2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点40 椭圆(含详解,13高考题)]
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考点40 椭圆一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A.13 C.12 D.【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。
又122PF PF a +==，所以c a ==即椭圆的离心率为D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解题指南】将),(00y x P 代入到13422=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x yk PA1PA k 22222003334444-?==---PA x y k x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 22求解.【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x .4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A.4 B. 12C. 2D. 2【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a=-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA=，即0y b c a =，解得0bc y a =，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ）A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为222210x y a b a b+=>>，（），则11,,2,32c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x .6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( )A.35B.57C.45D.67【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === 二、填空题7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式. 【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a=，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又b a =3e =【答案】3. 8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c 【答案】634.9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=)+x c 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】22cce aa==,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||||||F F e PF PF =+.【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以122212||||c c e a MF MF ====+. 【答案】1.10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率____.e = 【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得,a c .【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，解得8.BF =在三角形ABF 中，2222221086A B B FA F ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。
2015年高三一轮复习解析几何第3讲椭圆
2015年高三一轮复习解析几何第3讲 椭圆1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的 等于常数( )的点的集合叫作椭圆，这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的 ，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的 ．1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a ＜|F 1F 2|动点P 的轨迹如何？提示：当2a ＝|F 1F 2|时动点的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时动点的轨迹是不存在的.思考：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？1．(·全国新课标高考)设F 1F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452．(上海高考)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55 C.12D.524．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．【例1】(·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【思路点拨】 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2→，进而得解．【例2】(兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】求满足下列各条件的椭圆的标准方程；(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，－6)；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连接互相垂直，且焦距为6；(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63.【思路点拨】 由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待系数定法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．【归纳提升】 求椭圆的标准方程时的三个思考角度(1)“定形”，指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．(2)“定式”，根据“形”设出椭圆方程的具体形式，若焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若焦点在y 轴上，则设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若焦点位置不明确，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)“定量”，指利用定义和已知条件确定方程中的系数a ，b 或m ，n .【例1】(·全国新课标高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．【例2】已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若 PF →1·PF →2＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53【跟踪训练】 (2011·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【思路点拨】 (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值．【归纳提升】 1. 求椭圆离心率的常用方法：(1)求得a 、c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．弦长公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例1】(天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【思路点拨】 第(1)问由|PF 2|＝|F 1F 2|建立关于a 、c 的方程；第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利用根与系数的关系求|AB |均可，再利用圆的知识求解．【例2】已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【归纳提升】 1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 2. 直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 【考情】从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，部分解答题为较难题目；客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想．预测1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题；2．考查椭圆的方程及其几何性质；3．考查直线与椭圆的位置关系．命题新动向利用椭圆的定义解题利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化．一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考查用定义来解题．【例1】(·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知(1，e)和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(ⅰ)若|AF1|－|BF2|＝62，求直线AF1的斜率；(ⅱ)求证：|PF1|＋|PF2|是定值．训练：(·浙江高考)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程；(2) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 41 椭圆
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结41 椭圆高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度 考纲 研读1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 2．了解椭圆的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 2＝1 答案 C解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.故选C.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C.4 D ．14 答案 D解析 由x 2＋y 21m＝1及题意知，21m ＝2×2×1，得m ＝14.故选D.3．已知动点M (x ，y )满足(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线 C.圆 D ．线段 答案 D解析 设点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，由题意知动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2.故选D.4．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B ．513 C.49 D ．59 答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴，所以由x ＝c 时可得|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选B.5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A．圆B．椭圆 C.双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|P A|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|P A|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B.6．(多选)已知P是椭圆C：x26＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝15上的动点，则()A．C的焦距为5B．C的离心率为30 6C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为25 5答案BC解析∵x26＋y2＝1，∴a＝6，b＝1，∴c＝a2－b2＝6－1＝5，则C的焦距为25，离心率e＝ca＝56＝306.