线性代数课件5-2

得基础解系
1 p2 2 , 1
所以kp2 ( k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量 .
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2 1 1 例7 设 A 0 2 0 , 求A的特征值与特征向量． 4 1 3
解 A的特征多项式为：
B 2 A1 3 A 2E .
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2 3 2 , 则 令 ( )
B ( A) 2 A1 3 A 2E ,
从而可得 B 的特征值为
(1) 1, ( 1) 3,
( 2) 3.
| B | (1) ( 1) (2)
与题设矛盾. 因此 p1 + p2 不是 A 的特征向量.
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四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值;
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组
A i E x 0
2 A E 0 4
1 2 1
2
1 0 3
( 1) 2 ,
所以A的特征值为1 1, 2 3 2.
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当1 1时, 解方程 A E x 0.由
1 1 1 A E 0 3 0 4 1 4 1 得基础解系 p1 0 , 1
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2. 特征值的性质
设 1 , 2 , · · ·, n 是 n 阶矩阵 A = (aij) 的 n 个 特征值, 则 矩阵的迹，记作trA
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
分析
a11 a 21 a n1 a12 a1 n a2n a 22 an2
1 , 2 , · · ·, s .
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,
· · · , s ), 求解齐次线性方程组 (A - i E ) x = 0，
该方程组的全部非零解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部特征向量.
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1 1 0 . 例6 求矩阵A 4 3 0 的特征值和特征向量 1 0 2
9.
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三、特征值和特征向量的性质
定理 2 设 1 , 2 , · · ·, m 是方阵 A 的 m 个特征值,
p1 , p2 , · · ·, pm 依次是与之对应的特征向量， 如果 1 , 2 , · · ·, m 各不相等, 则 p1 , p2 , · · ·,p m线性无关. 证明 则
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Ax = x ( x 0) (A - E)x = 0 | A - E | = 0
a11 a 21 an1 a12 an 2
有非零解的充要条 件
a1 n a2 n 0.
a 22
a nn
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上式是以 为未知数的一元 n 次方程，称为 矩阵 A 的特征方程. 左端 | A - E | 是 的 n次多项式，记作 f(), 称为矩阵 A 的特征多项式. 显然，A 的特征值就是特征方程的解. 特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的 次数(重根按重数计）. 因此，n 阶矩阵 A 在复数范围内有 n 个特征值.
解 A的特征多项式为
1 A E 4 1 1 3 0 0 0 2 ( 2 )(1 )2 ,
所以A的特征值为1 2,2 3 1.
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当1 2 时, 解方程( A 2 E ) x 0. 由
3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0 1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0
第二节
方阵的特征值与特征向量
主要内容：
特征值与特征向量的概念
特征值与特征向量的求法
特征值与特征向量的性质 小结
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一、特征值与特征向量的概念
1. 定义 定义 6 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n
维非零列向量 x 使关系式
Ax = x
（ 1）
成立， 那么，这样的数 称为矩阵 A 的特征值， 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量
设有常数 x1 , x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
A x1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
k 1 k 2 k m
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
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(2) 当A可逆时， 0
Ax x
两边左乘A , 得到 x A x
1
1
A x x
1 1
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
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按上例类推，易得： 若 是方阵 A 的特征值. 则：k 是 Ak 的特征值(k 为正整数);
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 0).
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例 8 设 是方阵 A 的特征值. 证明
(1) 2 是 A2 的特征值; (2) 当A可逆时，-1是A-1的特征值.
证明: 因 是 A 的特征值, 故有 p 0 使
Ap = p. (1) A2p = A (Ap) = A (p) = (Ap) = ( p ) = 2p . 所以， 2 是 A2 的特征值;
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例 9 设三阶矩阵 A 的特征值为 1, 1, 2 ,
设矩阵 B A* 3 A 2 E , 试求:
(1) B 的特征值; 解
(2) | B |.
因为 | A | = 123 = -2 ，所以 A 可逆，
而 A = | A | A-1 = -2 A-1. 所以
A(p1 + p2 ) = (p1 + p2 ) ，
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于是
(p1 + p2 ) = 1p1 + 2p2 ，
即 ( 1 - )p1 + ( 2 - ) p2 = 0 . 因为 1 2 ，按定理2，知 p1 , p2 线性无关，
故由上式得 1 - = 2 - = 0 ，即 1 = 2 ，
上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列 式,当各i不相等时, 该行列式不等于 0, 从而该矩阵 可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
即 x j p j 0 j 1,2,, m .但 p j 0,故 x j 0 j 1,2,, m .
的非零解, 就是对应于 i的特征向量.
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得基础解系
0 p1 0 , 1
所以kp1 ( k 0)是对应于1 2的全部特征向量 .
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当2 3 1时, 解方程( A E ) x 0. 由
2 1 0 A E 4 2 0 1 0 1 1 0 1 ~ 0 1 2 , 0 0 0
所以向量组 p1 , p2 , , pm 线性无关.
证毕
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例 10 设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的
特征值，对应的特征向量依次为 p1 , p2 , 证明
p1 + p2 不是 A 的特征向量.
证明 按题设，有 Ap1 = 1p1 , Ap2 = 2p2 ,
故 A(p1 + p2 ) = 1p1 + 2p2 . 用反证法，假设 p1 + p2 是 A 的特征向量， 则应存在数 , 使
是 A 的特征值.
其中， = a0 + a1 + · · ·+ amm ,
A = a0E+ a1A + · · ·+ amAm ,
分析: 若Ap = p
A p= (a0E+ a1A + · · ·+ amAm )p
= a 0p + a 1 p + · · ·+ am mp= ()p
1 0 1 ~ 0 1 0 , 0 0 0
p1
(k1 0).
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当2 3 2时, 解方程 A 2 E x 0.由
4 1 1 4 1 1 A 2 E 0 0 0 ~ 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0 得基础解系为： 0 1 p2 1 , p3 0 , 1 4 所以对应于 2 3 2的全部特征向量为:
矩阵 A 可逆的充要条件： 特征值全都非零
f ( ) (1 )(2 )(n )
a nn
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二、特征值与特征向量的求法
求矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
步骤 1 ：计算 A 的特征多项式，并求出特
征方程的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值
k 1,2,, m 1
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把上列各式合写成矩阵形式，得
m 1 1 1 1 m 1 1 2 2 x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0 1 m 1 m m