直线是异面直线等价于这两条直线既不共面也不平行.对于异面直线的图形表示，一定要以平面为衬托，才可以显示得更清楚.“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”可以作为判断两条直线异面的依据.教材上是用反证法证明这个结论的.教学时要引导学生理解反证法的证题步骤，即通过“反设”与“归缪”进而得到正确结论的方法.异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所成的角的大小也就确定了.异面直线所成的角，是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角，因此，异面直线所成角的范围为(0,2π］.两条异面直线互相垂直，即它们所成的角是直角，这是两条异面直线的一种特殊的位置情况.同时应该明确空间两条直线垂直不一定相交，因为有异面垂直这种特殊的位置情况.在异面直线所成的角的教学中，只需结合正方体模型帮助学生深入理解概念，并结合课本配备例题巩固概念能在比较特殊的情境下识别所成角即可，对于异面直线所成角的度量问题，不必拓宽加深.教学重点1.异面直线及异面直线所成角的概念的理解.2.两条直线互为异面直线的判定依据的证明.教学难点1.异面直线及异面直线所成角的概念的理解.2.异面直线的判定;异面直线所成角的判断与求解.教具准备多媒体课件、投影仪、长方体模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.理解异面直线以及异面直线所成角的概念.2.能在具体图形中识别并判断两条直线是否为异面直线.3.能根据异面直线所成角的定义在具体图形中能初步识别并求出异面直线所成的角.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考抽象出两条异面直线的概念以及异面直线所成角的概念，培养学生空间想象能力、理性思维能力、观察能力以及判断能力.三、情感态度与价值观1.通过学习异面直线的概念以及异面直线所成角的概念，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深学生对异面直线的概念以及异面直线所成的角的概念的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题的能力.3.借助计算机来探求异面直线以及异面直线所成角的概念，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，并以此激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师上节课我们研究了空间两条直线之间的位置关系以及这三种位置关系的分类标准，你还记得它们吗?(生口答，师简单板书)师对于两条相交直线的具体位置，我们可以通过研究它们的夹角的大小来刻画它们的具体位置关系，请同学们观察如图所示的正方体中AB和B1C1，AB和A1C1的位置关系是怎样的?生它们都互为异面直线.师它们在空间的具体位置关系有什么不同吗?如何比较方便地判定空间两条直线是异面直线?能否找到一个几何量来刻画两条异面直线的具体位置关系?这就是我们本节课所要研究的内容.(引入新课，书写课题——异面直线)推进新课(一)异面直线的判定方法1.探究判断空间两条直线异面的方法师如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中，你能找出互为异面的几组直线吗?生直线A1C1和直线AB,直线A1C和直线AB,直线A1C1和直线BD均互为异面直线.师它们互为异面直线的依据是什么?生异面直线的定义.师能否有更方便的判定两条直线互为异面直线的依据呢?(生思考)师我们知道直线A1C和直线AB互为异面直线，请观察直线A1C和直线AB与平面ABCD的位置关系.生直线A1C和平面ABCD相交于点C，直线AB在平面ABCD内.师你能用你自己的语言把这两条直线的关系及其特征叙述出来吗?(生讨论交流，师适时归纳总结得出如下结论)结论:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师你能用你所学的知识证明这一结论吗?(生思考)合作探究:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师你能说出上面所要证明结论的已知、求证，并画出对应的图形吗?(生讨论交流，写出已知、求证并画出图形)已知:如图,A α,B∈α,B∉l,l⊂α，求证:直线AB与直线l互为异面直线.师在你的知识宝库中都储存了哪些判断两直线互为异面直线的依据呢?生异面直线的定义.师如何运用定义判断两直线互为异面直线?用起来方便吗?(生思考)师当我们直接运用定义来判断两直线互为异面直线比较困难时，还有没有其他的途径可以帮助我们来解决这一问题呢?(生思考，引出反证法，师生共同回顾反证法证题的步骤，并完成证明)师这样我们就有如下的结论:一般地，我们有:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师判断空间两条直线互为异面直线的依据和方法有哪些?(生讨论交流，师适时总结，得出如下结论)师证明两条直线异面的方法有两种.(1)用定义证明(即定义法).此时需借反证法，假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可.(2)用定理证明(即定理法).用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件:a⊂α，A∉α，B∉α，B∉a，然后可以推导出直线a与AB是异面直线.依据这一结论判定两条直线是异面直线时应注意以下几个方面,即“一个平面、两条直线(平面内一条，平面外一条)、两个点(面内一点，面外一点)”(通俗地称为“两在两不在”定理)，并明确它们之间的关系.(3)当一个问题正面叙述不容易说清楚时，我们通常采用反证法,其证明步骤为:反设(设出所证问题的反面)、归谬(推出与公理、定理、定义的矛盾或与已知条件的矛盾或自相矛盾)、下结论.(二)探究两条异面直线所成角定义师我们可以用“角”来刻画平面内两条直线的位置关系，那么对于空间两条异面直线能否找到一个几何量来刻画两条异面直线的具体位置关系呢?(生讨论交流引入异面直线所成角的概念，师板书两条异面直线所成角的概念)两条异面直线所成角:已知a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别作这两条直线的平行线a′、b′，我们把直线a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.