直击考点,2.1线与角的认识(含答案)
(完整)直线与角含答案(2),推荐文档
．．．．19．如图．已知∠A0B=60°，OC是∠A0B内的一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）求∠EOD的度数；（2）若其他条件不变，OC在∠AOB内部绕O点转动，则OD，OE的位置是否发生变化？（3）在（2）的条件下，∠EOD的大小是否发生变化？如果不变，请求出其度数；如果变化，请求出其度数的范围．【解答】解：由图可得，因为两点之间，线段最短，所以最短的路线为从甲经A到乙，而最长路线则为从甲经D到乙．【点评】能够看懂一些简单的图形，会结合图形进行求解．3．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（ ）种车票．A．6B．12C．15D．30【考点】直线、射线、线段．【分析】分别求出从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车票，从长沙出发的有1种车票，即可得出答案．【解答】解：∵从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车票，从长沙出发的有1种车票，∴一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制2×（5+4+3+2+1）=30种车票，故选D．【点评】本题考查了用数学知识解决实际问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ ）A．3B．2C．3或5D．2或6【考点】两点间的距离；数轴．【专题】压轴题．【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB 内，点C在线段AB外．【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．第一种情况：在AB外，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，AC=4﹣2=2．故选：D．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．5．已知线段AB，画出它的中点C，再画出BC的中点D，再画出AD的中点E，再画出AE的中点F，那么AF等于AB的（ ）A．B．C．D．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意AF=AE=AD，那么只需求出AD、AB的关系即可；因为AD=AB﹣BD，而BD=BC=AB，由此求得AF、AB的比例关系．【解答】解：由题意可作出下图：结合上图和题意可知：AF=AE=AD；而AD=AB﹣BD=AB﹣BC=AB﹣AB=AB，∴AF=AD=×AB=AB，故选D．【点评】本题考查了比较线段的长短，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．6．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【考点】比较线段的长短．【专题】分类讨论．【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=AC+BC=AB=5；（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=AC﹣BC=7﹣2=5．综合上述情况，线段MN的长度是5cm．故选D．【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．7．如图，C，D，E将线段AB分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，BE的中点，若MN=a，求PQ的长．【考点】两点间的距离．【分析】根据线段的比例，可用x表示每条线段，根据中点的性质，可得AM，BN，根据线段的和差，可得关于x的方程，根据解方程，可得x的值，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，得AC=2x，CD=3x，DE=4x，EB=5x．由M是AC的中点，N是BE的中点，得AM=AC=x，NB=EB=．MN=MC+CD+DE+EN=x+3x+4x+x=．=a．x=．PD=CD=，DQ=DE=2xPQ=PD+DQ=+2x=PQ=×=a【专题】计算题．【分析】（1）根据数轴表示数的方法得到B表示的数为6﹣10，P表示的数为6﹣6t；（2）点P运动t秒时追上点R，由于点P要多运动10个单位才能追上点R，则6t=10+4t，然后解方程得到t=5，此时4t=20，此时P点与R点都在﹣24表示的点的位置．【解答】解：（1）∵A表示的数为6，且AB=10，∴B表示的数为6﹣10=﹣4，∵PA=6t，∴P表示的数为6﹣6t=6（1﹣t）；故答案为﹣4，6（1﹣t）；（2）点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，所以4t=20，所以点P在数﹣24表示的点追上点R．答：点P运动5秒时追上点R，点P追上点R时在数﹣24表示的点．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．9．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（ ）A．38°B．104°C．142°D．144°【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】常规题型．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°．故选：C．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．10．学校、电影院、公园在平面图上分别用点A，B，C表示，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西35°方向，那么平面图上的∠BAC等于（ ）【解答】解：时针与分针相距份，30×=135°∠BOE=∠AOE=∠AOB，∠DOB=∠COD=∠COB，然后求出∠BOE ∴∠BOE=∠AOE=∠AOB，∠DOB=∠COD=∠COB，13．如图，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB：∠AOD=2：7，试求∠BOC 的大小．【考点】角的计算．【分析】根据∠AOB：∠AOD=2：7，设∠AOB=2x°，可得∠BOD的大小，根据角的和差，可得∠BOC的大小，根据∠AOC、∠AOB和∠BOC的关系，可得答案．【解答】解：设∠AOB=2x°，∵∠AOB：∠AOD=2：7，∴∠BOD=5x°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=2x°，∴∠BOC=5x﹣2x=3x°∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=2x+3x=5x=100°，∴x=20°，∠BOC=3x=60°．【点评】本题考查了角的计算，先用x表示出∠BOD，在表示出∠BOC，由∠AOC的大小，求出x，最后求出答案．14．一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是（ ）A．60°B．75°C．90°D．45°【考点】余角和补角．【分析】设这个角为x，则补角=180°﹣x，余角=90°﹣x，根据题意可得出方程，解出即可．【解答】解：设这个角为x，则补角=180°﹣x，余角=90°﹣x，由题意得，180°﹣x=4（90°﹣x），解得：x=60°．故选A．【点评】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两个角的和是90°，互补的两个角的和是180°．15．如图，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB平分∠COD，则∠AOD的度数（ ）A．45°B．120°C．135°D．150°【考点】角平分线的定义．【分析】根据角平分线的定义求出∠BOD，再根据∠AOD=∠AOB+∠BOD代入数据计算即可得解．【解答】解：∵OB平分∠COD，∴∠BOD=×90°=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+45°=135°．故选C．【点评】本题考查了角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．二、解答题16．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的余角．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠MOB的度数，根据邻补角的性质计算即可．（2）根据题意得到：∠DOM为∠DON的余角．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=∠AOC=50°，∵OM平分∠BOD，∴∠BOM=∠DOM=25°，又由∠MON=90°，∴∠AON=180°﹣（∠MON+∠BOM）=180°﹣（90°+25°）=65°；（2）由∠DON+∠DOM=∠MON=90°知∠DOM为∠DON的余角，故∠DON的余角为25°．【点评】本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义，掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键．17．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）A．16B．18C．29D．28【考点】相交线．【分析】由题意可得8条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案．【解答】解：根据题意可得：8条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，∵任意三条直线不过同一点，∴此时交点为：8×（8﹣1）÷2=15，即n=28；则m+n=29．故选C．【点评】本题考查直线的交点问题，难度不大，注意掌握直线相交于一点时交点最少，任意三条直线不过同一点交点最多．18．归纳与猜想：3=，6=，10=，根据以上结果得出，即可得出答案．）在一个角内引（n﹣2）条射线可组成个角．（3）在（2）的条件下，∠EOD的大小是否发生变化？如果不变，请求出其度数；如果变化，请求出其度数的范围．【考点】角的计算；角平分线的定义．【分析】（1）由于OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么利用角平分线有∠COD=∠BOC，∠COE=∠AOC，再利用等式性质，可得∠COD+∠COE=（∠BOC+∠AOC），即可求∠DOE；（2）若其他条件不变，OC在∠AOB内部绕O点转动，则OD，OE的位置发生变化；（3）由（1）的结论可知∠DOE=∠AOB，而∠AOB的度数不变，则∠DOE 就不变，也就是OC在∠A0B内绕点O转动时，∠DOE的值不会改变．【解答】解：（1）∵OD平∠BOC，OE平分∠AOC．∴∠COD=∠BOC，∠COE=∠AOC，∴∠COD+∠COE=（∠BOC+∠AOC），即∠DOE=∠AOB=×60°=30°；若其他条件不变，OC在∠AOB内部绕O点转动，则OD，OE的位置发生变化；（3）当OC在∠A0B内绕点O转动时，∠DOE的值不会改变．∵由（1）知∠DOE=∠AOB，而∠AOB的度数不变，∴∠DOE就不变．【点评】本题考查了角的计算、角平分线的定义、等式的性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质．。
【应用题专项】北师大版小学数学四年级上册 第二单元 线与角(知识梳理+典例精讲+专项训练)含答案
第二单元线与角（讲义）小学数学四年级上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练）1. 线段、射线、直线的特点。
三者都是直的，但线段的长度有限（可测量），有两个端点（不能向两个方向无限延长）；射线无限长（不可测量），有一个端点（可以向一个方向无限延长）；直线无限长（不可测量），没有端点（可以向两个方向无限延长）。
线段、射线都是直线的一部分。
2. 线段、射线、直线的读法。
线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法(从端点读起)；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法。
3. 线段的基本性质。
两点之间所有连线中线段最短。
4. 两点间距离。
连接两点的线段的长度，叫作这两点之间的距离。
5. 相交的意义。
在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。
6. 垂直的意义。
当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
两条直线互相为对方的垂线。
7. 垂线的画法和检验。
可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。
8. 从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。
这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。
9. 平行线的意义。
在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。
10. 平行线的画法和检验。
可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。
11. 用一副三角尺（或用直尺和三角尺）画平行线的方法。
（1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。
（2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。
（3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。
12. 平角的意义。
当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫平角。
13. 周角的意义。
当一条射线绕着它的端点旋转一周，与原来的射线重合时，所形成的角叫周角，14. 锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。
中考数学考点一遍过 考点12 点、线、面、角
中考数学考点一遍过考点12 点、线、面、角中考数学考点一遍过考点12：点、线、面、角在数学中，点、线、面、角是基本的几何概念，也是中考数学中常见的考点之一。
本文将重点介绍这四个概念以及它们之间的关系。
首先，我们来看点。
点是几何图形中最基本的元素之一，它没有大小和形状，只有位置坐标。
在平面直角坐标系中，点可以用坐标(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示它在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3。
在空间中，点可以用三个坐标(x, y, z)表示。
接下来是线。
线由无数个点组成，它是一维的、无宽度的几何图形。
通常我们用两个点来确定一条直线。
一条直线可以由它上面的两个点来表示，也可以通过线上的一个点和它的斜率来表示。
在平面直角坐标系中，直线可以用方程y = kx + b来表示，其中k是斜率，b是y轴截距。
例如，直线L的方程为y = 2x + 1，表示它的斜率为2，y轴截距为1。
接下来是面。
面是由无数个平行的线组成的，它是二维的、有宽度的几何图形。
平面可以看作是无限大的纸张，它没有边界，可以无限延展。
在平面直角坐标系中，平面可以用一般方程Ax + By + Cz +D = 0来表示，其中A、B、C、D是常数，A、B、C不同时为0。
例如，平面P的一般方程为2x + 3y - z + 1 = 0。
最后是角。
角是由两条射线的公共端点组成的，它是由无数个点组成的几何图形。
我们通常用字母来表示角，例如∠ABC表示由线段AB和线段BC组成的角，其中点B是公共端点。
角的大小可以用角度来度量，也可以用弧度来度量。
通常我们使用度来度量角，一个完整的角为360°。
例如，直角的度数为90°，钝角的度数大于90°，锐角的度数小于90°。
点、线、面、角是几何学的重要概念，它们之间密切相连，互相补充。
点是线的组成部分，线可以由点来确定；线和点可以确定一个面，面由无数个平行的线组成；而角则是由两条射线的公共端点组成的。
四年级数学线和角试题答案及解析
四年级数学线和角试题答案及解析1.角的大小与角两边的无关，与角的有关．【答案】长短、两边叉开的大小【解析】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此解答即可．解答：解：根据角的含义可知：的大小与角两边的长短无关，与角的两边叉开的大小有关．故答案为：长短、两边叉开的大小．点评：此题考查了角的含义．2.（从一点出发，可以画（）条直线．A．1B．2C．无数【答案】C．【解析】根据直线的初步知识：经过一点可以画无数条直线；进行解答即可．解答：解：从一点出发，可以画无数条直线；故选：C．点评：此题考查的是直线的初步知识，应注意平时基础知识的掌握和理解．3.把直角、钝角、平角、锐角按从大到小的顺序排列起来的是（）A. 直角、锐角、平角、钝角B. 平角、钝角、直角、锐角C. 钝角、平角、直角、锐角 D锐角、直角、钝角、平角【答案】B【解析】根据锐角、钝角、直角、平角的含义进行解答：锐角：大于0°小于90°的角；钝角：大于90°小于180°的角；直角：等于90°的角；平角：等于180°的角；据此解答即可。