设P(x，y)()－6≤x≤6，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎫x＋652＋45≥45＞15，∴圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为45－15＝55.故选BC.7．(多选)椭圆C：x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是()A ．过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8 B ．椭圆C 上存在点P ，使得PF 1→·PF 2→＝0 C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上一点，则点P ，Q 间的最大距离为3答案 ABD解析 对于A ，因为F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，由椭圆定义可得，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，因此△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8，故A 正确；对于B ，设点P (x ，y )为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，则点P 坐标满足x 24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以PF 1→＝(－3－x ，－y )，PF 2→＝(3－x ，－y )，因此PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2－3＋1－x 24＝3x 24－2，由PF 1→·PF 2→＝3x 24－2＝0，可得x ＝±263∈[－2,2]，故B 正确；对于C ，因为a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝4－1＝3，即c ＝3，所以离心率为e ＝c a ＝32，故C 错误；对于D ，设点P (x ，y )为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，由题意可得，点P (x ，y )到圆x 2＋y 2＝1的圆心的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝4－4y 2＋y 2＝4－3y 2，因为－1≤y ≤1，所以|PQ |max ＝|PO |max ＋1＝4－0＋1＝3，故D 正确．故选ABD.8．已知A (3,0)，B (－2,1)是椭圆x 225＋y 216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________，最小值为________．答案 10＋2 10－2解析 由题意知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，由椭圆的定义知|MF 1|＋|MA |＝10，所以|MA |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF 1|.又||MB |－|MF 1||≤|BF 1|，所以－|BF 1|≤|MB |－|MF 1|≤|BF 1|，如图，设直线BF 1交椭圆于M 1，M 2两点．当M 为点M 1时，|MB |－|MF 1|最小，当M 为点M 2时，|MB |－|MF 1|最大．所以|MA |＋|MB |的最大值为10＋2，最小值为10－ 2.二、高考小题9．(2022·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12 C.9 D ．6 答案C 解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当 |MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．故选C.10．(2022·全国乙卷)设B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12答案 C解析 依题意，B (0，b )，设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则|y 0|≤b ，x 20a 2＋y 20b 2＝1，可得x 20＝a 2－a 2b 2y 20，则|PB |2＝x 20＋(y 0－b )2＝x 20＋y 20－2by 0＋b 2＝－c 2b 2y 20－2by 0＋a 2＋b 2≤4b 2.因为当y 0＝－b 时，|PB |2＝4b 2，所以－b 3c 2≤－b ，得2c 2≤a 2，所以离心率e ＝c a ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22.故选C.11．(2022·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.12．(2022·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．答案25555解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255.因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，解得e ＝55(负值舍去)．13．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．答案 8解析 解法一：由|PQ |＝|F 1F 2|，得|OP |＝12|F 1F 2|(O 为坐标原点)，所以PF 1⊥PF 2，又由椭圆的对称性，知四边形PF 1QF 2为平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|·|PF 2|＝m (8－m )＝8.解法二：由椭圆C ：x 216＋y 24＝1可知|F 1F 2|＝4 3.由P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两个点，且|PQ |＝|F 1F 2|，得|PO |＝|QO |＝23(O 为坐标原点)，所以P ，Q 既在椭圆x 216＋y 24＝1上，又在圆x 2＋y 2＝12上．不妨设点P 在第一象限，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 24＝1，x 2＋y 2＝12，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫463，233，所以由对称性，可得四边形PF 1QF 2的面积S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|×y P ＝2×12×43×233＝8.解法三：由椭圆方程知，a ＝4，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝2 3.由点P 在椭圆上，得|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64 ①.由椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|知，四边形PF 1QF 2是矩形，在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝48 ②.由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S 四边形PF 1QF 2＝|PF 1|·|PF 2|＝8.14．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，则|MF 1|>|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝236－20＝8，因为△MF 1F 2为等腰三角形，|MF 1|>|MF 2|，且|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|>6，|MF 2|<6，所以|MF 1|＝|F 1F 2|＝8，设M (x ，y )，x ＞0，y ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15.所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2022·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM |＝2.在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′，所以|PF ′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PF |＝2.所以|MF |＝1.又因为|FF ′|＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝|MF ′||MF |＝|FF ′|2－|MF |2|MF |＝15，即直线PF 的斜率是15.三、模拟小题16．(2022·广东珠海高三摸底)已知点A (1,1)，且F 是椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A．6 B．5 C.4 D．3答案D解析a＝2，c＝a2－b2＝1，设椭圆的右焦点为F1(1,0)，|AF1|＝1，|PF|＋|P A|＝2a －|PF1|＋|P A|＝4＋|P A|－|PF1|≥4－|AF1|＝4－1＝3，当P在F1的正上方时，等号成立．故选D.17．(2022·新高考八省联考)椭圆x2m2＋1＋y2m2＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝π3，则m＝()A．1 B． 2 C.3D．2 答案C解析在椭圆x2m2＋1＋y2m2＝1(m>0)中，a＝m2＋1，b＝m，c＝a2－b2＝1，如图所示，因为椭圆x2m2＋1＋y2m2＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，因为∠F1AF2＝π3，所以△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即m2＋1＝a＝2c＝2，因此，m＝ 3.故选C.18．(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |－|PF |的最小值为25－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 22＝1 答案 C解析 因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以a ＝2，设椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4，所以|PF |＝4－|PF 1|，所以|PQ |－|PF |＝|PQ |＋|PF 1|－4≥|QF 1|－4＝|QF 1|＋|EQ |－6≥|EF 1|－6，当且仅当P ，Q 位于线段EF 1上时，等号成立，又|PQ |－|PF |的最小值为25－6，所以|EF 1|－6＝25－6，即|EF 1|＝25，所以(－3＋c )2＋(4－0)2＝25，解得c ＝1或c ＝5>a ＝2(舍)．所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.故选C.19．(多选)(2022·广东韶关第一次综合测试)设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c (c >0)，若∠F 1PF 2是直角，则( )A ．|OP |＝c (O 为原点)B ．S △F 1PF 2＝b 2C ．△F 1PF 2的内切圆半径r ＝a －cD ．|PF 1|max ＝a ＋c 答案 ABC解析 在Rt △F 1PF 2中，O 为斜边F 1F 2的中点，所以|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，故A 正确；设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则有m 2＋n 2＝(2c )2，m ＋n ＝2a ，所以mn ＝12[(m ＋n )2－(m 2＋n 2)]＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12mn ＝b 2，故B 正确；因为S △F 1PF 2＝12(m ＋n ＋2c )·r ＝b 2，所以r ＝2S △F 1PF 2m ＋n ＋2c ＝2b 22a ＋2c ＝2(a 2－c 2)2(a ＋c )＝a －c ，故C 正确；|PF 1|＝a ＋c ，当且仅当P 为椭圆右顶点，此时P ，F 1，F 2不构成三角形，故D 错误．20．(多选)(2022·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆的内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案 ACD解析 因为|F 1F 2|＝2，所以F 2(1,0)，|PF 2|＝1，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线且点Q 在第一象限时，取等号，故A 正确；若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 21＝1，又12＋11>1，则点P 在椭圆外，故B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a ＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a ＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a <5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12，故C 正确；若PF 1→＝F 1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以2a ＝|QF 1|＋|QF 2|＝5＋17，故D 正确．