师以上概念告诉你哪些信息?生两条异面直线所成角的范围为(0°,90°］.生概念告诉我如何求解两条异面直线所成角的步骤.师你能具体说说吗?生(1)在空间任找一点;(2)过该点分别作两条异面直线的平行线;(3)构造过该点的三角形，在所构造的三角形中运用平面几何知识求解.师如何快速简洁地找到两条异面直线所成的角呢?(生讨论交流得出如下结论)师根据定义作两条异面直线的所成角时，一般是在两条异面直线中的一条上选取一点，作出另外一条直线的平行线即可.师两条异面直线a、b所成的角的大小是否随空间任意点O的不同位置而改变?若异面直线a、b所成的角为90°时，又如何定义它们的位置关系?在求解异面直线所成角的过程中体现出了解决空间问题的哪些思想呢?(生讨论交流得出如下结论)师(1)当两条异面直线位置给定后，它们所成角的大小不会因为点O的位置选取不同而发生改变;(2)若异面直线a、b所成的角为90°,则称这两条直线垂直，记为:a⊥b.空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，但平行于同一直线的两条直线一定平行;(3)空间两条直线垂直不一定相交.利用平移来确定平面，作出两条异面直线所成的角，是将空间问题转化为平面问题的一条重要途径.也是我们求解空间角和距离问题的一条重要途径.【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)空间两条直线可以确定一个平面;(2)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条;(3)垂直于同一条直线的两条直线平行;(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行;(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交;(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面;(7)一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直.(师投影显示，生讨论交流完成解答)师该题从多方面、多角度对空间直线的位置关系进行考察，加深我们对空间直线位置关系的理解，在解决有关空间直线位置的判断问题时，总可以借助于正方体来直观地帮助我们理解判断.解析:(1)不正确.两条异面直线不能确定一个平面.(2)不正确.垂直于两条异面直线的直线有无数多条，这无数条直线都与这两条异面直线的公垂线平行.但两条异面直线的公垂线(和两条异面直线垂直且相交的直线)有且只有一条.(3)不正确.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.(4)正确.由公理4可知.(5)不正确.a、c可能平行，还可能异面.(6)不正确.a、c可能异面，但也可能平行或相交.(7)正确.因为直线与两条平行线所成的角相等.【例2】如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是b、c上的一点.求证:MN和PQ是异面直线.(师投影显示，生讨论交流完成，得出如下多种解答)师对于异面直线我们现在只知道它的定义和一个一般性的结论,而要直接根据定义证明MN和PQ是异面直线是相当困难的,因此,在这里可以考虑用反证法和这个一般性的结论来尝试证明.证法一:(反证法)假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈a，M、P∈α,∴a⊂α.又O∈a，∴O∈α.∵N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α.同理c⊂α.∴a、b、c共面于α，与已知a、b、c不共面相矛盾.∴MN、PQ是异面直线.证法二:∵a∩c=O，∴直线a、c确定一个平面设为β.∵P∈a，Q∈c，∴P∈β，Q∈β.∴PQ⊂β且M∈β，M∉PQ.又a、b、c不共面，N∈b，∴N∉β.∴MN与PQ为异面直线.【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=a.(1)求异面直线AA1与BC所成的角;(2)求异面直线BC1与AC所成的角.(师组织学生回顾几何异面直线所成角的定义及求解方法，完成解答，师生共同进行解题回顾)师根据异面直线所成角的定义求解异面直线所成角的一般步骤是:平移→构造三角形→解三角形→作答.在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两条异面直线中的一条上的一点，或选择几何体顶点、某条棱的中点等这些特殊的点.求两条异面直线所成角的过程中,若求出的角的余弦值或正切值是负值时,两异面直线所成角应取其补角,且不可直接取这个钝角.(三)目标检测1.课本第28页练习第1、2、3、4、5、6题.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=a,E、F分别是棱BC、DC的中点，求异面直线AD1和EF所成角的大小.课堂小结1.异面直线的判定方法.2.异面直线所成角的定义以及求解方法.布置作业课本第29页习题1.2(1)第9题、第12题、第13题.板书设计1.2.2空间两条直线的位置关系(2)1.异面直线的判定方法2.异面直线所成角的定义以及求解方法例题及学生练习课堂小结与布置作业活动与探究1.正方体ABCD—A1B1C1D1的12条棱中，与体对角线BD1成异面直线的棱的条数有_______条.2.如图，已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α、β内，且与l分别交于B、D两点.若∠ABD＝∠CDB，试问AB、CD能否平行?并说明理由.参考答案:1.62.解:直线AB、CD不能平行.若AB∥CD,则AB与CD共面,记这个平面为γ.∴AB、CD⊂γ.∴AB⊂α,D∈γ.由题知,AB⊂α,D∈α,且D∉AB,根据过一条直线及这条直线外一点,有且仅有一个平面,α与γ重合.同理,β与γ重合.∴α与β重合,这与题设矛盾.∴AB、CD不能平行.备课资料典型习题1.下列四个命题:①分别在两个平面内的两条直线是异面直线;②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条;③和两条异面直线都相交的两条直线必异面;④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.02.若直线a、b与直线l所成的角相等，则a、b的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面均可能3.