4. 0°的角和360°的角一样大．．（判断对错）【答案】错误．【解析】因为0度的角是没有度数，是0°；而360度的角是一个圆周角，是360°；进而判断即可．解答：解：因为0度的角是没有度数，是0°；而360度的角是一个圆周角，是360°，所以0度的角和360度的角不一样大；故答案为：错误．点评：解答此题应根据角的含义进行解答．5.已知如图∠1=48°，列算式求出下面各角的度数．求∠2、∠3、∠4、∠5 的度数．【答案】∠2的度数是42°、∠3的度数是138°、∠4的度数是42°、∠5的度数是90°．【解析】根据直角的定义可求∠2的度数，根据平角的定义可求∠3、∠4、∠5的度数．解答：解：∠2=90°﹣48°=42°，∠3=180°﹣42°=138°，∠4=180°﹣138°=42°，∠5=180°﹣48°﹣42°=90°．答：∠2的度数是42°、∠3的度数是138°、∠4的度数是42°、∠5的度数是90°．点评：本题关键是熟悉直角等于90°，平角等于180°的知识点．6.如果∠1是∠2的3倍，∠1=96°，那么∠2=．【答案】32°．【解析】由题意得：∠2=∠1÷3，代数计算即可．解答：解：∠2=∠1÷3，=96°÷3，=32°．故答案为：32°．点评：解决本题的关键是分析得出∠2是∠1的，再计算．7.用一个放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是（）A．300° B．30° C．3000°【答案】B【解析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关．解答：解：用一个放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数仍然是30°．．故选：B．点评：此题主要考查角的定义．8.不能用一副三角形直接拼出的角是（）度．A．75B．87C．105D．135【答案】B【解析】一副三角板，锐角三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、90°，用它们进行拼组，即可解答．解答：解：A、30°+45°=75°B、一副三角板不能拼成87度角；C、60°+45°=105°D、90°+45°=135°故选：B．点评：本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，关键是明确三角板上的角的度数．9.（1）以下面这条射线作为角的一条边，点A为顶点，画一个140度的角．（2）过点A画出原来射线的垂线．【答案】【解析】①用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可；②用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可．解答：解：①画图如下：点评：本题考查了学生用量角器画角和利用直尺和三角板作垂线的能力．10.我能用一副三角尺拼出个不同的钝角，其中最大的一个是度．【答案】5；165．【解析】一副三角板，锐角三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、90°，用它们进行拼组出不同的钝角，即可解答．解答：解：因为90°+30°=120°90°+45°=135°90°+60°=150°60°+45°=105°90°+30°+45°=165°答：用一副三角尺拼出 5个不同的钝角，其中最大的一个是 165度．故答案为：5；165．点评：本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，关键是明确三角板上的角的度数和钝角的定义．11.如图∠1=∠2，那么∠1=．【答案】45°【解析】因为∠1、∠2和90°角组成一个平角，∠1=∠2，所以∠1=（180°﹣90°）÷2；据此计算即可．解答：解：∠1=（180°﹣90°）÷2∠1=90°÷2∠1=45°故答案为：45°点评：此题主要考查利用与特殊角的关系解答问题的能力．12.从6点到12点，时针转过了180°．．（判断对错）【答案】√．【解析】6时时，分针指向12，时针指向6，12时时，分针指向12，时针指向12，时针6到12转过6个大格，再根据每个大格所对的角度是30度进行解答即可．解答：解：由题意得：钟面上，从6时正到12时正，时针转过了：30°×6=180°．故答案为：√．点评：解决本题的关键是分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行计算．13.如图有3条线段．（判断对错）【答案】错误．【解析】线段上点和线段数量的关系为：如果直线AB上有n个点，线段中共有n（n﹣1）÷2条线段．本图线段中共有4个点，所以图中线段共有4×（4﹣1）÷2=6（条）．解答：解：4×（4﹣1）÷2=12÷2=6（条）故答案为：错误．点评：完成本题的关健是了解线段上点的数量与线段数量的关系．14.长方形的4个角都是；平行四边形的对角．声音传播的速度是每秒340米，可写作；速度× =路程．【答案】直角，相等，340米/秒，时间．【解析】根据长方形和平行四边形的特征可知：长方形的4个角都是直角；平行四边形的对角相等．根据行程问题中速度的表示方法，可得声音传播的速度是每秒340米，可写作 340秒米/，然后根据速度和时间、路程之间的关系解答即可．解：长方形的4个角都是直角；平行四边形的对角相等．声音传播的速度是每秒340米，可写作340米/秒；速度×时间=路程．故答案为：直角，相等，340米/秒，时间．【点评】此题主要考查了行程问题中速度的含义以及表示方法；用到的知识点：长方形的特征及平行四边形的特征．15.仔细观察下图：数一数，图中有个角；量一量，图中∠1= 度∠2= 度；这个图形是对称的吗？．（在括号内填“是”或“不是”．）【答案】8，50，65，是．【解析】（1）观察图形可知，单个的角的个数是6个，由2个角组成的大一点的角有2个，据此加起来即可解答问题；（2）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数；（3）通过测量∠1和∠2的度数，判断这个图形是否对称．解：（1）6+2=8（个）答：图中有8个角．（2）量一量，图中∠1=50度∠2=65度（3）因为图中是平行四边形，二平行四边形的对边相等，对角相等，而三角形的内角和是180度，∠1=50度∠2=65度．所以两个小三角形是等腰三角形，所以是对称图形．故答案为：8，50，65，是．【点评】本题主要考查了图形的计数及角的测量的应用，用量角器测角的度数时要注意量角器的放置及两个重合，即量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合．16.用量角器量角时，要做到点点重合，线边重合．．（判断对错）【答案】√【解析】解：用量角器量角时，量角器的中心点与角的顶点重合，即点点重合；量角器的0刻度线与边的一边重合，与角的另一边重合的刻度就是所量角的度数，即线边重合．即用量角器量角时，要做到点点重合，线边重合．故答案为：√．17.角的两边越长，度数越大．．（判断对错）【答案】×【解析】解：角的大小于边的长短无关．所以一个角的两边越长，这个角就越大．故是错误的．故答案为：×．18.下面的角中，（）是锐角．A．89° B．90° C．159°【答案】A【解析】解：下面的角中，89°是锐角．故选：A．19.如图，已知：∠1+∠2=120°，则∠1=40°，则∠2= ，∠3= ．【答案】80°，60°【解析】解：（1）120°﹣40°=80°，（2）180°﹣120°=60°，答：∠2=80°，∠3=60°；故答案为：80°，60°．20.当时针从3时走到4时时，分针走了（）A．360° B．90° C．180°【答案】A【解析】在钟面上时针每走一个数字，也就是1小时，分针正好走一圈，是60分，是360°．解：当时针从3时走到4时时，分针走了360°．故选：A．【点评】在钟面上时针每走一个数字，也就是1小时，分针正好走一圈是一个周角，是360．21.把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是（）A．10°B．60°C．120°D．360°【答案】B【解析】角的大小只与两条边叉开的角度有关，而与放大的倍数无关，据此即可解答．解：因为角的大小只与两条边叉开的角度有关，而与放大的倍数无关，所以把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角仍是60度．故选：B．【点评】解答此题的关键是明白：影响角的度数大小的因素只有两条边叉开的角度大小一个．22.3时整，钟面上时针和分针所成的角是角，6时整，时针和分针所成的角是角，12时整，时针和分针所成的角是角．【答案】直；平；周．【解析】根据钟表钟面的特征，即钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，利用钟表表盘的特征解答．解：3点整，时针指向3，分针指向12．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，所以3时整分针与时针的夹角正好是90度，也就是直角；6点整，时针指向6，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×6=180°，是平角；12点整，时针指向12，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×12=360°，是周角；故答案为：直；平；周．【点评】先结合图形，确定时针和分针的位置，再进一步求其度数．23.求图中未知角的度数．已知∠1=37°、∠2=55°、∠3=58°，求∠4= 、∠5= 、∠6=【答案】67°、113°、30°．【解析】用180°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠6的度数；用180°分别减去∠1、∠6的度数，即可求出∠5的度数；用180°分别减去∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数．解：∠4=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣55°﹣58°=67°；∠6=180°﹣37°﹣55°﹣58°=30°；∠5=180°﹣∠1﹣∠6=180°﹣37°﹣30°=113°．故答案为：67°、113°、30°．【点评】此题主要考查三角形的内角和定理，是基础题型，弄清楚图中各角之间的关系，是解答本题的关键．24.6时整，时针和分针所形成的角是角．12时整，时针和分针所形成的角是角．【答案】平；周．【解析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360°÷12=30°；整时时，时针指向整时的数字，分针指向12，所以时针指向几，时针与分针之间就有几个大格．6时整，分针与时针相差6个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6=180°；12时整，分针与时针相差12个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×12=360°；根据直角、平角、周角的定义解答即可．解：钟面一周为360°，共分12大格，每格为360°÷12=30°；6时整，时针与分针之间有6个大格，时针和分针所形成的角度数是：30°×6=180°，故时针和分针所形成的角是平角；12时整，分针与时针相差12个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×12=360°，故12时整，时针和分针所形成的角是周角；故答案为：平；周．【点评】此题考查钟面知识，要抓住每个大格所对的夹角的度数是30°进行计算即可解答．25.量出图中∠1的度数是；求出∠2= ，∠3= ，∠4= ．【答案】45°；135°，45°，135°．【解析】先量出图中∠1的度数是45°；然后根据∠2和∠1，∠1和∠4，∠3和∠4的度数和都是平角解答即可．解：∠1的度数是45°；∠4=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°∠3=180°﹣∠4=180°﹣135°=45°故答案为：45°；135°，45°，135°．【点评】本题关键是观察得出∠2和∠1，∠1和∠4，∠3和∠4的度数和都是平角．26.零晨4点整时，时针和分针所夹的最小的角是．【答案】120°【解析】零晨4时的时候分针和时针之间的格子是20个，每个格子对应的圆心角是360°÷60，据此解答．解：360°÷60×20=6°×20=120°答：时针和分针所夹的最小的角是120°．故答案为：120°【点评】本题考查了学生钟面上时针和分针形成夹角知识的掌握．27.从一点引出两条所组成的图形叫做角．【答案】射线．【解析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；进行解答即可．解：根据角的含义可知：从一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；故答案为：射线．【点评】此题考查了角的含义，应注意基础知识的积累．28.请用量角器画出一个110°的角．【答案】【解析】①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；②对准量角器110°（或其它角的度数）的刻度线点一个点（找点）；③把点和射线端点连接，然后标出角的度数．解：【点评】考查了画指定度数的角，步骤为：A．两重合（点点重合、线线重合）；B．找点；C．连线．29.钟表9时整，时针和分针所夹的角是度．从1点到2点，分针旋转的角度是度．【答案】90°，180°【解析】钟面被平均分成了12个大格，每个大格所对的圆心角是：360÷12=30°，又由于钟表9时整，分钟指向12，时针指向9，它们之间正好相差3个大格，形成的角是30×3=90度；从1点到2点，经过了1个小时，分针旋转了一周，旋转的角度是180°；据此解答．解：360÷12=30°，30×3=90°；从1点到2点，经过了1个小时，分针旋转了一周，旋转的角度是180°；故答案为：90°，180°．【点评】本题考查了钟面知识：从圆心角的角度观点看，钟面圆周一周是360°，时钟的钟面被均分成12个大格，每个大格又被均分成5个小格；这样钟面圆被均分成60个小格，每个大格所对的圆心角是：360÷12=30°，每个小格是：360÷60=6°．30.角的两边越长，角就越大．．（判断对错）【答案】×【解析】角的大小与边的长短无关．所以一个角的两边越长，这个角就越大．是错误的．解：角的大小与边的长短无关．所以一个角的两边越长，这个角就越大．故是错误的．故答案为：×．【点评】本题考查角的定义．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．角的大小与边的长短无关．。
四年级数学线和角试题答案及解析
四年级数学线和角试题答案及解析1.过平面上一点可以作条直线，过两点可以作条直线，从一点出发可以作条射线，射线有个端点，线段有个端点。
【答案】无数，1，无数，1，2．【解析】根据线段、直线和射线的定义及特点进行分析：线段有两个端点，有限长，两点之间可以作一条线段；直线没有端点，无限长，通过一点可以作无数条直线；射线有一个端点，无限长，从一点出发可以作无数条射线。
2.角的大小与有关，与无关。
【答案】角两边叉开的大小、角两边的长短【解析】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此判断即可。
3.周角的一条射线（）（判断题）【答案】错误【解析】根据角的含义可知：周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆。
