专题6.2 基本不等式的应用(A卷)-2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)(原卷版)
2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题2.3 导数的应用(一)(A卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数（测试时间:120分钟 满分：160分）一、填空题(共14小题,每小题5分,共70分） 1．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为____________. 【答案】043=-+y x考点:导数的几何意义. 2．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a =。
【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==。
考点：导数的运算。
3．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+,则(2)f '= 。
【答案】0 【解析】试题分析：因为2()2(1)f x xxf '=+，所以()22(1)f x x f ''=+,令1x =,得(1)22(1)f f ''=+，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，所以()22240f '=⨯-=． 考点：导数的运算;函数值的求解．4．曲线xe y =在0=x 处的切线方程是 ．【答案】1+=x y 【解析】试题分析：因为xy e '=,所以在0=x 处的切线斜率为01k e==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+ 考点：导数几何意义【思路点睛】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化。
以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解。
5．已知函数f(x)的导函数xx f cos 5)(+='，x ∈(－1,1)，f(0)＝0,若0)1()1(2<-+-x f x f ,则实数x 的取值范围__________.【答案】（1，2)考点：函数奇偶性单调性解不等式 6．已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间（－1，1）内，则实数a 的取值范围是______【答案】32a <<【解析】试题分析：求导函数,可得()'2321f x xax =++则由题意，方程23210xax ++=的两个不等根都在区间(-1，1）内，构造函数()2321g x x ax =++，则()()241201131010a a g g ⎧∆=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩∴32a <<考点：函数在某点取得极值的条件 7．已知函数2()(2)(ln )f x x f x x '=+-，则(1)f '= ．【答案】2 【解析】 试题分析:2()(2)(ln )f x xf x x '=+-则1()2(2)(1)f x x f x''=+-，则18(2)4(2)(1)(2)23f f f '''=+-∴=81()2(1)(1)23f x x f x''∴=+-∴=考点：本题考查求导点评：求导时要把(2)f '看成常数，再令x=2就可以得到关于(2)f '的方程，求出8(2)3f '=，原来的函数就已知了.8．已知直线1y x =-+是函数1()xf x e a=-⋅的切线，则实数a =______。
高三数学(理)双基双测“AB”卷(浙江版)专题6.3基本不等式(A卷)Word版含解
班级 姓名 学号 分数《基本不等式》测试卷（A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．若正数a ，b 满足2a b +=，则14+1+1a b +的最小值是（ ） A ．1 B ．94C ．9D ．16 【答案】B 【解析】 试题分析：4)1()1(14111411+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++b a b a b a 49)425(41)1)1(41141(41=+≥+++++++=b a a b , 当且仅当1)1(411++=++b a a b 即)1(21+=+a b 时取等号，故选B ． 考点：基本不等式．2．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ．18 B ．14 C ．1 D ．32【答案】A考点：1、基本不等式的应用；3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab=1，a 2+b 2+c 2=4，则ab+bc+ac 的最大值为（ ） A ．B ．C ．3D ．4【答案】A 【解析】试题分析：∵a 2+b 2+c 2=4，ab=1∴a 2+b 2=4﹣c 2≥2ab=2当且仅当a=b=1时取等号∴c 2≤2，∵c ＞0，∴0，a 2+b 2+c 2=4，可得（a+b ）2+c 2=6，则ab+bc+ac=1+（a+b ）c=1+c=1+当c=时，取得最大值1+2，∴ab+ac+bc 的最大值为1+2，故选A ．考点： 基本不等式．4．已知,x y 为正数，且2x y +=，则21x y+的最小值为（ ）A ．2B ．32． 2 D ．22- 【答案】B 【解析】试题分析：211211213=(3)(32222y x x y x y x y +⋅++≥++（x+y ）(+)=,当且仅当2x y +=且yxx y =2（0,0>>y x ）即222,224-=-=y x 时取等。
故选B 考点：均值不等式求最值5．若直线2ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）恰好平分圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的面积，则的最小值（ ）A ．B ．C ．2D ．4 【答案】D考点：直线与圆的位置关系基本不等式6．下列说法正确的是A ．函数xx y 2+=的最小值为B ．函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y 的最小值为C ．函数xx y 2+=的最小值为D ．函数xx y lg 2lg +=的最小值为 【答案】C考点：1．基本不等式；2．对勾函数7．已知0,0a b >>，则33a b+的最小值是（ ）A ．10B ．．12 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：0a b >>，336612a b ∴+≥=≥⨯=， 当且仅当1a b ==时取得等号． 考点：基本不等式． 8．设)11)(11)(11(---=cb a M 满足1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C ．[)8,1 D ．[)+∞,8 【答案】D考点：均值不等式．二．填空题（共7小题，共36分） 3. 已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为__________． 【答案】9考点：1．基本不等式； 10.已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为 ． 【答案】8 【解析】试题分析：因为13310x y x y +++=，所以13310()x y x y+=-+，所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+⎪⎝⎭，令3t x y =+，则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭，而2y x x y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8． 考点：1、基本不等式的应用；2、一元二次不等式的解法； 11．若正数x ，y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：1332=+y x ，所以原式变形为：335323223532323322121=+⨯≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y y x x y y x y x x y x y ，所以最小值是3． 考点：基本不等式求最值12.函数)0,1(1)3(log >≠-+=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中0,0>>n m ,则nm 21+的最小值为 ． 