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_________.4.如图，已知P为△ABC所在平面外一点，P C⊥AB，P C＝AB＝2，E、F分别为P A和BC的中点.(1)求证:EF与P C是异面直线;(2)求EF与P C所成的角.参考答案:61.D2.D3.64.(1)用反证法．假设EF与P C共面于α，则直线P E、CF共面α，则A∈α，B∈α，于是P与A、B、C共面于α，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与P C是异面直线.（2）取P B中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段P A、BC中点，有EG21，GF 21P C. ∴∠GFE 为异面直线EF 与P C 所成的角，∠EGF 是异面直线P C 与AB 所成的角. ∵P C⊥AB，∴EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵ P C ＝AB ＝2，∴ EG＝1，GF ＝1.故△EFG 是等腰直角三角形.∴ ∠GFE＝45°，即EF 与P C 所成的角是45°.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.2 空间两条直线的位置关系》
空间两条直线的位置关系教材分析本节内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修二空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最根本的位置关系，学生在前面已经学习了平面的相关概念及性质, 这为本节内容作了一个铺垫异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．直线的异面关系是本节的重点和难点异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否认形式给出的，因此异面直线的判定以及它的证明方法也就与众不同公理4是空间等角定理的根底，而等角定理又是定义两异面直线所成角的根底，准确掌握各个知识点之间的相互关系，才能把握好两异面直线所成角的概念学情分析知识技能根底：学生在初中已经学过平面中两条直线的位置关系，直观认识了角、平行与垂直，而在前面一节已经学过平面的相关概念和性质，这为本节课的学习奠定了良好的知识技能根底学生活动经验根底：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动经验，学会借助长方体模型来研究空间几何问题，并初步学习了在直观认识的根底上进行简单的论证，但由于学生的根底知识储藏不够，在论证的过程中会存在一些问题，教学过程中要注意引导教学目标1正确理解空间中两条直线的位置关系，特别是两直线的异面关系2以公理4和等角定理为根底，正确理解两异面直线所成角的概念以及会求两条异面直线所成的角的大小3进一步培养学生的空间想象能力，渗透化归思想以及培养学生有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质教学重点异面直线的概念以及异面直线所成的角教学重点异面直线的判定及异面直线所成角的求解教学过程导入新课复习回忆平面内两条直线的位置关系，并提出问题：空间中两条直线的位置关系有哪些呢？给出一组生活中的事物图片，从实物抽象出直线，发现空间中存在既不平行又不相交的直线推进新课教师说明这一种直线位置关系叫做异面直线，并让学生归纳异面直线的概念，在学生归纳的过程中教师适时引导新知探究一异面直线1提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系③两异面直线的画法活动：先让学生思考问题并动手画图，教师再进行归纳总结讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线关键词是“任何〞②空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面，并从共面情况和公共点个数对这三种位置关系进行分析，相交直线和平行直线在同一个平面内，异面直线不同在任何一个平面内；相交直线有且只有一个公共点，平行直线和异面直线没有公共点③学生画图，教师再次强调画两条异面直线时为了突出异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下列图：由异面直线的第一种画法引导学生归纳出：平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线教师指出这是异面直线的判定，学生从直观上容易感觉出这两条直线是异面直线，但在论证上可能缺乏思路,教师适时引导学生逆向思维加以证明2稳固练习判断：〔1〕直线和m 是异面直线吗？〔2〕假设，那么是异面直线〔3〕不同在平面，那么是异面直线设计意图：主要让学生掌握异面直线的概念，以到达教学目标1，同时到达设置此内容为教学重点的目的新知探究二 平行公理〔公理4〕探究：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，在空间中，是否也有类似的规律？思考：如图，在长方体中，β m m m吗？通过观察得出结论：再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：a∥b,b∥ca∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4的作用：判断空间两条直线平行的依据新知探究三等角定理〔1〕提出问题我们知道，在平面内两条相交直线成4个角，其中不大于的角称为它们的夹角。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.2 空间两条直线的位置关系》71
空间两条直线的位置关系
江苏省六合高级中学孔亚锋
【教学目标】
1．学生通过探究了解空间两条直线的位置关系，并给出相关定义；
2．学生初步养成空间想象能力，抽象概括能力，培养相关核心素养．
【教学重点】
空间两条直线不同的位置关系探究过程．
【教学难点】
空间两条直线不同的位置关系探究过程，异面直线定义．
【教学分析】
本节课是空间中两元素位置关系的第一节,培养学生提出问题,分析问题,解决问题相关程序与手段, 为后面研究问题做好铺垫,以及培养学生的空间想象能力，抽象概括能力
【学习过程】
一､问题情境:
1．我们学习过空间中几何元素:点，线，面．接下来我们研究什么
