新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：小结：构建知识体系》优质课教案_0

复习一元二次方程
教学目标：
1．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
2．体会概念的作用，灵活利用一元二次方程的概念解决先关问题.
教学重点：
会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程。

教学难点：
根据方程及相关问题的特点，灵活选择解决问题的方法法。

并在解题过程中体会转化等数学思想．
教学过程
一：基础回顾
考点一一元二次方程的定义
在整式方程中, 只含有个未知数, 并且含未知数项的最高次数是 , 这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式是 .
（1）判断下面哪些方程是一元二次方程
222221x y
24(1)x -3x+4=x -7 ( )
= -4 ( )
(3)3X+5X-1=0 ( )
(4) 3x -20 ( )
3 ( )(6)0 ( )y +==-=
（2）把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,
其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.
（3）方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则
（ ）
A. m=±2
B. m=2
C. m=-2
D. m ≠ ±2
考点二 一元二次方程的常用解法
1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，
则x 1＝a ，x 2＝－ a.
2．配方法：如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，
则⎝⎛⎭⎫x ＋p 22＝－q ＋⎝⎛⎭
⎫p 22. x 1＝－p 2＋－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22，x 2＝－p 2－－q ＋⎝⎛⎭
⎫p 22. 3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，
则x ＝－b±b 2－4ac 2a
. 4．因式分解法：若x 2＋bx ＋c ＝(x ＋m)(x ＋n)，
则x 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1＝－m ，x 2＝－n .
点拨：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一
种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋
bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两
边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次
项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝
对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就
可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2(40)b ac -≥
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化
为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法
叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因
式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个
一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解
这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0
时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）
x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二
次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④
若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方
程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋
4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
考点三:
关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根 的判别式为b 2－4ac.
1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)有两个不相等的实数根，
则x 1,2＝－b±b 2－4ac 2a
； 2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a
； 3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)没有实数根； 二：【经典考题剖析】
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
2、用配方法解方程：4x 2-8x-5=0
3、用公式法解方程：3x 2=4x+7
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
小练习：用适当的方法解下列一元二次方程
（1）27(23)28x -=； （2）223990y y --=
（3）221x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++= 分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。

（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

课堂小结：
1、配方法：
① 同除二次项系数化为1；
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。

⑥检验。

2、公式法
① 先化为一般形式；
②再确定a 、b 、c,求b 2-4ac ；
③ 当 b 2-4ac ≥ 0时,代入公式:
2b x a -=
若b 2-4ac ＜0,方程没有实数根.
3、分解因式法
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解.
三、达标练习：
（1）已知x=-2是方程x2+mx-6 =0 的一个根,则方程的另一个根是.
（2）写一个你喜欢的实数m的值 ,使关于x 的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根．
（3）方程(x+2)(x-1)=0的解为．
（4）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是_______
（5）方程x2-2x-1=0的解是 ______________________.
（6）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0．
①求证:方程有两个不相等的实数根;
②若△ABC的两边AB, AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC 的长为5, 当△ABC是等腰三角形时, 求k的值．
四、课后练习：全品中考总复习“针对训练”。