故选ACD.21．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(点B 在x 轴上方)，且FB →＝2AF →，则椭圆的离心率为________．答案23解析 设F (－c,0)，c >0，由题意知，l 的斜率为tan45°＝1，则直线方程为y ＝x ＋c ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立直线和椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2＋b 2)y 2－2cb 2y ＋c 2b 2－a 2b 2＝0，则y 1＋y 2＝2cb 2a 2＋b 2，y 1y 2＝c 2b 2－a 2b 2a 2＋b 2，且F 1B →＝2AF 1→，可得y 2＝－2y 1，则－y 1＝2cb 2a 2＋b 2，－2y 21＝c 2b 2－a 2b 2a 2＋b 2，所以－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cb 2a 2＋b 22＝c 2b 2－a 2b 2a 2＋b 2，可得9c 2＝2a 2，所以e ＝c a ＝23.22．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)设点P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的点，F 1，F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为52，则sin ∠F 1PF 2________.答案 45解析 在椭圆x 29＋y 25＝1中，长半轴长a ＝3，半焦距c ＝2，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(2a )2－2|PF 1|·|PF 2|·(1＋cos ∠F 1PF 2)，则|PF 1|·|PF 2|·(1＋cos ∠F 1PF 2)＝10，又△PF 1F 2的面积为52，则12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝52，即|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝5，于是得2sin ∠F 1PF 2＝1＋cos ∠F 1PF 2，两边平方得(1＋cos ∠F 1PF 2)2＝4sin 2∠F 1PF 2＝4(1－cos ∠F 1PF 2)(1＋cos ∠F 1PF 2)，解得cos ∠F 1PF 2＝35，则sin ∠F 1PF 2＝45，所以sin ∠F 1PF 2＝45.一、高考大题1．(2022·北京高考)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 5.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别交直线y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．解(1)因为椭圆过A(0，－2)，所以b＝2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，所以12×2a×2b＝45，即a＝5，故椭圆E的标准方程为x25＋y24＝1.(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线BC的斜率存在，所以x1x2≠0，故直线AB的方程为y＝y1＋2x1x－2，令y＝－3，则x M＝－x1y1＋2，同理x N＝－x2y2＋2.设直线BC 的方程为y ＝kx －3， 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，4x 2＋5y 2＝20， 可得(4＋5k 2)x 2－30kx ＋25＝0，故Δ＝900k 2－100(4＋5k 2)>0，解得k <－1或k >1. 又x 1＋x 2＝30k 4＋5k 2，x 1x 2＝254＋5k 2， 故x 1x 2>0， 所以x M x N >0.又|PM |＋|PN |＝|x M ＋x N | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 1＋2＋x 2y 2＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1－1＋x 2kx 2－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2kx 1x 2－(x 1＋x 2)k 2x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪50k 4＋5k 2－30k 4＋5k 225k 24＋5k 2－30k 24＋5k 2＋1＝5|k |， 故5|k |≤15，即|k |≤3，综上，k 的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．2．(2022·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且|BF |＝ 5.(1)求椭圆的方程；(2)直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若MP ∥BF ，求直线l 的方程．解 (1)易知点F (c,0)，B (0，b )， 故|BF |＝c 2＋b 2＝a ＝5， 因为椭圆的离心率为e ＝c a ＝255， 故c ＝2，b ＝a 2－c 2＝1， 因此，椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)(y 0＞0)为椭圆x 25＋y 2＝1上一点， 先证明直线MN 的方程为x 0x5＋y 0y ＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0x 5＋y 0y ＝1，x 25＋y 2＝1，消去y 并整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，Δ＝4x 20－4x 20＝0，因此，椭圆x 25＋y 2＝1在点M (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x5＋y 0y ＝1.在直线MN 的方程中，令x ＝0，可得y ＝1y 0，由题意可知y 0>0，即点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0， 直线BF 的斜率为k BF ＝－b c ＝－12， 所以直线PN 的方程为y ＝2x ＋1y 0，在直线PN 的方程中，令y ＝0，可得x ＝－12y 0，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y 0，0，因为MP ∥BF ，所以k MP ＝k BF ， 即y 0x 0＋12y＝2y 202x 0y 0＋1＝－12， 整理可得(x 0＋5y 0)2＝0，所以x 0＝－5y 0，所以x 205＋y 20＝6y 20＝1， 又y 0>0，故y 0＝66，x 0＝－566，所以直线l 的方程为－66x ＋66y ＝1，即x －y ＋6＝0.3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.解 (1)由题意，知椭圆的半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63，所以a ＝3， 又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意； 当直线MN 的斜率存在时， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 必要性：若M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN ：y ＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1，联立⎩⎨⎧y ＝±(x －2)，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1x 2＝34，所以|MN |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3，所以必要性成立； 充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋m (km <0)，即kx －y ＋m ＝0， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|m |k 2＋1＝1，所以m 2＝k 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，可得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2，所以|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－4·3m 2－31＋3k 2＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3，化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1， 所以⎩⎨⎧ k ＝1，m ＝－2或⎩⎨⎧k ＝－1，m ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，即M ，N ，F 三点共线，充分性成立． 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. 二、模拟大题4．(2022·广东高三综合能力测试)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆C 的左顶点、右焦点，过点F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线l ：x ＝3交于点M ，N ，求证：直线FM 和直线FN 的斜率之积为定值．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，依题意，可得⎩⎨⎧ 2c ＝2，a ＋c ＝3，解得a ＝2，c ＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，F (1,0)，设直线PQ ：x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，整理，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 依题意，可设M (3，y M )，N (3，y N )，则由y M 3＋2＝y 1x 1＋2，可得y M ＝5y 1x 1＋2＝5y 1my 1＋3， 同理，可得y N ＝5y 2my 2＋3， 所以直线FM 和直线FN 的斜率之积k FM ·k FN ＝y M －03－1·y N －03－1＝14·25y 1y 2(my 1＋3)(my 2＋3)＝14·25y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝14·25⎝ ⎛⎭⎪⎫－93m 2＋4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－93m 2＋4＋3m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4＋9 ＝14·－25×9－9m 2－18m 2＋27m 2＋36＝－25×94×36＝－2516.所以直线FM 和直线FN 的斜率之积为定值－2516.5．(2022·长春四校联考)已知平面上一动点P 到定点F (3，0)的距离与它到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求△MON 面积的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则(x －3)2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 化简，得x 24＋y 2＝1.即曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，得Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)·(4m 2－4)>0， 化简，得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2， ∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简，得m 2＋k 2＝54，②|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·64k 2m 2(4k 2＋1)2－4·4m 2－44k 2＋1＝1＋k 2·－16m 2＋64k 2＋16(4k 2＋1)2 ＝1＋k 2·4(20k 2－1)(4k 2＋1)2，∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴S △MON ＝12|MN |·d ＝12(5－4k 2)(20k 2－1)(4k 2＋1)2. 