2．空间两条直线有哪些位置关系怎么去发现呢
3．如何定义空间两条直线不同的位置关系
4．怎么去表示空间两条直线不同的位置关系
通过四个问题培养学生研究问题的一般步骤:学生提出问题，分析问题，解决问题．
过程培养学生的空间想象，抽象概括能力，空间想象能力:想，画，借助实际模型．
二､探究新知:
1､异面直线的定义: 的两条直线叫做异面直线．
符号表示:
的位置关系是．
1､空间两条直线的位置关系
2､异面直线的定义:
3､思考问题一般途径与方法:
4､思考空间立体几何问题的手段:。
1.2.空间两条直线的位置关系-苏教版必修2教案
1.2.空间两条直线的位置关系-苏教版必修2教案一、教学目标1.了解空间直线的方向和位置关系；2.能够判断两条直线的位置关系；3.能够根据给定条件求两直线交点坐标。
二、教学重点1.空间直线的方向和位置关系；2.两条直线的位置关系。
三、教学难点根据给定条件求两直线交点坐标。
四、教学内容1. 空间直线的位置关系两条不在同一平面内的直线可以呈现三种不同的位置关系：1.平行关系：两条不在同一平面内的直线没有交点；2.相交关系：两条不在同一平面内的直线有且仅有一个交点；3.重合关系：两条不在同一平面内的直线有无数个交点。
2. 空间直线方向的描述方法描述空间直线的方向有两种方法：1.用直线上的两点之间的向量表示；2.用法向量表示，法向量的方向和直线垂直，方向沿着法线上的向量。
3. 两条直线位置关系的判断1.如何证明两条直线平行？–相互垂直的向量的数量为零，或者向量的夹角为0度；–两条直线上的任意两个不重合的点之间向量相等。
2.如何判断两条直线相交？–得出两个直线上的向量，判断它们是否共面，如果共面，则两条直线相交；–利用向量积判断是否有交点，有交点则两条直线相交；–根据两个平面的法向量判断是否相交，相交则两条直线相交。
3.如何证明两条直线重合？–相互垂直的向量的数量等于1，或者向量的夹角为0度；–两条直线上的任意两个线段长度相等。
4. 求两直线交点坐标的方法两直线的交点，通常分为两种情形。
第一种情形，两直线不在同一平面内，此时可用向量积或者代数方法直接求得交点坐标。
第二种情形，两直线在同一平面内或者没有确定平面，此时可用三面角公式求得交点坐标。
五、教学方法1.理论授课；2.讲解示范；3.实践演练。
六、教学评价1.学生学习笔记；2.实践操作表现；3.课后作业完成情况。
1.2.2空间两条直线的位置关系(1) 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.2.2空间两条直线的位置关系(1)从容说课空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识，其中,相交直线和平行直线都是共面直线，学生对它们已经很熟悉.空间平行直线、平行公理以及等角定理是本课的教学重点内容，空间两条直线之间的位置关系是我们在立体几何中首次具体研究的位置关系，本课的学习不仅为后面内容的学习奠定基础，同时也为后续内容的学习作好了方法上的准备.教学时可以先设置一定的问题情境，借助长方体和圆柱模型引导学生观察、分析其中直线的位置关系，并组织学生分析两条直线的位置关系的分类标准，进而得出两条直线的三种位置关系.有条件的学校可以借助计算机进行动态演示，加深学生对空间两直线的位置关系的理解.公理4的内容是平行的传递性，平行的传递性在初中几何知识中已经讲过，该性质能否推广到空间?可以组织学生借助长方体和圆柱模型让学生通过观察来感受空间中的“平行的传递性”，并列举大量的生活实例让学生进一步领会公理4.对于“等角定理”的教学可以由平面与空间的类比引入，并明确定理的具体内容.证明“等角定理”的关键是引导学生构造两个全等三角形，通过分析让学生弄明白，这里将空间问题化归为平面问题是处理空间问题的基本策略.证明过程中推出符号“ ”代替“因为”“所以”，旨在让学生了解更多种不同的书写方式.同时提醒学生:一般地，要把关于平面图形的结论推广到立体图形，必须经过证明.教学重点1.了解空间两条直线的位置关系.2.掌握平行公理、等角定理及其应用.教学难点等角定理证明的掌握及其应用.教具准备多媒体课件、投影仪、长方体模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解空间两条直线的位置关系，会在具体图形中辨别两条直线的位置关系.2.掌握平行公理和等角定理，并能用其解释一些具体问题.3.能充分利用构造的方法证明等角定理.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考，培养学生空间想象能力、理性思维能力、逻辑思维能力以及辩证唯物主义观点.三、情感态度与价值观1.通过学习空间两条直线的位置关系，使学生理解平面图形和立体图形的异同以及两者之间的内在关系，逐步培养学生的空间想象能力，加深对人类认识事物的一般规律的理解，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对空间两条直线位置关系的理解，增强学生数学交流能力.3.通过多媒体动画演示空间直线的位置关系以及平行公理和等角定理，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，并以此激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师在平面几何中，我们已经比较系统地学习了平面内两条直线的位置关系，同学们还能记得它们的位置关系的情形吗?生在平面内两条直线有平行、相交、重合三种位置关系.师平面内两条直线的这三种位置关系的分类标准是什么呢?生两条直线的公共点的个数多少.在平面内，如果两条直线有一个公共点时，这两条直线相交;如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行;如果两条直线有无数个公共点,则这两条直线重合.师平面内两条直线的这三种位置关系的定义在空间内是否依然成立呢?(生思考)师请拿出你课前制作好的几何模型，借助模型探究空间两条直线有哪些位置关系.(生思考，师展示长方体模型，组织学生通过直观感知，抽象出空间直线的位置关系，引入课题，书写课题——空间两条直线的位置关系)推进新课(一)介绍空间两条直线的位置关系师请同学们观察你面前的长方体模型，思考如下问题.(师多媒体显示如下问题，并动画显示长方体模型中的有关棱、对角线，引导抽象出空间两条直线的位置关系以及分类标准)师1.在空间没有公共点的两条直线是否是平行直线?并举例说明.2.空间中是否存在既不平行又不相交的两条直线?若存在，如何对其命名?3.能否找到一个平面，使其通过这两条直线?