高一数学《2.5等比数列前n项和(一)》
2.5等比数列的前n项和(第1课时)
a1 (1- q 2n ) = 6560 ②
1- q
① ②
得
1+ qn
=
82
∴ q n = 81, 把q n = 81，代入①得，
a1 (1- 81) = 80 1- q
∴a1 = q -1
n ∈N * , 且q n = 81 >1 ∴q >1 ∴ a1 = q -1> 0
∴{an }是递增数列，
2.5 等比数列前n项和（1） 等比数列的前n项和公式
1.等比数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
2.等比数列通项公式： an = a1q n-1
3.等比数列的性质：
若{an }等比数列，且 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N * )
则am • an = a p • aq 当m+n = 2 p时，am • an = ap 2
等比数列的前n项和
若{an }等比数列，的公比为 q.
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an 由等比数列的定义，可 知an = a1q n-1
Sn = a1 + a1q + a1q 2 + …+ a1q n-1 ① 两边同时乘以 q, 得
a1 (1 - q 6 ) = 63
(1)由题意得
1-q 2
a1 + a1q = 30 a1 + a1q + a1q2 =155
解得
a1
=
1 2
解得
a1 = 5 或 q=5
a1 = 180 q=-5
2.5等比数列的前n项和公式(1)
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 4 n a，求a的值。
提示： S n Aq n - A( A 0) 系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 3 n 1 2a，求a的值。
1 1 1 n 化简到：S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6
3
63
2
63
二、启发引导，探索发现
于是发明者要求的麦粒总数就是 去求以1为首项,2为公比的等比数列的 前64项的和. 即求：
62 63
2.5.1等比数列的前n项和(一)
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
1 2
讲授新课
1 2 2
2
讲授新课
1 2 2 2
2 3
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
2 63 1 2 2 2 2
2 3 4
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
等比数列的前n项和公式
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 当已知a1, q, n 时用公式①；
等比数列的前n项和公式
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 当已知a1, q, n 时用公式①； 当已知a1, q, an时，用公式②.
练习:
根据下列各题中的条件，求相应的等比 数列{an}的前n项和Sn．
(1) a1 3, q 2, n 6;
2.5等比数列的前n项和
预习测评
1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(
a1－an－1 A．1＋ 1－a an＋1－1 C. a－1 1－an B. 1－a D．以上皆错
)
解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n. 答案：D
2．数列{2n－1}的前99项和为 A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299
15 ＝ .所以 a1＝1. 8
答案：1
要点阐释
1．等比数列前n项和公式的推导 设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和 是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ① ①式两边同乘以q得， qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ② ①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，
1．若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项 公式？
解：∵S2＝30，S3＝155，∴a3＝S3－S2＝125， 125 即 a1· ＝125.∴a1＝ 2 . q q
2
又∵a1＋a1q＝30， 125 125 ∴ 2 ＋ q ＝30，即 6q2－25q－25＝0. q
a1＝5 解得： q＝5
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)． 即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列． 方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1 结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2， 特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－ 1)·2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列， a 否则数列{an}不是等比数列．
典例剖析
高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)课件 新人教A版必修
来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要
求得到的麦粒到底有多少呢？ 这种求和
请同学们考虑如何求出这个和？ 的方法,就
S64 1 2 22 23 2是63错. 位相(1) 2S64 2(1 2 22 23 减法26!3).
即2S64 2 22 23
26如3 果1020604粒. 麦粒重为(240)
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际 象棋的发明人 — 宰相西萨班达依尔．国王问他 想要什么，他对国王说：＂陛下，请您在这张棋 盘的第１个小格里，赏给我１粒麦子，在第２个 小格里给２粒，第３小格里给４粒，以后每一小 格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上 所有６４格的麦粒，都赏赐给您的仆人吧！＂国 王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦 粒．当人们把一袋袋的麦子搬来开始计数时，国 王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿
1
于是当n 8时， 3
S8
271
1 3
8
1 1
1640 81
3
练1.根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列
an的前n项和Sn :
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2)a1
2.7, q
1 3
, an
1 90
.
例2.已知数列an的前n项和Sn 3n k :
(1)求通项公式;
例3.已知等比数列an的前n项和为Sn ,
求证 : S7 , S14 S7 , S21 S14成等比数列.
若等比数列an的前n项和为Sn ,
则Sk , S2k Sk , S3k S2k成等比数列. 练3.一个等比数列的前5项和为10, 前10项和为50, 那么它的前15项和为____ .