设4k 2＋1＝t ，由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，∴65<t ≤6，16≤1t <56，S △MON ＝12(6－t )(5t －6)t 2 ＝12－36＋36t －5t 2t 2 ＝3 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋19， ∴当1t ＝12，即k ＝±12时，△MON 的面积取得最大值，为1.6．(2022·江苏省南通市高三月考)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若△P AB 面积的最大值为23，椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2(0<r <2)的两条切线，分别与椭圆O 交于C ，D 两点(异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点(或下顶点)时，S △P AB 最大，此时S △P AB＝12×2ab ＝ab ＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝23，c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆O 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0， ∵直线与圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2相切，∴d ＝|－2－2k |k 2＋1＝r ，即(4－r 2)k 2＋8k ＋4－r 2＝0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)， 则k 1k 2＝1，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 23＝1⇒(3＋4k 21)x 2－16k 21x ＋16k 21－12＝0， ∴2x 1＝16k 21－123＋4k 21，即x 1＝8k 21－63＋4k 21， ∴y 1＝－12k 13＋4k 21； 同理，x 2＝8k 22－63＋4k 22＝8－6k 214＋3k 21，y 2＝－12k 23＋4k 22＝－12k 14＋3k 21；∴k CD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12k 14＋3k 21－－12k 13＋4k 218－6k 214＋3k 21－8k 21－63＋4k 21＝k 14(k 21＋1). ∴直线CD 的方程为y ＋12k 13＋4k 21＝k 14(k 21＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 21－63＋4k 21， 整理得y ＝k 14(k 21＋1)x －7k 12(k 21＋1)＝k 14(k 21＋1)·(x －14)． ∴直线CD 恒过定点(14,0)．。
2015年全国高考数学试题分类汇编考点40曲线与方程圆锥曲线的综合应用
考点40 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2015年新课标全国卷Ⅰ文科·T5)已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为,E 的右焦点与抛物线C:y 2＝8x 的焦点重合,点A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则＝( ) A.3B.6C.9D.12【试题解析】选B.设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==212a c c ，解得a ＝4,由b 2＝a 2-c 2＝16-4＝12,所以椭圆E 的方程为1121622=+y x ,因为抛物线C:y 2＝8x 的准线为x ＝-2,将x ＝-2代入到1121622=+y x ,解得A(-2,3),B(-2,-3),故＝6.2. （2015·重庆高考理科·Ｔ10）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A ()1,0(0,1)-B (),1(1,)-∞-+∞C.()(0,2)D.(,(2,)-∞+∞【解题指南】解答本题首先根据条件求出交点D 的坐标，然后利用距离小于a 求解渐近线斜率的取值范围.【试题解析】选A.由题意知 (,0),(,0)F c Aa ，其中c联立22221x c x y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，可解得22(,),(,)b b B c C c a a - 22,ACAB b b c a c aa a k k c a a c a a-++==-==-- 所以AC 的垂线BD 的斜率为BDak c a=+，直线方程为2()b a y x c a c a -=-+ AB 的垂线CD 的斜率为CDak c a=-+，直线方程为2()b a y x c a c a +=--+ 联立22()()b ay x c a c a b a y x c a c a ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪+=--⎪+⎩，解得22()(,0)b a c D c a +- 22()(,0)b a c D c a+-到直线BC ：x c =的距离22()b a c a a c a +<+=+ 解得b a <，所以01b a <<，又双曲线的渐近线为by x a=±，所以该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()1,0(0,1)-.二、填空题3.(2015年山东高考理科·T15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1: 22221x y a b-= (a ＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C 2:x 2＝2py(p ＞0)交于点O,A,B,若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用,应从焦点和垂心出发构造a,b,c 和p 的关系,进而求出离心率e.【试题解析】由对称性知△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形,注意到双曲线的渐近线方程为b y x a =±，抛物线的焦点(0,)2p F ，设点(,),(,)b b A m m B m m a a -，则22b m p m a=⨯，由OAB ∆的垂心为F ，得1OA BF k k ⋅=-，21b p m b am a-⨯=--，消去m 得222p,2b pb p pb a a b ⨯-==，即2254b a =，所以2294c a =，故32c e a ==. 答案：324.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .【解题指南】设出圆的方程为(x-a)2＋y 2＝r 2,然后由两点间距离公式求解.【试题解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2＋y 2＝r 2,依题意得222)4(2a a -=+，解得23=a ， 4252=r ，所以圆的方程为425)23(22=+-y x . 答案: 425)23(22=+-y x三、解答题5.(2015年新课标全国卷Ⅱ理科·T20)(12分)已知椭圆C:9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【解题指南】(1)将直线y ＝kx ＋b(k ≠0,b ≠0)与椭圆C:9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分求解证明.【试题解析】(1)设直线l :y ＝kx ＋b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2-m 2＝0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k bb k y M M . 于是直线OM 的斜率kx y k M M OM 9-==即k OM ·k ＝-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x k y ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2.于是=k k 12=4=4因为k i ＞0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4-或4＋时,四边形OAPB 为平行四边形.6.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T20)(12分)在直角坐标系xOy 中,曲线C:y＝与直线y ＝kx ＋a(a ＞0)交于M,N 两点,(1)当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程.(2)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN?说明理由. 【试题解析】(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y ′＝,故y＝在x ＝2处的导数值为,曲线C 在点(2,a)处的切线方程为y-a＝(x-2),即x-y-a ＝0.y＝在x ＝-2处的导数值为-,曲线C 在点(-2,a)处的切线方程为y-a ＝-(x ＋2),即x ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点P,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k,x 1x 2＝-4a. 从而y b y b k k x x 121212--+=+()()kx x a b x x x x 1212122+-+=()k a b a+=. 当b ＝-a 时,有k 1＋k 2＝0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM ＝∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.7. （2015·重庆高考理科·Ｔ21）如题（21）图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1.PQ PF ⊥(1)若1222PF PF ==求椭圆的标准方程；（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率e .【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距，从而可求出椭圆的方程，（2）根据椭圆的定义即可求解.【试题解析】（1）由椭圆的定义，122224,a PF PF =+==故 2.a = 设椭圆的半焦距为c ，由已知12,PF PF ⊥因此122c F F====即c =从而1b ==故所求椭圆的标准方程为21.4x y +=（2）如答（21）图，设点00(,)P x y 在椭圆上，且12,PF PF ⊥则222220000221,,x y x y c a b+=+=求得200.b x y c ==± 由12,PF PQ PF =>得00x >，从而(242122222()2.b PFc ca b a ⎫=+⎪⎭=-+=由椭圆的定义，12122,2.PF PF a QF QF a+=+=从而由 122,PF PQ PF QF ==+有1142,QF a PF =-因此1(24,PF a =即(24,a a =于是(24,=解得e == 8. （2015·重庆高考文科·Ｔ21）如题（21）图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1.PQ PF ⊥(1)若1222PF PF ==求椭圆的标准方程；（2）若134,,43PQ PF λλ=≤<且试确定椭圆离心率e 的取值范围.【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距，从而可求出椭圆的方程，（2）将离心率整理成关于λ的函数，然后根据函数的单调性进行根求解.【试题解析】（1）由椭圆的定义，122224,a PF PF=+==故 2.a=设椭圆的半焦距为c，由已知12,PF PF⊥因此122c F F====即c=从而1b==故所求椭圆的标准方程为21. 4xy+=（2）如答（21）图，由1,PFPQ⊥1,PQ PFλ=得11.QF==由椭圆的定义，12122,2.PF PF a QF QF a+=+=从而有114,PF PQ QF a++=于是(114,PF aλ+=解得1PF=故212PF a PF=-=由勾股定理得222221212(2)4,PF PF F Fc c+===从而2224c⎛⎫⎛⎫+=两边除以24a，得()2224.1eλ+=+若记1t λ=+则上式变成22224(2)1118.42t e t t +-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭由34,43λ≤<并注意到1λ+λ的单调性，得11134,.43t t ≤<<≤即进而215,292e e <≤<≤。
2015届高三数学一轮课件：9.6 椭圆
(2)利用椭圆几何性质的技巧:
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦
点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.
2.求椭圆的离心率问题的一般思路
的方程为(
A.
)
2
2
+
=1
169 144
B.
2
2
+
=1
144 169
2
2
+ =1
169 25
C.
D.
