2.2一元二次方程的解法2
2.2一元二次不等式的解法
刹车距离
在交通繁忙的路段,交通管理部门出于车辆安全和畅通的考 虑,对汽车的行驶速度有一定的限制,超速行驶被视为违规.因 为汽车在遇到紧急情况时,即使司机马上刹车,但由于惯性的作 用,刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下.这段 距离叫做刹车距离.车速越快,刹车距离越长.
代数方法： x 2x 1 0
x x
2 0••••
1 0
或
x 2 0 x 1 0
x 2
x 2
x 1
或
x 1
原不等式的解集是： •x | 1 x 2
想一想
y x2 x 2
x2 x 2 0
甲乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道限制 车速在40km/h以内,由于突发情况,两车相撞了,交警在现 场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车的刹车距离 刚刚超过10m,又知两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h) 之间分别有以下函数关系:
S甲=0.01x2+0.1x
S乙=0.005x2+0.05x
2.解对应的方程。
3.画出相应函数的简图，根据图象确定所求不等 式的解集。
练习:
求下列不等式的解集 (1) x2-5x+6<0
(2)x2-x+2<0
(3) 3x2-x-4>0
(4)9x2-6x+1≤0
(5) -6x2-x+2<0
(6)2x2+4x>-3
小结
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数的相互关系及其解法：
的解集是 R,求实数k的取值范围.
例3.写出一个一元二次不等式，使它的解
2.2一元二次方程的解法(2)_黄有宇
1、一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0 (a 0) 2 ax 二次项， a 二次项系数
2
bx 一次项， b
一次项系数
c
常数项
2、一元二次方程的解法： （1）因式分解法 （2）直接开平方法 （3）配方法
配方法解一元二次方程的基本步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:将解写成X1= ,X2= 的形式。
★一除、二移、三配、四化、五解、六定.
例3、用配方法解下列一元二次方程
(1) 2x2+4x-3=0
(2) 3x2-8x-3=0
(3) 2-
1 3
x2=
5 3
x
(4) 0.1x2+x+0.5=0
用配方法解 2 x 2 x 1 0 时,配方结果正确的是(
D
)
1 2 3 ( A) ( x ) 2 4 1 2 17 (C ) ( x ) 4 16
两边都加上，得x2-2x+1=1/5+1 ∴（x-1）2=6/5 ∴x-1=± 6 5
30 解得：x=1± 5
30 ∴x1=1+ ，x2=15
30 5
完善“配方法”解方程的基本步骤：
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项
系数a)
2、 (移项)把常数项移到方程的右边; 3、（配方）把方程的左边配成一个完全平方式; 4、（开方）利用开平方法转化为两个一元一次方程； 5、（求解）求出原方程的两个解. 6、（定解）将解写成X1= ,X2= 的形式。
2.2一元二次方程的解法(2)导学案
2.2 一元二次方程的解法（2）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用开平方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
〖学习重点与难点〗重点：用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
难点：二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节学习的难点。
一、复习引入（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列方程：（1） 162=+x x （2）11342-=x x2．回顾：上个星期学习的配方法解方程有哪些步骤？3．思考：当二次项系数不为1时，我们该怎么办？比如 11052+=x x ，此时二次项系数不为1，你觉得怎么用配方法来解？4．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？跟之前比较，多了哪些步骤？二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例3 用配方法解下列一元二次方程：⑴03422=-+x x ⑵03832=--x x⑶x x 353122=-⑷05.01.02=++x x三、巩固练习1．用配方法解方程0122=--x x 时，配方结果正确的是（ ） （A ）43)21(2=-x （B ）43)41(2=-x （C ）1617)41(2=-x （D ）169)41(2=-x2．用配方法解下列方程：⑴03622=++x x ⑵05722=+-x x四、当堂检测（仔细思考，总结解题的步骤）用配方法解方程： ⑴132)1(=--n n n ⑵02222=--x x⑶02142=++x x ⑷08121432=--x x总结：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？你又掌握了哪些？五、小结这节课，你收获了哪些知识？。
2.2 一元二次方程的解法(2)
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你能解决这 个问题吗? 3倍有可能相等吗？如果相 一个数的平方与这个数的
x 2 3x.
小亮是这样解的 :
小明是这样解的 :
等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去 x, 得. x 3.
