沪科版初中数学九年级上册二次函数与一元二次方程ppt演讲教学
二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
二次函数与一元二次方程初中数学原创课件
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要飞行多少秒？
解：（2）解方程 20＝20t－5t2， t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．
当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m．
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
h 20
O
1
2
3
4t
你能结合上图指出为什么只在一个时刻，小球的高度为 20 m 吗？
思考
下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标 是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相 应的一元二次方程的根吗？
（1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－6x＋9；（3）y＝x²－的图象（如图）． 抛物线 y＝x2＋x－2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1． 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0．由 此得出方程 x2＋x－2＝0 的根是－2，1．
当自变量 x＝2 时，y＜0，当自变量 x＝3 时，y＞0， 即方程 x2－2x－2＝0 在 2，3 之间有根．
取 2，3 的平均数 2.5，当自变量 x＝2.5 时，y＜0， 即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，3 之间有根．
取 2.5，3 的平均数 2.75，当自变量 x＝2.75 时，y＞0， 即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，2.75 之间有根．
反过来，由一元二次方程的根的情况， 也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴 的位置关系．
观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根 之间的关系．
观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根 之间的关系．
归纳
一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可得如下结论． （1）如果抛物线 y＝ax2＋bx十c 与 x 轴有公共点，公共点 的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是方 程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根．
新沪科版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》课件
第1课时 二次函数与一元二次方程
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系：抛物线y ＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根．
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴_无___交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有_一___个交点； 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有_两___个交点． 2．利用二次函数性质，用逼近法探索出符合要求的近似值． 运用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根的步骤主要有以下 几点： (1)画出y＝ax2＋bx＋c的图象； (2) _确__定__抛__物__线__的__交__点__在__哪__两__个__整__数__之__间_______； (3) ___列__表__，__在__(2_)_中__的__两__数__之__间__取__值__，__从__而__确__定__方__程__的__近__似__根___．
7．(4分)已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取 值范围是( B) A．x＜0 B．－1＜x＜1或x＞2 C．x＞－1 D．x＜－1或1＜x＜2 8．(7分)利用二次函数图象求一元二次方程x2＋x－1＝0的近似解(精 确到0.1) 解：图略，0.6与－1.6
Hale Waihona Puke 一、选择题(每小题 4 分，共 12 分) 9．根据下表中的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与 x 轴( B )
1．(4 分)二次函数 y＝2(x＋2)(x－1)与 x 轴交点个数有__两__个，交点坐标 是__(－__2_，___0_)和__(_1_，__0_)_．
2．(4 分)如果关于 x 的一元二次方程 2x2＋8x＋m＝0 有两个相等的实数 根，那么抛物线 y＝2x2＋8x＋m 与 x 轴___只__有__一__个____公共点，此时 m 的值为 __8__．
九年级数学上册21.3二次函数与一元二次方程课件沪科版.ppt
y
(2) x取什么值时，函数值大于0；
3
(3) x取什么值时，函数值小于0.
-3 O
3x
解：图象如图所示. (1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3. (2) x>3或x<-1时，函数值大于0. (3) -1<x<3时，函数值小于0.
y 3 -3 O
3x
3 2
是一元一次方程
2x-3=0的根。
y=2x-3
当x>
3 2
时，图象在x轴上方即y>0，
所以x>
3 2
为一元一次不等式
2x-3>0的解集；
当x<
3 2
时，图象在x轴下方即y<0，
所以x<
3 2
为一元一次不等式
2x-3<0的解集.
y=2x-3
观察 观察下图，说一说二次函数 y x2 3x 2 的图象与x轴有几个交点?交点的横坐标与一 元二次方程 x2 3x 2 0 的根有什么关系?
y
x
…
-2.6
-2.5
-2.4
-2.3
…
y
…
0.56
0.25
-0.04
-0.31
…
x
观察x取何值时，y 值最接近0？
y x
先求位于-3和-2之间的根.
x
…
-2.6
-2.5
-2.4
-2.3
…
y
…
0.56
0.25
-0.04
-0.31
…
观察上表可以发现，当x分别取-2.5 和-2.4时，对应的y由正变负，可见 在-2.5与-2.4之间有一个x使y=0，即 有方程 x2 2x 1 0 的一个根。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解一元二次方程的解法以及二次函数与一元二次方程之间的关系。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和归纳，自主探索出一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和归纳，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生自主探索和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和数学软件，进行直观演示和练习。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的概念。
2.讲解与演示：利用多媒体课件和数学软件，讲解一元二次方程的解法，并展示二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.练习与讨论：学生进行练习题，小组内讨论解题方法，互相交流心得。
4.总结与拓展：教师引导学生总结一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系，并进行拓展讲解。
5.布置作业：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
B
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
y
y2
OA x
y1
课堂小结
b2-4ac 的符号 二次函数
b2-4ac＞0
y
y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
O
x1
x2 x
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
y
02 x
0
x
y=-x2+x-2
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标 与一元二次不等式的关系
二次函数 y = ax2+bx+c 的 图象与 x 轴交点
a＞0 时的解集
a＜0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
有(x2一,0)个(x交1＜点x2) (x0，0)
没有交点
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是__−_2_<__x__<_4___.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2
的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有
__1__ 个交点，坐标是 (2 ，0) . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
0＜x＜3
ax2 bx＜kx
由图可知，不等式
ax2 bx＞kx 的解集为 x＜0或 x＞3.
