2015专题五：函数与导数(含近年高考试题) - 副本
2015年高考试题函数与导数部分
20.（2015上海）（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.
19．（2015广东）（本小题满分14分）
设a>1，函数 。
(1)求 的单调区间；
(2)证明： 在（ ，+∞）上仅有一个零点；
(3)若曲线 在点P处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：
3．（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
A．-1是Байду номын сангаас的零点B．1是 的极值点C．3是 的极值D.点 在曲线 上
15（2015山西）.设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点p处的切线垂直，则p的坐标为
7.（2015上海）方程 的解为．
10.（2015上海）设 为 ， 的反函数，则 的最大值为．
18．（2015上海）设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，则极限 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
20.（2015天津）（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 .
(I)讨论 的单调性；
(II)设曲线 与 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ,求证：对于任意的正实数 ，都有 ；
(III)若关于 的方程 有两个正实根 ，求证： .
12.（2015全国1）设函数 ,其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
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2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记)：考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′错误!，f′（x)是f(x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b)的切线方程为( )A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：选A 由f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a ＝f′错误!＝3－2sin错误!＋2cos错误!＝1。
由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3。
又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1，1）,故过曲线y ＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0，1）B．（1，－1）C．（1,3）D．(1,0）解析：选C 由题意知y′＝错误!＋1＝4，解得x＝1,此时4×1－y－1＝0，解得y＝3,∴点P0的坐标是(1，3)．角度三求参数的值3．已知f（x）＝ln x，g（x)＝错误!x2＋mx＋错误!（m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f（x）图像的切点为（1，f(1)),则m等于( ）A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：选D ∵f′（x)＝错误!,∴直线l的斜率为k＝f′（1）＝1,又f(1）＝0,∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m,设直线l与g(x）的图像的切点为（x，y0），则有x0＋m＝1,y0＝x0－1，y0＝12x2＋mx0＋错误!,m〈0，于是解得m＝－2,故选D。
2015-2018年高考全国卷文科数学--函数与导数大题汇编
2015年～2018年高考全国卷数学（文科）—函数与导数汇编1.（2015年全国乙卷第21题）已知函数()ln (1)f x x a x =+-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围﹒2.（2015年全国甲卷第21题）设函数2()ln x f x ea x =-﹒ （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a ≥+﹒3.（2016年全国丙卷第21题）设函数()ln 1f x x x =-+﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （3）设1c >，证明：当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->﹒4.（2016年全国乙卷第20题）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--﹒（1）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围﹒5.（2016年全国甲卷第21题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围﹒6. （2017年全国丙卷第21题）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明：3()24f x a≤--﹒7.（2017年全国乙卷第21题）设函数2()(1)xf x x e =-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围﹒8. （2017年全国甲卷第21题）已知函数2()()x x f x e e a a x =--﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围﹒9.（2018年全国丙卷第21题）已知函数21()x ax x f x e+-=﹒ （1）求曲线在()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥﹒10.（2018年全国乙卷第21题）已知函数()ln 1x f x ae x =--﹒（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 及()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e ≥时，()0f x ≥﹒11.（2018年全国甲卷第21题）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++﹒ （1）若3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点﹒。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2015高考理科数学函数、导数及其应用总复习题(附答案)
2015高考理科数学函数、导数及其应用总复习题（附答案）A组基础演练•能力提升]一、选择题1．(2013年高考江西卷)函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．0,1)C．(0,1]D．0,1]解析：根据题意得1－x>0x≥0，解得0≤x答案：B2．已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.答案：A3．(2014年浙江五校联考)若函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D.0，＋∞解析：根据题意知log12(2x＋1)>0，即0答案：A4．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sin解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解．函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A 不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.答案：D5．已知函数fx－1x＝x2＋1x2，则f(3)＝()A．8B．9C．11D．10解析：∵fx－1x＝x－1x2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.答案：C6．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，01.满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．只有①解析：①f1x＝1x－x＝－f(x)满足．②f1x＝1x＋x＝f(x)不满足．③0x＝1时，f1x＝0＝－f(x)，x>1时，f1x＝1x＝－f(x)满足．答案：B二、填空题7．(2013年高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.解析：设－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)．答案：－12x(x＋1)8．若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：－1,0]9．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，xf(2x)的x的取值范围是________．解析：画出f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x如图．由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，则1－x2>0，1－x2>2x，即－1得x∈(－1，2－1)答案：(－1，2－1)三、解答题10．(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．解析：(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)设f(x)＝ax＋b，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则有a＝2，b＋5a＝17，∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①令x＝－x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．11．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，，－求fg(x)]和gf(x)]的解析式．解析：当x≥0时，g(x)＝x2，fg(x)]＝2x2－1，当x∴fg(x)]＝2x2－，－∵当2x－1≥0，即x≥12时，gf(x)]＝(2x－1)2，当2x－1∴gf(x)]＝－，，－1，．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．解析：当x∈0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得b1＝030k1＋b1＝2，解得k1＝115，b1＝0∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得40k2＋b2＝260k2＋b2＝4，解得k2＝110b2＝－2，∴y＝110x －2.