（一次项系数为0）（容易x+5
2
25 2 x - 5
x-
2 用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程在时，添 4x+___=(______) 上的常数项与一次项系数之间存在的关系： 2 2 2
常数项是一次项系数的一半的平方 x +6x+___=(______) x-
6x+___=(_______)
2
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探索发现二：
解方程: x 6 x 1 0
2
只要形成
x m
2
n(n 0)
x 6 x 9 10 0, ( x 3) 10, x 3 10
2 2
x1 3 10, x2 3 10
我们把一元二次方程通 过配方法转换成:
2
形 为
x -2x=8
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练一练：添上一个适当的数，使下
1 x+1 2 2 x +2x+___=(______) 4 x+2 2 9 x+3
列的多项式成为一个完全平方式：
1 4 x-1 2 x -x - 2
2x+___=(______)
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.2 公式法素材 (新版)湘教版
2．2.2 公式法素材一 新课导入设计情景导入 归纳导入 类比导入悬念激趣在上一节课已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景．解下列一元二次方程：(1)x 2＋4x ＋2＝0；(2)3x 2－6x ＋1＝0；(3)4x 2－16x ＋17＝0；(4)3x 2＋4x ＋7＝0. 然后让学生仔细观察四个题目的解答过程，寻找有什么相同之处和不同之处？ 接着再改变上面每道题的其中一个系数，得到四个新的方程：(1)3x 2＋4x ＋2＝0；(2)3x 2－2x ＋1＝0；(3)4x 2－16x －3＝0；(4)3x 2＋x ＋7＝0. 思考1：新的题目与原题的解题过程相比，会有什么变化？由学生的观察讨论得到：用配方法解不同一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根．思考2：既然过程是相同的，为什么会出现根不同的情况？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？[说明与建议] 说明：1.复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；2.让学生充分感受用配方法解题既存在着共性，也存在着不同的现象，由此激发学生的求知欲望；3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系，从而引导学生去探究．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，为了节约时间，可以让学生分组解答，比如将同学按列随机分成四组分别解答题目，再分别展示答案，让学生感受到解答过程的共性．用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)． 因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项系数a ，得__x 2＋b a x ＋c a ＝0__，移项，得__x 2＋b a x ＝－c a__，配方，得__x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2__，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a2.因为a≠0，所以4a 2＞0，当b 2－4ac≥0时，得， 所以__x ＝－b 2a ±2a，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.[说明与建议] 说明：以提问和练习的方式让学生回顾旧知识，一方面是培养学生的语言表达能力，另一方面是为了加深学生对配方法的理解，为推导公式法做准备．建议：全班同学在练习本上运算，请两名同学在黑板上练习，老师巡回指导，适时点拨，并注意对学困生的帮扶，对表现比较突出的学生，及时进行鼓励．素材二 教材母题挖掘36页例5用公式法解下列方程：(1)x 2－x －2＝0；(2)x 2－2x ＝1. 【模型建立】公式法解一元二次方程是体现解一元二次方程的共性的方法，在解答过程中有严格的顺序和方法，其中前提条件是将方程化成一般形式．(1)题是一元二次方程的一般形式，各项系数分别为a ＝1，b ＝－1，c ＝－2，计算b 2－4ac 后，选择是否代入公式进行计算．(2)题先化为一般形式后，再按(1)的解法求解．【变式变形】1．用公式法解方程：－4x 2＋12x ＝9.[答案：x 1＝x 2＝32]2．用公式法解方程：(x －1)(2x ＋1)＝2.[答案：x 1＝－1，x 2＝32]3．用公式法解方程：3x 2＋2 2x －5＝0.[答案：x 1＝－2＋173，x 2＝－2－173]4．用公式法解方程：32x 2＋x ＝1.[答案：x 1＝－1＋73，x 2＝－1－73]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用公式法求解一元二次方程公式法求解一元二次方程是将解方程的过程程序化，规范性要求较高．在代入公式求值前必须通过b 2－4ac 的值来判断方程解的情况，只有方程有解才能代入求根公式求解． 例 [徐州中考] 解方程：x 2＋4x －1＝0.[答案：x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5] [命题角度2] 利用求根公式估算根利用求根公式计算出一元二次方程的根后，结合无理数的估算，估计一元二次方程根的大小．例 [荆州中考] 已知α是一元二次方程x 2－x －1＝0的较大的根，则下面对α的估计正确的是( C )A ．0＜α＜1B ．1＜α＜1.5C ．1.5＜α＜2D ．2＜α＜3素材四 教材习题答案 P37练习用公式法解下列方程：(1)x 2－6x ＋1＝0；(2)2t 2－t ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2；(4)3x (x －3)＝2(x －1)(x ＋1)．[答案](1)x ＝6±36－42＝6±4 22＝3±2 2.(2)x ＝1±1＋4×2×64＝1±494，x 1＝2，x 2＝－32.(3)x 1，2＝4±16－4×48＝48＝12，x 1＝x 2＝12.(4)x 2－9x ＋2＝0，x ＝9±81－82＝9±732. 素材五 图书增值练习素材六 数学素养提升《斯图姆何时与他的妻子相遇》斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创性的工作，他身居巴黎，但他常常要去他的出生地—风景宜人的瑞士度假。
2。2一元二次方程的解法(共3)