小结
2.5 等比数列的前n项和(一)
2.5 等比数列的前n 项和（一）一．目标定向：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式的证明思路；2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．二．回顾思考1．复习回顾：(1) 等比数列的定义：(2) 等比数列｛a n ｝的公比为q ，则=-+q a a n 1n =-q a q a n n 1(3) 等比数列的通项公式：2．探索研究：国王奖赏国际象棋发明者……你能计算出国际象棋盘中麦粒数吗？（1）6322221++++ =（2）若q ≠1,则121-++++n q q q =（3）对于一般的等比数列｛a n ｝，若q ≠1,其前n 项和112111-++++=n n q a q a q a a S 如何化简？如果q=1呢？（4）等比数列的前n 项和公式可以怎样写？ 三．分组讨论1．分小组就以上几个问题进行交流讨论，教师点拔．2．师生共同小结．四．例题讲释例1．求下列等比数列的前8项和…（1）21，41，81，… (2) 1，2，22，…（3）2，2，2，…例2．在等比数列｛a n ｝中，a 1=1，a n =－32，S n =－21，求公比q 和项数n ．五．当堂检测1．等比数列⋯,81,41,21的前多少项和为6463； 2．等比数列｛a n ｝中，a 1=41，a 3 =1，求S 5； 3．等比数列｛a n ｝中，3a 2=，9a 3=，求其通项公式n a 及其前n 项和n S ．六．探究反思1．甲乙两人约定甲每天都给乙一百元钱，乙则第一天给甲一元钱，第二天给甲两元钱，第三天给甲四元钱，即乙后一天给甲的钱是前一天的两倍。
问10天后甲乙两人谁赢谁亏？ 2（1）求等比数列⋯,b ,b ,b ,132的前n 项和.S n(2)若数列{}n a 的通项公式为n n b a =，求其前n 项和n S。
高中数学：2.5(一)等比数列的前n项和(一)
【训练】 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态
环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800 万 元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅 游业收入每年会比上年增长14.设 n 年内(本年度为第一年)总投 入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式.
热气球在前 n 分钟内上升的总高度 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1（11－－qqn）＝2511－－4545n ＝125×1－45n＜125， 即这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
规律方法 应用数列知识解决实际问题的步骤 (1)根据实际问题提取数据； (2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的 通项公式或递推关系； (3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修 改关系； (4)利用合理的结论对实际问题展开讨论.
公式
Sn＝
na1，q＝1 a1（11－－qqn），q≠1
na1，q＝1 Sn＝ a11－－aqnq，q≠1
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 求 等 比 数 列 的 前 n 项 和 可 以 直 接 套 用 公 式 Sn ＝
a1（11－－qqn）.(
)
(2)等比数列的前 n 项和不可以为 0.( ) (3)数列{an}的前 n 项和为 Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一 定是等比数列.( )
(3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项 的和与奇数项的和，则①在其前 2n 项中，SS偶 奇＝q； ②在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1 ＝1a－1＋（a－2n＋q1）q ＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠－1).
人教版数学必修5 2.5 等比数列的前n项和
学习目标：
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及
其推导过程．
2.能够应用前n项和公式解决等比数列
有关问题．
复习引入
1. 等比数列的定义：
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项 的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
2. 等比数列通项公式:：
an a1 q n1 am qnm
当已知 a1, q, an 时，用公式②；
理解强化
下列数列为等比数列，判断正误
2 1 2n
(1)-2+4-8+16-…+(-2)n= 1 2
X( )
1 1 2n
(2)1+2+22+23+…+2n= 1 2
X( )
c 1 cn
(3)c+c2+c3+c4…+cn= 1 c
X ( )
1
1
(2)a1
2.7, q
3 , an
; 90
2、等比数列 1、2、4、…
从第五项到第十项的和 S
拓展练习：已知 an 是等比数列，请完成下表
q a 题号\基本量 1
n an Sn
（1） 27 2
3
4
8 65
（2） 3 -2 6 -96 -63
结论：
五个基本量 a1、an、n、q、Sn ;”知三求二”
课堂小结：
1、等比数列前n项和公式；
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
①
na1
q 1
a1 anq
Sn
1q
q 1
②
na1
q 1
高一数学《25等比数列的前n项和(一)》PPT课件
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22, 23, , 26.3
它是以1为首项，公比是2的等比数列， 麦粒的总数为:
S 6 41 2 4 8 2 6 22 63
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
由定义, a2 a3 an q
a1 a2
an1
由等比的性质, aa12aa23 aann 1S Sn n a an 1q
即
Sn a1 q Sn an
(1q)Sna1anq
∴当q≠1时，
Sn
a1(1qn) 1q
①
或
Sn
a1 anq 1q
②
∴当q＝1时，Sn na1.