【答案】8考点：1．对数函数恒过点；2．基本不等式13.已知a>0，b>0，ab -（a ＋b ）＝1，求a ＋b 的最小值 ． 【答案】222+ 【解析】试题分析：根据基本关系式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，所以原式转化为不等式就是()122≥+-⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a ，设t b a =+，所以0442≥--t t ，解得222+≥t ，所以最小值是222+． 考点：基本不等式求最值14.设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=．则当zxy取得最小值时，4x y z +-的最大值为_____ 【答案】32【解析】试题分析：由已知224z x xy y =-+，所以2244113z x xy y x y xy xy y x y x--==+-≥-=，当且仅当4x yy x=，即2x y =时等号成立，则222242442466x y z y y y y y y y +-=+-+-=-+=213622y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当12y =时，()max 342x y z +-=．考点： 1．均值定理；2．二次函数求最值． 15.已知()2250,x x a a a x R -+=>∈，则x x a a -+=_______【答案】23 【解析】 试题分析：225xx a a-+=，两边平方得22523x x x x a a a a --++=∴+=考点：代数式求值三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（1）已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值； （2）已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）1；（2）16 【解析】试题分析：本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。
2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.1 一元二次不等式(B卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数(测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题,每小题5分,共70分） 1．不等式2230x x -++<的解集是____________________．【答案】{}|13x x x <->或【解析】试题分析：不等式变形为：2230x x -->，分解因式可得：()()310x x -+>,所以解集为{}|13x x x <->或考点：解一元二次不等式 2．若不等式2x ax b -+>的解集为{}23x x x <>或，则a b += ．【答案】11考点：1．三个二次关系；2．根与系数的关系3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2〈0的解集是（1,m),则m ＝________．【答案】2 【解析】试题分析:x=1时，a —6+ 2a =0（1）1a =—3，—32x -6x+9<0,得x 〈—3,或x 〉1，与题不合.(2）2a =2，22x —6x+4〈0，1〈x 〈2，m=2.考点：不等式4．若不等式08322≥-+kx kx 的解集为空集,则实数k 的取值范围是_________．【答案】(—3，0] 【解析】试题分析：对二次项的系数进行分类讨论，当k=0时，解集为空集符合题意；当0>k 时,不等式的解集不是空集；当0<k 时,有不等式的解集为空集可知0<∆即032<+k k,解得03<<-k ；综上得]0,3(-∈k ，答案为(—3，0]．考点:解一元二次不等式5．对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223xxy y x my ++≥++成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】]21,(-∞考点:不等式恒成立的条件和存在性不等式成立的条件及运用．【易错点晴】本题设置的不等式恒成立的问题为背景，考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时先将变量x 视为主元，由于对任意的实数x 都成立，借助二次函数的图象列出不等式0)3(4)2(22≤----my y y ，进而将不等式中的参数（包括常数和系数）分离出来,由于题设中是存在实数[]1,2y ∈，因此在解答时,,这一点很容易出错哦。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。
高考数学一轮复习专题训练—基本不等式及其应用
基本不等式及其应用考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 4．应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 5．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值．(4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18C ．36D ．81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 答案 D解析 因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.4．(2021·东北三省三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5．(2020·玉溪一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大． 答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．6．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·成都诊断)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·()2m ＋n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选A.角度3 消元法求最值【例3】 (2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．【训练1】 (1)已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．3 2(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y的最小值为6.(2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1)(2021·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为( )A.3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( ) A.32B ．334C ．32D ．53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，AP →＝λAB →＋4μAD →，又B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 基本不等式的实际应用【例5】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元． 答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【训练3】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和ba 同号，所以⎪⎪⎪⎪ab ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立．故选A.3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.4．已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x)≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号． 6．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A ．6B ．