(生通过观察模型，得出如下结论)我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew li N es).师至此，你能否结合平面内两条直线的位置关系，类推出空间两条直线的位置关系呢?(师生讨论交流，得出如下结论)空间两条直线的位置关系:(生讨论交流，得出如下结论)师(1)看是否存在一个平面能包容这两条直线;(2)判断这两条直线是否有公共点.师请在你的生活空间中分别找出两条平行直线、相交直线、异面直线.(生完成)(二)直观感知公理4合作探究:已知空间三条直线a,b,c,且a∥b,b∥c,试判断a和c的位置关系,并举例说明.(师组织学生，通过观察长方体的三条互相平行的棱之间的关系，抽象出平行公理，并组织学生用符号语言来表示公理4)1.公理4(平行公理)：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师你能否用符号语言来表示公理4呢?(生讨论交流，得出如下结论)师a∥b,b∥c a∥c.这一公理是平面几何中“平行的传递性”在空间中的推广.它为我们判定空间两条直线平行提供了一条有力依据.师至此，你觉得可以通过哪些途径来判断两条直线是平行直线?(生讨论交流，共同归纳出空间判断两条直线为平行直线的途径)即(1)根据定义，即在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行;(2)根据公理4,即a∥b,b∥c⇒a∥c.师经过线外一点，有几条直线和已知直线平行?2.公理的应用【例1】如右图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB、BC的中点，求证:EF∥A1C1.师请同学们思考，如何证明空间两条直线平行?(生思考，探求出证明思路，师板书证明过程，并组织学生进行解题回顾)师证明空间两条直线平行可以通过如下两条途径:(1)根据定义，即在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行;(2)根据公理4,即a∥b,b∥c⇒a∥c.师平行公理是证明“直线平行”的方法之一，在使用时要证两条直线a、b平行，关键是找到直线c，使得a∥c，b∥c，从而就有a∥b.在立体几何证明题中，每一个论断的获得都必须有一定定理、公理或定义为理论依据，切不可想当然.(三)直观感知等角定理师在平面几何学习中，我们已经掌握了证明两个角相等的方法，你还记得它们吗?(生讨论交流，归纳出平面内证明两个角相等的方法)师那么如何证明空间中两角相等呢?(生思考)师你能在右图中的长方体模型中找到空间两个相等的角吗?生甲如图,∠ABC=∠A1B1C1.生乙如图,∠BAC=∠B1A1C1.师回答的很好.你能对你的结论加以解释吗?(生思考)师请观察你所找到的角的两边之间有什么关系吗?生它们的两边分别平行.师据此你能否得到一个一般性的结论呢?生如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.师你能在图中的长方体中再找出几个相等的角来验证你的结论吗?(生验证)师通过验证，你觉得上述的结论是否要作一些修正呢?(生讨论交流，得出如下结论)结论1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.结论2:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.师证明:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.师请你用图形语言和符号语言表示出上题的已知和求证,并画出图形.(组织学生画出如右图所示的图形)已知:如图,∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1,AC∥A1C1,并且方向相同.求证:∠BAC=∠B1A1C1.师根据你的学习经历，如何证明空间两个角相等呢?(生讨论交流，得出如下证题思路，生板书证题过程)师在空间证明两个角相等，可以设法构造两个含所求角的三角形，进而根据三角形全等的有关知识证明这两个三角形全等.师这样，我们就有了一个证明空间两个角相等的另外一条重要途径——等角定理.(师板书定理)1.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.师判断下列命题是否正确.①如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)相等.(生讨论交流，完成解答)师(1)等角定理可以作为我们证明空间两个角相等的理论依据.在应用时既要证明两个角的两边分别平行，又要判定方向相同，两个条件缺一不可.(2)本章中，如无特殊说明，“两条直线”是指不重合的两条直线.(3)平面几何中的一些结论在空间不一定成立，因此，不能盲目地将平面几何中的一些结论推广到空间中去.(4)在立体几何证明题中，每一个论断的获得都必须有一定定理、公理或定义为理论依据，切不可想当然.2.定理的应用【例2】如图，已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证:∠C1E1B1=∠CEB.师证明空间两角相等的方法都有哪些?具体如何操作?(生讨论交流，并完成证明过程)方法引导:根据等角定理，要证∠C1E1B1=∠CEB，只需证(1)两个角的两边分别平行;(2)判定两角的方向相同.(三)目标检测课本第26页习题1、2、3题.课堂小结师请同学们同桌之间互相交流一下你本节课的收获.(生交流总结，得出如下内容)1.空间两条直线的位置关系及其图形语言、符号语言的表示.2.平行公理是证明“直线平行”的方法之一，在使用时要证两条直线a 、b 平行，关键是找到直线c ，使得a∥c，b∥c，从而就有a∥b.3.等角定理可以作为我们证明空间两个角相等的理论依据.在应用时既要证明两个角的两边分别平行，又要判定方向相同，两个条件缺一不可.4.在立体几何证明题中，每一个论断的获得都必须有一定定理、公理或定义为理论依据，切不可想当然.布置作业1.课本第29页习题1.2(1)第8题.2.如图，O 是平面ABC 外一点，A 1、B 1、C 1分别在线段OA 、OB 、OC 上，且满足OCOC OB OB OA OA 111,=，求证:△ABC∽△A 1B 1C 1.参考答案: ∵OCOC OA OA OC OC OB OB OA OA 11111,=∴==. 在△AOB 中,由OB OB OA OA 11=, ∴A 1B 1∥AB.同理B 1C 1∥BC.∵∠A 1B 1C 1与∠ABC 方向相同,∴∠A 1B 1C 1=∠ABC.同理,∠B 1A 1C 1=∠BAC.∴△A 1B 1C 1∽△ABC.板书设计1.2.2空间两条直线的位置关系(1)1.