综上，f(x)＝115x，x∈0，30]2，x∈，－2，x∈40，60] B组因材施教•备选练习]1．已知f(x)＝log3x，x>0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.答案：B2．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是()解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．答案：C3．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；(3)已知函数f(x＋1)的定义域为－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．解析：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，∴要使f(x2)有意义，需使0即－1∴函数f(x2)的定义域为{x|－1(2)∵f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0令t＝2x＋1，∴1∴函数f(x)的定义域为{x|1(3)∵函数f(x＋1)的定义域为－2,3]，∴－2≤x≤3.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4.∴f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，即f(x)的定义域为{x|－1≤x≤4}，要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，∴－3≤x≤－22或22≤x≤3，∴函数f(2x2－2)的定义域为x－3≤x≤－22或22≤x≤3.。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数f （x ）=2ln()x x a x ++为偶函数，则a=【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故，2(2)(log 12)9f f -+=．5.（2018年1卷9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.6.（2017年3卷15）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.（2017年3卷11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．三、函数单调性与最值8.（2017年1卷5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【解析】：()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；当0a =时，(,)-¥+¥区间上单调递增；当0a >时，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以，若0a <，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立. 若0a =，(,)-¥+¥区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =ìí=-î. 若02a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+³，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f . 即322()()13321a a ab a b ì-+=-ïíï-+=î相减得32227a a -+=，即(33)(33)0a a a -+=，又因为02a <£，所以无解. 若23a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+£，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f . 即322()()1331a a a b b ì-+=-ïíï=î相减得3227a=，解得332x =，又因为23a <£，所以无解. 若3a >，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =ìí-+=-î解得41a b =ìí=î.综上得01a b =ìí=-î或41a b =ìí=î. 【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、最值问题，最值问题，最值问题，此类问题一般住现此类问题一般住现在第一问，在第一问，但但2019年高考3卷把该题放到第20题位置，难度也相应降低，因此，该题的第二问仍然这类问题，只不过多出一个参数。
2015届高考数学(理)二轮练习：函数与导数(含答案)
函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1] 函数y 的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.答案 1－x 2(x ∈[－1,1])3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 答案 1e4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x. ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．5．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数答案 D解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题6] 函数f (x )＝1x的减区间为________． 答案 (－∞，0)，(0，＋∞)7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[问题7] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y≥1， 解得12≤y <1. ∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12， ∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[问题8] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________．答案 [0,1)，[2，＋∞) 解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(x －1)|(x >1)，|log 2(1－x )|(x <1)，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2 012.5)＝________.答案 －2510．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 11．(1)对数运算性质已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ， log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a. 推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log b a. (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．[问题11] 函数y ＝log a |x |的增区间为_________________．答案 当a >1时，(0，＋∞)；当0<a <1时，(－∞，0)12．幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．[问题12] 函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B13．函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．[问题13] 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)·g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 f (x )＝(x －2)(x －1)g (x )＋3x －4，∴f (1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f (2)＝2×3－4＝2>0.又函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，∴函数f (x )在区间(1,2)内有零点．因此方程f (x )＝0在(1,2)内必有实数根．14．求导数的方法①基本导数公式：c ′＝0 (c 为常数)；(x m )′＝mx m －1 (m ∈Q )；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a ；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)． ②导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)． ③复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′.如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则(f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a .[问题14] f (x )＝e x x，则f ′(x )＝________. 答案 e x (x －1)x 215．利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 a ≥13解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0， ∴a ＝13符合题意． 16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________． 答案 x ＝117．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 值的关键是用求导公式逆向求出f (x )的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃb a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|b a ， ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ，ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ，ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)， ʃb a a x d x ＝a x ln a |b a. [问题17] 计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－cos x 1－1＝23.易错点1 函数概念不清致误例1 已知函数f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，求f (x )的定义域． 