233C ．4D ．23 答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B. 7．(2021·郑州一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．2 2答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8．(2021·厦门联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2B ．2 2C ．4D ．92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 答案 8解析 由题设可得1a ＋2b＝1，∵a >0，b >0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二(代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝31＋y 2－61＋y ＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥231＋y ·121＋y －6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11．(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________． 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. 12．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2 解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． B 级 能力提升13．(2020·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪12a ＋b －b ＝⎪⎪⎪⎪12a －b ， 在Rt △OCF 中 ，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2， ∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．故选D. 14．(2021·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B ．1C ．2D ．59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2 ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4a ＋13b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立．故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧ a 2＝22，b 2＝24时取得等号．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。
专题03 不等式(A卷)-2016-2017学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修5)(解析版)
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.ac bc > B.11a b< C .22a b > D.33a b > 【答案】D 【解析】考点：不等式成立问题.2.【原创题】不等式23100x x -++>的解集为（ ） A.{}25x x x <->或 B.{}52x x x <->或 C.{}25x x -<< D.{}52x x -<< 【答案】C 【解析】试题分析：原不等式可化为23100x x --<，即 ()()520x x -+<，解得25x -<<，所以原不等式的解集为{}25x x -<<，故选C. 考点：一元二次不等式的解法. 3.若0xy >，则对式子x yy x+与列说法正确的是（ ） A.有最大值2- B.有最小值2 C .无最大值和最小值 D.无法确定 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于0xy >，说明,x y 同号，即0x y >，0yx>，则利用基本不等式可知2x y y x +=…，当x y =时等号成立，故答案为B. 考点：均值不等式4.不等式20x y ->表示的平面区域（阴影部分）为（ ）ABCD【答案】D 【解析】考点：二元一次不等式（组）与平面区域.5.【改编题】若0b a <<，下列不等式中不一定成立的是（ ） A.11a b b>- B.11a b<> D.0a b -<-< 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，因为0b a <<，所以0a b ->与0b >的大小关系不确定，所以无法比较11a b b>-的大小（或者采用特殊值代入验证），故选A 考点：不等式的性质.6.不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +=（ ） A.10B.10-C.14D.14-【答案】D试题分析：由题意知12-，13是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数关系得112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-. 考点：一元二次不等式与一元二次方程的关系.7. 【湖南省株洲市二中2016届高三上学期第一次月考】若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ） A.245 B.285C.6D.5 【答案】D 【解析】试题分析:由题知正数,x y 满足113()15y x+=，所以1131312134()(34)(13)(1335555x y x y x y y x y x +=++=++≥+⨯=，故选D.考点：基本不等式.8.【2015高考湖南，文7】若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为( ) AB 、2C 、D 、4 【答案】C【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行9.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解. 10.已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ） A.18B.16C.8D.10【答案】A 【解析】考点：均值不等式.11. 【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ） （A ）4（B ）9（C ）10（D ）12【答案】C 【解析】考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.12. 【山东省东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟考试（理科）】若存在实数x 使4x a x -+≤成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】44a -≤≤ 【解析】试题分析：因为|()|||x a x x a x a -+≤--=，则由题意，得||4a ≤，解得44a -≤≤． 考点：不等式的解法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 【2015高考广东，文11】不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．【考点定位】一元二次不等式．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题．解题时要注意2x 的系数是否为正数，如果2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误．14. 【改编题】已知1a =-，2b =-则在①a b >；②a b =；③a b <关系式中正确的是 .（只要求填序号） 【答案】③ 【解析】考点：不等关系的应用.15.当0x >时，函数224x x y x++=的最小值为 .【答案】6 【解析】试题分析：由于0x >，所以函数224422426x x y x x x ++==+++=+=…，当且仅当2x =时取等号，所以函数224x x y x++=的最小值为6.考点：基本不等式的应用.16. 