等比数列的前n项和公式的推导3
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个这和种求？和
S 6 41 2 2 2 2 3 的是2 方6 错法位3,相就 ① 2 S 6 42 (1 2 2 2 2 3 减 法2 !6)3
即 2 S 6 42 2 2 2 3 2 6 克如， 3 那果2 么106 这00粒些4 麦麦粒粒②的重为总质40
2.5 等比数列的 前n项和 (一)
复习引入
1. 等比数列的定义： 2. 等比数列通项公式：
ana1qn 1(a1,q0)
anam qn m (a1,q0)
复习引入
3. {an}成等比数列
an1 q(nN,q0)
an 4. 性质：
若m＋n＝p＋q，则am ·an＝ap ·aq.
复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么 要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子 放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了 他的要求.
2.5.1等比数列前n项和(1) ppt
（错位相减法）
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
当q≠1时，
等比数列{an}前n项和
思考：等式(1) 两边除以q可否
推出公式？
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，
则得到一个首项为a1=
1 2
，公比q= 1 的等比 2
数列，
它的前n项和为
Sn
1 2
[1
1 2
n
]
1 1
1 (1)n 2
2
不论n取何值，
1
(
1
)n
总小于1，
2
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半， 永远也取不完。
例2．等比数列{an}的公比q=
1 2
，a8=1，求它
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an =？
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
（不完全归纳法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
Sn
2.5等比数列的前n项和公式(1)
n 1
n
分析：
1、求和公式
a1 (1 q ) 当q≠1时， Sn 1 q
n
a1 an q Sn 1 q
当q=1时，
Sn na1
强调： ①注意分类讨论的思想 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想，五个量“知三求二”.
2、公式的推导方法
错位相减法
①
二、探究新知：
2．探究麦粒总数的求法
思考3：如果①式两边同乘以2得：
2S64=2+22+23+· · · +263+264 S64=1+2+22+···+263 ② ①
比较①、②两式，有什么关系？
错位了!
二、探究新知：
S64=1+2+22+23+· · · +263
2S64= 2+22+23+· · · +263+264
a1 (1 q n ) 公式１： Sn 1 q na1
公式２：
(q 1)
想根 ，据 解求 决和 “公 知式 三， 求 二运 ”用 问方 题程 思
(q 1)
n1
a1 qan 1 q Sn na 1
an a1q
(q 1) (q 1)
结合上面的例子，说说你的想法
sn a1 a1q a1q a1q
2
n1
qsn
对的？
a1q a1q a1q
2
n1
a1q
n
n a a q 1 1 n 思考4：由 (1 - q)sn = a1 - a1q 得 sn = 对不 1-q
高一数学等比数列的前n项和1(2019新)
a1(1 - qn ) 1- q
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 Q 254643188 ；
富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5] 明代宗不准 战将也 《大明太祖高皇帝实录》 卷28 大臣担忧国家没有君主 乾隆知道后非常高兴 一日 《隋书·卷七十·列传第三十五》 《我们爱历史》官方帐号 用兵贵在临
2.5.1 等比数列的前n项和(1)
a1q + a1q2 +…+a1qn-2 +a1qn-1 + a1qn (2)
a1 (1 q )
n
两式相减有 (1 – q)Sn = a1 – a1 q n 当q≠1时， Sn
1 q
思考：等式(1) 两边除以q可否 推出公式？
当q=1时， n na1 S
（错位相减法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
S3 1 2 2 7 2 1
2
3
S 4 1 2 2 2 15 2 1
2 3
4
……
猜想： S 64 1 2 2 2 2 63 2
64
1
（不完全归纳法）
S64= 1+2 + 22 +…+262 + 263
① ②
2S64 = 2 +
(q 1) (q 1)
两个公式共有5个基本量:
a1 ， ， ， n，S n 可知“三求二”. q n a
例1：已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1)
a1
27
q
2 3
n
4
6
an
8
96
Sn
65
63
(2)
3
2
例2.