4.图中∠1=30°，∠2=【答案】75°【解析】分析：由图可以看出∠1和2个∠2构成了一个平角，即180°，便可求出∠2．解答：解：因为∠1+2∠2=180°，∠=30°，所以30°+2∠2=180°，∠2=75°；故答案为：75°．点评：解这一题重点是看出∠1和2个∠2构成了一个180°的角．5.上午9时30分，钟面上分钟和时针所夹的角是直角．．（判断对错）【答案】×．【解析】当钟表上的时间为9时30分，则时针指向9与10的正中间，分针指向6，时针与分针的夹角为三大格半，根据钟面被分成12大格，每大格为30°即可得到时针与分针的夹角度数．解答：解：因为钟表上的时间为9时30分，所以时针指向9与10的正中间，分针指向6，所以时针与分针的夹角度数为：90°+30°÷2=90°+15°=105°，直角是90°，所以原题说法错误．故答案为：×．点评：本题考查了钟面角，利用钟面被分成12大格，每大格为30°进而求出是解题关键．6.画一画（1）图1过点A画出已知直线的垂线，并标上直角符号．（2）图2以点A为顶点画一个60°的角．【答案】【解析】①用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可；②以A画一条射线，使量角器的中心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，在量角器60度的地方点上一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画出另一条射线，画完后在角上标上符号，写出度数．解答：解：点评：本题考查了学生利作垂线和角的能力．7.如果∠1是∠2的3倍，∠1=96°，那么∠2=．【答案】32°．【解析】由题意得：∠2=∠1÷3，代数计算即可．解答：解：∠2=∠1÷3，=96°÷3，=32°．故答案为：32°．点评：解决本题的关键是分析得出∠2是∠1的，再计算．8.如图中过A点最短的一条线段是（）A．AB B．AC C．AD D．AE【答案】C【解析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可．解答：解：图中过A点到直线BE的所有线段中，最短的一条是AD；故选：C．点评：解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．9.用一个放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是（）A．300° B．30° C．3000°【答案】B【解析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关．解答：解：用一个放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数仍然是30°．．故选：B．点评：此题主要考查角的定义．10.用放大10倍的放大镜看一个31°角，这个角是度．【解析】放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状，改变不了夹角的大小，所以用放大10倍的放大镜看一个31°角，这个角仍是31度，解答即可．解答：解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．如方的东西再怎么放大也是方的，圆的东西再怎么放大也是圆的，31°的角在放大镜下，只有边延长，而表示形状的角度大小是不变的，还是31°．故答案为：31．点评：解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变物体的大小．11.数一数，图中有（）个角．A．4 B．8 C．10【答案】C【解析】根据角的定义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角，由此得从一点引出三条射线组成的图形中一共有1+2=3个角；从一点引出四条射线组成的图形中一共有1+2+3=6个角，从一个点引出5条射线，一共有1+2+3+4=10个角．解答：解：通过上面的分析得：图中一共有1+2+3+4=10个角．答：图中一共有10个角．故选：C．点评：此题考查的目的是：掌握组合图形的计数规律，从一点引出N条射线组成的图形中共有角的个数规律是：1+2+3+…+（N﹣1）；据此规律解答即可．12.下面各角，使用一副三角尺就可以拼出的是（）A．95° B．105° C．115°【答案】B【解析】一副三角板，等腰直角三角板的角有45°、90°，另一个三角板的角有30°、60°、90°，用它们进行拼组，即可解答．解答：解：A、任意两个角不能拼成95°角；B、60°+45°=105°；C、任意两个角不能拼成115°角；故选：B．点评：本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，关键是明确三角板上的角的度数．13.如图∠1=∠2，那么∠1=．【答案】45°【解析】因为∠1、∠2和90°角组成一个平角，∠1=∠2，所以∠1=（180°﹣90°）÷2；据此计算即可．解答：解：∠1=（180°﹣90°）÷2∠1=90°÷2∠1=45°故答案为：45°点评：此题主要考查利用与特殊角的关系解答问题的能力．14.角的两条边是两条直线，这两条直线越长，角越大．．（判断对错）【答案】×．【解析】据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此解答即可．解答：解：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关，所以原题说法错误；点评：此题考查了角的概念，理解角的大小只与两边叉开的大小有关而与图形中两边的长短无关．15.凌晨三时整，分针和时针所成的角是度，是角；傍晚六时整，分针和时针所成的角是度，是角．【答案】90，直，180，平．【解析】把钟面分为12个大格，每个大格对应的圆心角是：360°÷12=30°，3时整，整时针和分针相差3个大格，分针和时针所成的角是：30°×3=90°，是直角；6时整时针和分针相差6个大格，分针和时针所成的角是：30°×6=180°；根据平角的定义，它是一个平角．解答：解：30°×3=90°，是直角；30°×6=180°，是平角；答：凌晨三时整，分针和时针所成的角是 90度，是直角；傍晚六时整，分针和时针所成的角是180度，是平角．故答案为：90，直，180，平．点评：解答本题的关键是明确时针和分针的位置和每个大格所对的角度是30度．16.如图有3条线段．（判断对错）【答案】错误．【解析】线段上点和线段数量的关系为：如果直线AB上有n个点，线段中共有n（n﹣1）÷2条线段．本图线段中共有4个点，所以图中线段共有4×（4﹣1）÷2=6（条）．解答：解：4×（4﹣1）÷2=12÷2=6（条）故答案为：错误．点评：完成本题的关健是了解线段上点的数量与线段数量的关系．17.大于90°的角都是钝角．．（判断对错）【答案】×．【解析】大于90°而小于180°的角是钝角，由此解决．解答：解：大于90°而小于180°的角是钝角，大于90°的角还有平角180°、周角360°等．故答案为：×．点评：本题利用钝角的概念求解；注意各种角的度数是多少，或取值范围是多少．18.（2015秋•城阳区校级期中）量角时，角的顶点要与量角器的重合，角的一边要与量角器的重合，而角的另一边所对量角器的度数就是这个角的大小．【答案】中心；0刻度线．【解析】测量角的度数时：第一步：点重合，量角器的中心点与顶点重合．第二步：线重合，量角器的零刻度线与角的一边重合．第三步：读度数，看角的另一边落到量角器的哪个刻度线上，这个刻度数是这个角的度数．解答：解：根据题干分析可得：量角时，角的顶点要与量角器的中心重合，角的一边要与量角器的 0刻度线重合，而角的另一边所对量角器的度数就是这个角的大小．故答案为：中心；0刻度线．点评：此题主要考查角的度量，注意正确使用量角器：角的顶点和量角器的中心点重合，0刻度线和一条边重合．19.（2015•大田县）钟面上的时针和分针在2时成角，3时成角，6时成角．【答案】锐，直，平．【解析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°．（1）2时整，时针指着2与3之间，分针指着2时针与分针之间有2个大格，是60°，是锐角．（2）当钟面上3时整，时针指着3，分针指12，时针与分针之间有3个大格是90°，是直角；（3）当钟面上6时整，时针指着6，分针指12，时针与分针之间有6个大格是180°，是平角．解答：解：钟面上的时针和分针在2时成锐角，3时成直角，6时成平角．故答案为：锐，直，平．点评：在学习角的时候，渗透了钟表的认识，及两者的共性，时针和分针在旋转过程中组成的两个特殊角．一个两针互相垂直，一个两针成一直线．20.钟面上从2时到3时，分针旋转了度．时针旋转了度．【答案】360，30．【解析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是360°÷12=30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30°，从 2到3时，分针转了一周，即360°，时针转了1个数字，即30°．解：钟面上从2时到3时，分针旋转了360 度．时针旋转了30 度．故答案为：360，30．【点评】此题是考查角的认识，关键是根据钟表的认识，明白指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转的度数．21.两个锐角相加得到的角一定是钝角．．（判断对错）【答案】×【解析】依据锐角和钝角的定义及分类就可作出正确的判断．解：锐角是大于0度而小于90度的角，钝角是大于90度且小于180度的角，所以两个锐角的不一定组成钝角，还可能是锐角和直角；所以“两个锐角相加得到的角一定是钝角”的说法是错误的．故答案为：×．【点评】弄清楚锐角和钝角的概念是解答本题的关键．22.已知∠1﹢∠2=120°，∠2﹢∠3=150°，∠1﹢∠2+∠3=180°．求∠1，∠2，∠3的度数（写出过程）．【答案】∠1等于30°，∠2等于90°，3等于60°【解析】根据∠1﹢∠2+∠3=180°，∠1﹢∠2=120°，用180°减去120°，即可求出∠3的度数，又因为∠2﹢∠3=150°，再用180°减去150°，即可求出∠1的度数，再用120°减去∠1，即可求出∠2的度数，解答即可．解：因为∠1﹢∠2=120°，∠1﹢∠2+∠3=180°所以∠3=180°﹣120°=60°又因为∠1﹢∠2+∠3=180°，∠2﹢∠3=150°所以∠1=180°﹣150°=30°又因为∠2﹢∠3=150°所以∠2=150°﹣∠3=150°﹣60°=90°答：∠1等于30°，∠2等于90°，3等于60°．【点评】本题考查了学生利用减法的意义解决实际问题的能力．23.钟面上时整和时整，时针和分针形成较小的夹角是120度．【答案】4、8．【解析】利用钟表表盘的特征进行分析：钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，即一个大格是30°，当钟面上4时或8时整，时针和分针之间的较小角相差4个大格，是120度，据此解答．解：因为，钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，即一个大格是30°，所以，钟面上4或8整，时针和分针的较小夹角是120度．故答案为：4、8．【点评】本题考查了钟表时针与分针的夹角度数的计算和运用角的分类及各种角的特点，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．24.用一副三角板以A点为顶点画一个105的角．（保留作图痕迹）【答案】【解析】显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，45°+60°=105°；【点评】本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．25.3时整，钟面上时针和分针所成的角是角，6时整，时针和分针所成的角是角，12时整，时针和分针所成的角是角．【答案】直；平；周．【解析】根据钟表钟面的特征，即钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，利用钟表表盘的特征解答．解：3点整，时针指向3，分针指向12．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，所以3时整分针与时针的夹角正好是90度，也就是直角；6点整，时针指向6，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×6=180°，是平角；12点整，时针指向12，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×12=360°，是周角；故答案为：直；平；周．【点评】先结合图形，确定时针和分针的位置，再进一步求其度数．26.把一个钝角分成两个角，其中一个是直角，另一个是角．【答案】锐【解析】根据锐角、钝角和直角的定义：大于0度小于90度的角叫做锐角；等于90度的角叫做直角；大于90度小于180度的角叫做钝角；因为90°＜钝角＜180°，一个钝角分成两个角，如果其中一个是直角，那么另一个角一定是锐角；据此判断．解：把一个钝角分成两个角，如果其中一个是直角，那么另一个角一定是锐角；故答案为：锐．【点评】此题应根据锐角、直角、钝角的含义进行分析、解答．27.一个角的两条边越长，这个角就越大．．（判断对错）【答案】×【解析】依据角的定义就可填出正确答案．解：角的大小和边长无关．故答案为：×．【点评】此题主要考查角的定义．28.零晨4点整时，时针和分针所夹的最小的角是．【答案】120°【解析】零晨4时的时候分针和时针之间的格子是20个，每个格子对应的圆心角是360°÷60，据此解答．解：360°÷60×20=6°×20=120°答：时针和分针所夹的最小的角是120°．故答案为：120°【点评】本题考查了学生钟面上时针和分针形成夹角知识的掌握．29.如图，已知∠1=30°，那么∠2= ，∠3= ．【答案】150°，30°【解析】根据平角的定义依次求出∠2、∠3的度数．解：∠2=180°﹣30°=150°∠3=180°﹣150°=30°故答案为：150°，30°．【点评】本题关键是熟练掌握平角等于180°的知识点．30.3时整，时针和分针成角，是度；6时整，时针和分针成角，是度．【答案】直；90；平；180【解析】结合实际，时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，所以，3点整，时针指向3，分针指向12，所以3时整分针与时针的夹角正好是3×30°=90°，6点整，时针指向6，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×6=180°，据此解答．解：3点整，时针指向3，分针指向12．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，所以3时整分针与时针的夹角正好是90度，也就是直角；6点整，时针指向6，分针指向12，每相邻两个数字之间的夹角为30°，则其夹角为30°×6=180°，为平角；故答案为：直；90；平；180．【点评】先结合图形，确定时针和分针的位置，再进一步求其度数．。
四年级数学线和角试题答案及解析
四年级数学线和角试题答案及解析1.角的大小与角两边的无关，与角的有关．【答案】长短、两边叉开的大小【解析】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此解答即可．解答：解：根据角的含义可知：的大小与角两边的长短无关，与角的两边叉开的大小有关．故答案为：长短、两边叉开的大小．点评：此题考查了角的含义．2.（1）如图1，已知∠2=135°，∠1=．（2）如图2，已知∠2=90°，∠3=55°，∠1=；【答案】（1）45°；（2）35°【解析】（1）根据平角的定义可知：平角等于180°，用180°减去∠2的度数，即可求出∠1的度数，解答即可；（2）用180°减去∠2的度数，再减去∠3的度数，即可求出∠1的度数，列式解答即可．解答：解：（1）180°﹣135°=45°答：∠1等于45度．（2）180°﹣90°﹣55°=90°﹣55°=35°答：∠1等于35度．故答案为：（1）45°；（2）35°．点评：掌握平角等于180°是解题的关键．3.画一个105°的角．【答案】【解析】①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；②对准量角器105°的刻度线点一个点（找点）；③把点和射线端点连接，然后标出角的度数．解答：解：画角如下：点评：考查了画指定度数的角，步骤为：A．两重合（点点重合、线线重合）；B．找点；C．连线．4.三个同样大小的角正好组成一个平角，每个角是( )A、30°B、60°C、90°【答案】B【解析】180度的角叫做平角，小于90度的角叫做锐角，再据题意即可求出每个角的度数即可．解：180°÷3=60°，故选：B．5.已知∠1与36°的和是一个直角，∠1= 度，【答案】54【解析】直角等于90°，用90°减去36°即为∠1的度数．6.小强画了一条（）长5厘米。
四年级数学上册第二单元《线与角》知识点归纳及练习
第二单元《线与角》知识点归纳及练习线的认识1、认识直线、线段与射线，会用字母正确读出直线、线段和射线。
直线：可以向两端无限延伸；没有端点。
线段:不能向两端无限延伸；有两个端点。
射线：可以向一端无限延伸；有一个端点。
（射线只有一种读法，从端点读起）1、画直线。
过一点可画无数条直线；过两点能画一条直线；过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。
若明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。
（两点之间线段最短）直线、射线可以无限延长。
因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。
如：直线长4厘米。
是错误的。
只有线段才能有具体的长度。
2、简单图形中的线段1）从基本线段数起。
2）以某一点为左端点数起。
同一条直线上线段的条数级射线的条数都与直线上的点有关。
线段数=点数×（点数-1）÷2，射线数=点数×2例题：某次列车，从沈阳至长春的铁路段沿线有个5个站点（包含沈阳、长春），铁路局需要为这几个站点共需要准备多少种车票？共有多少种不同的票价？（提示：铁路车票是往返的。
）练习题：1、下图中有直线，条射线，条线段。
2、往返南京和上海之间的列车，除了起始站和终点外，还有4个停靠站点，需要几种车票？会有多少种不同的票价？3、探讨几种回家的路：小明到小红家有4条路可以走，小红家到公园有3条路可以走，小明经过小红家到公园，一共有几种不同的走法呢？平移与平行1、感受平移前后的位置关系——平行。
在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行线的画法。
（1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。
（2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。
（3）沿一条直角边在画出另一条直线。
3、能够借助实物，平面图形或立体图形，寻找出图中的平行线。
用数学符号表示两条直线的平行关系。
如：AB∥CD。
平行符号“∥”，读作平行于。
中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)