2
2
+ =1
144 25
答案:A
解析:由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.
又∵椭圆的焦点在
2
2
x 轴上,∴椭圆方程为
+
=1.
169 144
1
2
4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是(
则:①|PF1|+|PF2|=2a;②4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·
|PF2|·
cos θ;③△1 2 =
1
|PF1|·
|PF2|·
sin
2
题型一
题型二
θ.
题型三
题型四
思想方法
第十一页，编辑于星期五：八点 四十分。
12
第6讲
椭圆
考纲考向
椭圆的定义及应用
题型一
例1
.已知点 M( 3,0),直线 y=k(x+
顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程为
.
(2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴
2015届高考数学一轮复习 椭圆跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(五) 椭 圆(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．42．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．53．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.535．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．6. (2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．8. (2014·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1. (2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB ，求直线l 的方程．2．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝2PB .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．选D 由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4，选D. 2．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．选D 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.4．选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53.5．解析：因为方程x 2|a |－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1＞a ＋3＞0，解得－3＜a ＜－2. 答案： (－3，－2)6．解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：577．解：(1)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得，(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.8．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2(c a )2＋ca－1＝0.即2e 2＋e －1＝0，所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )． A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ). 消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB ，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.① 易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立， 于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8.消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，② 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交， 于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1， ④由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1， 所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.2．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2.又由AP ＝2PB ，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 3．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2，由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0<m <12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝2m (1－m )3，所以△MPQ 的面积为 2m (1－m )3⎝⎛⎭⎫0<m <12. 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2·(1－4m )． 可知f (m )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上递增，在区间⎝⎛⎭⎫14，12上递减． 所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝⎛⎭⎫14＝27256.即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.。
2015高考数学一轮精品课件：9.5 椭圆
第九章
椭圆
9.5
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
y2
y2
b
a2
+ 2=1(a>b>0)
x2
+ 2=1(a>b>0)
b
图形
第五页，编辑于星期五：十三点 六分。
9.5
第九章
椭圆
考纲要求
标准方程
范围
对称性
性
质
顶点
x2
a2
梳理自测
梳理自测
y2
y2
b
a2
(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0),点
Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且 · =4.求 y0 的值.
考点一
考点二
第十八页，编辑于星期五：十三点 六分。
9.5
第九章
椭圆
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
1
3
解:(1)由 e= = ,得 3a2=4c2,再由 c2=a2-b2,得 a=2b,由题意可知 ×2a×2b=4,
+ 2=1(a>b>0)
b
-b≤y≤b
-a≤y≤a
对称中心:原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(0,-b),B2(0,b)
B1(-b,0),B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a
焦距
|F1F2|=
a,b,c
的关系
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练8-5《椭圆》
1. [2014·黄山模拟]“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0m ＋3>05－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案：B2. [2013·山东潍坊二模]设集合A ＝{x |x 24＋3y 24＝1}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A. [－2,2]B. [0,2]C. [0，＋∞)D. {(－1,1)，(1,1)}解析：由题意可得，A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0,2]． 答案：B3. [2014·厦门模拟]已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为( )A. 6B. 4C. 2D. 8解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤(m ＋n2)2＝4(当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B.答案：B4. [2014·焦作模拟]已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：如右图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°<∠F 1F 2A ≤60°，所以12≤cos∠F 1F 2A <1，又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是[12，1)．答案：[12，1)5. [2014·绵阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．解析：∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1|·|PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9.答案：9。
2015年高考数学分类讲解—解析几何(三)
30天决战高考——高考数学分类讲解解析几何（三）：椭圆主编：贾海琴老师 主编单位：永辉中学生教育学习中心一、椭圆的定义与方程：1、椭圆的定义：到两个定点距离之和等于定长的动点轨迹。
2、椭圆的定义解释：其中两个定点指的是椭圆的两个焦点，定长指的是长轴长。
3、椭圆的方程：（1）、焦点在x 轴上：12222=+b y a x ；（2）、焦点在y 轴上：12222=+ay b x ；4、椭圆的方程推导： （1）、焦点在x 轴上：设两个焦点的坐标分别为)0,(1c F ，)0,(2c F -，定长为a 2；椭圆上任意一点的坐标为),(y x ； 根据椭圆的定义得到：22222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++⇒=++++-两边同时平方得到：2222222)()(44)(y c x y c x a a y c x +-++--=++2222222222)(442y c cx x y c x a a y c cx x ++-++--=+++⇒ cx a y c x a cx a y c x a -=+-⇒-=+-⇒222222)(44)(4两边同时平方得到：22242222])[(x c cx a a y c x a +-=+-222422222)2(x c cx a a y c cx x a +-=++-⇒ 2224222222222x c cx a a y a c a cx a x a +-=++-⇒224222222c a a y a x c x a -=+-⇒)()(22222222c a a y a x c a -=+-⇒)()()()()(22222222222222222c a a c a a c a a y a c a a x c a --=-+--⇒122222=-+⇒c a y a x设：222222c b a c a b +=⇒-=得到椭圆的标准方程：12222=+by a x 。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：8.5椭圆
焦距 性 质 离心率 a，b，c 的关系
|F1F2|＝2c c e＝ ∈ (0,1) a c2＝ a2－b2
对点演练
1 (1)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ， 且它的长轴长等于圆 C： 2 x2＋y2－2x－15＝0 的半径，则椭圆的标准方程是( x2 y2 A. ＋ ＝1 4 3 x2 2 C. 4 ＋y ＝1 答案：A x2 y2 B. ＋ ＝1 16 12 x2 y2 D.16＋ 4 ＝1 )
又因 A 是 PB 的中点，故 x2＝2x1， 将③代入①，②得Байду номын сангаас8k 12 2 x1＝－ ，x ＝ ， 3＋4k2 1 3＋4k2
－8k 12 3 2 2 可得 2 ＝ 2，且 k ＞ ， 2 3 ＋ 4 k 3＋4k
③
3 3 3 3 解得 k＝－2或 k＝2，所以直线 m 的斜率为－2或2.