2.2 一元二次方程的解法（1）【例1】用开平方法解下列方程：(1) 3x 2－4=0； (2) (2x －1)2－9=0. 【变式训练】1. 用开平方法解下列方程： (1) x 2－2=0；(2) 4(6x －1)2=36.【例2】用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为………………（ ）A. 44)2(22mn m x -=+B.44)2(22n mm x -=+C.24)2(22n mm x -=+ D.24)2(22mn m x -=+【变式训练】2. 用配方法解方程：x 2+2x －2=0.【例3】用配方法证明对于任何实数x ，二次三项式x 2－22x +5－2的值恒大于零. 【变式训练】3. 求二次三项式x 2+5x +7的最小值. 练习：1.一元二次方程(x －1)2=2的解是……………………………………（ ）Ａ. x 1=－1－2，x 2=－1+2Ｂ. x 1=1－2，x 2=1+2Ｃ. x 1=3，x 2=－1Ｄ. x 1=1，x 2=－32. 下列一元二次方程中，能直接用开平方法解的是……………………………（ ） A. (2x +3)2=2008 B. (x －1)2=1+x C. x 2=x D. x 2+1=03. 如果x 2+bx+c =(x －32)2，则b ，c 的值是…………………………………………( )A. b =34，c =94 B. b =32-，c =94 C. b =34-，c =94 D. b =34-，c =94-4. 已知关于x 的一元二次方程(x +m )2=n 有实数根，则…………………………（ ） A. n >0 B. n ≥0 C. n ≠0 D. n 为任何实数5. 如果关于x 的方程x 2+kx =2配方后得到(x －1)2=3，那么k 的值为 . 6. 若2(x 2+3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则x 的值为 . 7. 选择适当的方法解下列一元二次方程：(1) x 2+2x =0； (2) x 2+4x －1=0； (3) (x －3)2=(5x +2)2.8. 若(x 2+y 2－5)2=4，则x 2+y 2= .9. 如果关于x 的二次三项式x 2+mx+m 是一个完全平方式，求m 的值.10. 已知代数式x 2+y 2+22x －4y +42，这个代数式是否存在最大值或最小值？请说明理由.11.用长为23cm 的铁丝围成一个面积为S(c m 2)的矩形. (1)设矩形的长为xcm ，写出用x 的代数式表示S 的等式； (2)求当x 为多少时，S 最大，其最大值是多少？12．填上适当的数，使下列等式成立，然后与O 比较大小：(1)∵x 2－2x ＋3＝(x －______)2＋______， ∴x 2－－2x ＋3______0； (2)∵2x 2＋8x ＋8＝2(x ＋______)2，∴2x 2＋8x ＋8______0．13．一块长方形草地，长比宽多5m ，面积是104m 2，设草地宽为xm ，依题意列得方程为 __________________，解得它的长为______m ，宽为______m ．2.2 一元二次方程的解法（2）【例1】用配方法解方程：2x 2－x －1=0. 【变式训练】1. 用配方法解方程：2x 2+5x －3=0.【例2】阅读下面的材料，然后再解答后面的问题： 例：解方程：x 2－|x |－2=0.解：(1) 当x ≥0时，原方程化为x 2－x －2=0，解得x 1=2，x 2=－1(不合题意，舍去)； (2) 当x <0时，原方程化为x 2+x －2=0，解得x 1=－2，x 2=1(不合题意，舍去)； ∴原方程的解是x 1=2，x 2=－2.请参照原方程的解法，解方程：x 2－|x －1|－1=0. 【变式训练】2.阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0，我们可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1=y ……①，那么原方程可化为y 2－5y +4=0，解得y 1=1，y 2=4. 当y =1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =2±；当y =4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x ＝5±，故原方程的解为x 1=2，x 2=2-，x 3=5，x 4=5-.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0. 练习1. 将二次三项式3x 2+8x －3配方，结果为………………………………………（ ）A. 3(x +38)2+355 B. 3(x +34)2－3 C. 3(x +34)2325-D. (3x +4)2－192. 如果ax 2+4x +c =(2x +m )2，则a ，c ，m 的值分别为………………………（ ） A. a =4，c =12，m =14B. a =4，c =1，m =1C. a =4，c =12，m =1 D. a =1，c =4，m =13. 已知（x +y ）(x +y －2)－8=0，则x+y 的值是…………………………( ) A. –4或2 B. –2或0 C. 2或－3 D. 4或－24. 已知三角形的两边长分别是2，3，第三边的长是方程x 2－5x +4=0的根，那么这个三角形的周长为……………………………………………………………………( )A. 1或4B. 6或9C. 6D. 95．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035;B ．x(x －1)＝1035×2;C ．x(x －1)＝1035;D ．2x(x ＋1)＝1035 6．一块长方形草地，长比宽多5m ，面积是104m 2，设草地宽为xm ，依题意列得方程为 __________________，解得它的长为______m ，宽为______m ． 7. 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2－x －1=0；(2) 3x 2－5x +1=0.8. 在正数范围内定义一种新运算“★”，其规则为：a ★b =ab+a+b . 根据这个规则，请你求方程x ★(x +1)=11的解.9. 用换元法解方程11+-+x x xx +3=0时，设xx 1+=y ，则原方程可化为…………（ ）A. y 2－y +3=0B. y 2+3y －1=0C. 3y 2+y －1=0D. 3y 2－y +1=0 10. 若方程2x 2－8x +7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 .11．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知这样商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，则为了赚得8000元利润，售价应是为多少?12.