②直线的表示方法：如图 “直线I ”.记作“直线AB ”或“直线BA ” ;I 记作*性n —m 詡点n 定一条直観 I鞭斥方it| Mt 卜一M 性质 4 两点之间、红段最短 I -_ I IL—— 一 —_ _T 蟻我的中点| -』线駁的倒独及比较 __________________ 一宦丈一：射线 ---- - -------------- 」一—［襄币方法一技法透析i •与直线、射线、线段有关的知识⑴直线： ①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无 限延伸的.③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线.⑵射线：① 射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点•射线向一方无 限延伸.考点图解 线段与角+两点的却离-*|连播两虫间线股的检度州这两点的护离*■甬平井蛾*方惊驚•性质 -------- W 冏甫（或專如）的余甬帕尋»定丈-性质HMfn ＜或等痢）的补角押尊*i 宦文直线*线段*射线•----- ■ --- ------------------ ----------②射线的表示方法：如图* 甘记作“射线AB ”；I记作射线I，注意必须把表示端点的字母写在前面.(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸.②线段的表示方法：如图•记求“线段AB ”或“线段BA ”或“线段a”.③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短•即两点之间，线段最短.⑷直线、射线、线段的区别与联系.①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分.②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸.②“连接AB ”的意义就是画出以A、B为端点的线段.③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延I IJ if -长. 延长BA是指按由B向A的方向延长.(也可说反向延长AB)⑹线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小.(7) 画一条线段等于已知线段，女口：已知线段a,画一条线段AB = a,有两种画法：①先画射线AC ,再在射线AC上截取AB = a.②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可.(8) 线段的中点及等分点的概念①如图①点0把线段1 然有A0 = 0B = -AB2 (或AB = 2A0 = 20B)②如图②点0i, 02把线段AB分成相等的三条线段A0i = 0i02= 02B,则点0i, 02叫做1线段AB 的三等分点，显然有：A0i = 0i02= 02B =一AB(或AB = 3A0 ,= 30I02= 302B) 3③如图③，点0仆02, 03把线段AB分成相等的四条线段，则点0i, 02, 03叫做线段1AB 的四等分点，显然有：A01 = 0102= 0203= 03B =—AB(或AB = 4A01= 40102= 402034=403B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 2.与角有关的知识(1) 角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形, 线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.(2) 角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间.如图①，记作/ A0B (或/ B0A );②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作/ 0;③可以用一个小写希腊字母(如a伙丫等)表示，如图②/ B0C记作/ a；④用一个阿拉伯数字表示如图②/又可以看成是一条射①AOC记作/ 1.(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角.②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角.③直角：等于90°的角叫直角.④锐角：小于直角的角叫锐角.⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角.(4) 角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°= 60', 1' = 60".②借助三角尺和量角器画角.(5) 角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：/ A0C =/ A0B + Z B0C，/ A0B = / A0C -Z B0C②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若Z 1 = Z 2，则0C是Z A0B的平分线，此AB分成相等的两条线段，A0与0B，点0叫线段AB的中点，显1时有/ 1 = / 2 = / AOB (或/ AOB = 2 / 1 = 2/ 2).2同理，还有角的三等分线、四等分线等.(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°,那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180° , 那么这两个角互为补角.②性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角•具体表示时•是南(或北)在先，再说偏东(或偏西)3•钟表上有关角的问题(1) 钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°;(2) 秒针每分钟转过360°,分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°.(3) 时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______________ 个，最多为_________ 个.【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论.①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1 + 5 =6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为 1 + 4 + 5=10个，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1 + 2+ 3+ 4+ 5= 丄卫一5= 15(个)2【规范解答】分别填1个，15个.(1) 本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多1为1 + 2+ 3+^+( n+ 1)= - n (n —1)个交点；2(2) 一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平1面分成一(n + 1) n+ 1个互不重叠的部分.2(3) —般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为( n—1)1+ (n —2)+…+ 2+ 1= ?n (n —1)条；共有2n条不同的射线.【同类拓展】1•如图' * * ,数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？令小则别为AC.EB 的中点.A MC= y AC- 考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2: 3: 4: 5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN = 42,求PQ的长.【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长.【规范解答】令AC=2X,则CD=3z<DE=4x.EB-5.r.Jt 别为AUEB 的中点匸皿=非0X M N =MC -F CD+ /)E+E.V= 42 A 3x + 4TT= 42H 又几Q分别为CD.DE的中点PD—-J-CD— -|-jr~6,DQ—4-DE"*2J™8」• PQ= FD+ 0Q= 6 + B=14【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化•本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题.【同类拓展】 2 •已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a+ b + c= 7cm，求a、b、c的长..4 考点3角的个数及角的度数的计算-.例3 如图已知0A、OC是/ AOD内部的两条射线，0M 平分/ AOB , ON 平分/ COD .⑴若/ AOD = 70°,/ MON = 50° 求/ BOC 的大小；(2)若/ AOD = a；/ MON = 3,求/ BOC的大小(用含a B的式子表示).利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出/ AOD , / MON与/ BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含 a 3的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小.【规范解答】< I)AOD = Z AOM 卜Z MON + Z NOD, Z AOD = 70* 厶MON = 50* :* ZAOM +【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数 化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条 件，适当转换.(2) —般地，同一平面内，在平角/ AOB 的内部引以O 为端点的(n — 1)条射线，则_ , , 1图中共有：n +( n — 1) + ( n — 2)+…+ 3+ 2+ 1 = n (n + 1)个小于平角的角.2 【同类拓展】3.如图，/ AOB = 100° , OM 平分/ AOC ,ON 平分/ BOC ，则/ MON = _________ .考点4钟表上有关的角度问题 例4时钟在下午4点至5点的什么时刻：分针和时针成一条直线？ (3)分针和时针成45° 【切题技巧】4点整时针已转过4大格， 1120°,若设所需时间为 x 分钟，则有6x — x2分针之间的角度为1200+ 180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于 120°—45°(时针在前)或120 ° + 45 ° (分针在前)时，两针成 45°角.【规范解答】设斫需时间在卜午I 点神后-r 分钟*则］ a(Dfij —yx —120,M x*21 T7＜分钟hyx= 12O+lSO t JU x»54 A ＜分神“《3)分两种悄况讨论［①淄时针在分针冊面 灯时，有牡1*丁=］加一 45M—F3亓4钟卄②当时卄左分汁JSlftl 卅时用肚一如一120十45・"=30(分押八答：F 午4点21晋分钟时.分钟和时针"下平4点54鲁分钟时.(1)分针和时针重合？角？每大格30 °,这时可看成时针在分针前面的值等于1200时，两针就重合；当时针与z NOD=ZA<^-^MUX 1 = 70*-SO' = 20D . x OM 平分/AOS,ON ^ZCOUAZAtJM 边 ^MOB, ZD()N = ZCOV :* ^MOB + Z CON - ZAOM + Z NOD =狩只 N MON 乂ZBfXW+ZBOC+ZODAr A Z B(X?= /MON- Z tiOM-^.CON= 50*- 20*=30*, (对设VOM 平分Z ：A ｛出.ON 平 <^ZCOD.A/MOB=ZA0M- yZACM +Z£X )N-yZCW=ZCON,AZAOM+ZWN=y (Z^OB+ZaOP>代+ ^—力乂戸一工化工=2旷仪即乙昭：=2旷i时针与分针成一条直 线，下午4点13活分帥我4点帥分钟时，分针和时升成吒佈【借题发挥】 钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格,60小格，每个大格为30。
线与角(习题及答案)
线与角（习题）巩固练习1. 关于直线、射线、线段的描述正确的是（ ）A ．直线最长，线段最短B ．射线是直线长度的一半C ．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点D ．直线、射线及线段的长度都不确定 2. 下列说法正确的是（ ）A ．小于平角的角可分为锐角和钝角两类B ．两条射线组成的图形叫做角C ．射线就是直线D ．两点之间，线段最短3. 如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，那么图中共有（ ）条射线．A ．6B ．7C ．8D ．94. 给出以下四个语句：①如果线段AB =BC ，那么B 是线段AC 的中点； ②线段和射线都可看作直线上的一部分； ③大于直角的角是钝角；④如图，∠ABD 也可用∠B 表示． 其中正确的结论有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个5. 如图，∠AOB 为平角，12AOC BOC ∠=∠，则∠BOC 的度数是（ ） A ．100°B ．135°C ．120°D ．60°AOCB6. 如图，用不同的方法表示图中同一个角，并填入表格：ACDDCBAB CD E 123αβAB①②③④⑤第6题图第7题图7. 如图，从A 地到B 地共有五条路，为尽快到达目的地，小红应选择第_____条路，用数学知识解释为_________________． 8. 下列说法中，正确的序号有______________．①射线AB 和射线BA 是同一条射线； ②延长射线MN 到C ；③延长线段MN 到A ，使NA =2MN ； ④连接两点的线段长度叫做两点间的距离． 9. 如图，A ，B ，C ，D ，E 是直线l 上的五个点，则ABC DEl（1）BD =CD +_________；（2）CE =______+_______；（3）BE =BC +______+DE ；（4）BD =AD -_____=BE -______．10. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠COE 是直角，∠1=57°，则∠2=___________．11. 计算：23°30′=________°；78.36°=_______°______′________″；37°11′+44°49′=__________；37°11′-25°35′=___________；17°21′×5=__________；119°24′÷6=______________．12. 时钟9点40分时，时针与分针的夹角是________度．13. 如图，在同一平面内有四个点A ，B ，C ，D ，按照下列语句作出图形：①作直线AB ； ②作射线BD ； ③连接BC ；④线段AC 和线段BD 相交于点O ；A OCDE12B⑤反向延长线段BC 至E ，使BE =BC ．DCBA思考小结1. 请根据线段、射线、直线的性质填写下表：2. 将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：B CED12345【参考答案】巩固练习1. C2. D3. C4. B5. C6.7.8.③④9.（1）BC；（2）CD，DE；（3）CD；（4）AB，DE10.33°11.23.5；78，21，36；82°；11°36′；86°45′（或86.75°）；19°54′（或19.9°）12.5013.略思考小结1.略2.。
四年级上册数学一课一练2.1线的认识北师大版(2022秋)(含答案)
四年级上册数学一课一练-2.1线的认识,北师大版〔2022秋〕〔含答案〕四年级上册数学一课一练-2.1线的认识一、单项选择题 1.过两点可以画出〔〕条直线。
A. 一条B. 两条C. 三条D. 无数条 2. 以下说法正确的选项是〔〕 A. 一条射线长30米B. 8个球队淘汰赛，至少要经过7场比赛才能赛出冠军C. 一个三角形三条边分别为3cm、9cm、5cmD. 所有的偶数都是合数 3.把线段向一端无限延长，就得到一条〔〕A. 线B. 线段C. 射线D. 直线 4.下面各说法中．错误的选项是〔〕 A. 直线没有端点 B.钝角总比锐角大 C.平角是一条直线二、判断题 5.线段可以量出长度。
6.火眼金睛辨对错．直线能测量长度． 7.射线就是周角，直线也就是平角。
