广东省深圳高级中学2017届高三(上)第一次考试数学(理)试卷(解析版).doc

2016-2017学年广东省深圳高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=e x B．y=lnx2C．y=D．y=sinx【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．【解答】解：y=，y=e x为（0，+∞）上的单调递增函数，但不是偶函数，故排除A，C；y=sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y=lnx2满足题意，故选：B．【点评】本题主要考查函奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质：单调性、奇偶性等性质，比较基础．2．函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣1，1] D．[﹣，] 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．故选B．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力．3．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．4．若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】利用回代验证法推出选项即可．【解答】解：若f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，∴x2﹣2=x2+2（x2﹣2）dx=x2+2（）=x2﹣，显然A不正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2﹣，∴x2﹣=x2+2（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，∴x2+=x2+2（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确；若f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，∴x2+2=x2+2（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确；故选：B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．5．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】解三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD ⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0∴AB=3作AD⊥BC垂足为DRt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为故选B【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题6．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】数形结合．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选A．【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．8．设147()9a-=，159()7b=，27log9c=，则a, b, c的大小顺序是（）A、b a c<<B、c a b<<C、c b a<<D、b c a<<【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016•江门模拟）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f （0）=求出φ的值；余弦函数的单调性，属于基础题．10．（2011•湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．11．（2016•湖南校级模拟）已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，为减函数，f（x）min=f（0）=0；当x＞0时，，，则时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上递增，在上递减，．其大致图象如图所示，若关于x的方程f（x）﹣m+1=0恰好有3个不相等的实数根，则，即，故选：A．【点评】本题主要考查函数根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．12．（2016•湖南模拟）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【专题】转化思想；转化法；不等式．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，以及三角形中任意两边之和大于第三边，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（2009•锦州一模）函数f（x）=，不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先分两段分别解不等式，最后所求将不等式解集合并即可【解答】解：不等式f（x）＞2⇔①或②由①得1＜x＜2，由②得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}故答案为{x|1＜x＜2或x＞}【点评】本题考查了函数与不等式的关系，特别是分段函数与不等式，解题时要分辨清楚何时求交集何时求并集，认真解不等式才可顺利解题14．（2016秋•深圳校级月考）已知，则=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知利用两角差的正弦公式展开化简，然后结合辅助角公式可求sin（），最后利用诱导公式=﹣sin（）即可求解【解答】解：∵，展开可得，=∴由辅助角公式可得sin（）=则=﹣sin（）=﹣故答案为：【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式、辅助角公式及诱导公式在三角函数的化简求值中的应用．15．（2015秋•哈尔滨校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2，b=a，则△ABC面积的最大值为2．【考点】三角形的面积公式．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面积公式可知S=a2sinC，然后化简变形求出S的最大值，注意取最大值时a的值．【解答】解：由公式c2=a2+b2﹣2abcosC和c=2，b=a得4=a2+2a2﹣2a2cosC可推出cosC=，又由公式S面积=absinC和b= a 得S=a2sinC=•=，当a2=12时，S面积取最大值2．三角形三边a+b＞c，b﹣a＜c所以得2+2＞a＞2﹣2，所以a=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算，同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有关基础知识，属于中档题．16．（2016秋•深圳校级月考）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下三个条件（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x）=（﹣2﹣x）（3）f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上公共点个数为6个．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的周期性和对称性做出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，再做出g（x）的函数图象，根据图象判断交点个数．【解答】解：∵f（x）=f（﹣2﹣x），∴f（x）的图象关于x=﹣1对称，又∵f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，做出f（x）和g（x）在[﹣3，3]上的函数图象如图所示：由图象可知当x≤0时，f（x）与g（x）的图象有4个交点，设g（x）在（1，0）处的切线斜率为k，则k=﹣＜﹣1，又g（2）=f（2）=﹣1，∴当x＞0时，f（x）与g（x）只有两个交点（1，0）和（2，﹣1）．综上，f（x）与g（x）在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题考查了分段函数的图象，函数性质的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•郑州一模）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin ∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．