【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【改编题】（本题满分10分）已知集合{}2340A x x x =--<，{}2760B x x x =-+<，求A B ⋂. 【答案】 【解析】所以{}{}{}141646A B x x x x x x x ⋂=<->⋂<<=<<或.…………10分 考点：一元二次不等式的求解.18.【改编自2016广西桂林调研考试，理15】（本题满分12分）已知m 、n 为正实数,向量()(),1,1,1m n ==-a b ,若b a ⊥,求12m n+的最小值．【答案】3+【解析】由b a ⊥，得1m n +=,则12m n +=()122333n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=12n m n m m n ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2212n m ，取等号）， 即12m n +的最小值为3+ 19.（本题满分12<【答案】详见解析. 【解析】试题分析：要证明无理不等式，可以通过两边平方来分析证明.均为正数，所以要证<(22<成立，两边展开得1020+<5<，所以只需证明225<，即2125<，因为2125<<成立.<成立，只需证明(22<成立，…………3分两边展开得1020+<5<，…………6分所以只需证明225<，即2125<，…………10分因为2125<<.…………12分 考点：分析法证明不等式.20.【【百强校】2016届云南玉溪市高三第三次教学质检（理）】（本题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =-． （1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，1BD =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）23B π=；（2． 【解析】由正弦定理知sin sin cos sinB A B C C =，即()sin sin cos sin B C B C C B +=，sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=-，cos sinC sin B C B =． 又由C 为ABC ∆的内角，故而sin 0C ≠，所以tan B =又由B 为ABC ∆的内角，故而23B π=故而当且仅当2a c ==时，ABC S ∆考点：正弦定理；三角形的面积公式．21.（本题满分12分）某企业要建造一个容积为318m ，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？ 【答案】将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 【解析】试题分析：解决数学应用题的步骤：①审题，设出有关量，注明自变量的取值范围；②列出函数表达式；③求函数的是值；④作答.由题意可设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元，则由容积为318m ，可得218xy =，因此9xy =，()()20091502222180060018006005400z x y x y =⨯+⨯⨯+⨯=+++⋅=…，当且仅当3x y ==时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 试题解析：设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元，……1分 则由容积为318m ，可得218xy =，因此9xy =，…………4分()()20091502222180060018006005400z x y x y =⨯+⨯⨯+⨯=+++⋅=…，……8分当且仅当3x y ==时，等号成立.…………10分所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.……12分 考点：基本不等式的应用.22.（本题满分12分）设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠. （1）若不等式()0f x >的解集()1,3-，求,a b 的值；（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值. 【答案】（1）1a =-，4b =；（2）9.【解析】试题分析：（1）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式大小；④端点值符号四个方面分析.（2）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数列结合思想与分类讨论思想.（3）利用基本不等式（2）由()12f =，0a >，0b >，得1a b +=，…………8分 所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=+++= ⎪⎝⎭…，…………10分 当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，…………11分所以14a b的最小值为9.…………12分考点：1.利用不等式的解求参数值；2.基本不等式的应用.：。
2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.2 基本不等式的应用(B卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分:160分）一、填空题（共14小题，每小题5分,共70分)1．已知a 〉0，b>0，ab -（a ＋b ）＝1,求a ＋b 的最小值 ． 【答案】222+考点:基本不等式求最值 2．已知()2250,xx aaa x R -+=>∈，则x x a a -+=_______【答案】23 【解析】 试题分析：225x x aa-+=,两边平方得22523x x x x a a a a --++=∴+=考点：代数式求值3．若正数x ，y 满足230x y +-=，则2x y xy+的最小值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：1332=+y x ，所以原式变形为：335323223532323322121=+⨯≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y y x x y y x y x x y x y ，所以最小值是3．考点：基本不等式求最值4．已知,x y 为正数，且13310x y xy+++=，则3x y +的最大值为 ．【答案】8考点：1、基本不等式的应用；2、一元二次不等式的解法； 5．已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：函数变形为11()112(1)1311f x x x x x =-++≥-⨯+=--111-=-x x 时等号成立，因为1>x ，所以解得2=x 时,函数的最小值是3．考点：基本不等式求最值6．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，yx y x 2422++是 ． 【答案】22，2【解析】2x y +222222=⋅=≥xy xy 222)2(214y x y x +≥+，所以有y x yx 2422++222122212≥+=++≥）（）（y x y x y x ，这两个不等式取等号时都需满足相同的条件y x 2=，所以它的最小值为2．考点：不等式性质的运用．【一题多解】本题也可利用对勾函数来求最小值:xy 1=，xx y x 22+=+,由对勾函数的最值可知当2,2==x xx 即时,xx 2+取得最小值22，所以222≥+y x ；2222242()44222x x x y x x x y x x x x ++-+==+++ 242x x x x=+-+，令x x t 2+=,原式4t t =-在()0,+∞为增函数，因为t 的最小值为22,所以tt 4-的最小值为2．7．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y 4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是 ． 【答案】(]9,∞- 【解析】试题分析：()1414455249y xx y xyxy xy⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，最小值为99m ∴≤考点:均值不等式求最值 8．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立,则实数m 的最大值为 。
2019届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)： 专题6.2 基本不等式的应用(B卷)
3．
5
（2骤)
15.