错解 由x 2x 2－4>0，得x >2或x <－2. ∴函数f (x )的定义域为{x |x >2或x <－2}． 找准失分点 错把lg x 2x 2－4的定义域当成了f (x )的定义域． 正解 由f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4， 设x 2－3＝t ，则x 2＝t ＋3，因此f (t )＝lg t ＋3t －1. ∵x 2x 2－4>0，即x 2>4，∴t ＋3>4，即t >1. ∴f (x )的定义域为{x |x >1}．易错点2 忽视函数的定义域致误例2 判断函数f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x的奇偶性． 错解 因为f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x＝ 1－x 1＋x (1＋x )2＝1－x 2， 所以f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2＝f (x )， 所以f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x是偶函数． 找准失分点 对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )．正解 f (x )＝(1＋x )1－x 1＋x 有意义时必须满足1－x 1＋x ≥0⇒－1<x ≤1，即函数的定义域是{x |－1<x ≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．易错点3 混淆“切点”致误例3 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0. 找准失分点 错把(1，－1)当切点．正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|0x x =＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)， 即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.易错点4 极值的概念不清致误例4 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________. 错解 －7或0 找准失分点 x ＝1是f (x )的极值点⇒f ′(1)＝0；忽视了“f ′(1)＝0x ＝1是f (x )的极值点”的情况．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.答案 －7易错点5 错误利用定积分求面积例5 求曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S . 错解 分两部分，在[0，π]上有ʃπ0sin x d x ＝2，在[π，2π]上有ʃ2ππsin x d x ＝－2，因此所求面积S为2＋(－2)＝0. 找准失分点 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．正解 S ＝ʃπ0sin x d x ＋||ʃ2ππsin x d x ＝2＋2＝4.答案 41．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C. 3．下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4 答案 C解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．4．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 根据函数的零点的存在性定理得f (1)f (2)<0.5．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．6．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是( ) ①f (x )<0恒成立；②(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0； ④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2；⑤f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②⑤答案 D解析 由函数f (x )的导函数的图象可得，函数f (x )是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f (x )图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f (x )的草图如图所示，由图示可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0且f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.8．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)． 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以|x |<2，所以－2<x <2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．10．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－22，0)解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.11．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意． 12．已知函数f (x )＝ln(ax )(a ≠0，a ∈R )，g (x )＝x －1x .(1)当a ＝1时，记φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)若f (x )≥g (x )(x ≥1)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2＝x 2＋1x (x －1)2.因为x >0且x ≠1，所以φ′(x )>0.故函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)因为ln(ax )≥x －1x对x ≥1恒成立，所以ln a ＋ln x ≥x －1x ，即ln a ≥1－1x－ln x 对x ≥1恒成立．令h (x )＝1－1x －ln x ，则h ′(x )＝1x 2－1x ，因为x ≥1，故h ′(x )≤0.所以h (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，由ln a ≥h (x )max ＝h (1)＝0，解得a ≥1. 故实数a 的取值范围为[1，＋∞)．课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}．答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i －＋＝12－12i ，11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A.答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( )A ．4B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________． 解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。
2015届高考数学总复习配套题型精练：压轴题目突破练——函数与导数(共34张PPT)
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A组 专项基础训练
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
切的直线方程是
(A )
A．3x＋y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0
D．x－3y－2＝0
解析 设切点的坐标为(x0，x30＋3x02－1)，
则由切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，
可得切线的斜率为－3，
又 f′(x)＝3x2＋6x，故 3x02＋6x0＝－3， 解得 x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12. (2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝x－2xx－3.
A组 专项基础训练
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
2015年高考数学真题解析之导数真题(理科)
a （其中 a，b 为常数）模型. x b
2
（1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域； ②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 4． （本小题满分 12 分， （1）小问 7 分， （2）小问 5 分） 设函数 f x
| f( x) g ( x) | x 2 ．
14． （本小题 13 分）已知函数 f x ln （Ⅰ）求曲线
1 x ． 1 x
y f x
在点 0 ，f 0 处的切线方程；
x3 时， f x 2 x ； 3
（Ⅱ）求证：当
f x
2a 2a , 0, ,0 3 上单调递减； 在 ， 上单调递增，在 3
2a 2a x , 0 , x 0, 3 时， f x 0 ， 3 时， f x 0 ， 当 a 0 时， 2a 2a , 0, f x , 0 3 3 上单调递减． 上单调递增，在 所以函数 在 ，
试卷第 2页，总 3页
（Ⅱ）若 x 0, f x 0 成立，求 a 的取值范围. 10．已知 a 0 ，函数 f ( x ) e sin x ( x [0, )) ，记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第
ax
n ( n N * ) 个极值点，证明：
（1）数列 { f ( xn )} 是等比数列 （2）若 a
2015-2019函数与导数高考题汇编