空间两直线的位置关系2.平行公理和等角定理(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.如下图，把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示，请说明为什么这些折痕互相平行?2.分别制作一个棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台模型，并在其表面寻找互相平行、相交、异面的直线以及空间相等的角.3.探究正方体的一条棱与正方体的面对角线以及体对角线所成的角.提示:1.几何平行公理解释.2.自制一个框架型长方体,借助细铁棍引导学生探究.备课资料典型习题1.如果把两条平行的直线称为“一对”，那么在正方体的12条棱中，相互平行的直线共有对数为()A.4B.6C.8D.182.已知一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角()A.相等B.互补C.相等或互补D.既不相等又不互补3.两条异面直线是指()A.空间中两条没有公共点的直线B.平面内一条直线与这个平面外的一条直线C.分别在两个平面内的两条直线D不同在任何一个平面内的两条直线4.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面5.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点,求证:BF ED1.参考答案:1.D2.C3.D4.D5.取BB1的中点G, 连结C1G, 可证C1G BF,ED1 C1G,从而由平行公理知BF ED1.。
高中数学 1.2 空间两条直线的位置关系(1)导学案苏教版必修2
空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置课时安排、了解空间中两条直线的位置关系（一）问题引入1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？（二）知识的建构1、异面直线的概念：2、空间两直线的位置关系有哪几种？3、公理4：（文字语言）（符号语言）4、等角定理：（三）学习交流、问题探讨例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证：11//C A EF ．例2、已知：BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3、如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．求证：111B E C CEB ∠=∠．（四）练习检测与提升1、若把两条平行直线称为一对，则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有____对．2、已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ，∠︒=30ABC ，则∠PQR 等于_________________．3、空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，，则由直线c b a 、、确定________个平面．4、三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形；（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5、在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．6、已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点， 求证：四边形EFGH 是梯形．7、已知三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，，求22BD AC +值．（五）课后反思，错题摘录。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.2 空间两条直线的位置关系》0
空间两条直线所成的角课题：空间两条直线所成的角教学目的：1了解空间两条直线的位置关系、异面直线的作图；空间两条直线所成角的种类；2掌握计算空间两条异面直线的所成角的作图和求解方法----找平行线、作平行线；3培养学生的空间想象能力和数学思维能力。
课型与教法：新授课，讲练结合法教学重点：异面直线的概念、两条异面直线所成的角的概念及求法。
教学难点：两条异面直线所成的角的作图及计算步骤。
教学备品：教学多媒体课件。
教学过程：1课时．45分钟【教学过程】2异面直线的作图技巧；3两条直线所成的角探究；二、揭示课题、探索新知板书：空间两条直线所成的角*创设情境兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC和直线AD 是异面直线，度量1DAD∠，发现它们是相等的．∠和1CBC如果在直线AB上任选一点P，过点P分别作与直线1BC和直线AD平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC∠相等？图9−30经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的２四、运用知识 强化练习111111ABCD A B C D BA CC -如图：正方体求异面直线和所成的角。
五、课时小结：1 本节课我们研究了什么？2 我们学会了什么？3 立体几何计算题的计算步骤有哪些？六、作业设置七、板书设计：课题：……1空间两条直线位置关系2异面直线定义与作图3空间两条直线所成的角4例题5例题２---------总结立体几何计算题的解题步骤。
学生练习：作业例本节课重点和难点内容分别是异面直线所成的角及其计算，从作图到找（作）角，让学生通过相交直线的夹角来类比研究异面直线的夹角。
多媒体课件教学，让学生形象感受到异面直线夹角的形成过程。
在教学过程中，强调了立体几何中计算题的通常解法及步骤。
在教学反馈中，发现有的学生找的角是错误，主要原因是没有抓住和异面直线平行的两条直线的位置等。
在以后的教学中，更加细致的让学生分析例题中将异面直线夹角化为相交直线夹角的过程。
高中数学 1.2.2 空间两条直线的位置关系同步教学课件 苏教版必修2
学
当
方 关系？
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
【提示】 不在同一个平面内，它们是异面关系．