(2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2， y2)． x2 y2 将 y＝kx＋3 代入 ＋ ＝1 中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 4 3 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 24k 由求根公式得 x1＋x2＝－ ， 3＋4k2 24 x1x2＝ . 3＋4k2 ① ②
• •
1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹(或集合)叫 ．这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距 离叫做 ．
椭圆
焦点
焦距
• 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a， c为常数： • (1)若 ，则集合P为椭圆； • (2)若 ，则集合P为线段； 2a＞2c • (3)若 ，则集合P为空集．
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题9.5 椭圆含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第五节 椭圆一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1. 【改编自2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷）】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3C ．12. 【2015高考数学一轮配套特训】椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14 B ．12C ．2D ．43. 【2014届福建省福州市高三5月综合练习】已知P(x,y)为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.14. 【2015高考数学一轮配套特训】设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．2421x －2425y ＝1B ．2421x ＋2425y ＝1C ．2425x －2421y ＝1D ．2425x ＋2421y ＝15. 【2014年高考数学考前复习】设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x＝2a c 上存在P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦ C ．2⎫⎪⎪⎣⎭ D ．3⎫⎪⎪⎣⎭6.【2014届安徽省“江淮十校协作体”四月联考】如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为00(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A.1223 【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ，所以椭圆的长轴长22cos R a θ=，得3a R =c R === 所以椭圆的离心率12c e a == 故选A7. 【2015高考数学一轮配套特训】已知椭圆C ：24x ＋22y b ＝1(b>0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．[1,4) B ．[1，＋∞) C ．[1,4)∪(4，＋∞) D ．(4，＋∞) 【答案】C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．8. 【2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x （ ）A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=外 C.必在圆221x y +=外D.必在圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间9. 【2015高考数学一轮配套特训】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆29x ＋24y ＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．010. 【2014届河北省唐山市高三年级第三次模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2．12-C 1D ．211. 【2015数学一轮复习迎战高考】[2014·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8∴OP ·FP ＝x 02＋x 0＋3(1－204x )＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.∵－2≤x 0≤2，∴OP ·FP 的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.12. 【改编自2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设1F 是椭圆2214y x +=的下焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则1PF PO ⋅的最大值为( ).A ．4+．4- C 1 D 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2015年高考数学考点分类自测 椭圆 理
2015年高考理科数学考点分类自测：椭圆一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) 1线则 ( 4MF · MF ＝0，则点5．方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3 1DF ＝ DA ＋2 2DF ，则该椭圆的离心率为 ( )A.12 B.13 C.14D.156．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是 ( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，，则|，11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆4＋2＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .12．已知椭圆G ∶x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．详解答案一、选择题1．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个． 答案：B3．解析：如图所示设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C4．解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则 1MF · 2MF ＝ y 2DA ＝(－a b )＝1∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0.∴e ＝－1±1＋42＝－1±52.又∵0<e <1， ∴e ＝5－12.答案：5－128．解析：由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15. 答案：159．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n ) 2F B ＝(c －2，d )．∵ 1F A ＝5 2F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m23＋n 2＝1，m ＋62523＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1) 三、解答题10．解：(1)将(0, 4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．11．解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22. (2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋432＋2＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.则2)k 2＋k或k ＋2＋k ，k 2＋2＋k－－k ＋k 2－＋k 2＝－PB .－x ，－PB －1－－x 1＝21－y 12－x 1＋1＝21x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0.因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB . 12．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k264k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k 2]＝43|m |m ＋3.由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.。
2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆
2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2012·丽水模拟)若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53 B.23C.13D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32 B .23或2 C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)， 若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18，∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D .x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.(理)(2013·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM的周长为________．[答案] 8[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )． 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)． (1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠P AQ 的大小是否为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎨⎧x ＝ty －65，x24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－6425(t 2＋4)，y 1＋y 2＝12t5(t 2＋4)， 又A (－2,0)， ∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠P AQ ＝π2(定值).能力拓展提升一、选择题11．(2013·荆州市质检)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2b a ＝－3，x 1x 2＝ca ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2. 12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25D.15[答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca ，先由条件建立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析] 由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e＝－1(舍)，故选B.(理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探究] 点P 在椭圆C 上运动，P A 2的斜率取值已知，求P A 1的斜率的取值范围，若能找到kP A 1与kP A 2的关系，则解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34. ∴kP A 1＝3－4kP A 2，∵－2≤kP A 2≤－1，∴4≤－4kP A 2≤8，∴38≤kP A 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12 D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a 15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112，b 2＝12.故选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为( )A.20082011 B .1005201 C.1004201 D .53667 [答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201.二、填空题14．(文)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆的定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. [答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0 整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1，②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. (理)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．补充说明1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝c a)的二次方程求解． 6．椭圆上点M 到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .备选习题1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1 [答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.13C.14D.15 [答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点，∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13. 3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案] (5－12，1) [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→与F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故(c a )2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.。