已知x 1，x 2 是关于x 的方程(x －2)(x －m )=(p －2)(p －m )的两个实数根. (1)求x 1，x 2 的值；(2)若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值.2.2 一元二次方程的解法（3）【例1】用公式法解下列方程：(1) x 2－3x +2=0； (2) 2x 2－6=2x . 【变式训练】1. 用公式法解下列方程：(1) x 2－2x －3=0； (2) 4x 224-x =－2. 【例2】给下列方程选择适当的方法：(1)32312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 可选用 法；(2) 5x 22-x =0可选用 法； (3) x 2－2x =9999可选用 法； (4)(5x －1)2=3(5x －1) 可选用 法； (5)5x 2－11x +5=0可选用 法. 【变式训练】2. 用适当的方法解下列方程： (1) 2x 2+12x =0； (2) 4(x +3)2=(x －2)2； (3) x 2+4x =21.【例3】若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k =0没有实数根，求k 的取值范围. 【变式训练】3. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是……………（ ）A. 210x +=B.2210x x ++=C. 2230x x ++=D. 2230x x +-=练习1．方程x(x 2＋1)＝0的实数根的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D. 02．在方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)中，当b 2－4ac ＝0时，方程的解是( ) A ．±b 2a B ．±b a C ．－b 2aD ．b2a3. 一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，则每次降价的百分率是 ( ) A. 5％ B ．10％ C ．15％ D ．20％ 4．已知(x 2＋y 2＋1)2＝4，则x 2＋y 2＝______.5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值是（ ）A. 1m <B. 1m >-C.1m >D.1m <- 6. 如果方程x 2+bx+c =0的两根互为相反数，那么…………………………………（ ） A. b =0 B. c =0 C. b =0，c <0 D. b =0，c >07. 一元二次方程2210x x --=的根的情况为………………………………（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8. 选择适当的方法解下列方程：(1) (2)(3)20x x ++=； (2) x 2＋3＝3(x ＋1)； (3) (x －1)2－5=0.9. 若x =0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，则m = . 10. 先阅读，再填空解答：方程x 2－3x －4=0的根是：x 1=－1，x 2=4，则x 1+x 2=3，x 1x 2=－4； 方程3x 2+10x +8=0的根是：x 1=－2，x 2=34-，则x 1+x 2=310-，x 1x 2=38.(1) 方程2x 2+x －3=0的根是：x 1= ，x 2= ，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ；(2) 若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0 (a ≠0，且a ，b ，c 为常数)的两个实数根，那么x 1+x 2，x 1x 2与系数a ，b ，c 的关系是：x 1+x 2= ，x 1x 2= ；(3) 如果12x x ，是方程x 2+x －3=0的两个根，根据(2)所得结论，求x 12+x 22的值.11. 甲、乙两同学分别解同一道一元二次方程，甲把一次项系数看错了，解得方程的两根为－2和3，乙把常数项看错了，解得两根为31-，则原方程是…………（）1+和3A. x2+2x－6=0B. x2－2x+6=0C. x2+2x+6=0D. x2－2x－6=0 12．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．①解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5。
2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)
21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理 归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（ ）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =， 故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根． 【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根； （2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根； （3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________． 【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠； 故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤， 则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根． （2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论； （2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0， 得：1+m+m ﹣2=0， 解得：m=12； （2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠； 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。
数学浙教版八年级下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法 课件
x1
3 2
x2
3 2
归纳
前面解方程时利用了 什么方法呢?