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数
沪科版-数学-九年级上册-21.3 二次函数与一元二次方程 课件
自变量的取值(范围) x＜x1或x＞x2 x＝x1或x＝x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＝x1或x＝x2 x＜x1或x＞x2
1 已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴 有公共点． (1)求k的取值范围． (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且 满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值 和最小值．
n)，B(m＋6，n)，则 n＝__9__．
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，
∴当x b 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
2
又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直
线
xb 2
对称,∴
A
b 2
3,
n
,
B
b 2
3,
n
.
将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次 方程间的关系
1 课堂讲解 二次函数与一元二次方程之间的关系
抛物线与x轴的交点个数之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示． ∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为 (0，0)，(1，0)， ∴当y＜0时，0＜x＜1； 当y＞0时，x＜0或x＞1.
总结
根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零 时x的取值(范围)，具体如下表所述：
沪科版九年级数学 21.3 二次函数与一元二次方程(学习、上课课件)
二次函数的图象与性质是解题关键．
感悟新知
知1－练
(1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
解：当 m=－3 时，抛物线为 y=x2+2x－3.
令 y=0，则 x2+2x－3=0，解得 x1=－3， x2=1，
∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为( －3，0)和(1，0) .
线y=x2+2x+k 与 x 轴只有一个交点， 则
1 ．
k=_______
感悟新知
知识点 2
二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系
知2－讲
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的
图象求一元二次方程的解 .
知1－讲
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c的
图象
a>0
a<0
抛物线与
(x1，0)，(x2，0)
x轴的交点ቆ－b没来自交点，0ቇ感悟新知
拓宽视野
知1－讲
已知二次函数y＝ax2 ＋bx＋c，求当y＝m时自变量x
的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一
元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c
c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 .
感悟新知
知2－练
例2
[母题 教材 P34 习题 T4 ]利用二次函数的图象求一元
二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够进一步理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的性质来解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.使学生能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习，探究二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教案设计。
2.PPT制作。
3.练习题准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行练习，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题，进一步巩固所学内容。
5.拓展（10分钟）教师引导学生进行拓展学习，让学生了解二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用。
6.小结（5分钟）教师对本节内容进行小结，使学生对所学内容有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生课后进行巩固练习。
8.板书（5分钟）教师对本节内容的板书设计，使学生能够直观地了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
沪科初中数学九年级上册《21.3 二次函数与一元二次方程》精品课件 (3)
最新初中数学精品课件设计
写出二次函数 y x2 2x 3 的顶点坐标,
对称轴,并画出它的图象.
(1,-4)
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y
… 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
探究一
x2 2x 3 0
N
当x为何时,y=0?
M
x=-1, x=3
∴该抛物线与x轴有两个交点
2、在上元中学校运会上，初三（8）班运动员掷铅球， 铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式为
y = -0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩9是
m.
最新初中数学精品课件设计
想一想！
已知二次函数的 （1）方程
y x图2象，利6用x图象回8答问题：
的解是什么？
x 轴的交点坐标吗？x来自 x 6 0解：当y=0 时，
解得：
x1 3, x2 2
所以,函数
的图y象 x2 x 6
与 x 轴的交点坐标为（-3，0）
和（2，0）.
最新初中数学精品课件设计
探究二
y x2 6x 9
y x2 6x9 y x2 2x3 x2 6x9 0 x2 2x3 0
x2 6x 8 0
（2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？
最新初中数学精品课件设计
y mx2若 6函x 数 2 一个公共点,求m的值.
图象与x 轴是只有
最新初中数学精品课件设计
最新初中数学精品课件设计
x=-1, 1
x2 =3
一般地,如果二次函数y ax2 bx c
上海沪科版初中数学九年级上册21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步引导学生通过观察二次函数的图像，探究其与一元二次方程之间的关系，从而加深学生对二次函数和一元二次方程的理解。
教材通过具体的例子，引导学生从图像的角度去观察、分析和解决问题，提高学生的数形结合思想。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有了初步的认识。
但是，对于如何通过二次函数的图像来解决一元二次方程，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系，提高学生解决问题的能力。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考的能力，提高学生的数形结合思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何引导学生从图像的角度去分析和解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的教学工具和材料。
2.学生准备：预习相关内容，了解二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示一个二次函数的图像，并提出相关问题，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
初三上数学课件(沪科版)-二次函数与一元二次方程
自我诊断 2. 抛物线 y＝－3x2＋2x＋1 与 x 轴的交点有( C )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
利用特殊点在坐标系中画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，图象与 x 轴交 点的 横坐标 即为二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根．
A．a＜0 C．c＜0
B．b＜0 D．b2－4ac＜0
6．若二次函数 y＝x2＋bx 的图象的对称轴是经过点( 2 , 0 )且平行于 y 轴的
直线，则关于 x 的方程 x2＋bx＝5 的解为( D )
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5
D．x1＝－1，x2＝5
7．已知一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两个实数根 x1、x2 满足 x1＋x2
4．用图象法求一元二次方程 2x2－4x－1＝0 的近似解． 解：设 y＝2x2－4x－1.画出抛物线 y＝2x2－4x－1 的图象如图所示．由图象 知，当 x≈2.2 或 x≈－0.2 时，y＝0.即方程 2x2－4x－1＝0 的近似解为 x1≈2.2， x2≈－0.2.