2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：椭圆 大题
（重庆）21．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（21）图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若122PF =+，求椭圆的标准方程 （2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e【答案】（1）22+y =14x ；（2(2)解法一：如图(21)图，设点P 00(,y )x 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则22222000022y +=1,x x y c a b +=求得200=y .b x c±=± 由12|P F |=|||P F |PQ >,得0>0x ,从而()(22222221|PF |=22.b a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a+=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有 11|QF |42|PF |a =-又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |PF |，因此(1|PF |=4a于是((24.a a =解得e ==解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a =-又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |PF |，因此1142|PF |PF |a -,1|PF |a ,从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=由12PF PF ⊥,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此ce a ===-考点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
数学高考“椭圆”知识考查角度赏析
数学高考“椭圆”知识考查角度赏析——2015年高考真题赏析双鸭山一中高三数学组 齐海虹摘要：高考中椭圆具有极其重要的位置，几乎所有地区的考卷都将其列入重点考查对象，本文就是通过对考纲的总结、解读，从而分析、鉴赏2015年椭圆真题。
关键词：数学；椭圆；考查角度在高考中平面解析几何占有极其重要的地位，一般会出现第19或第20道大题，是取得高分的关键，其中椭圆知识点的出现频率最高，2015年十五套高考卷中，解析几何大题一共15题，其中椭圆题占13道。
毋庸置疑，椭圆知识点是高考命题的重点和热点之一，主要考查内容有三个，一个是椭圆的几何性质及定义，尤其是离心率；二是由简单几何性质求椭圆方程，三是椭圆和直线相结合求弦长等问题。
考纲对椭圆知识点的要求：1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的的作用。
2.掌握椭圆的定义几何图形、标准方程及简单性质。
通过解读考纲可以看出高考对椭圆的要求是1.能够熟练使用定义法、待定系数法求椭圆方程。
2.能够熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题。
3.能够用“坐标法”解决几何问题，能够用数形结合、分类讨论思想解决椭圆中的相关问题。
2015年十五套高考卷中椭圆均是紧贴考纲，在考纲的基础上灵活出题，着重考查了学生对椭圆知识点的掌握程度，灵活应用能力和与其它考点（直线、抛物线等）的综合应用程度。
与考纲吻合度可以说是百分之百。
一、基本知识点解读在高考大纲要求下学生需要掌握以下基本知识点： 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
最新届高考数学文、理新一轮复习考点详细分类题库：考点40+椭圆含详解,13高考题高考优秀名师资料
2015届高考数学文、理新一轮复习考点详细分类题库：考点40 椭圆含详解，13高考题高考温馨提示:此题库为Word版～请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴～调节合适的观看比例～关闭Word文档返回原板块。
考点40 椭圆一、选择题22xyC:1，,1. (2013?新课标全国?高考文科?,5)设椭圆的左、(0)ab,,22ab ,FF,PFFF,，,PFF30P右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为CC1221212( )3311A. B. C. D. 6332PFPF,【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将用半焦距c表示出来，12然后借助椭圆的定义，可得a,c的关系，从而得离心率.,PFFFPFF,，,,30【解析】选D. 因为, 212122343,所以。
PFccPFc,,,2tan30,213363c13又，所以， PFPFca，,,2,,123a333即椭圆的离心率为，选D. 322xy，,12.(2013?大纲版全国卷高考理科?T8)椭圆C:的左、右顶点分别43 ,,2,1为,,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线PA斜率的AAPA,,1122取值范围是 ( )1333，，，，，，A. B. ,,,,2484，，，，13，，，，C.，1 D.，1 ,,,,24，，，，22xyP(x,y)，,1【解题指南】将代入到中,得到与之间的关系,利用xy000043k,kk为定值求解的取值范围. PAPAPA12222xyyy0000P(x,y)+=1k,【解析】选B.设，则，，k, 00PAPA2143x,2x，200 323-x20y3333104?==-kkkk,[,2,,1],,，故.因为,所以k,[,]PAPAPAPAPA2211221--444xxk48400PA23. (2013?大纲版全国卷高考文科?,8)已知F(-1,0),F(1,0)是椭12圆C的两个焦点,过F且垂直于x轴的直线交于A,B两点,且=3,则C的方2程为 ( )2222222xyxxyxy2，,1，,y1，,1，,1A. B. C. D. 2544332222xy2bx，,1(a,b,0)【解题指南】由过椭圆的焦点且垂直轴的通径为求22aab 解.222xy3b，,1(a,b,0),【解析】选C.设椭圆得方程为，由题意知，又222aab 221xy2222，,1，解得a,2或a,,(舍去)，而，故椭圆得方程为.c,a,b,1b,343222xyx，,,,1(0)abP4. (2013?四川高考文科?,9)从椭圆上一点向轴作22ab xFABy垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正1 半轴的交点，且ABOP//(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )2231A. B. C. D. 2422【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的xPF应用，一是与轴垂直，二是 ABOP//122bc22(,)cyyb,,【解析】选C，根据题意可知点P，代入椭圆的方程可得，002a2222bcbcPFBOybbc210b,,根据，可知,，即，解得，即，解得ABOP//,y,022aaFOOAcaa1c2，故选C. e,,a25. (2013?广东高考文科?,9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，F(1,0)1离心率等于，则C的方程是( ) 222222222xyxyxyxy，,1，,1，,1A( B( C( D( ，,143344243【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好的关系即abce,,,可.22xyc1【解析】选D.设C的方程为+=>>10，()ab，则，ceab,,,,,1,,2,322aba222xy，,1C的方程是. 4322xyCab:1(0)，,,,6. (2013?辽宁高考文科?,11)已知椭圆的左焦点为22ab F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos 4?ABF=,则C的离心率为 ( ) 53546A. B. C. D. 5757【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质(对称性)求出ac,点到右焦点的距离，进而求得ABF【解析】选B.在三角形中，由余弦定理得4222,又ABBFABF,,，,10,8,cos AFABBFABBFABF,，,，2cos5222222解得在三角形ABF中，，故三角形ABF为AF,6.ABBFAF,,，,，1086 ,,,F直角三角形.设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边AFBF, ,AFBF形为矩形，,,FFAB,,10,BFAF,,8则其对角线且，即焦距 210,c,,,AFAFa，,226814aAFAF,，,，,又据椭圆的定义，得，所以.故离心率cc25 e,,,.aa27二、填空题7.(2013?江苏高考数学科?T12) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准CxOy22xy，,1(a,0,b,0)FB方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，l22abd,6dBFF设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离lCdd2112心率为d,6d【解题指南】利用构建参数a,b,c的关系式. 21bcBFF【解析】由原点到直线的距离为得，因到l的距离为故ddd,112a222abcbcba2222d,6d,,,,,,,,cacee6616dc,,，又所以又212ccaaab32e,解得 ,,1e3a3【答案】. 38.(2013?上海高考文科?T12)与(2013?上海高考理科?T9)相同,,,,设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的，CBA,24两个焦点之间的距离为 .【解析】如图所示，以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上，且CD,AB,AB,4,BC,2,，CBA,45:,CD,1,DB,1,AD,3,C(1,1)11482222224,(11)1,, ,a,把C，代入椭圆标准方程得，,a,b，c,b,c,2233ab4 ,2c,634【答案】 63.9.(2013?福建高考文科?T15) 与(2013?福建高考理科?,14)相同22xy，,,,1(0)ab椭圆Γ: 的左、右焦点分别为F,F,焦距为2c.若直线1222ab y=3xc，与椭圆Γ的一个交点M满足?MFF=2?MFF,则该椭圆的离心率，，1221 等于 .cc2【解题指南】,而2c是焦距,2a是定义中的|PF|+|PF|=2a,因此,e,,12aa2 如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率, ||FF12一般会选用这种定义法: . e,||||PFPF，12【解析】?MFF是直线的倾斜角,所以?MFF=60?,?MFF=30?,所以?1212213cMFF是直角三角形,在Rt?MFF中,|FF|=2c,|MF|=c,|MF|=,所以21212112 222cc. e,,,,,312||||aMFMF，31，1231,【答案】 .22xyCab:1(0)，,,,10. (2013?辽宁高考理科?,15)已知椭圆的左焦点22ab F为，C与过原点的直线相交于两点，连接若AB,AFBF,.4，则的离心率 Ce,____.ABAFABF,,，,10,6,cos5【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A到右焦点的距离，进而求得. ac,222ABF【解析】在三角形中，由余弦定理得,AFABBFABBFABF,，,，2cos4BF,8.ABF又，解得在三角形中，ABAFABF,,，,10,6,cos5222222ABF，故三角形为直角三角形。
2015届高三数学第一轮复习课件：8.1椭圆
题型三 椭圆的几何性质
已知 B(1，32)是椭圆 E:
x2 y2 a2＋b2＝1
(a＞b＞0)上的一点，F 是椭圆右焦点
,且 BF⊥x 轴．
(1)求椭圆 E 的方程；
第二十一页，编辑于星期五：八点 五十一分。
(2)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点，直线 l 垂直于 A1A2 的 延长线于点 D，|OD|＝4，P 是 l 上异于点 D 的任意一点，直 线 A1P 交椭圆 E 于 M(不同于 A1、A2)，设λ＝A→2M·A→2P，求λ
对于(1)，考虑巧妙地设椭圆方程可避开分类讨论的 麻烦；对于(2)，利用离心率相同可设出椭圆的一般形式．
(1)设椭圆的标准方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，
第十四页，编辑于星期五：八点 五十一分。
点 P(－2 3，1)，Q( 3，－2)在椭圆上， 代入上述方程得132mm＋＋4nn＝ ＝11， ，解得mn＝ ＝1511.5，
__，两焦点间的距离叫作椭圆的__焦距__．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0， c>0，且 a，c 为常数．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0， c>0，且 a，c 为常数，则(1)若 a＞c，则集合 P 为椭圆；(2) 若 a＝c，则集合 P 为线段；(3)若 a＜c，则集合 P 为空集．
第十二页，编辑于星期五：八点 五十一分。
＝________．
设椭圆的右焦点为 F1，在△ABF 中，由余弦定理可 得|BF|＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边 AB 的中 点为 O，所以|OF|＝c＝5，连接 AF1，因为 A，B 关于原点对 称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以 2a＝14，a＝7，所以离心率 e＝57.