27
1
243 1 1 ( ) 3
变想一想：若 去 掉 q 0的 条 件 ， 如 何 求 S 8？ 式 ： (2)中
1
1 4
， 5 1 4
1 2
n
1 8
， 的前 n 项和； 1 8 ， 的前 n 项和 .
2.5等比数列的前n项和(1)
当a
0时， Sn
n(1 2
n)
当a
1时，Sn
n
n(1 2
n)
n(1 2
n)
当a
1且a
0时更，多部S编版n资料、a教材、(1课1件、aan
)
n(1 2
n)
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三、例题分析
例2、在等比数列{an}中
（1）a1
27, a9
1 243
, 求S8
(2) a1 2，S3 14，求q和a3
1 ( 1)
1640 81
3
当q
1 3
时，S8
27[1 ( 1 )8] 3
1 1
3280 81
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三、例题分析
例2、在等比数列{an}中
(2) a1 2，S3 14，求q和a3
解：（2）由S3
a（1 1
-
q
3）
1- q
a1 (1
q
q2 )可得
na)
(1 a 1a
n
)
当a 1时，Sn na1 n
(a 0)
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三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和：
（1）1 , 1 , 1 , 1 , ; （2）a, a2, a3, a4, 2 4 8 16
(a 0)
随堂练习:求和：(a - 1) (a2 - 2) (an - n)
2、数列1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 2 4 8 16
n(n 1) 1 的前n项和是 2 1 2n
3、若等比数列{an 的通项公式为bn
高一数学 2.5等比数例的前n项和
课题: §2.5.1等比数列的前n 项和（1）教案●教学过程 一.课题导入 [创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, na 时，用公式②.公式的推导方法一： 一般地，设等比数列n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S na a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴论同上）∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312根据等比的性质，有qa S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132即qa S a S n n n =--1⇒qa a S q n n -=-1)1(（结围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S na a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
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2.5等比数列的前n 项和（一）
教学目标
（一） 知识与技能目标
等比数列前n 项和公式．
（二） 过程与能力目标
1． 等比数列前n 项和公式及其获取思路；
2． 会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2． 培养学生应用意识．
教学重点
等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用．
教学难点
灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题．
教学过程
一、复习引入：
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11
≠⋅⋅=-q a q
a a m m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔
n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） n a ≠0
4．性质：若m +n =p +q ，q p n m a a a a ⋅=⋅ 二、讲解新课：
（一）提出问题 ：关于国际相棋起源问题
例如：怎样求数列1，2，4，…262，263的各项和？
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
63
62
642
2
8421+++++= S ① 264
63642216842+++++= S ②
由②—①可得：1264
64-=S
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法． （二）怎样求等比数列前n 项的和？
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321
由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n
n n n n n q a q
a q a q a q a qS q a q
a q a q a a S 111312111
1212111 n
n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q
q a S n
n --=
1)1(1 ① 或q
q a a S n n --=
11 ②
当q =1时，1na S n =
公式的推导方法二：
由定义，
q a a a a a a n n ==
==-1
2
31
2 由等比的性质，
q a S a S a a a a a a n
n n n n =--=++++++-11
2132
即
q a S a S n
n n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：
=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决． （三）等比数列的前n 项和公式：
当1≠q 时，q
q a S n
n --=
1)1(1 ① 或q
q a a S n n --=
11 ② 当q =1时，1na S n =
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a 1, q , n 时用公式①；当已知a 1, q , a n 时，用公式②.） 三、例题讲解
例1：求下列等比数列前8项的和． （1）
2
1，
4
1，
8
1，… （2）0,243
1,2791 q a a =
=
解：由a 1=21，,8,212141==÷=n q 得 .2562552
11211218
8
=-
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S 例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n },其中
a 1=5000, ,30000,1.1%101==+=n S q 于是得到
.300001
.11)
1.11(5000=--n
整理得.6.11.1=n
两边取对数,得6.11.1lg g n = 用计算器算得5≈n (年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
例3．求数列, (16)
14
,8
13
,4
12
,2
11
前n 项的和。
例4：求求数列132)12(,....,7,5,3,1--n a n a a a 的前n 项的和。
练习：教材第58面练习第1题． 三、课堂小结：
1. 等比数列求和公式：当q = 1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a a S n n --=
11 或q
q a S n
n --=
1)1(1 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识． 四、课外作业：
1.阅读教材第55～57页；
2.《习案》作业十七．。