〔〕 8.一条射线长50米________．〔判断对错〕三、填空题 9.量一量下面各角的度数，再写出它们的名称． ________________ 10.经过两点能画________条直线，经过一点能画________条直线． 11.过一点可以画________条直线；过两点可以画________条直线；线段有________个端点． 12.填一填．________ ________ ________ 四、解答题13.填一填． 14.你知道吗？经过每两点都能画一条直线，假如有3个点最多能画几条直线？4个点、5个点……呢？画一画，数一数，再填表．你能找到其中的规律吗？五、综合题 15.想一想，断一断．〔对的画“√”，错的画“×”．〕〔1〕两点之间的线段间隔最短．________〔2〕一条直线长100米．________ 〔3〕过两点只能画一条直线．________．参考答案一、单项选择题 1.【答案】 A 【解析】【解答】过两点可以画出一条直线. 故答案为：A. 【分析^p 】根据对直线的认识可知，过两点可以画出一条直线，据此解答. 2.【答案】 B 【解析】【解答】解：A、射线不能计算长度，所以题干的说法是错误的；B、由于是淘汰赛比赛的场次最少，最后留下的冠军只有一个，所以需要淘汰另外7个队，所以致少赛7场，所以题干的说法是正确的；C、3+5＜9，所以题干的说法是错误的；D、偶数是能被2整除的数，合数是除了1和它本身以外还有别的约数，2只有1和它本身两个约数，2是偶数但不是合数，所以题干的说法是错误的．应选：B．【分析^p 】〔1〕射线只有一个端点，可以向一方无限延长，据此判断即可；〔2〕由于是淘汰赛比赛的场次最少，最后留下的冠军只有一个，所以需要淘汰另外7个队，所以致少赛7场；〔3〕根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进展解答即可；〔4〕明确偶数和合数的定义，根据它们的定义即可解答． 3.【答案】 C 【解析】【解答】解：根据射线的特征可知，把线段向一端无限延长，就得到一条射线. 故答案为：C 【分析^p 】线段有两个端点，直线没有端点，射线有一个端点；把线段向两端无限延长就成了一条直线，向一端无限延长就成了一条射线. 4.【答案】 C 【解析】【解答】选项A，直线没有端点，此说法正确；选项B，钝角总比锐角大，此说法正确；选项C，平角是一条直线，此说法错误，应该说：平角的两边成一条直线. 故答案为：C. 【分析^p 】线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，长度无限；直线没有端点，长度无限；：0°＜锐角＜90°，90°＜钝角＜180°，平角=180°，平角的两边成一条直线. 二、判断题 5.【答案】正确【解析】【解答】解：线段可以量出长度，原题说法正确。
【北师大版】福州市四年级上册-数学第二单元线与角·线的认识附答案
第二单元线与角北师大课标版四年级（上）·数学线的认识一、下面哪条是直线?哪条是线段?哪条是射线二、下面两组线段一样长吗1.2.一、数一数下面的图形各是由几条线段围成的二、判断(对的打“ ”,错的打“✕”)1.一条射线长8厘米。
()2.手电筒发出的光线可近似看作是射线。
()3.直线比线段长。
()4.过一点可以画无数条直线。
()5.直线是可以量出长度的。
()三、画出下列长度的线段1.3厘米2.7.5厘米3.0.12米4.10厘米一、A 、B 两点间的连线中,哪条最短?二、在射线上截取一段6厘米5毫米长的线段。
三、以A 、B 为端点画一条线段,两条射线。
A、B 这两点是否在某一条直线上?ABCDE F()条()条()条A BCDAFEDCBAB①②③④FABCDE··AB段?思路导航:我们可以采用以线段左端点分类数数的方法。
以A 点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF5条;以B 点为左端点的线段有BC、BD、BE、BF 4条;以C点为左端点的线段有CD、CE、CF 3条;以D 点为左端点的线段有DE、DF 2条;以E 点为左端点的线段有EF 1条。
所以共有线段:5+4+3+2+1=15(条)还可以这样想:把AB、BC、CD、DE、EF 看作基本线段。
则由一条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE、EF 5条;由两条基本线段构成的线段有AC、BD、CE、DF4条;由三条基本线段构成的线段有AD、BE、CF 3条;由四条基本线段构成的线段有AE、BF 2条;由五条基本线段构成的线段有AF 1条。
所以共有线段:5+4+3+2+1=15(条)ADBCEF参考答案我会做一、4,6,6二、1.✕ 2. 3.✕ 4. 5.✕我爱做一、②。
沪教版六年级下册-线段与角的概念,带答案
1．掌握用尺规画一条线段等于已知线段，了解一些基本的画图语句；2．掌握用直尺、圆规作线段的和、差、倍，掌握用度量法求作线段的中点，了解如何用直尺圆规作线段中点；3．掌握角的四种表示方法，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上．（此环节设计时间在10—15分钟）➢直线、射线、线段间的区别：端点个数延伸情况能否延长能否比较大小直线0 向两方延伸否否射线 1 向一方延伸可，反向延长否线段 2 不能延伸可，两向延长能➢线段的表示方法：（1）用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点，记作线段AB；（2）用一个小写英文字母，如a，记作线段a。
➢线段的大小比较方法：（1）度量法，用尺测量；（2）叠合法，将他们移到一起，把一端对齐，便可直接比较。
➢连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，两点之间，线段最短。
➢尺规作线段AB的中点C：（1）以点A为圆心，以大于12AB的长a为半径作弧，以点B为圆心，以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、点F；（2）作直线EF，交线段AB于点C。
点C就是所求的线段AB的中点。
➢角的定义：（1）角是具有公共端点的两条射线组成的图形；（2）角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
➢ 角的表示方法：（1）用一个角的符号∠，加上三个大写英文字母表示．例如，∠ABC 、∠XYZ ； （2）用一个角的符号∠，加上表示顶点的一个大写字母表示．例如，∠A 、∠B ； （3）用一个角的符号∠，加上一个希腊字母表示．例如，∠α、∠β； （4）用一个角的符号∠，加上一个数字表示．例如，∠1、∠21．经过一点，有________条直线；经过两点有_______条直线。
2．如图，图中共有_________条线段， 有_________条射线， 有_________条直线。
3．线段AB ＝8，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，A 、D 两点间的距离是_________。
部编数学七年级上册第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算(解析版)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_____________条直线；图3共有_____________条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA ）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3）(1)2n n - （4）190 【解析】（1）2；2；2；3；（2）6；10；（3）()12n n -（4）当n=20时，()12n n -=20201)1902´-=（（场）.故一共进行了190场比赛.方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．巩固练习1．（2019·河南许昌·）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．【答案】（1）10，16；（2）12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）56【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点；4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+(n ﹣1)＝12n (n ﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n +1)＝1+12n (n +1)；故答案为：12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）当n ＝10时，()()11111101015622++=+´´+=n n （块），故答案为：562．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？n 条直线呢？【答案】10个交点；()12n n -个.【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；第n 条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝()12n n -个交点．3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【答案】(1)10,16;(2)()12n n -,[1＋()12n n +]【解析】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n 条直线最多有12n （n-1）个交点．一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n 条时比原来多了n 部分．因为n=1，a 1=1+1，n=2，a 2=a 1+2，n=3，a 3=a 2+3，n=4，a 4=a 3+4，…n=n ，a n =a n -1+n ，以上式子相加整理得，a n=1+1+2+3+…+n=1+()12n n+．当n=5时，1+()12n n+=16．4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.【答案】（1）6；（2）(1)2m m-；（3）28【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；(2)()1.2m m-理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，∴2x =m +m +…+m,(m −1)个m ,(1)2m m x -\=； (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行()881282´-=场比赛.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B ，C ，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，取BE 中点F ，若BD ＝6，BC ＝4，求CF 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF 的值为1【解析】解：如图所示，（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，∵BE ＝BD ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE ﹣BC ＝2∵F 是BE 的中点，∴BF ＝12BE ＝162´＝3∴CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣3＝1．答：CF 的值为1．方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段AB 的长为2.8cm ．（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点C 在线段BA 的延长线上，且CA AB =；（2）在上题中，如果在线段BC 上有一点M ，且线段AM 、BM 长度之比为1:3，求线段CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）3.5cm 或1.4xcm【解析】（1）反向延长BA ，以点A 为圆心，AB 为半径作圆交BA 的延长线于点C ，则线段AC 即为所求;（2）当M 在线段AB 上时，∵ 2.8cm AB =,:1:3AM BM =，∴0.7cm AM =.∵CA AB =，∴ 3.5cm CM CA AM =+=．当M 在线段CA 上时，∵ 2.8cm AB =，:1:3AM BM =，∴ 1.4cm AM =.∵CA AB =，∴ 1.4cm CM CA AM =-=．2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB ，（1）延长线段AB 到C ，使BC ＝a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB ＝5，BC ＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．【答案】（1）见解析；（2） OB 长为1．【解析】解：（1）如图：延长线段AB ，在AB 的延长线上截取BC ＝a ．（2）∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝8，∵点O 是线段AC 的中点，∴AO ＝CO ＝4，∴BO ＝AB ﹣AO ＝5﹣4＝1，∴OB 长为1．3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB .（1）根据下列语句顺次画图.① 延长线段AB 至C ，使BC=3AB ，② 画出线段AC 的中点D .（2）请回答：① 图中有几条线段；② 写出图中所有相等的线段.【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② ,AB BD AD CD ==.【解析】解：(1)画出图形，如图所示.(2)①图中的线段有：AB 、BD 、DC 、AD 、BC 、AC ，共6条；②相等的线段有：AB=BD ，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD ，AD=CD.4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA ，射线OA 上有点B ．（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD ，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC =a ．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若OB =12cm ，OC =5cm ，求线段OD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）19cm【解析】解：（1）如图所示：以B 为圆心，a 的长为半径画弧，交OA 于C 、D 两点（2）∵OB =12cm ，OC = 5cm ，∴ BC = OB -OC =12-5 =7cm ，∵ B 为CD 的中点，∴ BC =BD = 7cm ，∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm ．5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A 、B 、C 、D ．（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：①画直线AB ．②画射线DC ．③延长线段DA 至点E ，使AE AB =．(保留作图痕迹)④画一点P ，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．（2）在（1）中所画图形中，若2AB =cm ，1AD =cm ，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）0.5cm ．【解析】解：（1）如图，该图为所求，(2)∵AB=2cm ，AB=AE ，∴AE=2cm ，AD=1cm ，∵点F 为DE 的中点，∴EF=12DE=32cm ，∴AF=AE-EF=2-32=12cm ；∴AF=0.5cm.6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，其中AB BC ^，且12BC AB =．（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）①作射线CA ；②在线段AC 上截取CD CB =；③在线段AB 上截取AE AD =．恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点E 就称为线段AB 的“黄金分割点”．（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，E 为线段AB 上一点，如果0.618AE AB =，那么点E 为线段AB 的黄金分割点．已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台MN 上的两个黄金分割点P 和Q 处，如图，则这两位主持人之间的距离PQ 约为_________米．【答案】（1）见解析；（2）7.08【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；（2）∵点Q是MN的黄金分割点，∴MQ≈0.618MN＝18.54，∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，∵点P是MN的黄金分割点，∴NP≈0.618MN＝18.54，∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），故答案为：7.08．