2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第8章 第5节 椭圆
|F1F2|＝ 2c e＝ac，e∈ (0,1)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
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第三页，编辑于星期五：九点 四十三分。
结束
第五节 椭圆
1．椭圆的定义中易忽视 2a＞|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其 轨迹为线段 F1F2，当 2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
k－5，由ac＝45，即 4k＋ －k5＝45，解得 k＝21.
答案：C
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第二十二页，编辑于星期五：九点 四十三分。
结束
第五节 椭圆
2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则
此椭圆离心率的取值范围是
()
A．[14，13]
B．[13，12]
C．(13，1)
D．[13，1)
结束
第五节 椭圆
本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线 l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.
解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内
部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，
c a
2＜
1 2
，0＜
c a
＜
22，故e∈0， 22.
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第五节 椭圆
[典例] (2013·天津高考)设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为
F ，离心率为
2015高考数学一轮复习精选课件：第8章 第5节 椭圆
2
8×
1－ x21 16
|x0|＝
2×
4－x20 x20＝ 2× － x20－2 2＋4.
当 x0＝± 2时，△PP′Q 的面积 S 取到最大值 2 2.
此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(± 2，0)，半径|QP|＝ 8－x20＝ 6，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为
(x＋ 2)2＋y2＝6，(x－ 2)2＋y2＝6.
＝ 2 3 ， |PD| ＝ 2 ， 所 以 S ＝ 1 |AB|·|PD| ＝ 1 ×2 3 ×2 ＝ 2 3 . ② 当 k≠0 时 2＋4y2＝4，
消去
y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故
x0＝－4＋8kk2.所以|PD|＝8
k2＋1 4＋k2 .
则
S＝1|AB|·|PD|＝8 2
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高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题
闯关四：及时演练，强化提升解题技能
解：(2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0,0)．又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，
则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x20＋8×
1－ x2 16
＝12(x－2x0)2－x20＋8
(3)判断图形的形状． 可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边 之间的关系．
(4)弦长问题． 利用根与系数的关系、弦长公式求解．
(5)中点弦或弦的中点． 一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．
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高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题
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考点40 椭圆一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A.13 C.12 D.【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。
又122PF PF a +==，所以c a ==即椭圆的离心率为D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解题指南】将),(00y x P 代入到13422=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x yk PA1PA k 22222003334444-?==---PA x y k x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 22求解.【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x .4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A.4 B. 12C. 2D. 2【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a=-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA=，即0y b c a =，解得0bc y a =，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ）A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为222210x y a b a b+=>>，（），则11,,2,32c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x .6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( )A.35B.57C.45D.67【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === 二、填空题7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式. 【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a=，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又b a =3e =【答案】3. 8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c 【答案】634.9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=)+x c 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】22cce aa==,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||||||F F e PF PF =+.【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以122212||||c c e a MF MF ====+. 【答案】1.10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率____.e = 【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得,a c .【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，解得8.BF =在三角形ABF 中，2222221086A B B FA F ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。
设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c = 又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=. 故离心率25.27cc e a a === 【答案】57. 三、解答题11. （2013·陕西高考文科·Ｔ20）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;(2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.【解题指南】设出动点M 的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与12x x ，的关系式，利用中点坐标即可得斜率. 【解析】(1) 点M(x,y )到直线x=4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为13422=+y x .(2) P(0, 3), 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：，=+=+， 椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。
3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：221221224324,432402424)43k x x k k x x kx x k +=⋅+-=+⇒=+++（ 232924)43()24(252)(2212221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率23±=k .12. （2013·四川高考理科·Ｔ20）已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程． 【解题指南】（1）关注椭圆的定义，利用定义求出,a c ，再求出离心率；（2）首先确定椭圆的方程，设出点Q 的坐标，结合已知222211||||||AQ AM AN =+，找到点Q 的坐标满足的关系.【解析】(1)由椭圆定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=(43+1)2+(13)2+(43−1)2+(13)2=22,所以a =2,又由已知,c =1,所以椭圆的离心率e =c a =12=22.(2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 22+y 2=1, 设点Q 的坐标为(x ,y ).(ⅰ) 当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点Q的坐标为(0,2−355).(ⅱ) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l 上，可设点M,N的坐标分别为1122（x，kx+2），（x，kx+2）则|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|A Q|2=(1+k2)x2,由2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2−2 x1x2x12x12, ①将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ②由∆=(8k)2−4(2k2+1)⨯6>0,得k2>32 .由②可知,x1+x2=−8k2k2+1,x1x2=62k2+1, 代入①并化简得x2=21810k3-. ③因为点Q在直线y=kx+2上, 所以k=y−2x, 代入③并化简,得10(y−2)2−3x2=18.由③及k2>32,可知0<x2<32,即x∈(−62,0)∪(0,62).又(0,2−355)满足10(y−2)2−3x2=18, 故x∈(−62,62).由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以−1≤y≤1,又由10(y−2)2=3x2+18有(y−2)2∈[95,94)且−1≤y≤1,则y∈(12,2−355].所以,点Q的轨迹方程为10(y−2)2−3x2=18,其中x∈(−6 2,62), y∈(12,2−355].关闭Word文档返回原板块。