16（1
（2）利用（1）的结论求函数.
【答案】（1）证明见解析：（2
【解析】
考点：1、基本不等式；2、函数最值．
17．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为已知此生产线的年产量最大为210吨.
(Ⅰ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】(Ⅰ) 年产量为200吨时，最低成本为32万元；(Ⅱ) 当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利润是.
【解析】
2n c n ++<
2n c n +
+>1221n n +++=+11111
12233412n c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+
+=+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
112n -<+， 2n c n +
+<定义法求数列通项； C. ，求RP ·RQ 的最小值； ，问四边形PRQT 的面积是否存在
1(RP RQ x ∴=+21222(1)1k x x k k
+++≥1616RP RQ RP RQ ∴≥，即最小值为
考点：抛物线的定义；根与系数的关系；基本不等式.。
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题5.2 数列的综合(A卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．若数列{}n a 满足()*111,2n n a a a n N +==∈，则4a =______；前8项的和8S =______．（用数字作答） 【答案】8、255 【解析】试题分析:由()*111,2n n aa a n N +==∈，可知数列{}n a 为等比数列，故48a =,8255S =。
考点：等比数列．2．已知数列｛a n ｝的前n 项和为nS ，且nS ＝1232-+n n,则数列{a n }的通项公式na ＝ ．【答案】⎩⎨⎧-=164n an21≥=n n 考点：已知nS 求na3．设数列{}na 的通项公式为2nan bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列,则实数b 的取值范围为 ． 【答案】()3,-+∞【解析】试题分析:因该函数的对称轴为2b n -=，结合二次函数的图象可知当232<-b ,即3->b 时,单调递增,应填()3,-+∞. 考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一，也高考和各级各类考试的重要内容和考点。
解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，借助二次函数的对称轴进行数形结合，合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴2bn -=放在1的左边而得12≤-b ,而得2-≥b 的答案.这是极其容易出现的错误之一.4．数列{a n } 满足a 1=1，a n+1=2a n +3（n ∈N ＊），则a 4= ． 【答案】29故答案为:29．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．5．已知：数列{}na 中，1=9a ，121222=+++,23521nn a a a a n n -≥-，则100a 的值为 ．【答案】12065【解析】试题分析：由121222=+++,23521n n a a a a n n -≥-得11212222=+++,352121n n n a a a a a n n +-+-+两式相减得：11223,2,22121n n n n n n a a a n a a n n n +++-=≥⇒=≥++，所以1009998212012011992032017201212061991991972011995535a a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=考点：叠乘法求项6．数列{}na ,{}nb 的前n 项和分别为nS 和nT ,若231nnSnT n =+则55a b ＝________【答案】914【解析】试题分析：()()19559195599218929228142a a a a Sb b b b T +=====+考点：等差数列性质及求和公式 7．已知数列{}na 的前n 项和542nnS-=-⨯，则其通项公式为【答案】23,12,2,nnn an n N-=⎧=⎨≥∈⎩ 考点：数列递推关系8．数列{}na 的通项公式为2nan n λ=+，对于任意自然数(1)n n ≥都是递增数列，则实数λ的取值范围为 ．【答案】()3,-+∞ 【解析】试题分析：由()()22211121nn a n n a n n n n n λλλλ-=+⇒=-+-=+-+-,因为{}na 是递增数列，所以()102nn aa n -->≥，即210n λ-+>，也即12n λ>-,因为2n ≥，所以3λ>-.即实数λ的取值范围为()3,-+∞。
高三数学基本不等式的应用
4
三、深化
• 证明：
x 3 2. x 1
2 2
四、应用
例3、用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才 能使所围成的矩形的面积最大？ ［练习］用基本不等式求函数y=2x2+4x-7的 最小值。 ［作业］课本P.94.练习第2题，P.95. 4，5题
高三数学基本不等式的应用高三数学先修不等式高中数学基本不等式基本不等式应用题基本不等式的应用高中数学不等式题型高中数学不等式公式数学必修五不等式初中数学不等式高中数学不等式视频
基本不等式的应用
一、温故
• 1、若P＞0，则P与9P的算术平均数是＿ 5P 3P ＿＿＿，几何平均数是＿＿＿＿； • 2、两个正数(a+b)与(a-b)的算术平均数 a 是＿＿＿＿ ;几何平均数是＿＿＿＿； a b 1 • 3、若a>1，则(a-1)与 的几何平均数 a 1 1 是＿＿； • 4、基本不等式是 ab a b (a 0, b 0) ＿＿＿ ［练习］证明：
（ 1 ）a b 2ab; (2) x 1 2x;
2 2 2
1 (3)a 3; a -1
1 (4) x -2(x 0). x
三、深化
• 例2、已知函数
1 yx , x (-2, ), x2
• 求此函数的最小值。
［练习］P.91.