堂
互
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
易 误
析
难点：异面直线概念的理解．
辨 析
教
学 方
重难点突破：以“问题导思”及学生身边的实例引出空 当 堂
案
设 间两直线的位置关系问题，在学生获得空间中两直线存在
双 基
计
达
课 “既不相交，也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方 标
前
自 体为载体引出异面直线的概念，并以“共面”与“异面”及 课
主
时
导 学
教
学 方
置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基
当 堂
案
设 础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位
双 基
计
达
课 置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础．同时，通过 标
前
自 公理 4 及等角定理，借助画平行线的方式，使两条异面直线 课
主
时
导 学
移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空
双 基
计
达
成的角．
标
课
前
自
(3)借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质． 课
主
时
导 学
3．情感、态度与价值观
作 业
课 堂 互 动 探 究
苏教版高中数学必修二1.2.2空间两条直线的位置关系(1)学案(无答案)
讲学稿课题：§1.2.2空间两条直线的位置关系(1)学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系；掌握公理4，并能熟练运用公理4证明两直线平行；了解等角定理，并能简单运用定理证明空间两角相等。
重点与难点重点是空间两直线的三种位置关系；等角定理及公理4及其简单应用；难点是等角定理及公理4的简单应用。
教学过程1．问题情境(1)情境：回顾平面内两条直线的位置关系：________________．(2)问题：在空间中，两直线的位置关系又有几种呢？__________________、____________________、__________________2．空间两直线的位置关系(1)异面直线的概念______________________________________________________叫做异面直线．(2)空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线平行直线异面直线3．平行公理公理4：__________________________________________________________数学语言表示：________________________________________公理4说明了空间中直线之间的平行具有传递性思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？（答:___________）．4．等角定理______________________________________________________，那么这两个角相等．已知：_________________________________________求证：________________________________________．_A_B_1_B_C_1_C_A_1思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系如何呢？答：________________________________________5．例题讲解例1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1．例2．已知E、F、G、H分别是空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．思考：空间中“两组对边分别平行”，“一组对边平行且相等”，“两组对边都相等”的四边形是否为平行四边形？为什么？_E_D_B_C_B_1_C_1_D_1_A_1_A_FADBCB 1A 1C 1D 1E 1E 提高：若E 、F 、G 、H 分别是空间四边形四条边AB 、BC 、CD 、DA 的点，且m ADAHAB AE ==， n CDCGCB CF ==，什么时候四边形EFGH 是平行四边形？梯形？菱形？例3．如图，已知1,E E 是正方体1111D C B A ABCD -的棱11,D A AD 的中点， 求证：CEB B E C ∠=∠111．6．课堂小结(1) 空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面；(2) 公理4及等角定理的简单应用．7、练习：P28 练习1－6。
《空间两条直线的位置关系》教学案1(苏教版必修2)
[课题] 空间两条直线的位置关系（1）
[学习要求]
1．了解空间两条直线的位置关系2．掌握平行公理及其应用
3．掌握等角定理，并能解决相关问题．
[知识体系]
1.
2.公里4：符号表示：
3．等角定理:
[例题解析]
例1：.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E、F分别是AB、BC的中点, 求证: EF//A1C1
证两直线平行的方法：(1)利用初中所学的知识；(2)利用平行公理．
例2：已知：棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别为的中点，求证：四边形是梯形．
例3：如图. 已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点, 求证: ∠C1E1B1=∠CEB .
分析：设法证明E1C1//EC,E1B1//EB
[课外作业]
1．设是正方体的一条棱，这个正方体中与平行的棱共有条
2．若, 则与关系
3．空间三条直线，若, 则由直线确定的面数个数为
4．有下列四个命题: 其中正确的是
(1)若, 则(2)若, 则
(3)若与相交, 与相交, 则与相交.
(4)在中，若，则
5．如图所示，空间四边形中，分别是的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是6．已知E、F、G、H分别是空间四边形四条边AB、BC、CD、DA上的点. 且=2, F、G分别为BC、CD的中点, 求证: 四边形EFGH是梯形.