7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空．（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是．【答案】（1）图见解析；（2）＞；两点之间线段最短．【解析】（1）如图所示：（2）由题意，得AC＋BC＞AB理由是两点之间线段最短.考点3：动点有关的线段问题典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）13MNAB=或1．【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN ﹣AM ＝MN∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4∴13MN AB =；②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB∴MN ＝AB ＝12∴1MN AB=；综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1．方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点O 为原点，点A 对应的数为9，点B 对应的数为b ，点C 在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动．（1）当线段BC 在O 、A 两点之间移动到某一位置时恰好满足AC OB =，求此时b 的值．（2）当线段BC 在射线AO 上沿AO 方向移动到某一位置时恰好满足12AC OB AB -=，求此时b 的值．【答案】（1）b=3.5；（2）53b =或—5【解析】解：（1）线段AC 可以表示为()92b -+，根据AC=OB ，列式()92b b -+=，解得 3.5b =；（2）当B 在O 点右侧（或O 点）时，19(2)(9)2b b b -+-=-，解得53b = ，当B 在O 点左侧时，()192()(9)2b b b -+--=-，解得5b =- ，∴b 的值为53b =或5-．2．（2021·重庆开学考试）如图，P 是线段AB 上任意一点，12AB cm =，,C D 两点分别从点,P B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2/cm s ，点D 的运动速度为3/cm s ，运动时间为ts ．（1）若8AP cm =．①求运动1s 后，CD 的长；②当点D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =．（2）如果2,1t CD cm ==，试探索AP 的长．【答案】（1）①3cm ；②见解析；（2）9或11【解析】解：（1）①由题可知：212,313CP cm DB cm=´==´=8,12AP cm AB cm==Q 4PB AB AP cm\=-=2433CD CP PB DB cm\=+-=+-=②8,12AP AB ==Q 4,82BP AC t\==-43DP t\=-2434CD DP CP t t t\=+=+-=-2AC CD\=（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm=´==´=当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm=7CB CD DB cm\=+=5AC AB CB cm\=-=9AP AC CP cm\=+=当点D 在C 的左边时，如图所示：6AD AB DB cm\=-=11AP AD CD CP cm\=++=综上所述，9AP =或113．（2020·全国初一课时练习）已知A ，B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M ，N 均为数轴上的点，且OA OB <．（1）若A ，B 的位置如图所示，试化简：a b a b a b -+++-∣∣；（2）如图，若8.9a b +=，3MN =，求图中以A ，N ，O ，M ，B 这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且215MN AB =-，3a =-，若点P 为数轴上一点，且23PA AB =，试求点P 所对应的数．【答案】（1）b-a ；（2）41.6；（3）9-或3．【解析】（1）由已知得0a <，0b >．∵OA OB <，∴||||a b <，∴0a b +>，0a b -<，∴a b a b a b a b a b b a b a -+++-=--+++-=-；（2）∵8.9a b +=，∴8.9AB =，又∵3MN =，∴AN AO AM AB NO NM NB OM OB MB+++++++++()()()()AN NB AO OB AM MB AB NO OM NM=+++++++++AB AB AB AB NM NM=+++++42AB NM=+48.923=´+´41.6=；（3）∵3a =-，∴3OA =．∵M 为AB 的中点，N 为OA 的中点，∴12AM AB =，12AN OA =，∴11132222MN AM AN AB OA AB =-=-=-．又∵215MN AB =-，所以1321522AB AB -=-，解得9AB =，∴263PA AB ==．当点P 在点A 的左边时，点P 在原点的左边，9OP =，故点P 所对应的数为9-；当点P 在点A 的右边时，点P 在原点的右边，3OP =，故点P 所对应的数为3．综上，点P 所对应的数为9-或3．4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC ＝6 cm ，且BC ＝4 cm ，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；(2)在(1)题中，如果AC ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，点C 在直线AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【答案】(1)5 cm;(2)MN ＝+2a b cm.MN 的长度为线段AC ，BC 长度和的二分之一．(3)有变化．当AB 在点C同侧时，MN ＝1 cm.【解析】解：(1)∵AC =6cm ，BC =4cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，11()10522MN AC CB cm \=+=´=； (2)2a b MN +=， 直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；(3)如图，有变化，会出现两种情况：①当点C 在线段AB 上时,1()52MN AC BC cm =+=； ②当点C 在AB 或BA 的延长线上时,1()1.2MN AC BC cm =-= 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB =12cm ，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t .（1）当t =1时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（2）当t =2时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（3）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC ，请求出AP 的长；（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ =PQ ，求PQ 的长.【答案】（1）4cm ；（2）4cm ；（3）4cm ；（4）4cm 或12cm【解析】解：(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==´=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB =12cm ，所以411233PQ AQ AP AB AB AB =-=-==(cm).综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB 、a 、b ．（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①延长线段AB 到C ，使BC ＝a ；②反向延长线段AB 到D ，使AD ＝b ．（2）在（1）的条件下，如果AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE ＝2cm ．【解析】（1）①如图所示，线段BC 即为所求，②如图所示，线段AD 即为所求；（2）∵AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，∴CD ＝8+6+10＝24cm ，∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝12DC ＝12cm ，∴AE ＝DE ﹣AD ＝12﹣10＝2cm ．7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点,A B ，它们的对应数分别是,a b ，其中12a =（1）在B 左侧作线段BC AB =，在B 的右侧作线段3BD AB =（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点C 对应的数是c ，点D 对应的数是d ，且40AB =，求,c d 的值（3）在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，N 是数轴上一点，且4CN DN =，请直接写出MN 的长【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或3403【解析】（1）解：如图，线段,BC BD 为所求的线段（2）因为40,,3AB BC AB AD AB===80,80AC AD \==12,128068,128092a c d =\=-=-=+=Q ；（3）分情况讨论：①点N 在线段CD 上，由（2）得CD ＝92−（−68）＝160，点B 对应的数为12−40＝−28，∴BD ＝92−（−28）＝120，∵点M 是BD 的中点，∴点M 对应的数为92−60＝32，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝15CD ＝32，∴点N 对应的数为92−32=60，∴MN ＝60−32＝28；②点N 在线段CD 的延长线上，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝13CD ＝1603，∴点N 对应的数为92＋1603＝4363，∴MN ＝4363−32＝3403．故MN 的长为28或3403．8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从点P 、B 出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB 向左运动（点C 在线段AP 上，点D 在线段BP 上）．（1）若点C 、D 运动到任一时刻时，总有2PD AC =，请说明点P 在线段AB 上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q 是直线AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求PQ AB 的值；（3）在（1）的条件下，若点C 、D 运动5秒后，恰好有12CD AB =，此时点C 停止运动，点D 继续运动（点D 在线段PB 上），点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM PN -的值不变；②MN AB 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P 在线段AB 的13处；（2）13或1；（3）结论②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.【解析】解：（1）设运动时间为t 秒，则2,PD PB t PC AP t =-=-，由2PD AC =得22()PB t AP t -=-，即2PB AP=AP PB AB +=Q ，2AP AP AB \+=，3AP AB \=，即13AP AB =所以点P 在线段AB 的13处；（2）①如图，当点Q 在线段AB 上时，由AQ BQ PQ -=可知AQ PQ BQ =+，AQ AP PQ =+Q13PQ AP AB \== 13PQ AB \=②如图，当点Q 在线段AB 的延长线上时，AQ BQ AB -=Q ，AQ BQ PQ-=AB PQ \=1PQ AB\=综合上述，PQ AB 的值为13或1；（3）②MN AB的值不变. 由点C 、D 运动5秒可得5,5210CP BD ==´=， 如图，当点M 、N 在点P 同侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \==14CM AB \= 154PM CM CP AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=-= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；如图，当点M 、N 在点P 异侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \== 14CM AB \= 154PM CP CM AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=+= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；所以②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020·江西东湖·期末）若a Ð的度数是b Ð的度数的k 倍，则规定a Ð是b Ð的k 倍角.（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB 的所有3倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.°´=°=°；【解析】解：（1）2117'510585'10625'°.故答案为：10625'（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.∴∠BOC=4x，∵∠AOC和∠BOD互为补角，∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，即5x+7x=180°，解得：x=15°.∴∠AOD=8x=120°.方法或规律点拨此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知69AOD Ð=°，OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，()32AOB x Ð=-°，求COD Ð、AOB Ð的度数．【答案】19°，31°【解析】解：由题意得：Q OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，\()=228BOD COD x ÐÐ=+°，又Q ()32AOB x Ð=-°，\()()283269x x +°+-°=°，解得11x =，∴()11819COD Ð=+°=°，()311231AOB Ð=´-°=°．2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC ，OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ．（1）若∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，求∠MON 的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC ＝40°，只保留∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数．（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．【答案】（1）∠MON ＝60°；（2）∠MON ＝60°；（3）12MON AOB Ð=Ð．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝11804022AOCÐ=´°=°，11402022NOC BOCÐ=Ð=´°=°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝12AOCÐ，12NOC BOCÐ=Ð，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝1122AOC BOCÐ+Ð＝12AOBÐ＝11202´°＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝12∠AOC﹣12∠BOC＝12（∠AOC﹣∠BOC）＝12AOBÐ＝12×120°＝60°，综上可知12MON AOB Ð=Ð．3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB 的度数．