专题6.1 一元二次不等式(A卷)-2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)(解析版)
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．不等式x x 22≥的解集是 ． 【答案】{}20≥≤x x x 或 【解析】试题分析：原式等价于022≥-x x ，即()02≥-x x ，所以2≥x 或0≤x ． 考点：二次不等式的解法2．不等式x 2﹣2x ＜0的解集为 ． 【答案】{x|0＜x ＜2}【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题．3．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则a 的取值范围为____ 【答案】3(,1]5【解析】试题分析：由22(1)(1)10a x a x ----<解集为R ，可得：（1）当210,1a a -==±时；10-<成立； （2）当11a -<<时；2230,(1)4(1)0,15a a a <-+-<-<<成立； （3）当11a a <->或时；不成立。
综上可得实数a 的取值范围；3(,1]5． 考点：一元二次不等式的解法及分类思想.4．若关于x 的不等式b ax >的解集为)51,(-∞，则关于x 的不等式0542>-+a bx ax 的解集为 。
【答案】4(1,)5- 【解析】试题分析：由b ax >的解集为)51,(-∞ ，可得；5,1a b =-=-，则可得；2540x x --+> 又变形，24540,(54)(1)0,(1,)5x x x x x +-<-+<∈- 考点：一元一次不等式与一元二次不等式的解法.5．若不等式210x ax ++≥对一切1(0,]2x ∈成立，则a 的最小值为 ． 【答案】25-考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性．【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：(1)分离参数，得到()a f x ≥ (或()a f x ≤)；(2)求函数的最值，得到()max f x ＝()(min m f x n =)；(3)极端原理，即a m ≥ (a n ≤)，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题．6．已知函数f(x)＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________． 【答案】－2 【解析】当－2a≤0，即a≥0时，函数f(x)在[0,3]上为增函数，此时，f(x)min ＝f(0)＝－1，不符合题意，舍去； 当－2a ≥3，即a≤－6时，函数f(x)在[0,3]上为减函数，此时，f(x)min ＝f(3)＝－2，可得a ＝－103，这与a≤－6矛盾； 当0<－2a <3，即－6<a<0时，f(x)min ＝f(－2a)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意．综上a 的值为－2.7．已知不等式24220x ax a -++≤的解集为M ，若[1,4]M ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】19,27⎛⎤- ⎥⎝⎦考点：三个“二次”的综合应用.8．已知()f x 为奇函数，当[]0,2x ∈时，2()2f x x x =-+；当()2,x ∈+∞时，()24f x x =-，若关于x的不等式)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围为_________． 【答案】(2,0)(0,)-+∞．【解析】试题分析：显然0a ≠，()f x a +可视为将函数()f x 的图象向左或向右平移||a 个单位后所形成的，将()f x 的图象作出如下图所示，若0a <：则不等式)()(x f a x f >+有解等价于将函数()f x 的图象向右平移a 个单位后所得的函数()f x a +的图象存在位于函数()f x 的图象上方的部分，由图可知||2a <，即20a -<<，若0a >：同理可知，不等式)()(x f a x f >+有解等价于将函数()f x 的图象向左平移a 个单位后所得的函数()f x a +的图象存在位于函数()f x 的图象上方的部分，由图可知，这是显然成立的，∴实数a 的取值范围是(2,0)(0,)-+∞．考点：1．奇函数的性质；2．函数与不等式相结合． 9．[2013·天津调研]设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f(x m)－4m 2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(]∪，＋∞)10．若的必要不充分条件，则a 的最小值是 ．【答案】3． 【解析】试题分析：由题意知()()(),,13,,3,a a a +∞⊆-∞-+∞∴≥的最小值是3．考点：1．一元二次不等式的解法；2．必要不充分条件的判断；3．参数最值问题． 11．若关于x 的不等式mx 2－mx ＋1＜0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)∪(4，＋∞)考点：不等式 解集点评：主要是考查了一元二次不等式的解集的运用，属于基础题。
专题6.1 不等式(A卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(原卷版)
班级 姓名 学号 分数专题6.1 《不等式》测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知ln x π=，y π21log =，12z e-=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<2. 若不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域为Ω，P 、Q 均为Ω内一点，O 为坐标原点，73z x y =-+，则下列判断正确的是（ ）A ．z 的最小值为1-B ．||OPC ．z 的最大值为15-D ．||PQ的最大值为3. 已知a b >，c d <，则下列命题中正确的是（ )A ．a c b d ->-B ．a b d c> C ．ac bd > D ．c b d a ->- 4. 下列选项中，使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是 A ． （1，+∞） B ． （0,1） C ． （-1,0） D ． （-∞，-1）5. 设12322()log (1)2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（ ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞ D ．（1，2）6. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于37. 设0a >，1b >，若2a b +=，且不等式24181m m a b +>+-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．9m >或1m <- B ．1m >或9m <-C ．91m -<<D ．19m -<<8. 已知x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+≤-+,0,1,032,052y x y x y x 则x y 的最值是（ ） A.最大值是2，最小值是1 B.最大值是1，最小值是0C.最大值是2，最小值是0D.有最大值无最小值9. 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10. 关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7(,)2-∞- B ．(,1)-∞ C ．7(,)2-+∞ D ．(1,)+∞ 11. 若关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0=2，则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞-B ．1(,)3-∞C ．2(,)3-∞-D ．5(,)3-∞-12. 已知()()23f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是()1,0x b a b +<>，则,a b 之间 的关系是（ ）A ．2b a >B ．2a b <C ．2b a ≤D ．2a b ≥ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .14. 若实数00a b >>，，且121a b +=，则当24a b +的最小值为m 时，不等式|1||2|1x x m --+<解集为 _________. 15. 已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为______________．16. 将正偶数排列如图，其中第i 行第j 列的数表示为*(,)ij a i j N ∈，例如4318a =，若2014=ij a ，则i j += ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知函数()21f x x x =+--.（1）试求()f x 的值域；（2）设233()ax x g x x-+= (0)a >，若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围.18. 命题p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集为R ，命题q ：函数=xy a a -2（2） 为增函数．若p q ∨为真，q ⌝为假,求a 的取值范围．19. 若不等式（1－a ）x 2－4x ＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．（1）解不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0；（2）b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R.20. 若x ，y 满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）2z x y =+的最小值；（2）22z x y =+的范围．（3）y x z x+=的最大值； 21. 已知正实数,x y ，满足等式132x y+=. （1）求xy 的最小值； （2）若23x y m m +≥-恒成立，求实数m 的取值范围.22. 已知不等式0122<+--m x mx（1）若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；（2）设不等式对于满足22≤≤-m 的一切m 的值都成立，求x 的取值范围：。
2017届高三文数同步单元双基双测“AB”卷 专题6.1 不等式(B卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数(测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1。
已知定义在R 上的函数()12-=-m x x f (m R ∈）为偶函数．记()()m f c f b f a 2,log ,log 52431==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则c b a ,,的大小关系为 A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】B考点：函数的性质，函数值的比较大小． 2. 已知0,0x y >>,若2282y x mm xy+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．4m ≥或2m -≤B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<< 【答案】D 【解析】试题分析：2282y x mm xy+>+恒成立2min 282y x m m xy ⎛⎫⇔+>+ ⎪⎝⎭，282828y x y xx y x y +≥⋅=,当且仅当28y x xy=即2y x =时等号成立,所以min288y x xy ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即228m m +<，解之得42m -<<，故选D 。
考点: 1。
基本不等式;2。
一元二次不等式的解法。
【名师点睛】本题考查基本不等式与一元二次不等式的解法，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确：1。
和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件。
3. 对一切实数x ，不等式x 2＋a ｜x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．（－∞,－2]B ．－2,2］C ．－2，＋∞）D ．0，＋∞) 【答案】C考点:函数恒成立问题 4. 不等式252(1)x x +-≥的解集是（ )A.132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B 。
高考数学复习基本不等式及其应用专题练习
高考数学复习基本不等式及其应用专题练习任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，下面是基本不等式及其运用专题练习，希望对考生温习数学有协助。