7．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点, 求证: (1)四边行EFGH是平行四边形；(2)若AC=BD，求证四边行EFGH是菱形；
(3) 当AC与BD满足什么条件时，四边行EFGH是正方形？
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空间两条直线的位置关系(2)【一等奖教案】 苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）教学目标：1．深化对异面直线定义的理解；2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．教材分析及教材内容的定位：两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础．异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．教学重点：异面直线所成角的定义．教学难点：将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．教学方法：13． 如图在正方体中和对角线C 1A 异面的棱有哪几条？ 二、学生活动1．回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？（进一步理解异面直线定义的实质）2．每两位同学一组，把桌面作为平面α，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线l ，另一位同学持一支笔（表示另一条直线m ）使其一端经过桌面上一点B ，观察并思考什么情况下直线l 和直线m 是异面直线？（由此引导学生得出异面直线的判定定理）3．借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？（由此导出异面直线所成角的定义）4．利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？（由此得出探求异面直线所成角的一般步骤）三、建构数学1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2．异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外（如下图所示）．3．异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．符号表示：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l，则直线AB 与l 是异面直线． （可以引导学生用反证法给予证明）4．两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a ，b 是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O 点分别作 a ，b 的平行线 a ′和 b ′，则这两条直线a ′和b ′所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a ，b 所成的角．若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直． 异面直线a 与b 垂直也记作a ⊥b ．异面直线所成角θ的取值范围： (0,90]︒︒．（3）求直线A 1B 与直线B 1C 所成的角的度数．例2 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点， （1）若BC ＝AD ＝2EF ，求直线EF 与AD 所成角的大小． （2）若AB ＝8，CD ＝6，EF ＝5，求AB 与CD 所成角的大小．2．练习．（1）指出下列命题是否正确，并说明理由．①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③若a ∥b ，c ⊥a 则b ⊥c ． ④若c ⊥a ，b ⊥c 则a ∥b ．⑤分别与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 一定异面．（2）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1所成角为60︒的面对角线有 条．（3）已知不共面的三直线a ，b ，c 相交于点O ，M ，P 是a 上两点，N ，Q 分别在b ，c 上 ．求证：MN ，PQ 异面．BCDA EFC1A。
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第7课时 空间两条直线的位置关系
学习要求
1.了解空间两条直线的位置关系
2.掌握平行公理及其应用
3.掌握等角定理，并能解决相关问题．
【课堂互动】
自学评价
１. 空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线
平行直线 异面直线 ２. 公里４： 符号表示：
思考：经过直线外一点，有几条直线和这条
直线平行
答：
３．等角定理
【精典范例
】 例1：.如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点, 求证: EF//A 1C 1
解答：见书２５页例１
思维点拔： 证两直线平行的方法： (1)利用初中所学的知识 (2)利用平行公理． 追踪训练
已知：棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
M,N 分别为CD,AD 的中点，求证：四边形MNAC
是梯形．
M
证明略
听课随笔
A 1 A 1
点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识． 例2：如图. 已知E 、E 1分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点, 求证: ∠C 1E 1B 1=∠CEB .
分析：设法证明E 1C 1//EC,E 1B 1//EB 证明：
解答：见书２６页例２
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
等角定理的证明
已知: ∠BAC 和∠B 1A 1C 1的边AB//A 1B 1 , AC//A 1C 1 , 并且方向相同. 求证: ∠BAC=∠B 1A 1C 1 解答：见书２５页
点评：
平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。
追踪训练
1. 设AA １是正方体的一条棱，这个正方体中与AA 1平行的棱共有 （ C ）
Ａ.１条 Ｂ.２条 Ｃ.３条 Ｄ.４条
2.若OA//O 1A 1 , OB//O 1B 1 , 则∠AOB 与∠
A 1O 1
B 1关系 （
C ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上答案都不对 ３．如图，已知A A ′，BB ′，CC ′，不共面，且AA ′//BB ′,AA ′=BB ′, BB ′//CC ′, BB ′=CC ′. 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′
A ′
A
B ′
B C ′
C
用平行四边形性质证明
C A
听课随笔
思维点拔：
听课随笔凡“有且只有”的证明，丢掉“有”
即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯
一性的证明都会导致错误发生，即证
明不全面，思维不严谨所致。
求证：过直线外一点有且只有一条直线
和这条直线平行．
已知：点PÏ直线a
求证：过点P和直线a平行的直线b
有且仅有一条．
证明：∵PÏa，
∴点P和直线a确定平面α
在平面α内过点Ｐ作直线b直线a平行（由
平面几何知识）
假设过点Ｐ还有一条直线c与a平行，则
∵a//b,a//c
∴b//c,这与b，c共点Ｐ矛盾．
∴直线b唯一
∴过直线外一点有且只有一条直线和
这条直线平行
总结：(1)凡上述两类问题型的证明应
有两步，即先证明事实存在，再证明
它是唯一的(2)解答文字命题必须将
文字语言“译”成符号语言，然后写
出“已知和求证”需要作图时，要把
图形作出来，最后给出“解答（证明）”。