【答案】120°【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．（1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为°；②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为°；③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为；（2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为；②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为°；③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为．【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．②∵∠COD=90°，OB平分∠COD∴∠BOC=12∠COD=45°，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【解析】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；【答案】（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝22.5°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】（1）45°；（2）∠MON=12α．（3）∠MON=12α【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=75°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=12α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（12α+30°）﹣30°=12α．（3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），∠NOC=12∠BOC=12β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣12β=α+12β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）﹣12β=12α即∠MON=12α．8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当∠AOC＝a时，∠MON等于多少度？【答案】（21）45°；（2）45°【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12×140°=70°，∠CON=12∠AOC=12×50°=25°，∴∠MON=∠COM-∠CON=70°－25°=45°；（2）当∠AOC=a时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+a，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12（90°+a），∠CON=12∠AOC=12a，∴∠MON=∠COM－∠CON=12（90°+a）－12a=45°.9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD ＝50°【解析】解：（1）①∵OD 平分∠AOC ，∠AOC =130°，∴∠AOD =∠DOC =12∠AOC =12×130°=65°，∴∠BOD =180°－∠AOD =180°－65°=115°；②∵∠DOE =90°，又∠DOC =65°，∴∠COE =∠DOE －∠DOC =90°－65°=25°，∵∠BOD =115°，∠DOE =90°，∴∠BOE =∠BOD －∠DOE =115°－90°=25°，∴∠COE =∠BOE ，即OE 平分∠BOC ；（2）若∠BOE ：∠AOE =2：7，设∠BOE =2x ，则∠AOE =7x ，又∠BOE ＋∠AOE =180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE =90°，∴∠AOD ＝90°－40°=50°.10．（2020·辽宁庄河·期末）如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点O 处，90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，OC 与OB 重合，在OD 外AOB Ð，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线（1）求MON Ð的度数；（2）如图2，若保持三角尺AOB 不动，三角尺COD 绕点逆时针旋转(060)n n <<o o 时，其他条件不变，求MON Ð的度数（提示：旋转角BOC n Ð=o ）（3）在旋转的过程中，当120AOC BOD Ð+Ð=o 时，直接写出BOC Ð的值．【答案】（1）75o ；（2）75º；（3）15°．【解析】（1）∵90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=45º，∠BON=12∠BOD=30º，∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；（2）∵90BOA Ð=°，60COD Ð=o ，BOC n Ð=o ，∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，∵射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=12(90º-nº)= 45º-12nº，∠BON=12∠BOD=12(60º-nº)=30º-12nº，∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-12nº+30º-12nº+ nº=75º；（3）由叠合可得2BOC AOC AOB COD BOD +Ð=Ð+ÐÐ+Ð=150 º，∴BOC Ð=12(150 º-120 º)=15 º.11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使110BOC Ð=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处（30OMN Ð=°），一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð，求BON Ð的度数；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，求t 的值；将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图3，使一边ON 在AOC Ð的内部，请探究AOM NOC Ð-Ð的值．【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．【解析】解：（1）如图2中，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠MOB ，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；（2）（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当当ON 的反向延长线平分∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11；②如图3，当射线ON 平分∠AOC 时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47，综上所述，t=11s 或47s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；故答案为：11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，∴∠AOM=90°-∠AON ，∠NOC=70°-∠AON ，∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON ）-（70°-∠AON ）=20°，∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：问题情境：如图，已知∠AOB ＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC ＜180°．OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．特例探究：（1）如图1，①当∠BOC ＝40°时，∠MON 的度数为°；②当∠BOC ＜90°时，求∠MON 的度数；猜想拓广：（2）若∠AOB ＝α（0＜α＜90°），①当∠AOB ＋∠BOC ＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α的代数式表示）②当∠AOB ＋∠BOC ＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α的代数式表示）【答案】（1）①45；②45°；（2）①12a ②画图见解析；11802a °-°．【解析】（1）①90,40,AOB BOC Ð=°Ð=°Q9040130,AOC \Ð=°+°=°。
考点01 线段与角(解析版)
考点一线段与角知识点整合一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例引领AB BC CA的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（）1．直线,,AB BC CA两两相交A．点A在直线AC上B．直线,,AB AC的交点D．直线BC经过点AC．点A是直线,【答案】D【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，根据直线与点的位置关系即可求解．【详解】解：A.点A在直线AC上是正确的，故选项A不符合题意；AB BC CA两两相交是正确的，故选项B不符合题意；B.直线,,C.点A是直线AC，AB的交点，故选项C不符合题意；D.直线BC 不经过点A ，故选项D 符合题意，故答选：D ．2．已知点A B C D 、、、是同一条直线上依次排列的四个不同的点，那么到点A B C D 、、、的距离之和最小的点（）A ．只有线段AD 的中点B ．只有点B 或点CC ．是直线AD 外一点D ．有无数个【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离，具体到本题则为线段的性质，即两点之间线段距离最短即可求解，根据题意可知，点到四个点的距离的和最小的点有无数多个．【详解】解：由两点之间线段最短可知，到A B C D 、、、的距离之和最小的点有无数多个，但此点在直线上．故选：D ．3．如图，点C 为线段AB 上一点，若7AB =，3BC =，则AC =（）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键．根据线段AB 是由AC 与BC 组成求解即可．【详解】∵点C 在线段AB 上，7AB =，3BC =，∴4AC AB BC =-=．故选：D ．变式拓展【答案】19，AQ AP PQ-=AQ PQ BQ=+=-，BQ BP PQ三、解答题5．请根据要求作图：(1)在图中作线段BC CD，；(2)在图中作射线DA；A B C D四个点的距离之和最小．(3)在图中取一点P，使点P到,,,【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了直线，射线，线段的作图，以及两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键．（1）根据线段的特征作图即可；（2）根据射线的特征作图即可；（2）根据两点之间线段最短解答即可．6．【问题探究】（1）如图，点C，D均在线段则线段AC的长为cm．【方法迁移】（2）已知点C，D均在线段AB的长为cm．（用含,a b的代数式表示）【学以致用】（3）已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有n人()<，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生n mAB表示七年级某班人数，AD表示七年级某班男生人数，考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例引领1．如图，甲从A 点出发向北偏西55︒方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西25︒方向走到点C ，则BAC ∠的度数是（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角，根据方位角的描述进行求解即可．【详解】解：∵甲从A 点出发向北偏西55︒方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西25︒方向走到点C ，∴1805525100BAC =︒-︒-︒=︒∠，故选：C ．2．M ，N ，P ，Q ，O 五点在平面上的位置如图所示，则位于点O 南偏西10︒方向上的点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】C【分析】本题主要考查了方位角．根据方向角的定义解答即可．【详解】解：A 、点M 在点O 北偏东30︒方向上，故本选项不符合题意；B 、点N 在点O 北偏西65︒方向上，故本选项不符合题意；C 、点P 在点O 南偏西908010︒-︒=︒方向上，故本选项符合题意；D 、点Q 在点O 南偏东40︒方向上，故本选项不符合题意；故选：C3．某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为110︒，下午7点前回家发现两指针的夹角仍为110︒，则他外出的时间为（）A ．30minB ．35minC ．40minD ．45min 【答案】C【分析】本题考查钟面角，一元一次方程的实际应用．根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度；设他外出的时间为x 分钟，则这段时间分针走的角度是6x ，时针走的角度是0.5x ；由于外出时，根据题意，得到分针走的角度=110度+110度+时针走的角度．列出方程进行求解即可．【详解】解：设他外出的时间为x 分钟，由题意，得： 61101100.5x x =++，解得：40x =．答；他外出的时间是40分钟．故选：C ．4．将一副三角尺按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中1∠的大小为（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得3230∠=∠=︒，根据1180345∠=︒-∠-︒即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：3230∠=∠=︒∴1180345105∠=︒-∠-︒=︒故选：B5．一副三角板按如图所示的方式摆放，则1∠的补角的度数为（）A ．135︒B ．145︒C ．155︒D ．165︒【答案】D 【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键．先根据直角三角板的度数求得115∠=︒，然后再求1∠补角即可．【详解】解：由图形可得：1604515∠=︒-︒=︒，∴1∠的补角的度数为：18015165︒-︒=︒．故选：D ．变式拓展三、解答题9．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，OM ，ON ，ON 始终在OM 的右侧，112BOC ∠=︒，MON α∠=．(1)如图1，当70α=︒，OM 平分BOC ∠时，求NOB ∠的度数；②当点N '在OH 的左侧时，HON ∠563026N OB '∴∠=︒-︒=︒，NON ∴∠166441.5t ∴=︒÷︒=；综上，旋转一共用了26.5s 或41.5s ；（3）解：n 为54.4︒或144︒．当090n <<°°时，如图，BOF n ∠= ，180AOF n ∴∠=︒-，2FOA AOM ∠=∠ ，119022AOM AOF n ∴∠=∠=︒-，90MON ∠=︒ ，BOF n ∠= ，180AOF n ∴∠=︒-，2FOA AOM ∠=∠ ，119022AOM AOF n ∴∠=∠=︒-，90MON ∠=︒ ，∴15030120BOC ∠=︒-︒=︒，∴012t ≤≤；①如图：∴30DOD t '∠=︒，10COC t '∠=︒，而120C OD ''∠=︒，∴302010120t t +-=，解得：5t =；②如图：∴10COC t '∠=︒，36030DOD t '∠=︒-︒，而120C OD ''∠=︒，∴360301020120t t -+-=，解得：11t =；综上：当5t =或11t =时，120COD ∠=︒．11．已知120AOB ∠=︒，射线OC 在AOB ∠的内部，射线OM 是AOC ∠靠近OA 的三等分线，射线ON 是BOC ∠靠近OB 的三等分线．(1)若OC 平分AOB ∠，求MON ∠的度数；(2)小明说：当射线OC 绕点O 在AOB ∠的内部旋转时，MON ∠的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；(3)若OM 、ON 、OA 、OB 中有两条直线互相垂直，请直接写出AOC ∠所有可能的值．【答案】(1)80︒(2)正确，理由见解析(3)30︒或90︒∵120AOB ∠=︒，OA ON ⊥∴BON AOB AON ∠=∠-∠∵射线ON 是BOC ∠的三等分线，∴3330BOC BON ∠=∠=⨯∵120AOB ∠=︒，OM OB ⊥∴AOM AOB BOM ∠=∠-∠∵射线OM 是AOC ∠的三等分线，∴3330AOC AOM ∠=∠=⨯(1)若90DOE ∠=︒，求证：射线(2)若13COE EOB ∠=∠，∠【答案】(1)见解析(2)126︒。