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫 做因式分解法.
练习1 把下列各式因式分解：
（1）x²-x （2）x²-4x+4 （3）x²-4
x(x-1) (x-2)² (x-2)(x+2)
1 10 -1 2
, x2
1- 1 10 2
.
典例精讲
3x2 8x 3 0
x2 8 x 1 0 3
x2
8
x
4
2
1
4
2
3 3
3
x 4 2 25 3 9
x1
3,
x2
1 3
典例精讲 例4 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方
式，求常数n的值.
典例精讲
用配方法求2x2 7x 2的最小值
（5x+4)(5x-4）=0
∴ 5x+4=0或5x-4=0
∴x1=-0.8， x2=0.8
典例精讲
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0，
得x1
0, x2
17 .
应用提高 下列解一元二次方程的方法对吗?若不对请改正。
解方程: x 22 2xx 2
解:方程两边都除以( x 2),得 x 2 2 x
移项得: x 2x 2 合并同类项得: x 2 x 2
不正确哟！ 不能约分， 这样会少了 一个解哟！
2.2一元二次方程的解法(2)课件2004年浙教版八年级下
(1)2 x 18 0
2
(2)(3 x 1) 4
2
倍 速 课 时 学 练
(3)2( x 1) 8
2
一般地，对于形如
（a≥0）的 x a
2
方程，根据平方根的意义，可解得
x a, x a
1 2
倍 速 课 时 学 练
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1) 0 5
2
(2)(2 x 3) 5
2
倍 速 课 时 学 练
１、方程 x 2 0.25 的根是
；
２、方程 2 x
2
18 的根是
2
；
；
3、 方程(2 x 1) 9 的根是
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T3
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
(2) x 6 5 x
2
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T4
倍 速 课 时 学 练
2
2
x 6x 7 0
2
倍 速 课 时 学 练
变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
2
a
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
倍Hale Waihona Puke 速 课 时 学 练例题2(1) y 6 y 4 0
2.2一元二次不等式的解法(2)
2.2一元二次不等式的解法 （2）成功的要领（学习要求）：1．通过阅读，使学生理解区间的概念，并能用区间来表示不等式的解集.2．通过变式教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，体会数学知识之间的内在联系，形成逻辑思维能力；3．初步学会用不等式解决一些简单的实际问题，培养学生的分析能力和解决实际问题的能力.4.培养学生的逆向思维能力和创造能力.成功的准备（课前预习）：(一)、用区间来表示不等式的解集1． 用区间来表示不等式的解集设a ，b 都为实数，并且a<b,我们规定:（1） 集合{x b x a ≤≤}叫做闭区间,表示为 ；（2） 集合{x b x a <<}叫做开区间,表示为 ；（3） 集合{x b x a <≤}或{x b x a ≤<}叫做半开半闭区间,分别表示为 ；（4） 把实数集R 表示为 ；把集合{x a x ≥}表示为 ；把集合{x a x >}表示为 ；把集合{x b x ≤}表示为 ；把集合{x b x <}表示为 ；在上述所有的区间中，a ，b 叫做区间的 ；2． 区间在数轴上的表示X x [a ，b] （，b ）X x[a ，b ） （a ，b]X x[a ，+∞） （a ，+∞）X x（-∞，b] （-∞，b ）(二)、一元二次不等式()20(0)0ax bx c a ++><>的解集：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，成功的探索（电子笔记）：例1．解不等式组：3x 2-7x-10≤0, ①2x 2-5x+2>0 ②例2．(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3).(2)若不等式ax 2+bx+3>0的解为-21<x<3,求实数a,b 的值.例3.当k 为何值时,关于x 的一元二次不等式x 2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?例4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应用税收外，还征收附加税。
2.2一元二次方程的解法(二)
2、一元二次方程的求根公式：
例 1．用公式法解下列方程: (1)2 x2＋x－6＝0； (2) x 2 x 4 0 ；
2
二、探索新知
(3)5x2－4x－12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
练习 1.用公式法解方程： (1) x2－6x＋1＝0；
(2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2；
2
1 0． 8
2．用适当的方法解下列方程： （１） ( y 2)2 3 ； （２） (2 x 3)2 3(4 x 3) ；