2015-2019新课标（理科）函数与导数分类汇编一选填题1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数3】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数5】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数13】．曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数12】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数6】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数4】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量2sin cos ++x xx x为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD7．【2019年高考全国Ⅱ卷理数14】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数7】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数11】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数5】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =11．【2018年高考全国Ⅰ卷理数9】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）12.【2018年高考全国Ⅰ卷理数16】．已知函数，则的最小值是________．13.【2018年高考全国Ⅱ卷理数11】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．5014．【2018年高考全国Ⅱ卷理数3】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为15.【2018年高考全国Ⅱ卷理数13】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 16．【2018年高考全国Ⅲ卷理数7】函数422y x x =-++的图像大致为17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数12】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+18．【2018年高考全国Ⅲ卷理数15】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 19．【2017年高考全国Ⅰ卷理数11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z20．【2017年高考全国Ⅰ卷理数5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]21.【2017年高考全国Ⅱ卷理数11】．若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．122.【2017年高考全国Ⅱ卷理数14】．函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________．23.【2017年高考全国Ⅲ卷理数6】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减24．【2017年高考全国Ⅲ卷理数11】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．125．【2017年高考全国Ⅲ卷理数15】设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.26.【2016年高考全国Ⅰ卷理数7】函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为A BC D27.【2016年高考全国Ⅰ卷理数12】（已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A11 B9 C7 D528.【2016年高考全国Ⅱ卷理数12】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）A 0BC D29.【2016年高考全国Ⅱ卷理数16】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．30.【2016年高考全国Ⅲ卷理数15】已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在点（1，-3）处的切线方程是_______________。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数$f(x)=2x^3-ax^2+b$.1）讨论$f(x)$的单调性；2）是否存在$a,b$，使得$f(x)$在区间$[0,1]$的最小值为$-1$且最大值为$1$？若存在，求出$a,b$的所有值；若不存在，说明理由.解析】1)对$f(x)=2x^3-ax^2+b$求导得$f'(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$。
所以有：当$a<0$时，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减；当$a=0$时，$(-\infty,+\infty)$区间上单调递增；当$a>0$时，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减.2)若$f(x)$在区间$[0,1]$有最大值$1$和最小值$-1$，所以，若$a<0$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$[0,1]$上单调递增，所以$f(0)=-1$，$f(1)=1$代入解得$b=-1$，$a=\frac{1}{3}$，与$a<0$矛盾，所以$a<0$不成立.若$a=0$，$(-\infty,+\infty)$区间上单调递增；在区间$[0,1]$，所以$f(0)=-1$，$f(1)=1$代入解得$\begin{cases}a=0\\b=-1\end{cases}$.若$0<a\leq2$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$(0,1)$单调递减，在区间$(1,+\infty)$单调递增，所以区间$[0,1]$上最小值为$f(1)$而$f(0)=b$，$f(1)=2-a+b\geq f(0)$，故所以区间$[0,1]$上最大值为$f(1)$.若$2<a\leq3$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$(0,1)$单调递减，在区间$(1,+\infty)$单调递增，所以区间$[0,1]$上最小值为$f(0)$而$f(0)=b$，$f(1)=2-a+b\leq f(0)$，故所以区间$[0,1]$上最大值为$f(0)$.已知函数$f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4},g(x)=-\ln x$。
-2015全国高考卷文科-导数专题汇编(带答案)
导 数 专 题题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________.2. (2015全国I 文14)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则a = .3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .4.(2009，全国卷1) 已知函数42()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。
【解】（1）3'()464(f x x x x x x =-=-当(,)2x ∈-∞-和(0,2x ∈时，'()0f x <；当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x >因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2是减函数，()f x 在区间(2-和)+∞是增函数。
（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =，即 4230000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 2200(1)(2)0x x +-=解得 0x = 或 0x =因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。
题型2 判断函数的单调性、极值与最值5.（2013全国II 文11）.已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ∃∈，0()0f x =B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =6.（2013全国I 文20）已知函数()()2e 4x f x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为44y x =+. （1）求a b ，的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.7（2013全国II 文21）已知函数2()e xf x x -=. （1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围. 【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝－e －xx(x －2)．① 当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x)＜0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2. (2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f ′(t)(x －t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝2x x+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)． 8. (2015全国II 文21)已知函数()()=ln +1f x x a x -.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.题型3 函数零点和图像交点个数问题9.（2011全国文10）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）. A.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭10.（2011全国文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）.A.10个B.9个C.8个D.1个11. (2014全国I 文12)已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (1,)+∞C. (,2)-∞-D. (,1)-∞-12. （2014新课标Ⅱ文21）已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）求证：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【解】（1）1,200-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=a a f k B x A af a x x x f ax x x x f AB 所以即则轴交点为，切线与设切点， （2）仅有一个交点与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(122322322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k xx x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<题型4 不等式恒成立与存在性问题13. (2010，全国卷1) 已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 【解】（Ⅰ）()()()241331f x x ax ax '=-+- 当16a =时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值.