线与角的定义与表达(通用版)(含答案)
线与角的定义与表达（通用版）试卷简介:理解线段、射线、直线、角等基本概念，知道线段、射线、直线的区别和联系，会用符号表示线段、射线、直线、角等基本图形．掌握两个基本事实．一、单选题(共17道，每道5分)1.手电筒发射出来的光线,给我们的感觉是( )A.线段B.射线C.直线D.折线答案：B解题思路：手电筒发射出光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，因此给我们的感觉是射线．故选B．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线2.下列各直线的表示方法:①直线A;②直线AB;③直线a;④直线ab,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：直线可以用一个小写字母来表示，也可以用这条直线上的两个点来表示，如下图的直线可记作“直线”，也可记作“直线AB”或“直线BA”．因此②和③是正确的．故选C．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线3.角是指( )A.由两条线段组成的图形B.由两条射线组成的图形C.由两条直线组成的图形D.由公共端点的两条射线组成的图形答案：D解题思路：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的定义4.如图所示,下列说法正确的是( )A.直线AB和直线CD是不同的直线B.射线AC和射线BC是同一条射线C.线段AB和线段BA是同一条线段D.线段BC和线段BD是同一条线段答案：C解题思路：选项A中，点A，B，C，D在一条直线上，根据两点确定一条直线，选取其中的任意两点都可以确定这条直线，因此直线AB和直线CD是同一条直线，选项A说法错误；选项B中，射线AC是以A为端点，AC为方向的射线，射线BC是以B为端点，BC为方向的射线，射线AC和射线BC端点不同，因此是不同的射线，选项B说法错误；选项C中，线段有两个端点，没有方向，因此线段AB和线段BA是同一条线段，选项C说法正确；选项D中，线段BC的端点是B和C，线段BD的端点是B和D，因此线段BC和线段BD是不同的线段，选项D说法错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线5.如图,下列说法正确的有( )①直线BA和直线AB是同一条直线②射线AC和射线AD是同一条射线③线段BD和线段DB是同一条线段④三条直线两两相交时,一定有三个交点A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：根据线段有两个端点，没有方向；射线有一个端点，有方向；直线没有端点，没有方向，可知①②③正确．三条直线两两相交时，可能交于同一点，也可能交于不同的三点，因此④说法错误，正确的有3个．故选C．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线6.下列语句正确的是( )A.画直线AB=10cmB.延长直线ABC.画射线OB=3cmD.延长线段AB到点C,使BC=AB答案：D解题思路：线段不可延伸，可以度量；射线可以向一个方向延伸，不可度量；直线可以延伸，不可度量．因此只有选项D说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线7.下列说法中,正确的是( )A.直线是射线长度的两倍B.线段AB是直线AB的一部分C.射线AB和射线BA是同一条射线D.直线、射线、线段中,线段最短答案：B解题思路：线段不可延伸，可以度量；射线可以向一个方向延伸，不可度量；直线可以延伸，不可度量．因此选项A和D说法错误．射线有端点和方向，射线AB和射线BA端点和方向都不同，因此不是同一条射线，选项C 说法错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：线段、射线、直线8.下列说法中,错误的是( )A.角是由两条具有公共端点的射线组成的B.一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角C.大于直角的角不一定是钝角D.角的两边越长,表示的角就越大答案：D解题思路：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，角的两条边是两条射线，不可度量，与角的大小没有关系．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，因此选项A和B说法正确，选项D 说法错误；根据角的分类，大于90°而小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角，因此选项C说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的分类9.下列说法中,正确的是( )①两条射线组成的图形叫做角;②角的大小与边的长短有关;③角的两边可以一样长,也可以一长一短;④角的两边是两条射线.A.①②B.②④C.②③D.③④答案：D解题思路：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，角的两条边是两条射线，画图时可以画的长一点，也可以画的短一点，与角的大小没有关系．因此③④说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的定义10.下列语句正确的是( )A.平角就是一条直线B.周角就是一条射线C.小于平角的角是钝角D.一周角等于四个直角答案：D解题思路：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．因此平角的特点是两条边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的特点是两条边重合成射线，但不能说周角是一条射线，因此选项A和B说法错误．小于平角的角是钝角、直角和锐角，因此选项C说法错误．一周角等于360°，一直角等于90°，因此一周角等于四个直角，因此选项D说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的分类11.如图,下列说法错误的是( )A.∠B也可以表示为∠ABCB.∠BAC也可以表示为∠AC.∠1也可以表示为∠CD.以C为顶点且小于180°的角有3个答案：C解题思路：角有四种表示方法：①用一个大写字母（如∠A）表示，只有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来表示这个角；②用三个大写字母（如∠AOB）表示，其中顶点字母要写在中间，否则分不清这个字母究竟表示哪个角；③用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ…）表示；④用一个数字表示（∠1，∠2…）．因此选项A和B正确，选项C错误．以C为顶点且小于180°的角有：∠1，∠ACD和∠ACB，因此选项D正确．故选C．试题难度：三颗星知识点：角的表示12.如图,下列说法中正确的是( )A.∠BAC和∠DAE不是同一个角B.∠ABC和∠ACB是同一个角C.∠ADE可以用∠D来表示D.∠ABC可以用∠B来表示答案：D解题思路：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，两条射线是角的两条边．角有四种表示方法：①用一个大写字母（如∠A）表示，只有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来表示这个角；②用三个大写字母（如∠AOB）表示，其中顶点字母要写在中间，否则分不清这个字母究竟表示哪个角；③用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ…）表示；④用一个数字表示（∠1，∠2…）．因此选项D正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的表示13.下面四个选项中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：角有四种表示方法：①用一个大写字母（如∠A）表示，只有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来表示这个角；②用三个大写字母（如∠AOB）表示，其中顶点字母要写在中间，否则分不清这个字母究竟表示哪个角；③用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ…）表示；④用一个数字表示（∠1，∠2…）．故选B．试题难度：三颗星知识点：角的表示14.如图所示,下列各选项中不能表示同一个角的是( )A.∠1和∠ABFB.∠3和∠ACFC.∠α和∠BD.∠ACE和∠2答案：C解题思路：角有四种表示方法：①用一个大写字母（如∠A）表示，只有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来表示这个角；②用三个大写字母（如∠AOB）表示，其中顶点字母要写在中间，否则分不清这个字母究竟表示哪个角；③用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ…）表示；④用一个数字表示（∠1，∠2…）．故选C．试题难度：三颗星知识点：角的表示15.如图所示,由A到B有①、②、③、④四条路线,最短的线路选②的理由是( )A.因为它是直线B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义D.两点之间,线段最短答案：D解题思路：两点之间的所有连线中，线段最短．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短16.值日生每天值完日后,总是先把每一列最前和最后的课桌摆好,然后再依次摆中间的课桌,很快就能把课桌摆得整整齐齐,他们这样做的道理是( )A.两点之间线段最短B.两点之间直线最短C.两点确定一条线段D.两点确定一条直线答案：D解题思路：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，沿着这条直线摆放就会整整齐齐．故选D．试题难度：三颗星知识点：两点确定一条直线17.下列生活现象:①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;②从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案：C解题思路：①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短。
线与线的位置关系(角的计算与命题)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：有公共顶点且两边胡为反向延长线的两个角互为______．问题2：对顶角_____．问题3：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为______．问题4：命题由______和_______组成，请举例说明．线与线的位置关系（角的计算与命题）（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为邻补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：B解题思路：邻补角的定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角互为邻补角．观察图形可知，∠BOC与∠AOC互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角，所以邻补角共2对．故选B．注意：如果两个角互为邻补角，这两个角不仅要满足和是180°，而且这两个角的边要有一条公共边，另一边互为反向延长线．试题难度：三颗星知识点：邻补角的定义2.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：由∠1与∠2互余，且∠1=35°，得，所以∠2的补角为．故选D．试题难度：三颗星知识点：补角的定义3.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：如图，∵点B，O，D在同一直线上故选C．试题难度：三颗星知识点：角的计算4.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：∵OA平分∠EOC∵∠EOC=110°∵∠BOD=∠AOC∴∠BOD=55°．故选D．试题难度：三颗星知识点：角的计算5.如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD=80°，则∠BOM 等于( )A.40°B.120°C.140°D.100°答案：C解题思路：∵OM是∠AOC的平分线∵∠AOC=∠BOD∵∠BOD=80°∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-40°=140°故选C．试题难度：三颗星知识点：角的计算6.如图，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1+∠2+∠3=( )A.90°B.120°C.180°D.360°答案：C解题思路：如图，因为∠1=∠4且∠2+∠3+∠4=180°所以∠1+∠2+∠3=180°故选C．试题难度：三颗星知识点：角的计算7.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，，则∠EOD的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵AO⊥OE∴∠AOE=90°∵∠COD为平角∴∠COD=180°∴∠AOC+∠EOD=∠COD-∠AOE=180°-90°=90°∴∠AOC=2∠EOD∴2∠EOD+∠EOD=90°∴∠EOD=30°故选A．试题难度：三颗星知识点：角的计算8.下列语句是命题的是( )A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗？C.延长线段OA到C，使OC=OAD.两直线平行，内错角相等答案：D解题思路：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．D选项中题设是两直线平行，推出的结论是内错角相等，因此D选项是命题．故选D．试题难度：三颗星知识点：命题9.下列命题是真命题的是( )A.内错角相等B.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.相等的角是对顶角答案：B解题思路：选项A，内错角是位置角，只和位置有关，和大小无关，所以不一定相等，只有当两直线平行时，内错角才相等，故选项A是假命题；选项C，如果这个点在已知直线上，就作不出满足题意的线，故选项C是假命题；选项D，由对顶角的定义，两个角是不是对顶角和它们的位置有关，和大小无关．比如∠1=∠2，∠1，∠2也可能是同位角，故选项D是假命题．故选B．试题难度：三颗星知识点：命题。
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总结反思
今天这节课我们复习了哪些方面 的知识？
你有什么收获和体会？
苏教版小学数学六年级下册 总复习
2.1 线与角的认识
知识梳理
1.线段有（ 2 ）个端点，它的长度是 （有限的）；直线有（ 0 ）个端点，它 的长度是（无限的）；射线有（ 1 ）个 端点，它的长度是（ 无限的 ）。
2.在一个平面内，（ 永不相交 ）的两条 直线互相平行。
3.直角＝（ 90 ）度，平角＝（180 ）度， 周角＝（360 ）度。 （ 小于90的 ）角是锐角 （ 大于90而小于180度的 ）角是钝角。
方法：4＋3＋2＋1＝10
试题精粹
3.某村计划从丰水河修一条水渠到村口，请帮 助村里完成下面的任务。 （1）画一画，在图上画出修这条水渠的最短 路线。 （2）量一量，填一填，这条路线的图上距离 大约是（ ）厘米。（保留整厘米数） （3）如果平均修1千米需要花4.5万元。那么 修这条水渠一共需要花（ ）万元。
典型例题
例1：以A为顶点画三角形ABC，使角
A=75度，AB=2厘米，并画出BC边上的高。
A
2厘米
750
C B
典型例题
例2：小阳家要从大街边上把自来水管
接到家中，怎样接比较节约材料？
试题精粹
1.两个相同的锐角拼在一起，不可能是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（ A ）。
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角
2.数一数，下图中有（ 10 ）个角，有 （ 10 ）条线段。