课后作业Байду номын сангаас(满分:100 分) （３） x 3x 2 0 ；
2
（４） ( x 1)( x 2) 5 ．
3．已知 y1＝2x ＋7x－1，y2＝6x＋2，当 x 取何值时 y1＝y2？
九上数学学案
内容
4．2 一元二次方 程的解法（二）
课型
新授课
主备人 执教人
1、会用公式法解一元二次方程。 教学目标 2、了解一元二次方程根的判别式。 3、灵活运用一元二次方程的各种解法解方程. 重点和难点 教具准备 教学过程 会用公式法解一元二次方程 灵活运用一元二次方程的各种解法解方程. 学案． 师生活动 1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
（5） （x＋1） （x－1）＝ 2 2 x ； （6）x（x＋8）＝16；
（7） （x＋2） （x－5）＝1；
（8） （2x＋1）2＝2（2x＋1）.
3
九上数学学案
1．用公式法解下列方程： （１） x 2 x 2 0 ； （２） 3x 4 x 7 0 ；
2 2
（３） 2 y 2 8 y 1 0 ； （４） 2 x 3 x
2.2一元二次不等式的解法
8-0.62r
即3.1r2-41r+100≤0
=>100/31≤r≤10
因此，所求的r取值范围是[100/31，10]
练习1
某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元， 则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10 的整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍 数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元， 则每个床位的出租价格应定在什么范围内？
△
图
△＞0
x1=
不等式解集为 ｛x｜x＜x1 或x＞x2｝
不等式解集为 ｛x｜x1＜x＜ x2}
像
△=0 x 0=
b 2a
与
不等式解集 ｛x|x≠x0, x∈R｝
解集为
解
△＜0
方程无解
不等式解集为 R(一切实数)
解集为
a＜0的情况自己完成
二、典型习题——逆用解不等式
1. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。 2. 求a,b满足的条件，使得ax2+2x+b>0 的解集为 （1）(-1，2) （2） (-∞,+∞)
不等式怎么解？ ax2＋bx＋c=0
三、解法
例1、解一元二次不等式：x² -x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x 2 0 x 2 0 或 x 1 0 x 1 0
代数解法
x ， 1 2，
y=(x-2)(x+1)
几何解法
2
。
2.2一元二次不等式 的解法
(2)
解 不 等 式 x ( a 2) x 2 a 0
2.2(2)一元二次方程的解法
5 ∴ x 1= 3
或x2= -1/3
用配方法解一元二次方程的基本步骤： 用配方法解一元二次方程的基本步骤： ax2+bx+c=0
1.方程两边同时除以 得 x2+ b x+ c =0 方程两边同时除以a,得 方程两边同时除以 a a 2.移项，得 移项， 移项 x 2+ b x= - c a a
b2-4ac b 2 b 3.方程两边都加上 2a ) ，得 x2+ a x+( b )2= 4a2 方程两边都加上( 方程两边都加上 2a 4.用开平方法，解得答案。 用开平方法，解得答案。 用开平方法
2.2一元二次方程的解法 一元二次方程的解法(2) 一元二次方程的解法
x 2 + bx + c = 0
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的 一元二次方程开平方法和配方法（ ） 区别与联系. 区别与联系
开平方法：形如 开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x－a）2=b（b≥0）。 （ ）（ － ） （ ）。 配方法: 先把方程 移项得x 配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得 2+bx=-c. 移项得 ②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得 方程两边同时加一次项系数一半的平方， x2+bx+ ( b )2 = -c + ( b )2 2 2 2-4c b ) 2= b 即： (x+ 2 4 ③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出 方程的方程 (1) 2x2+4x-3=0
解：方程两边同除以2，得 方程两边同除以 ，
(2) 3x2-8x-3=0
解：方程两边同除以2，得 方程两边同除以 ，
湘教版九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时练习
7．若关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则二次三 项式x2＋bx＋c可分解为( C )
A.(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x－4) C．(x－3)(x＋4) D．(x＋3)(x－4) 8．一元二次方程x2＋6x－7＝0的解为( D ) A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝－1，x2＝7 C．x1＝－1，x2＝－7 D．x1＝1，x2＝－7