所以(2)12f -=-是()f x 的极小值.14.（2012全国文21）设函数()f x 满足()e 2xf x ax =--. （1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.【解】（I ）函数f （x ）=e x﹣ax ﹣2的定义域是R ，f′（x ）=e x﹣a ，若a≤0，则f′（x ）=e x ﹣a≥0，所以函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）=e x ﹣a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． （II ）由于a=1，所以，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1=（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x+1故当x ＞0时，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0等价于k ＜（x ＞0）①令g （x ）=，则g′（x ）=由（I ）知，函数h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）=e x﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x ∈（0，α）时，g′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g′（x ）＞0；所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g′（α）=0，可得e α=α+2所以g （α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2.15.（2013全国II 文12）.若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是（ ） .A.(,)-∞+∞B.(2,)-+∞C.(0,)+∞D.(1,)-+∞ 16. （2014新课标Ⅰ文21）设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-()1a ≠，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为0.（1）求b ；（2）若存在01x ≥，使得()01af x a <-，求a 的取值范围.17. （2014新课标Ⅱ文11）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞题型5 利用导数证明不等式18.（2011全国文21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解】（Ⅰ）221(ln )()(1)x a x b x f x x x+-'=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=x x x 11ln ++，所以)1ln 2(111ln )(22xx x x x x f x ---=--，考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='，所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得ln ()1x f x x >-，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得ln ()1x f x x >-，从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.19.（2015，全国卷1）设函数()2ln xf x e a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.【解】（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.题型6 导数在实际问题中的应用。
2015专题五：函数与导数(含近年高考试题)
2015年高考专题系列：函数与导数函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，禾U用导数判断函数的单调性、极值、最值等问题，以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立等问题，其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与划归、数形结合等重要的思想方法，主要考察导数的工具性作用.考点一：导数几何意义:b X 」例1: (2014新课标全国I 卷) 设函数f(x) =ae x l nx •，曲线y = f(x)在点(1, f (1)处的切线为xy = e(x -1) 2 .(1)求 a,b 的值考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间(I)当k 乞0时，求函数f(x)的单调区间;考点三：用导数解决函数的极值问题1、(2014新课标江西卷)已知函数:' ' ■ ■■ ■ - ■---:.(1)当-：时，求i 虑的极值；(A,B 组同学做) 2013福建高考节选)已知函数f(x) = x — 1 + g (a € R , e 为自然对数的底数).e(1)若曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；⑵求函数f(x)的极值.(分类讨论)(13福建)［解］(1)由f(x) = x — 1 + e x ，得f ' (x)= 1 — e x . 又曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴,例2、(2014新课标山东卷)设函数f(x)=与-k(2 In x)x x(k 为常数, e 二2.71828…是自然对数的底数)a a得f' (1) = 0,即1 —e= 0，解得a= e. (2)f‘(x)= 1 一-x,①当a W 0时，f' (X)>0 , f(x)为(—m,+ m)上的增函数，所以函数f(x)无极值.②当a>0 时，令f' (x) = 0,得e x= a,即x= In a.x q — m, in a), f' (x)<0; x€(ln a, + m), f' (x)>0 ,所以f(x)在(—m, in a)上单调递减，在(In a, + m)上单调递增，故f(x)在x= In a处取得极小值，且极小值为f(ln a) = In a,无极大值.综上，当a W 0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x= In a处取得极小值In a,无极大值.考点四：已知函数的单调性求参数的范围［典例］已知函数f(x)= In x—a2x2+ ax(a € R).若函数f(x)在区间(1，+m )上是减函数，求实数a的取值范围.(分类讨论)考点五：运用导数解决函数的最值问题2 1例5:设函数f(x) = aIn x—bx2(x>0)，若函数f(x)在x= 1处与直线y= — ?相切, (1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)在1, e上的最大值.最值突破题：1. 已知函数f(x) = In x—ax(a € R).求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.2. (2013 全国卷I )设函数f(x)= x2+ ax + b, g(x) = e x(cx+ d).若曲线y= f(x)和曲线y = g(x)都过点P(0 , 2)，且在点P处有相同的切线y= 4x+ 2. (1)求a, b, c, d的值；(2)若x>—2时，f(x)W kg(x),求k的取值范围针对训练1、（2014新课标重庆卷）已知函数f（x）二ae2x- be"-cx（a,bc R）的导函数f'（x）为偶函数，且曲线y = f（x）在点（0, f（0））处的切线的斜率为4—c.（1）确定a,b的值；（2）若c=3，判断f（x）的单调性；2、（2014新课标福建卷）已知函数f x]=e x-ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f x在点A处的切线斜率为-1.（I）求a的值及函数f x的极值；3、（2014新课标安徽卷）设函数f（x）=1+ （1+a）x-x2-x3，其中a > 0 .（I ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；2x4、（2014新课标湖南卷）已知常数a 0,函数f（x）=l n（1 ax）.x+2（1）讨论f（x）在区间（0, •：：）上的单调性；总结:最值拔高题：已知函数f(x)= In x —ax(a € R).⑴求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.1 1［解］(l)f' (x)= -—a(x>0)，①当a w0 时，f' (x) = -—a>0,即函数f(x)的单调增区间为(0, + ).x —1 11 1 一ax②当a>0 时，令f' (x) = 一一a = 0，可得x=，当0<x< 时，f' (x) = >0；— a a —当x>1时，f' (x)=匕尹切，故函数f(x)的单调递增区间为0, a，单调递减区间为a，+m.1(2)①当-W1,即a> 1时，函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，••• f(x)的最小值是f(2) = In 2 —2a.a1 1②当2，即Ova w^时，函数f(x)在区间［1,2］上是增函数，• f(—)的最小值是f(1) = —a.a 2③当1<1<2，即1<a<1时，函数f(x)在1, 1上是增函数，在£，2上是减函数.又f(2) —f(1) = In 2 —a,1•••当2<a<ln 2 时，最小值是f(1)=—a;当In 2w a<1 时，最小值为f(2) = In 2 —2a.综上可知，当0<a<In 2时，函数f(x)的最小值是一a ;当a >In 2时，函数f(x)的最小值是In 2 —2a.［.(2013 全国卷I )设函数f(x)= x2+ ax+ b, g(x)= e x(cx+ d).若曲线y= f(x)和曲线y= g(x)都过点P(0, 2)，且在点P处有相同的切线y= 4x+ 2. (1)求a, b, c, d的值；(2)若—>—2时，f(x)w kg(x),求k的取值范围解］(1)由已知得f(0) = 2, g(0) = 2, f' (0) = 4, g ' (0) = 4.而f' (x) = 2x+ a, g' (x) = e—(cx+ d+ c)，故b= 2, d= 2, a = 4, d + c= 4. 从而a = 4, b= 2, c= 2, d= 2.2 —— 2⑵由(1)知，f(x) = —+ 4x+ 2, g(x) = 2e(x+ 1). 设函数F(x)= kg(x)—f(x) = 2ke (x+ 1) ———4x —2,则F ' (x)= 2ke—(x+ 2) —2x—4 = 2(x+ 2)(ke——1). 由题设可得F(0) > 0, 即卩k> 1.令F ‘ (x)= 0 得X1 =—In k, X2=—2.(i )若1w k v e2,则—2v X1W 0.从而当x q —2, X”时，F‘(x)v0;当x€(x1,+)时，F' (x)> 0, 即卩F(x)在(—2, X”上单调递减，在(X1,+s)上单调递增，故F(x)在［—2,+^)上的最小值为F(x”.而F(x” = 2x1 + 22—X1 —4X1 —2=—X1 (X1+ 2) > 0.故当x> —2时，F(x)》0，即f(x)w kg(x)恒成立.(ii )若k= e2,贝U F ' (x)= 2e2(x+ 2)(e——e—2).从而当x>—2 时，F ' (x)> 0，即F(x)在(一2,+ )上单调递增，而F(—2) = 0，故当x> —2 时，F(x)》0, 即卩f(x)w kg(x)恒成立.(iii )若k>e2,贝U F(—2) = —2ke—2+ 2 = —2e—2 (k—e2) v 0.从而当x> —2 时，f(x)w kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是［1 , e2］.。