1.a0,且b0,假定2a+b=4,那么的最小值为()A. 1B.4C.3D.22.a0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,那么m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.63.(2021浙江十校联考)假定正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,那么xy的最大值是()A. 1B.2 C5.2 D.74.(2021重庆,文9)假定log4(3a+4b)=log2,那么a+b的最小值是()A.6+2B.7+2C.6+4D.7+45.函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,那么a+b=()A.-3B.2C.3D.86.(2021福建泉州模拟)正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,假定存在两项am,an使得=4a1,那么的最小值为()A. B. C. D.不存在7.当x0时,那么f(x)=的最大值为 .8.某种饮料分两次降价,降价方案有两种,方案甲:第一次降价p%,第二次降价q%;方案乙:每次都降价%,假定p0,那么降价多的方案是 .9.设a,b均为正实数,求证:+ab2.10.某厂家拟在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-(k为常数).假设不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.2021年消费该产品的固定投入为8万元.每消费一万件该产品需求再投入16万元,厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?13.(2021福建,文9)要制造一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.该容器的底面造价是每平方米20元,正面造价是每平方米10元,那么该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元14.(2021浙江杭州模拟)假定正数x,y满足2x+y-3=0,那么的最小值为 .15.x0,且2x+5y=20.求:(1)u=lg x+lg y的最大值;(2)的最小值.16.(2021福建福州模拟)地沟油严重危害了人民群众的身体安康,某企业在政府部门的支持下,停止技术攻关,新上了一种从食品残渣中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处置本钱y(元)与月处置量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:y=且每处置一吨食品残渣,可失掉能应用的生物柴油价值为200元,假定该项目不获利,政府将补贴.(1)当x[200,300]时,判别该项目能否获利?假设获利,求出最大利润;假设不获利,那么政府每月至少需求补贴多少元才干使该项目不盈余.(2)该项目每月处置量为多少吨时,才干使每吨的平均处置本钱最低?基本不等式及其运用专题练习及答案的一切内容就是这些，查字典数学网请考生仔细练习提升自己。
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班级 姓名 学号 分数
专题6.2《基本不等式的应用》测试卷（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知0>x ，那么x
x 43+
的最小值为 . 2．已知正实数,a b 满足1a b ab +=，则2a b +的最小值是 . 3．设23=+y x ，则函数y x z 273+=的最小值是 .
4．在等式m y x y x m y x 则的最小值为若中,6
5,0,0,94+>>=+的值为 5．定义运算“⊗”： 22
x y x y xy
-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 .
6．若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.
7．若f (x)＝x ＋1
a x -在x ≥3时有最小值4，则a ＝_________． 8．在等式m y x y x m y x 则的最小值为若中,6
5,0,0,94+>>=+的值为 ____. 9．设a b c ，，都是正数，且满足
141a b +=则使a b c +>恒成立的c 的取值范围是 ． 10．设实数a ，x ，y ，满足2222123x y a x y a a +=-⎧⎨+=+-⎩
则xy 的取值范围是 ． 11．若0,y 0x >>,且1322x y x y
+=++,则65x y +的最小值为___________． 12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x ___ ____ 吨．
13．已知直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A （a ，0），B （0，b ）两点，且满足
112=+b
a ，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为 ． 14．定义运算“⊗”： 22
x y x y xy
-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最
小值是 .
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（1）已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145
x -的最大值； （2）已知x>0，y>0且19x y
＋
＝1，求x ＋y 的最小值．
16．设0,0,1a b a b >>+= 求证：
1118a b ab
++≥
17． 某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)＝9n A a bt +，其中2
32t -=，a ，b 为常数，n ∈N ，f(0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
18．求函数a x a x y +++=
221的最小值，其中0>a
19．（1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求y 取最大值时相应的x 的值.
（2）若2>x ，求2
542-+-x x x 的最小值.
20．已知函数()x a f x x b
+=+（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<；
（2）若1a =,当[]1,2x ∈-时，2
1()()f x x b ->
+恒成立，求b 的取值范围.
：。