【解答】解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．（6分）由于AB＞AD，∴AD=3…..（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…（12分）【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）（2016•广州一模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016•蚌埠三模）设函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞2，xln（x﹣1）＞a（x﹣2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，根据二次函数图象及性质，利用△≤0，再对a 分类讨论即可求f（x）的单调区间；（Ⅱ）xln（x﹣1）＞a（x﹣2）恒成立，等价于f（x）﹣a＞0，构造辅助函数，根据（Ⅰ）讨论a的取值，判断f（x）的单调区间，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题易知函数f（x）的定义域为（1，+∞），∴，…（2分）设g（x）=x2﹣2ax+2a，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），①当△≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0，∴f'（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（3分）②当a＜0时，g（x）的对称轴x=a，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，∴g（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，设x1，x2（x1＜x2）是方程x2﹣2ax+2a=0的两个根，则x1=a﹣＞1，x2=a+，当1＜x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x1），（x2，+∞）上增函数，…（4分）当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上是减函数；…综合以上可知：当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），无单调减区间；当a＞2时，f（x）的单调递增区间为，单调减区间为；…（6分）（Ⅱ）当x＞2时，，…（7分）令h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴h（x）在（2，+∞）上增函数，∵当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，上式成立；当a＞2时，f（x）在（a﹣，a+）是减函数，∴h（x）在（2，a+）是减函数，x∈（2，a+）时，h（x）＜h（2）=0，上式不成立，综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．…（12分）【点评】本题考查利用函数的导数求函数的单调性及恒成立问题综合应用，关键是通过分类讨论得到函数的单调区间及会转化利用已证的结论解决问题，属于难题．21．（12分）（2016秋•深圳校级月考）已知函数f（x）=5+lnx，g（x）=（k∈R）．（I）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数y=g（x）的图象相切，求k的值；（II）若k∈N*，且x∈（1，+∞）时，恒有f（x）＞g（x），求k的最大值．（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（+1）=0.8814）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（I）由f（1）=5，且，f′（1）=1，利用导数的几何意义得到函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4，设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），得g′（x0）=1，g（x0）+4，由此利用导当数性质能求出k的值．（II）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立，设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1），记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=，由此利用导数性质能求出k的最大值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=5+lnx，∴f（1）=5，且，从而得到f′（1）=1．∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣5=x﹣1，即y=x+4．…（2分）设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），从而可得g′（x0）=1，g（x0）+4，又，∴，解得或．∴k的值为1或9．…（II）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立．…（6分）设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1）记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=1﹣=，∴p（x）在x∈（1，+∞）递增．又p（5）=1﹣ln5＜0，p（6）=2﹣ln6＞0，…（8分）∴p（x）在x∈（1，+∞）存在唯一的实数根m∈（5，6），使得p（m）=m﹣4﹣lnm=0，①∴当x∈（1，m）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在x∈（1，m）递减；当x∈（m，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在x∈（m，+∞）递增；所以x∈（1，+∞）时，h min=h（m）=，由①可得lnm=m﹣4，∴h（m）=，…（10分）而m∈（5，6），m+（），又h（3+2）=8，p（3+2）=2﹣1﹣ln（3+2）＞0，∴m∈（5，3+2），∴h（m）∈（，8）．又k∈N*，∴k的最大值是7．…（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•佛山二模）如图，点A，B，D，E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=2，AD=4，求DF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明=；（2）证明△EAD∽△FED，可得．即可求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC，∴∠C=∠BEC．∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED=∠BAD．∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB，∴∠EAB=∠EBA=2∠C又∠C=∠BAD，∴∠EAD=∠C，∴∠BAD=∠EAD．∴=；（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，∵∠EAD=∠FDE，∴△EAD∽△FED，∴．∵DE=2，AD=4，∴DF=1．【点评】本题考查两角相等的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015秋•石家庄校级期末）在极坐标系中，已知曲线C：ρ=sin（θ﹣），P为曲线C上的动点，定点Q（1，）．（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化简即可得到所求方程及轨迹；（Ⅱ）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值d﹣r，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=sin（θ﹣）=2（sinθ﹣cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，即有ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得曲线C：x2+y2+2x﹣2y=0，即为以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）Q（1，），即为Q（cos，sin），即Q（，），Q到圆心的距离为d==，即有PQ的最短距离为d﹣r=﹣．【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，点与圆的位置关系，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•赤峰模拟）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。