2015年高考数学专题：函数与导函数
30天决战高考——2015年高考数学函数与导函数专题主编：贾海琴老师一、选择题：1、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f （ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3 2、函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则n m ,的值可能是( )A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m第2题图3、根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是（ ）A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，164、设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5、已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f （a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f =( ) A ．2B ．154C ． 174D ．2a 6、若()log ()f x x 121=2+1，则()f x 的定义域为 （ ） A ．(,)1-02B ．(,]1-02C ．(,)1-+∞2D ．(,)0+∞7、设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t的值为（ ）A ．1B ．12C ．52D ．228、若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为（ ）A ．(,)0+∞B ．-+10⋃2∞（，）（，）C ．(,)2+∞D ．(,)-109、设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ） A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞]10、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ）A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）11、函数2(0)y x x =≥的反函数为（ ）A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥ C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥12、设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（ ） A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1213、函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）14、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．915、设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是（ ）A BC D16、函数x x x f cos )(-=在[0，+∞）内 ( )A ．没有零点 B. 有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 17、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A. 1ln ||y x = B. 3y x = C. ||2x y = D. cos y x = 18、函数()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的( )A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件19、知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n s lim （ ） A. 3 B. 52 C. 2 D. 3220、已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>21、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ22、下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是（ ）A. 2y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2x y -=23、函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．824、设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=( ) A ． 4-或2- B ．4-或2 C ．2-或4 D ．2-或225、下列区间中，函数)2()(x In x f -=在其上为增函数的是( )A ． (]1,∞-B ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)30,2⎡⎢⎣D ．[)1,226、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（ ）A. 3- B . 1- C. 1 D. 327、函数()()2log 31x f x =+的值域为( )A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ 28、设 ()()()525352525253,,===c b a ，则c b a ,,的大小关系是( ) A. b c a >> B. c b a >> C. b a c >> D. a c b >>29、函数()412x x f x +=的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称30、给出下列三个命题： ①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图像也关于直线y x =对称；③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。
2015年高考真题解答题专项训练：函数与导数(理科)学生版
2015年高考真题解答题专项训练：函数与导数（理科）学生版1．（2015•广东卷）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．2．（2015•重庆卷）（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
3．（2015•新课标2卷）设函数 。
（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；（2）若对于任意 ，都有 ，求m 的取值范围。
4． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，（Ⅲ）设实数k 使得对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．5．（2015•浙江卷）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.6．（2015•新课标1卷）已知函数， ． （1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．7．（2015•四川卷）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.8．（2015•陕西卷）设()21,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥（Ⅰ）求()2n f '；（Ⅱ）证明： ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.9．（2015•福建卷）已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =∈ （Ⅰ）证明：当0x x x ><时，f()；（Ⅱ）证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x ∈任意，恒有f()()x g x >； （Ⅲ）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x ∈，t 恒有2|f ()()|x g x x-<．参考答案1．（1）f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】试题分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．2．（1）0a =，切线方程为30x ey -=；（2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析） 【解析】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得'()f x =，由已知得'(0)0f =，可得0a =，于是有,由点斜式可得切线方程；（2）由题意'()0f x ≤在[3,)+∞上恒成立，即2()3(6)g x x a x a =-+-+0≤在[3,)+∞上恒成立，利用二次函数试题解析：（1）对()f x 求导得因为()f x 在0x =处取得极值，所以(0)0f '=，即0a =.当0a =时,从而()f x 在点1(1)f （，）处的切线方程为化简得30x ey -= （2）由（1 令()2g()36x x a x a =-+-+由g()0x =，解得 当1x x <时，g()0x <,故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，g()0x >,故()f x 为增函数； 当2x x >时，g()0x <,故()f x 为减函数；由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知故a考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．3．（1） 在 单调递减，在 单调递增；（2） .