13．(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a －b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝__－__3_或__4_______．
14．(例7变式)解方程： (1)x(x＋5)－5(x＋5)＝0； 解：(x＋5)(x－5)＝0，x＋5＝0或x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝5 (2)2(x－3)2＝x2－9； 解：x1＝3，x2＝9
10．设m是方程x2＋5x＝0的一个较大的根，n是方程x2－3x＋2＝0的一个 较小的根，则m＋n的值是( C )
A．－4 B．－3 C．1 D．2 11．已知实数a，b同时满足a2＋b2－11＝0，a2－5b－5＝0，则b的值是( A ) A．1 B．1，－6 C．－1 D．－6
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二 次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长是_4_＋__2__2___．
9．解方程： (1)x2＋12x＋27＝0； 解：∵x2＋12x＋27＝0，∴(x＋3)(x＋9)＝0，∴x＋3＝0或x＋9＝0，∴x1 ＝－3，x2＝－9 (2)x2－5x＋6＝0； 解：∵x2－5x＋6＝0，∴(x－2)(x－3)＝0，∴x－2＝0或x－3＝0，∴x1＝2， x2＝3
(3)x2＋4x－12＝0； 解：∵x2＋4x－12＝0，∴(x－2)(x＋6)＝0，∴x－2＝0，x＋6＝0，∴x1＝ 2，x2＝－6 (4)x2－3x－4＝0. 解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，∴x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝ －1，x2＝4
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用配方法解下列方程:
(1) x2+3x+2=0
(2) x2 4 3x 11
(3) －x2＋4x－3=0
注意:解第(1)题时要先移项,变形成x2+3x=－2的形式;
如果方程的二次项系数为负,则先把二次项系数化 为正.
1、解方程： (x+1)2+4(x+1)=-3
2、X取何值时,代数式 x2-10x+50有 最小值,最小值是多少?
x2-6x+_9__=(__x__-_3___)2
x2+10x+_2_5_=(__x__+__5__)2 x2-10x+_2_5_=(_x__-__5___)2
x2
bx(
b 2
)2(
b x 2
)2
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添
上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
常数项是一次项系数的一半的平方
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式
x2+2x+_1__=(__x__+__1__)2
x2-2x+_1__=(__x__-__1__)2
x2+4x+_4__=(__x__+__2__)2
x2-4x+_4__=(_x__-__2___)2
x2+6x+_9__=(__x__+__3__)2
； ；
.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
用开平方法解下列方程:
(1)(x＋1)2=4 (2)(2x－3)2=7 (3)3x2－27=0
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成 x2 a(a 0)
工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁
在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的 长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点 离墙的距离BC是多少?
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5, x2=-0.5 (2)方程2x2=18的根是 x1=3, x2=-3 (3)方程(x+1)2=1的根是 x1=0, x2=-2
例3、用配方法解方程x2＋12x+9=0
解:
x2+12x=-9
x2+12x+36=即9+(3x6+6)2=27.
∴x+6= 27 或x+6=- 27
解得 x1=-6＋3 3 ,x2=-6－3 3
你能总结出配方法的步骤吗?
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
（2）x1 a ,x2 a
(4)x2＋2 5 x＋5=0
说明：若a<0,方程 x2法解下列方程吗?
x2－4x= 5
把一元二次方程的左边配成一个完全 平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
填一填
一、形如x2=a(a≥0)的方程,用开平方法.
二、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边 是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次 方程的方法叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本步骤： 1.先把常数项移到方程的另一边； 2.再在方程的两边同加一次项系数一半的平方；
3.开平方法解出方程的根。