5．二次函数 y＝a误的是( B )
自我诊断 3. 根据下面的表格中二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数
值 y 的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c 为常数)的一个解 x
的范围是( C )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A.6＜x＜6.17
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝－1，x2＝－3
沪科版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》课件
个不同的交点 等的实数根x1，
Δ ＞0
(x1，0)(x2，0)， x2，且 且 b b2 4ac x1，2=b b 2 4ac
x1，2= 2a
2a
Δ ＝0
图象与x轴有唯
一且交x1点(x1，2ba0)，
方程有两个相等的
实数根x1，x2，b且 x1 x2 2a
图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是＿＿＿
y
＿x＜＿－2或x＞8
y2 A
y1
－2 O
B 8
x
能力提升
y
已知:如图，二次函数y=-x2+2x+k+2
与x轴的公共点有两个，
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与
x
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时，y=0，y>0， y<0？
能力提升
y
已知二次函数的y=-x2+2x+m的部分图象如图，则 关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为_____
关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根， 则抛物线y=x2-x-n的顶点在（ ）
O1
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
二次函数的y=ax2+bx+c的 图象如图，
Δ ＜0 图象与x轴无交点 方程无实数根
例题精析
例:已知二次函数y mx2 x 1.
1当m为何值时，函数的图象x轴有两个交点？
(2)若函数的图象与x轴有交点, 求m的取值范围. (3)当函数的图象与x轴相切时,求m的取值范围.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数与一元二次方程
Hale Waihona Puke 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
( 6)关于x的一元二次方程x2 x n 0没有实数根,则
抛物线y x2 x n的顶点在( A ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(7)抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为 （ C） A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
x轴交点情况是( C )
A 无交点
B 只有一个交点
C 有两个交点
D不能确定
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是X1=0，x2=5 .
有两个相等 的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
b x1,2 2a .
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
观察:下列二次函数的图
y Y=x²-x+1
象与x轴有公共点吗?如 Y=x²+x-2 果有,公共点横坐标是多
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个
交点 ( b ,0) 2a
b2-4ac＜0
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
与x轴没有 交点
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
(1)抛物线y x2 2x 3与x轴的交点个数有( C ).
A.0
B.1个
Ｃ．2个
Ｄ．3个
（2）.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与
（-1.3、0）、（2.3、0）
x
(3)得出方程的解. 1
x =-1.3，x =2.3。
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
?
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公
y
共点，公共点的横坐标分别是1和 -2，当x取公共的的横坐标的值时， Y=x²-x+1
函数的值为0.
Y=x²+x-2
y=x²-6x+9
（2）设y=0得x2-6x+9=0
x
x1=x2=3
（-2, 0） （1,0）（3,0）
∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，
21.3二次函数与 一元二次方程
复习 一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
x1,2 b
b2 4ac .
2a
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根:
公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐
标的值时，函数的值为0.
（3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2- 4×1×1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
小结：
本节课你有什么收获？
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
?
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
有两个交点
只有一个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相 等的实数根
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
例：抛物线
y1
1 2
x2
4x 8
与直
线
y2
1 2
x
1
交于B、C两点。
（1）在同一直角坐标系中画出直线与抛物 线的图象。
（2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积。
（3）X为何值时y1＝ y2， y1＜ y2， y1＞ y2？
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
解：（1）解方程 沪科版初中数学九年级上册二次函数与一元二次方程ppt演讲教学
（3）解方程
h
15=20t-5t²
20.5=20t-5t²
t²-4t+3=0
t²-4t+4.1=0
t 1 =1， t2 =3.
∵（-4）²-4*4.1＜0，
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
图象
y
O
x
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
y
O
x y
有两个相等的
解 x1=x2=
b 2a
O
x
没有实数根
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变 量x的值.
y=x²-6x+9
少?当x取公共点的横坐
x
标时,函数的值是多少?
由此,你得出相应的一
元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐
标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
（1）设y=0得x2+x-2=0 沪科版初中数学九年级上册二次函数与一元二次方程ppt演讲教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
用图象法求一元二次方程的近 似解
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
练习：根据下列表格的对应值:
Y
0
5X
(4)直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 有＿＿＿ ＿个交点.
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
(5)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 上,则c=＿＿16＿＿.
（2、20） t
?
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
沪 科 版 初 中 数学九 年级上 册二次 函数与 一元二 次方程 ppt演讲 教学
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实
数根（精确到0.1）. y
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根
它的高度为15m。
（2）解方程
20=20t-5t²
t²-4t+4=0