【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析） 【解析】（Ⅰ） ．若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．若 ，则当 时， ， ；当 时， ， ．所以， 在 单调递减，在 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的 ， 在 单调递减，在 单调递增，故 在 处取得最小值．所以对于任意 ， 的充要条件是： 即①，设函数 ，则 ．当 时， ；当 时， ．故 在 单调递减，在 单调递增．又 ， ，故当 时， ．当 时， ， ，即①式成立．当 时，由 的单调性， ，即 ；当 时， ，即 ．综上， 的取值范围是 ．考点：导数的综合应用．视频4．（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析） 【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0x =处的函数值及导数值，再用直线方程在()01x ∈，成立，可用作差，利用导数研究函数F(x)在区间（0，1）上的单调性，由于()0F x '>，()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k 作讨论，首先[0,2]k ∈符合题意，其次当2k >时，不满足题意舍去，得出k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ），曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，对(0,1)x ∀∈()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，（Ⅲ）成立，()01x ∈，，()01x ∈，； 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 5．（1）详见解析；（2）3.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析） 【解析】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1，由||2a ≥，得，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得m a x {(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M ab ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3..考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.6．（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时， 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当 或 时， 由一个零点；当 或时， 有两个零点；当时， 有三个零点.考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 7．（1时，()g x 在区间 在时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析） 【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，时，()g x 在区间时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2.故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=..知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增.即0(0,1)a ∈.当0a a =时，有000()0,()()0f x f x x ϕ'===，. 由（1）知，函数()f x '在区间(1,)+∞上单调递增.故当0(1,)x x ∈时，有0()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，有0()0f x '>，从而0()()0f x f x >=； 所以，当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥.综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.考点：本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.8．（Ⅰ）()()2121nn f n =-+'；（Ⅱ）证明见解析，详见解析.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设()112n n f x x nx -=++'+，所以()121222n n f n -=++'+⨯，此式等价于数列{}12n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得()()2121n n f n =-+'；（Ⅱ）因为()010f =-<， 222212120333nn f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点，又，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，因此， ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ，由于()111n n x f x x -=--，所以()1011n n n n na f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>，故1223n a <<，继而得111112*********n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）由题设()112n n f x x nx -=++'+， 所以()121222n n f n -=++'+⨯① 由()22212222n n f n '=⨯+⨯++②①-②得()21212222n n n f n --=++++-'，所以()()2121nn f n =-+' （Ⅱ）因为()010f =-<222133222112120233313n n n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点， 又所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 因此， ()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ，由于()111nn x f x x-=--， 所以()1011n n n n na f a a -==-- 由此可得1111222n n n a a +=+> 故1223n a << 所以111112*********n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列. 视频 9．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） =1k ．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析）【解析】解法一：（1）令()f ()l n (1),F x x x x x x =-=+-∈+∞则有1()11+1+x F x x x '=-=- 当(0,),x ∈+∞ ()0F x '<,所以()F x 在(0,)+∞上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x <f()．（2）令G ()f ()(x x g x x k x x =-=+-∈+∞则有1(1k )()1+1+kx G x k x x -+-'=-= 当0k ≤ G ()0x '>,所以G()x 在[0,)+∞上单调递增, G()(0)0x G >=故对任意正实数0x 均满足题意.当01k <<时，令()0,x '=G 得11=10k x k k -=->． 取01=1x k-，对任意0(0,),x x ∈恒有G ()0x '>,所以G ()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即f()()x g x >.综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ∈，恒有f()()x g x >．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x ∀∈∞+()f()g x x x >>，故()f()g x x >，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-'=--++故当8(k 1)0x ∈（时，M ()x '>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ∈，恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--∈∞，+，则有2'1-2-(k +2()2=,11x x k N x k x xx -+=--++故当2)8(1k )0x ∈（时，N ()x '>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x 1x ， 则当21(0)|f()()|x x x g x x ∈->，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x ∈∞当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有21-2H ()12=,11x x x x x x -'=--++ 当0x >时，H ()0x '<,所以H()x 在[0+∞，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x ∀∈∞+()f()g x x x >>，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ∈-对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x ∈任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ∈->，时，恒有， 故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x ∈∞当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x x x x x x --'=--=++ 当0x >时，M ()0x '<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意．综上，=1k .考点：导数的综合应用．。
2015届高考理科数学函数导数
的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？ 提示：(1)幂函数与指数函数的本质区别就在于自变量的位 置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在 指数位置．在所给的三个函数中只有y＝ x是幂函数． (2)在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下.
考点2 二次函数的图象和性质
[想一想] 值吗？
解析：对于①：∵y＝x
1 2
在(0，＋∞)上为增函数，∴当x>1
1 时，f(x)>f(1)＝1，①正确；对于②：取x1＝ 4 ，x2＝4，此时f(x1)＝ 1 2 ，f(x2)＝2，但f(x2)－f(x1)<x2－x1，②错误；对于③：构造函数g(x) fx x 1 ＝ x ＝ x ＝x－ 2 ，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，当x2>x1>0 fx2 fx1 时，有 x < x ，即x1f(x2)<x2f(x1)，③错误；对于④：f(x)＝x 2 1
当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递 增，则当x＝1时，ymin＝－1.
(2)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约， 常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．
[学以致用] 3．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函 数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
3种必会方法——二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么 x1＋x2 函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝ 2 . (2)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成 立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． (3)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(－x)， 那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．
2015年高考数学导数真题及答案
遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通
过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
2.【2015 高考陕西，理 12】
对二次函数 f (x) ax2 bx c （ a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅
有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
则 h' (x) f ' (x) 1 0 ，所以函数 h(x) 在 R 上单调递增，且 1 0 ，所以 h( 1 ) h(0) ，
k
k
即 f ( 1 ) 1 1， f ( 1 ) 1 1，选项 A,B 无法判断，故选 C．
kk
kk
【考点定位】函数与导数．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若
3.【2015 高考新课标 2，理 12】
设函数 f ' (x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf ' (x) f (x) 0 ，
则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是（）源自A． (, 1) (0,1)
B． (1, 0) (1, )
2
为该抛物线过点 5, 2 ，所以 2 p 2 52 ，解得 p 25 ，所以 x2 25 y ，即 y 2 x2 ，所
4
2
25
以当前最大流量是
5 5
2
2 25
x2
dx
2x
2 75
x3
5 5
2
5
2 75
53
2 5
2 75
53
40 3
，故
原始的最大流量与当前最大流量的比值是
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 导数的概念与运算(含答案)
第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________． 答案：－12，－2 解析：f （2）－f （1）2－1＝－12；f （1）－f ⎝⎛⎭⎫121－12＝－2. 2. 某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝2s 时，汽车的瞬时速度为________．答案：4m/s 解析：注意带单位．利用导数可求．3. 若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f′(x)>0的解集是________．答案：(2，＋∞)解析：x>0，f ′(x)＝2x －2－4x>0，解得x>2. 4. 已知f(x)＝x 2＋2xf′(1)，则f′(－1)＝________．答案：－6解析：f′(x)＝2x ＋2f′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴ f ′(1)＝－2，∴ f(x)＝x 2－4x ，f ′(－1)＝－6.5. 曲线f(x)＝e x1－x在x ＝2处的切线斜率为________． 答案：0解析：f′(x)＝e x （1－x ）－e x （－1）（1－x ）2＝e x （2－x ）（1－x ）2，所以切线斜率为f′(2)＝0. 6. 曲线y ＝x 与y ＝8x在它们交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：两曲线交点为(4，2)，利用函数求导知，它们在交点处的切线方程分别为x －4y ＋4＝0与x ＋2y －8＝0，所以两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为6.7. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析：tan θ＝y′＝12⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝13时，取等号，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2lnx 相切，则实数k ＝________．答案：2 e解析：对y ＝2lnx 求导得y′＝2x， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2lnx ＝kx －3，k ＝2x ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2e ，x ＝e －12，即实数k ＝2 e.9. 求下列函数的导数．(1) y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(2) y ＝2x ＋ln2x ；(3) y ＝sinx sinx ＋cosx －12； (4) y ＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)．解：(1) y′＝3x 2＋12x ＋11；(2) y′＝2x ln2＋1x； (3) y′＝1（sinx ＋cosx ）2； (理)(4) y′＝2[ln(2x ＋1)＋1]．10. 已知曲线y ＝x 2＋1x(x>0)． (1) 求曲线在x ＝2处的切线方程；(2) 求曲线上的点到直线3x －4y －11＝0的距离的最小值．解：(1) 3x －4y ＋4＝0；(2) 设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x －4y －11＝0平行，因为y′＝1－1x 2，令1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以切点为⎝⎛⎭⎫2，52，所以距离的最小值为点⎝⎛⎭⎫2，52到直线3x －4y －11＝0的距离，即为3.11. 设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x)e －x 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32，使得l 1⊥l 2，求实数a 的取值范围． 解：由y ＝(ax －1)e x ，得y′＝ae x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x.由y ＝1－x e x ，得y′＝－e x －（1－x ）e x （e x ）2＝x －2e x . 由题意(ax 0＋a －1)·ex 0·x 0－2ex 0＝－1，即(ax 0＋a －1)(x 0－2)＝－1在⎣⎡⎦⎤0，32上有解．方程可化为ax 0＋a －1＝－1x 0－2.设f(x 0)＝ax 0＋a －1，g(x 0)＝－1x 0－2，作图可知1≤a ≤32. 另法：方程可化为a ＝x 0－3x 20－x 0－2.求函数t(x 0)＝x 0－3x 20－x 0－2在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32上的值域即可．。